Продолжение по Борелю-Уитни ультрадифференцируемых функций нормального типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Абанина, Дарья Александровна

• Абанина, Дарья Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Абанина, Дарья Александровна

Введение

Глава 1. Весовые функции

1.1 Весовые функции и их свойства

1.2 Медленно меняющиеся весовые функции

1.3 Почти полуаддитивные сверху весовые функции

1.4 М- и Лг-эквивалентность весовых функций

Глава 2. Продолжение ультрадифференцируемых функций нормального типа по Уитнп

2.1 Пространства ультрадифференцируемых функций нормального типа

2.2 Топологические свойства пространств ультрадифференцируемых функций нормального тина

2.3 Совпадение классов ультрадифференцируемых функций нормального типа

2.4 Пространства ультраджетов нормального типа. Постановка задачи о продолжении но Уитни

2.5 Необходимое условие справедливости аналога теоремы Уитни для пространств ультрадифференцируемых функций нормального типа

2.5.1 Построение специального семейства полиномов

2.5.2 Основной результат

2.0 Абсолютно представляющие системы экспонент с мнимыми показателями в пространствах ультраджетов нормального типа и продолжение функций по Уитни 72, 2.0.1 Пространства периодических ультрадифференцируемых функций нормального типа и базисные системы экспонент в них 73 2.0.2 Основной результат

Глава 3. Аналоги и модификации теоремы Бореля

Раздел I. Критерий справедливости аналога теоремы Бореля для пространств ультрадифференцируемых функций нормального типа

3.1 Постановка задачи и формулировка основного результата

3.2 Реализация сильных сопряженных к пространствам последовательностей нормального типа в виде пространств целых функций

3.3 Формулировка задачи в терминах целых функций

3.4 Доказательство основного результата 95 Раздел II. Построение аналитических решений многомерной проблемы Бореля с номощыо кратных рядов экспонент

3.5 Постановка задачи и основной результат

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Продолжение по Борелю-Уитни ультрадифференцируемых функций нормального типа»

1. Пусть ш — весовая функция, т. е. непрерывная неубывающая на [0, +оо) неотрицательная функция, удовлетворяющая условиям: а) ЗМ > 1, ЗС > 0 | Ух, у > 0 и{х + у)< М(ш(х) + ш{у)) + С (или, что то же самое, u>{2t) = 0(u>(t)) , t —> оо);

3) / <

7) lní = o(w(t)) , t —> сю;

J) <Pu(x) oj(ex) выпукла на [0, оо).

Далее, пусть := sup{ícy — <ры(х) | х > 0} — функция, сопряженная по Юнгу к (ри(х). Пространства ультрадифференцируемых функций (УДФ) Бёрлинга и, соответственно, Румье нормального типа q (термин нормальный означает, что q G (0, 00)) вводятся следующим образом:

URn) := {f G C°°(Rn)|VZ 6 N,Vs G (0iQ) sup sup i^M < ,

L(RiV) := e C°°(RN)\4l G N 3S G (q, 00) : sup sup <

1 * aeK |М|</ e'MM'8)

Здесь a = (ai,., адг) — мультииндекс, \a\ = a\ +. + oln — его длина, ||ж|| := ^maxja^l — рассматриваемая нами норма в ~R.N.

Пусть, далее, К — непустой компакт в R^. Джетом на компакте К называется последовательность / = (/a)neng непрерывных на компакте К функций. Обозначим символом J (К) пространство всех джетов на компакте К и введем для произвольного элемента / из J(K) так иазываемые остаточные члены да/г (у) ••= г (у) - Е т 6 No; а G Nf : |а| < т; ж, у G К.

Положим теперь иг,, l/QWI IW7)ftfo)|(m + i- Н)! L s к '•= sup sup /Д + sup sup sup lv xJJ --хфу

Пространствами ультраджетов Бёрлипга и Румье нормального типа q будем называть соответственно пространства

Ы)(Ю {/ е J (К) I Vs 6 (0, q) \\f\\,^K < оо} и е\ы){К) := {/ £ J (К) I 3s € (g, оо) : \\f\\^K < оо} .

Проблема продолжения по Уитни УДФ нормального типа заключается в нахождении необходимых и достаточных условий на весовую функцию о>, при которых оператор рк : / <Е С00^^) сюръ-ективно отображает на £^(К) (соответственно, £|^(ЕЛГ) на £^(К)). История этой проблемы восходит к 1895 году, когда Э. Боре-лем [34] был доказан следующий результат: для всякой последовательности комплексных чисел имеется такая функция / из <7°°(R), что п)(0) = *п, VrzeNo.

Таким образом, первоначально задача продолжения была решена для пространства С°°(М) и одноточечного компакта К = {0}. Заметим, что на самом деле сформулированное утверждение справедливо и в многомерном случае. Затем в 1934 году Г. Уитни [51] обобщил этот результат на случай произвольного непустого компакта К в Е^. Именно, было показано, что оператор рк сюръективно отображает пространство C30(R/V) на пространство «7о(^0 нсех джетов Уитни па компакте К. Под джетом Уитни понимается такой джет /, что для всех т € N0 и а € с \а\ < т равенство выполняется равномерно по всем х,у € К, когда ||у — ж|| -> 0.

Продолжая классические работы Бореля и Уитни, многие авторы [2, 3,13,28,32,33,30,37,39,42,44,40,50] исследовали аналогичные проблемы продолжения для пространств бесконечно дифференцируемых функции с ограничениями на рост производных. Отметим в связи с этим, что различным задачам, которые в той или ином степени участвуют в построении теории подобных пространств, посвящено значительное число работ (помимо перечисленных выше см., например, [9,12,14-10,18,29,30,

К настоящему времени сложились два основных подхода к определению пространств УДФ: подход Бёрлинга-Бьорка, в котором рост производных задается с помощью весовой функции, и подход Данжуа-Карле-мана, когда соответствующие оценки выписываются с помощью весовой последовательности. Как следует из приведенной выше постановки задачи, настоящая работа выполнена в рамках первого подхода. Остановимся кратко на нем самом и на полученных в этом направлении теоремах продолжения.

Пространства УДФ, задаваемые с помощью определенного в полуаддитивного сверху веса, были введены А. Бёрлингом с целыо обобщения теории распределений. В конце 80-х годов Р. Брауном, Р. Майзе и Б.А. Тейлором [35] было разработано частичное развитие указанного подхода, которое заключается в следующем: весовая функция теперь

35,38,48,49]). берется зависящей не от х из RN, а от нормы х (т. е. фактически нес одномерный), но условие полуаддитшшости сверху заменяется более мягким требованием (а). Основное внимание сначала уделялось пространствам УДФ минимального типа (или типа Бёрлинга) и максимального типа (или типа Румье). В наших обозначениях это пространства и

Фактически они порождаются последовательностями {по;}^ и {—соответственно. В частности, в [28,32,44] для пространств ¥1/ минимального и максимального типов была решена проблема продолжения по Уитни. Именно, было показано, что аналог теоремы Уитни в указанных пространствах справедлив тогда и только тогда, когда

Ш(Ы) Г Г 1 lim sup—-г-— < L при некотором L > 1 00 u{t) такие ш называются строгими). В [10,11] этот результат был частично перенесен на случаи многомерных весов, зависящих от модулей переменных. Далее, в [1,23] изучались пространства УДФ, порождаемые возрастающими и убывающими последовательностями {а^}^^ весовых функций. Для этих пространств был установлен аналог теоремы Пэли-Випера-Шварца, применяемый в настоящей диссертации к пространствам нормального типа, т. е. в случае, когда шп = qnu, qn /* q либо qn \ q, q e (0,oo).

Наконец, отметим, что, как было обнаружено Ю.Ф. Коробейником в [8,9,43], проблема продолжения УДФ по Уитни напрямую связана с разработанной им в 70-80 годы [4,5] теорией абсолютно представляющих систем. Позднее эта взаимосвязь исследовалась также в [23]. Напомним, что в соответствии с определением, введенным в [4], последовательность X = {^А;}^! локально выпуклого пространства Н называется абсолютно представляющей системой (АПС) в Я, если каждый элемент х G Н

00 оо допускает представление х = ^ СкХк, и ряд ^ с^х^ сходится абсолютно а=1 к=1 в II.

В завершение обзора полученных ранее результатов нужно заметить, что, насколько нам известно, для классов УДФ нормального типа задачи продолжения по Уитни-Борелю до сих пор не рассматривались. Их исследование и послужило темой данной диссертации. Основные цели работы следующие:

• получение условий на весовую функцию, при которых для порождаемых ею классов УДФ нормального типа справедлив аналог теоремы Уитни и — как частный ее случай, соответствующий одноточечному компакту, — аналог теоремы Бореля;

• выявление взаимосвязи между вопросами продолжения УДФ нормального типа по Уитни и наличием в соответствующих пространствах ультраджетов АПС экспонент с мнимыми показателями;

• изучение некоторых сопутствующих задач: решение вопроса о совпадении пространств УДФ нормального типа, задаваемых двумя разными весовыми функциями; выяснение взаимотношений между различными классами весов с точки зрения определяемых ими пространств УДФ нормального типа.

Следует подчеркнуть, что классы нормального типа являются гораздо более "тонкими", чем предельные (т. е. классы минимального и максимального тина). В связи с этим условие (о;) на весовую функцию пришлось заменить более жестким требованием почти полуаддитивности сверху. Весовую функцию и будем называть почти полуаддитпивпой сверху, если для любого р > 1 найдется С > О такое, что ш(х + у)< р(со(х) + ш(у)) + С, Уж, у > 0.

Более подробно причины этой замены и ее естественность будут обсуждаться в § 2.1.

2. Основными результатами работы являются

Теорема А. Пусть си — почти полуаддитивпая сверху весовая функция, Е (0,оо); К — непустой компакт в В.". Для того чтобы в пространствах и (или) был справедлив аналог теоремы Уигпии, необходимо, чтобы си была медленно меняющейся функцией, т. е. чтобы

Теорема В. Пусть со — почти полуаддитивная сверху весовая функция, £ (0, оо). Аналог теоремы Бореля справедлив в пространствах и (или) (Ндг) тогда и только тогда, когда си — медленно меняющаяся функция.

Теорема С. Пусть и — почти полуаддитивная сверху весовая функция, К — непустой компакт в Мдг; q е (0, оо). Следующие утпверо/сде-ния эквивалентны: г) рк действует сюръективио из на£^(К) (соответственно, из ^}(МЛГ) на £\Ы){К)); гг) в (соответственно, в £^(К)) существует абсолютно представляющая система (соответственно, индуктивно абсолютно представляющая система) из дэюетов, пороэюдасмых экспонентами с мнимыми показателями: иг) если К С Тв)Ь := {х е : а < х < Ь} (а,Ь е : а^ < ^, 3 = 1,., Щ, то система является абсолютно представляющей системой (соответственноиндуктивно абсолютно представляющей системой) в (соответственно, в £^(К)).

Из решенных попутно задач выделим две следующие: Теорема Б. Пусть ш,<г — почти полуаддитивные сверху весовые функции, <7 £ (0,оо). Для того чтобы = и (или) необходимо и достаточно, чтобы си и а были эквивалентны в обычном смысле, т. е. чтобы

Теорема Е. Имеется такая почти полуаддитивная сверху весовая функция, которая не эквивалентна пи одной полуаддитивпой сверху весовой фунщии.

Следствие. Классов УДФ нормального типа, пороэюдаемых почти полу аддитивными сверху весовыми функциями, больше, чем тех эюе классов, определяемых полу аддитивными сверху весами.

На наш взгляд, следует еще особо отметить одно из установленных в главе 1 вспомогательных утверждении о весовых функциях, которое используется для доказательства всех трех теорем А-С и которое представляет собой (с точки зрения автора) наибольший самостоятельный интерес. Для него нам понадобится ввести гармоническое продолжение веса и:

М Г°° "(Н) м сслп у + о

7Г Л-ОО (¿ —Ж)2+7/2 ' ССЛИ У 7е и) если у = 0.

Теорема Е. Для весовой функции и эквивалентными являются три ииэ/сепривсдснпых утверэюдения: г) си медленно меняется; гг) hm —р-—( = 1; х,у)->оо и{\х + гу )

Л г Ри{гу) Л ггг) lim —тт—р- = 1. оо Ц|?/|)

Доказательство теорем А и В проводится методом, разработанным в [44] и [28] для пространств минимального и максимального типов. Его суть заключается в переходе к двойственной задаче, которая формулируется в терминах целых в CN функций. Заметим, однако, что реализация этого метода в случае пространств нормального типа становится возможной лишь благодаря установленным в главе 1 новым свойствам весовых функции. Наконец, для того чтобы установить взаимосвязь между продолжением УДФ нормального типа но Уитни и наличием в соответствующих пространствах ультраджетов АПС экспонент с мнимыми показателями, мы используем методы Ю.Ф. Коробейника из [8,43].

Материал диссертации разбит на три главы. В первую главу, как уже было сказано выше, включены все вспомогательные утверждения о весовых функциях, составляющие аналитическую основу последующей работы. Достаточно много внимания уделяется также классам медленно меняющихся и почти полуаддитивных сверху весов и их взаимотношениям с классом полуаддитивных сверху весов. Полученный в этом направлении результат (теорема Е) является усилением результата У. Франкена из [40].

Вторая глава иолпостыо посвящена продолжению УДФ нормального типа по Уитни. Теорма А доказывается в § 2.5, а теорема С — в § 2.6. Кроме того, в § 2.3 решается задача о совпадении классов УДФ нормального типа, порождаемых двумя разными весовыми функциями (теорема Б).

Глава 3 разделена на два раздела. В первом из них устанавливается критерий справедливости аналога теоремы Бореля о продолжении для пространств УДФ нормального типа, т. е. теорема В. Во втором разделе рассматривается задача об аналитических решениях проблемы Бореля. Здесь основной нашей целыо было обобщить полученный в [7] одномерный результат Ю.Ф. Коробейника на произвольный многомерный случай.

По теме диссертации опубликовано 7 работ. Результаты главы 1 опубликованы в [54,55,57,58], главы 2 — в [56], главы 3 — в [52-54,58]. В совместной с научным руководителем работе [52] по результатам второго раздела главы 3 Ю.Ф. Коробейнику принадлежит формулировка основной теоремы и ее доказательство в двумерном случае, а Д.А. Аба-ниной — доказательство в произвольной многомерной ситуации.

Материал неоднократно докладывался на научном семинаре кафедры математического анализа Ростовского госуниверситета (руководитель — профессор Ю.Ф. Коробейник), на студенческих научных конференциях механико-математического факультета Ростовского госуниверситета, на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002 и 2004 гг.).

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору Ю.Ф. Коробейнику за постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Абанина, Дарья Александровна, 2005 год

1. Абашш A.B., Тшценко Е.С. Пространства ультрадифференциру-емых функции и обобщение теоремы Пэли-Винера-Шварца // Изв.вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 1997. №2. С.5-8.

2. Бронштейн М.Д. Продолжение функций в неквазианалитических классах Карлемана // Изв. вузов. Математика. 1986. Т.295. №12. С.10-12.

3. Джанашия Г.А. О задаче Карлемана для класса функций Жевре // ДАН. 1962. Т. 145. №2. С.259-262.

4. Коробейник Ю.Ф. Об одной двойственной задаче. I.Общие результаты. Приложения к пространствам Фреше // Матем. сб. 1975. Т.97. т. С.193-229.

5. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // Успехи мат. наук. 1981. Т.36. т. С.73-126.

6. Коробейник Ю.Ф. Об аналитических решениях многомерной проблемы Бореля // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо. 1998. С.102-103.

7. Коробейник Ю.Ф. Об аналитических решениях проблемы Бореля // Матем. заметки. 2000. Т.67. №4. С.525-538.

8. Коробейник Ю.Ф. О некоторых общих классах бесконечно дифференцируемых функций многих вещественных переменных // Исследования по комплексному анализу, теории операторов и математическому моделированию.-Владикавказ: Изд. ВНЦ РАН. 2004. С.90-140.

9. Ляликова Е.Р. Теоремы Бореля и Уитни в пространствах бесконечно дифференцируемых функций, определяемых многомерными весами // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2002. №3. С.27-29.

10. Ляликова Е.Р. Аналоги теоремы Уитни о продолжении для пространств ультрадифференцируемых функций, определяемых многомерным весом. Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук.-Ростов-на-Дону. 2003. 115с.

11. Мандельбройт С. Примыкающие ряды, регуляризация последовательностей, примененпя.-М.:Изд. иностр. лит-ры. 1955. 2G8c.

12. Митягин B.C. О бесконечно дифференцируемой функции с заданными значениями производных в точке // ДАН. 1961. Т.138. №2. С.289-292.

13. Мусин И.Х. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций // Ма-тем. сб. 2000. Т.191. jY«10. С.57-86.

14. Мусин И.Х. Теорема типа Пэли-Винера для весового пространства бесконечно дифференцируемых функций // Изв. РАН. Сер. матем. 2000. Т.64. т. С.181-204.

15. Мусин И.Х. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций в RN // Матем. сб. 2004. Т.195. №0. С.83-108.

16. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях-М.: Мир. 1971. 231 с.

17. Напалков В.В., Рудаков И.А. Описание ядра оператора свертки в пространствах типа Жеврея // Препр. Уфа. Ин-т. мат. 1988. 33с.

18. Райков Д.А. О двух классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Труды семинара по функ. ан., Воронеж. 1957. №5. С.22-34.

19. Робертсон А.П., Робертсон В.Дж. Топологические векторные пространства.-М.: Мир. 1967. 257 с.

20. Себаштьян-и-Силва Ж., О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Математика. Периодический сборник переводов иностранных статей. 1954. Т.1. Вып.1. С.60-77.

21. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции.-М.: Наука. 1985. 141 с.

22. Тищенко Е.С. Пространства ультрадифференцируемых функций типа Бёрлинга и абсолютно представляющие системы экспонент в них. Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук.-Ростов-на-Дону. 2002. 124с.

23. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1. Теория распределений и анализ Фурье.-М.: Мир. 1986. 464 с.

24. Хилл Э. Функциональный анализ и полугруппы-М.: Изд. иностр. лит-ры. 1951. G35 с.

25. Чирка Е.М. Регулярность границ аналитических множеств // Ма-тем. сб. 1982. Т.117. №3. С.291-336.

26. Эдварде Р. Функциональный анализ.-М.: Наука. 1969. 1071 с.

27. Abariin A.V. On Whitney's extension theorem for spaces of ultradifferentiable functions // Math. Ann. 2001. V.320. P.115-126.

28. Beurling A. Quasi-analiticity and general distributions // Lectures 4 and 5. AMS Summer Institute. Stanford. 1961.

29. Bjôck G. Linear partial differential operators and generalized distributions // Ark. Mat. 1965. V.6. P.351-407.

30. Boas R.P. Entire functions-Academic Press. 1954.

31. Bonet J., Meise R., and Taylor B.A. Whitney's extension theorem for ultradifferentiable functions of Rournieu type // Proc. R. Ir. Acad. 1989. V.89(A). P.53-66.

32. Bonet J., Braun R.W., Meise R., and Taylor B.A. Whitney's extension theorem for non-quasianalytic classes of ultradifferentiable functions // Stud. Math. 1991. V.99. P.155-184.

33. Borel E. Sur quelques points de la théorie des fonctions // Ann. Sci. Ec. Norm. Super. 1895. 3 Ser. V.12. P.9-55.

34. Braun R.W., Meise R., Taylor B.A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis // Result. Math. 1990. V.17. P.200-237.

35. Brima J. Ail extension theorem of Whitney type for non- quasianalytic classes of functions // J. Lond. Math. Soc. 1980. V.22. P.495-505.

36. Carleson L. On universal moment problems // Math. Scand. 1901. V.9. P. 197-200.

37. Ciorfmescu I., Zsidö L. o;-ultradistributions and their applications to operator theory // Spectral Theory.-Warsaw: Banach Center Publications. 1982. V.8. P.77-220.

38. Ehrenpeis L. Fourier analysis in several complex variables-New York: Wiley-Interscience Publ. 1970.

39. Franken U. Weight functions for classes of ultradifFerentiable functions // Result. Math. 1994. V.25. №1-2. P.50-53.

40. Grothendieck A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires // Mem. Amer. Math. Soc. 1955. V.16.

41. Komatsu H. Ultradistributions I. Structure theorems and a characterization // J. Fac. Sei. Tokyo, Sec. IA. 1973. V.20. P.25-105.

42. Korobeinik Yu.F. On absolutely representing systems in spaces of infinitely differentiable functions // Stud. Math. 2000. V.139. №2. P.175-188.

43. Meise R. and Taylor B.A. Whitney's extension theorem for ultradiffe-rentiable functions of Beurling type // Ark. Mat. 1988. V.2G. P.205-287.

44. Meise R., Vogt D. Einführung in die Funktionalanalysis.-Braunschweig: Vieweg. 1992. 411 p.

45. Petzsche H.-J. On E.Borel's theorem // Math. Ann. 1988. V.282. P.292-313.

46. Polia G. Eine Verallgemeinerung des Fabryschen Lückensatzes // Nachr. Gesellsch. Wissensch. Göttingen. 1927. P. 187-195.

47. Roumieu C. Sur quelques extensions de la notion de distributions // Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. Paris. 19G0. 3 Ser. V.77. P.41-121.

48. Taylor B.A. Analytically uniform spaces of infinitely differentiable functions // Commun. Pure Appl. Math. 1971. V.XXIV. P.39-51.

49. Wahde J. Interpolation in non-quasianalytic classes of infinitely differentiable functions // Math. Scand. 19G7. V.20. P.19-31.

50. Whitney H. Analytic extension of differentiable functions defined in closed sets // Trans. Amer. Math. Soc. 1934. V.3G. P.G3-89.Список работ по теме диссертации

51. Абаннна Д.А., Коробейник Ю.Ф. О построении решения многомерной проблемы Бореля с иомощыо кратных рядов экспонент // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2001. №2. С.3-5.

52. Абанина Д.А. Теорема Бореля для пространств ультрадифферен-цируемых функций нормального типа // Труды международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо. 2002. C.9G-97.

53. Абанина Д.А. Об аналогах теоремы Бореля для пространств ультрадифференцируем ых функций нормального типа // Изв. вузов. Математика. 2003. №8. C.G3-GG.

54. Абанина Д.А. О классах весов, используемых при определении пространств ультрадифференцируемых функций // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2005. №1. С.3-7.

55. Abanina D.A. On Borel's theorem for spaces of ultradifferentiable functions of mean type // Result. Math. 2003. V.44. №3-4. Р.1Э5-213.