Зависимость энергетической щели в ВТСП от волнового вектора, температуры и индекса допирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Ларионов, Игорь Александрович

• Ларионов, Игорь Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ларионов, Игорь Александрович

Введение.

Глава I. Основные модели для описания свойств ВТСП соединений.

§1.1. Модель Хаббарда.

§ 1.2. Модель синглетно-коррелированной зоны.

§ 1.3. Альтернативные методы описания ВТСП купратов.

Глава II. Дисперсия энергетической щели в слоистых купратах.

§2.1. Введение.

§ 2.2. Модель жёсткой зоны.

§ 2.3. Вклад в потенциал взаимодействия оптических мод.

§ 2.4. Эффекты электронных корреляций.

Глава III. Динамика спинов в дотированных ВТСП соединениях.

§3.1. Введение.

§3.2. Динамическая спиновая восприимчивость.

§3.3. Спектр элементарных возбуждений.

§ 3.4. Ядерная спин—решёточная релаксация.

§3.5. Сравнение с экспериментом.

Глава IV. Особенности (1- спаривания в бислойных купратах при пайерлсовской нестабильности нормальной фазы.

§ 4.1. Введение.

§ 4.2. Причины нестабильности.

§ 4.3. Уравнения при сосуществовании пайерлсовской нестабильности и сверхпроводимости.

§ 4.4. Решение уравнений и обсуждение результатов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Зависимость энергетической щели в ВТСП от волнового вектора, температуры и индекса допирования»

Открытие высокотемпературной сверхпроводимости (ВТСП) [1] было явлением долго ожидаемым. Оно породило волну интереса к сверхпроводимости вообще и к проблеме сильных электронных корреляций (СЭК) в особенности. К настоящему времени синтезировано большое количество ВТСП соединений: Ьа2-х8гхСи04+5 , Ьа2-х8гхСаСи20б , ¥Ва2Си3Об+х , В128г2СаСи208+х и др., общим свойством которых является наличие сверхпроводящих слоев Си02 . Недопированные соединения типа Ьа2Си04, Ш2Си04, УВа2СизОб, В128г2СаСи208+х являются диэлектриками. Появлению сверхпроводимости в этих соединениях по мере их допирования предшествует переход диэлектрик—металл, характерный для веществ с СЭК. Ф.Андерсон [2-4] впервые выдвинул идею о том, что ВТСП купраты являются веществами с сильными электронными корреляциями характерными для Мотт—Хаббардовских диэлектриков. Эта идея пробудила интерес к работе Хаббарда [5] и привела к (-1 модели.

Анализ экспериментальных данных (например по теплоёмкости и ядерной релаксации) привёл к выводу, что энергетическая щель в купратных ВТСП соединениях зависит от волнового вектора, что указывает на отличие купратных ВТСП соединений от нормальных сверхпроводников, чьи характеристики прекрасно описываются 5 теорией Бардина—Купера—Шриффера (БКШ). В теории БКШ энергетическая щель не зависит от волнового вектора, что определяется электрон—фононным механизмом сверхпроводимости. Зависимость энергетической щели от волнового вектора позволила сделать вывод о том, что электрон—фононное взаимодействие, вероятно, не играет определяющей роли в образовании сверхпроводящего состояния в ВТСП купратах. Это обстоятельство привело к поиску других механизмов явления ВТСП. Вид зависимости щели от волнового вектора Л(к) очень активно обсуждается в литературе. Например, для детального выяснения этого явления проводились экспериментальные исследования методом фотоэлектронной спектроскопии с угловым разрешением (ARPES -angle resolved photoemission spectroscopy). Теоретические расчёты, представленные в диссертации, проводились одновременно с появлением новых экспериментальных данных. Так, первые экспериментальные данные ARPES [6], указывали на наличие горба (hump) в зависимости Д(к) на диагонали зоны Бриллюэна. В работе [7] эти данные были объяснены с помощью странного предположения, что взаимодействие вторых соседей в плоской решётке атомов меди примерно в 1.5 раза больше (!), чем взаимодействие ближайших атомов меди, что приводило к Sxy симметрии энергетической щели, и причём величина этого взаимодействия должна быть порядка -0.15 eV, т.е. очень велика. Проведённый нами теоретический анализ [8] 6 показал, что приведённые экспериментальные данные о наличии горба скорее всего ошибочны, а большинство экспериментальных точек можно объяснить разумными значениями потенциалов спаривания с симметрией энергетической щели d- типа. Появление новых экспериментальных данных [9] подтвердило наши выводы о симметрии энергетической щели d- типа, которое ранее предлагалось в ряде теоретических работ [10-12].

Эффекты СЭК выявлены из экспериментов по рентгеновской фотоэлектронной спектроскопии и в спектрах рентгеновского поглощения не только в диэлектрической, но и в металлической фазах La2-xSrxCuC>4 и УВа2СизОб+х- Для правильного описания эволюции свойств купратов при допировании необходимо знание трансформации электронного строения зон от недопированного к допированного режимам. В этой связи становятся актуальными расчёты спектра нормальной фазы и формы Ферми поверхности. Согласно современным данным ARPES, переход от оптимально допированных образцов к слабодопированным образцам приводит к исчезновению сечения поверхности Ферми на линии (я,0) - (я,л). У образцов с оптимальным допированием наблюдаются большие сечения поверхности Ферми, согласующиеся с теоремой Латтинжера. Если бы была справедлива модель жёстких зон, то уменьшение концентрации дырок приводило бы лишь к уменьшению площади сечения при некотором изменении его формы. При этом должны 7 были сохраниться пересечения поверхности Ферми линией (л,0) -(71,71), что противоречит эксперименту, показывающему открытие энергетической щели на поверхности Ферми вдоль линии (л,0) - (п,п).

Изменение электронной структуры с допированием происходит следующим образом. В недопированом образце потолок валентной зоны (дно дырочной зоны) достигается в точке (к/2,п/2) (по данным ARPES в кристалле S^CuC^C^ [13]). С увеличением концентрации дырок до оптимальной эти состояния образуют зону, имеющую седловую особенность в окрестности точки (тс,0). Для корректного описания нормальной фазы необходима также теория эволюции проводящей зоны, учитывающая наличие сильных антиферромагнитных корреляций в этих соединениях, которые существенно сужают проводящую зону.

Другая особенность ВТСП соединений — это нестандартное отношение величины энергетической щели к критической температуре для сверхпроводящего состояния Тс- В теории БКШ, в приближении слабой связи, это отношение равно 3,52. В ВТСП купратах это отношение существенно больше и увеличивается по мере уменьшения допирования.

Для описания фазовой диаграммы необходим сценарий происхождения спиновой псевдощели. Впервые понятие спиновой псевдощели возникло при анализа особенностей температурной зависимости обратного времени релаксации (TiT)-1 в ЯМР8 экспериментах, где наблюдался максимум при Т=150 К, что много выше Тс в образцах УВа2СизОб+х . Позже эта щель была обнаружена методом неупругого рассеяния нейтронов как щель для спиновых возбуждений с q=Q=(7i,7c). Реально наблюдается уменьшение спектрального веса в области низких частот и увеличение в области высоких, поэтому и появился термин "псевдощель". Температура закрытия псевдощели Т* понижается с ростом концентрации дырок, и для оптимально (максимум Тс) допированных составов Т* « Тс • Псевдощель в спектре квазичастиц проявляется также в инфракрасных оптических спектрах, в рамановской спектроскопии, в кинетических свойствах, в экспериментах по сканирующей туннельной спектроскопии и, наконец, может быть непосредственно измерена методом фотоэлектронной спектроскопии с угловым разрешением (ARPES), где непосредственно видно открытие щели на поверхности Ферми вдоль линии (тс,0)—(ж,ж) при уменьшении концентрации дырок.

ARPES считается одним из наиболе успешных, интенсивно используемых и достоверных методов для исследования ВТСП купратов. Среди всевозможных ВТСП материалов особенно широко исследуются кристаллы BiSrCaCuO, так как их поверхности оказались наиболее устойчивыми к потерям кислорода. Важную информацию о плотности электронных состояний в ВТСП получают методом сканирующей туннельной спектроскопии. 9

Суммируя вышеперечисленное можно сказать, что описание свойств сверхпроводящей и нормальной фаз купратов должно быть согласованным. Это обстоятельство и определило структуру диссертации. Она состоит из четырёх глав. В первой главе проводится обзор наиболее перспективных, с нашей точки зрения, подходов к описанию ВТСП материалов.

Во второй главе проводится численный анализ уравнения БКШ, когда щель в спектре элементарных возбуждений обусловлена, в первую очередь, короткодействующими потенциалами, с учётом небольшого вклада от электрон—фононного взаимодействия посредством изгибных мод Aig и Big . Найденные нами самосогласованные решения уравнения БКШ при значениях химического потенциала ц (уровня Ферми sF) вблизи дна (потолка) зоны соответствуют s- типу спаривания, в то время как для ер в центре зоны решения относятся к d- типу. В этой же главе проведён расчёт констант взаимодействия с этими модами и дан численный анализ уравнений для щели при различных значениях потенциалов спаривания. В частности, найдено, что наличие d- симметрии щели невозможно описать в предположении, что электрон—фононное взаимодействие является доминирующим в образовании сверхпроводящего состояния в ВТСП керамиках УВагСизОб+х и Bi2Sr2CaCu208 . Выводы второй главы относительно симметрии энергетической щели в сверхпроводниках можно перенести и на

10 симметрию щели (псевдощели) из—за волн спиновой или зарядовой плотности (ВСП или ВЗП). Оба типа нестабильностей нормальной фазы, следуя книге [14], мы объединяем под общим названием "пайерлсовская нестабильность".

В третьей главе, с целью лучшего понимания нормальной фазы, представлена микроскопическая теория, позволяющая объяснить зависимости антиферромагнитной корреляционной длины и скорости спин—решёточной релаксации от температуры и индекса допирования во всём интервале температур Т>Тс • Проводится расчёт спин-спиновых корреляционных функций, спиновой жёсткости и ширины проводящей зоны как функции допирования. Улучшена формула для описания сужения ширины проводящей зоны из—за антиферромагнитных корреляций. В отличие от предыдущих вариантов, найденная формула позволяет рассчитывать ширину зоны не только в оптимальном и передопированном, но и в сильно недодопированных режимах и имеет правильную ассимптотику: ширина зоны приблизительно линейно увеличивается с допированием, что коррелирует с интуитивным представлением Ф. Андерсона об эволюции проводящей зоны [3].

В заключительной, четвёртой главе, анализируются эффекты, связанные с образованием пайерлсовской нестабильности. Путем численного решения интегральных уравнений показывается, что при наличии сильных короткодействующих потенциалов (прежде всего это суперобмен), и, как следствие, с1- симметрии энергетических

12

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Ларионов, Игорь Александрович

Заключение

1) Найдены самосогласованные решения уравнения БКШ для щели с потенциалами короткодействующего типа при различных значениях уровня Ферми ер. Для ер вблизи дна (потолка) зоны решения соответствуют 5 типу симметрии щели, в то время как для 8р в центре зоны решения относятся к й типу.

Перемешивание решений с1 и 5 типов обусловлено ромбичностью кристалла. В случае тетрагональной симметрии решения 5 и й типов исключают друг друга. Доминирующим механизмом ВТСП, по нашему мнению, является суперобмен, однако вклад фононного потенциала спаривания не является пренебрежимо малым, что объясняет наблюдаемый слабый изотопический эффект. В качестве вклада в короткодействующий потенциал рассмотрено взаимодействие носителей тока через оптические колебания: изгибные моды атомов кислорода в плоскостях Си02.

2) Улучшено аналитическое выражение для ширины проводящей зоны как функции спин-спиновой корреляционной функции сь Результаты расчётов хорошо согласуются с имеющимися данными и дают правильные значения параметров, таких как спин-спиновая корреляционная функция сь антиферромагнитная корреляционная длина ширина проводящей зоны и их зависимость от концентрации носителей заряда.

Рассчитана скорость спин—решёточной релаксации 1/Тх на ядрах меди выше температуры сверхпроводящего перехода в плоскостях кристаллов Ьа2х8гхСи04 и УЕ^СизОу.у как функция температуры и концентрации носителей заряда. Скорость ядерной спин—решёточной релаксации 1/Т\ оказывается пропорциональной корреляционной длине во второй степени. Показано, что антиферромагнитные корреляции между спинами меди оказывают сильное влияние на релаксацию даже в допированных образцах. Этот результат качественно подтверждает основную идею феноменологического описания свойств ВТСП соединений в нормальной фазе моделью ЫАРЬ. Существенное отличие полученного результата от модели - это вид зависимости \/Т\ от антиферромагнитной корреляционной длины. В феноменологической теории, КАРЬ, \/Т\ пропорциональна первой степени в нашей микроскопической теории 1/Тх пропорциональна второй степени Составлена и решена система самосогласованных интегральных уравнений для сверхпроводящей щели с учётом нестабильности нормальной фазы бислойных купратов по отношению к пайерлсовской нестабильности. Рассчитаны зависимости критических параметров от волнового вектора, температуры Т и индекса допирования 8. Найдено, что область совместного сосуществования сверхпроводимости и пайерлсовской

88 нестабильности с энергетическими параметрами порядка (1 - типа сильно зависит от индекса допирования. Рассчитанное значение 2Атак/квТс = 4.2 при сильно передопированном режиме, при оптимальном допировании равно 4.5, далее увеличивается и достигает значений порядка 10 в сильно недодопированной области. Эффективный параметр энергетической щели , определяемый как интервал между пиками плотности состояний, имеет локальный минимум при Т<Тс в недодопированных образцах с относительно высокой критической температурой Тс т.е. в образце располагающемся на фазовой диаграмме в слабо недодопированной фазе. Другой тип нетривиального температурного поведения эффективной щели (уменьшение при уменьшении температуры) должен находиться в сильно недодопированной фазе. Теория позволяет правильно предсказать появление особенностей в температурной зависимости эффективной щели и вид этих особенностей в зависимости от расположения образцов на фазовой диаграмме (Т,8).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ларионов, Игорь Александрович, 2000 год

1. J.G. Bednorz and К.А. Mtiller, "Possible High Tc Superconductivity in the Ba-La-Cu-0 System", Z. Phys. В Cond. Mat., v. 64, pp. 189193, (1986).

2. P.W. Anderson, G. Baskaran, Z. Zou, and T. Hsu, "Resonating-Yalence-Bond Theory of Phase Transitions and Superconductivity in La2CuC>4 Based Compounds", Phys. Rev. Lett., v. 58, № 26, pp. 2790-2793, (1987).

3. G. Baskaran, Z. Zou, P.W. Anderson, "The resonating valence bond state and high-Tc superconductivity a mean field theory", Solid State Comm., v. 63, pp. 973-976, (1987)

4. P.W. Anderson, "The resonating valence bond state in La2Cu04 and superconductivity", Science, v. 235, pp. 1196-1198, (1987). J. Hubbard, "Electron correlations in narrow energy bands", // Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, v. 276, pp. 238-245, (1963).

5. H.Ding, J.C.Campuzano, A.F.Bellman, T.Yokoya, M.R.Norman, M.Randeria, T.Takahashi, H.Katayama-Yoshida, T.Mochiku, K.Kadowaki and G.Jennings, "Momentum Dependence of the Supeconducting Gap in Bi2Sr2CaCu20g", Phys. Rev. Lett. v. 74, pp.2784-2787, (1995).

6. RFehrenbacher and M.RNorman, "Phenomenological BCS theory of the high-Tc cuprates", Phys. Rev. Lett., v. 74, pp. 3884-3887, (1995).90

7. М.В. Ерёмин и И.А. Ларионов, "Дисперсия энергетической щели в слоистых купратах. Модель монослоя.", // Письма в ЖЭТФ, т.62, вып. 3, с. 192-196, (1995).

8. N.M. Plakida, V.Yu. Yushankhai and I.V. Stasyuk "On d-wave pairing in one band Hubbard model", Physica C, vols. 162-164, pp. 787-788, (1989).

9. D. Scalapino, E. Loh, Jr., and J.E. Hirsch, "d-wave pairing near a spin-density-wave instability", Phys.Rev.B, v.34, pp.8190-8192, (1986).

10. A. Millis, H. Monien, and D. Pines, "Phenomenological model of nuclear relaxation in the normal state of УВа2Сиз07 ", // Phys. Rev. B, v. 42, pp. 167-178, (1990).

11. Ю.В. Копаев в сб. "Проблема высокотемпературной сверхпроводимости", под ред. В.Л. Гинзбурга и Д.А. Киржница, 1977, Москва, Наука

12. M.V. Eremin, R. Markendorf and S.V. Varlamov, "The energy dispersion of the singlet correlated impurity band in layered cuprates", Solid State Comm., v. 88, pp. 15-18, (1993)

13. R. Hayn, A.F. Barabanov, J. Schulenburg, and J. Richter, "One-hole motion in the two-dimensional frustrated t-J model", Phys. Rev. B, v. 53, pp. 11714-11720, (1996).

14. R. Hayn, V. Yushankhai and S. Lovtsov, "Analysis of the singlet-triplet model for the copper oxide plane within the paramagnetic state", Phys.Rev.B, v. 47, pp. 5253-5262, (1993).

15. J.H. Jefferson, H. Eskes, and L.F. Feiner, "Derivation of a single-band model for C11O2 planes by a cell-perturbation method", Phys. Rev. B, v. 45, pp. 7959-7072, (1992).

16. A.K. McMahan, J.F. Annett, and R.M. Martin, "Cuprate parameters from numerical Wannier functions", Phys. Rev. B, v. 42, pp. 62686282, (1990).

17. R. Hayn, A.F. Barabanov, and J. Schulenburg, "Non rigid hole band in the extended t-J model", Z. Phys. B, v. 102, pp. 359-366, (1997).

18. N.F.Mott, "Polaron models of high-temperature superconductors", J.Phys. Condens. Matter, v. 5, pp. 3487-3499, (1993).

19. A.S. Alexandrov and N.F. Mott, "Bipolarons", Rep. Prog. Phys., v. 57, pp. 1197-1288, (1994).

20. B.I. Kochelaev, J. Sichelschmidt, B. Elschner, W. Lemor and A. Loidl, "Intrinsic EPR in La2xSrxCu04 : Manifestation of Three-Spin Polarons", Phys. Rev. Lett., v. 79, pp. 4274-4277, (1997).

21. V. J. Emery, S. A. Kivelson, and O. Zachar, "Spin-gap proximity effect mechanism of high-temperature superconductivity", // Phys. Rev. B, v. 56, pp. 6120-6147, (1997).

22. A.W. Hunt, P.M. Singer, K.R. Thurber, and T. Imai, " 63Cu NQR Measurement of Stripe Order Parameter in La2-xSrxCu04", Phys. Rev. Lett., v. 82, pp. 4300-4303, (1999).

23. T. Tanamoto, H. Kohno and H. Fukuyama, "Magneric properties of extended t-J model. I. Static properties", J. Phys. Soc. Jpn, v. 62, pp. 717-730, (1993).

24. T. Tanamoto, H. Kohno and H. Fukuyama, "Spin excitations of the extended t-J model: neutron scattering", J. Phys. Soc. Jpn, v. 62, pp. 1455-1458, (1993).

25. J.W. Loram K.A. Mirza, J.M. Wade, J.R. Cooper and W.Y. Liang, "The Electronic Specific Heat of Cuprate Superconductors", Physica C, vols. 235-240, pp. 134-137, (1994).

26. G.V.M. Williams, J.L. Tallon and J.W. Loram, "Crossover temperatures in the normal-state phase diagram of high-Tc superconductors", Phys. Rev. B, v. 58, pp. 15053-15061, (1998).

27. G.V.M. Williams, J.L Tallon, R. Michalak, and R. Dupree, "NMR evidence for common superconducting and pseudogap phase diagrams of YBa2Cu3075 and La2.xSrxCaCu206 ", // Phys. Rev. B, v. 54, R6909-6912, (1996).

28. G.V.M. Williams, J.L.Tallon, E.M.Haines, R. Michalak, and R. Dupree, "NMR Evidence for a d-Wave Normal-State Pseudogap", Phys. Rev. Lett. v. 78, pp. 721-724, (1997).94

29. Q. Chen, I. Kosztin, B. Janko, and K. Levin, "Superconducting transitions from the pseudogap state: d-wave symmetry, lattice, and low-dimensional effects", Phys. Rev. B, v. 59, pp. 7083-7093, (1999).

30. A.J. Leggett, "Bose-Einstein Condensation Formalism. Superconductivity ", // J. Phys. (Paris), v.41, pp. C7-19, (1980).

31. L.P. Kadanoff and P.C. Martin, "Theory of Many-Particle Systems. II. Superconductivity", // Phys. Rev. v. 124, pp. 670-697, (1961).

32. B.R. Patton, "Fluctuation theory of the superconducting transition in restricted dimensionality", // Phys. Rev. Lett. v. 27, 1273-1276, (1971).

33. R.S. Markiewicz, "A survey of the Van Hove scenario for high- Tc superconductivity with special emphasis on pseudogaps and striped phases", J. Phys. Chem. Sol. v. 58, 1179, (1997).

34. R.S. Markiewicz, C. Kusko, V. Kidambi, "Pinned Balseiro-Falicov Model of Tunnelling and Photoemission in the Cuprates", Cond-Mat / 9807068, (1998).

35. C.A. Balseiro, and L.M. Falicov, "Superconductivity and charge-density waves", // Phys. Rev. B, v. 20, pp. 4457-4464, (1979).

36. C. Castellani, C.Di Castro, M. Grilli, "Stripe formation: A quantum critical point for cuprate superconductor", cond-mat/9804014, (1998).

37. C. Castellani, C.Di Castro, M. Grilli, "Non-Fermi-liquid behavior and d-wave superconductivity near the charge-density-wave quantum critical point", Z. Phys. B, v. 103, pp 137-144, (1997).95

38. Т. Dahm, D. Manske, and L. Tewordt, "Charge-density-wave and superconductivity d-wave gaps in the Hubbard model for underdoped high-Tc cuprates", // Phys. Rev. B, v. 56, pp. R11419-11422, (1997).

39. Spectroscopies in Novel Superconductors. Abstracts, March 15-18, 1995, Stanford Linear Accelerator Center, Stanford University.

40. S. Chakravarty, A. Sudbo, P.W. Anderson and S. Strong, "Interlayer Tunneling and Gap Anisotropy in High-Temperature Superconductors", Science, v. 261, pp. 337-340, (1993).

41. M.R. Norman, M. Randeria, H. Ding and J.C. Campuzano, "Phenomenological Models for the Gap Anisotropy of Bi-2212 as Measured by ARPES ", Preprint, 1995.

42. J. M. Harris, Z. X. Shen, P. J. White, D.S. Marshall, M.C. Schabel, J.N. Eckstein and I. Bozovic, "Anomalous superconducting state gap size versus Tc behavior in underdoped Bi2Sr2Cai.xDyxCu20s+s Phys. Rev. B, v. 54, pp. 15665-15668, (1996).

43. B.M. Локтев, "Механизмы высокотемпературной сверхпроводимости медных оксидов (обзор)", ФНТ, т. 22, в. 1, с.3-46, (1996).

44. T.P.Devereaux, AVirosztek, AZawadowski, "Charge-transfer fluctuation, d-wave superconductivity, and the Big Raman phonon in cuprates ", // Phys. Rev. B, 51, 505-514, (1995).

45. M.V. Eremin and I.A. Larionov, "Energy gap dispersion in bilayered cuprates", Physica С (Amsterdam), v. 282-287, pp. 1659-1660, (1997).

46. M.B. Ерёмин, О.В. Лавизина, "Единая картина распределения градиентов электрических полей в позициях Си, О и Тт в ReBa2Cu3078 ЖЭТФ, т. 111, с. 144-157, (1997).

47. С. Thomsen and М. Cardona, in Physical Properties of High Temperature Superconductors I, ed. D.Ginsberg (World Scientific, Singapore, 1989).

48. И.А. Ларионов и M.B. Ерёмин, "Влияние оптических мод на потенциал спаривания в бислойных купратах", Известия Российской Академии Наук, серия физическая, т.62, стр. 15181521, (1998).

49. K.Gofron, J.C.Campuzano, H.Ding, C.Gu, R.Liu, B.D.Dabrowski, B.W.Veal, W.Cramer and G.Jennings. "Occurrence of Van Hove singularities in YBCI2CU4O8 and УВй2Сиз0^9- ", J- Phys. Chem. Solids, v.54, №10, p.l 193-1198, (1993).

50. ANazarenko and E.Dagotto, "A Possible Phononic Mechanism for dx2-y2 Superconductivity in the Presence of Short-Range AF Correlations", Phys. Rev. B, v. 53, pp. R2987-2990, (1996).

51. N.M.Plakida, R.Hayn and J.-L.Richard, "Two-band singlet-hole model for the copper-oxide plane", Phys. Rev. B, v.51, №23, pp. 1659916607, (1995).

52. A. Yu. Zavidonov and D. Brinkmann, "Evolution of antiferromagnetic short-range order with doping in high-Tc superconductors", // Phys. Rev. B, v. 58, pp. 12486-12494, (1998).

53. А.Ю. Завидонов, M.B. Ерёмин, A.B. Егоров, В.В. Налётов, М.С. Тагиров, М.А. Теплов, Н.М. Чеботаев. "Модель магнитной релаксации ядерных спинов Си(2) в YBa2Cu30j.y.", Письма в ЖЭТФ, т. 50, № 4, с. 179-181, (1989).

54. A. Sokol, D. Pines, "Toward a Unified Magnetic Phase Diagram of the Cuprate Superconductors", Phys. Rev. Lett. v. 71, pp. 2813-2816, (1993).

55. S. Chakravarty, B. I. Halperin, and D. R. Nelson, "Two-dimensional quantum Heisenberg antiferromagnet at low temperatures", // Phys. Rev. B, v. 39, pp. 2344-2371, (1989).

56. J. Kondo and K. Yamaji, "Green's Function Formalism of the One-Dimensional Heisenberg Spin System", // Progr. Theor. Phys., v. 47, № 3, pp. 807-818, (1972).

57. A.V. Chubukov and S. Sachdev, "Universal Magnetic Properties of La2-sSr5Cu04 at Intermediate Temperatures", // Phys. Rev. Lett., v. 71, pp. 169-172, (1993).

58. H. Monien, P. Monthoux, and D. Pines, "Application of antiferromagnetic Fermi-liquid theory to NMR experiments in Lai.85Sro.i5Cu04 ", // Phys. Rev. B, v. 43, pp. 275-287, (1991).

59. L. M. Roth, "Electron correlation in narrow energy bands. I. The two-pole approximation in a narrow S band", // Phys. Rev., v. 184, pp. 451-459, (1969).

60. J. Beenen and D. M. Edwards, "Superconductivity in the two-dimensional Hubbard model", Phys. Rev. B, v. 52, pp. 13636-13651 (1995).

61. E.Dagotto, "Correlated electrons in high-temperature superconductors", // Rev. Mod. Phys., v. 66, № 3, pp. 763-840, (1994).

62. T. Moriya, Spin Fluctuations in Itinerant Electron Magnetism (Springer, Berlin, 1985).99

63. F. Mila and T.M. Rice, "Analysis of magnetic resonance experiments in YBa2Cu307 ", // Physica C, v. 157, pp. 561-570. (1989).

64. H. Zimmermann, M. Mali, D. Brinkmann, J. Karpinski, E. Kaldis, and S. Rusiecki, "Copper NQR and NMR in the superconductor YBa2Cu408+x", // Physica C, v. 159, pp. 681-688 (1989).

65. P. Hasenfratz and F. Niedermayer, "The exact correlation length of the antiferromagnetic d =2+1 Heisenberg model at low temperatures", // Phys. Lett. B, v. 268, pp. 231-235 (1991).

66. G. Aeppli, T.E. Mason, S.M. Hayden, H.A. Mook, and J. Kulda, "Nearly singular magnetic fluctuations in the normal state of a high-T-c cuprate superconductor", // Science, v. 278, pp. 1432-1435, (1997).

67. T. Imai and C. P. Slichter, "Measurement of the q-Dependent Static Spin Susceptibility x'(q) in YBa2Cu306.9", // Phys. Rev. B, v. 47, pp. 9158-9161, (1993).

68. J. Bonca, P. Prelovsek, and I. Sega, "High-doping regime in a planar model for stronly correlated electrons", // Europhys. Lett., v. 10, pp. 87-92, (1989).

69. T. Imai, C. P. Slichter, K. Yoshimura, and K. Kosuge, "Low frequency spin dynamics in undoped and Sr-doped La2CuC>4", // Phys. Rev. Lett, 70, pp. 1002-1005, (1993).

70. S. Ohsugi, Y. Kitaoka, K. Ishida, G.-q. Zheng, and K. Asayama, "Cu NMR and NQR Studies of High-Tc Superconductor La2-xSrxCu04 ", // J. Phys. Soc. Jpn., 63, pp. 700-715, (1994).

71. A. Moreo, S. Haas, A. W. Sandvik, and E. Dagotto, "Quasiparticle dispersion of the t-J and Hubbard models", // Phys. Rev. B, v. 51, pp. 12045-12048, (1995).101

72. P.W. Anderson, "The Theory of Superconductivity in the High-Tc Cuprates", Princeton Series in Physics, Princeton University Press,, Princeton, New Jersey, USA, 1997.

73. H. Ding, T. Yokoya, J. C. Campuzano, T.Takahashi, M.Randeria, M.R.Norman, T.Mochiku, K.Kadowaki, J.Giapintzakis, "Spectroscopic evidence for a pseudogap in the normal state of underdoped high- Tc superconductors", Nature, v.382, pp. 51-54, (1996).

74. George Grüner, Density Waves in Solids (Addison-Wesley, Reading, 1994)

75. C.B. Варламов, M.B. Ерёмин и И.М. Ерёмин, "К теории псевдощели в спектре элементарных возбуждений нормальной фазы бислойных купратов", // Письма в ЖЭТФ, т. 66, с. 533-538, (1997).

76. I. Eremin, М. Eremin, S. Varlamov, D. Brinkmann, M. Mali, and J. Roos, "Spin susceptibility and pseudogap in YBa2Cu4C>8 : An approach via a charge-density-wave instability", // Phys. Rev. B, v. 56, pp. 11305-11311, (1997).

77. Z.-X.Shen, D.S. Dessau, "Electronic Structure and Photoemission Studies of Late Transition Metal Oxides - Mott Insulators and High-Temperature Superconductors", Physics Reports, v. 253, pp. 1-162, (1995).

78. J.A. Wilson, F.J. DiSalvo, and S. Mahajan, "Charge-Density Waves in Metallic, Layered, Transition-Metal Dichalcogenides", Phys. Rev. Lett., vol. 32, pp. 882-885, (1974).

79. J.A. Wilson, F.J. DiSalvo, and S. Mahajan, "Charge-density waves and superlattices in the metallic layered transition metal dichalcogenides", Advances in Physics, vol. 24, pp. 117-201, (1975).

80. M.B. Еремин и И.А. Ларионов, "Особенности d- спаривания в бислойных купратах при пайерлсовской нестабильности нормальной фазы", Письма в ЖЭТФ, том 68, вып. 7, стр. 583— 587, (1998).

81. S.M. Hayden, G. Aepph, T.G. Perring, Н.А. Mook and F. Doogan, "High-Frequency Spin Waves in YBCI2CU3O6J5.", Phys.Rev.B, v.54, pp. R6905-6909, (1996).

82. M.V. Eremin, I.A. Larionov and S.V. Varlamov, "CDW scenario for pseudogap in normal state of bilayer cuprates", // Physica В (Amsterdam), v. 259-261, pp. 456-457, (1999).

83. I. Eremin, M. Eremin, "CDW as a possible reason for the pseudogap in the normal state of high- Tc cuprates", J. Superconductivity, v. 10, pp. 459-460, (1997).

84. N. Miyakawa, P.Guptasarma, J. Zasadzinski, D. G. Hinks, and К. E. Gray, "Strong Dependence of the Superconducting Gap on Oxygen Doping from Tunneling Measurements on Bi2Sr2CaCu2085", Phys. Rev. Lett., v. 80, pp. 157-160, (1998).

85. Y. Sezaki, T. Ekino, and H. Fujii, "Tunneling measurements of as grown Bi2Sr2CaCu208+8 single crystals", in Strongly Correlated Electron Systems, SCES-98, Abstracts, July 15-18, 1998, Paris, France.

86. T. Ekino, Y. Sezaki, and H. Fujii, "Features of the energy gap above Tc in Bi2Sr2CaCu2C>8+5 as seen by break-junction tunneling", // Phys. Rev. B, v. 60, pp. 6916-6922, (1999).

87. A. Mourachkine, "The Origin of the Pseudogap from Tunneling Spectroscopy Measurements on Bi2Sr2CaCu20g+x Single Crystals,", // Cond-mat / 9810161, 15 Oct 1998.

88. Ch. Renner, B. Revaz, J.-Y. Genoud, K. Kadowaki, and 0. Fischer , "Pseudogap Precursor of the Superconducting Gap in Under- and Overdoped Bi2Sr2CaCu208", // Phys. Rev. Lett. v. 80, 149-152, (1998).

89. A. G. Loeser, Z.-X. Shen, M.C. Schabel, C. Kim, M. Zhang, A. Kapitulnik, and P. Fournier, "Temperature and doping dependence of the Bi-Sr-Ca-Cu-0 electronic structure and fluctuation effects", Phys. Rev. B, v. 56, pp. 14185-14189, (1997).