Резонансы одномерного оператора Дирака тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Мокеев Дмитрий Сергеевич

• Мокеев Дмитрий Сергеевич
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Мокеев Дмитрий Сергеевич

Введение

Глава 1. Оператор Дирака на полупрямой с периодическим

потенциалом

1.1 Определения и основные результаты

1.1.1 Определения

1.1.2 Движение уровней

1.1.3 Асимптотическая формула следов

1.1.4 Обратная задача

1.2 Периодический оператор Дирака

1.2.1 Уравнение Дирака

1.2.2 Периодический оператор Дирака

1.2.3 Уравнение Дирака со сдвигом

1.2.4 Оператор Дирака на полупрямой

1.3 Теорема о неявной функции и свойства решений уравнения Дирака

1.3.1 Теорема о неявной функции

1.3.2 Гладкость решений

1.3.3 Нули решений

1.4 Доказательства основных теорем

1.4.1 Движение уровней

1.4.2 Асимптотическая формула следов

1.4.3 Обратная задача

Глава 2. Оператор Дирака с дислокацией в периодическом потенциале

2.1 Определения и основные результаты

2.1.1 Определения

2.1.2 Существование уровней

2.1.3 Движение уровней

2.1.4 Примеры потенциалов с разными типами уровней

2.1.5 Массовый оператор Дирака

2.2 Функции Вейля-Титчмарша

2.2.1 Аналитические свойства

2.2.2 Асимптотические свойства

2.3 Оператор Дирака с дислокацией

2.3.1 Уравнение Дирака с дислокацией

2.3.2 Спектр оператора Дирака

2.3.3 Уровни оператора Дирака

2.3.4 Непрерывность уровней оператора Дирака

2.4 Доказательства основных теорем

2.4.1 Существование уровней

2.4.2 Движение уровней

2.4.3 Примеры потенциалов с разными типами уровней

2.4.4 Массовый оператор Дирака

Глава 3. Оператор Дирака на полупрямой с потенциалом с

компактным носителем

3.1 Определения и основные результаты

3.1.1 Определения

3.1.2 Обратная задача по функции Йоста и матрице рассеяния

3.1.3 Обратная задача по резонансам

3.1.4 Свойства резонансов

3.1.5 Устойчивость решения обратной задачи по резонансам

3.1.6 Канонические системы

3.2 Предварительные сведения

3.2.1 Целые функции

3.2.2 Банаховы алгебры

3.3 Задача рассеяния для оператора Дирака

3.3.1 Функция Йоста

3.3.2 Прямая задача рассеяния

3.3.3 Обратная задача рассеяния

3.3.4 Потенциалы с компактным носителем

3.4 Доказательство основных теорем

3.4.1 Обратная задача по функции Йоста и матрице рассеяния

3.4.2 Обратная задача по резонансам

3.4.3 Свойства резонансов

3.4.4 Устойчивость решения обратной задачи по резонансам

3.4.5 Канонические системы

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Резонансы одномерного оператора Дирака»

Введение

Работа посвящена исследованию резонансов одномерного оператора Дирака. Этот оператор был введен П. А. М. Дираком [1] в 1928 году для построения квантовой теории, согласованной с теорией относительности. Исследование П. А. М. Дирака позволило обнаружить многие неизвестные до этого явления, например, существование античастиц и парадокс Клейна, который был обнаружен О. Б. Клейном [2] и получил объяснение только в рамках квантовой теории поля.

Оператор Дирака широко применяется в различных областях математики и физики до сих пор. Наиболее интересными с физической точки зрения являются многомерные операторы Дирака, однако одномерный оператор Дирака также играет важную роль, так как возникает при рассмотрении простых физических моделей, допускающих разделение переменных. В частности, оператор Дирака на полупрямой возникает при разделении переменных в операторе Дирака со сферически симметричным потенциалом (см., например, монографию Б. Таллера [3]).

Кроме того, одномерный оператор Дирака имеет огромное значение в теории интегрируемых систем, так как возникает при интегрировании нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ) методом обратной задачи рассеяния. Впервые этот метод возник в работе К. С. Гарднера, Дж. М. Грина, М. Д. Крускала и Р. М. Миуры [4], где было решено уравнение Кортевега—де Фриза (КдФ) с помощью решения обратной задачи рассеяния для оператора Шрёдингера. Метод получил дальнейшее развитие в работе П. Д. Лакса [5], ему удалось обобщить этот метод и выявить его алгебраические основания. После этого В. Е. Захаров и А. Б. Шабат [6] применили метод обратной задачи для интегрирования нелинейного уравнения Шрёдингера, для чего они использовали решение обратной задачи рассеяния для одномерного оператора Дирака. В теории интегрируемых систем такой оператор и соответствующая система дифференциальных уравнений называются оператором и системой Захарова—Шабата. Система Захарова— Шабата известна также под названием АКНС системы, в связи с обширными исследованиями М. Дж. Абловица, Д. Дж. Каупа, А. С. НьюэллаиХ. Сигура(см. [7]), показавшими, что такая система дифференциальных уравнений связана с целой иерархией интегрируемых нелинейных уравнений, среди которых — уравнение КдФ и НУШ.

В данной работе будут рассмотрены операторы Дирака на полупрямой с периодическим потенциалом и с потенциалом, имеющим компактный носитель, а также оператор Дирака на прямой с дислокацией в периодическом потенциале, действующие по правилу

Рассматриваемые операторы являются самосопряженными и имеют непустой непрерывный спектр. Их резольвенты (Н — Л)-1 являются аналитическими операторнозначными функциями вне спектра. Для любой функции п £ С0 (К) операторнозначные функции п(Н — Л)-1п допускают мероморфные продолжения на двулистные римановы поверхности Л, которые называются римановыми поверхностями энергии. Как известно, полюсы резольвенты на первом листе ри-мановой поверхности являются собственными значениями оператора. Введем резонансы рассматриваемых операторов как полюсы операторнозначной функции п(Н — Л)- 1п на втором листе римановой поверхности Л.

Это определение является общим, но не очень удобным для применения в одномерном случае. Поэтому покажем, что резонансы рассматриваемых операторов могут быть определены как нули некоторых целых функций, которые являются вронскианами решений уравнения Дирака. Такое определение позволит нам использовать методы теории целых функций для исследования резонансов. Более того, для оператора Дирака с потенциалом, имеющим компактный носитель, существует матрица рассеяния и его резонансы являются ее полюсами, то есть резонансами рассеяния. Кроме того, в работе А. М. Янченко и Е. Л. Коро-тяева [8] доказано, что такие резонансы являются нулями модифицированного определителя Фредгольма.

Вообще, резонансы возникают в различных областях математики и физики и являются обобщением собственных значений для систем, в которых существуют делокализованные состояния, отвечающие рассеянию частиц (см., например, монографию С. В. Дятлова и М. Р. Зворского [9] и обзорную статью М. Р. Зворско-го [10]). Типичные состояния в таком случае описываются скоростью осцилляции и убывания на бесконечности, которые соответствуют вещественной и мнимой частям резонансов. Таким образом, резонансы являются естественным дискретным аналогом спектральных данных на непрерывном спектре и могут быть использованы в качественных данных для обратной задачи или для асимптотического

(1)

разложения решения соответствующего нестационарного дифференциального уравнения.

Например, с помощью резонансов можно построить асимптотическое разложение решения волнового уравнения по резонансам соответствующего оператора Шрёдингера (см., например, [9, теорема 2.9]). Для построения такого разложения используется интегральное представление решения нестационарного уравнения с помощью резольвенты и учет вкладов в интеграл от полюсов резольвенты, которые являются резонансами. Данный метод похож на метод Фурье для решения нестационарных уравнений, когда решение раскладывается в ряд по собственным функциям стационарного уравнения. Однако, в отличие от собственных значений, наличие нетривиальной мнимой части у резонансов приводит к экспоненциальному убыванию соответствующих членов разложения при больших временах. В связи с этим в физике элементарных частиц резонансы интерпретируют как частицы с конечным временем жизни.

Отметим, что методы, используемые в данной работе, применимы в основном для исследования резонансов одномерных операторов. Однако существуют различные подходы к исследованию резонансов. Например, для исследования резонансов многомерных операторов широко применяется метод комплексного вращения. В этом случае резонансы определяются как невещественные собственные значения оператора Ид = и(д)Ии(-0), где -0 Е С и и(-)/(х) = е при этом собственные значения оператора Ид не зависят от д. То, что резонансы оказываются собственными значениями некоторого оператора, позволяет изучать их с помощью результатов, полученных для собственных значений, например, таких, как теория возмущений Като—Релиха.

Метод комплексного вращения был разработан в работах Ж. Агиляра и Ж. М. Комба [11], Э. Балслева и Ж. М. Комба [12] и Б. М. Саймона [13] для оператора Шрёдингера и обобщен в работе Б. Хельффера и Й. Н. Шёстранда [14]. Стоит отметить, что этот метод применим только для специального класса потенциалов. Для многомерного оператора Шрёдингера описание класса таких потенциалов сделано в работе Д. Бэббита и Э. Балслева [15]. К оператору Дирака метод комплексного вращения впервые применялся в работе П. Шебы [16]. Так как этот метод не используется в данной работе, то ограничимся приведенными ссылками, более подробное описание известных работ представлено в докторской диссертации Дж. Кунгсмана [17].

Обсудим операторы, рассматриваемые в данной работе. Пусть Н±, где £ € К, — самосопряженные операторы Дирака, действующие в гильбертовом пространстве Ь2(Ш±,С2) и заданные дифференциальным выражением

H±y = jy + V (• + t)y, J =

0 1 -1 0

V =

y =

(2)

и граничным условием Дирихле yi(0) = 0. Здесь q = —q2 + iq1 G L2(T) — периодический потенциал, где T = R/Z. Заметим, что с помощью унитарного преобразования T = — (1 —) операторы H± могут быть приведены к виду (1).

Спектры таких операторов состоят из абсолютно непрерывной части, которая имеет зонную структуру и не зависит от сдвига потенциала, и собственных значений в лакунах абсолютно непрерывного спектра, то есть

a(H±) = aac(H±) U Gd(H±), aac(H±) = у od(H±) С U Yn,

ngz nGZ

где спектральные зоны ап и лакуны уп заданы следующим образом:

Qn = [a+-i,a-], Yn = (а-), при этом a+-i < < Vп G Z. (3)

Последовательность точек (a±)nGZ является спектром оператора Дирака, заданного дифференциальным выражением (2) с 2-периодическими граничными условиями y(0) = y(2).

Для операторов H± риманова поверхность энергии Л состоит из двух листов комплексной плоскости Л1 = Л2 = C \ Qac(H±), склеенных крест-накрест по разрезам вдоль абсолютно непрерывного спектра (см. Рис. 1).

Рисунок 1 — Риманова поверхность энергии Л. Кресты и треугольники показывают, как отождествляются разные части разрезов при склейке.

В данной работе будет показано, что резонансы операторов Н± также расположены над лакунами абсолютно непрерывного спектра, на втором листе

римановой поверхности энергии Л2. Отметим, что лакуны на первом и втором листе образуют круговые лакуны усп = уП1^ и уП2) , где п Е Ъ, на римановой поверхности энергии Л (см. Рис. 2).

Рисунок 2 — Круговая лакуна уП на римановой поверхности энергии Л.

Операторы Дирака И± рассматривались во многих работах (см., например, монографию Б. М. Левитана и И. С. Саргсяна [18]). В частности, Е. Л. Коротяевым [19] была решена обратная задача по длинам лакун и положениям собственных значений Дирихле, а в работах Т. В. Мисюры [20; 21] и Е. Л. Коротяева [22] была решена обратная задача в терминах отображения Марченко—Островского. При этом для восстановления потенциала может быть использована формула следов (см. работу Б. Гребера и Ж.-К. Гийо [23, Теорема 3.3]), которая связывает значение потенциала в нуле и положение собственных значений в лакуне. Для восстановления потенциала в другой точке можно сдвинуть исходный потенциал так, чтобы исследуемая точка оказалась в нуле. Напомним, что при сдвиге потенциала абсолютно непрерывный спектр операторов И± остается неизменным. Таким образом, для восстановления потенциала во всех точках необходимо изучить движение собственных значений в лакунах в зависимости от сдвига потенциала.

Изначально аналогичная задача была решена для оператора Шрёдингера. А именно, для решения уравнения КдФ на окружности Б. А. Дубровин [24] исследовал движение собственных значений самосопряженных операторов Шрёдингера Н±, действующих в Ь2(Ш±,С) и заданных дифференциальным выражением и граничным условием:

= -у" + ду, у (0) = 0,

где д — конечнозонный потенциал. Абсолютно непрерывный спектр операторов Ь± имеет зонную структуру с конечным числом открытых лакун, в которых находятся собственные значения, не более одного в каждой открытой лакуне. Как и в случае оператора Дирака, для восстановления потенциала по положению собственных значений в лакунах можно использовать формулу следов (см., например, монографию Б. М. Левитана [25]). Б. А. Дубровин [24] показал, что

собственные значения являются решением конечной системы дифференциальных уравнений первого порядка, названных впоследствии уравнениями Дубровина. В

[24] эта система решена сведением к проблеме обращения Якоби. Такой метод решения предложен Н. И. Ахиезером [26] для построения четных конечнозон-ных потенциалов в связи с континуальным обобщением теории ортогональных многочленов на системе интервалов. Независимо от Б. А. Дубровина, но также используя идеи работы [26], обратная задача для конечнозонных потенциалов решена А. Р. Итсом и В. Б. Матвеевым [27].

Существенно, что система уравнений Дубровина описывает движение точек на двулистной римановой поверхности энергии над лакунами непрерывного спектра и эти точки являются полюсами резольвенты оператора Н+, продолженной на риманову поверхность энергии. Напомним, что полюс на первом листе является собственным значением оператора Н+, а полюс на втором листе — резонансом, в этом случае он также будет являться собственным значением оператора К~. Кроме того, резольвента может иметь полюсы над границами непрерывного спектра. Будем называть такие точки виртуальными уровнями соответствующего оператора, так как они могут становиться его собственными значениями или резонансами при малых возмущениях. Будем называть уровнями оператора его собственные значения, резонансы и виртуальные уровни. Таким образом, уравнения Дубровина описывают динамику уровней оператора. Отметим, что нет устоявшегося термина для точек, которые мы называем уровнями, в работе А. Б. Шабата [28] такие точки назывались условными собственными значениями оператора, а в работе Е. Л. Коротяева [29] — состояниями оператора Н+.

В случае гладких периодических потенциалов с бесконечным числом открытых лакун система уравнений Дубровина использовалась для решения обратной задачи для оператора Н+ Е. Трубовицем [30], а впоследствии Б. М. Левитаном

[25]. Для потенциалов из Ь2(Т) движение собственных значений в лакунах оператора к+ рассматривалось в работах В. А. Жёлудева [31], Е. Л. Коротяева [29] и Е. Л. Коротяева и К. М. Шмидта [32]. С использованием полученных результатов, в работе [29] решена обратная задача по длинам лакун для оператора Н+ с потенциалом из Ь2(Т). В этих работах показано, что над каждой открытой лакуной абсолютно непрерывного спектра существует единственный уровень оператора Н+, который движется непрерывно и монотонно, меняя лист при попадании на край лакуны и совершая п полных оборотов в лакуне с номером п ^ 0.

Система уравнений Дубровина для оператора Дирака Н+ с конечнозонным потенциалом решена в работах А. Р. Итса и В. П. Котлярова [33] и Э. Превиато [34] в связи с решением нелинейного уравнения Шрёдингера. Уравнения Дубровина

для оператора Н+ с гладким потенциалом рассматривались в работах Д. Баттига, Б. Гребера, Ж.-К. Гийо и Т. Каппелера [35] и Б. Гребера и Ж.-К. Гийо [23]. Уравнения Дубровина в случае гладких потенциалов использовались во многих работах для интегрирования нелинейных уравнений связанных с оператором Дирака (см., например, работу Г. А. Маннонова и А. Б. Хасанова [36]).

В данной работе также будет рассмотрен самосопряженный оператор Дирака Н, где Ь Е К, действующий в гильбертовом пространстве Ь2(Ш, С2) и заданный дифференциальным выражением

н,=>=(:;)■ .Ц: :,)■.=(:). .«

где (¡\ и (2 — периодические потенциалы с дислокацией Ь, заданные следующим образом:

р (х) х < 0 0

ф)= < , рг Е Ь2(ТД), г = 1,2. (5)

\рг (х + Ь) X ^ 0

Оператор Н является одномерным оператором Дирака с дислокацией Ь в периодическом потенциале V или оператором Дирака с дислокацией. При Ь = 0 оператор Н0 — периодический оператор Дирака на прямой. Спектр оператора Н состоит из абсолютно непрерывной части, которая имеет зонную структуру и не зависит от Ь, и собственных значений, не более двух в каждой открытой лакуне, то есть

СТ(Н) = Сао(Н) и СТа(Щ), &ае(Нг) = [] СТп, СТа(Н) С [] уп,

п&Ъ п&Ъ

где спектральные зоны стп и лакуны уп заданы как в (3), а (а±)п^ — собственные значения оператора Дирака, заданного дифференциальным выражением (4) при Ь = 0 с 2-периодическими граничными условиями у(0) = у(2). Риманова поверхность энергии Л оператора Н имеет такой же вид, как и риманова поверхность энергии операторов Н±.

Дислокацией в кристалле называется дефект, вызванный смещением части кристаллической решетки. Такие дефекты могут возникать при естественном образовании кристаллов из расплавов или при технологических сбоях в процессе выращивания монокристалла и влияют на физические, оптические и электрические свойства кристаллов (см., например, монографию Ч. Киттеля [37]). Как

отмечено выше, при таких дефектах возникают собственные значения в лакунах непрерывного спектра, отвечающие связанным состояниям. Кроме того, ниже будет показано, что в лакунах непрерывного спектра также возникают резонансы и виртуальные уровни на границах непрерывного спектра. Напомним, что все эти точки являются уровнями оператора Иг и они определяют физические свойства кристалла или другой физической системы описываемой оператором Иг. Таким образом, для оператора И вызывают интерес следующие задачи: подсчет количества уровней и определение их типа и положения в каждой открытой лакуне в зависимости от параметра Ь.

Такое описание движения уровней в лакунах абсолютно непрерывного спектра одномерного оператора Шрёдингера с дислокацией в периодическом потенциале сделано Е. Л. Коротяевым [38]. В этой работе рассматривался оператор Н, где Ь Е К, действующий в гильбертовом пространстве Ь2(Ш) и заданный дифференциальным выражением

НгУ = -У" + дгУ,

где потенциал д имеет вид (5). Для этого оператора было показано, что при всех Ь Е К существует два различных уровня в каждой открытой лакуне, которые движутся непрерывно и совершают п/2 полных оборотов в лакуне с номером п ^ 0.

Дислокация является одним из дефектов в кристалле, которые приводят к возникновению связанных состояний в лакунах непрерывного спектра. Однако уже само наличие поверхности в реальном кристалле является дефектом и приводит к возникновению связанных состояний. Это было показано И. Е. Таммом [39], который изучил состояния, возникающие вблизи контакта полубесконечного одномерного кристалла и вакуума в модели Кронига—Пенни. Такие состояния называются таммовскими или поверхностными состояниями. Также, иным образом, существование поверхностных состояний в кристалле было показано У Б. Шок-ли [40].

После этого, возникновение собственных значений и резонансов в лакунах непрерывного спектра изучалось для различных возмущений периодических операторов. В частности, рассматривались возмущения с компактным носителем (см., например, работы П. А. Дейфта и Р. Хемпеля [41], С. Аламы, П. А. Дейф-та и Р. Хемпеля [42], Д. И. Борисова и Р. Р. Гадыльшина [43], Е. Л. Коротяева и К. М. Шмидта [32]) и быстро убывающие возмущения (см., например, работы В. А. Жёлудева [44; 45], Н. Е. Фирсовой [46—49], Ф. С. Рофе-Бекетова [50],

Ф. Гестези и Б. М. Саймона [51] и С. Аламы, П. А. Дейфта и Р. Хемпеля [42]). Также рассматривались операторы со случайными возмущениями, которые приводят к локализации Андерсона ——см., например, работы В. Кирша, П. Штольмана и Г. Штольца [52] и И. Веселича [53]. В отличие от этих возмущений дислокация в кристалле является нелокальным возмущением. А именно,

дг(х) = р(х) + рг(х), рг(х) = Х+(х)(р(х + Ь) - р(х)), х Е К,

где х+ — характеристическая функция К+, р — периодический потенциал, и его возмущение рг не убывает на бесконечности. Таким образом, в случае дислокации невозможно использовать стандартные методы, развитые для локальных возмущений в теории линейных самосопряженных операторов.

Помимо дислокации существуют другие примеры нелокальных возмущений периодических потенциалов. В работе Е. Л. Коротяева [54] рассматривался одномерный оператор Шрёдингера с бипериодическим потенциалом, что соответствует контакту двух различных кристаллов, а также отдельно обсуждался случай контакта кристалла и вакуума. Для этого оператора исследовалось существование и движение собственных значений и резонансов в лакуне. В работе Т. Донала, М. Плюма и В. Райхеля [55] также изучалось существование связанных состояний одномерного оператора Шрёдингера с дислокацией в четных потенциалах и бипериодического оператора Шрёдингера с четными потенциалами. Р. Хемпель и М. Кольман [56] исследовали существование состояний в лакунах двумерного оператора Шрёдингера с дислокацией в периодическом потенциале в полосе и во всем пространстве, используя вариационный подход. С помощью этого подхода в работе Р. Хемпеля и М. Кольмана [57] был рассмотрен двумерный оператор Шрёдингера с периодическим потенциалом с поворотом потенциала в одной полуплоскости, а в работе Р. Хемпеля, М. Кольмана, М. Штаутца и Ю. Фойгта [58] рассматривался оператор Шрёдингера на бесконечном цилиндре с дислокацией и контактом двух различных потенциалов, не обязательно периодических. В работе Е. Л. Коротяева и Я. Ш. Мёллера [59] исследовалось существование собственных значений многомерных операторов Шрёдингера с потенциалом, периодическим в октантах. В работе Х. Аммари, Б. Дэвиса и Э. О. Хилтунена [60] было доказано существование связанных состояний для бесконечной цепочки резонаторов с дислокацией. Существование собственных значений при нелокальных возмущениях одномерного или многомерного оператора Дирака известно для небольшого количества моделей. В магистерской диссертации автора [61] рассматривался

случай бипериодического оператора Дирака. В работе Ц. Лю, Б. А. Ватсона и М. И. Вайнштейна [62] изучалось количество связанных состояний в нулевой лакуне одномерного оператора Дирака с конечным числом массовых скачков.

Поверхностные состояния возникают также в топологических изоляторах, исследования которых вызывают большой интерес в физике конденсированного состояния. Этот термин охватывает различные классы материалов, в которых возникают связанные состояния на границах сред с различными топологическими индексами, характеризующими электронную зонную структуру Такие состояния, в отличие от обычных таммовских состояний, оказываются топологически защищенными, то есть сохраняются при различных деформациях. В них также существует соответствие между некоторыми топологическими индексами, характеризующими электронную структуру объема, то есть бесконечного кристалла, и количеством связанных состояний на границе раздела двух сред. Такое соответствие называют принципом соответствия между объемом и краем (the bulk-edge correspondence). Для одномерного оператора Шрёдингера с дислокацией в периодическом потенциале существование такого соответствия показано в работах А. Друо [63], А. Друо, Ч. Л. Феффермана и М. И. Вайнштейна [64] и Д. Гонтье [65], а также в работе Д. Гонтье [66] для оператора Шрёдингера в полуплоскости.

Операторы Дирака и Шрёдингера с дислокацией в периодическом потенциале являются также примерами операторов с потенциалами, имеющими различные асимптотики на положительной и отрицательной бесконечностях. Для таких операторов активно изучалась прямая и обратная задача рассеяния в связи с приложениями в физике твердого тела и в связи с интегрированием нелинейных уравнений, см., например, работы Э. Б. Дэйвиса и Б. М. Саймона [67], Ф. Гестези, Р. Ноуэлла и В. Петца [68], И. Егоровой, К. Грюнерт и Г. Тешеля [69] и А.-М. Буте де Монвель, В. П. Котлярова и Д. Г. Шепельского [70]. Теория рассеяния для оператора Дирака с различными пространственными асимптотиками потенциала исследовалась в работе С. Н. М. Руйсенаарса и П. Й. М. Бонгаартса [71] в связи с парадоксом Клейна.

В данной работе также будет рассмотрен самосопряженный оператор Дирака HC, где а Е [0,п), действующий в гильбертовом пространстве L2(R+,C2) и заданный дифференциальным выражением (1) и граничным условием

e-iayi(0) - eiay2(0) = 0,

(6)

где скалярный потенциал д Е Ь2(Ш+,С) и вирвиррд = у > 0. То есть д — потенциал с фиксированной верхней границей носителя. Заметим, что при а = 0 граничное условие (6) является граничным условием Дирихле и граничным условием Неймана при а = |. Спектр такого оператора состоит только из абсолютно непрерывной части, которая совпадает со спектром свободного оператора Дирака, то есть

е(Иа) = еао(Иа) = К.

В этом случае риманова поверхность энергии Л состоит из двух несвязанных копий комплексной плоскости, и резонансы являются нулями функции Йоста в нижней полуплоскости. Для этого оператора будут получены некоторые свойства резонансов, и будет решена обратная задача по резонансам.

В общем, обратная задача для возмущенного оператора заключается в восстановлении возмущения по некоторым данным. В случае одномерного оператора Дирака возмущением является потенциал, а в качестве данных обратной задачи, в зависимости от требуемых приложений, могут быть использованы: спектральная функция оператора, спектры задач с разными граничными условиями, спектр и нормировочные постоянные, матрица рассеяния или ее значения в некоторых точках и другие параметры соответствующего оператора. Главное требование к данным обратной задачи заключается в том, чтобы они обеспечивали единственность восстановления потенциала. Любая обратная задача состоит по меньшей мере из пяти частей:

1. Единственность: показать, что данные определяют потенциал в заданном классе единственным образом.

2. Восстановление: предоставить алгоритм восстановления потенциала по данным.

3. Характеризация: предоставить необходимые и достаточные условия, что данные определяют потенциал в заданном классе.

4. Непрерывность: показать, что потенциал непрерывно зависит от данных.

5. Устойчивость: показать, как данные могут быть изменены, чтобы вновь определять потенциал из заданного класса.

Прямая и обратная задача рассеяния для одномерных операторов Дирака и Шрёдингера с быстро убывающими потенциалами изучалась очень активно, см., например, монографии М. Дж. Абловица, Б. Принари и А. Д. Трубача [72],

Л. Д. Фаддеева и Л. А. Тахтаджяна [73], З. С. Аграновича и В. А. Марченко [74] и Б. М. Левитана [25]. Как отмечалось выше, большой интерес к обратным задачам рассеяния был вызван методом обратной задачи рассеяния, который позволил с их помощью интегрировать нелинейные уравнения, такие как НУШ и КдФ. В этой работе в качестве данных для обратной задачи будут использованы резонан-сы, которые являются естественным дискретным аналогом данных рассеяния на непрерывном спектре.

Для оператора Шрёдингера на полупрямой с потенциалом, имеющим компактный носитель, обратная задача по резонансам была решена Е. Л. Коротяевым [75]. В этой работе показана единственность решения обратной задачи, приведена процедура восстановления и частично решена задача характеризации, а именно, показано, что последовательность точек является последовательностью резонансов рассматриваемого оператора Шрёдингера, если она является последовательностью нулей целой функции из некоторого класса. При этом остается открытой задача характеризации резонансов по их асимптотическим свойствам. Для комплекснозначных потенциалов, с некоторыми условиями гладкости, задача единственности решена Б. М. Брауном, И. Ноулзом и Р. Вейкардом [76]. В работе Е. Л. Коротяева [77] решена обратная задача по резонансам для оператора Шрё-дингера на прямой. Также в случае четных потенциалов задача единственности решена М. Р. Зворским [78], а в работе М. Р. Зворского [79] решена задача ха-рактеризации резонансов с помощью матриц рассеяния. Задача устойчивости для оператора Шрёдингера на полупрямой решена в работах Е. Л. Коротяева [80] и М. Марлетты, Р. Г. Штеренберга и Р. Вейкарда [81]. Для оператора Шрёдингера на прямой задача устойчивости рассматривалась в работе М. Бледсоу [82].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мокеев Дмитрий Сергеевич, 2024 год

Используя

T-1 = 1 -i ц M-1 = M22 -M12 2 V i 1 / ' \ -M21 Mn

получим

W(0,z)

1 / eiYZ (Mn - iM21 + M22 + iM 12) e-iyz(Mn + iM21 - M22 + iM 12)

2 ^eiYz(Mn - iM21 - M22 - iM 12) e-iyz(Mn + iM21 + M22 - iM^)

(3.83)

для всех z Е C, где Mij = Mij (y,z), i,j = 1,2. Подставляя (3.83) в (3.4) и используя (3.81), получим

ф«^) = 1 eiYZ(e-ia(Mn - ÍM21 + M22 + ÍM12) - eia(Mn - iM2l - M22 - ÍM12)) = IeiYZ(M11(e-ia - eia) - iM21(e-ia - eia)

+ M22(e-ia + eia) + iM12(e-ia + eia)) = eiyz(-iM11 sin a - M21 sin a + M22 cos a + iM12 cos a) = eiYZ (u2 (y,z,a) + iu1(y,z,a)). В частности, при a = 0 и a = п/2 получаем (3.82). □

Доказательство Следствия 3.1.27. Пусть функция E задана формулой (3.26), где M — фундаментальное матричнозначное решение уравнения (3.23) для некоторого q Е Q. Тогда, по Лемме 3.4.4, функция E имеет вид

E(z) = M21 (y,z) - iM22(Y,z) = -ie-iYфо(z,q), z Е C,

где фо(^) Е Jo.

Пусть E(z) = -ie~iyz-(z) для некоторой функции ф Е Jo. По Теореме 3.1.5, существует единственный потенциал q Е Q такой, что ф = ф0( ,q). Тогда, по Лемме 3.4.4, E имеет вид (3.26). Таким образом, функция E является функцией Эрмита—Билера типа Дирака. □

Доказательство Теоремы 3.1.28. Пусть Eo — функция Эрмита—Билера типа Дирака и Zo = (zn)n>1 — ее нули. Пусть Z — последовательность точек в C_, упорядоченных по правилу (3.10), и Z - Zo Е I1. Так как Eo — функция Эрмита—Билера типа Дирака, то существует такая функция ф0 Е Jo, что Eo(z) = -ie-iyz-o(z), z Е C. Тогда Z — последовательность нулей функции ф0, и, по Теореме 3.4.3, существует единственная функция ф Е Jo такая, что Z — последовательность нулей функции ф и qj(ф,ф0) ^ 0 при ||Z - Zo||¿i ^ 0. Значит, существует единственная функция Эрмита—Билера типа Дирака E такая, что Z — последовательность нулей E, и эта функция задана формулой E(z) = -ie_iYZф(z), z Е C.

Теперь докажем непрерывность. Используя известные свойства преобразования Фурье, получим

||J--1(E - Eo)||L2(-2,2) = 11 (e i(ф - фо))||ь2(-2,2)

= Ц^Нф - фо)|ь2(0,у) = QJ(ф,фо),

откуда следует, что ||^-1(Е _ Е°)ЦЬ2(_х,х) ^ 0 при ||£ _ СЦ ^ 0. Используя теорему Планшереля, получим, что ЦЕ _ Е° || ¿2^ 0 при ||£ _ СЦ ^ 0. □

Заключение

В работе исследованы резонансы оператора Дирака на полупрямой с периодическим потенциалом Н±, оператора Дирака с дислокацией в периодическом потенциале Н и оператора Дирака на полупрямой с потенциалом с фиксированной верхней границей носителя НС.

Перечислим основные результаты работы для оператора Дирака Щ

1. В Теореме 1.1.2 доказано существование единственного уровня (собственного значения, резонанса или виртуального уровня) ц.п(Ь) для всех Ь £ К в каждой открытой круговой лакуне уп, где п £ Ж, и показано, что эти уровни являются абсолютно непрерывными решениями уравнения Дубровина (1.4).

2. В Теоремах 1.1.5 и 1.1.8 изучена монотонность движения уровней ц,п(Ь) в круговой лакуне уп, где п £ Ж. Приведены условия, когда движение аналогично движению уровней оператора Шрёдингера, то есть когда уровень движется монотонно вокруг круговой лакуны и число оборотов совпадает с номером лакуны. Кроме того, построены примеры, когда движение может быть немонотонным в конечном или бесконечном числе лакун.

3. В Теореме 1.1.14 получена асимптотическая формула следов, которая связывает локальные асимптотики уровней и локальные асимптотики потенциала д, при условии, что уровень является правильно меняющейся функцией сдвига.

4. В Теореме 1.1.17 приведен алгоритм восстановления потенциала д, по движению уровня в некоторой лакуне при условии, что потенциал имеет лишь степенные сингулярности и скачки.

Результаты работы показывают, что в общем случае уровни оператора Дирака Н± отличаются от уровней оператора Шрёдингера: меньшей гладкостью, возможностью немонотонного движения и тем, что невозможно определить точное число их оборотов вокруг лакуны. Более того, определено, что ключевую роль играет потенциал д,. Если он равен нулю, то оператор Дирака Н± является суперсимметричным зарядом и отвечает оператору Шрёдингера с сингулярным потенциалом, в этом случае уровни оператора Дирака Н движутся в точности так же, как и уровни оператора Шрёдингера. Накладывая некоторые ограниче-

ния на потенциал, удается показать, что в некоторых лакунах уровни движутся как в случае оператора Шрёдингера. Кроме того, выбирая потенциал д, специальным образом, мы строим примеры, когда уровни движутся немонотонно в любом конечном или бесконечном числе лакун. Связь движения уровней и потенциала д, была установлена не только качественно, но и количественно, с помощью асимптотической формулы следов. С помощью чего показана возможность восстановления потенциала д, по движению уровня, когда потенциал имеет специальный вид. Заметим, что этой формулы не существует для операторов Шрёдингера, поскольку для них д, = 0, с другой стороны, их уровни монотонны и имеют большую гладкость.

Перечислим основные результаты работы для оператора Дирака Н:

1. В Теореме 2.1.4 доказано существование двух различных уровней Л± (Ь) для всех Ь £ К в каждой открытой круговой лакуне уп, где п £ Ж, и показано, что эти уровни движутся абсолютно непрерывно вокруг круговых лакун уп и разделены уровнями цте(Ь) и Ц-п(0)*.

2. В Теоремах 2.1.6,2.1.8 и 2.1.10 изучена монотонность движения уровней и получены локальные асимптотики.

3. В Теоремах 2.1.12 и 2.1.15 построены потенциалы с различными конфигурациями уровней в круговых лакунах.

4. В Теореме 2.1.19 рассмотрены уровни массового оператора Дирака.

Несмотря на то что уровни оператора Дирака Н обладают меньшей гладкостью, чем уровни оператора Шрёдингера, результаты работы показывают, что в общем случае движение уровней оператора Дирака с дислокацией Нг так же связано с движением уровня оператора Дирака на полупрямой Н±, как и в случае оператора Шрёдингера. И это позволяет построить операторы Дирака Нг с различными конфигурациями уровней в круговых лакунах.

Перечислим основные результаты работы для оператора Дирака НС:

1. В Теореме 3.1.5 доказано, что потенциал однозначно восстанавливается по функции Йоста и по матрице рассеяния из подходящих классов. В Теореме 3.1.9 решена обратная задача по резонансам.

2. В Теореме 3.1.12 приведена процедура восстановления матрицы рассеяния по резонансам.

3. В Теореме 3.1.13 определена асимптотика считающей функции резо-нансов. В Теореме 3.1.15 доказано, что существует запрещенная зона, в которой может находиться лишь конечное число резонансов.

4. В Теореме 3.1.18 показано, что резонансы являются свободными параметрами и потенциал непрерывно зависит от резонансов. В Теореме 3.1.21 доказана устойчивость решения обратной задачи по резонансам.

Таким образом, результаты во многом совпадают с теми, что были получены для оператора Шрёдингера. Отметим, что функция Йоста и матрица рассеяния для оператора Дирака Н£ убывают медленнее на бесконечности, чем для оператора Шрёдингера. Кроме того, эти объекты для оператора Шрёдингера обладают дополнительной симметрией. В частности, резонансы оператора Шрёдингера симметричны относительно мнимой оси.

Результаты работы могут быть использованы для анализа аналогичных моделей. Например, методы, развитые в третьей главе, были использованы автором в совместной работе с научным руководителем Е. Л. Коротяевым [116] для решения обратной задачи по резонансам для оператора Дирака на прямой с потенциалом, имеющим компактный носитель.

В качестве продолжения разработки темы можно предложить изучение резонансов оператора Дирака с дислокацией и возмущением с компактным носителем. В этом случае ожидается, что будут возникать резонансы двух видов: внутри лакун из-за интерфейса в нуле и резонансы с нетривиальной мнимой частью на римановой поверхности. Еще одним продолжением является изучение резонансов оператора Дирака с контактом двух различных периодических потенциалов. Отметим также, что остается открытым вопрос, могут ли уровни операторов Дирака Н± и Н, в общем случае, совершать большее или меньшее число оборотов в лакуне, чем уровни оператора Шрёдингера. Кроме того, для оператора Дирака НС остается открытой задача характеризации резонансов по их асимптотике, то есть нахождения необходимых и достаточных условий для асимптотики последовательности точек, при которых эта последовательностью является резонансами оператора Дирака НС. Для оператора Шрёдингера эта задача также открыта.

Список сокращений и условных обозначений

Ecart( a,ß)

F F-1 G

Hl (I ) Hl (I,Yn )

J J+

L, L+ M+(R)

P

Pe

Q R

S S+

W, W+

Wlog, Wexp

L, L+

ind f Л*

H (Ii,I2)

12 12,2

h,r

I œ

\b

\lp(i,b)

loc,u

классы Картрайт целых функций, стр. 122 прямое и обратное преобразования Фурье, стр. 112 класс гамильтонианов канонической системы, стр. 120 пространство Соболева порядка l, стр. 29 пространство Соболева порядка l функций f : I ^ ycn, стр. 69 класс функций Йоста для потенциалов из Q, стр. 112 класс функций Йоста для потенциалов из L+, стр. 128 банаховы пространства L2 П L1, стр. 113

множество положительно определенных матриц 2 х 2 с вещественными элементами, стр. 119 пространство периодических потенциалов, стр. 26 пространство «четных» периодических потенциалов, стр. 72 пространство потенциалов с компактным носителем, стр. 110 класс резонансов, стр. 114

класс матриц рассеяния для потенциалов из Q, стр. 113 класс матриц рассеяния для потенциалов из L+, стр. 129 банаховы алгебры Винера, стр. 125 подпространства W+, стр. 126

банаховы алгебры преобразований Фурье функций из L+ и L с

поточечным умножением, стр. 124

индекс точки 0 относительно кривой f, стр. 112

проекция на другой лист римановой поверхности Л, стр. 68

дуга на круговой лакуне, стр. 68

класс функций на I1 х I2, стр. 46

норма в пространстве L2([0,1],C2), стр. 29

операторная норма в L2(R,C2), стр. 82

норма в L2(R,C2), стр. 82

нормав L2([0,1],M2(C)), стр. 82

норма в банаховом пространстве B

нормав Lp(I,B), стр. 82

н°рмав LLu(R,B ),стр.82

рг проекция точек римановой поверхности Л на С, стр. 68

ргь рг2 проекции точек С на риманову поверхность Л, стр. 68

метрика в метрическом пространстве Б

единичная окружность на С, стр. 112

Ь2(Щ, С2, гильбертово пространство с весом Ь, стр. 119

1Р(1,Б) лебеговы пространства Б-значных функций на I, стр. 82

) пространство Б-значных функций с ограниченной локальной

Ь2-нормой, стр. 82

(г, 6/) считающие функции нулей функции /, стр. 116

№ (/,д) вронскиан решений / и д, стр. 38

Список литературы

1. Dirac, P. A. M. The quantum theory of the electron [Text] / P. A. M. Dirac // Proc. R. Soc. Lond. Ser. A. — 1928. — Vol. 117, no. 778. — P. 610—624.

2. Klein, O. Die Reflexion von Elektronen an einem Potentialsprung nach der relativistischen Dynamik von Dirac [Text] / O. Klein // Z. Phys. — 1929. — Mar. — Vol. 53, no. 3/4. — P. 157—165. — URL: https://doi.org/10.1007/bf01339716.

3. Thaller, B. The Dirac Equation [Text] / B. Thaller. — Springer Berlin Heidelberg, 1992. — xviii+357. — (Texts and Monographs in Physics). — URL: https://doi. org/10.1007/978-3-662-02753-0.

4. Method for Solving the Korteweg-deVries Equation [Text] / C. S. Gardner [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 1967. — Nov. — Vol. 19, issue 19. — P. 1095—1097. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.19 .1095.

5. Lax, P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves [Text] / P. D. Lax // Commun. Pure Appl. Math. — 1968. — Sept. — Vol. 21, no. 5. — P. 467—490. — URL: https://doi.org/10.1002/cpa.3160210503.

6. Захаров, В. Е. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах [Текст] / В. Е. Захаров, А. Б. Ша-бат // Журн. эксперим. и теор. физики. — 1971. — Т. 61, № 1. — С. 118—134.

7. The Inverse Scattering Transform-Fourier Analysis for Nonlinear Problems [Text] / M. J. Ablowitz [et al.] // Stud. Appl. Math. — 1974. — Dec. — Vol. 53, no. 4. — P. 249—315. — URL: https://doi.org/10.1002/sapm1974534249.

8. Iantchenko, A. Resonances for Dirac operators on the half-line [Text] / A. Iantchenko, E. Korotyaev // J. Math. Anal. Appl. — 2014. — Dec. — Vol. 420, no. 1. — P. 279—313. — URL: https://doi.org/10.1016/jjmaa.2014.05.081.

9. Dyatlov, S. Mathematical Theory of Scattering Resonances [Text]. Vol. 200 / S. Dyatlov, M. Zworski. — American Mathematical Society, 09/2019. — xi+634. — (Graduate Studies in Mathematics). — URL: https : / / doi. org /10 .1090/gsm/200.

10. Zworski, M. Resonances in physics and geometry [Text] / M. Zworski // Notices Amer. Math. Soc. — 1999. — Vol. 46, no. 3. — P. 319—328.

11. Aguilar, J. A class of analytic perturbations for one-body Schrôdinger Hamil-tonians [Text] / J. Aguilar, J. M. Combes // Commun. Math. Phys. — 1971. — Dec. — Vol. 22, no. 4. — P. 269—279. — URL: https://doi.org/10.1007/bf01877 510.

12. Balslev, E. Spectral properties of many-body Schrôdinger operators with dilatation-analytic interactions [Text] / E. Balslev, J. M. Combes // Commun. Math. Phys. — 1971. — Dec. — Vol. 22, no. 4. — P. 280—294. — URL: https://doi.org/10.1007/bf01877511.

13. Simon, B. Quadratic form techniques and the Balslev-Combes theorem [Text] / B. Simon// Commun. Math. Phys. — 1972. — Mar. — Vol. 27, no. 1. — P. 1—9. — URL: https://doi.org/10.1007/bf01649654.

14. Helffer, B. Résonances en limite semi-classique [Text] / B. Helffer, J. Sjôstrand // Mémoires de la Société Mathématique de France. — 1986. — Vol. 24/25. — P. 1—228. — URL: http://eudml.org/doc/94865.

15. Babbitt, D. A characterization of dilation-analytic potentials and vectors [Text] / D. Babbitt, E. Balslev // J. Funct. Anal. — 1975. — Vol. 18, no. 1. — P. 1—14. — URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022123675900269.

V ______^ V

16. Seba, P. The complex scaling method for Dirac resonances [Text] / P. Seba // Lett. Math. Phys. — 1988. — July. — Vol. 16, no. 1. — P. 51—59. — URL: https: //doi.org/10.1007/bf00398170.

17. Kungsman, J. Resonances of Dirac Operators [Text]: PhD thesis. — Uppsala: Department of Mathematics Uppsala University, 2014.

18. Левитан, Б. М. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака [Текст] / Б. М. Левитан, И. С. Саргсян. — М.: Наука, 1988. —431 с.

19. Korotyaev, E. Inverse problem and estimates for periodic Zakharov-Shabat systems [Text] / E. Korotyaev // J. Reine Angew. Math. — 2005. — June. — Vol. 2005, no. 583. — P. 87—115. — URL: https://doi.org/10.1515/crll.200 5.2005.583.87.

20. Мисюра, Т. В. Характеристика спектров периодической и антипериодической краевых задач, порождаемых операцией Дирака. I [Текст] / Т. В. Мисюра // Теория функций, функц. анализ и их приложения. — Харьков, 1978.-№30.-С. 90-101.

21. Мисюра, Т. В. Характеристика спектров периодической и антипериодической краевых задач, порождаемых операцией Дирака. II [Текст] / Т. В. Мисюра // Теория функций, функц. анализ и их приложения. — Харьков, 1979. — № 31. - С. 102-109.

22. Korotyaev, E. Marchenko-Ostrovki Mapping for Periodic Zakharov-Shabat Systems [Text] / E. Korotyaev // J. Differ. Equations. — 2001. — Sept. — Vol. 175, no. 2. — P. 244—274. — URL: https://doi.org/10.1006/jdeq.2000.3921.

23. Grebert, B. Gaps of one dimensional periodic AKNS systems [Text] / B. Grebert, J.-C. Guillot // Forum Math. — 1993. — Vol. 5, no. 5. — P. 459—504. — URL: https://doi.org/10.1515/form.1993.5.459.

24. Дубровин, Б. А. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза в классе конечнозонных потенциалов [Текст] / Б. А. Дубровин // Функц. анализ и его прил. — 1975. — Т. 9, № 3. — С. 41—51. — URL: http://mi. mathnet.ru/faa2261.

25. Левитан, Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля [Текст] / Б. М. Левитан. — М.: Наука, 1984. — 240 с.

26. Ахиезер, Н. И. Континуальные аналоги ортогональных многочленов на системе интервалов [Текст] / Н. И. Ахиезер // Докл. АН СССР. — 1961. — Т. 141, № 2. — С. 263—266. — URL: http://mi.mathnet.ru/dan25745.

27. Итс, А. Р. Об операторах Хилла с конечным числом лакун [Текст] / А. Р. Итс, В. Б. Матвеев // Функц. анализ и его прил. — 1975. — Т. 9, № 1. — С. 69—70. — URL: http://mi.mathnet.ru/faa2220.

28. Шабат, А. Б. О потенциалах с нулевым коэффициентом отражения [Текст] / А. Б. Шабат // Динамика сплошной среды. — 1970. — Т. 5. — С. 130—145.

29. Korotyaev, E. Inverse problem and the trace formula for the Hill operator, II [Text] / E. Korotyaev // Math. Z. — 1999. — June. — Vol. 231, no. 2. — P. 345—368. — URL: https://doi.org/10.1007/pl00004733.

30. Trubowitz, E. The inverse problem for periodic potentials [Text] / E. Trubowitz // Commun. Pure Appl. Math. — 1977. — May. — Vol. 30, no. 3. — P. 321—337. — URL: https://doi.org/10.1002/cpa.3160300305.

31. Жёлудев, В. А. О спектре оператора Шредингера с периодическим потенциалом, заданного на полуоси [Текст] / В. А. Жёлудев // Тр. кафедры матем. анализа. Калининград. — 1969. — С. 18—37.

32. Korotyaev, E. L. On the resonances and eigenvalues for a 1D half-crystal with localised impurity [Text] / E. L. Korotyaev, K. M. Schmidt // J. Reine Angew. Math. — 2012. — Jan. — Vol. 2012, no. 670. — P. 217—248. — URL: https: //doi.org/10.1515/crelle.2011.153.

33. Итс, А. Р. Явные формулы для решений нелинейного уравнения Шрёдин-гера [Текст] / А. Р. Итс, В. П. Котляров // Докл. АН УССР, сер. А. — 1976. — № 11. —С. 965-968.

34. Previato, E. Hyperelliptic quasi-periodic and soliton solutions of the nonlinear Schrodinger equation [Text] / E. Previato // Duke Math. J. — 1985. — June. — Vol. 52, no. 2. — P. 329—377. — URL: https://doi.org/10.1215/s0012-7094-85 -05218-4.

35. Foliation of phase space for the cubic nonlinear Schrodinger equation [Text] / D. Battig [et al.] // Compositio Math. — 1993. — Vol. 85, no. 2. — P. 163—199.

36. Маннонов, Г. А. Задача Коши для нелинейного уравнения Хироты в классе периодических бесконечнозонных функций [Текст] / Г. А. Маннонов, А. Б. Хасанов // Алгебра и анализ. — 2022. — Т. 34, № 5. — С. 139—172. — URL: http://mi.mathnet.ru/aa1833.

37. Киттель, Ч. Введение в физику твердого тела [Текст] / Ч. Киттель; под ред. А. А. Гусева; пер. А. А. Гусева, А. В. Пахнева. — М.: Наука, 1978. — 791 с.

38. Korotyaev, E. Lattice Dislocations in a 1-Dimensional Model [Text] / E. Korotyaev // Commun. Math. Phys. — 2000. — Sept. — Vol. 213, no. 2. — P. 471—489. — URL: https://doi.org/10.1007/pl00005529.

39. Тамм, И. Е. О возможности связанных состояний электронов на поверхности кристалла [Текст] / И. Е. Тамм // Журн. эксперим. и теор. физики. — 1933.-Т. 3.-С. 34-43.

40. Shockley, W. On the Surface States Associated with a Periodic Potential [Text] / W. Shockley // Phys. Rev. — 1939. — Aug. — Vol. 56, no. 4. — P. 317—323. — URL: https://doi.org/10.1103/physrev.56.317.

41. Deift, P. A. On the existence of eigenvalues of the Schrodinger operator H — AW in a gap of a(H) [Text] / P. A. Deift, R. Hempel // Commun. Math. Phys. — 1986. — Sept. — Vol. 103, no. 3. — P. 461—490. — URL: https://doi.org/10.100 7/bf01211761.

42. Alama, S. Eigenvalue branches of the Schrödinger operator H + ЛW in a gap of ct(H) [Text] / S. Alama, P. A. Deift, R. Hempel // Commun. Math. Phys. — 1989. — June. — Vol. 121, no. 2. — P. 291—321. — URL: https://doi.org/10.100 7/bf01217808.

43. Борисов, Д. И. О спектре периодического оператора с малым локализованным возмущением [Текст] / Д. И. Борисов, Р. Р. Гадыльшин // Изв. РАН. Сер. матем. — 2008. — Т. 72, № 4. — С. 37—66. — URL: http://mi.mathnet.ru/im11 46.

44. Жёлудев, В. А. О собственных значениях возмущенного оператора Шрёдингера с периодическим потенциалом [Текст] / В. А. Жёлудев // Проблемы матем. физики. — 1967. — Т. 2. — С. 108—123.

45. Жёлудев, В. А. О возмущении спектра одномерного самосопряженного оператора Шрёдингера с периодическим потенциалом [Текст] / В. А. Жё-лудев // Проблемы матем. физики. — 1968. — Т. 3. — С. 31—48.

46. Фирсова, Н. Е. Риманова поверхность квазиимпульса и теория рассеяния для возмущенного оператора Хилла [Текст] / Н. Е. Фирсова //. — Л.:Наука, 1975. — Гл. Математические вопросы теории распространения волн. 7. С. 183—196. — (Зап. научн. сем. ЛОМИ). — URL: http://mi.mathnet.ru/znsl2 820.

47. Фирсова, Н. Е. О резонансах возмущенного оператора Хилла с экспоненциально убывающим примесным потенциалом [Текст] / Н. Е. Фирсова // Матем. заметки. — 1984. — Т. 36, № 5. — С. 711—724. — URL: http://mi. mathnet.ru/mzm5969.

48. Фирсова, Н. Е. О формуле Левинсона для возмущенного оператора Хилла [Текст] /Н. Е. Фирсова// ТМФ. — 1985. — Т. 62, № 2. — С. 196—209. — URL: http://mi.mathnet.ru/tmf4542.

49. Фирсова, Н. Е. Прямая и обратная задача рассеяния для одномерного возмущенного оператора Хилла [Текст] / Н. Е. Фирсова // Матем. сб. — 1986. — Т. 130(172), 3(7). — С. 349—385. — URL: http://mi.mathnet.ru/sm1880.

50. Рофе-Бекетов, Ф. С. Признак конечности числа дискретных уровней, вносимых в лакуны непрерывного спектра возмущениями периодического потенциала [Текст] / Ф. С. Рофе-Бекетов // Докл. АН СССР. — 1964. — Т. 156, № 3. — С. 515—518. — URL: http://mi.mathnet.ru/dan29612.

51. Gesztesy, F. A short proof of Zheludev's theorem [Text] / F. Gesztesy, B. Simon // Trans. Amer. Math. Soc. — 1993. — Vol. 335, no. 1. — P. 329—340. — URL: https://doi.org/10.1090/s0002-9947-1993-1096260-8.

52. Kirsch, W. Localization for random perturbations of periodic Schrödinger operators [Text] / W. Kirsch, P. Stollmann, G. Stolz // Random Oper. Stoch. Equations. — 1998. — Vol. 6, no. 3. — URL: https://doi.org/10.1515/rose. 1 998.6.3.241.

53. Veselic, I. Localization for Random Perturbations of Periodic Schrödinger Operators with Regular Floquet Eigenvalues [Text] / I. Veselic // Ann. Henri Poincare. — 2002. — June. — Vol. 3, no. 2. — P. 389—409. — URL: https: //doi.org/10.1007/s00023-002-8621-x.

54. Korotyaev, E. Schrödinger operator with a junction of two 1-dimensional periodic potentials [Text] / E. Korotyaev // Asymptot. Anal. — 2005. — Vol. 45, no. 1/2. — P. 73—97.

55. Dohnal, T. Localized Modes of the Linear Periodic Schrödinger Operator with a Nonlocal Perturbation [Text] / T. Dohnal, M. Plum, W. Reichel // SIAM J. Math. Anal. — 2009. — Jan. — Vol. 41, no. 5. — P. 1967—1993. — URL: https: //doi.org/10.1137/080743366.

56. Hempel, R. A variational approach to dislocation problems for periodic Schrödinger operators [Text] / R. Hempel, M. Kohlmann // J. Math. Anal. Appl. — 2011. — Sept. — Vol. 381, no. 1. — P. 166—178. — URL: https : //doi.org/10.1016/jjmaa.2011.03.050.

57. Kohlmann, M. Spectral Properties of Grain Boundaries at Small Angles of Rotation [Text] / M. Kohlmann, R. Hempel // J. Spectr. Theory. — 2011. — Vol. 1, no. 2. - P. 197-219. - URL: https://doi.org/10.4171/jst/9.

58. Bound states for nano-tubes with a dislocation [Text] / R. Hempel [et al.] // J. Math. Anal. Appl. — 2015. — Nov. — Vol. 431, no. 1. — P. 202—227. — URL: https://doi.org/10.1016/jjmaa.2015.05.040.

59. Korotyaev, E. Schrödinger operators periodic in octants [Text] / E. Korotyaev, J. S. M0ller // Lett. Math. Phys. — 2021. — Apr. — Vol. 111, no. 2. — URL: https://doi.org/10.1007/s11005-021-01402-4.

60. Ammari, H. Robust edge modes in dislocated systems of subwavelength resonators [Text] / H. Ammari, B. Davies, E. O. Hiltunen // J. London Math. Soc. — 2022. — Apr. — Vol. 106, no. 3. — P. 2075—2135. — URL: https://doi.org/10.1 112/jlms.12619.

61. Мокеев, Д. С. Дислокация в решетке оператора Дирака [Текст]: дис. ... маг. — СПб.: Физический факультет, Санкт-Петербургский государственный университет, 2016.

62. Lu, J. Dirac Operators and Domain Walls [Text] / J. Lu, A. B. Watson, M. I. Wein-stein//SIAM J. Math. Anal. — 2020. — Jan. — Vol. 52,no. 2.—P. 1115—1145.— URL: https://doi.org/10.1137/19m127416x.

63. Drouot, A. The bulk-edge correspondence for continuous dislocated systems [Text] / A. Drouot // Ann. Inst. Fourier. — 2022. — Mar. — Vol. 71, no. 3. — P. 1185—1239.—URL: https://doi.org/10.5802/aif.3420.

64. Drouot, A. Defect Modes for Dislocated Periodic Media [Text] / A. Drouot,

C. L. Fefferman, M. I. Weinstein // Commun. Math. Phys. — 2020. — June. — Vol. 377, no. 3. — P. 1637—1680. — URL: https://doi.org/10.1007/s00220-020 -03787-0.

65. Gontier, D. Edge states in ordinary differential equations for dislocations [Text] /

D. Gontier // J. Math. Phys. — 2020. — Apr. — Vol. 61, no. 4. — P. 043507. — URL: https://doi.org/10.1063/L5128886.

66. Gontier, D. Spectral properties of periodic systems cut at an angle [Text] / D. Gontier // Comptes Rendus. Mathématique. — 2021. — Oct. — Vol. 359, no. 8. — P. 949—958. — URL: https://doi.org/10.5802/crmath.251.

67. Davies, E. B. Scattering theory for systems with different spatial asymptotics on the left and right [Text] / E. B. Davies, B. Simon // Commun. Math. Phys. — 1978. — Oct. — Vol. 63, no. 3. — P. 277—301. — URL: https://doi.org/10.1007 /bf01196937.

68. Gesztesy, F. One-dimensional scattering theory for quantum systems with nontrivial spatial asymptotics [Text] / F. Gesztesy, R. Nowell, W. Potz // Differential and Integral Equations. — 1997. — Vol. 10, no. 3. — P. 521—546.

69. Egorova, I. On the Cauchy problem for the Korteweg-de Vries equation with steplike finite-gap initial data: I. Schwartz-type perturbations [Text] /1. Egorova, K. Grunert, G. Teschl // Nonlinearity. — 2009. — May. — Vol. 22, no. 6. — P. 1431-1457.-URL: https://doi.org/10.1088/0951-7715/22/6/009.

70. Monvel, A. B. d. Focusing NLS Equation: Long-time Dynamics of Step-Like Initial Data [Text] / A. B. d. Monvel, V. P. Kotlyarov, D. Shepelsky // Int. Math. Res. Notices. — 2010. — July. — No. 7. — P. 1613—1653. — URL: https://doi. org/10.1093/imrn/rnq129.

71. Ruijsenaars, S. N. M. Scattering theory for one-dimensional step potentials [Text] / S. N. M. Ruijsenaars, P. J. M. Bongaarts // Ann. Inst. H. Poincare Sect. A(N.S.)- 1977. -Vol. 26, no. 1.-P. 1-17.

72. Ablowitz, M. J. Discrete and Continuous Nonlinear Schrodinger Systems [Text]. Vol. 302 / M. J. Ablowitz, B. Prinari, A. D. Trubatch. — Cambridge University Press, 12/2003. — x+257. — (London Mathematical Society Lecture Note Series). —URL: https://doi.org/10.1017/cbo9780511546709.

73. Фаддеев, Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов [Текст] / Л. Д. Фаддеев, Л. А. Тахтаджян. — М.: Наука, 1986. — 528 с.

74. Агранович, З. С. Обратная задача теории рассеяния [Текст] / З. С. Агранович, В. А. Марченко. — Харьков: Изд-во. Харьк. ун-та, 1960. — 268 с.

75. Korotyaev, E. Inverse resonance scattering on the half-line [Text] / E. Ko-rotyaev // Asymptot. Anal. — 2004. — Vol. 37, no. 3/4. — P. 215—226.

76. Brown, B. M. On The Inverse Resonance Problem [Text] / B. M. Brown, I. Knowles, R. Weikard // J. London Math. Soc. — 2003. — Sept. — Vol. 68, no. 2. -P. 383-401. -URL: https://doi.org/10.1112/s0024610703004654.

77. Korotyaev, E. Inverse resonance scattering on the real line [Text] / E. Korotyaev // Inverse Probl. — 2005. — Jan. — Vol. 21, no. 1. — P. 325—341. — URL: https: //doi.org/10.1088/0266-5611/21/1/020.

78. Zworski, M. A Remark on Isopolar Potentials [Text] / M. Zworski // SIAM J. Math. Anal. — 2001. — Jan. — Vol. 32, no. 6. — P. 1324—1326. — URL: https: //doi.org/10.1137/s0036141000375585.

79. Zworski, M. Distribution of poles for scattering on the real line [Text] / M. Zworski // J. Funct. Anal. — 1987. — Aug. — Vol. 73, no. 2. — P. 277—296. — URL: https://doi.org/10.1016/0022-1236(87)90069-3.

80. Korotyaev, E. Stability for inverse resonance problem [Text] / E. Korotyaev // Int. Math. Res. Notices. — 2004. — Vol. 2004, no. 73. — P. 3927. — URL: https: //doi.org/10.1155/s1073792804140609.

81. Marietta, M. On the Inverse Resonance Problem for Schrodinger Operators [Text] / M. Marletta, R. Shterenberg, R. Weikard // Commun. Math. Phys. — 2009. — Oct. — Vol. 295, no. 2. — P. 465—484. — URL: https://doi.org/10.100 7/s00220-009-0928-8.

82. Bledsoe, M. Stability of the inverse resonance problem on the line [Text] / M. Bledsoe // Inverse Probl. — 2012. — Sept. — Vol. 28, no. 10. — P. 105003. — URL: https://doi.org/10.1088/0266-5611/28/10/105003.

83. Melrose, R. Polynomial bound on the number of scattering poles [Text] / R. Melrose // J. Funct. Anal. — 1983. — Oct. — Vol. 53, no. 3. — P. 287—303. — URL: https://doi.org/10.1016/0022-1236(83)990036-8.

84. Zworski, M. Sharp polynomial bounds on the number of scattering poles [Text] / M. Zworski // Duke Math. J. — 1989. — Oct. — Vol. 59, no. 2. — URL: https: //doi.org/10.1215/s0012-7094-89-05913-9.

85. Zworski, M. Sharp polynomial bounds on the number of scattering poles of radial potentials [Text] / M. Zworski // J. Funct. Anal. — 1989. — Feb. — Vol. 82, no. 2. -P. 370-403. -URL: https://doi.org/10.1016/0022-1236(89)90076-1.

86. Sjostrand, J. Complex scaling and the distribution of scattering poles [Text] / J. Sjostrand, M. Zworski // J. Amer. Math. Soc. — 1991. — Vol. 4, no. 4. — P. 729-769. -URL: https://doi.org/10.1090/s0894-0347-1991-1115789-9.

87. Regge, T. Analytic properties of the scattering matrix [Text] / T. Regge // Il Nuovo Cimento. — 1958. — June. — Vol. 8, no. 5. — P. 671—679. — URL: https://doi.org/10.1007/bf02815247.

88. Froese, R. Asymptotic Distribution of Resonances in One Dimension [Text] / R. Froese // J. Differ. Equations. — 1997. — July. — Vol. 137, no. 2. — P. 251—272. — URL: https://doi.org/10.1006/jdeq.1996.3248.

89. Hitrik, M. Bounds on Scattering Poles in One Dimension [Text] / M. Hitrik // Commun. Math. Phys. — 1999. — Dec. — Vol. 208, no. 2. — P. 381—411. — URL: https://doi.org/10.1007/s002200050763.

90. Simon, B. Resonances in One Dimension and Fredholm Determinants [Text] / B. Simon // J. Funct. Anal. — 2000. — Dec. — Vol. 178, no. 2. — P. 396—420. — URL: https://doi.org/10.1006/jfan.2000.3669.

91. Korotyaev, E. Estimates of 1D resonances in terms of potentials [Text] / E. Ko-rotyaev // J. Anal. Math. — 2016. — Nov. — Vol. 130, no. 1. — P. 151—166. — URL: https://doi.org/10.1007/s11854-016-0032-x.

92. Christiansen, T. Resonances for steplike potentials: Forward and inverse results [Text] / T. Christiansen // Trans. Amer. Math. Soc. — 2005. — Vol. 358, no. 5. — P. 2071—2089. — URL: https://doi.org/10.1090/s0002-9947-05-03716-5.

93. Korotyaev, E. Resonance theory for perturbed Hill operator [Text] / E. Korotyaev // Asymptot. Anal. — 2011. — Vol. 74, no. 3/4. — P. 199—227. — URL: https://doi.org/10.3233/asy-2011-1050.

94. Korotyaev, E. L. Global Estimates of Resonances for 1D Dirac Operators [Text] / E. L. Korotyaev // Lett. Math. Phys. — 2013. — Aug. — Vol. 104, no. 1. — P. 43—53. — URL: https://doi.org/10.1007/s11005-013-0652-3.

95. Iantchenko, A. Resonances for 1D massless Dirac operators [Text] / A. Iantchenko, E. Korotyaev // J. Differ. Equations. — 2014. — Apr. — Vol. 256, no. 8. — P. 3038—3066. — URL: https://doi.org/10.1016/j.jde.2014.01.031.

96. Iantchenko, A. Resonances for the radial Dirac operators [Text] / A. Iantchenko, E. Korotyaev // Asymptot. Anal. — 2015. — July. — Vol. 93, no. 4. — P. 327—370. — URL: https://doi.org/10.3233/asy-151298.

97. Iantchenko, A. Resonance expansions of massless Dirac fields propagating in the exterior of a de Sitter-Reissner-Nordstrom black hole [Text] / A. Iantchenko // J. Math. Anal. Appl. — 2017. — Vol. 454, no. 2. — P. 639—658. — URL: https: //www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X17304687.

98. Iantchenko, A. Quasi-normal modes for Dirac fields in the Kerr-Newman-de Sitter black holes [Text] / A. Iantchenko // Anal. Appl. — 2018. — July. — Vol. 16, no. 04. — P. 449—524. — URL: https://doi.org/10.1142/s0219530518500057.

99. Gubkin, P. Dirac operators with exponentially decaying entropy [Text]: preprint / P. Gubkin; arXiv. — 2022. — arXiv: 2211.09193.

100. Гохберг, И. Ц. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения [Текст] / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн. — М.: Наука, 1967.— 508 с.

101. Weidmann, J. Spectral Theory of Ordinary Differential Operators [Text]. Vol. 1258 / J. Weidmann. — Springer Berlin Heidelberg, 1987. — vi+303. — (Lecture Notes in Mathematics). — URL: https://doi.org/10.1007/bfb0077960.

102. Branges, L. de. Hilbert spaces of entire functions [Text] / L. de Branges. — Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1968. — P. ix+326.

103. Romanov, R. Canonical systems and de Branges spaces [Text]: preprint / R. Romanov; arXiv. — 2014. — arXiv: 1408.6022.

104. Remling, C. Schrödinger operators and de Branges spaces [Text] / C. Remling // J. Funct. Anal. — 2002. — Dec. — Vol. 196, no. 2. — P. 323—394. — URL: https: //doi.org/10.1016/s0022-1236(02)00007-1.

105. Remling, C. Spectral Theory of Canonical Systems [Text] / C. Remling. — De Gruyter, 08/2018. — x+196. —URL: https://doi.org/10.1515/9783110563238.

106. Denisov, S. A. Continuous analogs of polynomials orthogonal on the unit circle and Krein systems [Text] / S. A. Denisov // Int. Math. Res. Surv. — 2010. — July. — URL: https://doi.org/10.1155/imrs/2006/54517.

107. Baranov, A. De Branges functions of Schroedinger equations [Text] / A. Baranov, Y. Belov, A. Poltoratski // Collect. Math. — 2016. — Apr. — Vol. 68, no. 2. — P. 251-263. -URL: https://doi.org/10.1007/s13348-016-0168-0.

108. Makarov, N. Two-spectra theorem with uncertainty [Text] / N. Makarov, A. Poltoratski // J. Spectr. Theory. — 2019. — Sept. — Vol. 9, no. 4. — P. 1249—1285. — URL: https://doi.org/10.4171/jst/276.

109. Poltoratski, A. Pointwise convergence of the non-linear Fourier transform [Text]: preprint / A. Poltoratski; arXiv. — 2022. — arXiv: 2103.13349v11.

110. Korotyaev, E. Dubrovin equation for periodic Dirac operator on the half-line [Text] / E. Korotyaev, D. Mokeev // Appl. Anal. — 2020. — Mar. — Vol. 101, no. 1. -P. 337-365. -URL: https://doi.org/10.1080/00036811.2020.1742882.

111. Korotyaev, E. Inverse resonance scattering for Dirac operators on the half-line [Text] / E. Korotyaev, D. Mokeev // Anal. Math. Phys. — 2021. — Jan. — Vol. 11, no. 1.—URL: https://doi.org/10.1007/s13324-020-00453-5.

112. Korotyaev, E. Periodic Dirac operator with dislocation [Text] / E. Korotyaev, D. Mokeev // J. Differ. Equations. — 2021. — Sept. — Vol. 296. — P. 369—411.— URL: https://doi.org/10.1016/jjde.2021.06.006.

113. Коротяев, Е. Л. Резонансы для оператора Дирака на полуоси [Текст] / Е. Л. Коротяев, Д. С. Мокеев // Функц. анализ и его прил. — 2021. — Т. 55, № 4. — С. 91—94. — URL: http://mi.mathnet.ru/faa3852.

114. Мокеев, Д. С. Стабильность резонансов оператора Дирака [Текст] / Д. С. Мокеев // Алгебра и анализ. — 2022. — Т. 34, № 6. — С. 197—216. — URL: http://mi.mathnet.ru/aa1840.

115. Korotyaev, E. L. Dislocation problem for the Dirac operator [Text] / E. L. Ko-rotyaev, D. S. Mokeev // Days on Diffraction. — 2019. — P. 94—98.

116. Korotyaev, E. Inverse resonance scattering for massless Dirac operators on the real line [Text] / E. Korotyaev, D. Mokeev // Asymptot. Anal. — 2023. — Mar. — Vol. 132, no. 1/2. — P. 83—130. — URL: https://doi.org/10.3233/asy-221786.

117. Teschl, G. Renormalized oscillation theory for Dirac operators [Text] / G. Teschl // Proc. Amer. Math. Soc. — 1998. — Vol. 126, no. 6. — P. 1685-1695. - URL: https://doi.org/10.1090/s0002-9939-98-04310 -x.

118. Bingham, N. H. Regular Variation [Text]. Vol. 27 / N. H. Bingham, C. M. Goldie, J. L. Teugels. — Cambridge University Press, 06/1987. — xx+491. — (Encyclopedia of Mathematics and its Applications). — URL: https://doi.org/10.1017 /cbo9780511721434.

119. Korevaar, J. Tauberian Theory: A century of developments [Text]. Vol. 329 / J. Korevaar. — Springer Berlin Heidelberg, 2004. — xvi+483. — (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]). — URL: https://doi.org/10.1007/978-3-662-10225-1.

120. Seneta, E. Regularly Varying Functions [Text] / E. Seneta. — Springer Berlin Heidelberg, 1976. — v+112. — (Lecture Notes in Mathematics, Vol. 508). — URL: https://doi.org/10.1007/bfb0079658.

121. Granata, A. The problem of differentiating an asymptotic expansion in real powers. Part I: Unsatisfactory or partial results by classical approaches [Text] / A. Granata // Anal. Math. — 2010. — May. — Vol. 36, no. 2. — P. 85—112. — URL: https://doi.org/10.1007/s10476-010-0201-6.

122. Korotyaev, E. Metric properties of conformal mappings on the complex plane with parallel slits [Text] / E. Korotyaev // Int. Math. Res. Notices. — 1996. — Vol. 1996, no. 10. — P. 493. — URL: https://doi.org/10.1155/s10737928960003 35.

123. Kargaev, P. Effective masses and conformal mappings [Text] / P. Kargaev, E. Korotyaev // Commun. Math. Phys. — 1995. — May. — Vol. 169, no. 3. — P. 597—625. — URL: https://doi.org/10.1007/bf02099314.

124. Рид, М. Методы современной математической физики [Текст]. 4 Анализ операторов / М. Рид, Б. Саймон; под ред. М. К. Поливанова; пер. А. К. По-гребковой, В. Н. Сушко. — М.: Мир, 1982. — 427 с.

125. Jittorntrum, K. An implicit function theorem [Text] / K. Jittorntrum // J. Optimiz. Theory App. — 1978. — Aug. — Vol. 25, no. 4. — P. 575—577. — URL: https: //doi.org/10.1007/bf00933522.

126. Kumagai, S. An implicit function theorem: Comment [Text] / S. Kumagai // J. Optimiz. Theory App. — 1980. — June. — Vol. 31, no. 2. — P. 285—288. — URL: https://doi.org/10.1007/bf00934117.

127. Krantz, S. G. The Implicit Function Theorem: History, theory, and applications [Text] / S. G. Krantz, H. R. Parks. — Birkhäuser Boston, 2003. — xii+163. — URL: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0059-8.

128. Hale, J. K. Ordinary Differential Equations [Text] / J. K. Hale. — Second. — Elsevier, 2008. — xvi+361. — URL: https://doi.org/10.1016/s1874-5725(08)x8 001-0.

129. Pöschel, J. Inverse Spectral Theory [Text]. Vol. 130 / J. Pöschel, E. Trubowitz. — Elsevier, 1987. — x+192. — (Pure and Applied Mathematics). — URL: https: //doi.org/10.1016/s0079-8169(08)x6138-0.

130. Grebert, B. The Defocusing NLS Equation and Its Normal Form [Text] / B. Grebert, T. Kappeler. — European Mathematical Society Publishing House, 03/2014. — x+166. — (EMS Series of Lectures in Mathematics). — URL: https: //doi.org/10.4171/131.

131. Deift, P. A. Applications of a commutation formula [Text] / P. A. Deift // Duke Math. J. — 1978. — June. — Vol. 45, no. 2. — P. 267—310. — URL: https://doi. org/10.1215/s0012-7094-78-04516-7.

132. Kostenko, A. 1-D Schródinger operators with local point interactions: A review. Spectral analysis, differential equations and mathematical physics: A festschrift in honor of Fritz Gesztesy's 60th birthday [Text] / A. Kostenko, M. Malamud // Proc. Sympos. Pure Math., 87. — Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2013. — P. 235-262.

133. Ахиезер, Н. И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве [Текст] / Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман. — М.: Наука, 1966. — 543 с.

134. Рид, М. Методы современной математической физики [Текст]. 2 Гармонический анализ. Самосопряженность / М. Рид, Б. Саймон; под ред. М. К. Поливанова; пер. А. К. Погребковой, В. Н. Сушко. —М.: Мир, 1978. — 394 с.

135. Крейн, М. Г. Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых операторов и ее приложения. I [Текст] / М. Г. Крейн // Матем. сб. — 1947. — Т. 20(62), № 3. — С. 431—495. — URL: http://mi.mathnet.ru/sm6224.

136. Рид, М. Методы современной математической физики [Текст]. 1 Функциональный анализ / М. Рид, Б. Саймон; под ред. М. К. Поливанова; пер. А. К. Погребковой, В. Н. Сушко. — М.: Мир, 1977. — 357 с.

137. Korotyaev, E. Characterization of the spectrum of Schródinger operators with periodic distributions [Text] / E. Korotyaev // Int. Math. Res. Not. — 2003. — No. 37.-P. 2019-2031.

138. Djakov, P. Instability Zones of a Periodic 1D Dirac Operator and Smoothness of its Potential [Text] / P. Djakov, B. Mityagin // Commun. Math. Phys. — 2005. — Apr. — Vol. 259, no. 1. — P. 139—183. — URL: https://doi.org/10.1007/s00220 -005-1347-0.

139. Hryniv, R. O. Inverse Scattering on the Half-Line for ZS-AKNS Systems with Integrable Potentials [Text] / R. O. Hryniv, S. S. Manko // Integr. Equat. Oper. Th. — 2015. — Dec. — Vol. 84, no. 3. — P. 323—355. — URL: https://doi.org/10 .1007/s00020-015-2269-7.

140. Koosis, P. The Logarithmic Integral [Text]. Vol. 12 / P. Koosis. — Cambridge University Press, 08/1992. — xviii+606. — (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — URL: https://doi.org/10.1017/cbo9780511566202; Corrected reprint of the 1988 original.

141. Mikhaylov, A. The boundary control method and de Branges spaces. Schrodinger equation, Dirac system and discrete Schrodinger operator [Text] / A. Mikhaylov, V. Mikhaylov // J. Math. Anal. Appl. — 2018. — Apr. — Vol. 460, no. 2. — P. 927—953. — URL: https://doi.org/10.10167j.jmaa.2017.12.013.

142. Левин, Б. Я. Целые функции (Курс лекций) / Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. Мех.-мат. фак. [Текст] / Б. Я. Левин. —М.: [б. и.], 1971. — 124 с.

143. Гельфанд, И. М. Коммутативные нормированные кольца [Текст] / И. М. Гельфанд, Д. А. Райков, Г. Е. Шилов. — М.: Физматгиз, 1960. — 316 с.

144. Inverse scattering for Schrodinger operators with Miura potentials: I. Unique Riccati representatives and ZS-AKNS systems [Text] / C. Frayer [et al.] // Inverse Probl. — 2009. — Oct. — Vol. 25, no. 11. — P. 115007. — URL: https://doi.org/1 0.1088/0266-5611/25/11/115007.

145. Титчмарш, Э. Ч. Теория функций [Текст] / Э. Ч. Титчмарш; пер. В. А. Рохлина. — Л.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1951. — 507 с.