К теории спаривания носителей тока в купратах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Малахов, Михаил Александрович

• Малахов, Михаил Александрович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Малахов, Михаил Александрович

Введение ...................................................... 4

Глава 1. Симметрия сверхпроводящей щели в однозонной модели Хаббарда ............................................... 11

1.1. Линеаризация уравнения БКШ............................ 15

1.2. Решения линеаризованного уравнения БКШ при различнвгх параметрах 30НВ1 проводимости. Приближение случайнвгх фаз ... 18

1.3. Корреляции между типами спаривания и положениями максиму-

мов реалвной части спиновой восприимчивости в зоне Бриллюэна .................................................. 25

Глава 2. Эффективное кулоновское взаимодействие в купратах 31

2.1. Диэлектрический формализм Киржница-Гинзбурга.......... 31

2.2. Вв1вод формулв1 для зарядовой восприимчивости вне рамок приближения случайнв1х фаз и схемв1 Хаббард-1............. 32

2.3. Оценка параметров электрон-фононного взаимодействия в купратах по кинкам в законе дисперсии квазичастиц......... 37

2.4. Расчет спектра плазмонов и смягчение продолвнвгх фононнвгх мод 42

2.5. Экранированное кулоновское взаимодействие с учетом электрон-

фононного взаимодействия в двщочно-допированнвгх купратах . 46

Глава 3. Динамическая спиновая восприимчивость в обобщенной t J модели ................................................ 52

3.1. Уравнения движения для функций Грина с учетом трехцентро-

ВВ1Х членов........................................... 53

3.2. Поправки к закону дисперсии квазичастиц и к параметру щели,

обусловленная трехцентровв1ми членами................. 58

3

3.3. Сопоставление с данными по рассеянию рентгеновских лучей и нейтронов для электронно-допированных купратов............ 63

Глава 4. Расчет дисперсии сверхпроводящей щели в дырочно-допированных купратах .................................... 71

4.1. Уравнение БКШ с одновременная учетом спин-флуктуационно-

го, суперобменного, кулоновского и электрон-фононного механизмов .................................................. 72

4.2. Величина и угловая зависимость сверхпроводящей щели от волнового вектора........................................ 77

Заключение................................................... 80

Список публикаций ........................................... 83

Список литературы ........................................... 84

Приложение А. Расчет функции Грина, связанной с трехцентровыми корреляциями......................................... 96

4

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «К теории спаривания носителей тока в купратах»

Актуальность темы исследования

Несмотря на значительные успехи в исследованиях необычной сверхпроводимости в купратах [7-10], они до сих пор привлекают повышенное внимание как экспериментаторов, так и теоретиков. Это связано со сложностью исследуемых материалов. Совершенствуются методы фотоэлектронной спектроскопии с угловым разрешением (ARPES). Развиты методы спектроскопии на основе неупругого рассеяния рентгеновских лучей (RIXS), позволивших получить информацию о коллективных спиновых возбуждениях при промежуточных значениях волновых векторов, что существенно дополнило сведения, полученные ранее методами магнитного резонанса и неупругого рассеяния нейтронов (INS). Перед исследователями в этой области стоит сложная фундаментальная задача по построению теории спаривания носителей тока, способной объяснить огромный массив экспериментальных данных для купратов.

Интерес к изучению высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП) связан также с возможностью практического применения в различных устройствах на их основе: кабели, магниты, аккумуляторы, электромоторы и др., работающие при температурах, выше температуры кипения жидкого азота. На данный момент максимальная критическая температура в купратах достигается в соединении HgBa2Ca2Cu3O8+a; и равна 133 К при атмосферном давлении, и достигает 165 К под дополнительным давлением [8]. Это свидетельствует о том, что возможна сверхпроводимость и при комнатной температуре. В этом аспекте теоретические работы по выяснению механизмов спаривания являются актуальными. Так, недавно была найдена сверхпроводимость в соединении серы и водорода с критической температурой 203 К при давлении 90 ГПа [11]. При этом такой результат нельзя назвать случайным, поскольку высокая критическая температура в этом веществе была предсказана на основе электрон-фононного механизма спаривании электронов через поле фононов в металлах и современ

5

ных теоретических методов расчета структуры вещества.

Стоит отметитв, что высокая критическая температура не является единственная свойством ВТСП купратов, делающим этот класс соединений интересным для изучения. Необычные свойства, связанные с зависимостью параметра порядка от волнового вектора, возникновением волн зарядовой плотности и особенностями спиновых возбуждений, открывают перспективы использования купратов в элементах микро- и нано- электроники. Например, в литературе в последнее время активно обсуждается создание топологических сверхпроводников [12-14], которые могут быть использованы при построении квантовых компьютеров. Таким образом, фундаментальная задача о механизме ВТСП в купратах является актуальной для современной науки.

Степень разработанности темы исследования

Механизм необычной сверхпроводимости в купратах давно и широко обсуждается в литературе [8, 15-18]. Родительские соединения купратов являются антиферромагнетиками и ток не проводят. В сверхпроводящее состояние эти соединения могут переходить только при допировании дырками или электронами и только в опреленном диапазоне концентрации носителей тока. При допировании дальний магнитный порядок разрушается, соединение становится парамагнитным и проявляет металлические свойства. Несмотря на это, коллективные спиновые возбуждения [19-21] даже при оптимальном допировании свидетельствуют о сохранении суперобменного взаимодействия как у локализованных спинов меди. С другой стороны, для квантовой теории необходимо иметь представление о квазичастицах, переносящих взаимодействие между носителями тока (т. е. взаимодействие через спиновые флуктуации). Многие авторы [8, 9, 15] сходятся в том, что суперобменный и спин-флуктуационный механизмы спаривания являются основными в купратах. Одним из главных аргументов считается то, что в случае суперобменного и спин-флуктуационного взаимодействия рассчитанная зависимость щели от волнового вектора имеет d- тип симметрии, что соответствует экспериментальным данным. Однако вопросы все еще оста

6

ются. Не удается пока объяснить всех особенностей поведения этих систем в различных экспериментальных условиях. Есть работы, подчеркивающие роль электрон-фононного взаимодействия в формировании сверхпроводящей щели [22]. Прежде всего, это работы по расчету изотоп-эффекта [23]. Не вполне понятна роль кулоновского взаимодействия в купратах [17, 24, 25]. Более того, не вполне ясно, как выйти за рамки приближения сплошной среды и построить функцию диэлектрической проницаемости с учетом периодичности решетки.

Известно, что значения критических температур дырочно и электронно допированных купратов сильно отличаются. Это обстоятельство трудно объяснить с позиций о доминировании суперобменного взаимодействия спинов в этих соединениях. Не ясно также, как объяснить асимметрию в спектре спиновых возбуждений, обнаруженных недавно методами RIXS. Максимальная частота их в электронно допированных купратах оказалась больше, чем у дырочных [19]. С точки зрения доминирования спин-флуктуационного механизма, ситуация должна быть обратной. В этой связи представляется необходимым попытаться понять особенности коллективных спиновых и зарядовых возбуждений в купратах с учетом современных экспериментальных данных о строении зон проводимости в этих соединениях.

Таким образом, в отличии от металлов, где сверхпроводимость возникает в результате притяжения электронов через поле фононов, в купратах не получается выделить одно доминирующее взаимодействие, пренебрегая остальными. В связи с наблюдением изотопического эффекта, необходимо учитывать притяжение электронов через поле фононов. Большую роль играет суперобменное взаимодействие спинов на позициях меди и взаимодействие носителей через спиновые флуктуации. Кроме того, нельзя пренебрегать экранированным кулоновским отталкиванием спаривающихся электронов. Поскольку корреляционная длина куперовской пары в купратах значительно меньше, чем в обычных металлах, представляется необходимым выйти за рамки приближения сплошной среды при записи фурье-образа кулоновского взаимодействия носителей тока.

7

Цели и задачи диссертационной работы

Проблема поиска решений интегрального уравнения на энергетическую щель при одновременном учете указанных выше взаимодействий достаточно сложная и потребовала предварительной подготовки. На примере модели Хаббарда была освоена методика решения линеаризованного уравнения БКШ, что позволило определять симметрию параметра порядка в случае произвольного ядра интегрального уравнения БКШ и сильно упростило итерационное решение уравнения на щель. Для контроля правильности решений мы детально сравнивали их с результатами других авторов. Вместе с тем, результаты решения линеаризованного уравнения БКШ, представленные в главе 1, имеют определенный физический интерес для качественного понимания причин появления тех или иных типов симметрии спаривания при изменении концентрации носителей и параметров зоны проводимости.

Во второй главе диссертации выводится формула для зарядовой восприимчивости дырочно допированных купратов, используя вместо приближения Хаббард I метод Мори в сочетании с приближением случайных фаз и с учетом электрон-фононного взаимодействия. Уточняется параметр высокочастотной диэлектрической проницаемости по экспериментальным данным о частоте плазмонов. Оцениваются параметры электрон-фононной связи по кинкам в законе дисперсии квазичастиц и по особенностям смягчения продольных фононных мод. Используя формализм диэлектрической проницаемости, предложенный Киржницем и Гинзбургом, рассчитывается эффективный потенциал кулоновского взаимодействия носителей тока.

В третьей главе приводится вывод формулы для динамической спиновой восприимчивости электронно допированных купратов с учетом трехцентровых членов в гамильнониане обобщенной t J - модели. Рассчитанный спектр коллективных спиновых возбуждений сопоставляется с данными по неупругому рассеянию нейтронов и рентгеновских лучей.

В главе 4 приводятся результаты расчета зависимости сверхпроводящей

8

щели от волнового вектора с одновременная учетом суперобменного, электрон-фононного, спин-флуктуационного и кулоновского взаимодействий. Определяется параметр спин-флуктуационного взаимодействия и исследуется природа прохождения высших гармоник зависимости щели от волнового вектора вдоль контура Ферми.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, дополняют знания о роли различных взаимодействий между носителями тока в купратах и влиянии этих взаимодействий на симметрию сверхпроводящей щели. Полученные в данной работе результаты важны для построения микроскопической теории спаривания носителей тока в купратах. Кроме того, они могут быть полезными для теоретического описания эффектов, связанных с магнитными и зарядовыми возбуждениями в этих соединениях.

Положения, выносимые на защиту

* В рамках модели Хаббарда с использованием формализма слабой связи получены решения линеаризованного уравнения БКШ при различных значениях химпотенциала и параметров зоны проводимости. Доказано, что в общем случае возможны решения s-, р-, d- и g- типов. Найдены корреляции между типами спаривания и положениями максимумов реальной части спиновой восприимчивости в зоне Бриллюэна на контуре Ферми. [All

* Получено аналитическое выражение для зарядовой восприимчивости с учетом пространственной дисперсии диэлектрической проницаемости и косвенного взаимодействия через продольные оптические колебания кислородов в плоскости СиО2- Рассчитанный спектр плазмонов и особенности смягчения фононных мод находятся в качественном согласии с экспериментальными данными. Параметры электрон-фононной связи скорректированы с экспериментальными данными о "кинках" в дисперсии квазичастиц. Найдено, что кулоновское взаимодействие не может выступать в

9

качестве доминирующего для объяснения ф.2_у2 - типа спаривания в купратах [А2, АЗ, А4].

* На основе t — J- модели с учетом трехцентровых корреляций предложена аналитическая формула для динамической спиновой восприимчивости электронно-допированнв1х купратов с учетом трехцентровых членов. Показано, что высокочастотное поведение коллективных спиновых возбуждений главнв1м образом определяется значениями параметров зонв1 проводимости и практически не зависит от параметра обменной связи спинов меди. Найдено, что в формировании спинового отклика в области Q = (7г,7г) определяющую ролв играют параметрв1 спиновой и сверхпроводящей щелей, а также корреляционнвю эффектвц связаннвю с трехцен-тровв1ми членами. [А5]

* Решенв1 уравнения БКШ при одновременном учете кулоновского, суперобменного, электрон-фононного и спин-флуктуационного взаимодействий носителей тока для дырочно допированных купратов с индексом допирования близким к оптималвному. Рассчитанная дисперсия сверхпроводящей щели вдолв контура Ферми соответствует эксперименталвнвш дан-НВ1М. Доказано, что ввюшие гармоники в щели главнвш образом обусловлена: спин-флуктуационным и электрон-фононными взаимодействиями, причем вклад последнего доминирует. [А6]

Степень достоверности и апробация результатов Достоверность результатов работы обеспечивается согласованностью выводов с имеющимися экспериментальными данными, подробно задокументированным выводом излагаемых формул, многократной перепроверкой как аналитических, так и численных результатов работы, публикациями в международных рецензируемых научных журналах.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конфе

ренциях:

10

1. XIV всероссийская школа-семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества (СПФКС-14) памяти академика А. М. Илвина. Екатеринбург, 20-26 ноября 2013 г.

2. Международная конференция "XXXVII Совещание по физике низких температур" Казани, КФУ 28 июня - 4 июля 2015 г.

3. XV Международная конференция "Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости" ФПС-15, г. Малаховка-Москва, 5-9 Октября 2015 г.

Публикации Материалы диссертации опубликованы в 9-и печатных работах, из них 6 статей в рецензируемых журналах [Al, А2, АЗ, А4, А5, А6], входящих в перечень ВАК, и 3-х тезисов докладов.

Личный вклад автора Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Численные решения уравнения БКШ в приближении слабой связи, приведенные в Главе 1, проводились во время стажировки в Рурском университете Бохума (Германия) параллельно с аспиранткой института Нильса Бора (Копенгаген) А. Т. Romer. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами. Аналитические результаты, приведенные в главах 2 и 3, получены совместно с научным руководителем, а численные расчеты, построение графиков и сопоставление их с экспериментальными данными осуществлено автором. Все решения, представленные в 4-й главе диссертации, получены лично автором.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения, библиографии и приложения. Общий объем диссертации 100 страниц, включая 23 рисунка. Библиография включает 111 наименований на 13-и страницах.

и

Глава 1

Симметрия сверхпроводящей щели в однозонной модели Хаббарда

На данный момент известно довольно много соединений, в которых наблюдается необычная сверхпроводимость. Главной отличительной особенностью купратов является наличие медь-кислородных плоскостей в элементарной ячейке. Элементарные ячейки для двух типов купратов изображены на рис. 1.1. Экспериментально установлено, что за явление сверхпроводимости ответственны именно плоскости СиО. Поэтому, несмотря на существенное различие общей химической формулы, в ряде задач можно ограничится рассмотрение только этих плоскостей, не конкретизируя о каком именно соединении мы говорим.

На рис. 1.2 приведена фазовая диаграмма купратов, построенная на основе результатов многочисленных экспериментов. Родительские соединения ВТСП купратов являются диэлектриками. При температуре ниже температуры Нееля спины меди упорядочены антиферромагнитно (рис. 1.1). При допировании дырками или электронами плоскостей СиО, дальний антиферромагнитный порядок разрушается и система может переходить в сверхпроводящее состояние. Ряд исследовательских групп считают, что однозонная модель Хаббарда содержит основные элементы, необходимые для описания необычной сверхпроводимости [9, 26-29]. В этой связи она детально анализировалась для понимания возникновения необычной сверхпроводимости [30-35].

Для трехмерной парамагнитной системы, близкой к антиферромагнитной нестабильности, сверхпроводимость, вызванная антиферромагнитными спиновыми флуктуациями вблизи половинного заполнения зоны, была исследована в ранних работах Скалапино и др. [27]. Было установлено, что кулоновское отталкивание между двумя электронами может привести к возникновению спаривания носителей тока из-за близости системы к антиферромагнитной неста-

12

Си О La Nd

Рис. 1.1. Структура родительских соединений для дырочно допированного сверхпроводника Ьа2-жёгд;СиО4 и электронно допированного сверхпроводника Nch-xCexCuOzt, а также структура плоскости СиО в этих кристаллах. Рисунок из обзора [8]

Dopant Concentration л

Рис. 1.2. Фазовая диаграмма электронных и дырочных купратов из обзора [18]

13

бильности. Симметрия сверхпроводящей щели тесно связана со структурой парамагнитной спиновой восприимчивости, а также чувствителвна к форме поверхности Ферми. В работе Скалапино и др. [27] бвмо найдено, что решение с симметрией типа <Щ_у2 преобладает вблизи половинного заполнения зонв1, как следствие пика спиновой восприимчивости на антиферромагнитном волновом векторе Q = (7г,7г,7г), в то время как в пределе оченв малого заполнения зо-НВ1 получается спин-триплетное решение р— типа по причине близости пика восприимчивости к вектору q = (0,0,0). Аналогичная аргументы также распространяются на двумерную модель, где соответствующие волновые вектора равны (7г,7г) и (0,0). После выхода работы [27], спин-флуктуационное спаривание в двумерной модели Хаббарда широко исследовалось как аналитическими, так и численными методами. Чувствительность щели к форме поверхности Ферми обуславливает очень богатую фазовую диаграмму со множеством возможных типов симметрии параметра порядка. В частности, была отмечена возможность реализации триплетной сверхпроводимости в довольно широком диапазоне допирования при малых 7/ [36]. В работе [35] было найдено, что в случае близости сингулярности ван Хова к уровню Ферми, наблюдается усиление триплетной сверхпроводимости по сравнению с синглетными решениями при больших значениях интеграла перескока между ближайшими соседями. Более того, в пределе слабой связи было найдено, что рассчитанная фазовая диаграмма для однозонной модели Хаббарда (при 7' = 0) довольно устойчива при учете дальнодействующего кулоновского взаимодействия [37].

Основной интерес исследователей к возможным угловым зависимостям сверхпроводящей щели на ферми-поверхности в купратах часто ограничен случаями допирования вблизи половинного заполнения. Считается, что в умеренно допированных электронами или дырками купратах доминирует <Щ_у2 [38, 39] тип симметрии щели. Имеются однако экспериментальные данные, свидетельствующие о том, что дисперсия щели не всегда описывается простейшей гармоникой вида Дь = A(cos(^<3') — cos^a)). Щель может достигать максимума

14

не в антинодальноми направлении, как должно бв1тв в случае преобладающей гармоники отмеченного типа, а в других точках на поверхности Ферми. Так, в электронно-допированных соединениях такая немонотонная дисперсия щели наблюдаласв методами рамановской спектроскопии в NCCO [40] и методом фотоэмиссии в PLCCO [41]. Положения максимумов щели коррелирует с положениями так назв1ваемв1х горячих точек, т.е. сегментов ферми-поверхности, соеди-неннвж вектором Q = (7г,7г). Эта корреляция указвюает в полвзу механизма спаривания, обусловленного антиферромагнитнвши спиноввши флуктуациями, в котором потенциал спаривания максимален именно на векторе Q. В случае дв1рочно-допированнв1х купратов эксперимента: по фотоэмиссии свидетельствуют об усилении щели в антинодальном регионе [39]. Это обычно связывается с влиянием псевдощели, поскольку большинство купратов в недодопированном режиме имеют немонотонную зависимость эффективной щели, при этом анти-нодальная щель сохраняется даже выше 7^ [39]. Однако есть сообщения [42] о том, что в при дырочном допировании близком к максимально-

му, есть сильное отклонение от зависимости cos(Ay(z) — cos(A^a). Это указывает на то, что немонотонность в дисперсии сверхпроводящей щели возможно вызвана не только псевдощелью.

В самом деле, корреляции симметрии сверхпроводящей щели с особенностями формы поверхности Ферми и вида потенциала спаривания является важным результатом исследования в изучении механизма спаривания в пределе слабой связи. В связи с этим очень важно изучить такого рода корреляции не только вблизи половинного заполнения, но также для всей фазовой диаграммы однозонной модели Хаббарда. Несмотря на предыдущие усилия в этом направлении [30, 31, 35, 36, 43-45], не хватает систематического описания однозонной модели слабой связи в модели Хаббарда, особенно в промежуточном пределе допирования и > 0.5.

В этой главе мы исследуем спин-флуктуационный механизм спаривания в рамках однозонной модели Хаббарда с использованием приближения случай

15

ных фаз (ПСФ) для функций восприимчивостей. Предложена: методы решения уравнения Бардина-Купера-Шриффера (БКШ) при произвольном виде фурье-образа энергии взаимодействия электронов [43, 46-49]. Концентрируясь на менее изученом интервале допировании, мы выясним как форма поверхности Ферми влияет на дисперсию сверхпроводящей щели. В частности мы исследовали, как возможная симметрия щели зависит от допирования и отношения интегралов перескоков между вторыми и ближайшими соседями С/7. Наибольший интерес для нас представляет исследование корреляций между симметрией параметра сверхпроводящего порядка и положением максимумов реальной части спиновой восприимчивости в зоне Бриллюэна.

1.1. Линеаризация уравнения БКШ

Мы рассматривали модель Хаббарда на квадратной двумерной решетке:

Я = + (1.1)

к,<т k,k',q,<y

где Sk = —2t[cos(Ay) + cos(^)] — 4С cos(Aya) cos(A^a) — ц, t - интеграл перескока между ближайшими соседями, и С < 0 - интеграл перескока между вторыми соседями. В дальнейшем для простоты полагаем t = 1 и ограничимся областью с отрицательными значениями С. С - отталкивающее кулоновское взаимодействие.

Спин-флуктуационное взаимодействие может объединить два электрона с противоположным или одинаковыми спинами в куперовскую пару. Спаривающее взаимодействие выводится методом диаграммной техники [27, 50]. В случае противоположных спинов спаривающихся электронов в пузырьковых и лестничных диаграммах содержится четное число элементов, в случае одинаковых спинов - нечетное. Выражения для потенциалов взаимодействия имеют вид [27]

16

чту 2 -popp.sp _ ГГ I sp ^к,к 2 ^к-к г" Л - -уХк-к-. (12)

р2 i-nsamesp sp Гк,к' = 2 Хк-к' Г- „Ь (1.3)

где спиновая и зарядовая восприимчивости определяются формулами:

sp _ xo(q) l-Kxo(q)' (14)

ch Xo(q) * l + PXo(q)' (1.5)

Голая восприимчивости определяется функцией Линдхарда на нулевой частоте:

№k+g) - /Ы

^k ^k+q

Xo(q,^ =

(1.6)

Уравнение Бардина-Купера-Шриффера (БКШ) на сверхпроводящую щель име

ет вид

1 А'Ю

ДбД _____^к

к JV к,к s/t

к' ^к'

(1.7)

где ] Д^]2 + - энергия боголюбовских квазичастиц.

При расчете сверхпроводящей щели потенциал, определяемый выражениями (1.2) и (1.3), должен быть симметризован или антисимметризован, поскольку потенциал синглетного спаривания должен быть четным по к, а триплетного -

нечетным: Гк,к=^(ЩГ + Г1Чу), (1.8) ynt /-rnsamesp ynsamesp\ /i ^-k,k' — 2(^к,к' --*--k,k')'

Заметим, что потенциал, входящий в уравнение (1.7), может входить как в син-

глетной (четной по к), так и триплетной (нечетной по к) формах. Эта симметрия напрямую влияет на симметрию щели: Д^ = Д^ и Д^ = —Д^.

Для определения возможных решений уравнения БКШ, мы использовали процедуру линеаризации, полагая что величина щели Дь мала и выполняется

17

условие ]sk]- Тогда переходя в уравнении (1.7) от суммирования по зоне

Бриллюэна к интегрированию, запишем уравнение на щелв в виде:

tanh(

Щк']

2АщТ

(1.10)

Наиболвший вклад в значение этого интеграла вносит узкая области зоны Бриллюэна вблизи дуг Ферми. Поэтому ограничимся лишь областью, где ]ек'] < щ. Здесь Sc - некоторая небольшая критическая величина, и затем перейдем к новым переменным интегрирования: а<7/^<7/^ = <7/(7/^- Здесь / - координата на дуге Ферми, * переменная, перпендикулярная соответствующему участку дуги Ферми. Так как поверхность Ферми определяется условием Sk = 0, можно сделать еще одну замену переменной: <7е^' = ]ис]<7^1щ где

<9^к' + <9еь'

^к' =

(1.11)

Тогда уравнение (1.10) записывается в виде

А7

1 '

FS

дб/t

Ес

2]Sk']

-Ес

tanh(

Щк']

(1.12)

Выполняя интегрирование по энергии и переходя от интегрированию по дугам

Ферми к суммированию, можно свести уравнение (1.12) к матричному уравне

нию

МА^ = АА^.

(1.13)

—s /t

Здесь А - вектор, компонентами которого являются значения щели на дуге

s/t

Ферми А^ . Элементы матрицы Т7 имеют вид

ТТ/у =

(1.14)

Таким образом, собственный вектор матрицы Т7, имеющий наибольшее собственное значение А, является решением линеаризованного уравнения на щель вблизи поверхности Ферми.

18

Решения, соответствующие синглетному спариванию, классифицируются по одному из четырех возможных неприводимых представлений точечной группа! симметрии зоны Бриллюэна:

: s* = cos(^a) + cos(A^a), (1-15)

Вщ : = cos(Aya) — cos(^a), (1.16)

= (cos(^a) — cos(A^a)) sin(^a) sin(^a), (1-17)

B29 : = sin(^a)sin(^a). (1.18)

В случае триплетного спаривания, на двумерной квадратной решетке возможен только один класс триплетных решений, соответствующих представлению Еф в котором низшая гармоника имеет вид

p = sin(Aya). (1.19)

Однако в результате решения мы нашли, что при триплетном спаривании преобладает более высокая гармоника вида

р' = (cos(Aya) — cos(A^a)) sin(Aya). (1.20)

Преобладающий тип симметрии в модели Хаббарда зависит от формы дуг Ферми, определяемой значением перескока носителей тока между вторыми соседями Р и концентрации носителей тока %.

1.2. Решения линеаризованного уравнения БКШ при

различных параметрах зоны проводимости.

Приближение случайных фаз

Рассмотрим поверхность Ферми и спиновую восприимчивость во всем диапазоне допирования при значении Р = —0.35, соответствующего купратам. В отличии от работы [27], где рассматривался случай Р = 0, мы уделили особое

19

внимание электрон-дырочной ассиметрии, когда перескок между вторыми соседями не равен 0. На рисунке 1.3 (k-t) показана поверхноств Ферми при разной концентрации носителей < % >. Обращаем внимание на изменение поверхности Ферми между 1.3 (п) и 1.3 (о). В последнем случае контур Ферми разделяется вблизи точек (&7г,0) и (0,&7г). Разделение происходит, когда химический потенциал пересекает сингулярноств ван Хова. При Р = —0.35 это происходит при концентрации носителей < % >ун= 0.66.

Спиноввю восприимчивости, рассчитаннвю по формуле (1.4) при разном допировании, представленв1 на рисунках 1.3 (a-j). При оченв ввюоком допировании восприимчивоств имеет широкий пик вблизи вектора q = (0,0), как на рисунках 1.3 (а) и 1.3 (j), которвю переходят в пики вблизи (Фл, 0) и (0, Фл) при уменвшении допирования, как это видно на рисунках 1.3 (Ь) и (i). При среднем уровне допирования пики вблизи (&7г,0) и (0,&7г) продвигаются внутри и формируют хорошо известный квартет несоизмеримых пиков на векторах (л^фл) и (7Г,7Г Ф d) как на рисунке 1.3 (с), при убывающем по мере приближения к половинному заполнению. При приближении заполнения к критической концентрации ван Хова < % >ун= 0.66, возникает пик вблизи вектора q = (0,0), как следствие болвшой плотности состояний вблизи уровня Ферми. Вблизи половинного заполнения, как видно из рисунка 1.3 (e-g), возникает четкий пик вблизи Q = (7г,7г). И наконец, при болвших заполнениях спиновая восприимчивоств почти не имеет особенностей, как на рисунках 1.3 (h-j).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Малахов, Михаил Александрович, 2017 год

Список публикаций

A1. Pairing symmetry of the one-band hubbard model in the paramagnetic weak-coupling limit: A numerical RPA study [Text] / A. T. Romer, A. Kreisel, I. Eremin, M. Malakhov [et al.] // Phys. Rev. B. — 2015. — Vol. 92.— P. 104505.

A2. Еремин, М. В. Перенормировка параметров зоны из-за взаимодействия с фононами в Bi2Sr2CaCuO8 и определение параметров сверхпроводящей щели по температурной зависимости плотности сверхпроводящего тока в YBa2Cu3O7 [Текст] / М. В. Еремин, М. А. Малахов, Д. А. Сюняев // Письма в ЖЭТФ.-2012.-Т. 96.-С. 110.

A3. Еремин, М. В. Эффективное кулоновское взаимодействие электронов в купратах [Текст] / М. В. Еремин, М. А. Малахов // Известия РАН. Серия физическая.—2014.—Т. 78. —С. 1183.

A4. Еремин, М. В. Динамическая зарядовая восприимчивость и смягчение продольных фононных мод в купратах [Текст] / М. В. Еремин, М. А. Малахов // Письма в ЖЭТФ. — 2014. — Т. 100. — С. 362-365.

A5. Еремин, М. В. О коллективных спиновых возбуждениях в купратных ВТСП с электронным допированием [Текст] / М. В. Еремин, М. А. Малахов // Письма в ЖЭТФ. — 2016. — Т. 104. — С. 13.

A6. Еремин, М. В. О дисперсии сверхпроводящей щели в дырочно-допирован-ных купратах. [Текст] / М. В. Еремин, М. А. Малахов // Письма в ЖЭТФ. — 2017. —Т. 105. —С. 680.

84

Список литературы

7. Plakida, N. M. High-Temperature Cuprate Superconductors. Experiment, Theory, and Applications [Text] / N. M. Plakida. — Berlin : Springer, 2011.

8. Scalapino, D. J. A common thread: The pairing interaction for unconventional superconductors [Text] / D. J. Scalapino // Rev. Mod. Phys.—

2012. —Vol. 84. —P. 1383-1417.

9. Anderson, P. W. The Theory of Superconductivity in High-7f Cuprates [Text] / P. W. Anderson. — Princeton : Princeton University Press, 1997.

10. Lee, P. A. Doping a mott insulator: Physics of high-temperature superconductivity [Text] / Patrick A. Lee, Naoto Nagaosa, Xiao-Gang Wen // Rev. Mod. Phys. —2006. —Vol. 78. —P. 17-85.

11. Conventional superconductivity at 203 kelvin at high pressures in the sulfur hydride system [Text] / A. P. Drozdov, M. I. Eremets, I. A. Troyan [et al.] // Nature. — 2015. — Vol. 525. — P. 73.

12. Qi, X.-L. Topological insulators and superconductors [Text] / Xiao-Liang Qi, Shou-Cheng Zhang // Rev. Mod. Phys. — 2011. — Vol. 83. — P. 1057-1110.

13. Schnyder, A. P. Topological surface states in nodal superconductors [Text] / Andreas P. Schnyder, Philip M. R. Brydon // Journal of Physics: Condensed Matter. —2015. —Vol. 27, no. 24. —P. 243201.

14. Laser-induced topological superconductivity in cuprate thin films [Text] / Kazuaki Takasan, Akito Daido, Norio Kawakami, Youichi Yanase // Phys. Rev. B. —2017. —Vol. 95. —P. 134508.

15. Plakida, N. Spin fluctuations and high-temperature superconductivity in cuprates [Text] / N. Plakida // Physica C - Superconductivity and its applications. — 2016. — Vol. 531. — P. 39-59.

16. Вальков, В. В. Спин-поляронная природа фермиевских квазичастиц и

их d- волновое спаривание в купратных сверхпроводниках [Текст] /

В. В. Вальков, Д. М. Дзебисашвили, А. Ф. Барабанов // Письма в

85

ЖЭТФ.-2016.-Т. 104.-С. 745.

17. Максимов, Е. Г. О возможных механизмах высокотемпературной сверхпроводимости [Текст] / Е. Г. Максимов, О. В. Долгов // УФН. — 2007. — Т. 177. —С. 983.

18. Damascelli, A. Angle-resolved photoemission studies of the cuprate superconductors [Text] / Andrea Damascelli, Zahid Hussain, Zhi-Xun Shen // Rev. Mod. Phys. —2003. —Vol. 75. —P. 473-541.

19. Asymmetry of collective excitations in electron- and hole-doped cuprate superconductors [Text] / W. S. Lee, J. J. Lee, E. A. Nowadnick [et al.] // Nature Physics. — 2014. — Vol. 10. — P. 883.

20. Local-moment fluctuations in the optimally doped high-tc superconductor YBa2Cu3O6.95 [Text] / D. Reznik, J. P. Ismer, I. Eremin [et al.] // Phys. Rev. B. —2008. —Vol. 78. —P. 132503.

21. High-energy spin excitations in the electron-doped superconductor Pro.88LaCeo.i2CuO4 with T = 2Ш [Text] / S. D. Wilson, S. Li, H. Woo [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2006. — Vol. 96. — P. 157001.

22. Ishihara, S. Interplay of electron-phonon interaction and electron correlation in high-temperature superconductivity [Text] / Sumio Ishihara, Naoto Na-gaosa // Phys. Rev. B. — 2004. — Vol. 69. — P. 144520.

23. Овчинников, С. Г. Эффективный гамильтониан для ВТСП-купратов с учетом электрон-фононного взаимодействия в режиме сильных корреляций. [Текст] / С. Г. Овчинников, Е. И. Шнейдер // ЖЭТФ. —2005. —Т. 128.—

С. 974.

24. Pashitskii, E. A. On the plasmon mechanism of high-Tc superconductivity in layered crystals and two-dimensional systems [Text] / E. A. Pashitskii, V. I. Pentegov // Low Temperature Phys. — 2008. — Vol. 34. — P. 113.

25. Tachiki, M. Vibronic mechanism of high-Tf superconductivity [Text] / M. Tachiki, M. Machida, T. Egami // Phys. Rev. B. — 2003. — Vol. 67.— P. 174506.

86

26. Scalapino, D. J. Superconductivity and spin fluctuations [Text] /

D. J. Scalapino //J. Low Temp. Phys. —1999. — Vol. 117. — P. 179.

27. Scalapino, D. J. d-wave pairing near a spin-density-wave instability [Text] / D. J. Scalapino, E. Loh, J. E. Hirsch // Phys. Rev. B. — 1986. — Vol. 34. — P. 8190-8192.

28. Beal-Monod, M. T. Possible superconductivity in nearly antiferromagnetic itinerant fermion systems [Text] / M. T. Beal-Monod, C. Bourbonnais, V. J. Emery // Phys. Rev. B. —1986. — Vol. 34. — P. 7716.

29. Miyake, K. Spin-fluctuation-mediated even-parity pairing in heavy-fermion superconductors [Text] / K. Miyake, S. Schmitt-Rink, C. M. Varma // Phys. Rev. B. —1986. — Vol. 34. — P. 6554.

30. Каган, М. Ю. Повышение температуры сверхтекучего перехода в поляризованном ферми-газе с отталкиванием [Текст] / М. Ю. Каган, А. В. Чубуков // Письма в ЖЭТФ. — 1989. — Т. 50. — С. 483.

31. Chubukov, A. V. Pairing instabilities in the two-dimensional hubbard model [Text] / A. V. Chubukov, J. P. Lu // Phys. Rev. B. — 1993. — Vol. 46.— P. 11163.

32. Zanchi, D. Superconducting instabilities of the non-half-filled hubbard model in two dimensions [Text] / D. Zanchi, H. J. Schulz // Phys. Rev. B.— 1996. —Vol. 54. —P. 9509.

33. Halboth, C. J. d-wave superconductivity and pomeranchuk instability in the two-dimensional hubbard model [Text] / C. J. Halboth, W. Metzner // Phys. Rev. Lett. —2000. —Vol. 85. —P. 5162.

34. Honerkamp, C. Magnetic and superconducting instabilities of the hubbard model at the van hove filling [Text] / C. Honerkamp, M. Salmhofer // Phys. Rev. Lett. — 2001. — Vol. 87. — P. 187004.

35. Raghu, S. Superconductivity in the repulsive hubbard model: An asymptotically exact weak-coupling solution [Text] / S. Raghu, S. A. Kivelson, D. J. Scalapino // Phys. Rev. B. — 2010. — Vol. 81. — P. 224505.

87

36. Hlubina, R. Phase diagram of the weak-coupling two-dimensional f hubbard model at low and intermediate electron density [Text] / R. Hlubina // Phys. Rev. B. — 1999. — Vol. 59. — P. 9600.

37. Effects of longer-range interactions on unconventional superconductivity [Text] / S. Raghu, E. Berg, A. V. Chubukov, S. A. Kivelson // Phys. Rev. B. —2012. —Vol. 85. —P. 024516.

38. Armitage, N. P. Progress and perspectives on electron-doped cuprates [Text] / N. P. Armitage, P. Fournier, R. L. Greene // Rev. Mod. Phys. — 2010. —Vol. 82. —P. 2421.

39. Energy gaps in high-transition-temperature cuprate superconductors [Text] / M. Hashimoto, I. M. Vishik, R.-H. He [et al.] // Nat. Phys. — 2014. — Vol. 10. —P. 483.

40. Nonmonotonic <A2—^2 superconducting order parameter in Nd2—xCexCuO4 [Text] / G. Blumberg, A. Koitzsch, A. Gozar [et al.] // Phys. Rev. Lett.— 2002. —Vol. 88. —P. 107002.

41. Angle-resolved photoemission spectroscopy of the antiferromagnetic superconductor Nd1.87Ce0.13CuO4: Anisotropic spin-correlation gap, pseudogap, and the induced quasiparticle mass enhancement [Text] / H. Matsui, K. Terashima, T. Sato [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2005. — Vol. 94.— P. 047005.

42. Anomalous momentum dependence of the superconducting coherence peak and its relation to the pseudogap of La1.85Sr0.15CuO4 [Text] / K. Terashima, H. Matsui, T. Sato [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Vol. 99.— P. 017003.

43. Emergent BCS regime of the two-dimensional fermionic hubbard model: Ground state phase diagram [Text] / Y. Deng, E. Kozik, N. V. Prokofev, B. V. Svistunov // Europhys. Lett. — 2015. — Vol. 110. — P. 57001.

44. Katanin, A. A. Renormalization group analysis of magnetic and superconducting instabilities near van hove band fillings [Text] / A. A. Katanin,

88

A. P. Kampf // Phys. Rev. B. —2003. —Vol. 68. —P. 195101.

45. Еремин, М. В. Дисперсия энергетической щели в слоистых купратах. Модель монослоя. [Текст] / М. В. Еремин, И. А. Ларионов // Письма в ЖЭТФ.- 1995.-Т. 62.-С. 192.

46. Scalapino, D. J. Numerical studies of the 2D Hubbard model, in Handbook of High-Temperature Superconductivity [Text] / D. J. Scalapino. — New York : Springer, 2007. —P. 495-526.

47. Gull, E. Superconductivity and the pseudogap in the two-dimensional hubbard model [Text] / E. Gull, O. Parcollet, A. J. Millis // Phys. Rev. Lett. —

2013. —Vol. 110. —P. 216405.

48. Staar, P. Two-particle correlations in a dynamic cluster approximation with continuous momentum dependence: Superconductivity in the twodimensional hubbard model [Text] / P. Staar, T. Maier, T. C. Schulthess // Phys. Rev. B. —2014. —Vol. 89. —P. 195133.

49. Zheng, B.-X. Ground-state phase diagram of the square lattice hubbard model from density matrix embedding theory [Text] / Bo-Xiao Zheng, Garnet Kin-Lic Chan // Phys. Rev. B. — 2016. —Vol. 93. —P. 035126.

50. Berk, N. F. Effect of ferromagnetic spin correlations on superconductivity [Text] / N. F. Berk, J. R. Schrieffer // Phys. Rev. Lett. — 1966. — Vol. 17. — P. 433.

51. Guinea, F. Superconductivity in electron-doped cuprates: Gap shape change and symmetry crossover with doping [Text] / Francisco Guinea, Robert S. Markiewicz, Maria A. H. Vozmediano // Phys. Rev. B. — 2004. — Vol. 69. —P. 054509.

52. Parker, D. Quantitative evidence for spin-fluctuation-mediated higher-harmonic (Dwave components: Hole- and electron-doped cuprates [Text] / David Parker, Alexander V. Balatsky // Phys. Rev. B. — 2008. — Vol. 78. —P. 214502.

53. Hot spots and transition from d-wave to another pairing symmetry in

89

the electron-doped cuprate superconductors [Text] / V. A. Khodel, Victor M. Yakovenko, M. V. Zverev, Haeyong Kang // Phys. Rev. B. — 2004. — Vol. 69. —P. 144501.

54. Krotkov, P. Non-fermi liquid and pairing in electron-doped cuprates [Text] / P. Krotkov, Andrey V. Chubukov // Phys. Rev. Lett. — 2006. — Vol. 96. — P. 107002.

55. Eremin, I. Signature of the nonmonotonic ^-wave gap in electron-doped cuprates [Text] / Ilya Eremin, Evelina Tsoncheva, Andrey V. Chubukov // Phys. Rev. B. —2008. —Vol. 77. —P. 024508.

56. Yoshimura, H. Angular dependence of the superconducting order parameter in electron-doped high-temperature superconductors [Text] / H. Yoshimura, D. S. Hirashima //J. Phys. Soc. Jpn. — 2004. — Vol. 73. — P. 2057.

57. Гинзбург, В. Л. Проблема высокотемпературной сверхпроводимости [Текст] / В. Л. Гинзбург, Д. А. Киржниц. —Москва : Наука, 1977.

58. Leggett, A. J. Cuprate superconductivity: Dependence of T on the c-axis layering structure [Text] / A. J. Leggett // Phys. Rev. Let. — 1999.— Vol. 83. —P. 392.

59. Mahan, G. D. Many-Particle Physics [Text] / G. D. Mahan. — New York : Plenum Press, 1990.

60. Пайнс, Д. Теория квантовых жидкостей [Текст] / Д. Пайнс, Ф. Нозьер. — Москва : Мир, 1967.

61. Competing phases in the cuprates: Charge vs spin order [Text] / R. S. Markiewicz, J. Lorenzana, G. Seibold, A. Bansil // Journal of Physics and Chemistry of Solids. — 2011. — Vol. 72. — P. 333.

62. Melikyan, A. Symmetry of the charge density wave in cuprates [Text] / Ashot Melikyan, M. R. Norman // Phys. Rev. B. — 2014. — Vol. 89. — P. 024507.

63. Anderson, P. W. The resonating valence bond state in La2CuO4 and superconductivity [Text] / P. W. Anderson // Science. — 1987. — Vol. 235. —

90

P. 1196.

64. Изюмов, Ю. А. Сильно коррелированные электроны: t-j-модель [Текст] / Ю. А. Изюмов // Успехи физических наук. — 1997. — Т. 167. — С. 465.

65. Ирхин, В. Ю. Электронная структура, физические свойства и корреляционные эффекты в d- и f- металлах и их соединениях [Текст] / В. Ю. Ирхин, Ю. П. Ирхин. — Ижевск : НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика" 2008.

66. Eremin, M. Dynamical charge susceptibility in layered cuprates: Beyond the conventional random-phase-approximation scheme [Text] / M. Eremin, I. Eremin, S. Varlamov // Phys. Rev. B. — 2001. — Vol. 64. — P. 214512.

67. Eremin, M. V. Dual features of magnetic susceptibility in superconducting cuprates: a comparison to inelastic neutron scattering [Text] / M. V. Eremin, I. M. Shigapov, I. M. Eremin // Eur. Phys. J. B. — 2012. — Vol. 85. — P. 131.

68. Charge-density waves and superconductivity as an alternative to phase separation in the infinite-u hubbard-holstein model [Text] / F. Becca, M. Tarquini, M. Grilli, C. Di Castro // Phys. Rev. B. — 1996.—Vol. 54.— P. 12443.

69. Evidence for ubiquitous strong electron-phonon coupling in high-temperature superconductors [Text] / A. Lanzara, P. V. Bogdanov, X. J. Zhou [et al.] // Nature. —2001. —Vol. 412. —P. 510.

70. Iwasawa, H. Isotopic fingerprint of electron-phonon coupling in high-Ц cuprates [Text] / H. Iwasawa, J. F. Douglas, K. Sato // Phys. Rev. Lett. — 2008. —Vol. 101. —P. 157005.

71. Cuk, T. Coupling of the b1g phonon to the antinodal electronic states of Bi2Sr2CaCu2O8-x [Text] / T. Cuk, F. Baumberger, D. H. Lu // Phys. Rev. Lett. —2004. —Vol. 93. —P. 117003.

72. Norman, M. R. Linear response theory and the universal nature of the magnetic excitation spectrum of the cuprates [Text] / M. R. Norman // Phys.

91

Rev. B. —2007. —Vol. 75. —P. 184514.

73. Eremin, M. V. Why is the Cu(2)AsymmetryParameterofNQRSpectrainHTSC so small? [Text] / M. V. Eremin // Naturforsh. — 1994. — Vol. 49. — P. 385.

74. Song, A. Electron-phonon coupling and d-wave superconductivity in the cuprates [Text] / A. Song, J. F. Annett // Phys. Rev. B. — 1995. — Vol. 51. —P. 3840.

75. Sandvik, W. Effect of an electron-phonon interaction on the one-electron spectral weight of a d-wave superconductor [Text] / W. Sandvik, D. J. Scalapino, N. E. Bickers // Phys. Rev. B. — 2004. — Vol. 69. — P. 094523.

76. Rosch, O. Electron-phonon interaction in the t — J model [Text] / O. Rosch, O. Gunnarsson // Phys. Rev. Lett. — 2004. — Vol. 92. — P. 146403.

77. Influence of polaronic effects on superexchange interaction: Isotope effects of TN, T*, and Tc in layered cuprates [Text] / M. V. Eremin, I. M. Eremin, I. A. Larionov, A. F. Terzi // JETP Letters. — 2002. — Vol. 75. — P. 395.

78. Шнейдер, Е. И. Изотопический эффект в модели сильно коррелированных электронов, учитывающий магнитный и фононный механизмы сверхпроводящего спаривания [Текст] / Е. И. Шнейдер, С. Г.Овчинников // ЖЭТФ.-2009.-Т. 6.-С. 1177.

79. Long-wavelength collective excitations of charge carriers in high-Tc superconductors [Text] / N. Nucker, U. Eckern, J. Fink, P. Muller // Phys. Rev.

B. —1991. —Vol. 44. —P. 7155.

80. Norman, M. R. Magnetic collective mode dispersion in high-temperature superconductors [Text] / M. R. Norman // Phys. Rev. B. — 2003. — Vol. 63. —P. 092509.

81. Bill, A. Electronic collective modes and superconductivity in layered conductors [Text] / A. Bill, H. Morawitz, V. Z. Kresin // Phys. Rev. B. — 2003. — Vol. 68. —P. 144519.

92

82. Еремин, М. В. Микроскопические модели в конденсированных средах [Текст] / М. В. Еремин.— Казань : Казанский (Приволжский) федеральный университет, 2011.

83. Reznik, D. Giant electron-phonon anomaly in doped and other cuprates [Text] / D. Reznik // Advances in Condensed Matter Phys. — 2010. — Vol. 2010. —P. 523549.

84. Wang, Y.-Y. Electron-energy-loss and optical-transmittance investigation of bi2sr2cacu2o8 [Text] / Yun-Yu Wang, Goufu Feng, A. L. Ritter // Phys. Rev. B. —1990. — Vol. 42. — P. 420.

85. Nature of stripes in the generalized t - j model applied to the cuprate superconductors [Text] / Kai-Yu Yang, Wei Qiang Chen, T M Rice [et al.] // New Journal of Physics. — 2009. — Vol. 11. — P. 055053.

86. Direct observation of charge order in underdoped and optimally doped Bi2(Sr, La)2CuO6+j by resonant inelastic x-ray scattering [Text] / Y. Y. Peng, M. Salluzzo, X. Sun [etal.] //Phys. Rev. B. — 2016. — Vol. 94. — P. 184511.

87. Eremin, M. V. Collective spin excitations in the singlet-correlated band model: a comparison with resonant inelastic x-ray scattering [Text] / M. V. Eremin, I. M. Shigapov, Ho Thi Duyen Thuy //J. Phys.: Condens. Matter. —2013. —Vol. 25. —P. 345701.

88. Magnetic excitations and phase separation in the underdoped La2—xSrxCuO4 superconductor measured by resonant inelastic x-ray scattering [Text] /

L. Braicovich, J. Brink, V. Bisogni [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2010. — Vol. 104. —P. 077002.

89. Intense paramagnon excitations in a large family of high-temperature superconductors [Text] / M. Le Tacon, G. Ghiringhelli, J. Chaloupka [et al.] // Nature Physics. — 2011. — Vol. 7. — P. 725.

90. Persistence of magnetic excitations in La2—xSrxCuO4 from the undoped insulator to the heavily overdoped non-superconducting metal [Text] /

M. P. M. Dean, G. Dellea, R. S. Springell [et al.] // Nat. Mater. — 2013.—

93

Vol. 12. —P. 1019.

91. Anisotropic softening of magnetic excitations along the nodal direction in superconducting cuprates [Text] / M. Guarise, B. Dalla Piazza, H. Berger [et al.] // Nature Communications. — 2014. — Vol. 5. — P. 5760.

92. Persistent spin excitations in doped antiferromagnets revealed by resonant inelastic light scattering [Text] / C. J. Jia, E. A. Nowadnick, K. Wohlfeld [et al.] // Nature communication. — 2014. — Vol. 5. — P. 3314.

93. Сильное влияние трехцентровых взаимодействий на формирование сверхпроводимости dx2-y2 -симметрии в t-^-модели [Текст] / В. В. Вальков, Т. А. Валькова, Д. М. Дзебисашвили, С. Г. Овчинников // Письма в ЖЭТФ. — 2002. — Т. 75. — С. 450.

94. Вальков, В. В. Электронный спектр и температура сверхпроводящего перехода сильнокоррелированных фермионов с трехцентровыми взаимодействиями [Текст] / В. В. Вальков, Д. М. Дзебисашвили // ЖЭТФ. — 2005. — Т. 127. —С. 686.

95. Коршунов, М. М. Эффективный гамильтониан и свойства нормальной и сверхпроводящей фаз купратов n-типа [Текст] / М. М. Коршунов, С. Г. Овчинников, А. В. Шерман // Письма в ЖЭТФ. — 2004. — Т. 80. — С. 45.

96. Origin of strong dispersion in hubbard insulators [Text] / Y. Wang, K. Wohlfeld, B. Moritz [et al.] // Phys. Rev. B. — 2015. — Vol. 92.— P. 075119.

97. Eremin, M. V. Spin response in HTSC cuprates: generalized RPA approach with projection operators method [Text] / M. V. Eremin, I. M. Shi-gapov, I.M. Eremin // Magnetic Resonance in Solids. Electronic Journal. — 2014. —Vol. 16. —P. 14206.

98. Андреев, А. И. К теории неупругого рассеяния нейтронов в сверхпроводнике Pr0.88LaCe0.12CuO4-x [Текст] / А. И. Андреев, М. В Еремин, И. М. Еремин // Письма в ЖЭТФ. — 2007. — Т. 86. — С. 386.

99. Еремин, М. В. Динамическая спиновая восприимчивость дырочных

94

ВТСП в модели синглетно-коррелированной зоны проводимости [Текст] / М. В. Еремин, А. А. Алеев, И. М. Еремин // ЖЭТФ. — 2008. — Т. 113. —

C. 862.

100. Андреев, А. И. К теории динамической спиновой восприимчивости в рамках t — J — V модели. Сопоставление с данными по рассеянию нейтронов в Pro.88LaCeo.i2CuO4—x и La2—xSrxCuO4 [Текст] / А. И. Андреев, М. В Еремин, И. М. Еремин // ЖЭТФ. —2009. — Т. 135. —С. 65.

101. Doping dependence of an n-type cuprate superconductor investigated by angle-resolved photoemission spectroscopy [Text] / N. P. Armitage, F. Ron-ning, D. H. Lu [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 88. — P. 257001.

102. Magnetic resonance in the spin excitation spectrum of electron-doped cuprate superconductors [Text] / J. P. Ismer, I. Eremin, E. Rossi,

D. K. Morr // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Vol. 99. — P. 047005.

103. Evolution of low-energy spin dynamics in the electron-doped high-transition-temperature superconductor Pr0.88LaCe0.12CuO4—j [Text] / Stephen D. Wilson, Shiliang Li, Pengcheng Dai [et al.] // Phys. Rev. B. — 2006. — Vol. 74. —P. 144514.

104. Superconducting gap anisotropy and quasiparticle interactions: A doping dependent photoemission study [Text] / J. Mesot, M. R. Norman, H. Ding [et al.] // Phys. Rev. Lett. —1999. — Vol. 83. — P. 840-843.

105. Superconducting gap in the presence of bilayer splitting in underdoped (Pb, Bi)2Sr2CaCu2O8+j [Text] / S. V. Borisenko, A. A. Kordyuk, T. K. Kim [et al.] // Phys. Rev. B. — 2002. — Vol. 66. — P. 140509.

106. How cooper pairs vanish approaching the mott insulator in Bi2Sr2CaCu2O8+j [Text] / Y. Kohsaka, C. Taylor, P. Wahl [et al.] // Nature. — 2008.—Vol. 454. —P. 1072-1078.

107. Эффект Кона-Латтинжера и аномальное спаривание в новых сверхпроводящих системах и графене. [Текст] / М. Ю. Каган, В.В. Вальков, В. А. Миц-кан, М. М. Коровушкин // ЖЭТФ. —2014.— Т. 145. —С. 1127.

95

108. Strength of the spin-fluctuation-mediated pairing interaction in a high-temperature superconductor [Text] / T. Dahm, V. Hinkov, S. V. Borisenko [et al.] // Nature Physics. — 2009. — Vol. 5. — P. 217-221.

109. Шнейдер, Е. И. Фононный и магнитный механизмы спаривания в высокотемпературных сверхпроводниках в режиме сильных корреляций [Текст] /

Е. И. Шнейдер, С. Г. Овчинников // Письма в ЖЭТФ.-2006.-Т. 83.-С. 462.

110. Plakida, N. M. Electron spectrum and superconductivity in the t j model at moderate doping [Text] / N. M. Plakida, V. S. Oudovenko // Phys. Rev. B. —1999. —Vol. 59. —P. 11949.

111. Обменный и спин-флуктуационный механизмы сверхпроводимости в купратах [Текст] / Н. М. Плакида, Л. Антон, С. Адам, Г. Адам // ЖЭТФ. -2003.-Т. 124.-С. 367-37.

96

Приложение А

Расчет функции Грина, связанной с

трехцентровыми корреляциями

Исходная формула для интересующей нас функции Грина имеет вид (3.9):

С Ж X -Ч exp(-iqR.) ЦЩ+ - S.+S7, ЯЦ I Щ (А.1)

6'

Гамильтониан, описывающий 3-х центровые корреляции, определяется выраже-

нием:

Гассчитаем коммутатор, входящий в формулу (А.1):

97

В строчках (А.8) и (А. 11) заменим операторы на их средние значения по правилу: < А^4 >=< jflA >= ДА. Тогда в этих строчках сокращается 1-е и 4-е слагаемвю и 2-е и 3-е слагаемвю, а сумма в строчках (А.8) и (А. 11) равна 0.

Далее в строчках (А.2) - (А.5) частв слагаемвгх сокращаются и после заменв1 77^ = А АД получается ввщажение:

ехр(—щҢД X

о

х Е

- s? V АЩ - х;-"хуу-Ч;.]. (А. 13)

177^

Далее пренебрегаем членами суммвд в которв1х узлв1 /, m и Д m не относятся к ближайшим соседям. Также считаем, что суперобменное взаимодействие существенно толвко для перввгх соседей. В первом слагаемом (А. 12) сделаем следующее приближение:

У2 ^Xj^2 < Af Af >

7^77/

= 4-^ < SgAf > 7чЕ^<ь+ч)А°-А7' k

Здесв функции Дд И T2(k+q) равнвк

Tq = COS ОУ a + cos җщ,

(A.14)

(A.15)

?2(k+q) = 4cos(Ay + ^)a cos(^ + %)a + cos 2(7^ + oy)a + cos 2(7^ + %)a. (A. 16)

Теперв рассмотрим второе слагаемое из (А.12). После приближения, аналогичного (А. 14), получаем ввщажение:

- (4 + 8 < SgS'i > +4 < >) (А.17)

98

?(

Таким образом, приближенное выражение для 1-го слагаемого из (А. 13):

- 8^1 < > ]>T2(k+q)-T"AA (А.18)

k

а второе слагаемое из (А. 13) сводится к виду:

I + 2 < >) E^(k+q)X^'°X^. (А.19)

k

Рассмотрим строчки (А.6) - (А. 11), в которвгх после сокращения подобнвгх членов остается следующее ввщажение:

Уд- ехр(—2qRj X

б

(А.20)

- X ^^[0.5хДхУдхД - + o.5xj:'"xyx°'4,,]s-+}.

(А.21)

Получим приближенное ввщажение для 1-го слагаемого из (А.20):

X Д exp(-iqR,)662io.5XyS-X;'^+ =

= X б exp(-,:(k + q)R,„, + ,(k + q)R,,„) бб&о.бХД < S-S+ > =

p'/k

Х^(ь+ч)А°АА (A.22) k

Здесв при суммировании бвио учтено, что узлв1 д m и j, m относятся к ближайшим соседям, как показано на схеме на рис. А.1, А = J. Подобнвш образом получаем ввщажение для 2-го слагаемого (А.20):

_ 8^ < > X T2(b+q)X-"xX. (А.23)

k

99

j

]

m !

i

]

]

Рис. A.l. Поясняющая схема суммирования в (А.22).

Так же, как пояснялось выше, рассчитываем 3-е слагаемое из (А.20): 2^ Q + 2 < > + < SgSg >) E^A"Alq.

k

1-е слагаемое из (А.21):

Q + 2 < > + < УЦЧ >) E^+Ak"2Cklq,

к

?2k+q = cos(2^+^)a+cos(2A;y+^)a+2(cos ^acos(A;y+^)a+cos ^acos(A:a;+^)a).

(A.26)

(А.24)

(А.25)

Аналогично рассчитываем 2-е слагаемое из (А.21):

4^ < s-gsf >

к

И наконец 3-е слагаемое из (А.21): у to у04

/ .?2к+дА^ А^.

к

Теперь собираем все слагаемые (А. 14) - (А. 19) и (А.22) - (А.28) и получаем конечную формулу:

(А.27)

(А.28)

Е I si.

к

(А.29)

100

где функция 7ъ,q определяется выражением:

Tk,q = 4^iyq^2k+q" + ?2k+q +(1 + 2^2 + ^з) ?2(k+q) + ?2k^

. (А.30)