Изоморфные модифицированные пространства в теории упругости анизотропного тела тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Матченко, Ольга Николаевна

• Матченко, Ольга Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Матченко, Ольга Николаевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Изоморфные модифицированные пространства ани зотропных сред.

1.1. Модифицированные пространства.

1.2. Матричная запись в физическом пространстве.

1.3. Матричная запись в модифицированном пространстве.

1.4. Главные оси анизотропии.

1.5. Пределы изменяемости упругих характеристик анизотропных материалов. Обобщенные объемные и сдвиговые деформации.

1.6. Квазинесжимаемый материал.

1.7. Ортотропный материал.

1.8. Трансверсально изотропный материал.

1.9. Собственные векторы и собственные значения квадратной матрицы упругих характеристик.

1.10. Некоторые особенности понятия квазинесжимаемость.

ГЛАВА 2. Аффинные преобразования и метод малого параметра в плоской задаче теории упругости ортотропного тела.

2.1. Постановка задачи в напряжениях

2.2. Постановка плоской задачи в перемещениях.

ГЛАВА 3. Основные задачи плоской теории упругости ортотропной среды в эталонном пространстве.

3.1. Постановка задачи. Основные соотношения.

3.2. Первая основная задача.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

3.3. Вторая основная задача плоской теории упругости для орто-тропной полосы.

3.4. Смешанная задача плоской теории упругости для ортотроп-ной полосы.

ГЛАВА 4. Смешанные задачи для ортотропной полосы.

4.1. Контактная задача для штампа с угловыми точками при наличии в области контакта участков скольжения и сцепления.

Пример.

4.2. Контактная задача для штампа без угловых точек при наличии в области контакта участков скольжения и сцепления.92 Пример.

4.3. Контактная задача с учетом трения и сцепления при действии прижимающей и сдвигающей нагрузки.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Изоморфные модифицированные пространства в теории упругости анизотропного тела»

Свойства симметрии играют фундаментальную роль в описании механических свойств анизотропных материалов. Сводку основных данных можно найти в книге Дж. Ная [44], в которой имеются подробные ссылки на предыдущие работы.

Построению общей теории описания полиномиальных свойств компонент тензоров и векторов скалярных инвариантов относительно конечных групп преобразований, характеризующих симметрию анизотропного материала, посвящено значительное количество публикаций. Например, построение целого рационального базиса для текстур и кристаллических классов приводится в работах В. Деринга [69], Г. Смита, Р. Ривлина и А. Пип-кина [76,78], Ю. Сиротина [55,56]. Построению скаляров и тензоров с заданной симметрией можно найти в работах Г. Смита, Р. Ривлина и А. Пипкина [75-78], X. Яна [71], А. Шубникова [65,66], Ю.Сиротина [54-57], в книге С. Багавантама и Т. Вен-катурайуду [8].

Например, если тензоры, являющиеся функциями тензорных аргументов, относятся к тензорам второго ранга, функциональные связи между ними приводят к функциональным соотношениям между квадратичными матрицами и поэтому основные результаты сводятся к формуле Гамильтона - Кэли и к ее обобщению на случай нескольких матричных аргументов [25,26,7178,80].

Вопросам построения нелинейных тензорных функций от нескольких тензорных аргументов посвящена статья Л. Седова и В. Лохина [27].

Отмеченные выше работы посвящены, в основном, изысканию возможностей описания анизотропных сред с усложненными физико-механическими свойствами.

Вместе с тем имеется не так уж много работ, посвященных изучению математической модели линейноупругих анизотропных сред. Наиболее полными до настоящего времени остаются исследования П. Бехтерева [9], содержащие всестороннее исследование закона Гука для линейно упругого анизотропного материала.

Это направление исследований в дальнейшем получило развитие в работах К.Ф. Черных [60-64] решение, поставленной Бехтеревым, задачи о нахождении наитеснейших пределов упругих постоянных.

Несколько ранее Я. Рыхлевский [46,47] использовал методы функционального анализа для решения проблемы приведения матрицы упругих модулей к диагональному виду. При этом закон Гука записывается в виде шести соотношений, в которые входят собственные значения собственных векторов квадратной матрицы и направляющие косинусы этих векторов. По существу, проблема сводится к выбору обобщенных деформаций и соответствующих им обобщенных напряжений. К этому же времени относится и докторская диссертация К.С. Александрова [4], в которой рассмотрены различные способы определения коэффициентов жесткости и податливости упругих анизотропных тел и обсуждаются варианты выбора инвариантного представления собственных значений квадратной матрицы.

А. Лодж [72] исследовал проблему преобразования упругого анизотропного материала в изотропный. Он вводит линейное преобразование общего вида

Xi —>хД и, —> и,- *, CTy сГу*, где

X, — 1lfrXr *, Uj ' (lirUr, Су — (lir Cljs Crs, CJjj ~ Uif (ljs(7rs . А. Лодж сделал попытку подобрать компоненты преобразующего тензора ау таким образом, чтобы функция W, представляющая энергию деформации анизотропного тела,

W= Сп сп2 + С12епс22 + ., принимала вид энергии деформации для изотропного тела с постоянными Ляме X, /./

W = (У2 Щбгз +ju Siröjs) еу*е,,* где (öij- функция Кронекера).

А. Лодж обнаружил, что при изотропных решениях на 21 постоянную, соответствующую общему случаю анизотропии, накладываются 14 условий. При орторомбической симметрии удовлетворяются все условия, кроме пяти, и остаются четыре независимых постоянных.

Ясно, что в общем случае, вряд ли анизотропные состояния можно сделать математически эквивалентным изотропному состоянию, так как последнее является лишь предельным случаем первых. Поэтому, по всей видимости, следует рассмотреть возможность модификации преобразований Лоджа, состоящее в устранении требования об изотропии одной из сред. Ниже предлагается вариант реализации этой идеи.

Проблема представления квадратичной формы энергии деформации анизотропной среды через изотропную обсуждалась также в работах A.A. Ильюшина [15,16] и Н.Б. Алфутовой [5,6].

В этих работах преобразованиям подвергались только тензоры напряжений и деформаций посредством преобразующего тензора четвертого ранга, при этом такие преобразования не являются однозначными, поскольку допустим произвол в выборе констант в изотропном изображающем пространстве.

Непосредственным поводом для написания данной диссертации явилось осмысление идей, высказанных Матченко Н.М. в докторской диссертации [32] при построении теории идеальной пластичности ортотропных сред.

Оказалось, что применение аффинных преобразований позволяет развить новую точку зрения на некоторые основные вопросы теории упругости анизотропных материалов и получить новые результаты.

В первом разделе исследуется возможность аффинного преобразования координат, перемещений, полей напряжений и деформаций для анизотропного материала, отнесенного к декартовой системе координат при использовании тензора А.Лоджа.

Доказывается теорема о множественности представлений одного и того же анизотропного материала в различных пространствах.

Вводится понятие о модифицированных пространствах. Среди модифицированных пространств выделяется эквивалентное, в котором коэффициенты податливости в направлении исходной прямоугольной декартовой системы координат одинаковы и, например, равны единице {эталонное пространство). Перевод анизотропного материала в эталонное пространство как бы упаковывает его механические характеристики, позволяя сравнивать между собой различные материалы.

Рассматриваются проблемы диагонализации квадратной матрицы коэффициентов, характеризующих упругие свойства анизотройного материала. Показывается, что инвариантные представления упругих характеристик анизотропного материала носят относительный характер. То есть, поскольку для анизотропного материала имеется бесчисленное множество изоморфных модифицированных пространств, то об инвариантности характеристик можно говорить только в рамках каждого из модифицированных пространств.

Получены новые результаты в решении проблемы о пределах наитеснейших представлений упругих характеристик анизотропного тела.

Впервые вводится понятие о квазинесжимаемости упругого анизотропного материала в изоморфном модифицированном пространстве. Подробно выписаны соотношения между обобщенными напряжениями и деформациями для случаев произвольной анизотропии, ортотропии и трансверсальной изотропии.

Доказывается, что введение гипотезы о квазинесжимаемости анизотропного материала в модифицированном пространстве налагает менее жесткие ограничения на упругие механические характеристики, нежели гипотеза о несжимаемости анизотропного материала в физическом пространстве.

Приводятся формулы для вычисления компонент преобразующего тензора.

Для листовых анизотропных материалов, используя гипотезу о квазинесжимаемости, показывается возможность вычисления модуля упругости по толшине.

Во втором разделе дается обзор работ, в которых при решении упругих плоских задач для анизотропных материалов используются различные варианты аффинных преобразований и метод малого параметра. Отмечается, что опубликованные работы можно разделить на две группы: в одной группе работ задача решается в напряжениях (вводится функция напряжений), и используется аффинное преобразование координат и различные формы выделения малого параметра, в другой группе работ задача решается в перемещениях с применением аффинного преобразования координат, перемещений и метода малого параметра. Отмечается, что одновременное использование аффинного преобразования координат, перемещений, компонент тензоров напряжений и деформаций ранее не использовалось. Ставится задача об использовании эталонного пространства и метода малого параметра при решении плоских задач теории упругости ор-тотропного тела, при этом задача формулируется в перемещениях.

В третьем разделе рассматривается применение метода Л.Маневича для решения плоских задач теории упругости ор-тотропной среды, основанный на введении аффинного преобразования координат, компонент вектора перемещения, компонент тензоров напряжений и деформаций, переводящего орто-тропный материал в эталонное пространство. При этом естественным является использование разложения искомого решения в ряд по малому параметру, зависящему от упругих характеристик среды.

На основе анализа данных об упругих характеристиках двадцати произвольно выбранных ортотропных стеклопластиков, показано, что жесткостная характеристика материала, которую предлагается использовать, в качестве малого параметра изменяется в диапазоне от 0,001 до 0,085. Указывается путь решения первой и второй основных задач, а также смешанной задачи теории упругости для ортотропной полосы. Предлагаемый метод демонстрируется на тестовых примерах. Показано, что первая основная задача для ортотропной полосы сводится на каждом этапе последовательных приближений к решению задачи Неймана для искомых функций. Вторая основная задачи теории упругости для ортотропной полосы в каждом приближении сводится к решению первых основных задач теории потенциала (задач Дирихле) относительно двух функций. Смешанная задача для ортотропной полосы на каждом этапе приближений сводится к решению задачи Неймана для искомых функций или бесконечной последовательности смешанных задач теории аналитических функций, для которых используется формула Келдыша-Седова [53]. Особое внимание уделено решению контактных (смешанных) задач.

Приводится приближенное аналитическое решение симметричной контактной задачи о сжатии полосы двумя жесткими штампами с плоскими основаниями при отсутствии трения на площадках контакта. Приведено также решение более обшей задачи о сжатии ортотропной полосы 2п жесткими штампами при отсутствии трения между полосой и штампами. Результаты вычислений показывают, что уже нулевое приближение дает погрешность по силовым параметрам в сравнении с точным решением для наихудшего значения малого параметра не более 8%. При изложении этого и последующего разделов существенно использованы результаты исследований Маневича Л.И. и его учеников [17-19, 28-30].

В четвертом разделе, в качестве примера использования эта лонного пространства, приводится дальнейшее развитие метода решения смешанной задачи для ортотропной полосы, изложенного в третьем разделе, применительно к контактным задачам для штампа с угловыми точками при наличии в области контакта участков скольжения и сцепления. Показана эффективность решения плоской задачи о вдавливании штампа в орто-тропную полуплоскость в эквивалентном пространстве.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

1. ИЗОМОРФНЫЕ МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД

1Д. Модифицированные пространства

Рассмотрим анизотропное тело, находящееся под действием внешних поверхностных сил. Введем прямоугольную систему координат х; (\ = 1,2,3). Напряженное состояние в точке тела определяется симметричным тензором напряжений о у (ц = 1,2,3).

Компоненты напряжений в сплошном теле, на которое действуют только поверхностные силы, удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия: д] сгг7 = 0, (1.1.1) где д^ = д/дху

Деформированное состояние в окрестности точки тела определяется тензором деформации ву.

Компоненты тензора деформации связаны с перемещениями формулами

2е{] = Му+ и1Ь (1-1.2) г//— проекции вектора перемещения на оси системы координат.

На компоненты тензора деформации наложены ограничения д22еи + д21е22 = 2д1сЭ2е12, д2{е + д23е и = 2д1дзе 13, д22е зз + <Э2 зе 22 = 2д2д3е2з, д2дзеп = д1 (- дге2ь + дзе п+ д2е 13), (1.1.3) д1дзв22 = д2 (- д2е 31 + д3е 21+ ^е23), д]д2е зз = 3з (- дзе ¡2 + б\е 32+ д2е 3]), где д21 = д2/дх2.

В упругом анизотропном теле напряжения и деформации связаны законом Гука [23,24] сг*/= Амуву, (1.1.4) где А уМ = А /,1к = А щ = А щ - упругие постоянные (коэффициенты податливости). В общем случае упругое анизотропное тело характеризуется 21-й независимой упругой постоянной. Далее материал, имеющий константы Ащ будем называть - материал (А). Справедливы и обратные соотношения еу = АтакЬ (1.1.5)

Равенства (1.1.2) предполагают существование упругого потенциала

2]¥ = АуМеуекЬ (1.1.6)

На основании (1.1.4) потенциал (1.1.6) можно представить в билинейной форме

2Ж= сГуву. (1.1.7)

Теорема 1.

Аффинные преобразования координат, перемещений, деформаций и напряжений позволяют для анизотропного материала (А) получить бесконечное множество изоморфных модифицированных пространств (Мп), в которых материалы отличаются друг от друга только коэффициентами податливости.

Доказательство. Введем аффинные преобразования

- координат у1 — Ъу ху, (1.1.8)

- перемещений V/ = ад щ (1-1.9) -напряжений Ту ~ Ъ1Г Ьр ог$; (1.1.10)

- деформаций etJ= air aJS srs, (1.1.11) причем air brj = ôy, где öy — символ Кронеккера. Преобразованное пространство будем называть модифицированным (М). В (М) пространствах основные уравнения принимают вид: уравнения равновесия dßraß=0; (1.1.12) компоненты тензора деформации

2£aß=Vatß+Vßai (1.1.13) уравнения совместности деформаций

22£i 1 + д2 $ 22 = 2ôiô2e 12, ô2 js 33 + и = 2ôid3e 13, д~2£ 33 + д2'з£ 22 — 2д2дз£ 23, д2дг£ и = dl (- djS 23 + â3s I2+ d2£ 13), (1.1.14) diâ3s22 = â2(- d2e31 + â3e2i+ Ф25Л did26 33 = â3 (- d3s 12 + âjs 32+ d2e 31), здесь ô2 д = д2/дуа 2; закон Гука

Ту rj = В у ца ß £а ß (1.1.15) причем

Вaßi]y &ат &ßn ®yq A-nmpq. (1.1.16)

Преобразованиями (1.1.8) - (1.1.11) вводится модифицированное пространство (Mb) анизотропного материала.

При этом упругий потенциал W в билинейной и квадратичной формах имеет вид:

2 W = (Jijß у = raߣaß = saß £ns = Ajjki etj eki. (1.1.17)

Уравнения теории упругости в (Мв) пространстве совпадают по написанию с аналогичными уравнениями физического пространства, за исключением значений механических характеристик.

Таким образом, анизотропному материалу (А) в физическом пространстве сопоставлен анизотропный материал (В).

Поскольку компоненты преобразующего тензора сХц выбираются произвольно, то исходному материалу (А) можно сопоставить бесконечное множество материалов (В).

Замечание: в общем случае преобразующего тензора материал любого класса симметрии преобразованиями (1.1.8) - (1.1.11) переводится в произвольно анизотропный материал.

Если потребовать, что бы при переходе в пространство (Мв) класс симметрии не изменялся то, например, для ортотропного материала следует положить а.ц = а, а.22 = Ь, а33 = с, а а^ = 0 при / ^у. На числа а, Ь и С накладывается только одно ограничение - они должны быть действительными.

Тогда для ортотропного материала аффинные преобразования (1.1.8) - (1.1.11) и (1.1.16) принимают вид:

-координаты у! = ах], у2 = Ь х2, у3 = С х3; (1.1.18)

-перемещения а V;, и2=Ьу2, и3 = СУ3; (1.1.19)

2 2 2

- напряжения Тц — а С7ц; т22 = Ь и22; т33 = с а33; т]2 = аЬа12; т13 = асст13; т32 = Ьса23; (1.1.20) ? 2

- деформации еп= (Г£п; е22 = Ь е22; е33 = с £33; е12= аЬ е12; е23 = Ъс £23; в!3= ас £13. (1.1.21)

- механические характеристики в 1111 ~ Ацц/а4, В2222 — А.2222/Ь4, В3333 = А3333/с4, у у 2 ^

В1122 = Ац22/а" Ь", В1133 = Ац33/а с',

В2233 = ^2233/'Ь2С2, В1212 = ^1212^ Ь2,

В1313= А1313 /'а2 с2, В2323 = к2Ш/Ь2с2. (1.1.22)

Для трансверсально изотропного материала а — Ъ.

Следствие: если компоненты преобразующего ац тензора выбираются так, что В1Ш = В2222 = Взззз (эквивалентное пространство (Мэк), то в (Мэк) пространстве имеем анизотропный материал, коэффициенты податливости которого в направлении осей системы отсчета равны.

Особый интерес представляет пространство, в котором материальные константы В на — В 2222 ~ В 3333 = 1. Такое пространство назовем эталонным (Мэт), поскольку в нем удобно сравнивать между собой различные анизотропные материалы, т.е. в пространстве (Мэт) все анизотропные материалы как бы упакованы.

В качестве примера рассмотрим два материала - древесину натуральную (Ех = 1х105 кг/см2, Е2 = 0,042x105 кг/см2, в = 0.075x105

2 5 2 кг/см , \>21 = 0.01) и дельта древесину (Е] = 3,05x10 кг!см , Е2 = 0,467x105 кг/см2, в = 0.22х105 кг/см2, \2\ = 0.02) [23]. На рис. 1.1 показаны зависимости модуля упругости от направления. Очевидно, что это два разные о|тготронныс материала. \ На рис. 1.2 показаны модули упругости этих же материалов в пространстве (Мэт). Очевидно, что упаковка материалов в (Мэт) пространство существенно нивелирует различие их механических свойств.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Матченко, Ольга Николаевна

Основные результаты выполненной работы были сформулированы во введении к каждой из глав. Не повторяя, остановимся здесь на тех из них, которые, по нашему мнению, имеют самостоятельную научную и практическую ценность:

1. Предложено аффинное преобразование координат, перемещений, компонент тензоров напряжений и деформаций, которое позволяет для одного и того же анизотропного материала ввести множество эквивалентных (модифицированных) пространств без изменения класса симметрии.

2. Исследованы свойства механических характеристик упругого анизотропного материала (главные оси анизотропии, наитеснейшие пределы изменения механических характеристик) в модифицированном пространстве.

3. Введено эталонное пространство в котором анизотропные материалы упакованы таким образом, что коэффициенты податливости по направлению исходной декартовой системы координат для любых материалов равны.

4. Введено понятие квазинесжимаемости анизотропного материала в модифицированном пространстве. Показано, что условие-квазинесжимаемости налагает меньше ограничений на механические характеристики анизотропного материала нежели условие несжимаемости для этого материала в физическом пространстве.

5. В качестве примера приложения идей, изложенных в первом разделе рассматривается постановка плоской задачи теории упругости ортотропного тела в перемещениях в эталонном пространстве. Введение эталонного пространства позволяет естественным образом выделить малый параметр.

6. На примере решения задачи о вдавливании штампа продемонстрирована эффективность применения метода малого параметра в плоской задаче теории упругости ортотропного тела при постановке задачи в перемещениях и использовании эталонного пространства. Показано, что для инженерных решений достаточно ограничиться нулевым приближением.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Матченко, Ольга Николаевна, 2000 год

1. Александров В.М., Бабешко В.А. Контактные задачи для плоской упругой полосы малой толщины. Изв. АН СССР. Механика, 1965, № 3, с. 95-107.

2. Александров В.М., Кучеров В.А. О методе ортогональных полиномов в плоских смешанных задачах теории упругости. -Прикладная математика и механика, 1970, т. 34, вып. 4, с. 643-652.

3. Александров К.С. Упругие свойства анизотропных сред., док. дисс., Красноярск. 1967.

4. Алфутова Н.Б. Вопросы упруго-пластического деформирования анизотропных тел, Тезисы докладов VI Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Ташкент, 1986.

5. Алфутова Н.Б. Отношение эквивалентности упруго-пластических свойств анизотропных тел. МГУ. М., 1987,18 с. Деп. в ВИНИТИ № 4159-В-87 от 09.06.87.

6. Бабешко В.А. Об одном эффективном методе решения некоторых интегральных уравнений теории упругости и математической физики. Прикладная математика и механика, 1970, т. 31, вып. 1, с. 80-89.

7. Багавантам С., Венкатарайду Т. Теория групп и ее применение к физическим проблемам, ИЛ, 1959.

8. Бехтерев П. Аналитическое исследование обобщенного закона Гу-ка: В 2ч. Л.:Литограф, изд. автора, 1925.

9. О.Галин Л.А. Вдавливание штампа при наличии трения и сцепления. -Прикладная математика и механика, 1945, т. 9, вып. 5. П.Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости. М., 1953,- 264 с. 12.Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Гостехиздат, 1953.

10. И.Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., Физматгиз. 1963.

11. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. М., Гостех-издат., 1953.

12. Ильюшин A.A. Об изоморфизме упруго-пластических свойств анизотропных тел. Тезисы докладов VI Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Ташкент, 1986.

13. Ильюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории. М., Изд. АН СССР, 1963, 271 с.

14. Коблик С.Г. Применение асимптотического метода к решению контактных задач с неизвестной заранее областью контакта., В кн.:Решение некоторых физико-технических задач /ДГУ. Днепропетровск. 1972, с 31-35.

15. Коблик С.Г. Контактная задача для ортотропной полуплоскости при наличии в области контакта участков скольжения и сцепления. -В кн.:Решение некоторых физико-технических задач /ДГУ. Днепропетровск. 1972, с 36-43.

16. Коблик С.Г., Маневич Л.И. Контактная задача для ортотропной полосы при наличии в области контакта участков скольжения и сцепления. В кн.: Гидроаэромеханика и теория упру гости/ДГУ. Днепропетровск. 1976, вып. 20,с 106-110.

17. Космодамианский A.C. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями, вырезами, выступами. Киев, Вища школа, Головное изд-во, 1975. - 228 с.

18. Космодамианский A.C. Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или плоскостями. Киев-Донецк, Вища школа, Головное изд-во, 1976. - 200 с.

19. Кравчук A.C. О теории пластичности анизотропных материалов. В сб. «Расчеты на прочность» М., 1986, №27, 21-29.

20. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.,Гостетеориздат, 1957.-248 с.

21. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М., Наука, 1977. - 463 с.

22. Лохин В.В. Система определяющих параметров, характеризующих геометрические свойства анизотропной среды, Докл. АН СССР, 1963 т. 149, № 2, стр. 295-297.

23. Лохин В.В. Общие формы связи между тензорными полями в анизотропной сплошной среде, свойства которые описываются векторами, тензорами второго ранга и атисимметричными тензорами третьего ранга, Докл. АН СССР, 1963 т. 149, № 6, стр. 1282-1285.

24. Лохин В.В., Седов Л.И. Прикладная математика и механика, 1963, т. 27, вып.3.

25. Маневич Л.И., Павленко A.B. К решению контактных задач теории упругости для ортотропной полосы с учетом сил трения. -Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1974, № 6, с. 72-80.

26. Маневич Л.И., Павленко A.B., Коблик С.Г. Асимптотические методы в теории упругости ортотропного тела. Киев-Донецк, Вища школа, Головное изд-во, 1982. - 152 с.

27. Маневич Л.И., Павленко A.B., Коблик С.Г. Асимптотические методы в теории упругости ортотропного тела. Киев-Донецк, Вища школа, Головное изд-во, 1982. - 152 с.

28. Матченко И.Н., Матченко Н.М., Матченко О.Н. О множественности модифицированных пространств в анизотропных средах.Тезисы докладов, Всероссийская научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики», с. 97, Тула, 2000.

29. Матченко Н.М. Некоторые задачи теории идеальной пластичноси анизотропных сред., док. дисс., Тула, 1975.

30. Матченко Н.М., Матченко О.Н. Модифицированное пространство в плоской задаче теории упругости ортотропного тела (асимптотический метод) В кн.: Современные проблемы механики и прикладной математики / ВГУ, Воронеж, 1998.

31. Матченко Н.М., Матченко О.Н. Плоская задача теории упругости ортотропного тела (асимптотический метод) В кн.: Теория приближений и гармонический анализ / ТулГУ, Тула, 1998.

32. Матченко О.Н. Метод малого параметра в плоской задаче теории упругости ортотропного тела В кн.: Проблемы пластичности в технологии / ОрелГТУ, Орел, 1998.

33. Матченко О.Н. Основные задачи плоской теории упругости для ортотропной среды (метод малого параметра) В кн.: «Современные проблемы математики, механики, информатики», с. 98, / ТулГУ, Тула, 2000.

34. Матченко И.Н., Матченко Н.М., Матченко О.Н. О множественности модифицированных пространств в анизотропных средах В кн.: «Современные проблемы математики, механики, информатики», с. 97, / ТулГУ, Тула, 2000.

35. Матченко О.Н., Батов П.А. Некоторые задачи теории тонких ор-тотропных пластин в модифицированном пространстве В кн.: Сборник материалов «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии», с.50, / ТулГУ, Тула, 2000.

36. Матченко О.Н., Зайцев О.В. Аффинные преобразования в осе-симметричной задаче трансверсально-изотропного тела В кн.: Сборник материалов «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии», с.65, / ТулГУ, Тула, 2000.

37. Матченко H.H., Матченко Н.М., Матченко О.Н. О множественности эквивалентных представлений анизотропных материалов В кн.:

38. Сборник материалов «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии», с.83, / ТулГУ, Тула, 2000.

39. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости М., Наука, 1966, -780 с.

40. Най Дж. Физические свойства кристаллов, ИЛ, 1960.

41. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.:Судпромгиз, 1958.

42. Рыхлевский Ян. Разложение упругой энергии и критерии предельности, Успехи механики, 1984, 7, вып. 3, 51-80.

43. Рыхлевский Ян. «CEIIINOSSSU», Математическая структура упругих тел. ИПМ АН СССР. Препринт-217, М., 1983, 98 с.

44. Савин Г.Н. Давление абсолютно твердого штампа на упругую анизотропную среду. ДАН УССР, ОТН, №6, 1939.

45. Савин Г.Н. О дополнительном давлении, передающемся по подошве абсолютно твердого штампа на упругое анизотропное основание, вызванном близлежащей нагрузкой. ДАН УССР, ОТН, №7, 1940.

46. Савин Г.Н., Грилицкий Д.В. Сжатие двух упругих анизотропных тел. ДАН УССР, №2, 1952.51 .Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев,

47. Наукова думка, 1968. 450 с.

48. Саченков A.B., Дараган В.И. метод малого параметра в плоской задаче теории упругости анизотропного тела. В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек/ КазГУ. Казань, 1978, № 8, с. 77-95.

49. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М., Наука, 1966.

50. Сиротин Ю.И. Анизотропные тензоры, Докл. АН СССР, 1960,т.133, №2, стр. 321-324.

51. Сиротин Ю.И. Целые рациональные базисы тензорных инвариантов кристаллографических групп, Докл. АН СССР, 1963, т. 51.

52. Сиротин Ю.И. Групповые тензорные пространства, Кристаллография, 1960, т. 5, вып. 2, стр. 171-179.

53. Сиротин Ю.И. Построение тензоров заданной симметрии, Кристаллография, 1961, т. 56, вып. 3, стр. 331-340.

54. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах.-М.:Наука, 1965.

55. Хилл Р. Об определяющих неравенствах для простых материалов. 1 // Механика (сб. переводов). 1969.-№4(116).

56. Черных К.Ф. О формах связи между симметричными тензорами в механике сплошных сред // МТТ.-1967.-№3.

57. Черных К.Ф. Симметричные функции симметричных тензоров в анизотропной теории упругости // МТТ.-1970.-№3.

58. Черных К.Ф. О функциональных связях между соосными симметричными тензорами второго ранга // Проблемы механики твердого деформированного тела (к 60-летию академика В.В. Новожилова).-Л.: Судостроение, 1970.

59. Черных К.Ф. Определяющие неравенства упругих тел // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа (к 80-летию академика Н.И. Мусхелишвили).-М.: Наука, 1972.

60. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость.-М.: Наука, 1978.

61. Шубников А.В. Симметрия и антисимметрия конечных фигур, Изд. АН СССР, 1951.

62. Шубников А.В. О симметрии векторов и тензоров, Изв. АН СССР, сер. физ., 1949, т. XIII, № 3, стр. 347-375.

63. Brunelle E.J. AIAA Journal, Vol. 23, Dec., 1985, pp. 1957-1961.

64. Brunelle E.J. and Oyibo G.A. AIAA Journal, Vol. 21, Aug., 1983, pp. 1150-1156.

65. Douing W. Die Richtungsabhangigkeint der Kristallenergie, Annalen der Physik6 1958,7. Forge, Bd. 16 Heft 1-36 S. 104-111.

66. Conway H. J. Appl. Mech,21, 1954, pp. 42-44.

67. Jahn H. Nove on the Bhagavantam Suryanarayana method of enumera-tiong the physical constant of crystals, Acta Crystallographica, 1949, vol. 2, Part l,pp. 30-33.

68. Lodge A. Quart J. Mech. Appl. Math., 8, 1955, pp. 211-225.

69. Oyibo G.A. and Brunelle E.J. AIAA Journal, Vol. 23, Feb., 1985, pp. 296-300.

70. Pipkin A.C., Rivlin R.S. The formulation of constitutiveequations in continiuum physics. Pat. I, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1959, vol. 4, №2, pp. 129-144.

71. Shield R. Proc. Cambridge Phil. Soc., 47,1951, pp. 401.

72. Smith G.F., Rivlin R.S. The anisotropic tensors, Qurterly of Applied

73. Mathematics, 19576 vol. 15, № 3, pp. 308-314.

74. Smith G.F., Rivlin R.S. The strein-energy function for anisotropic elastic materials, Trans. Amer. Mech. Soc. 6 1958, vol. 88, № 1, pp. 175193.

75. Smith G.F. Further results on the stain-energy function for anisotropic elastic materials, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1962, vol. 10, №2, pp. 108-118.

76. Sokolnikoff I.S. Proc. Symposium Appl. Math., 3, 1950.

77. Spenser A.J.M., Rivlin R.S. The theory of matrix polynomials and its application to the mechanics of isotropic continua, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1959, vol. 2, № 4, pp. 309-336.

78. Spenser A.J.M., Rivlin R.S. Finite integrity bases for five or fewer symmetric 3x3 matrices, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1959, vol. 2, № 5, pp. 435-446.

79. Spenser A.J.M., Rivlin R.S. Isotropic integrity bases for vectors and second-order tensors. Pat. I, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1962, vol. 9, № l,pp. 45-63.

80. Spenser A.J.M. The invariants of six symmetrix 3x3 matrices, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1961, vol. 7, № 1, pp. 64-77.