Аналоги теоремы Уитни о продолжении для пространств ультрадифференцируемых функций, определяемых многомерным весом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Ляликова, Елена Реомировна

• Ляликова, Елена Реомировна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ляликова, Елена Реомировна

Введение

ГЛАВА I. ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА БЕРЛИНГА

И РУМБЕ

1.1. Пространства пробных функций

1.2. Пространства пробных функций типа

Берлинга и Румье

1.3. Пространства ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и Румье.

ГЛАВА II. ТЕОРЕМА БОРЕЛЯ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВ УЛЬТРАДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ ТИПА БЕРЛИНГА И РУМЬЕ

II.1. Постановка задачи и формулировка основного результата. 50 И.2. Достаточные условия справедливости аналогов теоремы Бореля в терминах пространств целых функций 52 И.З. Доказательство основного результата

ГЛАВА III. ТЕОРЕМА УИТНИ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВ УЛЬТРАДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ ТИПА БЕРЛИНГА И РУМЬЕ

III.1. Теорема о продолжении для классов £{„}. 70 Ш.2. Теорема о продолжении для классов 6(иу

ГЛАВА IV. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ВЫПОЛНЕНИЯ

АНАЛОГА ТЕОРЕМЫ УИТНИ

IV. 1. Специальные семейства многочленов 95 IV.2 Необходимое условие сюръективности оператора сужения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналоги теоремы Уитни о продолжении для пространств ультрадифференцируемых функций, определяемых многомерным весом»

Актуальность темы. В диссертационной работе решается задача о продолжении по Уитни в пространствах ультрадифферен-цируемых функций типа Берлинга и Румье, определяемых при помощи многомерного веса. Пространства бесконечно дифференцируемых функций с ограничениями на рост производных изучались многими математиками и имеют многочисленные приложения (см., например [17], [25], [36], [39], [43]). Известно два основных подхода к заданию ограничений на рост производных: при помощи фиксированной последовательности положительных чисел (подход Данжуа-Карлемана) или через весовую функцию (подход предложен А.Берлингом в [24] и реализован впоследствии Г.Бьорком в [25]). Дальнейшее развитие второй подход получил в работе Р.Брауна, Р.Майзе и Б.А.Тейлора [30]. В отличие от Г.Бьорка, который брал полуаддитивную сверху функцию N вещественных переменных, они рассмотрели, с одной стороны, более узкий класс весовых функций, имеющих вид о;(|а;|), х £ К7*, но, с другой стороны, ослабили требование полуад дитивности и сверху, заменив его следующим условием:

3К > 1: ш(х + у) < К{ 1 4- ш(х) + и(у)) для всех х > 0, у > 0.

Пространства, исследуемые в [30], задаются при помощи весовых последовательностей вида {пй;}^! и {—о;}^, и называются проп странствами ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и Румье соответственно. В частном случае ш(г) — гр пространство, задаваемое последовательностью {— о;}^, совпадает с проп странством Жеврея порядка которое, как известно, используР ется в математической физике и теории тригонометрических рядов. Недавно А.В.Абаниным и Е.С.Тищенко [2], [15] (см. также [16]) была исследована более общая, чем в [30] ситуация, когда пространства определяются с помощью произвольных (возрастающих или убывающих по индексу) последовательностей весовых функций зависящих от одной переменной. Случай, когда весовые функции зависят от переменных ., |жлг|, а пространства задаются последовательностями как в [2], [15], [16] не рассматривался. Существенным отличием изучаемых нами пространств от [2], [15], [16], [30] является то, что рост производных одного и того же порядка может удовлетворять отличным друг от друга весовым оценкам.

С другой стороны, в последнее время возрос интерес к решению задач типа Бореля и Уитни о продолжении в различного рода пространствах (см., например, [5], [6], [8]-[10], [27], [28], [32], [33], [36], [42]).Эти задачи возникли на основе следующих двух теорем:

Теорема Бореля (1895г.; см. [29]) Для любой последовательности {ха}а€к0 вещественных или комплексных чисел существует бесконечно дифференцируемая функция / одной вещественной переменной с = хау Уа € N0.

Теорема Уитни (1934г.; см. [44]) Пусть К ф 0 — компакт в и (/а)а€1Члг —последовательность непрерывных на компакте К функций (иными словами, джет). Следующие утверждения эквивалентны: г) 3/ € С°°(КЛГ): /<в>|* - /*, Уа € и) Ут € N0 и а € N9 равенство равномерно пох,у £ К, когда \у — х\ —► 0. Интерес к этим проблемам обусловлен, в частности, тесной взаимосвязью решения задач о продолжении с задачей о разрешимости различных функциональных уравнений и о разложении в ряды экспонент (см., наприм., [8]). Ю.И.Любич и В.А.Ткаченко в [9] доказали, что для квазианалитических классов, определяемых при помощи последовательности положительных чисел аналог теоремы Бореля места не имеет. В то же время, как было установлено в ряде упомянутых выше работ, в случае неквазианалитических классов при дополнительном ограничении на {гап}^0 аналоги теоремы Бореля справедливы. В частности, в [5] дано прямое построение функций /(х) по значениям ее производных в нуле для классов Жеврея. Для пространств, определяемых последовательностями {пи;}^ и {—о?}^, где ш— одномерная весовая функция задачи Бореля и Уитни рассмотрели Дж.Бонет, Р.Браун, Р.Майзе, Б.А.Тейлор в работах [27], [28], [42]. Они получили критерий, дающий полную характеризацию пространств ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и Румье, для которых такие аналоги имеют место. Необходимо отметить, что достаточная часть критерия справедлива для любого непустого компакта К (К—компакт из теоремы Уитни), а необходимая часть выполняется при дополнительном ограничении, что компакт К—выпуклый. А.В.Абаниным в работах [1], [21] было установлено, что вышеупомянутый критерий справедлив в случае компактов произвольной структуры.

В связи с вышеизложенным представляется актуальной задача о распространении результатов, полученных в [30], [2], [15] на случай пространств ультрадифференцируемых функций, задаваемых последовательностями многомерных функций {(*;„}, неубывающих и невозрастающих по п и решение проблем Бореля и Уитни о продолжении в пространствах, определяемых последовательностями вида {—о;}^!, где а;—многомерный вес.

7Х

Цели работы. В диссертационной работе исследованы следующие аспекты сформулированных выше задач:

-изучение свойств пространств ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и Румье, построенных по произвольной последовательности многомерных весовых функций; описание топологически сопряженных к ним, получение аналога теоремы типа Пэли-Винера-Шварца;

-получение необходимых и достаточных условий на многомерный вес о;, при которых для соответствующих пространств ультрадифференцируемых функций справедливы аналоги теорем Бореля и Уитни.

Методы исследования. В диссертационной работе, в основном, используются классические методы теории обобщенных функций, функционального анализа и теории целых функций. При исследовании аналогов теорем Бореля и Уитни существенную роль играют методы теории двойственности и, в частности, переход к сопряженной задаче.

Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти дальнейшее применение, в задачах разрешимости уравнений типа свертки и в вопросах разложения ультрадифференцируемых функций в ряды экспонент.

Апробация работы. Основные результаты неоднократно докладывались на научном семинаре кафедры математического анализа Ростовского государственого университета (руководитель — профессор Ю.Ф.Коробейник), на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу, посвященной 90-летию Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо, сентябрь 2000г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, список которых приведен в конце литературы. Результаты главы I опубликованы в [45], [46], глав II и III— в [48], [49], главы IV— в [47]. В совместной с научным руководителем работе [45] по результатам главы I А.В.Абаниным были предложены условия на многомерный вес, при которых удается обобщить результаты работ [2], [15], [30], а само это обобщение и все результаты получены автором диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 49 наименований. Объем диссертации — 115 страниц машинописного текста.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ляликова, Елена Реомировна, 2003 год

1. Абанин A.B. Характеризация классов ультрадифференцируе-мых функций, допускающих аналог теоермы Уитни о продолжении Ц ДАН. 2000. Т.371. т. С. 151-154.

2. Абанин A.B., Тищенко Е.С. Пространства ультрадиффе-ренцируемых функций и обобщение теоремы Пэли-Винера-Шварца // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1997. т. С. 5-8.

3. Владимиров B.C. Уравнения математической физики И М.:Наука. 1988. 512с.

4. Владимиров В.С, Методы теории функций многих комплексных переменных // М.:Наука. 1964.

5. Джанашия Г.А. О задаче Карлемана для класса функций Жев-ре // Доклады АНСССР. 1962. Т.145. №2. С. 259-262.

6. Зобин Н.М. Теоремы продолжения и представления для пространств типа Жеврея // ДАН СССР. 1973. Т.212. №6. С. 1280-1283.

7. Коробейник Ю.Ф. Об одной двойственной задаче.1. Общие результаты. Приложения к пространствам Фреше // Матем. сб. 1975. Т.97. т. С. 193-229.

8. Любич Ю.И., Ткаченко В.А. О восстановлении бесконечно дифференцируемых функций по значениям их производных в нуле // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков. 1969. вып. 9. С. 134-141.

9. Митягин B.C. О бесконечно дифференцируемой функции с заданными значениями производных в точке // Доклады АН СССР. 1961. Т.138. т. С. 289-292.И. Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства // М.: Мир. 1967. 266 с.

10. Робертсон А.П., Робертсон В.Дж. Топологические векторные пространства // М.:Мир. 1967. 257с.

11. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ // М.: Мир. 1973. 496 с.

12. Себаштьян-и-Силва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Периодический сборник переводов иностранных статей, 1957, Т.1, №1.

13. Тищенко Е.С. Пространства ультрадифференцируемых функций и обобщение теоремы Пэли-Винера-Шварца // Деп. в ВИНИТИ, 09.09.98, №2767 D 98 - 38с.

14. Тищенко Е.С. Пространства ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и абсолютно представляющие системы экспонент в них // Диссертация на соиск. уч. степ. канд. ф.-м.н. Ростов-на-Дону. 2002. 124с.

15. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Том 1. Теория распределений и анализ Фурье // М.: Мир. 1986.

16. Шефер X. Топологические векторные пространства // М.: Мир. 1971

17. Эдварде Р. Функциональный анализ // М.: Мир. 1969.1071 с.

18. Abanin A.V, On certain criteria for weak sufficiency // Notes 40(1986). P. 757-764.

19. Abanin A.V. On Whitney's extension theorem for spaces of ultradifferentiable functions // Math. Ann. 2001. V.320. P. 115126.

20. Abanin A.V. Thick spaces and analytic multiplicators // Izv.Vysh.Ucheb.Zaved. Sev.-Kav. Region. Estestv.nauki. 4(1994). P. 3-10.

21. Baernstein II,A. Representaition of golomorphic functions by boundary integrals // Trans. Amer. Math. Soc. 160(1971). P. 27-37.

22. Beurling A. Quasi-analyticity and general distributions /1 Lectures 4 and 5. AMS Summer Institute. Stanford. 1961.

23. Bjorck G. Linear partial differential operators and generalized distributions 11 Ark. Mat. 1965. V.6. P. 351-407.

24. Boas R.P. Entire functions // New York. Academic. Press. 1954.

25. Bonet J., Braun B.W., Meize R., Taylor B.A. Whitney's extension theorem for non-quasianaitic classes of ultradifferentiable functions // Stud. Math. 99(1991). P. 155-184.

26. Bonet J., Meize R., Taylor B.A. Whitney's extension theorem for ultradifferentiable functions of Roumieu type // Proc. R. Ir. Acad. 89A(1989). P. 53-66.

27. Borel E. Sur quelques points de la th è orie des fonctions H Ann.Sci.Ec.Norm.Super. IV.Ser. 12(1895). P. 9-55.

28. Braun R.W., Meise R., Taylor B.A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis // Result. Math 17(1990). P. 206-237.

29. Bruna J. An extension theorem of Whitney type for non quasi-analytic classes of functions // J.London Math. Soc.(2) 22. 1980. P. 495-505.

30. Carleman T. Leçons sur les fonctions quasi-analytiques // Raris. 1926.

31. Carleson L. On universal moment problems // Math. Scand. 9(1961). P. 197-206.

32. Chou C.-C. La transformation de Fourier complexe et l'équation de convolution // LMN 325, Springer, Berlin-Heidelberg-New York 1973.

33. Edwards R.E. Functional analysis: Theory and aplications H Holt. Rinchart and Winston. Inc. New York. 1965.

34. Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables H New York: Whiley-Interscience Publ. 1970.

35. Haslinger F. Weighted spaces of entire functions // Indiana Univ. Math. J. 1986. V.35. M. P. 193-208.

36. Hestenes M.R. Extension of the range of a differentiate function H Duke Math.J.8(1941). P. 183-192.

37. Komatsu H. Ultradistributions /. Structure theorems and a characterization // J. Fac. Sei. Tokyo Sec. IA 20 (1973), P. 25105.

38. Lions J.L., Magenes E. Problèmes aux limites non homogènes et applications // Vol. 3. Dunod, Paris 1970.

39. Malgrange B. Ideals of differentiable functions // Oxford Univ. Press.(1966).

40. Meize R., Taylor B.A. Whitney's extension theorem for ultradifferentiable functions of Beurling type // Ark. Mat. 26(1988). P. 265-287.

41. Eoumieu С. Sur quelques extensions de la notion de distributions U Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. Paris. 3 Ser. 77 (i960), P. 41-121.

42. Whitney H. Functions differentiable on the boundary of regions Ц Ann. Math. 35 (1934) P. 482-485.Список работ по теме диссертации.

43. Абанин A.B., Ляликова Е.Р. Пространства улътрадифферен-цируемых функций с ростом производных, определяемым многомерными весами // РГУ. Ростов н/Д. 1999. 28с. Деп. в ВИНИТИ 4.08.99. ДО2563-В99.

44. Ляликова Е.Р. Пространства пробных функций типа Бер-линга и Румье с учетом роста по переменным // РГУ. Ростов н/Д. 1997. 29с. Деп. в ВИНИТИ 6.08.97. ДО2625-В97.

45. Ляликова Е.Р. Об аналогах теорем Бореля и Уитни // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2002. №1. С. 28-30.

46. Ляликова Е.Р. Теоремы Бореля и Уитни в пространствах бесконечно дифференцируемых функций, определяемых многомерными весами II Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2002. т. С. 27-29.

47. Ляликова Е.Р. Об одном аналоге теоремы Уитни // Международная школа-семинар по геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н.В.Ефимова. Абрау-Дюрсо. 2000. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. С. 135-137.