Асимптотики собственных элементов одномерного оператора Шредингера с потенциалом, локализованным на множестве малой меры тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Хуснуллин, Ильфат Хамзиевич

• Хуснуллин, Ильфат Хамзиевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Хуснуллин, Ильфат Хамзиевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Возмущенная краевая задача на собственные значения для оператора Шредингера на отрезке

§1. Постановка задачи

§2. Доказательство сходимости собственных элементов

§3. Построение первых членов асимптотик

§4. Построение полных асимптотик

§5. Обоснование асимптотик

Глава 2. Оператор Шредингера на оси с потенциалами, зависящими от двух параметров

§1. Постановка задачи

§2. Предварительные сведения

§3. Сведение оператора "Н^'о к оператору 71е

§4. Случай общего положения

§5. Критический случай для вещественных потенциалов

§6. Критический случай для комплексных потенциалов

Глава 3. Возмущение оператора Хилла потенциалом, зависящим от двух параметров

§1. Постановка задачи

§2. Предварительные сведения

§3. Доказательство основных утверждений

§4. Заключительные замечания

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотики собственных элементов одномерного оператора Шредингера с потенциалом, локализованным на множестве малой меры»

Введение

Многие задачи, с которыми сталкиваются сегодня во многих областях науки, в том числе при исследовании физических, химических, биологических процессов, имеют ряд существенных особенностей, которые не позволяют получить точные аналитические решения. Если даже точное решение некоторой задачи явно найден, оно может оказаться бесполезным для математической и физической интерпретаций или численных расчетов. Для решения подобных задач вынуждены пользоваться различного рода приближениями, или численными методами, или комбинацией тех и других. Среди приближенных методов основными являются методы возмущений по большим или малыми значениями параметра [4], [26]. Уравнения с малыми параметрами называются возмущенными по названию метода возмущений, применяемого для их решения. Теория возмущений была создана Рэлеем и Шрёдингером. Рэлей дал формулу для вычислений собственных частот и мод колебаний системы, мало отличающейся от более простой системы, которая допускает полное описание частот и мод колебаний [68]. С математической точки зрения этот метод эквивалентен приближенному решению задачи на собственные значения для линейного оператора, мало отличающегося от более простого оператора, для которого эта задача полностью решена. Шрёдингер развил аналогичный метод для задачи на собственные значения, возникающих в квантовой механике [71], [72].

В случаях, которые называются регулярными или регулярно возмущенными, решение возмущенной задачи равномерно переходит к решению невозмущеиной задачи при стремление малого параметра к нулю. На практике, даже для регулярно возмущенных задач актуален вопрос обоснования полученных приближенных решений, оценке погрешности

такого приближения. Однако не все задачи возникающие в различных областях науки и техники являются регулярными. Есть большой класс задач, для которых равномерный переход возмущенной задачи к предельной (невозмущепной) задаче оказывается певозмол-шым. Такие задачи называются сингулярно возмущенными или сингулярными. Для таких задач характерна быстрое изменение решения в некоторых узких областях - пограничных и переходных слоях.

Значительный вклад в исследовании сингулярно возмущенных краевых задач внесли В. М. Бабич, Н. С. Бахвалов, Д. И. Борисов, В. Ф. Бутузов, В. С. Буслаев, М. И. Вишик, Р. Р. Гадылынин, Ю. Д. Голова-тый, JI. А. Дмитриева, В. А. Желудев, В. В. Жиков, А. М. Ильин, Л. А. Калякин, О. А. Ладыженская, Е. Ф. Леликова, В. Г. Мазья, В. П. Мас-лов, С. Н. Набоко, С. А. Назаров, А. X. Найфэ, В. Ю. Новокшенов, О.

A. Олейник, А. А. Пожарский, Б. А. Пламеневский, Ф. С. Рофе-Бекетов, Э. Санчес-Паленсия, Т. С. Соболева, А. Н. Тихонов, Н. Е. Фирсова, М.

B. Федорюк, Г. А. Чечкин, А. С. Шамаев, S. Albeverio, F. Beiitosela, R. Blankenbecler, R. M. Cavalcanti, R. Carmona, M. Christ, F. Delyon, P. Exner, F. Gesztesy, M. L. Goldberger, D. Gomez, R. Hempel, D. Hundertmark, I. McGillivary, A. Kiselev, W. Kirsh, M. Klaus, S. Kotani, Y. Last, C. Leal, Sh. Ozawa, C. Remling, J. Sanchez-Hubert, B. Simon, T. Spencer, G. Stolz, P. Stollmann, J. Walter и многие другие.

В работе [12] изучалась краевая задача на собственные значения вида

с условиями Дирихле на концах отрезка, где е > 0 - малый параметр, О < ро < р(х) < pi, ро,р\ — const, - положительная функция при ^ 1 и х(0 = 0 при |£| > 1, т € R, A(e) - спектральный пара-

ми G (а, 6),

метр. Построены асимптотические разложения для собственных значений и собственных функций по степеням малого параметра и даны оценки остаточных членов. В работах [27], [28], [67] было исследовано поведение собственных элементов такой задачи при е —> 0. В работе [29] изучено поведение собственных элементов при е —> 0 краевой задачи на отрезке

с граничными условиями Дирихле, где a,j G (а, 6), 0 < О ^ 1 ПРИ ICI < 1 и = 0 пРи ICI > 1, Р(х) > Ро,р{х) > р0, ро,ро = const > 0,

rrij G M. В [45] рассматривалось задача на оси, когда р{х) = 1, р = 0, rrij — 2, функции Vj G Li(R), a; G M. В статье [11] изучалось поведение при е —>■ 0 собственных значений задачи

с граничными условиями Дирихле на левом конце отрезка и Неймана на правом. Здесь k<i,p > 0 и ki, к2 ^ 0 в [а, b], q(£) > 0 при |£| < 1 и q(£) = 0 при > 1.

Согласно работе [10, Глава I], точечным спектром сгр(-) назовем множество собственных значений, непрерывный спектр сгс(-) определим в терминах характеристических последовательностей. Следуя [44, Глава III] дискретным спектром назовем множество изолированных собственных значений конечной кратности.

Исследование дискретного спектра стационарного оператора Шредин-гер, возмущенного малым потенциалом, на оси является классической задачей математической физики. Исследованию таких задач посвящено достаточно много работ.

d2 , , , d2 d

В книге[20, Глава III, § 22] было показано, что в случае малой прямоугольной потенциальной ямы у оператора Шрёдингера на оси существует единственное собственное значение, и построена асимптотика этого собственного значения по малому параметру.

Всюду далее будем использовать следующие обозначения:

со

оо

(9) ■■= J 9{t) dt, (д)т := J tmg(t) dt.

—оо

В [73], [63], [47] исследовался оператор

d2

dx2

+ sw{x), хеш, о<£<1,

(0.1)

где IV(х) - интегрируемая, достаточно быстро убывающая на бесконечности вещественная функция. Методом Бирмана-Швингера было доказано, что, если

{Ж) > 0,

то собственных значений оператора (0.1) не существует. А, если

<И0 < 0, (0.2)

то существует единственное собственное значение А5 и оно имеет асимптотику

Л5 = -52^- (1 + 0(5)), если (\¥) < 0,

и

А = -б4

4

/ оо /

2 \

(1 + OW)

! | dx

у—со \—оо

в критическом случае (У/) = 0.

В [73] и [63] было показано, что если функция \¥(х) удовлетворяет соответственно условиям / \У/(х)\{1-\-х2^х < оо и / \\¥(x)\(l+\x\)dx < ос,

то оператор (0.1) имеет единственное собственное значение если выполнено условие (0.2).

В [47] рассматривался более широкий класс функций \¥(х), для которых /Е |И^(а;)[(1 + х2)ёх = оо. Рассмотрено три случая, когда У/{х) при х —у оо ведет себя как

Статьи [50] и [51] были посвящены изучению спектра оператора — ^ + \¥ на оси, с потенциалом, удовлетворяющем условию < С(1 +

х)~а, а > а в [60], [61] удовлетворяющие условиям |И^(х-)| < Сж-3//4~е и |И^(а?)| < С( 1 + а;)~2/3~е, е > 0 соответственно. В [52] \¥(х) стремилось к нулю и являлось суммой конечного числа слагаемых, каждое из которых имело производную до некоторого порядка.

В [54], [62] рассматривался оператор — ^ + IV на оси, с потенциалом вида \¥{х) = — хп), где ап —)• 0, хп+\/хп —У оо при п —¥ оо.

п __________

В [54] функция \¥{х) е Со°(Е), в [62] IV имел компактный носитель. В работах [58], [77] рассматривался случай, когда потенциал Ш(х,и) — \¥{х—хп{и)), где хп(ш) - вещественные числа. Показано, что оператор

п

12

—-¿¿2 + IV имеет чисто точечный спектр.

В статье [13] рассматривался оператор — ^ Ч-И^ на оси с потенциалом вида \У(х,ш) = Р(ЯХ(^)) описывающий стационарный случайный процесс. Здесь - невырожденный стационарный марковский диффузионный процесс [21] на гладком компактном многообразии К, Р : К —У К - гладкая функция из некоторого класса. Было показано, что данный оператор имеет чисто точечный спектр. Авторами статьи [64] был рассмотрен потенциал вида \¥(х,со) — а{х]Р{С^х{и))), где а(х) —> 0 при —)• оо, а в [49] был рассмотрен более общий случай с потенциалом \¥{х, и), х £ К.

Нелинейная зависимость потенциала от малого параметра рассматривался в [46].

Результаты полученные в работах [20], [63], [73], [46] были обобщены в [6]. В этой работе был рассмотрен оператор

сР

-—¿ + еС£, х е К, 0 < е « 1,

где С£ - достаточно произвольный линейный локализованный оператор из И7!(М) в ¿2(К). Получены необходимые и достаточные условия возникновения собственного значения из края непрерывного спектра, а в случае возникновения построена его асимптотика.

.о

В [23] был рассмотрен оператор — ^ + на оси, с потенциалом убывающем чуть медленнее кулоновского. Построены примеры потенциалов \¥(х), таких что у соответствующего оператора Шредингера с убывающем потенциалом где С > 0 - постоянная связи, точечный спектр плотно заполняет отрезок [О, С].

В работах [24] и [25] рассматривался одномерный дискретный оператор Шредингера с убывающим потенциалом, а именно изучался точечный спектр, лежащей на непрерывном спектре. Было показано, что при убывании потенциала медленнее кулоновского возможно появление плотного точечного спектра. Изучены возможности появления и отсутствия собственных значений в зависимости от убывания потенциала.

Работы [69], [70], [59], [14], [75], [74], [76] были посвящены изучению спектра оператора — ^на оси, где потенциал \¥(х) имел вид \¥(х) = \¥п(х), если х £ (ап,Ъп) и \¥(х) = 0, если х ^ (ап,Ьп), ап,Ьп —> оо, а в [66] был рассмотрен дискретный оператор Шредингера.

В задачах квантовой физики твердого тела оператор — ^ + д + х Е Е, где IV - вещественная функция, д(х) - вещественная периоди-

ческая функция, есть оператор энергии электрона в одномерной модели кристалла (см., например [19]). Уравнение ^ + д + И^ ф = Еф возникает как модель для блоховского электрона в кристалле, помещенном во внешнее электрическое поле. Функция д{х) задает кристаллическую решетку и соответствует эффективному внутреннему полую в кристалле. Функция У/{х) описывает внешнее однородное электрическое поле или поле примесей. Оператор Хилла

<°-3>

отвечает чистому кристаллу без примесей. Кристалл идеализированный и бесконечный. Потенциал д(х) обладает трансляционной симметрией, то есть задан всем М и является периодической. Свойство трансляционной симметрии вообще говоря не выполняется для реальных кристаллов. Всегда существует как минимум один дефект - поверхность кристалла.

Для задачи о движении электронов одномерном периодическом поле известна модель Кронинга - Пенни [65], в которой для упрощения, периодический потенциал д(х) приближается периодической последовательностью прямоугольных потенциальных ям, разделенных прямоугольными потенциальными барьерами.

Оператор — ^ + д + \¥ стал объектом интенсивного исследования в физической литературе с начала 50-х годов.

В [35] был рассмотрен оператор — ^ + ^ + ^ когда д(а;)-1-периодичес-кая вещественная функция. Возмущение У/{х) - вещественная непериодическая функция. Показано, что при условии / |И/(а;)|(1 + \х\)с1х < оо

ж

в каждой из лакун непрерывного спектра оператора — ^ + Я + ^ появляется не более конечного числа собственных значений, причем достаточно далекие лакуны содержат не более двух собственных значений

каждая. Так же показано, что собственные значения не могут налагаться на непрерывный спектр и концы лакун не могут оказаться собственными значениями.

В [15], [16] рассматривался оператор — ^ + + в случае, когда д(х) -1-периодическая кусочно-непрерывная вещественная функция, \¥{х) -кусочно непрерывная вещественная функция, удовлетворяющий условию

/ \]¥(х)\(1 -\-х2)йх < оо. Было показано, что при определенных условиях

к

возмущение может внести не более конечного числа собственных значений в каждую лакуну. Так же показано, что при сколь угодно слабых, но знакопостоянных возмущниях в каждой лакуне обязательно появиться хотя бы одно значение, а в достаточно далеких лакунах точно одно.

В [40], [41] рассматривался оператор — ^в случае, когда -1-периодическая, \¥(х) —> 0 при |а;| оо. В [40] был рассмотрен частный случай, когда \¥(х) экспоненциально убывает на бесконечности. Было доказано, что в случае безотражательного примесного потенциала IV с конечным вторым моментом в далеких лакунах спектра нет собственных значений возмущенного оператора — ^ + д + IV. В работах [37], [38], [39], [42] были рассмотрены прямые и обратные задачи рассеяния для оператора Хилла (0.3) (то есть, по потенциалу решетки д(х) и по данным рассеяния восстанавливается потенциал возмущения \¥(х)). Получены необходимые и достаточные условия для существования единственного потенциала IV с данными характеристиками рассеяния. Так же были получены тождества для собственных функций.

В [2], [3] рассматривался оператор — ^ + <? + в случае, когда д(х) -а-периодическая гладкая вещественная функция, IV — IV(ех), где IV(х) - вещественная гладкая функция, 0 < е < 1.

В [57] был рассмотрен случай оператора — у^ + д + IV, когда д(х) -

вещественная а-периодическая функция. Возмущающий потенциал умножается на малую константу связи W(x) = 5v(x), 5 > О, v{x) - вещественная функция. Было установлено, что при достаточно малых значениях константы связи 5 в каждой лакуне содержится не более двух собственных значений, и приведены необходимые и достаточные условия, точно определяющие количество собственных значений в заданной лакуне.

В [1] аналогичные результаты были получены для оператора — + q + еС£, где 0 < £ <С 1, р{х) > 0 - 1-периодическая кусочно-непрерывно дифференцируемая вещественная функция, q{x) - 1-периодическая кусочно-непрерывная вещественная функция, а С£ - достаточно произвольный линейный локализованный оператор из W| (К) в Z^Q^)- Показано, что непрерывный спектр этого оператора совпадает со спектром оператора —^р-^ + Я- Установлено, что точечный спектр состоит из не более, чем счётного числа собственных значений конечной кратности, которые не имеют конечных точек накоплений. Установлено, что при е —»• 0 собственные значения возмущённого оператора стремятся к бесконечности либо сходятся к краям невырожденных лакун в непрерывном спектре. Доказано, что в окрестности края заданной невырожденной лакуны существует не более одного собственного значения, приведён критерий существования.

/2

Работы [48], [53], [56] были посвящены изучению оператора — ^ + <? — F, в случае негладкого потенциала q{x). В [56] рассматривался случай линейного потенциала F(x) = F\x, F\ > 0 и периодического потенциала q(x) вида

+ OG

q(x) = У д'(х~п), V >

77,—— ОО

Доказано, что в этом случае спектр оператора —-¿пл + Я ~ F не содер-

жит абсолютно непрерывной компоненты. В [48] был рассмотрен опера->2

тор — + Q — F с линейным потенциалом F = F\x и периодическим потенциалом вида

+оо

q(x) = V ]Г S{x~n), V >0.

r?=—oo

Показано, что природа спектра оператора + Q — F существенно зависит от значения параметра 7Г2/F\. Статья [53] была посвящена изучению оператора — + q — F с линейным потенциалом F и случайного сингулярного потенциала q, заданного в виде

+оо

Ч(х) = X] W(z-n),

п=—оо

где коэффициенты Vn случайны, одинаково распределены, и их среднее значение равно нулю. Описана структура спектра данного оператора и установлена ее зависимость от параметров модели.

,2

В работах [30]—[32], [34] рассматривался оператор —¿¿i + q — F с линейным потенциалом Fix) — F\x, F\ > 0, а в [33] рассмотрен случай с произвольным потенциалом F(x). Потенциал q(x) периодическая и вещественная функция. Получены условия на потенциалы F(x) и q(x), при которых спектр оператора — ^ + q — F абсолютно непрерывен и заполняет всю вещественную ось.

В диссертации исследуется поведения собственных значений одномерных дифференциальных операторов второго порядка, возмущенных потенциалами, зависящими от двух малых параметров. Один из этих параметров описывает длину носителя потенциала, а обратная величина второго соответствует максимальному значению модуля потенциала.

Далее (для краткости изложения) такой потенциал будем называть растущим потенциалом со сжимающимся носителем.

В первой главе диссертации рассматривается краевая задача Дирихле для дифференциального оператора второго порядка на отрезке, возмущенного растущим потенциалом со сжимающимся носителем.

Структура первой главы следующая. Во первом параграфе сформулированы основные результаты и вспомогательные утверждения. Во втором параграфе приведено доказательство сходимости собственных значений. В третьем параграфе, методом согласования асимптотический разложений [17], строятся первые члены асимптотики собственного значения и соответствующей собственной функции возмущенного оператора, а четвертом параграфе строятся их полные асимптотические разложения. В заключительном, пятом параграфе приведено обоснование асимптотики собственного значения возмущенного оператора.

Постановка задачи следующая. Рассмотрим симметричные дифференциальные выражения

Я Л &

Щ,£ + (^г^) , * е (0,1),

Здесь V е С^(Е),р(х),д(х) € С°°[0,1 ],р(х),д(х) > 0 на [0,1},х0 € (0,1), р(хо) = 1,0 < /1,£ < 1, предполагается существование числа 6 > 0 такого, что

Е[ГХ = о(е5). (0.4)

о

Обозначим через и И^д операторы, соответствующие дифференци-

о

альным выражениям Нрл и соответственно, определенных на функциях из ТУ22(0,1) и обращающихся в нуль на концах отрезка [0,1]. Хорошо известно, что такие операторы самосопряжены и ограничены снизу, а собственные значения (при любых фиксированных ¡л, е) являются простыми

(см., например, [5, Глава 5, §5.2], [36, Глава 4, §3]).

Изучается структура асимптотики собственного значения возмущенного оператора в случае, когда выполнено условие (0.4), а также сходимость собственных элементов оператора к собственным эле-

Результатом первой главы является доказательство следующих теорем.

Теорема 0.1. Пусть До - собственное значение оператора Т~СРЛ и выполнено условие (0.5). Тогда к нему сходится единственное и, к тому же, простое собственное значение оператора И,а для соответствующей собственной функции у^'е имеет сходимость по норме в 1/2(0,1) к собственной функции уо, соответствующему собственному значению

Теорема 0.2. Собственное значение Ам'£ оператора И'^, сходящийся к

о

собственному значению Ао оператора при е —> 0 имеет асиптоти-ку:

(0.5)

о

А0.

00

(0.6)

где

А1Д = У1(Х0) (V).

(0.7)

Если

УоЫ (V) = О,

(0.8)

то

Ам = 0.

(0.9)

Если

(V) = О, (0.10)

то

><2л = 2уо(хМо(хо){У)1. (0.11)

Если

УъЫ = о, (0.12)

то

Хг+1,1 -0, (0.13)

Азд=ЫЫ)2(^>2. (0.14)

Следствие 1. Если имеет место равенство (0.10), то

= А0 + е2^-1Х2,1 + О (£3(1~2) ,

где Лгд определяется равенством (0.11). Если имеет место равенство (0.12), то

= А0 + £+ О (еV2),

где Азд определяется равенством (0.14).

Так же построены асимптотики собственных функций оператора "Нр^-Во второй главе диссертации рассматривается возмущение оператора Шредингера на оси, возмущенного суммой растущего потенциала со сжимающимся носителем и малого локализованного потенциала. Получены достаточные условия возникновения собственного значения из края непрерывного спектра. В случаи возникновения, построена его асимптотика.

Структура второй главы следующая. Во втором параграфе приведены предварительные сведения. В третьем параграфе доказываются вспомогательные утверждения, с помощью которых возмущенный оператор сводится к оператору рассмотренному в [6]. В четвертом параграфе доказывается теорема для общего случая. В пятом параграфе рассматривается критический случай (сумма интегралов от потенциалов но всей оси равен нулю) для вещественных потенциалов. В шестом параграфе доказываются теоремы для комплексных потенциалов в критических случаях.

Постановка задачи следующая. Обозначим через Hiß и Hiq операторы в L2(M) с областями определения Wf (R):

d2

Hiß :— — -j^, x € R,

+ Vj + hW(x) j , 0 < /¿, h С 1,

где Xj - произвольные различные числа, Vi (ж), ... ,Vn (х), W(x) - ком-плекснозначные функции из Cq°(R), причем, не менее двух из этих функций отличны от нуля. Оператор Hiß в Ь2{R) с областью определения W2 (R) самосопряжён, его дискретный спектр пуст, непрерывный спектр совпадает с неотрицательной вещественной полуосью (см., например, [44]). Так как функции Vj и W - финитные, то непрерывный спектр оператора TiiQ совпадает с неотрицательной вещественной полуосью (см., например, [44, Глава IV]) (для случая комплекснозначных функций см., например, [1]).

Изучается эффект возникновения собственных значений возмущенного оператора Hi'q из края непрерывного спектра, в предположении су-

ществования числа 7 > 0 такого, что

1Г1Н112 = о{к7), /г —0. (0.15)

Обозначим

п

"V,ж := Е + '

Результатом второй главы является доказательство следующих теорем.

Теорема 0.3. Пусть выполнено условие (0.15). Тогда, если Яе XVу/ > 0, то оператор не имеет собственных значений, сходящихся к нулю.

Если Ые ху,IV < 0; то оператор имеет единственное и, к тому же, простое собственных значение сходящееся к нулю. Оно имеет асимптотику

А*" = - (/Л)2 1 + 0<^-1н)). (0.16)

В критическом случае, то есть когда

= 0

равенство (0.16) становиться неконструктивным. Поэтому следующее утверждение сформулировано для этого случая (для вещественных функций ад,... \¥{х)).

Теорема 0.4. Пусть выполнено условие (0.15) и (И^) = (1/,-) = 0, у — 1... п. Тогда оператор Т^'д имеет единственное и, к тому же, простое собственное значение Ам,/\ сходящееся к нулю. Оно имеет асимптотику

( -1М4 ( 00 ( х \2 \2

дМ _ I I \у(1)си\ <1х\ (1 + С?(Л + /Х"1Л)). (0.17)

у-оо \—сю / у

Так же рассмотрены и другие варианты критического случая как для вещественных потенциалов У[(х),... ,Уп{х), так и для потенциалов,

вещественные и мнимые части которых тождественно не равны нулю.

В третей главе диссертации рассматривается возмущение оператора Хилла (0.3), возмущенного растущим потенциалом со сжимающимся носителем. Получены достаточные условия возникновения собственных значений из краев лакун непрерывного спектра. В случае, когда собственные значения возникают, построены их асимптотики. Приведены также достаточные условия, при которых собственные значения не возникают.

Структура третей главы следующая. Во втором параграфе сформулированы предварительные сведения. В третьем параграфе будут доказаны основные теоремы. В заключительном, четвертом параграфе приводятся утверждения о качественной структуре спектра возмущенного оператора.

Постановка задачи следующая. Обозначим через самосопряженный оператор в 1/2 (М) с областью определения Ж22(М):

оу

4™ +

где р = р{х) > 0 - 1-периодическая кусочно-непрерывно дифференцируемая вещественная функция, а д = д(х) - 1-иериодическая кусочно-непрерывная вещественная функция. Соответствующий возмущенный оператор в 1/2(®0 с областью определения И^ обозначим через Нр^'

^ Пр,я ~ (^р) ' 0 < Ъ 5 «

где У(х) - комплекснозначная функция из Со°(К), а малые параметры 6 и /г удовлетворяют условию

5~1Ь}/2 = о( 1), К -> 0. (0.18)

Не ограничивая общности, всюду далее в главе предпологается, что ^(0) = 1, xQ е [0,1).

Известно [55, гл. 2,5], что спектр а{1~Срл) оператора 7iPyq совпадает с его непрерывным спектром <Jc^Hp,q) и имеет зонную структуру:

оо

°(Нр,Я) = О-с{Пр,я) - (J[/4,/Vfil»

п=0

где величины

l4 < МГ < VÏ < М2 < f4 < 14 < /4 < • • •

являются простыми собственными значениями краевых задач

= ^пФп, х ^ (0,1),

Фп(0) + (-irvi(i) = 0, ^(0) + = 0.

Обозначим через 9i(x, А) - решения уравнения

('Hp,q - A) v = 0, ï6l,

удовлетворяющие начальным условиям

(0, А) = 1, ^г(0,А) = 0, 02(О,А) = О, ^(0,Л) = 1.

Положим £>(А) := 6,i(l, Л) + ^(1,А). Точкой сверху обозначим дифференцирование по А. В [1] было показано, что, если ц^ - один из краев невырожденной лакуны (т.е. ¡л~ Ф ¡л+) в спектре оператора то D(^) ф 0.

Результатом третей главы является доказательство следующих теорем.

Теорема 0.5. Пусть ц^ ~ один из краев невырожденной лакуны в спектре оператора T-tPjq и выполнено условие (0.18). Тогда, если

±Re (V) < 0,

то оператор Н5^ не имеет собственного значения, сходящегося к при h —> 0. Если же

±Re {V> > 0,

то оператор имеет единственное, к тому же, простое собственное значение , сходящееся к /л^ при h —» 07 и оно имеет асимптотику

= т {№Ы)г (V))2 (1 + 0 (h5~2)). (0.19)

В критических случаях Фп{хо) = 0 и (V) = 0 равенство (0.19) становится неконструктивным. Эти случаи рассмотрены отдельно.

Теорема 0.6. Пусть /л^г - один из краев некоторой невырожденной лакуны в спектре оператора выполнено условие (0.18), V - веще-ственнозначная функция и (V) = 0. Тогда, если

(V>! < о,

то оператор У,5^ не имеет собственного значения, сходящегося к /¿^ при h —ь 0. Если же

(v)г > о,

то оператор Tipq имеет единственное, к тому же, простое собственное значение Х^, сходящееся к при h —>■ 0; и оно имеет асимптотику

Kt = £ т (ф?Лхо)^Ы (Vh)2 (1 + о (hS~2)).

Теорема 0.7. Пусть ц^ - один из краев невырожденной лакуны в спектре оператора T-LPjq и о) = 0. Тогда, если

±Re (V}2 < О,

то оператор l-i^hq не имеет собственных значений, сходящихся к при h-> 0.

Если же

±Re (V)2 > О,

то оператор имеет единственное и, к тому же, простое собственное значение Асходящееся к ц^ при h —» 0, и оно имеет асимптотику

Результаты первой главы диссертации опубликованы в [8] и [43]. В совместной работе [8] Гадылынину P.P. принадлежит постановка задачи и оценка достоверности полученных результатов.

Результаты второй главы диссертации опубликованы в статье [7]. В данной совместной работе Гадылынину P.P. принадлежит постановка задачи, литературный обзор, а так же предложение 1.

Результаты третей главы диссертации опубликованы в [9]. В этой совместной работе Гадылынину P.P. принадлежит постановка задачи и литературный обзор.

Автор выражает самую искреннюю благодарность своему научному руководителю д. ф.-м.н., профессору Гадылынину Рустему Рашитовичу за постановку задач, внимание и помощь на протяжении всей работы над диссертацией.

ГЛАВА 1

ВОЗМУЩЕННАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА НА ОТРЕЗКЕ

1. Постановка задачи

Рассмотрим симметричные дифференциальные выражения

о d d , _.

Здесь V G Co°(R), р(х), q(x) е С°°[0,1], р(х), q(x) > 0 на [0,1],ж0 <= (0,1), р(:го) = l,0</i,e<Cl, предполагается существование числа $ > 0 такого, что

ец-1 = о(£5). (1.2)

о

Обозначим через Hv,q и операторы, соответствующие дифференци-

о

альным выражениям Hvq и определенные на функциях из VK2 (0,1), обращающихся в нуль на концах отрезка [0,1]. Хорошо известно, что такие операторы самосопряжены и ограничены снизу.

В этой главе исследуется поведение собственных значений оператора при е —у 0. Основным содержанием главы является доказательство

сходимости собственных значений и собственных функций оператора "Н^

о

к собственным значениям и собственным функциям оператора Tip,q (теорема 0.1) и построение полных асимптотик собственных значений и собственных функций оператора (теорема 0.2).

Структура главы следующая. В следующем параграфе будут доказаны теорема 0.1. Остальные параграфы главы посвящены доказательству теоремы 0.2. В третьем параграфе методом согласования асимптотический разложений строятся первые члены асимптотики собственных элементов возмущенного оператора В четвертом параграфе строятся их полные асимптотические разложения. В заключительном пятом параграфе приведено обоснование построенной асимптотики собственного значения, что заканчивает доказательство теоремы 0.2.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хуснуллин, Ильфат Хамзиевич, 2015 год

Литература

[1] Борисов Д.И., Гадылыиин P.P. О спектре периодического оператора с малым локализованным возмущением // Известия АН. Сер. матем.

- 2008. - Т. 72, No 4. - С. 37-66.

[2] Буслаев B.C. Адиабатическое возмущение периодического потенциала // Теор. и матем. физика. - 1984. - Т. 58, No 2. - С. 233-243.

[3] Буслаев B.C., Дмитриева Л.А. Адиабатическое возмущение периодического потенциала. II // Теор. и матем. физика. - 1987. - Т. 73, No 3. - С. 430-442.

[4] Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967.

[5] Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2004.

[6] Гадылыиин P.P. О локальных возмущениях оператора Шрёдингера на оси // Теор. и матем. физика. - 2002. - Т. 132, No 1. - С. 97-104.

[7] Гадылыиин P.P., Хуснуллин И.Х. Оператор Шредингера на оси с потенциалами, зависящими от двух параметров // Алгебра и анализ.

- 2010. - Т. 22, No 6. - С. 50-66.

[8] Гадылыиин P.P., Хуснуллин И.Х. Возмущение оператора Шредингера узким потенциалом // Уфимский математический журнал. - 2011.

- Т. 3, No 3. - С. 55-66.

[9] Гадыльшин P.P., Хуснуллин И.Х. Возмущение периодического оператора узким потенциалом // Теор. и матем. физика. - 2012. - Т. 173, No 1. - С. 1438-1444.

[10] Глазман И.М. Прямые методы спектрального качественного анализа сингулярных дифференциальных операторов. М.: Физматлит, 1963. ; англ. пер.: I. М. Glazman, Direct methods of qualitative spectral analysis of singular differential operators, Daniel Davey & Co., Inc., New York, 1966.

[11] Головатый Ю.Д. О собственных часотах и собственных колебаниях упругого стержня с присоединеной массой // УМН. - 1988. - Т. 43, No. 4. - С. 187-188.

[12] Головатый Ю.Д., Назаров С.А., Олейник O.A., Соболева Т.С. О собственных колебаниях струны с присоединеной массой // Сиб.мат.журн. - 1988. - Т. 29, No. 5. - С. 71-91.

[13] Гольдшейд И.Я., Молчанов С.А., Пастур JI.A. Случайный одномерный оператор Шредингера имеет чисто точечный спектр // Функц. анализ и его прил. - 1977. - Т. 11, No. 1. - С. 1-10.

[14] Гордон А.Я., Молчанов С.А., Цагани Б. Спектральная теория одномерных операторов Шрёдингера с сильно флуктуирующими потенциалами // Функц. анализ и его прил. - 1991. - Т. 25, No. 3. -С. 89-92.

[15] Желудев В.А. О собственных значениях возмущённого оператора Шрёдингера с периодическим потенциалом // Проблемы математической физики. - 1967. - Вып. 2. - С. 108-123.

[16] Желудев В.А. О возмущении спектра одномерного самосопряжённого оператора Шрёдингера с периодическим потенциалом // Проблемы математической физики. - 1968. - Вып. 3. - С. 31-48.

[17] Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

[18] Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

[19] Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978.

[20] Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.:Наука, 1974.

[21] Маккин Г. Стохастические интегралы. М.:Мир, 1972.

[22] Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.:Наука, 1976.

[23] Набоко С.Н. О плотном точечном спектре операторов Шредингера и Дирака // Теор. и матем. физика. - 1986. - Т. 68, N0 1.-0. 18-28.

[24] Набоко С.Н., Яковлев С.И. О точечном спектре дискретного оператора Шредингера // Функц. анализ и его прил. - 1992. - Т. 26, N0 2.

- С. 85-88.

[25] Набоко С.Н., Яковлев С.И. Дискретный оператор Шредингера. Точечный спектр, лежащей на неперывном // Алгебра и анализ. - 1992.

- Т. 4, N0 3. - С. 183-195.

[26] Найфэ А.Х. Введение в методы возмущений. М.:Мир, 1984.

[27] Олейник O.A. О собственных колебаниях тел с концентрированными массами. В кн. Современные проблемы прикладной математики и математической физики. М.: Наука, 1988. С. 101-128.

[28] Олейник O.A. О частотах собственных колебаний тел с концентрированными массами. В кн. Функциональные и численные методы математической физики. Киев: Наукова думка, 1988. С. 165-171.

[29] Олейник O.A., Соболева Т.С. О собственных колебаниях неоднородной струны с конечным числом присоединенных масс // УМН. - 1988. - Т. 43, No. 4. - С. 187-188.

[30] Пожарский A.A. Кристалл с сингулярным потенциалом в однородном электрическом поле // Теор. и матем. физика. - 2000. - Т. 123, No 1. - С. 132-149.

[31] Пожарский A.A. Об операторах тина Ванье - Штарка с сингулярными потенциалами // Алгебра и анализ. - 2002. - Т. 14, No 1. - С. 158-193.

[32] Пожарский A.A. О природе спектра оператора Штарка - Ванье // Алгебра и анализ. - 2004. - Т. 16, No 3. - С. 171-200.

[33] Пожарский A.A. Полукристалл с сингулярным потенциалом в ускоряющем электрическом поле // Теор. и матем. физика. - 2006. -Т. 146, No 3. - С. 410-428.

[34] Пожарский A.A. Об абсолютно неперывном спектре операторов типа Штарка // Алгебра и анализ. - 2008. - Т. 20, No 3. - С. 197-222.

[35] Рофе-Бекетов Ф.С. Признак конечности числа дискретных уровней, вносимых в лакуны непрерывного спектра возмущениями периодического потенциала // ДАН СССР. - 1964,- Т. 156, N0 3. - С. 515-518.

[36] Тихонов А.Н. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980.

[37] Фирсова Н. Е. Обратная задача рассеяния для возмущенного оператора Хилла // Матем. заметки. - 1975. - Т. 18, N0 6. - С. 831-843.

[38] Фирсова Н. Е. Римманова поверхность квазиимпульса и теоря рассеяния для возмущенного оператора Хилла // Зап. науч. сем. ЛОМИ.

- 1975. - Т. 51. - С. 183-196.

[39] Фирсова Н. Е. О некоторых спектральных тождествах для одномерного оператора Хилла // Теор. и матем. физика. - 1978. - Т. 37, N0 2.

- С. 281-288.

[40] Фирсова Н. Е. О резонансах возмущенного опреатора Хилла с экспоненциально убывающим примесным потенциалом // Матем. заметки.

- 1984. - Т. 36, N0 5. - С. 711-724.

[41] Фирсова Н. Е. О формуле Левинсона для возмущенного оператора Хилла // Теор. и матем. физика. - 1985. - Т. 62, N0 2. - С. 196-209.

[42] Фирсова Н. Е. Прямая и обратная задача рассеяния для одномерного возмущенного оператора Хилла // Матем. сб. - 1986. - Т. 130(172), N0 3(7). - С. 349-385.

[43] Хуснуллин И.Х. Возмущенная краевая задача на собственные значения для оператора Шредингера на отрезке //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2010. - Т. 50, N0 4. - С. 679-698.

[44] Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир. 1972.

[45] Albeverio S., Gesztesy F., Hoegh-Krohn, Kirsch W. On point interactions in one dimension // J. Operator theory. - 1984. - V. 12. - P. 101-126.

[46] Bentosela F., Cavalcanti R. M., Exner P., Zagrebnov V. A. Anomalous electron trapping by localized magnetic fields // J. Phys. A. - 1999. -V. 32, No. 16. - P. 3029-3039.

[47] Blankenbecler R., Goldberger M.L., Simon B. The bound states of weakly coupled long-range one-dimensional quantum Hamiltonians // Ann. Phys. - 1977. - V. 108. - P. 69-78.

[48] Buslaev V.S. Kronig - Penny electon in a homogeneous electric field // Differential operators and spectral theoy. Amer. Math. Soc. Transl. -1999. - V. 189, Ser. 2. - P. 45-57.

[49] Carmona R. One-dimensional Schrodinger operators with random or deterministic potentials: new spectral types // J. Funct. Anal. - 1983. -V. 51. - P. 229-258.

[50] Christ M., Kiselev A., Remling Ch. The absolutely continuous spectrum of one-dimensional Schrodinger operators with decaying potentials // Math. Res. Lett. - 1997. - V. 4. - P. 719-723.

[51] Christ M., Kiselev A. Absolutely Continuous Spectrum for One-Dimensional Schrodinger Operators with Slowly Decaying Potentials: Some Optimal Results // J. Amer. Math. Soc. - 1998. - V. 11, No. 4. -P. 771-797.

[52] Christ M., Kiselev A. WKB and spectral analysis of one-dimensional Schrodinger operators with slowly varying potentials // Commun. Math. Phys. - 2001. - V. 218. - P. 245-262.

[53] Delyon F., Simon B., Souillard B. From power pure point to continuous spectrum in disordered system // Ann. Inst. H.Poincare Phys. Theor. -1985. - V. 42, No. 3. - P. 283-309.

[54] Denisov S., Kiselev A. Spectral properties of Schrodinger operators with decaying potentials // Proc. Symp. Pure Math. - 2007. - V. 76, No. 2. -P. 565-589.

[55] Eastham M.S.P. The spectral theory of periodic differential equations. Texts in Mathematics, Scottish Academic Press, Edinburgh, 1973.

[56] Exner P. The absence of the absolutely continuous spectrum for 5' Wannier - Stark ladders // J. Math. Phys. - 1995. - V. 36. - P. 4561-4570.

[57] Gesztesy F., Simon B. A shot proof of Zheludev's theorem // Trans. Amer. Math. Soc. - 1993. - V. 335, No 1. - P. 329-340.

[58] Kirsch W., Kotani S., Simon B. Absence of absolutely continuous spectrum for some one dimensional random but deterministic Schrodinger operators // Ann. Inst. Henri Poincare. - 1985. - V. 42, No. 4. - P. 383-406.

[59] Kirsch W., Molchanov S.A., Pastur L.A. One dimensional Schrodinger operators with high potential barriers // Operator Theory: Advances and Applications. - 1992. - V. 57. - P. 163-170.

[60] Kiselev A. Absolutely continuous spectrum of one-dimensional Schrodinger operators and Jacobi matrices with slowly decreasing potentials // Commun. Math. Phys. - 1996. - V. 179, No. 2. - P. 377-400.

[61] Kiselev A. Preservation of the absolutely continuous spectrum of Schrodinger equation under perturbations by slowly decreasing potentials and a.e. convergence of integral operators // arXiv:math/9610216vl [math.SP] 1 Oct 1996.

[62] Kiselev A., Last Y., Simon B. Modified Priifer and EFGP transforms and the spectral analysis of one-dimensional Schrodinger operators // Commun. Math. Phys. - 1997. - V. 194. - P. 1-45.

[63] Klaus M. On the bound state of Schrodinger operators in one dimension // Ann. Phys. - 1977. - V. 108. - P. 288-300.

[64] Kotani S., Ushiroya N. One-dimensional Schrodinger operators with random decaying potentials // Commun. Math. Phys. - 1988. - V. 115.

- P. 247-266.

[65] Kronig R. de L., Penny W.G. Quantum Mechanics of Electrons in Crystal Lattices // Proceedings of the Royal Society of London. Series A. - 1931.

- V. 130, No. 814. - P. 499-513.

[66] Krutikov D., Remling C. Schrodinger operators with sparse potentials: Asymptotics of the Fourier transform of the spectral measure // Commun. Math. Phys. - 2001. - V. 223, No. 3. - P. 509-532.

[67] Oleinik O.A. Homogenization problems in elasticity. Spectrum of singularly perturbed operators // Non classical continuum mechanics.

- Cambribge university press. - 1987. - P. 188-205.

[68] Rayleigh. The theory of Sound, v. 1. London. 1927.

[69] Remling Ch. A Probabilistic approach to one-dimensional Schrodinger operators with sparse potentials // Commun. Math. Phys. - 1997. -V. 185. - P. 313-323.

[70] Remling Ch. Embedded singular continuous spectrum for one-dimensional Schrodinger operators // Trans. Amer. Math. Soc. - 1999. -V. 351, No. 6. - P. 2479-2497.

[71] Schrodinger E. Quantisierung als Eigenwertproblem (Dritte Mitteilung: Strorungstheorie, mit Anwendung auf den Starkeffekt der Balmerlinien) // Ann.Physik. - 1926. - V. 80. - P. 437-490.

[72] Schrodinger E. Collected papers on wave mechanics. N. Y.-Toronto-London. McGraw-Hill. 1955.

[73] Simon B. The bound state of weakly coupled Schrodinger operators in one and two dimensions // Ann. Phys. - 1976. - V. 97. - P. 279-288.

[74] Simon B., Spencer T. Trace class perturbations and the absence of absolutely continuous spectra // Commun. Math. Phys. - 1989. -V. 125. -P. 113-125.

[75] Simon B. Operators with singular continuous spectrum, VII. Examples with borderline time decay // Commun. Math. Phys. - 1996. - V. 176. -P. 713-722.

[76] Simon B., Stolz G. Operators with singular continuous spectrum, v. sparse potentials // Proc. Amer. Math. Soc. - 1996. - V. 124, No. 7. - P. 2073-2080.

0

[77] Stolz G. Localization for random Schrödinger operators with Poisson potential // Ann. Inst. Henri Poincare. - 1995. - V. 63, No. 3. - P. 297314.