Абсолютно представляющие системы подпространств в спектрах локально выпуклых пространств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Михайлов, Константин Андреевич

• Михайлов, Константин Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Михайлов, Константин Андреевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АБСОЛЮТНО ПРЕДСТАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ ПОДПРОСТРАНСТВ В ПРОЕКТИВНЫХ СПЕКТРАХ (ЬБ)-ПРОСТРАНСТВ.

1.1. Определение проективного спектра.

1.2. Коэффициентное пространство.

1.3. Описание сопряженного к коэффициентному пространству

1.4. Оператор представления и сопряженный к нему

1.5. Критерий для абсолютно представляющих систем подпространств в терминах разрешимости интерполяционных задач.

1.6. Описание сопряженного к пределу проективного спектра

1.7. Необходимое условие для абсолютно представляющих систем подпространств в пределах (1?^5')-спектров

1.8. Достаточное условие для абсолютно представляющих систем подпространств в пределах (£)^5)-спектров

1.9. Следствия основных результатов для (£>Р5)-простраиств

1.10. Следствия основных результатов для приведенных проективных пределов.

1.11. Необходимое условие для абсолютно представляющих систем подпространств в регулярных индуктивных пределах.

1.12. Системы экспонент в пространстве целых функций [1,+оо).

ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ ЭКСПОНЕНТ В ПРОСТРАНСТВАХ УЛЬТРАДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ.

2.1. Пространства ультрадифференцируемых функций типа Румье.

2.2. Пространства ультрадифференцируемых функций, задаваемые уточненным порядком.

2.3. Критерий для абсолютно представляющих систем экспонент в пространствах ультрадифференцируемых функций.

2.4. Вспомогательные результаты.

2.5. Построение примера абсолютно представляющей системы экспонент.

ГЛАВА 3. АБСОЛЮТНО ПРЕДСТАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ ПОДПРОСТРАНСТВ В ПРОСТРАНСТВАХ ПРОБНЫХ УДЬТРАДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ.

3.1. Пространства Т>о,{0) пробных Г2-ультрадифференцируемых функций

3.2. Критерий для абсолютно представляющих систем подпространств в пространствах

3.3. Построение абсолютно представляющих систем подпространств в пространствах

3.4. Универсальные абсолютно представляющие системы подпространств.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Абсолютно представляющие системы подпространств в спектрах локально выпуклых пространств»

1. В исследованиях А. Ф. Леонтьева, подытоженных им в монографии [23], рассматривалась задача о представлении функций, аналитических в некоторой области комплексной плоскости, рядами экспонент. Эти результаты естественным образом привели к появлению теории абсолютно представляющих систем (АПС), которая развивалась, главным образом, в работах Ю. Ф. Коробейника и его учеников. Определение 1. (см. [11]) Последовательность ненулевых элементов полного отделимого локально выпуклого пространства Р называется АПС в Р, если любой элемент х £ Р представим в виде суммы ряда оо

X — ^ ^ к=1 абсолютно сходящегося к х по топологии Р.

В цикле работ Ю. Ф. Коробейника [11]-[14], [16] были заложены основы теории АПС в локально выпуклых пространствах и разработан один из основополагающих методов их изучения, базирующийся на привлечении коэффициентных пространств и теории двойственности.

Впоследствии в [15] было введено более общее понятие абсолютно представляющей системы подпространств (АПСП).

Определение 2. Последовательность % = (-й^)^ нетривиальных векторных подпространств полного отделимого локально выпуклого пространства Р называется АПСП в Р, если любой элемент х 6 Р представим в виде суммы ряда оо х = ^2х(к\ х{к) енк, к=1 абсолютно сходящегося к х по топологии Е.

В случае, когда Нь одномерны, понятия АПС и АПСП совпадают. Отметим, что аналог метода коэффициентных пространств применительно к АПСП был построен А. В. Абаниным в [2] для пространств Фреше и в [3] для (£)^5)-пространств.

Настоящая диссертация состоит из трех глав и посвящена дальнейшему развитию теории АПСП. Основные цели работы следующие: распространить метод коэффициентных пространств для случая АПСП в пределах проективных спектров (ЬЛ)-пространств; получить критерий для АПСП в пределе (1).Р5)-спектра при дополнительных ограничениях на структуру системы подпространств; установить необходимые и достаточные условия того, что данная система экспонент является АПС в пространстве ультрадифференциру-емых функций, задаваемом уточненным порядком. На их основе построить конкретный пример АПС экспонент в пространствах данного вида; дать описание АПСП, инвариантных относительно умножения на функцию, в пространствах пробных П-ультрадифференцируемых функций.

2. В первой главе диссертации рассматриваются системы подпространств в пределах проективных спектров (1/Л)-пространств. Приводятся необходимые и достаточные условия того, что данная последовательность подпространств является АПСП в пределе (.О-Р^-спектра.

Дадим определение проективного спектра. Пусть каждое Ет — (ЬВ)-пространство, то есть является внутренним индуктивным пределом банаховых пространств {Ет^п, || • ||m,n)£Li- Предположим, что заданы линейные непрерывные инъективные отображения i^+i из Em+i в Ет. Положим

Proj°£ := = (жт)~=1 G Д Ет : хт = i™+1xm+1,Vrn G n| , Proj1^ := ^ Д E^J jВ(£),где

00 оо

Ы£=1 е П Ern\3(bm)™=1 G П т=1 т=1 ат = C+l&m+1 - Ът^ТП G N|.

Обозначим через im отображения проектирования из Proj°£ в Em, а через Е — пространство Proj°£, наделенное топологией проективного предела пространств Ет относительно отображений гт. Это пространство называют пределом проективного спектра £ — (Em,i™+1)™=1. Спектр £ = (Em,i™+1) называется приведенным, если для каждого m G N множество гтЕ плотно в Ет. Далее говорят, что £ — (Em,i™+1) является (DFS) -спектром, если Ет^п компактно (вполне непрерывно) вложено в Ет,п+1 Для всех m, п G N. Напомним также, что внутренний индуктивный предел F локально выпуклых пространств Fn (п G N) называется регулярным, если каждое ограниченное множество в F содержится в некотором Fs и ограничено по его топологии.

Рассмотрим последовательность % — нетривиальных векторных подпространств в Е, для которой imHk вложено в пространство 2?шд, замкнуто в нем (k, m G N) и т lim sup ,,. Х = 0 для всех m, n G N. (1) fc->oc)хеНк \\ЪтХ т,п

Основным объектом в теории АПСП выступает пространство сю сю

А := П и Ат,п с топологией рго] тс! Ат,п, где для га, п е N

771—1 71=1 ТП П

ОО 00

А*,п :={х = (хМ)^ € П^А: : ||Х||т>„ := £ < оо к=1 к=1 ^ оо оо ^

Сопряженное с А пространство А := и ("] Ат^п наделяется тополо

ТП=1 п=1 гией тс! рго] Ат^ где для всех га, п Е N

Ат,п := { Ф = ЫГ= 1 е П Шт,п к=1 зхир : е Ч<4

Здесь под (Нк)'т^п понимается пространство, сопряженное с Н& с индуцированной из Ет>п нормой.

В общей теории АПС большое внимание уделено (в особенности отметим работу [13]) связи между АПС и разрешимостью некоторых интерполяционных задач. Следующий результат является критерием для АПСП в терминах разрешимости интерполяционных задач и представляет собой обобщение теоремы А* из [13]. Для его формулировки нам потребуется подпространство тех последовательностей из А, которые дают разложение нуля в Е оо

Д(70 := \Х = (*<*>)£* х™ = 0 > . к=1

Теорема 1. Пусть Е ультраборнологическое пространство и каждое Ет — регулярный индуктивный предел. Последовательность % = (Н^ь-х тогда и только тогда является АПСП в Е, когда выполнены два условия: г) однородная задача ip\нк = 0 (к = 1, 2,.) имеет только нулевое решение в Е'\

И) для любой последовательности Ф = {ifk)kLi £ для которой оо

Y^ — 0 njpw всея; X = G R^H), имеется такой к=1 функционал <р G Е', что <р\нк — фк G N).

Для получения функционального критерия для АПСП было дано удобное для использования описание сопряженного с Е. Пространство Е' наделяется топологией ind Е^ где каждое Е^ — пространство Фрет ше с набором преднорм ф\\т,п := sup (ll-m^1 : Л е ® G е) , П G N.

L I г ® I |ш,п J

Следующая теорема является необходимым условием для АПСП в пределах (DFS)-спектров и представляет собой обобщение теоремы 3 из [14], необходимой части теоремы 7 из [14] и основных результатов работ [2] и [3].

Теорема 2. Пусть Е = (Em,i™+1) — приведенный (DFS)-cneKmp с Profe = о, а последовательность % = {.Hk)kL\ нетривиальных векторных подпространств в Е такова, что для нее гтНк С Em>i, подпространства гтНк замкнуты в Етд (к,т G N) и выполнено (1). Если % является АПСП в Е, то условие

Vmi 3m2 Vn2 Зщ ЗС < оо : |Mlkn2 < C||(ik)||mi,ni (2) справедливо для всех ip G Е', для которых IK^IhJI|mi п < оо при всех пе N.

Обращение теоремы 2 было получено при дополнительном условии, что последовательность 7i распадается на две составляющие: «проективную» (#2ft-i)jbLi и «индуктивную» (H2k)kLi, относительно которых предполагались выполненными условия: существует такое в, что для любого п и каждого т> э -\-1 найдется СШ)П < оо такое, что для всех к имеем гт"8а;||т5)1 < Ст,п\\гтх\\т^п (х Е Н2к- 1); (3) существует такое б, что для любого т и каждого п > з + 1 найдется £)т,п < оо такое, что для всех к имеем я е н2к). (4)

При этих предположениях был доказан критерий для АПСП в пределах (.0^5)-спектров, который является аналогом и обобщением теоремы 4 из [14], достаточной части теоремы 7 из [14] и основных результатов работ [2] и [3]

Теорема 3. Пусть £ = — приведенный (Л-спектр с

Рго^ 8 = 0, а последовательность % = (Нк)^^ нетривиальных векторных подпространств в Е такова, что для нее гтНк С Етд, подпространства гтНк замкнуты в Етд (к,т Е М) и выполнено (1). Предположим далее, что для (^2^-1)^1 выполнено условие (3), а для (#2/г)ь=1 — условие (4). Для того чтобы % была АПСП в Е, необходимо и достаточно, чтобы условие (2) выполнялось для всех ср Е Е', для которых 11(ИяЛЦ1В < 00 при всех п Е N.

Отметим, что в работах Ю. Ф. Коробейника и В. Б. Шерстюкова (см. [17], [21] и [30]) критерии для АПС в пространствах Фреше и канонических индуктивных пределах последовательности банаховых пространств были установлены без предположений типа (1) и требования, чтобы гтНк С Етд. В случае проективных спектров от этих ограничений избавиться не удается. Одной из причин этого является то обстоятельство, что теория проективных спектров в настоящие время в достаточной для наших целей степени развита лишь для проективных спектров

-пространств (см. [40]).

В заключительной части первой главы, используя методы из [20] и [30], получены необходимые условия для АПСП в произвольном регулярном индуктивном пределе банаховых пространств.

Пусть (-Е1, С) — ind(-E7ri, 11 • ||п) — регулярный внутренний индуктивп ный предел последовательности банаховых пространств (Еп)™=1, где Еп с—>■ Еп+1 для любого n G N. Пусть далее Tí = — последовательность нетривиальных векторных подпространств в Е, причем будем предполагать, что пересечение Н^ПЕп замкнуто в Еп для всех к, п 6 N. Справедлива следующая

Теорема 4. Если последовательность нетривиальных векторных подпространств Tí = (Hk)^Li является АПСП в регулярном индуктивном пределе Е = ind(Еп, II • IL), то для любого п G N найдется т 6 N и п постоянная А = Л(п, га) < оо такие, что для всех tp £ Е' SUp MíH < A sup sup (Kpi : *<*> еНкПЕт x£En ||ж||п km { lFW||m

С помощью этой теоремы, было показано, что в пространстве целых функций [1, +оо) нет ни одной АПС вида {е^}^, где |Afc| оо, Л^ £ С, к = 1, 2, .

3. Возможность разложения в ряды из экспонент бесконечно дифференцируемых функций на фиксированном интервале вещественной прямой исследовалась в работе В. В. Напалкова [27], а в статье И. X. Мусина [26] рассматривалась задача о представлении такими рядами элементов весового пространства бесконечно дифференцируемых функций на всей вещественной прямой. Отметим также исследования Ю. Ф. Коробейника [18], [19] и [37], [38], в которых изучались абсолютно представляющие системы экспонент с чисто мнимыми показателями.

Вторая глава посвящена изучению АПС экспонент в пространствах ультрадифференцируемых функций типа Румье на конечном интервале, задаваемых уточненным порядком. На основе теоремы 3 был установлен общий критерий для систем экспонент в указанных выше пространствах типа Румье и построена конкретная АПС экспонент. Полученные во второй главе результаты обобщают и уточняют соответствующие аналоги, представленные в [7] для случая обычного порядка.

Пусть С°°(— 1,1) — пространство всех бесконечно дифференцируемых на интервале (—1,1) функций.

Четную неотрицательную на Ж, неубывающую на [0, сю) функцию ш будем называть каноническим весом (см. [4, с. 19]) или весом в смысле Брауна-Майзе-Тейлора (см. [35, определение 1.1]), если она удовлетворяет следующим условиям a) oj(2t) = 0(u(t)) при t —У сю, (7) Int — o(u(t)) при t —У oo, оо dt < 00, (5) ipu(t) := (jj(el) выпукла на М.

С каждым каноническим весом и, номерами тип свяжем полу нормированные пространства \9 е С°°(-1,1) : \\д\\^п := sup sup I^M < 00 1 , где No = N U {0}, <Ри(у) := sup(ccy — (рш(х)) — сопряженная по Юнгу с х>0 функцией срш(х) = ш(ех).

00 00

Рассмотрим 1,1) := П U ^тп ~ пространство ультраш=1 п=1 дифференцируемых функций типа Румье с естественной топологией projind£^ , относительно которой £/w\(—1,1) является приведенным п ' т " проективным пределом (1).Р5)-пространств.

В работе рассматриваются канонические веса ир(г) t\):= lipD.iGK (^(^(О) := 0), задаваемые уточненным порядком р(г) —> р 6 (0,1).

Пусть Л = {А^}^-! (Ак 7*- 0) возрастающая по модулю последовательность в С с единственной предельной точкой на бесконечности. Для / £ Н(<С) и т, п £ N положим supК^ {z), \\f\\m,n = zeС fceN где й = , -, z ее.

Согласно [4, глава V, теорема 5.4.4] сопряженное с }(—1,1) пространство можно отождествить с изоморфным пространством целых функций

1) = {/ Е Я (С) : Зт G N Vn G N ||/||^п < оо} .

С помощью теорем 2 и 3 был получен следующий общий критерий для АПС экспонент в пространстве }(—1,1).

Теорема 5. Для того чтобы система {е~гХкХ}™=1 была абсолютно представляющей системой в }(—1,1), необходимо, а если Л = {Afc})^ распадается на две подпоследовательности Л1 := {А^}^ и Л2 := удовлетворяющие условиям lim —1 ^fcl— — оо lim —I — q то и достаточно, чтобы выполнялось

Vmi 3т2 : Vn2 Зщ ЗС > 0 : 11/Ц^ < C\\f\\mi,ni (5) для всех f G A{W/)(r)}(—1,1) таких, что ||/||mi п < оо при каждом n £ N.

С помощью данной теоремы показано, что система {егА:с}лел> где Л = {^Ытгк}™^ U {±7^}^ является АПС в пространстве £{wp(r)}(—1> 1) при любом уточненном порядке р(г).

4. Одним из направлений в исследованиях Ю. Ф. Коробейника было изучение АПС в индуктивных пределах банаховых пространств. В работах [11] - [14] были получены различные критерии того, что данная последовательность элементов является АПС в некотором (ИГЗ)-пространстве. Впоследствии А. В. Абаниным эти результаты были распространены в [3] на случай АПСП. Однако для произвольных индуктивных пределов банаховых пространств подобных критериев пока не получено. Даже в случае строгих индуктивных пределов, которые довольно близки по своим свойствам к (£)^5)-пространствам, используя технику из [11] - [14], получить схожие результаты для АПС (или АПСП) не удается.

В третьей главе приводятся новые результаты в данном направлении. Получены условия того, что данная система подпространств является АПСП в пространстве пробных £7-ультрадифференцируемых функций, и с их помощью построены конкретные примеры АПСП в пространствах такого вида. В настоящей главе существенно используются терминология и некоторые результаты из [4].

Следуя [4, с. 10], N-весом будем называть произвольную измеримую по Лебегу, локально ограниченную в М-^ функцию со : —> [0,+оо), для которой оо

I е-^С < ОО, I < оо,

Я" 1 где := зир{о;(С) : ||<|| < НС11 := |0ь| для С = (Съ • • •, О) из Е*.

С каждым А^-весом и; и компактом К с непустой внутренностью в свяжем банахово пространство Т>Ш(К) бесконечно дифференцируемых в функций с носителем в К о, нормой д\\ы := sup (eRN

Здесь := f д{х)е~г<х^> dx — преобразование Фурье функции д\

RN x, С >= JClCl + • • • xn(n для x = (жь . . . , xn) и С = (Cl) • • •, Gv) из rn.

Обозначим через Wl (через W&) совокупность таких последовательностей iV-весов Q = что для любого натурального п найдется такая постоянная Сп, что для всех £ £ №.N ип{() < i(C) + Сп соответственно, a;n+i(£) < CcVi(C) + Сп). По Q из Wjj (из Wfj) образуем векторное пространство оо vm(K) = f| VUn(K) п=1 оо

I соответственно, P{n}(iT) = VUn{K) п=1 которое будем рассматривать с топологией проективного (соответственно, индуктивного) предела последовательности пространств (1)Шп(К))™=1 относительно отображений вложения.

Для открытого в M.N множества G определим пространство

Vn(G) := (J Va(K), kcg где объединение берется по всем компактам К из G, и наделим его топологией внутреннего индуктивного предела пространств Т>п(К). Здесь и далее будем писать Г2 без скобок в тех случаях, когда какое-либо обозначение или утверждение касается как п е wl, так и Г2 Е Wjy. Функции из Т>п{0) называются пробными Г2- улътрадифференцируемыми функциями на Пространства Рп(С) принадлежат классу строгих индуктивных пределов.

Пусть ^ — произвольная последовательность -/V- весов из И^ или из И^. Будем говорить, что в пространстве Т>о,{0) последовательность функций (</?&) является абсолютным разбиением единицы на компакоо оо те К, если <£>к{%) — 1 для всех х £ К, и ряд абсолютно схок=1 к=1 дится в ^п(С) к некоторой срезающей функции компакта К. Назовем последовательность нетривиальных векторных подпространств (Нк)^=1 пространства локальным разбиением единицы в если для любого компакта К С. С существует такая последовательность функций (<Рк ^ Нк, к = 1, 2,. ), которая является абсолютным разбиением единицы на К.

Получена теорема, которая описывает характеристическое свойство всех АПСП в удовлетворяющих дополнительному свойству замкнутости относительно операции умножения.

Теорема 6. Для того чтобы последовательность нетривиальных векторных подпространств (Нк)&=1 была АПСП в необходимо, а в случае замкнутости каждого Нк относительно операции умножения на произвольную функцию из и достаточно, чтобы была локальным разбиением единицы в

С помощью теоремы 5 был построен следующий конкретный пример АПСП в Рассмотрим открытое локально конечное покрытие (Сгй)^ множества <2, в котором — компакт в С (к = 1, 2,. .). Напомним, что открытое покрытие (С?г-)ге/ (где I — некоторое семейство индексов) множества С? называется локально конечным покрытием если для любого компакта К, лежащего в (2, можно указать лишь конечное число множеств этого покрытия, которые имеют с К непустое пересечение. Согласно [4, следствие 2, с. 51] в пространстве Vо (С?) существует абсолютное разбиение единицы неотрицательными функциями (рк из подчиненное данному локально конечному покрытию

Символом С°°(С?) будем обозначать множество бесконечно дифференцируемых на С функций. По выбранной последовательности (сРк)к^-1 построим векторные подпространства в Т)$\(С) следующего вида

Ы = {т е Vn(G): д е С°°(С)}, к = 1, 2,. .

Тогда по теореме 5 последовательность является АПСП в п(С).

В заключительной части главы показано, что в случае правильных весовых последовательностей существуют такие последовательности (<Рк)™=1 пробных функций, на основе которых можно строить АПСП сразу в целом семействе пространств ультрадифферснцируемых функций. Приведем соответствующий результат.

Следуя [4, пункт 2.3.1], весовую последовательность О, = (о;п)^=1 из Ждг (из будем называть правильной, если при каждом п £ N

1) найдется Сп> 0 :

1п(1 + ПСИ) < К+1(С) - "„(01 + Сп (Се К").

2) существует такой ЛГ- вес г/, что при всех С, 77 Е V) < ^п-ы(С) + Н7!) соответственно, с^п+1(С + "л) ^ ^(С) + г/(7?))

Как показано в [4], для любой правильной весовой последовательности = (сОп)™^ из \Vjif или из И^ можно указать такой канонический вес

16 и, что при всех п G N и rj G

Ып{С + < Wn+l(0 + К1Ы1), еСЛИ ^ из

ИЛИ wn+i(C + 77) < w„(0 + К1М1)> если ^ из и^,

Такой вес v называется ассоциированным с Q.

Возьмем произвольную правильную весовую последовательность П = (шп)™=1 из Wjf или из Wfj и ассоциированный с ней вес и. Рассмотрим функции фк £ T>^(G), к £ N, которые являются абсолютным разбиением единицы в (G) на каждом компакте К в G. Под обозначением понимается пространство пробных ультрадифференциру-емых функций соответствующее весовой последовательности Qi = (пи)^!- Тогда последовательность подпространств

Hk,n:={gi/>k:g eVn(G)}> ке N. является АПСП в £>n(G).

Таким образом, выбранная последовательность (V'fc)fcLi универсальна в том смысле, что по ней с помощью подпространств вида Hk,n строится АПСП в T>q(G)i где Г2 — произвольная правильная весовая последовательность, с которой ассоциирован вес и.

Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научном семинаре кафедры математического анализа Южного федерального университета, а также на Международной конференции «Теория операторов. Комплексный анализ и математическое моделирование» в Волгодонске (2007 и 2009 гг.), на VI Международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» во Владикавказе (2008 г.), на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова в Абрау-Дюрсо (2008 г.) и на

Международной школе-конференции молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» в Уфе (2009 г.).

По теме диссертации опубликованы б работ ([41]- [46]). В совместных с А. В. Абаниным статьях [41]- [43] А. В. Абанину принадлежит постановка задач и указание метода исследования, а автору диссертации — проведение исследования и доказательство результатов.

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю профессору А. В. Абанину за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также профессору Ю. Ф. Коробейнику за полезное обсуждение результатов и замечания, способствовавшие улудшению изложения. индуктивном пределе банаховых пространств. С их помощью показано, что в пространстве целых функций [1, оо) нет ни одной АПС вида {еЛ**}£°=1, где |АЛ| / оо, \к е С, к = 1, 2,.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Михайлов, Константин Андреевич, 2010 год

1. Абанин А. В. Характеризация минимальных систем показателей представляющих систем обобщенных экспонент // Изв. Вузов. Математика,- 1991- №2.- С. 3-12.

2. Абанин А. В. О разложении пространств в ряды из подпространств // Актуальные вопросы математического анализа,— Ростов-на-Дону: Изд-во «ГинГо».- 2000,- С. 23-27.

3. Абанин А. В. Индуктивные абсолютно представляющие системы подпространств // Комплексный анализ. Теория операторов. Математическое моделирование.— Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН, 2006, С. 27-34.

4. Абанин А. В. Ультрадифференцируемые функции и ультрараспределения.- М.: Наука, 2007.

5. Абанин А. В., Коробейник Ю. Ф. Абсолютно представляющие системы экспонент в пространстве бесконечно дифференцируемых функций и некоторые их применения // Тезисы Международной конференции памяти Н. В. Ефимова.— Ростов-на-Дону, 1996.— С. 115-116.

6. Абанин А. В., Филипьев И. А. Аналитическая реализация пространств, сопряженных к пространствам бесконечно дифференцируемых функций // Сиб. мат. журн,- 2006,- Т. 47.- №3.- С. 485-500.

7. Абанин А. В., Шершнева О. В. Об одной системе экспонент в пространствах Жеврея // Изв. Вузов. Сев. Кав. регион. Естественные науки.— 2001.— N3,- С. 3-6.

8. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства.- М.: Ин. лит., 1959.

9. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции.— М.: Наука, 1979,- 320с.

10. Жаринов В.В. Компактные семейства ЛВП и пространства РБ и БРЭ // Успехи мат. наук,- 1979,- Т. 34,- N 4,- С. 97-131.

11. Коробейник Ю. Ф. Об одной двойственной задаче I. Общие результаты. Приложения к пространствам Фреше // Матем. сб.— 1975.—-Т. 97.- 139:2,- С. 193-229

12. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // Изв. АН. Сер. матем 1978.- 42,- С. 325-355.

13. Коробейник Ю. Ф. Интерполяционные задачи, нетривиальные разложения нуля и абсолютно представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1980.- Т. 44 №5,- С. 1066-1114.

14. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // УМН.— 1981.— 36:1.- С. 73-125.

15. Коробейник Ю. Ф. О представляющих системах подпространств // Мат. заметки,- 1985.- Т. 38,- №5.- С. 741-755.

16. Коробейник Ю. Ф. Индуктивные и проективные топологии. Достаточные множества и представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. матем.—1986.—Т. 50 — N 3.- С. 539-565.

17. Коробейник Ю. Ф. Абсолютно представляющие семейства и реализация сопряженного пространства // Изв. Вузов. Математика.— 1990.— N2.- С. 68-76.

18. Коробейник Ю. Ф. Абсолютно представляющие системы экспонент с мнимыми показателями в пространствах бесконечно дифференцируемых функций // Докл. РАН.- 2000.- Т. 372.- №1.- С. 17-20.

19. Коробейник Ю. Ф., Мелихов С. Н. Реализация сопряженного пространства с помощью обобщенного преобразования Фурье-Бореля. Приложения// Комплексный анализ и математическая физика,— Красноярск, 1988.- С. 62-73.

20. Коробейник Ю. Ф. , Шерстюков В. Б. Абсолютно представляющие системы в пространствах Фреше. Связь с достаточными множествами // Изв. Вузов. Сев. Кав. регион. Естественные науки.— 1998.— N4,— С. 22-23.

21. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций.— М.: Гостехиз-дат, 1956,- 632с.

22. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент,— М.: Наука, 1976.— 536с.

23. Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент.— М.: Наука, 1983,- 175с.

24. Мелихов С. Н. Об абсолютно сходящихся рядах в канонических индуктивных пределах // Мат. заметки.— 1986.— Т. 39.— N6.— С. 877886.

25. Мусин И. X. О представлении бесконечно дифференцируемых функций рядами экспонент // Мат. заметки.— 2003.— Т. 37.— N3,— С. 402-415.

26. Напалков В. В. Достаточные множества в одном классе целых функций // Вопросы аппроксимации функций комплексного переменного. Уфа: Башкирский филиал АН СССР. Отдел физики и матем., 1980,- С. 110-115.

27. Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства.- М.: Мир, 1967.

28. Себаштьян-и-Силва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Математика,— 1957.— Т. 1.— вып. 1,- С. 60-77.

29. Шерстюков В. Б. Некоторые классы полных систем. Достаточные и эффективные множества: Дис. . канд. физ.-мат. наук.— Ростов-на-Дону, 1999.

30. Шефер X. Топологические векторные пространства М.: Мир, 1971.

31. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения.- М.: Мир, 1969.

32. Boas R. P. Entire functions.— NY: Acad, press, 1954.

33. Bonet J., Braun R. W., Meise R., Taylor B. A. Whitney's extension theorem for nonquasianalytic classes of ultradifferentiable functions // Studia Math.- 1991.- Vol. 99.- P. 155-184.

34. Braun R. W., Meise R., Taylor B. A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis // Results Math.- 1990 — Vol. 17 P. 206-237.

35. Braun R. W., Meise R.} Vogt D. Applications of the projective limit functor to convolution and partial differential equations // Advances in the Theory of Frechet Spaces.- T. Terzioglu (Ed.).- NATO ASI Series С 1989.- Vol. 287.- P. 29-46.

36. Korobeinik Yu. F. On absolutely representing systems in spaces of infinitely different!able functions // Studia Math.— 2000 Vol. 139 — N2.- P. 175-188.

37. Korobeinik Yu. F. Representing systems of exponentials in the spaces of infinitely differentiable functions and extendability in the sense of Whitney // Turkish J. of Math.- 2001.- Vol. 25.- №4.- P. 503-517.

38. Meise R., Taylor B. A. Whitney's extension theorem for ultradifferentiable functions of Beurling type // Ark. Mat.— 1988.— Vol. 26.- P. 265-287.

39. Vogt D. Topics on projective spectra of (LB)-spaces // Advances in the theory of Frechet Spaces. NATO Adv. Sci. Inst Ser. C — Vol. 2871989,- P. 11-27.

40. Абанин А. В., Михайлов К. А. Абсолютно представляющие системы подпространств в пределах проективных спектров (LB)-пространств // Математический форум. Т. 1. Исследования по математическому анализу.— Владикавказ: ВНЦ РАН, 2008.— С. 7-15.

41. Абанин А. В., Михайлов К. А. Об абсолютно представляющих системах подпространств в проективных спектрах // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова,- Ростов-на-Дону, 2008.- С 89-90.

42. Абанин А. В., Михайлов К. А. Достаточные условия для абсолютно представляющих систем подпространств в (.О^б^-спектрах // Математический форум. Т. 3. Исследования по математическому анализу,— Владикавказ: ВНЦ РАН, 2009,- С. 9-21.

43. Михайлов К. А. Абсолютно представляющие системы подпространств в пространствах пробных ультрадифференцируемых функций // Изв. Вузов. Сев. Кав. регион. Естественные науки.— 2009.— N6,- С. 8-11.