Исследование взаимосвязанности в многомерных системах управления с дискретным временем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Ойт, Моника Эдгаровна

• Ойт, Моника Эдгаровна
• кандидат технических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат технических наук Ойт, Моника Эдгаровна

ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

1. ВВЕДЕНИЕ

1.1. Актуальность работы. Обзор исследований

1.2. Цель работы

1.3. Методика исследования

1.4. Научная новизна

1.5. Практическая ценность

1.6. Апробация работы

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МНОГОМЕРНОГО ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

В ВИДЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ

2.1. Введение

2.2. Уравнения в переменных состояния непрерывного динамического объекта

2.2.1. Преобразования уравнений состояния

2.2.2. Качественный анализ непрерывных объектов

2.2.2.1. Устойчивость

2.2.2.2. Управляемость

2.2.2.3. Наблюдаемость

2.3. Уравнения в переменных состояния объекта управления с дискретным временем

2.3.1. Управление с дискретным временем

2.3.2. Описание состояния и выхода линейного дискретного объекта

2.3.3. Определение периода дискретности

2.3.4. Методы вычисления матричной экспоненты

2.3.4.1. Методы с разложением в степенной ряд

2.3.4.2. Методы собственных значений

2.3.4.3. Прямые численные методы

2.3.5. Качественный анализ дискретных объектов

2.3.5.1. Устойчивость

2.3.5.2. Управляемость

2.3.5.3. Наблюдаемость

2.4. Исследование качества управления в зависимости от периода дискретности

2.4.1. Показатели свойства управляемости

2.4.2. Зависимость детерминанта матрицы управляемости от периода дискретности

2.4.3. Зависимость меры управляемости от периода дискретности

2.4.4. Зависимость относительного объема области управляемости от периода дискретности

2.5. Выводы

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОСВЯЗАННОСТИ МНОГОМЕРНОГО ДИНАМИЧЕСКОГО

ОБЪЕКТА

3.1. Введение

3.2. Определение относительной переходной функции

3.2.1. Постановка задачи

3.2.2. Определение переходных функций

3.2.3. Определение параметров обратной системы

3.2.4. Относительная переходная функция. Условия декомпозиции

3.2.5. Анализ относительных переходных функции

3.2.5.1. Интеракционные матрицы ФСА) и фС®®)

3.2.5.2. Зависимость относительной переходной функции от выбора периода дискретности

3.3. Исследование взаимосвязанности в частотной области .64 3.3.1. Описание многомерного объекта частотным методом

• 3.3.2, Частотные характеристики дискретных систем

3.3.3. Относительные частотные характеристики

3.3.4. Вычисление относительных частотных характеристик.

3.3.4.1. Вычисление по импульсным переходным функциям.

3.3.4.2. Вычисление по параметрам состояния

3.3.5. Исследование относительных частотных характеристик

3.3.5.1. Зависимость относительных частотных характеристик от выбора периода дискретности

3.3.5.2. Влияние частотного спектра входного сигнала на взаимосвязанность

3.4. Декомпозиция уравнении в переменных состояния.

3.4.1. Уравнения состояния в канонической форме Люэнбергера

3.4.2. Использование канонической форме для декомпозиции

3.5. Пример

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование взаимосвязанности в многомерных системах управления с дискретным временем»

4.2. Интерактивные системы автоматизированного проектирования .114

4.2.1. Общение в виде диалога вопросов и ответов .117

4.2.2. Общение с помощью специального входного языка .119

4.3. Структура системы машинного проектирования САУ .121

4.4. Краткое описание системы КОМИКС .122

4.4.1. Общее описание .123

4.4.2. Ввод данных .127

4.4.3. Преобразования .128

4.4.3.1. Идентификация многомерного динамического объекта по входным и выходным измерениям .129

4.4.3.2. Преобразование непрерывной модели объекта управления в дискретную .130

4.4.3.3. Преобразование модели состояния в канонические формы Люэнбергера .130

4.4.3.4. Преобразование в расширенные уравнения состояния .133

4.4.4. Анализ многомерного динамического объекта управления .134

4.4.4.1. Качественный анализ .134

4.4.4.2. Анализ взаимосвязанности .135

4.4.5. Синтез многомерных регуляторов .136

4.4.5.1. Синтез оптимального ПИ-регулятора состояния .136

4.4.5.2. Построение эталонной модели .137

4.4.5.3. Синтез многомерного регулятора состояния по эталонной модели .138

4.4.5.4. Синтез многомерного ПИД-регулятора выхода .139

4.4.6. Моделирование . 140

4.4.6.1. Цифровое моделирование динамики объекта .140

4.4.6.2. Цифровое моделирование замкнутой системы управления .141

4.4.6.3. Моделирование в реальном времени .142

4.4.7. Возможное использование системы КОМИКС .142

5. ВЫВОДЫ .143

ЛИТЕРАТУРА .145

ПРИЛОЖЕНИЯ .156

ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Обозначение Размеры Описание

I 2 3

А П*П Матрицы непрерывной модели

В n*m состояния и модели состояния

С р*п обратной динамической системы

D р*т; п*г

Р 11хП ^ Матрицы дискретной модели

G ПхЩ состояния

Н рхП

Е П*Г

А(0) Щхр Матричная амплитудная частотная характеристика

K(jQ) 2(т*р) Матричная частотная характеристика непрерывного объекта

К(р) 2(т*р) Матричная передаточная функция

K(t Д.) Матричные импульсные пере

А/ 4 Щхр \

K(tA) ходные функции м П*П ) Матрицы обратной динамической та Р*П J системы

VЧастотные характеристики

Qi:L(^coAt) дискретного объекта

Q Р*Р Матрицы квадратичного критерия

R качества управления

12 3 т n*n Матрица преобразования вектора состояния v(z) z - преобразование d гх1 Вектор возмущений п Число состояний ш Число входов р Число выходов, переменная

Лапласа г Число возмущений pi;L(tA) 1 Переходные функции q±1(tA) ] u т*1 Вектор управляющих воздействий входов) х nxi Вектор переменных состояния у р*1 Вектор выходных переменных z Комплексная переменная

А Период дискретности л ]Собственные значения матриц h

4)il(tA) Относительная переходная функция

Приведенная частота cjc Частота среза ф пхп Матричная переходная функция

Ф(А) р*р 1Интеракдаонные матрицы ф(сх») рхр

Ф(0) т*р Матричная фазовая частотная характеристика ч>

Фт±л ф^(jcoAt) ф11(соА±)

Фтах

Фт1п

Относительная фазовая частотная характеристика т*р Минимальная фазовая частотная интеракционная матрица Относительная частотная характеристика Относительная амплитудная частотная характеристика тхР Максимальная частотная матрица тхР Минимальная амплитудная частотная интеракционная матрица

I. ВВЕДЕНИЕ

I.I. Актуальность работы. Обзор исследований

Развитие и широкое распространение вычислительной техники в значительной степени влияют на постановку и решение многих проблем управления. В настоящее время под управлением динамическими объектами чаще всего понимают управление с помощью мини- или микро-ЭВМ, т.е. дискретное управление. Дискретный принцип управления привлекает простотой технической реализации, а также возможностью придать системам управления такие свойства, как адаптивность и самообучаемость.

Самым типичным классом объектов управления являются линейные многомерные стационарные системы. Хотя теория управления такими системами представляет собой наиболее разработанный раздел технической кибернетики, однако в связи с их дискретными управлением появляются и многие новые аспекты. Так как объекты управления - по своей сущности непрерывные системы, то одной из важнейших проблем при их дискретном управлении представляется выбор подходящего периода дискретности. Это проблема аналитически нерешаемая, и исследование такого типа вопросов возможно только при наличии специальных мощных вычислительных средств.

Появление интерактивных систем автоматизированного анализа и синтеза многомерных систем автоматического управления обусловило развитие теории управления там, где это было невозможно из-за математических трудностей. Организация без особых усилий огромных количеств моделирующих экспериментов дает возможность экспериментального исследования ряда специальных проблем дискретного управления, нерешаемых аналитически.

В настоящее время опубликовано значительное число работ по исследованию и разработке дискретных автоматических систем. Наиболее важное место среди них занимают фундаментальные труды [5,12,13,31,32,34,35,55,93] , посвященные общим вопросам теории дискретных систем. Отдельную группу образуют публикации обзорного характера, отражающие современное состояние дискретных систем и их возможные тенденции развития [45,50,73,75,87] .

Построение системы автоматического управления (САУ) начинается с построения математической модели динамического объекта управления. Класс систем управления в данной работе ограничен системами управления линейными техническими процессами или объектами, содержащими ЭВМ в контуре управления. Для получения математического описания имеются два метода - метод переменных состояния и метод переменных вход-выход. После того, как методом частотных характеристик практически была решена задача проектирования линейных одномерных систем высокого порядка, интерес к этощ методу несколько ослабел. В связи с применением ЭВМ при проектировании САУ более распространенным стал метод описания объекта управления в переменных состояния, преимущество которого состоит в возможности использования всех результатов линейной алгебры для решения задач управления. Судя по многочисленным работам, посвященным выработке новых алгоритмов управления в пространстве состояния [9,15,41,46, 52,105] , можно утверждать, что метод переменных состояния актуален и сегодня. Большинство имеющихся систем и пакетов машинного проектирования САУ [36,49,51,56,64,72,80,84] также базируются на описании объекта в переменных состояния. Но в последние годы получил существенное развитие и метод переменных вход-выход, особенно в связи с тем, что мнение о неприспособленности метода частотных характеристик при исследовании многомерных систем и использовании средств вычислительной техники для автоматизации предлагаемых им процедур было опровергнуто. В работах [23,26,59,75,87] предлагаются при проектировании многомерных САУ частотные методы. Так как выработаны приспособленные к использованию ЭВМ многомерные частотные характеристики (семейства инверсных или прямых годографов Найквиста и др. [29]), то во многих системах машинного проектирования параллельно применяются метод описания уравнениями в переменных состояния и метод частотных характеристик [43,54,84,98,103,104].

Проектирование САУ начинается с качественного анализа объекта управления, который при описании объекта уравнениями в переменных состояния состоит в исследовании устойчивости, управляемости и наблюдаемости. Поскольку определение управляемости и наблюдаемости, введенное Кальманом [II], является трудоемким процессом, предложено много новых условий управляемости, наблюдаемости и устойчивости линейных дискретных систем [24,44,47,48,58,67,76,83].

При использовании систем управления непрерывными объектами с дискретным временем возникают проблемы определения подходящего периода дискретности и вычисления матричной экспоненты еАА . В решении проблемы выбора периода дискретности существуют разные подходы [6,37,65,78], но при любом из них задача представляется математически сложной. До сих пор нет единого общепризнанного решения проблемы определения периода дискретности.

Вопросы, связанные с вычислением матричной экспоненты, не представляют математически особых задач, и в основном они решены [53,63,82,106].

Проблема связанности стала актуальной при декомпозиции многомерных систем на независимые подсистемы. Если описание системы задано в виде "вход-выход", то проблема декомпозиции сводится к диагонализации соответствующих передаточных матриц [59,81,97]. Но когда объект описан уравнениями в переменных состояния, тогда прямая связь между входами и выходами отсутствует и непосредственно по описанию системы невозможно судить о связанности объекта. Эти вопросы разными авторами решаются по-разному [25,66,69,88,89,94] . В целом же, поскольку проблема математически сложна, целесообразно начинать с ввделения одномерных подсистем. В последнее время опубликовано несколько работ, в которых связанности отдельных входов и выходов характеризуются матрицами связи [94], где элементы матриц представляют собой переходные функции специального типа, а также, в принципе, подобными нормированными матрицами связи [88,89]. Хотя данные работы посвящены проблемам связанности многомерных непрерывных систем, из них можно сделать выводы и для дискретных систем, но придется учитывать влияние периода дискретности на свойства связанности.

Существование в практике многочисленных пакетов и систем машинного проектирования дает возможности для дальнейшего развития теории систем машинного проектирования. Теоретические аспекты систем машинного проектирования САУ освещены во многих работах [21,27,29,56,74,91,96,98,100] ; затронуты вопросы и общей теории машинного проектирования [3,42,99] . В последнее время особое внимание направлено на интерактивные системы проектирования и организацию общения между человеком и ЭВМ в системе проектирования [7,8,100-102].

1.2. Цель работы

Целью данной работы является разработка методики для декомпозиции многомерных линейных систем управления с дискретным времени на автономные подсистемы, опираясь на описание системы уравнениями в переменных состояния.

При такой постановке задачи появляются дополнительные проблемы. Так как исследуется дискретное по времени управление линейными многомерными системами, следует избрать принципиальный подход к построению системы управления. При дискретном управлении в сущности непрерывными объектами имеются два подхода. Первый из них состоит в построении непрерывного регулятора и аппроксимации его действия в дискретные моменты времени. При втором подходе вместо непрерывной модели системы используется ее дискретный эквивалент и строится регулятор уже для дискретной системы. В первом случае получается приближенный регулятор. Второй принцип дает точный дискретный регулятор, но возникают проблемы дискретизации объекта управления. В данной работе выбран второй подход, так как более важным считается качество дискретного управления. Однако таком случае приходится решать проблемы, связанные с переходом от дифференциальных уравнений в переменных состояния исходной системы x(r) = А хСе) + в иОс), = с хОс) к разностным уравнениям эквивалентной дискретной системы х [(t+1 )Д] = Р x(tA) + G u(tA), y(tA) = Н x(tA), где параметры f,g,h связаны с параметрами исходной системы А,в, с следующим образом:

Р = еАД,

G = [jeA4 d,] В> О н = С.

Проблемы вычисления матричной экспоненты решены, но не существует единой методики для определения подходящего периода дискретности . Поэтому в цель данной работы входит и разработка методики для выбора периода дискретности при дискретном управлении непрерывными системами, учитывая одновременно аппроксимацию исходной системы и достигаемое качество управления.

При решении задачи декомпозиции многомерных систем необходимо исследование связанности систем. Если описание системы задано в виде "вход-выход", то свойства связанности определяются недиагональными элементами матричной передаточной функции, т.е. система задана уравнениями в переменных состояния, где отсутствует непосредственная связь между входами и выходами и в общем случае судить о возможностях декомпозиции данной системы по структуре матриц невозможно. Так как проблема математически сложная, целесообразно начинать с выделения одномерных независимых подсистем, т.е. автономных пар из входных и выходных переменных. В цель данной работы, таким образом, включается разработка методики исследования связанности вход-выход пар с остальной системой по описанию системы уравнениями в переменных состояния.

В состав вышеназванных задач, решение которых является целью данной работы, входят многие аналитически нерешаемые сложные математические проблемы. Возникает необходимость в разработке соответствующих средств для исследования таких проблем. В данном случае для исследования вопросов, связанных , с системами управления, лучшим средством является создание системы автоматизированного проектирования САУ с возможностью организации больших количеств моделирующих экспериментов. Разработка на основе анализа существующих систем и пакетов прикладных программ интерактивной системы автоматизированного проектирования многомерных САУ также составляет цель данной работы.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Ойт, Моника Эдгаровна

Основные результаты данной работы следующие:

1. Разработан метод определения периода дискретности на основе уравнений в переменных состояния с учетом одновременно аппроксимации исходной непрерывной системы и достигаемого качества управления.

2. Разработаны методы для определения взаимосвязанности многомерной динамической системы во временной и в частотной областях.

3. Получены условия и разработан метод декомпозиции многомерных динамических систем в частотной области при помощи относительных амплитудных и относительных фазовых частотных характеристик.

4. При помощи относительных переходных функций и относительных частотных характеристик и на основе машинных экспериментов показано, что взаимосвязанность многомерных дискретных систем несущественно зависит от выбора периода дискретности.

5. Практическими результатами работы являются созданные алгоритмы и программы для определения периода дискретности при дискретном по времени управлении непрерывными объектами; алгоритмы и программы для исследования связанности многомерных динамических систем; методика и программы для декомпозиции многомерных систем на автономные подсистемы.

6. Широкое практическое использование нашла разработанная диалоговая система автоматизированного премирования систем автоматизированного управления линейными многомерными объектами, в состав которой входят все вышеназванные программы. Версии данной системы реализованы в СКВ вычислительной техники Института кибернетики АН ЭССР при построении регуляторов на конкретные системы управления; на кафедре автоматики Таллинского политехнического института при обучении студентов по теории автоматического управления; в секторе систем управления Института кибернетики АН ЭССР для автоматизации научных исследований в области теории дискретного управления. Модифицированная версия данной системы под названием АВТОРЕГУЛЯТОР включена в состав программного обеспечения комплекса АРМ и сдана в ГООФАП.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Ойт, Моника Эдгаровна, 1984 год

1. АРМ. Пакет прикладных программ проектирования многомерных систем управления "АВТОРЕГУЛЯТОР": Описание применения.- ДОХ.00009-01 31 01. Таллин: СНПО "Алгоритм", 1982, - 43с.

2. АРМ. Пакет прикладных программ проектирования многомерных систем управления "АВТОРЕГУЛЯТОР": руководство системного программиста. ДПХ.00009-01 32 01. - Таллин: СНПО "Алгоритм", 1982, - 42 с.

3. Артамонов Е.И. Общие вопросы организации автоматизированных систем проектирования. Тез. докл. УШ Всесоюз. совещания по проблемам управления. Таллин, 1980, с, 592-593.

4. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969.- 368 с.

5. Бесекерский В.А. Цифровые автоматические системы.- М.: Наука, 1976. 575 с.

6. Билинский И.Л., Боровик Ю.Ф., Микельсок А.К. Реализация метода дискретного преобразования Фурье, основанного на применении прямоугольных периодических функций. Автоматика и вычислит, техника, Рига, 1982, ife 6, с. 81-88.

7. Брановицкий В.И., Довгялло A.M., Никитин А.И., Стогнин А.А. Диалог человека и ЭВМ: Основные понятия и определения.- Управляющие системы и машины, 1978, Л 4, с. 3-6.

8. Брановицкий В.И., Кудрявцева С.П. Способ реализации некоторых классов человеко-машинных диалоговых систем.- Тез. докл. УШ Всесоюз. совещания по проблемам управления. Таллин, 1980, с. 516-518.

9. Габасов P., Наумович Р.Ф. Дискретные регуляторы для систем с запаздыванием по управлению. Автоматика и телемеханика, 1977, № 2, с. 6-II.

10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 576 с.

11. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. - 398 с.

12. Катковник В.Я., Полуэктов Р.А. Многомерные дискретные системы управления. М,: Наука, 1966. - 416 с.

13. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. - 650 с.

14. Красовский А.А., Поспелов Г.С. Основы автоматики и технической кибернетики. М.: Госэнергоиздат, 1962. - 600 с.

15. Крутько П.Д., Попов Е.П. Построение алгоритмов управления движением дискретных систем. Изв. АН СССР, Техн. кибернетика, 1979, Jfc 3, с. 159-167.

16. Летов A.M. Состояние и перспективы развития теории управления. Автоматика и телемеханика, 1972, №9, с. 12-23.

17. Машинное проектирование многомерных САУ: Краткое описание системы КОМИКС. Отчет по теме ГП 121.176. Таллин:Ин-т кибернетики АН ЭССР, 1982. - 35 с,

18. Морозовский В,Т. Многосвязные системы автоматического регулирования. М.: Энергия, 1970. - 288 с.

19. Нургес Ю. О минимальной частичной реализации в канонической форме. Изв. АН ЭССР. Физ.-матем., 1977, т. 26, № I, с. 56-63.

20. Нургес Ю. Сравнительный анализ канонических форм многомерных линейных систем. Изв. АН ЭССР. Физ.-матем., 1980,т. 29, № 3, с. 272-281.

21. Ойт М., Паюпуу Я., Хярмаорг Т., Яаксоо Ю., Котта Ю.,

22. Нургес Ю. Автоматизированное проектирование многомерных линейных систем управления. Тез. докл. УШ Всесоюз. совещания по проблемам управления, Таллин, 1980, с. 597-600.

23. Ойт М., Яаксоо Ю. Диалоговая система машинного проектирования многомерных регуляторов. В кн.: Автоматизированное проектирование систем управления. М., Наука, 1982, т. 4, с. 145-155.

24. Петров Б.Н., Черкасов Б.А., Ильясов Б.Г., Куликов Г.Г. Частотный метод анализа и синтеза МСАР. Докл. АН СССР, 1979, т. 247, № 2, с. 304-307.

25. Райенд К.А. Применение сингулярного разложения для анализа линейных систем. Тез. докл. III Всесоюз. совещания по автоматизации проектирования систем автоматического и автоматизированного управления технологическими процессами, М., 1981, с. 65-66.

26. Разоренов Г.Н. Декомпозируемость линейных динамических систем. Автоматика и телемеханика, 1978, № I, с. 12-16.

27. Расчет и анализ системы автоматического управления реактором кипящего слоя: Отчет № 9-15/13. Таллин: Таллин, политех. ин-т, 1975.

28. Сивцов В.И., Чулин Н.А. Автоматизированный синтез систем регулирования на основе частотного метода теории автоматического управления. М.: Машиностроение, 1982. - 56 с.

29. Солодовников В.В. Об автоматизации проектирования систем управления технологическими процессами. Изв. вузов. СССР. Приборостроение, 1977, т. 20, № 10, с. 24-34.

30. Солодовников В.В. Проблема автоматизации проектирования систем управления и методы теории автоматического управления. Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1980, № 5,с. 23-31.

31. Техническая кибернетика: Теория автоматического регулирования. Кн. I/под ред. Солодовникова В.В. М.: Машиностроение, 1967. - 777 с.

32. Ту Ю.Т. Цифровые и импульсные системы автоматического управления. М.: Машиностроение, 1964. - 703 с.

33. Ту Ю.Т. Современная теория управления. М.: Машиностроение, 1971. - 472 с.

34. Хуторецкий Б.И., Медведь И.А. Взаимодействие человека с ЭВМ в сфере управления. М.: Статистика, 1976. - 95 с.

35. Цыпкин Я.Э. Теория линейных импульсных систем. М.: Физ-матгиз, 1963. - 968 с.

36. Цыпкин Я.Э. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977. - 560 с.

37. Чхартишвили Г.С., Починок И.В. Пакет программ для анализаи синтеза САУ методом пространства состояний. В кн.: Автоматизация проектирования. М., Изд-во Моск. энерг. ин-та, 1978, с. 48-56.

38. Филиппов Л.Г. Вопросы определения периода дискретности управляющего сигнала в системе управления с управляющей машиной. Приборы и системы управления, 1979, № 8, с. 11-13.

39. Яаксоо Ю.И. К теории дискретных обратных систем. Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1980, В 5, с. 165-169.

40. Яаксоо Ю.И. К теории дискретных обратных систем. Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1980, В 5, с. 165-168.41» Alevisakis G., Seborg D.E. An extension of the Smith

41. Predictor method to multivariable linear systems containing time delays. Intern. J. Contr., 1973, v. 17, № 3, p. 541-551.

42. Atherton D.P. The value of computer aided design.- IPAC Symp.: Computer aided design of control systems. Zurich, 1979, p. 447-451.

43. Baruh I.S., Benkoff J.G. Software package for CAD of optimal P, PI, PID controllers. Digital computer applications to process control: Preprints of the 6-th IFAC/IFIP Conf. Diisseldorf, 1980, p. 377-382.

44. Berger C.S. A simple sufficient condition for the stability of linear discrete time systems. Intern. J. Contr., 1982, v. 35, № 6, p. 1073-Ю80.

45. Connell J.R. How digital systems evolved to meet process control needs. Can. Contr. Instrum., 1983, v. 22, № 2, p. 16-17.

46. Corfmat J.P., Morse A.S. Decentralized Control of Linear Multivariable Systems. Automatica, 1971, v. 7, № 3,p. 476-485.

47. Dabke K.P. A simple criterion for stability of linear y discrete systems. Intern. J. Contr., 1983, v. 37, № 3,p. 657-659.

48. Davison E.J., Wang S.H. New results on the controllability and onservability of general composite systems.- IEEE Trans. Autom. Contr., 1975, v. AC-20, № 1, p. 123-128.

49. Denham M.J. A program package for computer aided design of control systems. The 7-th Trienn. World Congr. of the IPAC: A link between science and applications of automaticcontrol. Helsinki, 1978, p. 437-442.

50. Dorato P. Theoretical developments in discrete time control.- Theory and application of digital control: Proceedings of IРАС Symp. New-Delhi, 1982, p. 157-163.

51. A.Ek, Gran E. MULTECS. version 1. Users manual. Kjeller report KR-151, 1975. - 62 p.

52. Fahmy M.M., O'Reilly J. Dead-beat control of linear discrete-time systems. Intern. J. Contr., 1983, v. 37, № 4, p. 685-705.

53. Path A.P. Evaluation of a Matrix Polynomial. IEEE Trans. Autom. Contr., 1962, v. AC-13, № 2, p. 220-221.

54. Feliu V., Avello A.J, A Package for Computer Aided Design of Multivariable Control Systems. Software for Computer Control: Preprints of the 3-rd IfAC/IFIP Symp. Madrid, 1982, p. 175-183.

55. Fisher D.G., Seborg D.E. Multivariable computer control.- Univ. of Alberta, Canada, 1976. 205 p.

56. Fisher D.G., Wilson R.G., Agostinis W. Description and Applications of a Computer Program for Control System Design. Automatica, 1972, v. 8, № 5, p. 737-746.

57. Golub G.H., Reinsch C. Singular value decomposition and least equare solution. Num. Math., 1970, v. 14, № 3, p. 403-420.

58. Grasselli O.M. Conditions for controllability and reconstructibility of discrete-time linear composite systems. Intern. J. Contr., 1980, v. 31, № 3,p. 433-441.

59. Gray J.O., Taylor P.M. Frequency domain functionals for the assessment of interaction effects in multivariable feedback systems. IFAC Symp.: Computer aided design ofcontrol systems, Zurich, 1979, p. 81-86.

60. Graybill F.A. Introduction to Matrices with Applications in Statistics. California: Colorado State Univ., 1967» - 368 p.

61. Hampel I., Wilkie D. A microprocessor based process controller for interactive control application. Digital computer applications to process control: Preprints of the 6-th IFAC/IFIP Conf. Dusseldorf, 1980, p. 457-463.

62. Harris P.J. On the Use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier* Transform, Proc. IEEE, 1978, v. 66, № 1, p. 51-83.

63. Healey N. Study of methods of computing transition matrices. Contr. Sci. Rec., 1973, № 9, p. 905-912.

64. Herolf K.O.M. A program package for linear multivariable systems. IPAC Symp.: Computer aided design of control systems. Zurich, 1979, p. 299-304.

65. Hirzinger G., Ackermann J. Sampling frequency and controllability region. Comput. El. Eng., 1975, v. 2, p. 347-351.

66. Hutcheson W.J. Decoupling of Multivariable Systems by Function Optimization. Intern. J. Contr., 1979, v. 30, № 6, p. 1001-1012.

67. Inouye Y. Notes on controllability and constructabilityof linear discrete-time systems. Intern. J. Contr., 1982, v. 35, № 6, p. 1081-1084.

68. Jaaksoo 0. Design of multivariable discrete-time regulators. A link between science and applications of automatic control: Preprints of the 7-th Trienn. World Congr. of the IFAC. Helsinki, 1978, p. 1831-1836.

69. Jaaksoo 0. Interaction analysis in multivariable control systems design, The 2nd IFAC/IFIP Symp. Software for Computer Control. Praque, 1979, v. 2, A-XX?.

70. King R.E., Paraskevepolus P.N. Digital Laguerre filters.- Cirk. Theory Applic., 1977, v, 5, p. 81-91,

71. Kotta tl. Structure and parameter estimation of multivariable systems using eigenvector method. Preprints of 5-th IPAC Symp. on Identification and System Parameter Estimation. Darmstadt, 1979,

72. Konstantinov M.M., Patarinski S.P., Petkov P.Hr., Christov N.D. Program package for computer aided design of linear control systems. IPAC Symp.: Computer aided design of control systems, Zurich, 1979, p. 319-324,

73. Lin W., Kuo Т., Thaler G.J, Finite-time control of linear discrete time systems. Intern. J. Contr., 19Q3, v. 37, № 4, p. 855-860.

74. MacLeod I.M. The Application of Modern Software Techniques on the Development of a Process Control Package.- Software for Computer Control: Preprints of the 3-rd IFAC/IFIP Symp., Madrid, 1982, p. 395-401.

75. MacFarlane A.G.J,, Karcanias N. Relationships between state-space and frequency-response concepts, A link between science and applications of automatic control: Preprint of IFAC. Helsinki, 1978, v. 3, p. 1771-1779.

76. Maroulas J,, Barnett S. A new controllability condition.- IEEE Trans. Autom. Contr,, 1979, v. AC-24, № 4, p. 635-637.

77. Marshall A.W., Olkin I, Inequalities: Theory of Majori-zation and Its Applications. New York: Acad. Press, INC, 1979. - 569 p.

78. Melzer S.M., Kuo B.C. Sampling Period Sensitivity of the Optimal Sampled Data Linear Regulator. Automatica, 1971, v. 7, № 2, p. 367-370.

79. Merritt R. Electronic controller survey. Instr. Techn., 1977, v. 24, № 5, p. 43-62.

80. Munro N. The UMIST control system design and synthesis suites. Computer aided design of control systems: IFAC Symp. Zurich, 1979, p. 343-348.

81. Naylor A.W. On Decomposition Theory: Generalized Dependence. IEEE Trans. Syst. Man Cyb., 1981, v. SMC-11, № 10, p. 699-713.

82. Nelson L. Pade approximations to the matrix exponential. Univ. Trondheim, The Norwegian Inst, of Technology, Division of Automatic Control, 1971. - 29 p.

83. Nwokah O.D.I. The stability of linear multivariable systems. Intern. J. Contr., 1983, v. 37, № 3,p. 623-629.

84. Postlethwaite I. Analysis and design of linear multi-variable control systems. Sci. Progress, Oxford, 1981, v. 67, p. 531-582.

85. Pujara L.R., Rattan K.S. A frequency matching method for model reduction of digital control systems. Intern. J. Contr., 1982, v. 35, № 1, p. 139-148.

86. Raske F. Ein Beitrag zur Dekomposition von linearen zeitinvarianten Grossystemen: Dokt.-Dis. Univ. Hannover, BRD, 1981. - 111 a.

87. Ray W.H. Multivariable process control. A survey.- Comput. Chera. Eng., 1983, v. 7, № 4, p. 367-394.

88. Rosenbrock H. Computer-aided control system design.- London: Acad. Press, 1974, 230 p.

89. Smith B.T., Boyle J.M. Matrix eigensystem routines -EISPACK Guide. Berlin: Springer-Verl., 1974. - 387 p.

90. Schwarz H. Zeitdiskrete Regelungssysteme. Berlin: Akademie-Verl., 1979. - 150 s.

91. Sote W. Strukturelle Methoden zur Dekomposition.- Re gelungs technik, 1980, B. 28, № 1, s. 37-44.

92. Vaughan D.R. A nonrecursive algebraic solution for the discrete Riccati equation. IEEE Trans. Autom. Contr., 1970, v. AC-15, № 5, p. 597-599.

93. Walter C. Functional Programming for Discrete Process Control. Software for Computer Control: Preprints of the 3-rd IFAC/IFIP Symp. Madrid, 1982, p. 377-383.

94. Warren M.E., Mitter S.K. A necessary condition for desoupling multivariable systems. Intern. J. Contr., 1975, v. 21, № 2, p. 177-192.

95. Wieslander J. A subroutine library in the field of automatic control. Helsinki Univ. of Technology, Contr. Eng. Lab. Rep. 5, 1977. - 20 p.

96. Wieslander J. Design principles for computer aideddesign software. IPAC Symp.: Computer aided design of control systems. Zurich, 1979, p. 493-496.

97. Wieslander J. Interaction in Computer Aided Analysisand Design of Control Systems. Lund Inst, of Technology, Lund, 1979. - 222 p.

98. Wieslander J. Interactive Programs: General Guide.- Project Report STU. Lund, 1980. 30 p.

99. Wieslander J., Elmqvist H. IHTRAC A communication Module for Interactive programs. - Lund Inst, of Technology, Lund, 1978. - 60 p.

100. Wieslander J. Modpac Commands: User's Guide. Project Report STU, Lund, 1980. - 80 p.

101. Wieslander J. Synpac Commands: User's Guide.- Project Report STU, Lund, 1980. 130 p.

102. Willems J.L. Design of state observers for linear discrete time systems. Intern. J. System Sci., 1980, v. 11, № 2, p. 139-147.

103. Zakian V. Rational approximants to the matrix exponential.- El. Lett., 1970, v. 6, № 6, p. 814-815.