Некоторые обратные задачи теории рассеяния для оператора Шредингера с потенциалом Като тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Разборов, Алексей Геннадьевич

• Разборов, Алексей Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Разборов, Алексей Геннадьевич

Содержание

Введение

Глава I. Спектральные свойства оператора Шредингера с

потенциалом Като

§ 1.1 Структура спектра оператора Шредингера

§ 1.2 Свойства обобщенных собственных функций

Глава II. Некоторые методы восстановления потенциала

из класса Като в операторе Шредингера

§ 2.1 Восстановление потенциала с помощью высокочастотной асимптотики функции Грина

§ 2.2 Формулы Р. Ньютона и И. Сайто

§ 2.3 Обратная задача для многомерного волнового

уравнения

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые обратные задачи теории рассеяния для оператора Шредингера с потенциалом Като»

В ведение.

Настоящая работа посвящена исследованию некоторых многомерных обратных задач теории рассеяния, связанных с восстановлением потенциала в гамильтониане Н, Н = — A -f q(x). Теория рассеяния имеет бесчисленное множество приложений в атомной физике, теории твердого тела, физике высоких энергий, поэтому данная тема является важной и актуальной. Рассмотрим оператор Шредингера

Я = -Д + q(x) = - Е ^ +q(x) (0.1)

1=1 OXi

во всем пространстве RN, N > 3 с действительным потенциалом q(x), который принадлежит классу Като Кjv, т.е. удовлетворяет условию вида

lim sup J \q{x)\\x - y\2~N dx = 0, N > 3, (0.2)

M yeRN \x-y\<8

и имеет степенное убывание на бесконечности:

3 R > 0, /г > — : \q(x)\ < С V \х\ > R. (0.3)

2

Класс Кн был впервые введен Т. Като в работе [30] и локально может быть описан следующими точными вложениями (см., например, [16]):

LPloc(RN) С КN,loc С L)0C(Rn), р > N/2, (0.4)

где

KN>ioc = {q\q<peKN V<pe CÜ°(RN)}.

Таким образом, рассматриваемый в работе потенциал может иметь локальные сингулярности только лишь из L]oc(Rn), поэтому

получать самосопряженные расширения оператора Н путем замыкания графика в не удается. Однако, в работе [16] показано, что при выполнении условий (0.2), (0.3) квадратичная форма

о 1

(я/^ определена V / 2 {Я ) и удовлетворяет следую-

щей оценке:

|/ \/(х)\2д(х)ах\<е/ ¡(х)\2 в,х + С (е) / |/(*)| 2<1х, пм

о 1 о I

V / €Ж2 (Я )> гДе о < б < 1, С (б) > 0, а символом Цг2 (Я ) обозначено замыкание пространства бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем по норме пространства

Соболева И^Я*). Э то неравенство означает, что ц ограничен в смысле квадратичных форм относительно самосопряженной реализации в Ь2(ЯМ) оператора — А, которую мы будем обозначать через Я 0. Поскольку Н0, как известно, является положительным оператором в мы можем утверждать, что выполнены все условия теоремы Като, Лакса, Лионса, Мильграма и Нельсона ("КЛМН" теоремы), а значит рассматриваемый гамильтониан Н корректно определен в смысле квадратичных форм в Ь2(ЛЫ) и является самосопряженным полуограниченным снизу оператором с областью

° 1

определения В{Н) СЖ2 )•

В данной работе будет доказано, что спектр этого оператора состоит из непрерывного спектра (без неотрицательных собственных значений), заполняющего неотрицательную часть действительной прямой, и конечного отрицательного дискретного спектра конечной кратности. В этом случае ограниченные решения и(х,к) однородного уравнения

(Н - к2)и(х, к) = 0, кеП\кф 0 (0.5)

являются единственными решениями уравнения Липпмана-Швин-гера

и(х,к,9) = - / а0(х,у,к)д(у)и(у,к,в)<1у, (0.6)

где 9 Е — единичной сфере в пространстве Л1*. Функция

Оо(х,у, к) является ядром оператора (—А —А;2)-1 в понимаемого как предел при е —► +0 оператора (—А — к2 — ге)~1 в пространстве линейных ограниченных операторов Ь(Ь26{К^), Ь2_6{ИЫ)), 6 > 1/2. Здесь

= {/| (1 + М)7(*) е ^(я")}.

<?0(х,у,к) имеет следующий вид:

<?..(*,»,*) = 1(1^)^^(1411« - у|), (0.7)

где — это функция Ханкеля первого рода порядка и.

Решения и(х,к,9) уравнения (0.6) называются обобщенными собственными функциями оператора Н. При \х\ —» +оо и фиксированном к ф 0 эти функции допускают следующее асимптотическое поведение:

Ш^е**1*1 1-я

и{х,к,9) = егк{х>в) - Ан ц А[к,е',в) + о(М~*~), (0.8)

\х\ 2

где константа А# зависит только от размерности пространства, 9' = х\х\~1 Е а функция А(к,9',9) называется амплитудой

рассеяния и определяется равенством:

А(к,0',0) = / е-^в,*\{у)и{у,к,9)<1у. (0.9)

л"

Если д(х) удовлетворяет условию (0.3) с параметром ¡л > N, интеграл в (0.9) сходится при любом фиксированном к равномерно по 9

и в'. При ¡1 > (N + 1)/2 этот интеграл следует понимать в смысле сходимости в среднем в L2(SN~l х SN~l).

Через функцию А(к,в',д) выражается ядро оператора S (к) — /, где I - единичный оператор, a S(к) — операторнозначная функция, которая называется матрицей рассеяния. Матрица рассеяния связывает асимптотики решений нестационарного уравнения Шре-дингера ди

г-= Ни

dt

при t —» —сю и £ +оо. Именно S(k) представляет обычно наибольший интерес в задачах теории рассеяния, поскольку связывает "начальную" характеристику процесса с "конечной" напрямую, минуя рассмотрение процесса при конечных временах. Такой подход является очень удобным при изучении взаимодействия волн с препятствием или потока квантовых частиц с мишенью. Функция А(к, в', <9), таким образом, несет всю информацию о потенциале, поэтому обратные задачи теории рассеяния рассматриваются обычно именно в терминах амплитуды рассеяния.

Другим объектом, который часто используется в качестве исходных данных в обратных задачах теории рассеяния, является функция Грина G(x,y,k) оператора (Н — к2) при действительных к. Функция G(x,y,k) является решением следующего уравнения:

G(x,y, к) = G0(x,yv к) - / G0(x,z, k)q(z)G(z,y, к) dz, (0.10)

rn

А

а интегральный оператор G с ядром G(x,y, к) является пределом (в подходящей топологии) при е —> +0 оператора (Н — к2 — ге)-1. В таких постановках обратных задач потенциал q{x) обычно восстанавливается по асимптотике G{x,y,k) при к —> 0 или к —*■ +оо.

В данной работе будут рассмотрены как известные, так и новые методы восстановления потенциала q(x) в операторе Шредингера с помощью амплитуды рассеяния и функции G(x,y,k). При этом известные формулы, связывающие q(x) с данными рассеяния, будут распространены на потенциалы из пространства Като, для которых они ранее не были доказаны.

Вопросам спектральной теории дифференциальных операторов посвящено очень большое количество работ. Отметим здесь появившиеся в последнее время монографии В.А.Ильина [3], Г.В.Розенблюма, М.З.Соломяка и М.А.Шубина [10], Х.Цикона, Р.Фрезе, В.Кирша и Б.Саймона [16], а также вышедший ранее фундаментальный четырехтомник по современным проблемам математической физики М.Рида и Б.Саймона [8].

Прямым и обратным задачам многомерной теории рассеяния для оператора Шредингера посвящено огромное количество работ как у нас в стране, так и за рубежом. Не претендуя на полноту библиографии в этом вопросе, отметим наиболее важные с нашей точки зрения работы. В работах А.Я.Повзнера [б], Т.Като [30], Т.Икебе [28], Д.Toe [47] получено спектральное представление оператора Шредингера в RN (N > 3) с потенциалом q € L^oc(RN) и имеющим степенное убывание на бесконечности. В этих работах доказано, что спектр оператора Н состоит из абсолютно непрерывного спектра, заполняющего множество (0; +оо), и отрицательного дискретного спектра конечной кратности с единственной возможной предельной точкой в нуле. Кроме того, в этих работах были изучены свойства и гладкость функций и(х,к) из (0.6). Дальнейшее продвижение в прямых задачах связано с работами П.Альхольма и Г.Шмидта [20], Ш.Агмона [18], М.Шехтера [42] и некоторых дру-

гих. В работе Ш .Агмона рассматривался оператор Шредингера при N > 2 и были ослаблены условия на потенциал при |ж| —> +оо. Кроме того, в этой работе получена оценка резольвенты оператора (—А — к2)-1 на непрерывном спектре, которая играет решающую роль в восстановлении потенциала q(x) € L^C(RN) для широкого класса обратных задач. В.С.Серов в работе [14] обобщил оценку Агмона таким образом, чтобы в этих задачах q(x) мог иметь локальные особенности из Lfoc(i?iV), р > N/2. Отметим здесь работы Б. Саймона [43], а также Р.Фрезе и др. [26], в которых были получены достаточные условия на потенциал обеспечиваю-

щие отсутствие положительных собственных значений. Вопросы многомерной теории рассеяния подробно рассмотрены в недавно вышедшей монографии Д.Р.Яфаева [17].

Большое количество многомерных обратных задач теории рассеяния рассмотрено в вышедшей в 1994 г. монографии А.Г.Рамма [7]. Теоремы единственности для этих задач в данной монографии доказываются с помощью единого метода, основанного на понятии полноты множества произведений решений дифференциальных уравнений с частными производными. В монографии также изучается важный вопрос о достаточных условиях на функцию А(к,в', в), при которых она является амплитудой рассеяния, соответствующей потенциалу из определенного класса. В 80-х годах в цикле работ [33] - [36] Р.Ньютон рассмотрел обратную задачу вое-

о

становления потенциала в операторе Шредингера в R по данным рассеяния А(к,О,,0) вида (0.9). Эта задачу он сводил к решению некоторого многомерного аналога уравнения Марченко. При этом условия на поведение q(x) при |ж| —» +оо были сильно завышены. М.Чини в работах [21] - [23] применила метод Ньютона для двумер-

ных задач. В работах И.Сайто [40] и [41] получены некоторые асимптотические формулы для потенциала д(х) 6 а также изучены свойства амплитуды рассеяния А(к, в', в), соответствующей потенциалу, убывающему на бесконечности как |ж|-1_б,б > 0. В работе Л.Пяйвяринта и В.С.Серова [39] результаты И.Сайто были обобщены на случай потенциалов, которые могут иметь локальные сингулярности из ЬР(Я3), р > 3/2. На тот же тип потенциалов В.С.Серовым в работах [11], [12] были обобщены результаты Р.Ньютона. Отметим также, что в случае меньших сингулярностей в потенциале q{x) некоторые родственные результаты в многомерной теории рассеяния были получены в работах Л.Д.Фаддеева [15], Р.Г.Новикова и Г.М.Хенкина [5], Л.Пяйвяринта и Э.Сомерсало [37], Э.Сомерсало, Г.Белкина и др. [44], В.С.Серова [13], М.Чини, Г.Белкина и др. [24], Л .Пяйвяринта, В.С.Серова и Э.Сомерсало [38], Ж.Сана и Г.Ульмана [45] и [46], А.Гринлифа и Г.Ульмана [27] и некоторых других.

Перейдем теперь к описанию структуры работы и точной формулировке результатов. Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. Нумерация теорем, лемм и замечаний ведется отдельно и начинается заново в каждой из глав.

Первая глава состоит из двух параграфов и посвящена изучению некоторых спектральных свойств оператора Шредингера Н = — А + во всем пространстве с действительным по-

тенциалом <?(ж), который принадлежит классу Като К^ ж имеет степенное убывание на бесконечности. В первом параграфе исследуется структура спектра Н. Главным результатом данного параграфа и всей главы является следующая теорема:

Теорема 1.1. Пусть потенциал q(x) удовлетворяет условиям (0.2) и (0.3) с параметром ¡i > Тогда

1) не существует неотрицательных собственных значений оператора H ; множество [0, + оо) является непрерывной частью спектра H,

2) на отрицательной части действительной прямой спектр оператора H, если он существует, является дискретным, конечным, и конечной кратности.

Во втором параграфе изучаются свойства решений уравнения

и+(х,к,в) = - / Go(xty,k)q(y)u+(y,kt0)dy, (0.11)

rn

при Ira к > 0, к ф 0. Здесь функция GQ(x,y, к) при к G Rl > к ф 0 определена равенством (0.7), а при Im к > 0 является ядром оператора ( — А — к2)"1. Таким образом, при к € R1, к ф 0 и+(х,к,в) совпадают с решениями уравнения (0.6), то есть с обобщенными собственными функциями H.

Свойства функций и+(хук,0) собраны в теореме 1.2.

Теорема 1.2. Пусть Im к > 0, к ф 0, потенциал q(x) удовлетворяет условиям (0.2) и (0.3) с параметром /х > а оператор H не имеет отрицательного спектра. Тогда уравнение (0.11) имеет единственное решение и+(х,ку6), которое удовлетворяет условию

e-"(*>')u+(Xtkt$) - 1 в В,

где В — это пространство комплекснозначных непрерывных функций f(x), равномерно убывающих при \х| —» +оо. Функции и+(х,к,$) являются непрерывными по к, Im & > 0, к ф 0 и аналитическими по к, Im к > 0.

Из теоремы 1.2 следует, что существует мероморфное продолжение (х,к,0) обобщенных собственных функций и(х, к, в) по спектральному параметру с действительной оси в верхнюю полуплоскость комплексной плоскости.

Кроме того, во втором параграфе доказан еще один результат, касающийся поведения функций и + (х,к,в) в трехмерном случае при стремлении спектрального параметра к бесконечности. Именно, справедлива следующая теорема.

Теорема 1.3. Пусть размерность пространства N = 3, 1т к > О, а потенциал д(х) удовлетворяет условиям (0.2) и (0.3) с параметром ¡л > 2. Тогда имеет место соотношение

Нш ||е~*к{х>в)и+(х,к,в) - 1ЦХОО/ДЗ) = 0,

к—* оо '

1хп к>0

А

равномерно по 0 € 5 .

Отсутствие у оператора Шредингера неотрицательных собственных значений, а также конечная кратность и конечность числа отрицательных собственных значений является важным фактом, играющим ведущую роль в теории рассеяния. Ранее этот результат был известен для потенциалов, локально принадлежащих ЬР(НМ), р > N/2. Свойства обобщенных собственных функций, сформулированные в теоремах 1.2, 1.3 оказываются очень важными при исследовании одной из обратных задач, рассматриваемых в Главе II. Кроме того, эти результаты имеют, на наш взгляд, и самостоятельный интерес.

Вторая глава состоит из трех параграфов и посвящена некоторым методам восстановления потенциала в операторе Шредингера. В первом параграфе получена новая формула для восстановления потенциала в трехмерном пространстве по высокочастотной

асимптотике функции Грина G(x,y,k) оператора Я. В данном параграфе доказано, что при достаточно больших к > 0 функция G(x,y,k) является единственным решением следующего интегрального уравнения:

G(x,y,k) == G0(x,y,k) - / G0{x,z,k)q(z)G(z,y,k)dz, (0.12)

r3

причем рассеянное поле Gsc(x,у, к) = G(x,y,k) — Gq(x,у, к) удовлетворяет оценке

\Gsc(x,y,k)\ <

F ~ И

где константа С не зависит от ж, j/, fc > > 1, а функция а(&) является бесконечно малой при к стремящемся к бесконечности. Эта оценка играет главную роль при высокочастотном обращении данных рассеяния, и используется также в параграфе 2 данной главы.

Формула для восстановления потенциала приводится в следующей теореме.

Теорема 2.1. Пусть размерность пространства N = 3, а потенциал q(x) удовлетворяет условиям (0.2) и (0.3) с параметром ¡м > 3. Тогда F{q)(C) Е L°° (Ä3) П С (Ä3) и

F(qm = lim {i6tt2\x\\y\e-ikM+M\G0(x,yik) - G(x,y,k))},

т U

где F — это преобразование Фурье, £ = j^j) фиксировано,

а предел понимается в классическом смысле.

Второй параграф посвящен изучению двух обратных задач, в которых в качестве исходных данных используется амплитуда рассеяния А(к,в',0). В первой из них для восстановления д(ж) исполь-

зуются также функции и (х,к,в), которые определяются следующим образом:

и~ (х, к, в) = и + (х, — к, — в), 1т к < 0.

Введем еще следующее понятие.

Определение. Оператор Н имеет резонанс в точке ноль, если уравнение

и(х) = - j —^~N2fJ2)\x - y\2~Nq(y)u(y)dy rn

имеет нетривиальное решение из пространства непрерывных равномерно убывающих на бесконечности функций.

В данном параграфе показано, что отсутствие у оператора Н резонанса в нуле гарантирует, что уравнение Липпмана-Швингера при к — 0 имеет единственное решение из указанного в данном определении пространства.

Соответствующая формула приводится в следующей теореме:

Теорема 2.2. Пусть N = 3, потенциал q(x) удовлетворяет условиям (0.2) и (0.3) с параметром ¡л > 2, а оператор Н не имеет отрицательного дискретного спектра и резонанса в точке ноль. Тогда в смысле теории распределений справедлива формула «(ж) =

Sir6

+ оо

х J kdk j А(к,вг,в)е"гк(х'в)и~(х, k,6')d0\ (0.13)

-оо s2

где в — произвольный фиксированный вектор из S2.

Данная формула носит название формулы Ньютона. Заметим, что

в случае, когда оператор Я = —А + q имеет отрицательный дискретный спектр — — kl,..., — к2, будет справедлива формула типа (0.13), но в правой части (0.13) добавятся вычеты функции

j e~lk(x^u+(x,kj) - 1, Im к > 0, Wik) = { ~

( e~ik{x^u-(x,k,e) - 1, Im к < 0,

относительно точек ±.ik\, ±г&<,, которые являются полю-

сами первого порядка (см., например, [44]).

Второй из рассматриваемых в данном параграфе методов восстановления потенциала был впервые рассмотрен в работах И. Сай-то [40] и [41]. В его основе лежит так называемая формула Сайто, доказанная в следующей теореме:

Теорема 2.3. Пусть N — 3, а потенциал q(x) удовлетворяет условиям (0.2) и (0.3) с параметром ß > 2. Тогда

lim к2 J / e-ikie-e'>x)A(k,e,,O)d0del =

8J ¡-l^-dy, (0.14)

лз I® - У?

где предел понимается в смысле обобщенных функций.

Пользуясь соотношением (0.14), можно доказать, что в условиях теоремы 2.3 q(x) восстанавливается однозначно. Этот факт составляет содержание теоремы 2.4. данного параграфа.

Теорема 2.4. Пусть потенциалы q\(x) и <?2(®) удовлетворяют условиям теоремы 2.3 и соответствующие им амплитуды рассеяния совпадают на некоторой последовательности к —»• Ч-оо и для всех в,9г € S2, Тогда qi(x) = q<2(x) (в смысле обобщенных функций). Кроме того, принимая во внимание формулу (0.14), нетрудно

видеть, что потенциал q(x) связан с амплитудой рассеяния следующим равенством:

q(x) = lim j j e~ik^-e^x)A{k,e',e)\e - 0'\d0de'. (0.15)

i-> + oo 87t4s2 s2

В последнем параграфе второй главы рассматривается обратная задача рассеяния для волнового уравнения с переменными коэффициентами:

д2и ди

L(u) = -Аи + n{x)—j - р(х) — = 0,

dt dt

где и = и

ОМ), t G Д\ х е RN, N > 3. Отметим, что в данной постановке коэффициенты п(х) и р{х) могут быть и комплексно-значными.

Фундаментальное решение оператора L является решением уравнения

д2!! , ßg

p{x)Vt

где S(z) — это дельта-функция. В частотной области это уравнение преобразуется к следующему виду:

-АG - к2( 1 - q(x))G - ikp{x)G = 6{х - у),

где G = G(x,y, к), q(x) = 1 - те (ж), к > 0. Добавив условие излучения Зоммерфельда, мы получаем задачу для функции Грина G = G(x, у, к):

-AG - к2( 1 - q(x))G - kip(x)G = 6(х - у)

-Ag 4- п(х)~ - р(х)— = 6(х - y)S(t), д = g(x,y,t),

, Hm (Ц^- «С) = 0, (0Лб)

х -»+оо 11

где во втором равенстве у фиксировано.

В данном параграфе доказано существование и единственность решения системы (0.16), при достаточно малых к > 0. Функции

п(х) и р(х) восстанавливаются с помощью низкочастотной асимптотики функции С8С(х,у,к) = С(х,у,к) - С0(х,у,к). Формулы для восстановления коэффициентов приводятся в следующей теореме.

Теорема 2.5. Пусть 1 — п(х) и р(х) удовлетворяют условиям (0.2) и (0.3) с параметром ¡1 > . Тогда в смысле обобщенных функций имеют место следующие равенства:

MN'2\x - y\N~2

Г(^) По'

р(х) = г--Hin (Л: LAGsc{x,y,k)),

^N/2\x - у|

n —2

Ф) = 1--Г(*-2)-Х

х lim k~2{AGsc(x, уу к) + ikp(x)G(x,y,k)}.

к—* 0

Еще раз отметим, что в данной теореме коэффициенты п(х) и р(х) могут принимать и комплексные значения.

Формулы такого рода были ранее доказаны только при N = 3

л .

для коэффициентов, локально принадлежащих L (R ) и имеющих более быстрое убывание на бесконечности (см., например, [24]).

В заключение, автор хотел бы выразить глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук В.С.Серову за постановку задач, руководство работой и ценные замечания по ходу работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Разборов, Алексей Геннадьевич, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

[1] Бирман М.Ш. О числе собственных значений в задаче квантового рассеяния // Матем. сб. - 1960, Т. 52, N 3, С. 163 - 166.

[2] Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М., Наука, 1981.

[3] Ильин В.А. Спектральная теория дифференциальных операторов. М., Наука, 1991.

[4] Ландис Е.М. // ДАН СССР. - 1956, Т. 107, N 5, С. 640 - 643.

[5] Новиков Р.Г., Хенкин Г.М. ¿^-уравнение в многомерной задаче теории рассеяния // Успехи мат. наук - 1987, Т. 42, N 3, С. 93 - 152.

[6] Повзнер А.Я. О разложении произвольной функции по собственным функциям оператора — Аи + си // Мат. сб. - 1953, Т. 32(74), С.109-156.

[7] Рамм А.Г. Многомерные обратные задачи рассеяния. М., Мир, 1994.

[8] Рид МСаймон Б. Методы современной математической физики, т. 1-4. М., Мир, 1978-1982.

[9] Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М., Мир, 1979.

[10] Розенблюм Г.В., Солом як М.З., Шубин М.А. Спектральная теория дифференциальных операторов. Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики", т.64, 1989.

[11] Серов B.C. О задаче рассеяния для оператора Шредингера с сингулярным потенциалом, I // Дифф. Уравн. - 1990, Т. 26, N 5, С. 851 - 860.

[12] Серов B.C. О задаче рассеяния для оператора Шредингера с сингулярным потенциалом, II // Дифф. Уравн. - 1991, Т. 27, N 1, С. 120 - 128.

[13] Серов B.C. Восстановление потенциала в трехмерной задаче теории рассеяния // ДАН СССР - 1991, Т. 317, N 3, С. 579 -583.

[14] Серов B.C. Об оценках резольвенты оператора Лапласа во всем пространстве // Мат ем. Заметки - 1992, Т. 52, N 6, С. 109 -118.

[15] Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния // Успехи мат. наук - 1959, Т. 14, N 4, С. 57 - 119.

[16] Цикон X., Фрезе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шредингера. М., Мир, 1990.

[17] Яфаев Д.Р. Математическая теория рассеяния. С.-Петербург, изд. С.-Петербургского университета, 1994.

[18] Agmon S. Spectral properties for Schroedinger operator and scattering // Ann. Schula Norm. Sup. Pisa. - 1975, N 2, P. 151-218.

[19] Alimov S.A., Joo I. On the Riesz summability of eigenfunctions expansions // Acta. Sci. Math. - 1983, V. 45, P. 5-18.

[20] Alsholm P., Schmidt G. Spectral and scattering theory for Schroedinger operators // Arch. Rat. Mech. Anal. - 1971, V. 40, P. 281-311.

[21] Cheney M. Inverse scattering in dimension two //J. Math. Phys.

- 1984, V. 25, N 1, P. 94 - 107.

[22] Cheney M. Two dimensional scattering: the number of bound states from scattering data // J. Math. Phys. - 1984, V. 25, N 5, P. 1449 - 1455.

[23] Cheney M. Two dimensional inverse scattering: compactness of generalised Marchenko operator // J. Math. Phys. -■ 1985, V. 26, N 4, P. 743 - 752.

[24] Cheney M., Beylkin G., Somersalo E. and Burridge R. Three-dimensional inverse scattering for the equation with variable speed: near field formulae using point sources // Inverse Problems - 1989, N 5, P. 1-6.

[25] Ford R. An inverse scattering result for measure potentials // Inverse Problems - 1995, N 11, P. 939 - 948.

[26] Frose R., Herbts I., Hoffman-Ostenhof M., Hoffman-Ostenhof T. On the absence of positive eigenvalues for one-body Schrodinger operators // J. Math. Anal. - 1982, V. 41, P. 272-284.

[27] Greenleaf A., Uhlmann G. Recovering singularities of a potential from singularities of scattering data // Comm. Math. Phys. - 1993, V. 157, N 3, P. 549 - 572.

[28] Ikebe T. Eigen function expansions associated with the Sch roe dinger operators and their applications to the scattering theory // Arch. Rat. Mech. Anal. - I960, V. 5, P. 1-34.

[29] Kato T. Growth properties of solutions of the reduced wave equation with a variable coefficient // Comm. Pure Appl. Math.

- 1959, V.12, P. 403-425.

[30] Kato T. Schrôdinger operators with singular potentials // Isr. J. Math. - 1972, V. 13, P. 135-148.

[31] Kato T. Perturbation theory for linear operators. Springer-Verlag, Berlin/New-York, 1976.

[32] Kolton D. Partial differential equations. New-York, 1988.

[33] Newton R.G. Non-central potentials: the generalized Levinson theorem and the structure of the spectrum // J. Math. Phys. -1977, V. 18, P. 1348 - 1357.

[34] Newton R.G. Inverse scattering - II. Three dimensions //J. Math. Phys. - 1980, V. 21, N 7, P. 1698 - 1715.

[35] Newton R.G. Inverse scattering - III. Three dimensions //J. Math. Phys. - 1981, V. 22, N 10, P. 2191 - 2200.

[36] Newton R.G. Inverse scattering. - IV. Three dimensions // J. Math. Phys. - 1982, V. 23, N 4, P. 594 - 604.

[37] Paivarinta L., Somersalo E. Inversion of discontinuities for the Schrôdinger equation in three dimensions // SIAM J. Math. Anal. - 1991, V. 22, P. 480-499.

[38] Paivarinta L., Serov V.S., Somersalo E. Reconstruction of singularities of a scattering potential in two dimensions // Adv. In Appl. Maths. - 1994, N 15, P. 97-113.

[39] Paivarinta L., Serov V.S. Recovery of singularities of a multidimensional scattering potential // SIAM J. Math. Anal. -1997, V. 29 (3).

[40] Saito Y. Some properties of the scattering amplitude and the inverse scattering problem // Osaka J. Math. - 1982, V. 19, P. 527-547.

[41] Saito Y. An inverse problem in potential theory and the inverse scattering problem // J. Math. Kyoto Univ. - 1982, V. 22, P. 307321.

[42] Schechter M. Scattering theory for elliptic operators of arbitrary order // Comm. Math. Helvetici. - 1974, V. 49, P. 84-113.

[43] Simon B. Quantum Mechanics for Hamiltonians Defined as Quadratic Forms // Princeton, NJ: Princeton University Press, 1971.

[44] Somersalo E., Beylkin G., Burridge R. and Cheney M. Inverse scattering problem for Schrodinger equation in three dimensions: connections between exact and approximate methods // Preprint / Univ. Of Minnesota : 449 - August, 1988.

[45] Sun Z., Uhlmann G. Inverse scattering for singular potentials in two dimensions // Trans. AMS - 1993, V. 338, N 1, P. 363 - 374.

[46] Sun Z., Uhlmann G. Recovery of singularities for formally determined inverse problems // Comm. Math. Phys. - 1993, V. 153, P. 431 - 445.

[47] Thoe D.W. Eigenfunction expansions associated with the Schroe-dinger operator in RN, N > 4 // Arch. Rat. Mech. Anal. - 1967, V. 26. P. 335-356.

Работы автора по теме диссертации

[48] Разборов А.Г., Серов B.C. О восстановлении переменных коэффициентов в многомерном волновом уравнении // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. - 1996, N 4, С. 11-18.

[49] V.S.Serov and A.G.Razborov Some inverse problems for Schro dinger operator with К ato potential / / Тезисы международной конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Сентябрь, 10-13), Москва. - 1996, С. 162.

[50] Разборов А.Г., Серов B.C. Некоторые обратные задачи для оператора Шредингера с потенциалом Като // Дифф. уравн. -1998, Т. 34, N 6, С. 816-824.

[51] Разборов А.Г., Серов B.C. Формула Ньютона для оператора Шредингера с потенциалом Като // Тезисы конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Июнь, 1617), Москва. - 1998, С. 66.

[52] Разборов А.Г., Серов B.C. Формула Ньютона для оператора Шредингера с потенциалом Като // Доклады РАН (работа принята к публикации).

[53] Разборов А.Г., Серов B.C. О спектре оператора Шредингера с потенциалом Като // Дифф. уравн. (работа принята к публикации).