Редукции плоской задачи теории упругости к системе одномерных краевых задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Жаворонок, Сергей Игоревич

• Жаворонок, Сергей Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Жаворонок, Сергей Игоревич

СОДЕРЖАНИЕ

Содержание

Введение

1. Современное состояние проблемы

1.1. Аналитические методы решения плоской задачи теории упругости

1.2. Численные методы решения плоской задачи теории упругости

1.3. Методы построения приближенного решения

1.4. Способы редукции краевых задач теории упругости

2. Редукция уравнений плоской задачи теории упругости к системе одномерных краевых задач

2.1. Постановка задачи плоской теории упругости для криволинейной неравнобочной анизотропной трапеции

2.2. Основные сведения из теории полиномов Лежандра общего вида

2.3. Построение редукции соотношений двумерной краевой задачи

2.4. Матрично-векторная форма разрешающих уравнений приближения 1Ч-го порядка

3. Анализ приближенного решения 1Ч-го порядка

3.1. Система разрешающих уравнений тестовой задачи для прямоугольной изотропной полосы

3.2. Анализ решения тестовой задачи при заданных на контуре напряжениях и различных геометрических параметрах полосы

3.3. Анализ решения тестовой задачи при заданных на контуре высокоградиентных полях напряжений

4. Задачи о криволинейных неравнобочных ортотропных трапециях с произвольными краевыми условиями

4.1. Процедура численного решения задачи

4.2. Напряженно-деформированное состояние криволинейной трапеции при заданных контурных полях напряжений

4.3. Напряженно-деформированное состояние криволинейной трапеции при заданных на основании однородных

кинематических краевых условиях

Заключение

Список использованных источников

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Редукции плоской задачи теории упругости к системе одномерных краевых задач»

ВВЕДЕНИЕ

Данная диссертационная работа посвящена разработке методики сведения двумерной краевой задачи теории упругости к системе одномерных краевых задач путем разложения неизвестных по общего вида полиномам Лежандра. Этот подход является одним из эффективных вариантов решения плоской задачи теории упругости для достаточно широкого класса областей, в том числе неканонических, построение аналитического решения для которых сопряжено с определенными трудностями.

Актуальность работы.

Существующие методы решения плоской задачи теории упругости можно подразделить на две основные группы: аналитические методы математической теории упругости и сугубо численные методы.

Методы математической теории упругости, нацеленные на аналитическое построение точного решения поставленной задачи без применения каких-либо дополнительных гипотез о напряженно-деформированном состоянии, имеют наибольшую научную ценность, так как позволяют анализировать решение, построенное в общем виде, однако их практическое применение существенно ограничено простым видом уравнений состояния - изотропной или ортотропной средой, постоянными по всей области коэффициентами физических соотношений, частными случаями геометрии рассматриваемой области, часто - краевыми условиями определенного типа. Точные решения построены для сравнительно узкого класса задач о плоском напряженном состоянии и плоской деформации и для ряда отдельных задач о трехмерном напряженно-деформированном состоянии. Нахождение точного решения в замкнутой форме весьма затруднительно для анизотропных сред, неканонических контуров областей. Как правило, методы построения точных

решений не являются универсальными в смысле невозможности применения единого подхода для двумерных и трехмерных задач.

Численные методы, такие, как вариационно-разностный метод, метод конечных разностей, метод граничных элементов и особенно широко распространенный на данный момент метод конечных элементов наиболее универсальны с точки зрения практического применения к решению задач для областей со сложными неканоническими контурами, произвольными краевыми условиями и законами состояния среды. Данное преимущество вытекает из универсальности примененных во всех методах данной группы подходов к замене дифференциальных уравнений алгебраическими на основе перехода от континуальных неизвестных к дискретным. В то же время преимущества дискретизации сплошной среды оборачиваются вполне определенными органическими недостатками, например, неточностью удовлетворения условий неразрывности среды на границах элементов в конечно-элементном подходе.

Вместе с вышеперечисленными подходами определенный интерес представляет развитие промежуточного класса - численно-аналитических методов решения задачи теории упругости, идея которых заключается в понижении порядка краевых задач, т.е. редукции, и приведения их к системам уравнений, допускающих эффективное численное решение современными вычислительными средствами. Одним из возможных подходов является замена двумерной краевой задачи системой одномерных краевых задач. Достоинство такого подхода заключается в его универсальности в том смысле, что редукция двумерной задачи к системе одномерных задач и редукция трехмерной задачи к системе двумерных задач осуществляется на основе одних и тех же приемов. Кроме того, редукция двумерной или трехмерной задачи строится на основе строгого математического аппарата без принятия каких-либо гипотез о напряженно-деформированном состоянии среды.

Таким образом, актуальность данной работы состоит в разработке нового способа численно-аналитического решения двумерной задачи теории упругости

для областей неканонического вида в декартовой системе координат на основе редукционного подхода.

Цель работы.

Целью данной работы является разработка способа решения плоской задачи теории упругости для криволинейной неравнобочной трапеции на основе метода редукции двумерных краевых задач к системам одномерных краевых задач путем разложения неизвестных по полиномам Лежандра.

Для реализации сформулированной цели поставлены следующие задачи:

1. Применить ортогональные разложения неизвестных задачи по полиномам Лежандра общего вида, ортогональным на произвольном промежутке [а, Ь], с целью построения системы разрешающих уравнений задачи для неканонической области в декартовой системе координат.

2. На основе ортогональных разложений неизвестных построить процесс замены двумерных соотношений плоской задачи статической теории упругости эквивалентной системой одномерных соотношений.

3. Используя вариационный подход, построить замкнутую конечную систему уравнений приближения произвольного порядка, соответствующего усечению разложений неизвестных задачи некоторым конечным числом N.

4. Разработать алгоритм численного решения двухточечных краевых задач, полученных в результате редукции исходных соотношений, на базе метода ортогональной прогонки С.К. Годунова.

5. Подтвердить достоверность решений, полученных на основе приближения 1Ч-го порядка, путем сравнения с существующими точными решениями тестовых задач.

6. Проанализировать численные решения, полученные при различных порядках приближения 14, и установить оптимальные порядки приближения для областей различной конфигурации.

7. Построить численные решения ряда задач для неканонических областей с ортотропным законом состояния среды и произвольными краевыми условиями.

Научная новизна диссертационной работы.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. В качестве системы функций разложения к редукции двумерных краевых задач для областей, отнесенных к декартовой системе координат, применены полиномы Лежандра общего вида, ортогональные на произвольном промежутке [а, Ь].

2. Построена методика сведения двумерной краевой задачи теории упругости к системе одномерных краевых задач.

3. Построены решения задач теории упругости для неканонических областей различной конфигурации на основе единого алгоритма.

4. В результате анализа применения построенной методики к решению задач установлены оптимальные порядки приближения для областей различной конфигурации.

Достоверность результатов работы.

Достоверность результатов работы обоснована применением апробированного математического аппарата и подтверждена сравнением построенных приближенных решений с имеющимися точными решениями тестовых задач математической теории упругости.

Практическая ценность работы.

Практическая ценность работы состоит в возможности применения разработанного способа решения двумерных краевых задач при проведении

прочностных расчетов плоских конструктивных элементов, включая композиционные.

Разработанная методика может быть использована для редукции трехмерных задач теории упругости для построения прикладных теорий расчета нетонких пластин и оболочек, в том числе анизотропных, многослойных, неоднородных, переменной толщины.

Апробация работы.

Результаты работы апробированы на III Международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (Ярополец, 1997 г) и семинарах по механике деформируемого твердого тела при кафедре "Сопротивление материалов, динамика и прочность машин" Московского Государственного Авиационного института (1999) и кафедре "Строительная механика" Московского Государственного Строительного университета (1999 г).

Публикации по теме работы.

По теме диссертации в 1997-1999 г опубликованы 3 печатные работы.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, основных результатов и выводов и списка литературы. Общий объем работы 123 страницы, в том числе 73 стр. машинописного текста, 37 стр. рисунков и 12 стр. списка литературы из 135 наименований.

Первая глава диссертационной работы посвящена обзору и анализу существующих на данный момент основных подходов к решению поставленной задачи.

Вторая глава посвящена построению процесса редукции исходной плоской краевой задачи теории упругости к системе одномерных краевых задач. Глава состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе описана постановка плоской задачи статической теории упругости для криволинейной трапеции.

Во втором параграфе приведены основные сведения из теории ортогональных полиномов Лежандра и выведены базовые формулы, используемые в дальнейшем для записи соотношений задачи.

В третьем параграфе на основе вариационного принципа Райсснера осуществлена замена двумерных соотношений системой одномерных соотношений, сформулировано приближение 1М-го порядка, получены системы уравнений и краевых условий I и II основных краевых задач теории упругости для криволинейной трапеции.

В четвертом параграфе система уравнений приближения Ы-го порядка приведена к векторно-матричным обыкновенным дифференциальным уравнениям, пригодным для численного интегрирования.

Третья глава диссертации посвящена сравнению решений, получаемых на основе приближения 1чГ-го порядка, с имеющимися точными решениями плоской задачи теории упругости для прямоугольной ортотропной полосы. Глава состоит из трех параграфов.

В первом параграфе описаны постановка тестовой задачи для прямоугольной ортотропной полосы и приведение уравнений приближения 14-го порядка к последовательности бесконечных систем линейных алгебраических уравнений.

Во втором и третьем параграфах приведено решение двух тестовых задач, сравнение полученных приближенных решений 1Ч-го порядка с соответствующими точными решениями и проведен анализ сходимости приближенных решений к точным для различных геометрических параметров области.

Четвертая глава посвящена решению задач для неравнобочных криволинейных трапецеидальных ортотропных областей с произвольными краевыми условиями. Глава состоит из трех параграфов.

В первом параграфе вкратце описано построение численного процесса интегрирования векторно-матричных обыкновенных дифференциальных уравнений задачи на базе метода ортогональной прогонки.

Во втором и третьем параграфах приведены результаты решения поставленных задач и анализ сходимости численных решений.

На защиту выносятся:

1. Построение регулярного процесса замены двумерных соотношений плоской задачи статической теории упругости эквивалентной системой одномерных соотношений на основе разложения исходных неизвестных функций двух аргументов в ряды полиномам Лежандра по общего вида.

2. Построение замкнутых конечных систем уравнений приближения Ы-го порядка I и II основных краевых задач плоской теории упругости с их естественными краевыми условиями, аппроксимирующих исходную систему уравнений, на основе вариационного принципа Райсснера.

3. Сопоставление решений, полученных на основе приближения 1чГ-го порядка, с существующими точными решениями тестовых задач методами математической теории упругости и численный анализ сходимости приближенных решений к точным.

4. Решение задач для ортотропных трапецеидальных областей с произвольным контуром боковых сторон и произвольным контурным нагружением и анализ устойчивости процесса численного интегрирования уравнений приближения ТЧ-го порядка.

1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ.

Плоская статическая задача является одной из наиболее развитых областей теории упругости. Количество работ по данной теме чрезвычайно велико, поэтому ниже рассматриваются в основном работы, посвященные решению плоской задачи теории упругости для прямоугольной или трапецеидальной области. Кроме того, исследуемый метод редукции краевой задачи является универсальным и широко применяется и в теории пластин и оболочек, и значительная часть цитируемых ниже работ посвящена применению редукционного подхода в теории нетонких оболочек.

Как отмечено выше, методы решения плоской задачи теории упругости можно подразделить на аналитические, численно-аналитические и численные.

1.1. Аналитические методы решения плоской задачи теории упругости

Аналитические методы предусматривают решение бигармонического уравнения совместности деформаций относительно функции Эри

при построении решения в напряжениях либо уравнений равновесия Ламе

при построении решения в перемещениях. Как правило, решение строится способом разделения переменных (Фурье), при этом выбираются функции, тождественно удовлетворяющие уравнениям задачи, а неизвестные константы определяются из краевых условий.

Первая группа методов имеет целью нахождение решения бигармонического уравнения совместности (1.1). Наиболее простым является точное решение бигармонического уравнения, построенное Менаже (Mesnager) путем представления функции Эри полиномами различного порядка ([1]).

У2У2ф = 0

(1.1)

+цим.=0, У = 1,2

(1.2)

Такое решение, естественно, может быть найдено только для частных случаев статических краевых условий и оказаться весьма громоздким.

Более широкому классу краевых условий отвечает решение, построенное Файлоном (Filon L.N.G) в работе [2] и Рибьером (Ribière M.) в работе [3]. Тем и другим был предложен, по сути, редукционный способ решения бигармонического уравнения, основанный на разложении функции Эри в одинарный тригонометрический ряд Фурье по синусам (решение Файлона) или косинусам (решение Рибьера). Компоненты статического контурного воздействия также представляются рядом Фурье, и бигармоническое уравнение сводится к последовательности независимых обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка относительно коэффициентов разложения срк(х2) с биквадратными характеристическими уравнениями. Такое решение свободно от ограничений по краевым условиям при x2=±h/2; вместе с тем очевидным недостатком метода Файлона и Рибьера является ограничение класса краевых условий на торцах полосы Xj = 0, Xj = L определенными условиями, названными П.Ф. Папковичем в [3]

"условиями симметрии" для решения Рибьера и "условиями упругого подвеса" для решения Файлона, которым они могут удовлетворять. Более общее представление решения, предложенное Матье (Mathieu Е.) в работе [4], опубликованной несколько раньше, нежели [1-3], представляет собой суперпозицию ординарных рядов Фурье по двум направлениям - Xj и х2 и приводит к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, решаемой численно.

Развитие метода Файлона - Рибьера, главным образом по пути расширения класса краевых условий на краях Xj =0, Xj = L, осуществлялось, в частности, П.Ф. Папковичем. В работе [5] им было получено решение для произвольных статических краевых условий на торцах полосы при однородных краевых условиях на краях х2 = ±h / 2. Решение строится путем разложения заданных

на торцевых кромках компонентов тензора напряжения по системе собственных функций бигармонической задачи с однородными краевыми условиями на двух других кромках полосы. В [5] построена система комплексных собственных функций задачи срк(х2), обладающая свойством обобщенной ортогональности. Из соотношений обобщенной ортогональности получены для т.н. класса согласованных краевых условий явные выражения коэффициентов разложения контурных статических воздействий по однородным решениям и из краевых условий найдены коэффициенты разложения функции Эри.

Данный подход, предложенный одновременно с П.Ф. Папковичем И.Фадле (Fädle I.) в [7], получил название метода однородных решений и был развит впоследствии в работе П.Ф. Папковича [6]. Метод однородных решений позволяет получать решения задач с почти произвольными краевыми условиями при Xj = 0, Xj=L, единственным ограничением является требование обращения в нуль в угловых точках Х]=0, х2=±Ь и Xj = L, х2 = ±Ь компонентов внешнего контурного статического воздействия; данный класс краевых условий именуется в ряде работ согласованным классом.

Основным недостатком метода однородных решений в редакции П.Ф. Папковича следует, очевидно, считать зависимость комплексных собственных функций от комплексных корней трансцендентных уравнений, определяемых в общем случае численно. Этот недостаток был частично устранен в работах В.К. Прокопова [8], [9], построившего однородные решения в рядах вещественных функций, зависящих от действительных и мнимых корней трансцендентных уравнений. В работе [8] подход П.Ф. Папковича был обобщен на смешанную краевую задачу с кинематическими краевыми условиями при хг = 0, Xj = L. В редакции В.К. Прокопова система вещественных функций разложения содержит, кроме четырех констант, определяемых из краевых условий при Xj =0, Xj = L, один дополнительный произвол, используемый для

удовлетворения однородным краевым условиям и перехода в класс однородных решений. Данный произвол определяется из трансцендентного уравнения. В работе [9] функция Эри записывается в виде суммы восьми бигармонических функций - четырех четных и четырех нечетных по аргументу х2 - с произвольными константами; удовлетворение однородных краевых условий также приводит к трансцендентным уравнениям, решаемым в общем случае численно. Таким образом, несмотря на более компактную форму записи основных соотношений, в редакции В.К. Прокопова не удается избежать решения трансцендентного уравнения, что снижает эффективность аналитического подхода.

Метод однородных решений П.Ф. Папковича применялся в также А.И. Лурье в работах по теории толстых плит [10]. Дальнейшее развитие данный подход к решению бигармонической задачи применительно к теории упругости получил в более поздних работах В.К. Прокопова, в частности, [11], где приведен достаточно обширный обзор решений, и [12], где были получены в явном виде коэффициенты разложения для изотропной полосы. В работе М.Д. Коваленко [13] метод однородных решений был обобщен на случай ортотропной среды. Дальнейшее усовершенствование метода осуществлялось В.В. Васильевым и С.А. Лурье в [14-18]. В работе [14], в частности, для согласованных краевых условий получены явные выражения коэффициентов разложения для ортотропной прямоугольной области. Случай приведения краевых условий к специальному виду согласованных разложений путем формального преобразования с помощью дифференциальных операторов бесконечного порядка описан в [15].

В работах [16], [17] В.В. Васильевым и С.А. Лурье приведена современная редакция метода однородных решений - метод биортогональных разложений. Разделением переменных согласно способу Фурье двумерная краевая задача сводится к проблеме разложения заданных краевых функций на противоположных краях в ряды общего вида по собственным функциям -

однородным решениям. Для случая принадлежности краевых условий к согласованному классу в работе [16] в явном виде из соотношений биортогональности, соответствующим условиям обобщенной ортогональности П.Ф. Папковича, получены коэффициенты разложения для симметричной по х2 задачи.

Методы однородных решений и биортогональных разложений позволяют строить решения достаточно широкого класса двумерных задач, тем не менее существует ограничение класса краевых условий однородными на двух противоположных краях и т.н. согласованными на двух других краях. Расширение класса краевых условий подобно тому, как эта проблема решена в [15], является достаточно сложной процедурой. Кроме того, решение задачи с неоднородными краевыми условиями на всех краях при сложных заданных функциях контурного статического воздействия может потребовать применения метода суперпозиции - наложения решений при однородных краевых условиях на различных парах противоположных кромок - и т.п. процедур, делающих решение весьма громоздким.

В свою очередь, М.М. Филоненко-Бородич предложил иной подход к решению плоской задачи теории упругости: разложение искомой функции Эри по некоторой системе функций, не удовлетворяющей бигармоническому уравнению, но удовлетворяющей тем или иным краевым условиям задачи, в частности, однородным, и нахождение коэффициентов разложения вариационным путем. В работе [19] им была введена система вещественных функций, обладающая свойством, названным автором "почти ортогональностью" и удовлетворяющая однородным краевым условиям, доказана ее полнота, сходимость аппроксимации произвольной функции и применен метод Б.Г. Галеркина к решению бигармонического уравнения и определению коэффициентов разложения в плоской задаче для прямоугольника с заданными на контуре нормальными и касательными нагрузками.

Другой подход к решению плоской задачи для прямоугольника, идея которого заключается в замене бигармонической краевой задачи бесконечной системой линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения функции Эри, был предложен Б.Л. Абрамяном в работе [20]. Решение бигармонического уравнения представлено в виде ряда по гиперболо-тригонометрическим функциям с неизвестными коэффициентами, а затем краевые значения искомой функции, представленной данным разложением, в свою очередь, разложены в тригонометрические ряды Фурье. Функции статического контурного воздействия также разложены в тригонометрические ряды Фурье, и коэффициенты разложения в решении бигармонического уравнения определены из статических краевых условий задачи, причем выведена в общем виде система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения; была доказана также ее вполне регулярность. Подход, предложенный в [20] для решения симметричной относительно начала декартовой системы координат задачи, получил развитие в [21], где было построено решение II основной краевой задачи для прямоугольника с несимметричными краевыми условиями. Более общий случай несимметричной задачи со смешанными краевыми условиями был рассмотрен в работах П.О. Галфаяна [22] о решении задачи для консоли, а также была доказана квазивполне регулярность линейной системы и ограниченность сверху свободных членов, т.е. возможность определять коэффициенты разложения с любой точностью. Дальнейшее развитие методика получила в работе [23], где был рассмотрен общий случай плоской задачи теории упругости для прямоугольной изотропной полосы со смешанными краевыми условиями. Решения, полученные в [20-23], достаточно эффективны, так как позволяют заменить бигармоническую задачу алгебраической задачей определения коэффициентов разложения из краевых условий, т.е. осуществить редукцию. Однако получаемая линейная алгебраическая система уравнений в силу своей связанности не допускает определения коэффициентов разложения

в явном виде, в отличие от метода однородных решений, и может быть решена только численно. С современной точки зрения, при наличии мощных вычислительных средств, в том числе систем компьютерной алгебры, позволяющих получать решения линейных алгебраических систем высокого порядка в символьной форме, данный недостаток представляется несущественным, тем не менее, в [23] отмечается достаточно медленная сходимость решений, построенных на основе вышеизложенного подхода.

В работе [24] Г.А. Гринберга, H.H. Лебедева и Я.С. Уфлянда применен модифицированный способ решения бигармонической задачи. Суперпозиция искомого общего и известного частного w0 решений бигармонический задачи строится так, что

где и - гармоническая функция, представляемая рядом по некоторой ортонормированной системе гармонических функций \|/п. Коэффициент ряда может быть с учетом (1.3), гармоничности функций разложения и формулы Грина-Стокса записан в виде

где wo, i|/n и краевые значения искомой бигармонической функции f и ее производной g известны, вследствие чего гармоническая функция и, а затем искомая бигармоническая функция w могут быть определены с любой точностью. Решение соответствующей плоской задачи теории упругости, таким образом, сводится к нахождению частного решения и построению ортонормированной системы гармонических функций разложения. В статье [24] приведено построение системы функций разложения и частного решения задачи Дирихле для прямоугольной области.

Развитие подхода, в некотором смысле альтернативного сформулированному М.М. Филоненко-Бородичом в [19] и подходу, приведенному в [20-23], представлено работами A.B. Хохлова. В [25-27]

V2w = V2w0 -u,

(1.3)

сформулирован общий численно-аналитический метод решения двумерных задач теории упругости для прямоугольных областей с произвольными краевыми условиями на основе специальных семейств бигармонических функций, развитый в более поздней работе [28]. Идея предлагаемого метода сводится к переходу от задачи на определение неизвестной бигармонической функции к алгебраической задаче относительно констант, определяемых из краевых условий. Функция Эри представляется в виде разложения по системе бигармонических функций, тем самым понижается размерность задачи, сводящейся к минимизации краевой невязки. Полученное решение точно удовлетворяет бигармоническому уравнению и приближенно - краевым условиям. В качестве системы функций разложения в [28] применен базис в линейном пространстве бигармонических полиномов, обеспечивающий простоту взятия интегралов, входящих в выражение интегральной краевой невязки. В частности, взятие интегралов возможно автоматически при помощи современных систем компьютерной алгебры, обеспечивающих символьное интегрирование полиномиальных функций. Преимуществом данного метода, таким образом, является возможность полной автоматизации всех вычислительных процедур. К недостаткам метода, предложенного A.B. Хохловым, относится в первую очередь сложность построения столь же эффективных численно-аналитических решений для неканонических областей и сложных законов состояния среды с переменными коэффициентами.

Решение плоской задачи теории упругости в перемещениях построено в работах Б.Л. Абрамяна и М.М. Манукяна [29] и Г.М. Валова [32].

В [29] метод, примененный в работах [20], [21] для решения II основной краевой задачи плоской теории упругости и в [22], [23] для решения III основной краевой задачи в напряжениях, использован при решении I основной краевой задачи в перемещениях. Решение системы уравнений равновесия Ламе (1.2) записано в рядах в форме Папковича-Нейбера [30], [31], краевые значения разлагаются в ряды Фурье, также как и заданные краевые перемещения.

Коэффициенты разложения в решении Папковича-Нейбера определяются из полученной таким образом бесконечной системы линейных алгебраических уравнений, распадающейся на 4 подсистемы.

В работе [32] приведено решение краевой задачи теории упругости, где на двух противоположных кромках прямоугольной полосы заданы компоненты вектора перемещения, а на двух других противоположных кромках -компоненты тензора напряжения. Решение представлено в форме Папковича-Нейбера, коэффициенты разложений определяются из краевых условий задачи, причем получена вполне регулярная, а для случая несжимаемой среды (V = 0) -регулярная бесконечная система линейных алгебраических уравнений.

Метод решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной полосы, основанный на представлении контурного воздействия и функции Эри интегралом Фурье, был предложен в работах Кармана (ТЬ. Кагтап, [33]) и Зеевальда (Р. 8ее\л/а1с1, [34]) для задачи о нагружении сосредоточенной силой.

Все перечисленные выше способы позволяют получить решение поставленной задачи при минимуме численных процедур, в большинстве случаев достаточно решить систему линейных алгебраических уравнений, причем при применении пакетов компьютерной алгебры линейные алгебраические системы достаточно высокого порядка могут быть решены и в символьной форме. В случае применения метода однородных решений коэффициенты разложений могут быть получены в явном виде, хотя при этом в ряде случаев возникает потребность численного решения трансцендентного уравнения. Таким образом, названные методы позволяют строить решения, в том числе аналитические, достаточно широкого класса задач, однако только для канонической области - прямоугольной полосы. Непосредственное распространение приведенных методов на класс неканонических контуров, таких, как, например, трапеции с произвольным контуром боковых сторон, не представляется возможным.

Проблема для неканонического контура может быть решена путем приведения к эквивалентной задаче для канонического контура. И.И. Воровичем и О.М. Лениным был предложен подобный алгоритм сведения задачи для упругой полосы, одна из сторон которой отлична от прямой, к системе задач для прямоугольной полосы. В работе [35] таким способом была решена смешанная задача для бесконечной полосы, а в [36] - контактная задача для бесконечной полосы. Решение задачи методом возмущений путем конформного отображения неканонического контура на близкий к нему канонический предложили А.Н. Гузь и Ю.Н. Немиш в монографии [37]. Метод приближенного решения задачи для полосы переменной ширины, основанный на конформном отображении криволинейной полосы на прямоугольную, разрабатывался также И.А. Солдатенковым. В работах [38], [39] им построено решение для полосы переменной высоты в перемещениях: функции, описывающие перемещения, заданные в исходной задаче на криволинейном

контуре отображаются на контур ±Ь прямоугольной области, решение

записывается в общем виде в форме Папковича-Нейбера; 4 неизвестные гармонические функции представлены интегралами Фурье, таким образом, задача сведена к 4 интегральным уравнениям. Отметим, что решение было

построено для ограниченного класса пологих криволинейных контуров Ь± (?)

Ь±(^) = ±Ь + 5±(^), 5^)

< 8 « 1.

Другая группа методов построения точного решения двумерной краевой задач теории упругости разрабатывалась на основе применения аппарата теории функций комплексного переменного. Методы этого типа наиболее полно представлены в фундаментальной монографии Н.И. Мусхелишвили [40].

Метод Мусхелишвили основан на комплексном представлении бигармонической функции, введенным Гурса (ОоигБа^ в [41], и компонентов тензора напряжения и вектора перемещения (Г.В. Колосов, [42]). Комплексная форма позволяет перейти от задачи на определение одной вещественной

бигармонической функции к задаче определения двух комплексных функций ф и ц/, называемых функциями Колосова-Мусхелишвили, а также предоставляет

широкие возможности применения конформных отображений при решении задач для областей различной конфигурации. В большинстве случаев осуществляется отображение ъ = ю (О исходной области Б на единичный круг и последующее разложение неизвестных функций ср и \|/ в степенные ряды ([43]), задача при этом сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Другой метод, предложенный Н.И. Мусхелишвили в [44] и развитый в серии позднейших работ, основан на применении интегралов типа Коши и приводит решение к одному функциональному уравнению относительно функции . Полученное уравнение, в свою очередь, сводится к интегральному уравнению Фредгольма. Метод приведения к уравнению Фредгольма был также разработан В.А. Фоком ([45]).

Для составления уравнений Н.И. Мусхелишвили, однако, требуется найти отображающую функцию. В случае, если отображающая функция со(^) рациональна, решение может быть получено сравнительно простыми средствами. В частности, приближенное отображение области общего вида на круг может быть построено в виде степенного ряда. В работах С.Г. Михлина [46-48] задача нахождения отображения области О на круг заменена задачей определения комплексной функции Грина ЪА{ъ,ъ0) для области Б. Это, в

частности, позволяет обобщить метод сведения к интегральным уравнениям на многосвязные области. Тем не менее остается необходимость определения некоторой функций, в данном случае функции Грина, уже на этапе составления разрешающих уравнений задачи, и названный недостаток способа Н.И. Мусхелишвили устранен лишь частично. В более поздних работах [49] и [50] Н.И. Мусхелишвили построены интегральные уравнения, "...ядра которых ...непосредственно связаны с элементами линий, составляющих границу области, и не содержат таких элементов, определение которых требует

предварительного решения вспомогательных граничных задач... что требуется для нахождения функций o(Q или M(z,z0)" ([40], с.360). Еще один способ построения интегральных уравнений I и II основной краевой задачи был предложен Д.И. Шерманом в [51] и [52]. Для практического применения интегральных уравнений А.Я. Горгидзе и А.К. Рухадзе была разработана процедура их численного решения ([53]).

Перечисленные выше решения построены в основном для случая изотропной среды. В случае анизотропной среды плоская задача теории упругости сводится к т.н. обобщенному бигармоническому уравнению, решение которого представляет собой значительно более сложную задачу. Ряд задач был решен применением названных методик Д.И. Шерманом ([54], [55]), И.Н. Векуа [56] и, в первую очередь, С.Г. Лехницким ([57]). Обширный обзор работ приведен М.М. Фридманом в [58].

Дополнительную сложность представляет рассмотрение задачи об области, контур которой содержит угловые точки. Обобщение уравнений Н.И. Мусхелишвили ([49], [50]) на класс контуров с угловыми точками осуществлено Л.Г. Магнарадзе в работах ([59-61]). Данная задача решена также С.М. Белоносовым ([62-64]) путем применения интегральных преобразований. Методы теории функций комплексного переменного применялись к решению задач для областей с полигональным контуром в работах: Грэя (Gray С.А.М., [65]), Хоскина и Радока (Hoskin B.C. and Radock J.R.M., [66]), решивших аналитически задачу расчета панели стреловидного крыла, а также Г.Н. Положего ([67-69]), рассматривавшего III основную краевую задачу для полигональной области.

Методы, основанные на применении теории функций комплексного переменного, являются наиболее строгими с математической точки зрения и представляют собой, пожалуй, наивысшую научную ценность; их важным достоинством является также возможность решения задач для неоднородной среды. Практическое применение методов этой группы, тем не менее,

ограничено частными случаями контуров, допускающих отображение на круг рациональными функциями, в противном случае задачу приходится все же решать приближенно, достаточно сложно и решение задач анизотропной теории упругости. Разрешающие интегральные уравнения в большинстве практически важных случаев допускают только численное решение, построение которого само по себе представляет достаточно сложную задачу.

1.2. Численные методы решения плоской задачи теории упругости

Ко второй основной группе методов решения плоской задачи теории упругости следует отнести сугубо численные методы, такие, как вариационно-разностный метод (ВРМ), метод взвешенных невязок (MBH), метод Релея-Ритца (МРР), методы конечных разностей (МКР), граничных элементов (МГЭ) и в первую очередь чрезвычайно широко распространенный метод конечных элементов (МКЭ). Не останавливаясь подробно на теоретических основах перечисленных методов, широко освещенных в литературе (монографии [7079] и др.), отметим, что их основополагающей идеей является дискретизация, т.е. переход от континуальных неизвестных функций к некоторой системе дискретных неизвестных: исходная система дифференциальных уравнений плоской задачи заменяется некоторой системой алгебраической системой уравнений относительно новых неизвестных.

Тремя основными методами дискретизации обычно считают МКР, MBH и МРР ([80]). МКР-дискретизация строится на основе формальной замены дифференциальных соотношений их приближенными представлениями через значения конечного числа дискретных неизвестных, называемых узловыми. В основе MBH и МРР лежит вариационный подход к приближенному решению краевой задачи: решение представляется разложением по некоторым базисным функциям, неизвестные коэффициенты которых, имеющие смысл узловых смещений или узловых усилий, определяются из системы линейных алгебраических уравнений, составляемой путем применения либо

вариационного принципа Лагранжа, который приводит к формулировке МРР ([81]), либо ортогонализации невязки к некой весовой функции Wj (МВН), видом которой определяется вариант метода - поточечная коллокация в случае W; = 8(Xj - x(j°), j = 1,2 или метод Галеркина ([82], [83]) при w^cj^Xj), где ф;(х^ - система функций разложения. МКЭ представляет собой вариант МРР,

использующий локальные базисные функции, или функции формы, аппроксимирующие неизвестные в пределах одного КЭ, тем самым обеспечивается возможность повышения точности решения задачи, основанного не на повышении порядка аппроксимации, а на уменьшении размеров КЭ, т.е. сгущении сетки.

Несомненным решающим преимуществом численных методов, в первую очередь МКЭ, является их универсальность, позволяющая решать очень широкий круг задач для самых сложных вариантов неканонических областей, неоднородных сред, сложных законов состояния сред и т.п. Следует особо отметить, что если первые МКР, МРР и ВРМ традиционно рассматриваются в первую очередь как способы решения краевых задач, то КЭ и ГЭ в последнее время расцениваются и как модель среды или конструкции. Это во многом обусловлено как историей развития подхода, шедшего поначалу двумя путями -математическим и сугубо инженерным, нацеленным на расчет сначала стержневых систем, а впоследствии тонкостенных оболочек, так и современными проблемами создания стандартизованного программного обеспечения, т.е. библиотек конечных элементов, хотя ряд авторов, как, например, Б.Е. Победря в монографии [79] основываются на первом варианте трактовки. К настоящему моменту МКЭ реализован в ряде стандартизованных коммерческих пакетов прикладных программ, таких, как AnSys, Nastran, Stardyne, LsDyna, Cosmos и других.

В то же время дискретизация порождает и ряд недостатков названных методов. Так, повышение точности решения МКР достигается в основном сгущением сетки, тем большим, чем быстрее изменяется предполагаемое

решение. Это приводит к резкому увеличению размерности матрицы линейной алгебраической системы и приводит к замедлению решения; кроме того, при сгущении сетки возможно проявление неустойчивого характера вычислений. Тот же недостаток свойственен МКЭ, но в данном случае уточнение возможно повышением порядка функций формы ([74], [77], [78]). С другой стороны, построение полиномиальной аппроксимации высокого порядка, обеспечивающей гладкость решения в узловых точках, весьма сложно, и в подавляющем большинстве случаев используется кусочно-линейная аппроксимация, приводящая к разрывному характеру производных аппроксимируемых функций, что при формулировке МКЭ как метода перемещений приводит к ступенчатой аппроксимации напряжений.

1.3. Методы построения приближенного решения

На основе вариационного подхода построен ряд приближенных методов решения плоской задачи теории упругости, в основу которых положена идея замены исходных уравнений в частных производных некоторой последовательностью алгебраических или обыкновенных дифференциальных уравнений относительно новых неизвестных, при этом понижение математической сложности задачи достигается повышением их числа. Методы такого типа развивались либо как сугубо инженерные, на базе формулировки некоторой достаточно простой аппроксимации неизвестных функций двух аргументов полиномами либо тригонометрическими функциями низших порядков, т.е. по сути принятия некоторой системы гипотез, или как более строгие методы построения процесса замены исходной системы уравнений некоторой новой системой путем разложения неизвестных в ряды по той или иной системе функций. Методы первой подгруппы обычно именуются методами строительной механики. Применение той или иной системы гипотез, ограничивающей решение задачи тем или иным классом элементарных функций, т.е. построение расчетной схемы (модели) рассматриваемого объекта,

позволяет получить достаточно простое решение, в ряде случаев аналитическое. Для получения системы разрешающих уравнений применяется, как правило, вариационный подход, позволяющий получить уравнения с их естественными краевыми условиями. Простейшие, наиболее жесткие, системы ограничений для плоской задачи теории упругости приводят к расчетным схемам сопротивления материалов, для частных случаев трехмерной задачи - к расчетным схемам теорий тонких и средних пластин и оболочек. Применительно к решению задач для плоских областей в декартовых координатах в первую очередь следует отметить метод В.З. Власова, предложенный им в [84] и [85] и основанный на аппроксимации неизвестных компонентов вектора перемещения полиномами и вывода обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных коэффициентов -функций одного аргумента - применением вариационного принципа Лагранжа. Тот же метод приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям, но в более общей формулировке, построенный с математической точки зрения, практически одновременно был предложен Л.В. Канторовичем в [86]. Данный метод применялся для решения практических задач применительно к прочности и устойчивости плоских конструктивных элементов, в том числе анизотропных и дискретно-подкрепленных, А.Н. Елпатьевским и др. ([87],

[88]). В ряде работ последнего была предложена модификация метода В.З. Власова путем перехода к смешанной постановке задачи и согласования разложений компонентов вектора перемещения с целью обеспечения возможности корректной постановки статических краевых условий по касательному напряжению на торцах полосы при путем интегрирования соотношения Коши; применение этого подхода к расчету тонкостенных пространственных систем (авиационных конструкций кессонного типа и т.п.) в

[89], [90].

С другой стороны, построение метода приведения плоской задачи теории упругости к системе одномерных задач было осуществлено в работах В.В.

Васильева и С.А. Лурье. В работах [91-94] предложенный метод развивался как способ построения неклассических уточненных теорий нетонких пластин и оболочек; в работе [95] описан подход к замене двумерных соотношений плоской задачи теории упругости для полосы системой одномерных путем построения кинематически согласованных степенных разложений компонентов вектора перемещения, преследующих цель обеспечения корректной постановки краевых условий по касательному напряжению на торцах полосы. Идея согласования заключается в построении двух систем функций разложения, одна из которых, соответствующая трансверсальному перемещению, строится на основе производных функций системы, соответствующей продольному перемещению. В данной работе приведено также решение тестовых задач, на которых построенные приближенные решения сопоставлены с существующими точными. В работе [96] осуществлено построение ортогональных обобщенных разложений по системе заданных кинематических состояний. Достоинством данной редакции является возможность нахождения коэффициентов разложения из конечных соотношений.

Подобные численно-аналитические методы по своей ценности, как научной, так и практической, и по универсальности занимают промежуточное положение между первой группой, позволяя получать приближенные решения задач для неканонических контуров, сложных законов состояния среды и др., не поддающиеся аналитическому решению методами математической теории упругости, с различной степенью точности, и четвертой группой, уступая методу конечных или граничных элементов в универсальности, но превосходя их с точки зрения корректности описания среды. Кроме того, такие методы чаще всего служат обоснованием той или иной системы гипотез, принимаемых при построении расчетных схем методов строительной механики. Замена неизвестных осуществляется путем представления решения в виде ряда по той или иной системе функций, новыми неизвестными становятся коэффициенты разложения в ряды. Достоинством такого подхода является, во-первых, его

универсальность, так как редукция трехмерной задачи теории упругости к системе двумерных задач и редукции двумерной задачи к системе одномерных осуществляется на основе одних и тех же приемов. Таким образом, может быть сформулирован, например, единый подход к решению плоской задачи теории упругости и задачи общей трехмерной теории оболочек. С другой стороны, система разрешающих уравнений задачи, получаемая в результате редукции, может строиться заранее в форме, оптимальной для численного решения.

Можно выделить две подгруппы методов замены трехмерной или двумерной краевой задачи системой краевых задач меньшей размерности. К первой относятся асимптотические методы, основанные на введении в рассмотрение некоторого малого параметра, по степеням которого неизвестные функции разлагаются в ряды Тейлора, и некоторых дополнительных предпосылках (большая изменяемость напряженного состояния, разделение решения на медленно меняющуюся составляющую и краевые эффекты), которые требуют обоснования в конкретном случае и могут оказаться неприемлемыми. Применение асимптотического метода к решению плоской задачи теории упругости, как правило, связано с построением технических теорий балок высшего порядка (в случае трехмерной задачи - теорий пластин и оболочек) и т. п., т. е., по сути, с обоснованием методов второй группы. Для теорий пластин и оболочек асимптотический подход развивался в работах Гольденвейзера, H.A. Базаренко [97], [99] и И.Н. Воровича [98], а также В.В. Васильева и ряде других работ.

1.4. Способы редукции краевых задач теории упругости.

Ко второй группе вышеназванных методов численно-аналитического решения относятся собственно методы редукции, т.е. построения регулярного процесса замены исходной системы уравнений некоторой последовательностью систем уравнений, в общем случае связанных, относительно коэффициентов разложения в ряды. Область применения редукционного подхода шире, чем

асимптотического, так как редукция не предполагает введения какого-либо малого параметра. Как и асимптотический, редукционный подход универсален в том смысле, что его использование допустимо как для двумерного случая плоской задачи, так и для трехмерного случая, причем наиболее широко этот метод используется именно в теории оболочек. Как правило, при этом применяются разложения в ортогональные ряды Фурье, предоставляющие ряд преимуществ, как-то регулярную разреженную структуру, а в частном случае (например, при использовании разложений в тригонометрические ряды) независимость систем уравнений в силу ортогональности системы функций разложения. В то же время во многих случаях применяются и степенные разложения, не позволяющие получить упорядоченную структуру системы уравнений, но допускающие ряд дополнительных предположений. В теории толстостенных круговых цилиндрических трансверсально изотропных оболочек редукционный подход в форме разложения в ряды по полиномам Лежандра был представлен в работах Солера, Феллерса и Хатчинса [100] -[102]. Данный подход является вполне применимым и к решению задач о плоском напряженно-деформированном состоянии прямоугольной полосы, произвольным образом нагруженной по продольным краям.

В работах [100] - [102] все неизвестные, как статические, так и кинематические (перемещения) представляются сходящимися рядами по полиномам Лежандра. С целью удовлетворения статическим краевым условиям на лицевых поверхностях оболочки (в случае плоской задачи для полосы - на продольных краях) напряжения ] = 1,2,3 выбираются из подкласса,

удовлетворяющего краевым условиям:

- Т;п3Рп(р) = в^Ср), 1 = 1.2.3, п = 1,2...оо (1.5)

здесь Рп (р) - полиномы Лежандра,

дп(р) = рп(р)-рп+2(р)

(}п(±1)= 0 при п>2.

а для Т^з вводятся соотношения

TS = Sf3 - Sf3-2, i = 1,2,3 где S"3, n = 0,1 - функции внешнего статического воздействия на лицевых поверхностях оболочки. Разрешающие уравнения выводятся на основе вариационного принципа Райсснера. Усечение рядов при построении конечной системы уравнений осуществлялось не формальным путем, а исходя из физической сущности каждой конкретной задачи на основе ряда специальных допущений, например, в [100], где предлагался энергетический критерий выделения существенных членов разложений, основанный на вариационном принципе Райсснера, и вводились корректирующие коэффициенты, подбираемые из условия соответствия получаемых решений существующим точным решениям.

Работы Солера, Феллерса и Хатчинса занимают весьма важное место среди прочих работ по редукции трехмерной задачи к системе двумерных на основе разложений в ряды Фурье-Лежандра. Вместе с тем необходимо отметить ряд ключевых недостатков. Во-первых, данный подход был использован для вывода приближения низкого (третьего) порядка, аппроксимирующего исходную систему уравнений для цилиндрической оболочки 16 обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, решаемыми впоследствии численно, т.е. фактически для построения расчетной схемы толстостенной оболочки с учетом трансверсального сдвига и искривления нормали. Сравнение решения на основе приближения 3 порядка с точным решением для цилиндра показало применимость данного подхода только при соотношении толщины оболочки к радиусу не выше 0.5. Данный недостаток, не столь существенный в случае применения рассматриваемого подхода к построению трехмерной теории оболочек, где подобное соотношение является предельным случаем, весьма заметен при использовании метода для редукции плоской задачи теории упругости, так как серьезно ограничивает

класс решаемых задач полосой с соотношением высоты к длине Ь/Ь не свыше 1/2. Кроме того, авторами рассмотрен только случай цилиндрической оболочки, т.е. канонической области. Другим существенным недостатком следует считать ограничение искомых решений классом (1.5), недостаточно обоснованное при построении общей теории и, кроме того, приводящее к неопределенной схеме усечения рядов. Основным же органическим недостатком предложенного в [100] - [102] подхода является необходимость применять численное интегрирование выражений, входящих в функционал Райсснера, еще в процессе формирования системы уравнений, что не позволяет получить ее в аналитически в общем виде. По сути, предложенный подход находится в группе чисто численных методов.

Дальнейшее развитие подход получил в работах В.В. Понятовского по теории пластин [103], [104].

Практически все перечисленные недостатки, присутствующие в редакции Солера-Хатчинса, устранены в работах И.Н. Векуа по теории оболочек [105], [106] и фундаментальной монографии [107]. Сохраняя достоинства подхода Солера, метод, предложенный И.Н. Векуа, позволяет получить систему разрешающих уравнений для оболочки произвольной геометрии и переменной толщины, т.е. для наиболее общего случая трехмерной задачи теории упругости, в общем виде. Кроме того, И.Н. Векуа была рассмотрена проблема усечения рядов, возникающая при необходимости построения конечных систем уравнений. В отличие от работ [100]-[102], где применялась не формализованная процедура усечения рядов, им было введено понятие строгой в математическом отношении теории ]Ч-го порядка, далее именуемой применительно к плоской задаче приближением Ы-го порядка. И.Н. Векуа также были доказаны теоремы существования и единственности решений и проведено исследование сходимости приближенных решений. Система уравнений приближения ТЧ-го порядка может решаться не только численно, но в ряде случаев и аналитически. Принципиально по-иному удовлетворяются и

краевые условия, что позволяет отказаться от ограничений (1.5), причем в [107] рассмотрены различные варианты удовлетворения краевых условий. Вместе с тем в ранних работах методика излагалась для ограниченного класса оболочек h/R « 1, что, по сути, делало ее непригодной для применения к плоской

задаче теории упругости, однако в дальнейших работах И.Н. Векуа такое ограничение было снято. Применение подхода, предложенного И.Н. Векуа, к задачам динамики нетонких оболочек осуществлялось в работах под руководством В.И. Гуляева [108], [109] и [110]. Допущение о тонкостенности заменялось постулатом, определяющим метрический тензор оболочки g¡j через

метрику ее срединной поверхности a¡j линейным законом

ёу = ay~2bijx3 (1-6)

Здесь aij5 by - коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности,

х3 - координата, отчитываемая по нормали к срединной по поверхности. Погрешность, возникающая вследствие пренебрежения в точном выражении gy

членов с (х3) не исследована. Применение предлагаемого подхода к редукции плоской задачи для неравнобочной криволинейной трапеции, соответственно, наталкивается на ряд существенных ограничений. Во-первых, (1.6) ограничивает класс решаемых задач областями с малой относительной высотой и пологими боковыми сторонами. Во-вторых, приходится вводить среднюю линию рассматриваемой трапецеидальной области и связывать с ней криволинейную систему координат, что приводит к усложнению записи уравнений и вряд ли рационально. Таким образом, методика редукции в данном варианте все еще неэффективна для решения широкого класса плоских задач для трапеций и, следовательно, не вполне универсальна.

В работах по теории оболочек И.Ю. Хомы [111], [112] было осуществлено обобщение методики И.Н. Векуа на анизотропные оболочки средней толщины и проведено исследование сходимости решений систем уравнений, полученных

в результате редукции. Вместе с тем ограничение (1.6), по сути дела, снято не было.

Необходимо отметить, что все вышеперечисленные авторы приводили примеры решенных задач об оболочках малой и средней толщины и цилиндрической формы, чаще всего изотропных, при этом применялись приближения невысоких порядков. По сути дела, речь шла в первую очередь об уточнении расчетных схем оболочек средней толщины на основе построенных математически строгих теорий. Решения задач на основе приближений высших порядков практически не рассматривались, поведение решений при численном интегрировании системы разрешающих уравнений с переменными коэффициентами не исследовалось.

Помимо вышеперечисленных работ по теории оболочек, посвященных отработке метода редукции трехмерных задач к системам двумерных, следует отметить также работу В.К. Чибирякова и Г.В. Исаханова [113] по теории толстых пластин, посвященную развитию и применению численно-аналитического метода, основанного на разложении неизвестных в ряды Фурье-Лежандра.

Дальнейшее развитие метод редукции, основанный на разложении в ряды Фурье-Лежандра, получил в работах A.A. Амосова [114] - [121]. Им было снято ограничение (1.2), что расширило границы применения метода на задачи о напряженно-деформированном состоянии неограниченно толстых оболочек и плоскую задачу для трапеции большой относительной высоты. Кроме того, был также выведен ряд новых рекуррентных формул для полиномов Лежандра, а необходимых для вывода разрешающих уравнений задачи, получена двойственная форма записи уравнений - для I и II основных краевых задач теории упругости. Конечная система уравнений приближения N-ro порядка получена двумя путями - путем усечения бесконечной системы уравнений и непосредственно, на основе вариационного принципа Райсснера, чем подтверждена корректность формулировки приближения N-ro порядка,

введенного И.Н. Векуа. Была сформулирована теория N-ro порядка двухслойной оболочки и приведено решение задач для двухслойных цилиндрических оболочек, в том числе на упругом основании. В работе [121] была описана алгоритмизация численного расчета оболочки. Весьма важным результатом работ A.A. Амосова следует считать также решение задач о напряженно-деформированном состоянии толстых оболочек применением приближений порядков, более высоких, чем у других авторов, а также исследование численных решений задач для случая кусочных функций поверхностного статического воздействия. Однако и в данных работах в качестве объекта исследования в первую очередь фигурировала цилиндрическая оболочка постоянной толщины.

Кроме того, следует отметить, что построение процесса редукции уравнений задачи в [114-121] в общем случае осуществлялось в некоторой криволинейной системе координат, связанной со срединной поверхностью оболочки. В случае плоской задачи для криволинейной неравнобочной трапеции с произвольным контуром боковых сторон такой подход неизбежно приводит к введению неортогональной системы координат, так что его нельзя считать вполне рациональным.

В то же время P.P. Матевосяном в [122] для аппроксимации экспериментальных кривых были введены полиномы Лежандра, ортогональные на произвольном промежутке [а, Ь], названные автором "полиномы Лежандра общего вида произвольного промежутка", и выведены производящие формулы и основные рекуррентные соотношения. Применение полиномов, ортогональных на произвольном промежутке, позволяет осуществлять редукцию уравнений плоской задачи в исходной декартовой системе координат.

Таким образом, на основе приведенного выше обзора существующих подходов к решению плоской задачи теории упругости и анализа

разработанных способов редукции двумерных и трехмерных задач можно

сформулировать следующие цели данной работы:

1. Построить методику редукции плоской задачи анизотропной теории упругости к системе одномерных краевых задач, опираясь на способ разложения в ортогональные ряды Фурье-Лежандра, применявшийся в работах [113-120].

2. Модифицировать предложенную в [113-120] методику, обеспечив возможность редукции задач для неканонических областей, таких, как криволинейные неравнобочные трапеции, в исходной декартовой системе координат.

3. Сформулировать на основе вариационного подхода приближение Ы-го порядка. Построить конечные замкнутые системы обыкновенных дифференциальных уравнений и их краевых условий относительно коэффициентов разложения в ряды Фурье-Лежандра, приближенно аппроксимирующие исходную систему уравнений.

4. Привести полученную систему уравнений к виду, пригодному для численного интегрирования с применением современных вычислительных программных средств.

5. Проанализировать сходимость приближенных решений к точным решениям математической теории упругости на тестовых задачах.

6. Показать работоспособность данной методики путем построения численного решения задач для неканонических областей и сопоставления их с решениями, получаемыми другими численными методами.

2. РЕДУКЦИЯ УРАВНЕНИЙ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ К СИСТЕМЕ ОДНОМЕРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

2.1. Постановка задачи плоской теории упругости для криволинейной неравнобочной анизотропной трапеции

Рассматривается плоская, геометрически и физически линейная задача статической теории упругости для однородной криволинейной неравнобочной замкнутой области Б с границей Б, отнесенной к декартовой системе координат

0Х1Х2: х1 е[0,Ь], х2 е[а(хД Ь(х,)], а^Мх,) еСт, т >1 (рис.2.1.1).

Вводится высота области 21г(х1) = Ь(х1) - а(х,) и срединная линия области

Н(х1) = (Ь(х1) + а(х1))/2. На контуре 8а заданы статические краевые условия,

на контуре 8и - кинематические краевые условия.

Плоская задача для области Б в смешанной постановке имеет вид [123]: Оу.+Х; =0

и'.1+и|.-2су=0 (2ЛЛ>

У

8и -адачаРЯ = 0 и = М = !'2 (2-1-2)

Статические и кинематические краевые условия: сглVI -qi = 0 на 8а . .

и ] * ' о У = и (2-1-3)

- Ц; = 0 на 8и 8 = 8СТ и8и, ц(8ап8и) = 0 где Сту, в у - тензоры напряжения и деформации, и} - вектор перемещения, Х) -вектор объемного статического воздействия, - вектор контурного статического воздействия, и* - вектор контурного кинематического воздействия, Vj - вектор внешней нормали контура 8. Здесь и далее введено правило суммирования по повторяющимся латинским индексам.

Рис. 2.1.1

Соотношения (2.1.1-3) представляют собой двумерную краевую задачу относительно восьми неизвестных функций аргументов хь х2. Одним из возможных методов решения задачи (2.1.1-3) является ее редукция по аргументу х2. Редукция двухмерной задачи есть сведение исходной системы дифференциальных уравнений в частных производных (2.1.1) к некоторой краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений и алгебраических уравнений физического закона (2.1.2) к системе алгебраических уравнений относительно функций одного аргумента х\. Совокупность решений данной системы уравнений должна удовлетворять исходным уравнениям и краевым условиям задачи.

Неизвестные функции двух переменных представляются разложениями в обобщенные бесконечные ряды Фурье вида

f = í(k\, к = 0,1,2,..., оо (2.1.4)

где f = f(x1,x2), ^^ = ^(х^ - коэффициент разложения в ряд, Рк(х2)-система функций разложения.

Система функций Рк(х2) должна быть полной, линейно независимой,

ортогональной на отрезке [а(х,), Ь(х,)]. В качестве такой системы функций разложения в работах [100] - [121] принимаются полиномы Лежандра Рк(0, ортогональные на отрезке [-1; 1]. В общем случае плоской задачи для трапецеидальной неравнобочной области с произвольной геометрией боковых сторон, т. е. с криволинейной срединной линией области, применение полиномов Лежандра требует введения криволинейной системы координат, связанной с осевой линией, что заметно усложняет задачу. Во избежание этого возможно модифицировать способ полиномов Лежандра, применив в качестве системы функций разложения полиномы Лежандра общего вида произвольного промежутка [а^), Ь(х,)].

2.2. Основные сведения из теории полиномов Лежандра общего вида

Полиномы Лежандра общего вида произвольного промежутка [а(х,), Ь(х,)] [122], называемые в дальнейшем "полиномы Лежандра общего вида", являются обобщением классических полиномов Лежандра Рк(0 промежутка С, е [-1; 1] и могут быть получены заменой переменной в последних:

= (2.2Л)

чщ)

Из (2.2Л) следует, что в частном случае Н(х,) = 0, т.е. при совпадении срединной линии области с осью Ох( декартовой системы координат, полиномы Лежандра общего вида сводятся к классическим полиномам Лежандра.

Аналогично классическим полиномам Лежандра, полиномы общего вида определяются модифицированной формулой Родрига [122]

рк = 1 к а2к

(Ь-а) к!

(х2 - а(х! ))к (х2 - Ь(х, ))к | или

Рк = (2Ь(х1))кк1Ь "(ЩХ'}"КХ1 "(ЩХ1} + КХ1

Полиномы Лежандра общего вида ортогональны с единичным весом на отрезке [а(х1), Ь^)]:

(р8'Рк)=5к5||Фк|Г5 к,з = 1,2,...,оо

„ „2 2Ь (2.2.2)

Фк =~-

11 к" 2к + 1

где 5кт - символ Кронекера, ||фк|| - норма в Ст([а,Ь]). Здесь и далее для краткости записи вводится обозначение Н(х!) = Н, Ь(х,) = Ь.

Ортогональность на произвольном отрезке является основным преимуществом перед классическими полиномами, поскольку дает возможность применения полиномов общего вида к редукции задач для

областей, несимметричных относительно оси декартовой системы координат без введения криволинейных координат, связанных со срединной линией области.

Функция может быть разложена в равномерно сходящийся ряд Фурье-Лежандра относительно координаты х2 для каждой точки XI промежутка [0,Ь] при условии ее гладкости:

^х1(х2)бСш, ш>1. (2.2.3)

Коэффициент разложения в ряд Фурье-Лежандра (2.1.4), называемый в теории полиномов Лежандра моментом к-го порядка, определяется обычным образом:

£(к) к = 0,1,2,...,оо (2.2.4)

||фк||

В случае, если производная f,2 есть функция ограниченной вариации в

[а(х1), Ь(х,)], что выполняется в силу (2.2.3), к-й момент функции £ и

остаточный член ряда Фурье-Лежандра, усеченного некоторым неотрицательным числом Ы, имеют порядок, определяемый теоремой Джексона ([107]):

^к)|<мД/к\ к > 1 (2.2.5)

ё^>| = ^-^к>Рк|<мД/Н, к = 0,1,2,., (2.2.6)

где М - постоянная, не зависящая от выбора к и N.

Функции, удовлетворяющие условиям теоремы Джексона, образуют достаточно широкий класс, содержащий решения большинства рассматриваемых задач теории упругости. Следовательно, априорное ограничение рассматриваемых функций вышеназванным классом, позволяющее предполагать ряды Фурье-Лежандра вида (2.1.3) равномерно сходящимися в замкнутой области Би8, сокращает круг решаемых задач незначительно.

Рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра общего вида,

41

н

т >л _ т

выражающие производную полинома к-го порядка и произведение полинома к-го порядка на аргумент некоторой конечной суммой полиномов низшего порядка, аналогичные формулам для классических полиномов ([124]), имеют вид:

Р = Р Р

к, 2 кт х т

^2-Н _ >2 ~

§ "Ь Р„

кт ,

V Ь

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Жаворонок, Сергей Игоревич

Основные результаты диссертационной работы можно кратко сформулировать следующим образом. 1

1. На основе разложений неизвестных функций в ряды Фурье-Лежандра построен регулярный процесс замены двумерных соотношений плоской задачи статической теории упругости эквивалентной системой одномерных соотношений. Применением разложений по полиномам Лежандра общего вида, ортогональных на произвольном промежутке [а, Ь], обеспечено построение системы разрешающих уравнений задачи для неканонической области в исходной декартовой системе координат.

2. Введена двойственная форма представления производных неизвестных функций рядами Фурье-Лежандра для случаев известных и произвольных краевых значений функции. Доказана тождественность двух форм записи производных.

3. Вариационным путем сформулировано приближение ТчГ-го порядка, соответствующее усечению разложений неизвестных некоторым конечным числом N. На основе принципа Райсснера построены замкнутые конечные системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для I и II основных краевых задач плоской теории упругости с их естественными краевыми условиями, аппроксимирующие исходную систему двумерных соотношений. Показано, что в силу тождественности двух форм записи производных неизвестных функций уравнения статики I основной краевой задачи вытекают из уравнений статики II основной краевой задачи при подстановке в последние разложений произвольных краевых значений компонентов тензора напряжения, а соотношения Коши II основной краевой задачи следуют из соотношений I основной краевой задачи при подстановке разложений произвольных краевых значений компонентов вектора перемещения. В случае III (смешанной) основной краевой задачи теории упругости форма записи системы разрешающих уравнений задачи может представлять собой комбинацию описанных форм, при этом уравнения статики соответствуют II основной краевой задаче, а соотношения Коши -1 основной краевой задаче.

4. Система обыкновенных дифференциальных уравнений приближения Ы-го порядка, полученных в результате редукции исходных соотношений, приведена к нормальному виду и записана в матрично-векторной форме, оптимальной для численного интегрирования. Разработан алгоритм численного решения двухточечных краевых задач на базе метода ортогональной прогонки С.К. Годунова, реализованный в виде пакета прикладных функций в среде системы МаЙЬаЬ 5.1.

5. Достоверность решений, полученных на основе приближения 14-го порядка, подтверждена результатами сравнения с существующими точными решениями тестовых задач, в том числе имеющих быстро изменяющиеся решения типа пограничного слоя. Проведен анализ численных решений тестовых задач, полученных при различных порядках приближения К, позволяющий установить оптимальные порядки приближения для областей различной конфигурации.

6. На базе сформулированного приближения 1\Г-го порядка построены численные решения задач для криволинейных неравнобочных ортотропных трапеций с произвольными краевыми условиями. Показана практическая сходимость численного решения по мере увеличения порядка приближения. Проведено сравнение полученного решения с конечно-элементным решением комплекса МБСЛЧаз^ап 2.0.

Целесообразными путями развития работ по данной тематике можно считать переход к трехмерной задаче теории упругости и применение предложенной методики к развитию прикладных теорий нетонких оболочек, в том числе многослойных и анизотропных.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Жаворонок, Сергей Игоревич, 1999 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Mesnager A. Sur l'application de la theorie de l'élasticité en calcul des pieces rectangulaires flechies // Comptes Rendues, 1901, tl32, No 24. - P. 1475-1478

2. Filon L.N.G. On an Approximate Solution for the Bending of a Beam of Rectangular Cross-Section under any System of Load, with Special Reference to Points of Concentrated or Discontinuous Loading // Philosophical Transactions of the Royal Society of London, ser. A, vol. 201, 1903. - P.63-155

3. Ribière M. Sur divers cas de la fléxion des prismes réctangles // Bordeaux, 1889 Sur la fléxion des pièces épaisses // Comptes Rendus, 1898, 126. - P. 402-404, Sur la résistance des massifs épais // Comptes Rendus, 1898, 126. - P.1990-1192

4. Mathieu F. Théorie de l'élasticité des corps solides, p. 2, ch. 10 // Gauthier -Villars, Paris, 1890

5. Папкович П.Ф. Об одной форме решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной полосы // Докл. АН СССР, 1940, Т. 17, № 4

6. Папкович П.Ф. Теория упругости. - М-Л.: Судпромгиз, 1939. - 738 с

7. Fadle I. Die Selbstpannungs-Eigenwertfunktionen der quadratischen Scheibe // Ingenieur-Archiv, 11, N4, 1940. - P. 125-149

8. Прокопов В.К. Об одной плоской задаче теории упругости для прямоугольной области // ПММ, Т. 16, № 1, 1952. - С. 45-56

9. Прокопов В.К. Задача о стесненном изгибе прямоугольной полосы // Инженерный сборник, № 11, 1952.-С. 151-160

10. Лурье А.И. К теории толстых плит // ПММ, 1942, T. VI, Вып. 2-3

11. Прокопов В.К., Джанелидзе Г.Ю. Метод однородных решений в математической теории упругости // Труды IV Всесоюзного математического съезда. - М.: Наука, 1964

12. Прокопов В.К. Однородные решения теории упругости и их приложения к теории тонких пластинок // ПММ, 1973, Т. 37, Вып. 4. - С. 706-714

13. Коваленко М.Д. Биортогональные разложения в I основной задаче теории упругости // ПММ, 1991, Т. 55, № 991, Вып. 6. - С. 956-963

14. Лурье С.А. Метод однородных решений в задачах о плоском напряженном состоянии и изгибе ортотропных пластин // Известия АН АрмССР, Механика, 1964, Т. 37, № 6. - С. 27-38

15. Васильев В.В., Лурье С.А. Плоская задача теории упругости для оротропной консольной полосы // Известия АН СССР, 1984, № 5. - С. 125135

16. Васильев В.В., Лурье С.А. О точных решениях плоской задачи теории упругости для ортотропной полосы // Известия РАН, МТТ, 1994, № 1. -С.120-130

17. Васильев В.В., Лурье С.А. Метод однородных решений и биортогональные разложения в плоской задаче теории упругости для ортотропного тела // ПММ, Т. 60, Вып.1, 1996. - С. 111-119

18. Lurie S.A. and Vassiliev V.V. The Biharmonic in the theory of elasticity. -Gordon and Breach Publishers, 1995. - P.265

19. Филоненко-Бородич M.M. Об одной системе функций и ее приложениях в теории упругости // ПММ, Т. 10, Вып. 1, 1946. - С. 193-208.

20. Абрамян Б.Л. Об одном случае плоской задачи теории упругости для прямоугольника // Докл. АН АрмССР, 21, № 5, 1955. - С.27-38

21. Абрамян Б.Л. К плоской задаче теории упругости для прямоугольника // ПММ, 21, № 1, 1957. - С. 89-100

22. Галфаян П.О. Об изгибе прямоугольной защемленной балки // Докл. АН АрмССР, Т. 37, № 3, 1963. - С. 143-150

23. Галфаян П.О. Решение одной смешанной задачи теории упругости для прямоугольника // Известия АН АрмССР, серия физ. - мат. наук, №1, 1964

24. Гринберг Г.А., Лебедев H.H., Уфлянд Я.С. Метод решения бигармонической задачи для прямоугольной области при задании на

контуре значений функции и ее нормальной производной // ПММ, Т. 17, 1953.-С. 73-86

25. Хохлов A.B. Метод решения двумерных задач теории упругости на основе специальных семейств бигармонических функций // Диссертация на соискание уч. степени канд. техн. наук, 27.06.90. - М., 1990. - 265 с.

26. Хохлов A.B. Приближенный метод решения двумерной задачи теории упругости // Строительная механика и расчет сооружений, 1990, № 5. - С. 23-29

27. Хохлов A.B. Об условиях сопряжения граничных условий и смещений точках излома границы области в двумерных задачах теории упругости // Численные методы решения задач строительной механики. - М.: Моск. ин-т инженеров железнодорожного транспорта, 1990, Вып. 327. - С. 120-126

28. Хохлов A.B. Решение двумерных задач теории упругости путем минимизации граничной невязки на пространстве бигармонических функций // ПММ, 1995, № 2. - С. 232-243

29. Абрамян Б.Л., Манукян М.М. Решение плоской задачи теории упругости для прямоугольника в перемещениях // Доклады АН АрмССР, 25, № 4, 1957.-С. 177-184

30. Папкович П.Ф. Теория упругости. - М.: Оборонгиз, 1939. - 738 с

31. Neuber Н. Ein neuer Anzatz zur Lösung raümlicher Probleme der Elastizitätsteorie // Zeitsh. für angew. Math, und Mech., 1934, Vol. 14, N 4

32. Валов Г.М. Об одной смешанной задаче теории упругости для прямоугольника // Известия АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, № 3, 1961

33. Kärman Th. Über die Grundlagen der Balkentheorie // Abhandlungen aus dem aerodynamischen Institut Aachen, 1927. - P. 3-10

34. Seewald F. Die Spannungen und Formänderlungen von Balken mit rechteckigem Querschnitt // Abhandlungen aus dem aerodynamischen Institut Aachen, 1927. -P.ll-33

35. Ворович И.И., Пенин О.М. Смешанная задача для бесконечной полосы переменной высоты // Инженерный журнал, МТТ, 1968, № 4. - С. 101-109

36. Ворович И.И., Пенин О.М. Контактная задача для бесконечной полосы переменной высоты // Известия АН СССР, МТТ, 1971, № 5. - С. 112-121

37. Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Методы возмущений в пространственных задачах теории упругости. - Киев: Вища школа, 1982. - 350 с

38. Солдатенков И.А. Приближенное решение задачи теории упругости для полосы переменной ширины // Известия АН СССР, МТТ, 1992, № 1. - С.48-57

39. Солдатенков И.А. Асимптотический анализ решения задачи теории упругости для полосы переменной ширины // Известия АН СССР, МТТ, 1994, № 6. - С.57-68

40. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 708 с

41. Гурса Э. Математический анализ. 3-е изд. - ОНТИ, НКТП СССР, 1936

42. Колосов Г.В. Об одном приложении теории функций комплексного переменного в плоской задаче математической теории упругости // Юрьев, 1909

43. Колосов Г.В., Мусхелишвили Н.И. О равновесии упругих круглых дисков // Известия эл.-тех. ин-та, Т. 12, Петроград, 1915. - С. 39-55

44. Мусхелишвили Н.И. Application des intégrales analogues a celles de Cauchy à quelques problèmes de la Physique Mathématique // Tiflis, édition de l'Univercité, 1922

45. Фок В.A. Приведение плоской задачи теории упругости к интегральному уравнению Фредгольма//ЖРФХО, ч. физ., Т. 58, 1927, Вып. 1. - С. 11-20

46. Михлин С.Г. Плоская задача теории упругости // Труды сейсмолог, ин-та АН СССР, №65, 1935

47. Михлин С.Г. Плоская задача теории упругости для неоднородной среды // Труды сейсмолог, ин-та АН СССР, № 66, 1935

48. Михлин С.Г. Приложения интегральных уравнений к некоторым проблемам механики, математической физики и техники. - М.-Л.: 1947

49. Мусхелишвили Н.И. Новый общий способ решения основных контурных задач плоской теории упругости // Доклады АН СССР, 1934, Т. 3, № 1. -С.5-16

50. Мусхелишвили Н.И. Исследование новых интегральных уравнений плоской теории упругости // Доклады АН СССР, 1934, Т. 3, № 1. - С. 73-77

51. Шерман Д.И. К решению плоской статической задачи теории упругости при заданных на границе смещениях // Доклады АН СССР, 1940, Т. 37, № 9. -С.911-913

52. Шерман Д.И. К решению плоской статической задачи теории упругости при заданных внешних силах // Доклады АН СССР, 1940, Т. 38, № 1. - С. 29-32

53. Горгидзе А .Я., Рухадзе А.К. О численном решении интегральных уравнений плоской задачи теории упругости // Сообщ. АН ГрузССР, 1940, Т. 1,№ 4. -С. 255-258

54. Шерман Д.И. Плоская задача теории упругости для анизотропной среды // Труды Сейсмолог, ин-та АН СССР, 1938, № 86. - С. 51-78

55. Шерман Д.И. Новое решение плоской задачи теории упругости для анизотропной среды // Доклады АН СССР, 1941, Т. 32, № 5. - С. 314-315

56. Векуа И.Н. Приложение метода акад. Н. Мусхелишвили к решению граничных задач теории упругости анизотропной среды // Сообщ. АН ГрузССР, 1940, Т. 1, № 10. - С. 719-724

57. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950

58. Фридман М.М. Математическая теория упругости анизотропных сред // ПММ, Т. 14, Вып. 3, 150. - С. 321-340

59. Магнарадзе Л.Г. Основные задачи теории упругости для контуров с угловыми точками // Доклады АН СССР, 1937, Т. 16, № 3. - С. 157-161

60. Магнарадзе Л.Г. К решению основных задач плоской теории упругости для контуров с угловыми точками // Доклады АН СССР, 1938, Т. 19, № 9. - С. 673-676

61. Магнарадзе Л.Г. Основные задачи плоской теории упругости для контуров с угловыми точками // Труды Тбилисского матем. ин-та, 1938, Т. 4. -С.43-76

62. Белоносов С.М. Новая форма интегральных уравнений плоской статической задачи теории упругости // Труды Воронежского гос. ун-та, физ.-мат. сб., 1954, Т. 27.-С. 30-42

63. Белоносов С.М. Плоская задача теории упругости для бесконечной полосы при заданных на границе напряжениях и смещениях // Доклады АН СССР, 1960, №6. С-. 1291-1293

64. Белоносов С.М. Основные плоские задачи статический теории упругости для односвязных и двусвязных областей. Изд. Сиб. отд. АН СССР, 1962

65. Gray С.A.M. Polynomial approximations in plane elastic problems // Quart. J. Mech. Appl. Math., 1951, Vol. IV. - P. 444-448

66. Hoskin B.C. and Radock J.R.M. The root section of a swept wing. A problem of plane elasticity // J. Appl. Mech, 1955, Vol. 22, No 3. - P.337-347

67. Положий Г.Н. Решение III основной задачи плоской теории упругости для произвольного конечного выпуклого многоугольника // Доклады АН СССР, 1950, Т. 73, № 1.-С. 49-52

68. Положий Г.Н. Решение некоторых задач плоской теории упругости для областей с угловыми точками // Укр. мат. журнал, 1949, № 4. - С. 16-41

69. Положий Г.Н. Общее решение задачи соприкасания с жестким профилем для произвольного многоуольника и произвольного многоугольного отверстия // HayKOBi записки Кшв. ун-ту, 1957, Т. 16, Вып. 2. - С. 35-51

70. Рихтмайер Р.Д. Разностные методы решения краевых задач. - М.: ИЛ, 1960

71. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. - М.: Наука, 1971

72. Розин Л.А. Основы метода конечных элементов в теории упругости. - Л.: изд-во ЛПИ, 1972

73. Розин JI.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. -М.: Стройиздат, 1977

74. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. - Л.: Судостроение, 1974

75. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. - Л.: Судостроение, 1977

76. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975

77. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. Пер. с англ. В.И. Агошкова и др., под ред. Марчука Г.И. - М.: Мир, 1977. - 352 с

78. Секулович М. Метод конечных элементов. Пер. с серб. Ю.Н. Зуева; под ред. В.Ш. Барбакадзе. - М.: Стройиздат, 1993. - 664 с

79. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. - М.: изд-во МГУ, 1994. - 367 с

80. Васидзу К. Вариационные принципы в теории упругости и пластичности. -М.: Наука, 1986. - 542 с

81. Ritz W. Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der matematischen Physik // J. reine angew. Math. 1908,135. - P. 1-61

82. Галеркин Б.Г. Стержни и пластинки // Вестник инженеров, 1915, 1, 19. - С. 897-908

83. Перельман Я.И. Метод Б.Г. Галеркина в вариационном исчислении и в теории упругости // ПММ, 1941, 5, № 3. С. 345-358

84. Власов В.З. Избранные труды (в 3-х т.). - М.: Изд-во АН СССР, 1963

85. Власов В.З. Некоторые задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости // Известия АН СССР, ОТН, 1950, № 9

86. Канторович Л.В. Один прямой метод приближенного решения задачи о минимуме двойного интеграла // Изв. АН СССР, ОМЕН, 1933, № 5, - С.647-652

87. Елпатьевский А.Н., Дудченко A.A. Прочность композитных подкрепленных панелей, нагруженных в своей плоскости // МКМ, 1993, Т. 29, № 1. - С. 84

88. Елпатьевский А.Н, Дудченко A.A. Общая устойчивость композитной панели, подкрепленной стержнями с деформируемым контуром, с учетом граничных условий на поперечных краях // МКМ, 1994, Т. 30, № 4. - С.540.

89. Елпатьевский А.Н, Курдюмов H.H. Расчет тонкостенных замкнутых профилей из композитных материалов на изгиб // Механика композитных материалов, 1997, Т. 33, № 1. - С. 82-89

90. Елпатьевский А.Н, Курдюмов H.H. Расчет тонкостенных замкнутых профилей из композитных материалов на кручение // Механика композитных материалов, 1997, Т. 33, № 2. - С.235-241

91. Васильев В.В. О теории тонких пластин // Известия РАН, МТТ, 1992, № 3. С. 26-47

92. Васильев В.В, Лурье С.А. К проблеме построения неклассических теорий пластин // Известия АН СССР, МТТ, 1990, № 2. - С. 158-167

93. Васильев В.В, Лурье С.А. К проблеме уточнения теорий пологих оболочек // Известия АН СССР, МТТ, 1990, № 6. - С.139-148

94. Vassiliev V.V, Lurie S.A. On refined theories of beams, plates & shells // J. of Composite Materials, 1992, Vol. 26, No 4.

95. Лурье С.А, Шумова Н.П. Кинематические модели уточненных теорий композитных балок, пластин и оболочек // МКМ, 1996, Т.32, №5. -С.612-624

96. Белов П.А, Лурье С.А, Сергеев В.Н, Шахрам Юзефи. О методе ортогональных кинематических состояний в задачах механики // Материалы IV международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред". -Москва, 1998

97. Базаренко H.A. Анализ напряженного и деформированного состояния цилиндрической оболочки на основе точного решения трехмерной задачи теории упругости и построение прикладных теорий // Труды VI Всесоюзной конф. по теории пластин и оболочек. - М.: Наука, 1966. - С.130-135

98. Базаренко H.A., Ворович И.И. Анализ напряженного и деформированного состояния круговых цилиндрических оболочек. Построение прикладных теорий. //ПММ, 1969, Т. 33. - С.495-510

99. Базаренко H.A. Построение уточненных прикладных теорий оболочек произвольной формы. // ПММ, 1980, Т. 44, №4. - С.727-736

100. Солер. Теории высшего порядка анализа конструкций, основанные на разложениях по полиномам Лежандра // Прикладная механика, Мир, 1969, №4. - С. 107-112

101. Феллерс, Солер. Приближенное решение задачи о цилиндре конечной длины с помощью полиномов Лежандра. // Ракетная техника и космонавтика, 1970, № И. - С. 145-152

102. Солер, Хатчинс. Приближенное решение задачи теории упругости оболочек вращения средней толщины // Прикладная механика, Мир, 1974, № 4. - С.129-136

103. Понятовский В.В. К теории пластин средней толщины. // ПММ, 1962, Т. 26, №2. - С.335-341

104. Понятовский В.В. К теории изгиба анизотропных пластинок. // ПММ, 1962, Т. 28, №6. - С.1033-1039

105.Векуа И.Н. Теория тонких и пологих оболочек переменной толщины. -Тбилиси, Мецниереба, 1965. - 102 с

106. Векуа И.Н. Об одном направлении построения теории оболочек. Механика в СССР за 50 лет, Т. 3. - М.: Наука, 1972. - С.267-290

107. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. - М.: Наука, 1982. - 288 с

Ю8.Вайнберг Д.В., Гуляев В.И., Никитин С.К. Динамические задачи теории оболочек с учетом моментов высоких порядков. // Труды IX Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. - Л.: Судостроение, 1980. -С.167-170

109. Гоцуляк Е.А, Гуляев В.И, Чибиряков В.К. Дифференциальные уравнения термоупругого состояния оболочек при тепловом ударе по поверхности // Прикладная механика, 1973, Т. 9, №2

110. Гуляев В.И, Никитин С.К. Волновые процессы в упругой цилиндрической оболочке переменной толщины // Прикладная механика, 1975, Т. 11, №4. -С.38-41

111. Хома И.Ю. Некоторые вопросы теории анизотропных оболочек переменной толщины // Прикладная механика, 1974, Т. 10, №3. - С. 17-24

112. Хома И.Ю. Общая теория анизотропных оболочек. - Киев: Наукова думка, 1986,- 170 с

ПЗ.Исаханов Г.В, Чибиряков В.К. Исследование деформированного состояния и динамического поведения толстых пластин. // Проблемы прочности, 1987, №2. - С.89-95; №4. - С.68-76

114. Амосов A.A. Основные уравнения трехмерной теории упругих нетонких пластин и оболочек. - М.: 1988, 18 с. Деп. ВНИИС Госстроя СССР 9.11.1988, №9722

115. Амосов A.A. Об одном варианте построения теории оболочек вращения // Труды ТашПИ, 1978, №244. - С.21-30

116. Амосов A.A. Расчет тонких упругих оболочек по деформированному состоянию // Строительная механика и расчет сооружений, 1982, №6. -С.20-23

117. Амосов A.A. К расчету пологих оболочек переменной толщины и кривизны // Известия АН СССР, МТТ, 1969, №6. - С. 129-134

118. Амосов A.A. Приближенная трехмерная теория толстостенных пластин и оболочек //Строительная механика и расчет сооружений, 1987, №5. -С.37-42

119. Амосов A.A. Об одном варианте уточненной теории трехслойных оболочек // Труды ТашПИ. Экспериментально-теоретические исследования инженерных сооружений. - Ташкент, 1985. - С. 20-25

120. Амосов A.A. Алгоритмы расчета толстостенных оболочек на ЭВМ // Труды ТашПИ. ЭВМ в расчетах и практике проектирования объектов строительства. Ташкент, 1986. - С. 7-12

121. Амосов A.A., Исмаилова Г.А. Расчет толстостенных оболочек вращения на динамические воздействия // Труды ТашПИ. Внедрение в строительное производство совершенных методов расчета конструкций и эффективных материалов. Ташкент, 1987. - С.7-13

122. Матевосян P.P. Вывод дифференциальных формул полиномов Лежандра общего вида произвольного промежутка и их приложение в строительной механике. // Исследования по расчету строительных конструкций. - Л.: ЛИСИ, 1979. - С.5-20

123. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. -М.: Мир, 1974. -319с

124. Сегё Г. Ортогональные многочлены. - М.: Государственное издательство физ. - мат. литературы, 1962. - 500 с.

125. Елпатьевский А.Н., Князев A.A., Жаворонок С.И. Редукция плоской задачи теории упругости к последовательности обыкновенных дифференциальных уравнений // Материалы III международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред". -Москва, 1997

126. Амосов А.А, Жаворонок С.И. К проблеме редукции плоской задачи теории упругости к последовательности одномерных краевых задач // Механика композиционных материалов и конструкций, 1997, №1. - С. 69-80

127. Reissner Е. On a variational theorem in elasticity // Journal of Mathematics & Physics, 1950, v. 29, No. 2. - P. 90 - 95

128. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. - М.: Наука. - 288 с.

129. Амосов А.А, Князев А.А, Жаворонок С.И. О решении некоторых краевых задач о плоском напряженном состоянии криволинейной трапеции // Механика композиционных материалов и конструкций, 1999, №1. -С. 60-72

130. Канторович Jl.В, Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -Л.: Физматгиз, 1962. - 708 с

131. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. // Успехи математических наук, 1961, Т. 16, вып.3/99. - С. 171-174

132. Гельфанд И.М, Локуциевский О.В. Метод "прогонки". Дополнение к книге Годунова С.К, Рябенького B.C. "Введение в теорию разностных схем". - М.: Физматгиз, 1962. - С. 283-309

133. Виноградов А.Ю, Виноградов Ю.И. Совершенствование метода прогонки С.К. Годунова для задач строительной механики // Известия РАН, МТТ, 1994, №4.-С. 187

134. Абрамов A.A. О переносе граничных условий для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки) // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1961, Т. 1, №3. -С.542-545

135. Бабушка И, Витасек Э, Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1969. - 368 с.