Динамическая спиновая восприимчивость t-J-V-модели. Сопоставление с данными по рассеянию нейтронов в Pr0.88LaCe0.12CuO4-x и La2-xSrxCuO4 тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Андреев, Алексей Иванович

• Андреев, Алексей Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Андреев, Алексей Иванович

Введение.

Глава 1. Высокотемпературные сверхпроводники на основе слоистых купратов.

1.1. Электронно-допированные сверхпроводники.

1.2. Дырочно- допированные сверхпроводники.

Глава 2. Вычисление динамической восприимчивости высокотемпературных сверхпроводников в рамках t-J-V модели.

2.1. Формулы для спиновой восприимчивости купратов, использованные в работах различных авторов.

2.2. Вывод формулы для спиновой восприимчивости в нормальной фазе.

2.3. Спиновая восприимчивость в сверхпроводящей фазе.

2.4. Вычисление зарядовой восприимчивости.

Глава 3. Численные расчеты. Сопоставление с данными по рассеянию нейтронов.

3.1. Спин-спиновые корреляционные функции. Схема согласования.

3.2. Сопоставление результатов численных расчетов с данными по неупругому рассеянию нейтронов в сверхпроводнике Pr0.88LaCe0.i2CuO4-*.

3.3. О происхождении двух пиков в рассеянии нейтронов в

La2-^Sr^Cu04.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамическая спиновая восприимчивость t-J-V-модели. Сопоставление с данными по рассеянию нейтронов в Pr0.88LaCe0.12CuO4-x и La2-xSrxCuO4»

Актуальность работы. Открытие в 1986-87 годах нового класса материалов, способных проводить электрический ток без сопротивления при температуре жидкого азота, положило начало новой эры исследований по сверхпроводимости. Большинство известных высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП) являются слоистыми медно-оксидными соединениями. Накоплено достаточно много экспериментальных данных по их физическим свойствам, особенно много публикаций по дырочно-допированным типа La2-jCSrJCCu04 и электронно- допированным типа Nd2.TCe^Cu04 соединениям. Фазовая диаграмма этих ВТСП довольно богата. При малых индексах допирования они относятся к классу квазидвумерных антиферромагнетиков. Температурный ход магнитной восприимчивости в парамагнитной фазе подчиняется закону Кюри-Вейсса. При больших индексах допирования — это металлы с парамагнетизмом Паули-Ландау.

Описание магнетизма переходной области диэлектрик - металл - одна из актуальных задач физики [1-4]. Базовой моделью для описания двойственного характера магнетизма в этих соединениях считается t-J модель [5, 6], которая может быть получена из модели Хаббарда [7, 8] в предельном случае U»zt [9]. U- параметр кулоновского отталкивания электронов на одном узле, t интеграл перескока электрона (допированной дырки) с одного узла на другой, J -параметр суперобменного взаимодействия локализованных спинов меди, z -число ближайших соседей. Параметр межузельного кулоновского взаимодействия электронов V обычно считается несущественным в теории магнетизма, и поэтому для краткости его опускают. Однако, в общем случае кулоновское взаимодействие, конечно, важно. В частности, оно, совершенно необходимо для описания спектра плазмонных мод и фазовых расслоений в этих системах.

Имеющиеся работы по исследованию двойственного характера магнетизма в переходной области фазовой диаграммы ВТСП можно разделить на две группы. Авторы работ [6, 10-17] и др., стартуют со стороны диэлектрической фазы, когда носителей мало и сверхпроводимость еще не возникает, а восприимчивость коллективизированных электронов просто добавляют в качестве аддитивной компоненты [6]. В работах другой группы [18-22] и др., напротив, исследователи берут в качестве базовой проводящую фазу. Акцент делается на исследование магнитной восприимчивости коллективизированных электронов, когда движение их скоррелировано условием одновременного отсутствия двух носителей на одном и том же узле (нижняя хаббардовская подзона). При этом восприимчивость от локализованных спинов не учитывается.

Постановка задачи. Не все характерные особенности поведения восприимчивости слоистых купратов могут быть объяснены на основе перечисленных двух подходов. В особенности это относится к данным по рассеянию нейтронов. Необходим более последовательный подход, учитывающий влияния подсистем коллективизированных и локализованных спинов друг на друга. Иными словами, расчеты восприимчивости должны быть согласованными и включать в себя вклады обеих систем спинов и зарядов, коррелирующих друг с другом. Этот аргумент и определил направление исследований изложенных в данной диссертации. Основная цель диссертации -вывод нового выражения для восприимчивости и апробация его путем сопоставления с экспериментальными данными по рассеянию нейтронов.

Научная новизна. К новым результатам можно отнести применение нового более строгого подхода к рассмотрению сильнокоррелирующих спиновых и зарядовых систем, итогом которого является новая формула для динамической спиновой восприимчивости электронно- и дырочно-допированных ВТСП с учетом перенормировки параметров зоны проводимости. Данная формула позволила объяснить основные особенности в рассеянии нейтронов в соединениях Рго^ЬаСеолгСиО^ и La2^Sr^Cu04.

Научная и практическая значимость результатов исследований. Полученные результаты являются качественно новыми. Они вносят существенный вклад в понимание физических свойств как электронно- так и дырочно- допированных купратов. Разработанная теория спиновой восприимчивости может быть использована при анализе экспериментальных данных и при теоретических исследованиях физических свойств новых материалов, при постановке дипломных и аспирантских работ. Достоверность результатов обеспечена комплексным характером исследований, использованием хорошо зарекомендовавших себя методов в теории сильнокоррелированных электронных систем, непротиворечивостью с результатами полученными другими авторами для частных предельных случаев, соответствием результатов расчетов имеющимся экспериментальным данным.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных конференциях и семинарах: "Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости", ФПС'06, Москва, ФИАН; Euro-Asian Symposium "Magnetism on a Nanoscale" EASTMAG - 2007, Kazan State University; XXXII Международная зимняя школа физиков-теоретиков «Коуровка - 2008», Екатеринбург; "Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости", ФПС'08, Москва, ФИАН.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в двух статьях, а также в четырех расширенных тезисах международных конференций.

Личный вклад автора:

• проведение теоретических расчетов по выводу формул для восприимчивостей в рамках t-J-V модели;

• проведение численных расчетов и построение графиков;

• участие в обсуждении и интерпретации результатов, в написании статей и тезисов.

Структура и содержание по главам. В первой главе излагаются основные особенности строения медно-оксидных ВТСП, как электронно- так и дырочно- допированных, обсуждаются их схожесть и различие. Приводятся необходимые сведения о фазовых диаграммах, зонной структуре, ферми-поверхностях, об экспериментальных данных по рассеянию нейтронов.

Вторая глава посвящена результатам аналитических расчетов. Обсуждаются способы вычислений восприимчивости, использованные в литературе. Приведен вывод нового выражения для динамической спиновой восприимчивости в рамках t-J-V модели, осуществленный нами, для нормальной и сверхпроводящей фаз. В диэлектрическом пределе, когда концентрация носителей равна нулю, полученное выражение в точности соответствует спиновой восприимчивости двумерного антиферромагнетика, и в то же время, при равенстве нулю спин-спиновых корреляционных функций локализованных спинов (металлическая фаза), формула соответствует обобщенному приближению случайных фаз для металлов с сильными электронными корреляциями. Представлен также вывод формулы для зарядовой восприимчивости.

В третьей главе описана схема самосогласованных вычислений корреляционных функций. Приведены результаты численных расчетов по полученным аналитическим формулам. В качестве приложения полученной формулы, сделан анализ данных по рассеянию нейтронов в электронно-допированном сверхпроводнике типа Pro.ssLaCeo.nCuO^, обсуждается скейлинговое поведение мнимой части восприимчивости, помноженной на температуру, в зависимости от отношения частоты к температуре, как в нормальной, так и в сверхпроводящей фазах Pro.ssLaCeo.iiCuO^. Показано, что полученная формула, после проведения электронно-дырочного преобразования, позволяет объяснить происхождение двух пиков в рассеянии нейтронов на волновом векторе О = {я,к) ив дырочных сверхпроводниках типа La2.JCSrJCCu04.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Андреев, Алексей Иванович

Заключение

В заключении сделаем акцент на основные результаты исследований представленных в диссертации:

1. Выведена формула для динамической спиновой восприимчивости электронно-допированных ВТСП с учетом перенормировки параметров зоны проводимости за счет спин-спиновых корреляций в ориентации локализованных спинов.

2. Полученная формула позволила объяснить основные особенности неупругого рассеяния нейтронов в сверхпроводнике Pro.ssLaCeo.nCuO^. В частности, хорошо воспроизводится V-образный рельеф в частотном поведении мнимой части восприимчивости, сдвиг интенсивности рассеяния в область низких частот, а также зависимость положений максимумов поглощения, как функции отношения со/Т.

3. Предложено объяснение, недавно обнаруженной в сверхпроводниках типа Laj.84Sro.i6Cu04, двухпиковой структуре мнимой части спиновой восприимчивости. Низкочастотный пик поглощения находится внутри сверхпроводящей щели и интерпретируется проявлением ветви спиновых экситонов, а высокочастотный, главным образом, соответствует перенормированным коллективным колебаниям локализованных спинов.

Таким образом, проведенное сопоставление результатов численных расчетов с экспериментом показывает, что выведенное выражение для динамической спиновой восприимчивости позволяет описать обнаруженные недавно особенности в рассеянии нейтронов в Рго^ЬаСеолгСиО^ и в La2-^Sr^Cu04. Магнетизм электронных ВТСП является двойственным. С одной стороны в них имеются носители тока, а с другой — локализованные спины на подрешетке ионов меди. Обе эти подсистемы настолько сильно переплетены между собой, что мода коллективных колебаний (V-образный рельеф) является общей.

Можно надеется, что предложенная формула для восприимчивости окажется полезной не только для интерпретации экспериментов по рассеянию нейтронов, но и данных магнитного резонанса на различных ядрах в ВТСП, а, в конечном счете, также и для оценки эффективности механизма спаривания квазичастиц через спиновые флуктуации.

Основные публикации по теме диссертации:

1. Ерёмин М.В. К теории неупругого рассеяния нейтронов в сверхпроводнике

Pr0.88LaCe0.i2CuO4.x / М.В. Ерёмин, А.И. Андреев, И.М. Ерёмин // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2007. - Т.86. -С.386-389.

2. Андреев А.И. К теории динамической спиновой восприимчивости в рамках t-J-V-модели. Сопоставление с данными по рассеянию нейтронов в Pr0.88LaCe0.i2CuO4-x и La2.xSrxCu04 / А.И. Андреев, М.В. Ерёмин, И.М. Ерёмин // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2009. — Т.135. - С.65-76.

Труды и тезисы международных конференций:

1. Андреев А.И. Спиновая динамика t-J модели. Взаимосвязь восприимчивостей коллективизированных и локализованных электронов / А.И. Андреев, I. Eremin, М.В. Ерёмин // Сборник трудов "Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости", ФПС'06, Москва, ФИАН, 2006. - С.36-37.

2. Eremin М. Toward the Theory of Neutron Scattering in Pr0.88LaCe0.i2CuO4.x / M. Eremin, A.I. Andreev, I. Eremin // Euro-Asian Symposium "Magnetism on a Nanoscale" EASTMAG- 2007, Kazan State University, 2007. -p. 155.

3. Андреев А.И. О происхождении пиков нейтронного рассеяния в La2-xSrxCu04 / А.И. Андреев, М.В. Ерёмин, И.М. Ерёмин // XXXII Международная зимняя школа физиков-теоретиков «Коуровка - 2008», Тезисы докладов, Екатеринбург, 2008. - С.22.

4. Андреев А.И. О скейлинге в частотной зависимости рассеяния нейтронов Pr0.88LaCe0.i2CuO4-x и двухпиковой структуре в La2-xSrxCu04 / А.И. Андреев, I. Eremin, М.В. Ерёмин // Сборник трудов "Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости", ФПС'08, Москва, ФИАН, 2008. -С.48-49.

Благодарности.

Прежде всего, автор настоящей диссертации выражает искреннюю признательность и благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору кафедры квантовой электроники и радиоспектроскопии КГУ Ерёмину Михаилу Васильевичу за научное руководство работой и постоянное внимание.

Особую благодарность хотелось бы выразить сотруднику института Макса Планка города Дрездена (Германия) Ерёмину Илье Михайловичу, за ознакомление с новейшими экспериментальными данными по рассеянию нейтронов, за предоставленный пакет программ для численных расчетов спиновой восприимчивости и обсуждение результатов.

Автор благодарен сотрудникам кафедры квантовой электроники и радиоспектроскопии Казанского государственного университета за предоставленную возможность завершения работы над диссертацией на кафедре в качестве соискателя.

Выражаю благодарность сотрудникам кафедры теоретической и прикладной физики, а также сотрудникам кафедры общей физики Марийского государственного университета за моральную поддержку при работе над диссертацией, и конечно же администрации МарГУ в лице ректора В.И. Макарова за предоставленную возможность завершения работы с уменьшенной педагогической нагрузкой.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Андреев, Алексей Иванович, 2009 год

1. Плакида Н.М. Высокотемпературные сверхпроводники / Н.М. Плакида М:

2. Международная программа образования, 1996. — 288 с.

3. Зайцев P.O. Диаграммные методы в теории сверхпроводимости иферромагнетизма / P.O. Зайцев М.: Едиториал УРСС, 2004. - 176 с.

4. Вальков В.В. Квазичастицы в сильно коррелированных системах / В.В.

5. Вальков, С.Г. Овчинников — Новосибирск: Издательство СО РАН, 2001. -277 с.

6. Изюмов Ю.А. Базовые модели в квантовой теории магнетизма / Ю.А.

7. Изюмов, Ю.Н. Скрябин Екатеринбург: Издательство УрО РАН, 2002. — 260 с.

8. Изюмов Ю.А. Сильно коррелированные электроны: t-J-модель / Ю.А.

9. Изюмов // Успехи физических наук. — 1997. Т. 167. - С. 465-497.

10. Изюмов Ю.А. Спин-флуктуационный механизм высокотемпературнойсверхпроводимости и симметрия параметра порядка / Ю.А. Изюмов // Успехи физических наук. 1999. - Т. 169. - С. 225-254.

11. Hubbard J. Electron correlations in narrow energy bands / J. Hubbard //

12. Proceedings of the Royal Society of London. A. 1963. - V.276. -pp.238-257.

13. Hubbard J. Electron correlations in narrow energy bands. III. An improvedsolution / J. Hubbard. // Proceedings of the Royal Society of London. A. 1964. -V.281.-p.401.

14. Anderson P. W. The resonating valence bond state in La2Cu04 andsuperconductivity / P.W. Anderson // Science. 1987.-V.235. - pp.1196-1198.

15. Kondo J. Green' s-Function Formalism of the One-Dimensional Heisenberg Spin System / J. Kondo and K. Yamaji // Progress of Theoretical Physics. 1972. -V.47. -pp.807-818.

16. Shimahara H. Fragility of the Antiferromagnetic Long-Range-Order and Spin Correlation in the Two-Dimensional t-J Model / H. Shimahara, S. Takada // Journal of The Physical Society of Japan. 1992. - V.61. -pp.989-997.

17. Winterfeld S. Theory of magnetic short-range order in the t-J model / S. Winterfeld, D. Ihle // Physical Review B. 1998. - V.58. -p.9402.

18. Джакели Г. Динамическая спиновая восприимчивость вt-J-модели / Г. Джакели, Н.М. Плакида // Теоретическая и математическая физика. 1998. - Т.114. - С.426-438.

19. Sherman A. Resonance peak in underdoped cuprates / A. Sherman and M. Schreiber // Physical Review B. 2003.-V.68. -p.094519.

20. Sherman A. Two-dimensional t-J model at moderate doping / A. Sherman and M. Schreiber // European Physical Journal B. 2003. - V.32. -pp.203-214.

21. Sherman A. Evolution of the hole and spin-excitation spectra of the two-dimensional t-J model: From light to heavy doping / A. Sherman // Physical Review B. 2004.-V.70.-p. 184512.

22. Hubbard J. Generalized spin susceptibility in the correlated narrow-energy-band model / J. Hubbard and K.P. Jain // J. Phys. С (Proc. Phys. Soc.). 1968. -Ser.2,V.l.-pp.1650 - 1657.

23. Eremin I. Dynamic spin susceptibility in Hubbard model /1. Eremin // Physica B.- 1997.-V. 232.-pp.793-795.

24. Yushankhai V.Yu. Dynamic spin susceptibility in the t-J model near to the localized limit / V.Yu. Yushankhai, R. Hayn, and D. Ihle // Dubna preprint. — 1996.-pp. 1-28.

25. Кузьмин E.B. Проблема основного состояния в модели Хаббарда при U=oo / Е. В. Кузьмин // Физика твердого тела. 1997.-Т.39. - С.193-203.

26. Летфуллов Б.М. Метод функций Грина в теории магнетизма / Б.М. Летфуллов Екатеринбург: Типолаборатория УрГУ, 1997. — 187 с.

27. Damascelli A. Angle-resolved photoemission studies of the cuprate superconductors / A. Damascelli, Z. Hussain, Z.-X. Shen // Reviews of Modern Physics. 2003. - V.75. - pp. 473-541.

28. Nucker N. Evidence for holes on oxygen sites in the high-Tc superconductors La2-xSrxCu04 and YBa2Cu307.y / N. Nucker, J. Fink, J.C. Fuggle, P.J. Durham, W.M. Temmerman // Physical Review B. 1988. - V.37. - pp.5158-5163.

29. Okada K. Electronic Structure of Nd2.xCexCu04 and La2.xSrxCu04 Deduced from Cu 2p Photoemission and Photoabsorption / K. Okada // Journal of the Physical Society of Japan. 2009. - V.78. - p. 034725.

30. Бахарев O.H. ЯМР 141Pr в "электронном сверхпроводнике" Pri.85Ce0.i5CuO4.y / O.H. Бахарев, А.Г. Володин, А.В. Егоров, М.С. Тагиров, М.А. Теплов // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. 1990. -Т.52. - С.812-816.

31. Бахарев О.Н. ЯМР меди и празеодима в двухфазном соединении Pri.85Ce0.i5CuO4.y / О.Н. Бахарев, А.Г. Володин, А.В. Дуглав, А.В. Егоров, М.В. Ерёмин, А.Ю. Завидонов, О.В. Лавизина, М.С. Тагиров, М.А. Теплов

32. Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1992. - Т. 101. -С.693-712.

33. Kusko С. Fermi surface evolution and collapse of the Mott pseudogap in Nd2. xCexCu045 / C. Kusko, R. S. Markiewicz, M. Lindroos and A. Bansil // Physical Review B. -2002. V.66. - p. 140513.

34. Ismer J.P. Magnetic Resonance in the Spin Excitation Spectrum of Electron-Doped Cuprate Superconductors / J.P. Ismer, I. Eremin, E. Rossi and D.K. Morr // Physical Review Letters. 2007. - V.99. - p. 047005.

35. Manske D. Theory for electron-doped cuprate superconductors: d-wave symmetry order parameter / D. Manske, I. Eremin and K.H. Bennemann // Physical Review B. -2000. -V.62. -pp.13922-13925.

36. Blumberg G. Nonmonotonic dx2y2 Superconducting Order Parameter

37. Nd2.xCexCu04 / G. Blumberg, A. Koitzsch, A. Gozar, B.S. Dennis, C.A. Kendziora, P. Fournier and R.L. Greene // Physical Review Letters. 2002. -V.88. -p.107002.

38. Matsui H. Direct Observation of a Nonmonotonic d 2 2 -Wavex у

39. Superconducting Gap in the Electron-Doped High-Tc Superconductor Pr0.89LaCe0.iiCuO4 / H. Matsui, T. Terashima, T. Sato, T. Takahashi, M. Fujita and K. Yamada // Physical Review Letters. 2005. - V.95. - p.017003.

40. Ерёмин М.В. О происхождении высших гармоник в параметре порядка ВТСП / М.В. Ерёмин, И.Е. Любин, А.А. Алеев // Сборник трудов

41. Фундаментальные проблемы сверхпроводимости", ФПС'06, Москва, ФИАН. 2006 С. 48-49.

42. Barzykin V. Universal Behavior and the Two-component Character of Magnetically Underdoped Cuprate Superconductors / V. Barzykin and D. Pines //cond-mat 0903.183 5v 1. 2009.

43. Vignole B. Two energy scales in the spin excitations of the high-Tc superconductor La2-xSrxCu04 / B. Vignole, S.M. Hayden, D.F. McMorrow, H.M. Ronnow, B. Lake, C.D. Frost and T.G. Perring // Nature Phys. 2007. -V.3.-p.l63.

44. Lipscombe O.J. The Persistence of High-Frequency Spin Fluctuations in Overdoped La2-xSrxCu04 (x=0.22) / O.J. Lipscombe, S.M. Hayden, B. Vignolle, D.F. McMorrow and T.G. Perring // Physical Review Letters. 2007. - V.99. -p.067002.

45. Kofu M. Dispersion and energy spectrum of spin excitations in an underdoped Lai.9oSr0.ioCu04 / M. Kofu, T. Yokoo, F. Trouw and K. Yamada // cond-mat 0710.5766vl. 2007.

46. Wakimoto S. Disappearance of Antiferromagnetic Spin Excitations in Overdoped La2-xSrxCu04 / S. Wakimoto, K. Yamada, J.M. Tranquada, C.D. Frost, R.J. Birgeneau and H. Zhang // Physical Review Letters. 2007. - V.98. -p.247003.

47. Sega I. Magnetic fluctuations and resonant peak in cuprates: Towards a microscopic theory /1. Sega, P. Prelovsek, J. Bonca // Physical Review B. — 2003. V.68. — p.054524.

48. Prelovsek P. Scaling of the Magnetic Response in Doped Antiferromagnets / P. Prelovsek, I. Sega, J. Bonca // Physical Review Letters. 2004. - V.92.p.027002.

49. Sega I. Double dispersion of the magnetic resonant mode in cuprates from the memory function approach /1. Sega, P. Prelovsek // Physical Review B. 2006. -V.73.-p.092516.

50. Zavidonov A.Yu. Evolution of antiferromagnetic short-range order with doping in high-Tc superconductors / A.Yu. Zavidonov, D. Brinkmann // Physical Review B. 1998. -V.58. - pp. 12486-12494.

51. Zavidonov A.Yu. Theory of the plane copper nuclear spin-lattice relaxation in La2.xSrxCu04 and YBa2Cu307y / A.Yu. Zavidonov, I.A. Larionov, D. Brinkmann//Physical ReviewB. -2000. -V 61. -pp.15462-15467.

52. Zavidonov A.Yu. Theory of nuclear spin-lattice relaxation in YBa2Cu307 / A.Yu. Zavidonov, D. Brinkmann // Physical Review B. 2001. - V.63. -p.132506.

53. Ерёмин М.В. О взаимосвязи магнитных восприимчивостей локализованных и коллективизированных электронов дырочных ВТСП / М.В. Ерёмин, А.А. Алеев, И.М. Ерёмин // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2006. Т.84. — С. 197-200.

54. Ерёмин М.В. Динамическая спиновая восприимчивость дырочных ВТСП в модели синглетно-коррелированной зоны / М.В. Ерёмин, А.А. Алеев, И.М. Ерёмин // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2008. — Т. 133. - С.862-874.

55. Ерёмин М.В. К теории неупругого рассеяния нейтронов в сверхпроводнике Pr0.88LaCe0.12Cu04.x / М.В. Ерёмин, А.И. Андреев, И.М. Ерёмин // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2007. — Т.86. -С.386-389.

56. Roth L.M. Electron correlation in narrow energy bands. The two-pole approximation in a narrow s band / L.M. Roth // Physical Review. 1969. -V. 184. — pp 451 -459.

57. Eremin M. Dynamical charge susceptibility in layered cuprates: Beyond the conventional random-phase-approximation scheme / M. Eremin, I. Eremin and S. Varlamov // Physical Review B. 2001. - V.64. - p.214512.

58. Пайнс Д. Теория квантовых жидкостей / Д. Пайнс, Ф. Нозьер М.: Мир, 1967.-384 с.

59. White R. Quantum Theory of Magnetism / R. White Springer-Verlag, 1983. Имеется перевод: Уайт P. Квантовая теория магнетизма / Р. Уайт - М.: Мир, 1985.-184 с.

60. Aristov D.N. Charge susceptibility in the t-J model / D.N. Aristov and G. Khaliullin // Physical Review B. 2006. - V.74. - p.045124.

61. Bill A. Electronic collective modes and superconductivity in layered conductors / A. Bill, H. Morawitz, V.Z. Kresin // Physical Review B. 2003. - V.68. - p. 144519.

62. Eremin I. Novel neutron resonance mode in ^2 2 -wave superconductors /1.

63. Eremin, D.K. Morr, A.V. Chubukov, К. H. Bennemann and M. R. Norman // Physical Review Letters. -2005. V.94. - p. 147001.