Исследование управляемости аффинных систем с нулевой динамикой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Фетисов, Дмитрий Анатольевич

• Фетисов, Дмитрий Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фетисов, Дмитрий Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ

1. ИССЛЕДОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМОСТИ РЕГУЛЯРНЫХ СИСТЕМ КВАЗИКАНОНИЧЕСКОГО ВИДА С ОДНОМЕРНОЙ НУЛЕВОЙ ДИНАМИКОЙ И СКАЛЯРНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ

1.1. Свойства управляемости и достижимости для систем управления

1.2. Преобразование аффинных систем со скалярным управлением к квазиканоническому виду.

1.3. Терминальная задача для регулярных систем квазиканонического вида со скалярным управлением.

1.4. Поиск функции B(t).

1.5. Первое условие управляемости

1.6. Второе условие управляемости

1.7. Третье условие управляемости

1.8. Теорема сравнения.

1.9. Выводы.

2. ИССЛЕДОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМОСТИ РЕГУЛЯРНЫХ СИСТЕМ КВАЗИКАНОНИЧЕСКОГО ВИДА С ДВУМЕРНОЙ НУЛЕВОЙ ДИНАМИКОЙ И СКАЛЯРНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ

2.1. Поиск функции B(t).

2.2. Условие управляемости.

2.3. Теорема сравнения.

2.4. Выводы.

3. ИССЛЕДОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМОСТИ РЕГУЛЯРНЫХ СИСТЕМ КВАЗИКАНОНИЧЕСКОГО ВИДА С ВЕКТОРНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ.

3.1. Преобразование аффинных систем с векторным управлением к квазиканоническому виду.

3.2. Терминальная задача для регулярных систем квазиканонического вида с векторным управлением.

3.3. Случай р= 1.

3.3.1. Поиск функций Bi(t), .Bm{t).

3.3.2. Условия управляемости

3.4. Случай р = т = 2.

3.4.1. Поиск функций Bi(t), B2{t)

3.4.2. Первая теорема сравнения.

3.4.3. Условие управляемости

3.4.4. Вторая теорема сравнения.

3.5. Случай р = 2, т >

3.5.1. Поиск функций ., Bm(t).

3.5.2. Условия управляемости

3.6. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование управляемости аффинных систем с нулевой динамикой»

Актуальность темы. Значительный раздел современной теории управления составляет проблема управляемости динамических систем. Наиболее полно разработана теория управляемости линейных систем, для которых получены необходимые и достаточные условия управляемости [56, 57]. Известен следующий результат: линейная система управляема тогда и только тогда, когда она эквивалентна системе канонического вида. За последние десятилетия получено много результатов и по исследованию нелинейных систем [1, 3 - 9, 59 - 77].

Значительная часть работ посвящена исследованию локальной управляемости нелинейных систем. Задача локальной управляемости заключается в установлении условий, при которых все траектории системы, выходящие из фиксированной точки, заполняют полную окрестность данной точки, не покидая этой окрестности. Известен принцип линеаризации [4]: аффинная система локально управляема в окрестности точки, в которой управляемо линейное приближение этой системы. Для случаев, когда по линейному приближению системы о локальной управляемости судить нельзя, получены соответствующие условия высших порядков (см., напр., [68]).

В связи с этим представляется актуальным получить для нелинейной системы условия управляемости на всей области ее определения за любой конечный интервал времени.

Одним из направлений анализа управляемости нелинейных систем является подход, заключающийся в преобразовании исходной системы в некоторую эквивалентную систему того или иного специального вида, для которого рассматриваемая задача может быть решена с помощью известных методов. Эта идея использована для исследования управляемости нелинейных систем в работах [5 - 9, 59]. Так, в монографии [9] для неавтономных систем предложен способ приведения системы к треугольной форме, дающий возможность для определенного класса систем получить достаточные условия управляемости.

С исследованием управляемости динамических систем тесно связаны вопросы существования решений терминальных задач. В работах [5 - 8] изложен метод построения алгоритмов терминального управления, основанный на дифференциально-геометрическом подходе к нелинейным системам и концепции обратных задач динамики. В рамках метода рассматриваемая аффинная система преобразуется к эквивалентному регулярному каноническому виду, после чего на основе концепции обратных задач динамики строится программное движение, состоящее из программных управлений и соответствующих им программных траекторий, которые удовлетворяют граничным условиям и уравнениям движения. С использованием этого метода показано, что если аффинная система эквивалентна регулярной системе канонического вида, определенной на всем пространстве состояний, то эта система управляема.

Основное предположение изложенного метода - эквивалентность аффинной системы регулярной системе канонического вида - выполнено далеко не для всех аффинных систем. В связи с этим представляется актуальным расширить класс управляемых систем за счет введения в рассмотрение систем квазиканонического вида [10].

В данной работе рассматриваются аффинные системы, которые в области определения эквивалентны регулярной системе квазиканонического вида, определенной на всем пространстве состояний. Исследование управляемости для преобразованной системы проводится на основе анализа существования решений терминальных задач.

К исследованию аффинных систем с нулевой динамикой приводит решение целого ряда практических задач. Среди них можно выделить задачу моделирования движений различных шагающих механизмов. Значительное место в этих исследованиях занимает разработка алгоритмов управления плоским перемещением двуногих шагающих роботов [12 - 15, 29 - 52, 78].

Одной из задач, рассматриваемых в этих работах, является задача построения периодического движения робота по некоторой поверхности. Главная сложность, возникающая при решении этой задачи, состоит в необходимости анализировать динамические системы большой размерности. Так, для пятизвенного шагающего механизма система уравнений, описывающая движение механизма на каждом шаге, имеет десятый порядок. Представляется актуальным предложить метод решения, дающий приемлемые результаты на основе анализа системы уравнений меньшей размерности.

Один из возможных вариантов такого метода состоит в преобразовании исходной аффинной системы к нормальной форме и сведение исследования преобразованной системы к исследованию системы уравнений нулевой динамики, имеющей второй порядок.

Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование существования решений терминальных задач для регулярных систем квазиканонического вида, разработка методов решения терминальных задач для регулярных систем квазиканонического вида с одномерной и двумерной нулевой динамикой и получение условий управляемости таких систем.

Методы исследования. В работе применяются методы математической теории управления, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и различные численные методы.

Научная новизна. Получены необходимые и достаточные условия существования решений терминальных задач для регулярных систем квазиканонического вида со скалярным и векторным управлением.

Разработан метод решения терминальных задач для регулярных систем квазиканонического вида с одномерной и двумерной нулевой динамикой.

С помощью разработанного метода доказаны достаточные условия управляемости регулярных систем квазиканонического вида с одномерной и двумерной нулевой динамикой.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами математического моделирования.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием математической теории управления, позволяют решать терминальные задачи для аффинных систем, исследовать управляемость регулярных систем квазиканонического вида и разрабатывать алгоритмы управления различными шагающими механизмами.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Необходимые и достаточные условия существования решений терминальных задач для регулярных систем квазиканонического вида со скалярным и векторным управлением.

2. Метод решения терминальных задач для регулярных систем квазиканонического вида с одномерной и двумерной нулевой динамикой.

3. Достаточные условия управляемости регулярных систем квазиканонического вида с одномерной и двумерной нулевой динамикой.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на VIII международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" имени Е.С. Пятницкого, проходившем в 2004 г. в Москве, на 2-й Московской конференции "Декомпозиционные методы в математическом моделировании и информатике", проходившей в 2004 г. в Москве, а также на IX Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" имени Е. С. Пятницкого, проходившем в 2006 г. в Москве.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в трех научных статьях [53 - 55] и трех тезисах докладов на конференциях [23 - 25].

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, приложения, выводов и списка литературы. Работа изложена на 146 страницах, содержит 31 иллюстрацию. Библиография включает 79 наименований.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Фетисов, Дмитрий Анатольевич

Основные выводы и результаты работы

Сформулируем основные выводы и результаты проведенных исследований.

1. Доказаны необходимые и достаточные условия существования решений терминальных задач для регулярных систем квазиканонического вида со скалярным и векторным управлением.

2. Предложен метод решения терминальных задач для регулярных систем квазиканонического вида с одномерной и двумерной нулевой динамикой.

3. Доказаны достаточные условия управляемости регулярных систем квазиканонического вида с одномерной и двумерной нулевой динамикой.

4. Результаты математического моделирования показали эффективность предложенного способа решения терминальных задач. Доказанные условия управляемости подтверждают возможности метода решать терминальные задачи для широкого класса систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фетисов, Дмитрий Анатольевич, 2006 год

1. Isidori A. Nonlinear control systems. 3rd edition. London: Springer-Verlag, 1995. - 550 p.

2. Krstic M., Kanellakopoulos I., Kokotovic P.V. Nonlinear and adaptive control design. New York: John Wiley and Sons, 1995. - 563 p.

3. Nijmeijer H., Schaft A. Van der. Nonlinear dynamical control systems. New-York: Springer, 1990. - 467 p.

4. Sastry S. Nonlinear systems: analysis, stability, and control. New York: Springer Verlag, 1999. - 667 p.

5. Жевнин А.А., Крищенко А.П. Управляемость нелинейных систем и синтез алгоритмов управления // Докл. АН СССР. 1981. -Т. 258, №4.-С. 805-809.

6. Крищенко А.П. Исследование управляемости и множеств достижимости нелинейных систем управления // Автоматика и телемеханика. 1984. - № 6. - С.30-36.

7. Крищенко А.П. О структуре множеств достижимости аффинных систем // Дифференциальные уравнения. 1997. - Т.33, № 6. -С.768- 775.

8. Краснощёченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. М.: Издательство МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2005. - 520 с.

9. Ковалев A.M. Нелинейные задачи управления и наблюдения в теории динамических систем. Киев: Наукова думка, 1980. - 174 с.

10. Крищенко А.П., Клинковский М.Г. Преобразование аффинных систем с управлением и задача стабилизации // Дифференциальные уравнения. 1992. - Т.28, № И. - С.1945-1952.

11. Крищенко А.П. Синтез алгоритмов терминального управления для нелинейных систем // Известия АН. Техническая кибернетика. 1994. - № 1.-С. 48-57.

12. Формальский A.M. Перемещение антропоморфных механизмов. -М.: Наука, 1982. 368 с.

13. Grizzle J.W., Abba G., Plestan F. Asymptotically stable walking for biped robots: analysis via systems with impulse effects // IEEE Trans, on Automatic Control. 2001. - V. 46, № 1. - P.51-64.

14. Westervelt E.R., Grizzle J.W., Koditschek D.E. Hybrid zero dynamics of planar biped walkers // IEEE Trans, on Automatic Control. 2003. -V. 48, № 1. -P.42-56.

15. Stable walking of a 7-DOF biped robot / F. Plestan, J.W. Grizzle, E.R. Westervelt, G. Abba // IEEE Trans. Robotics and Automation. 2003. - V. 19, № 4. - P.653-668.

16. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004. - 552 с.

17. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М.: Госте-хиздат, 1950. - 428 с.

18. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем: нелинейные модели. М.: Наука, 1988. - 328 с.

19. Курс теоретической механики: Учебник для вузов / В.И.Дронг, В.В.Дубинин, М.М.Ильин и др. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. - 736 с.

20. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1950. - 468 с.

21. Охоцимский Д.Е., Голубев Ю.Ф. Механика и управление движением автоматического шагающего аппарата. М.: Наука. Глав, ред. физ.-мат. лит., 1984. - 312 с.

22. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. - 312 с.

23. Фетисов Д.А. Управляемость регулярных систем квазиканонического вида // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов IX международного семинара. Москва, 2006.-С. 274-275.

24. Фетисов Д.А. Управление плоским перемещением пятизвенного двуногого робота по лестнице // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов VIII международного семинара. Москва, 2004. - С. 186-187.

25. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений: Учебник. М.: Едиториал УРСС, 2004. - 240 с.

26. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988. - 320 с.

27. Уокер Р. Алгебраические кривые: Пер. с англ. М.: КомКнига, 2006. - 240 с.

28. Hurmnzlu Y., Genot F., Brogliato В. Modeling, stability and control of biped robots a general framework // Automatica. - 2004. - №. 40. -P. 1647-1664.

29. Nonlinear H^ servo control in joint space of biped robot / Y.X. Zhang, H.Y. Tian, W.Y. Qiang, P.S. Fu // Proc. of the 3rd Asian Control Conference. Shanghai, 2000. - P.2828-2832.

30. Development of a biped robot simulator / Q. Huang, Y, Nakamura, H. Arai, K. Tanie // Proc. of the 3rd Asian Control Conference. -Shanghai, 2000. P.616-620.

31. Spong M.W. Passivity based control of the compass gait biped // Proc. of the 14th World Congress of IFAC. Beijing, 1999. -P.19-23.

32. Choi J.H., Grizzle J.W. Planar bipedal robot with impulsive foot action // Conference on Decision and Control: 43rd IEEE proc. -Atlantis, 2004. P.296-302.

33. Вукобратович M. Шагающие роботы и антропоморфные механизмы. М.: Мир, 1976. - 541 с.

34. Spong M.W. Some new results in passivity based control of robots // Proc. 6th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems NOLCOS'04. Stuttgart, 2004. - P.35-42.

35. Mu X., Wu Q. A complete dynamic model of five-link bipedal walking // Proc. of the American Control Conference ACC'03. Denver, 2003.- P. 4926-4931.

36. Rouchon P., Sira-Ramirez H. Control of the walking toy: a flatness approach // Proc. of the American Control Conference ACC'03. -Denver, 2003. P. 2018-2023.

37. Shiriaev A., Sandberg A., Canudas-de-Wit C. Motion planning and feedback stabilization of periodic orbits for an acrobot // Proc. 43rd IEEE Conference on Decision and Control CDC'04. Atlantis, 2004.- P.290-295.

38. Hemami H., Camana P.C. Nonlinear feedback in simple locomotion systems // IEEE Trans, on Automatic Control. 1976. - V. 21, № 6.- P.855-860.

39. Hemami H., Cvetkovic V.S. Postural stability of two biped models via Lyapunov second method // IEEE Trans, on Automatic Control.- 1977. -V. 22, № 1. -P.66-70.

40. Hemami H., Farnsworth R.L. Postural and gait stability of a planar five link biped by simulation // IEEE Trans, on Automatic Control.- 1977. V. 22, № 3. - P.452-458.

41. Hemami H., Wyman F. Modeling and control of constrained dynamic systems with application to biped locomotion in the frontal plane // IEEE Trans, on Automatic Control. 1979. - V. 24, № 4. - P.526-535.

42. Spong M.W., Lozano R., Mahony R. An almost linear biped // Proc. 39th IEEE Conference on Decision and Control CDC'00. Sydney, 2000. - P. 4803-4808.

43. Yi K.Y. Walking of a biped robot with compliant ankle joints: implementation with KUBCA // Proc. 39th IEEE Conference on Decision and Control CDC'00. Sydney, 2000. - P. 4809-4814.

44. Stable trajectory tracking for biped robots / L. Cambrini, C. Chevallerau, C.H. Moog, R. Stojic // Proc. 39th IEEE Conference on Decision and Control CDC'00. Sydney, 2000. - P. 4815-4820.

45. Hiskens I.A. Stability of hybrid system limit cycles: application to the compass gait biped robots // Proc. 40th IEEE Conference on Decision and Control CDC'01. Orlando, 2001. - P. 774-779.

46. Лапшин В.В. Удар о поверхность тела с дополнительной опорой // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Естественные науки.- 2006. -№2. -С.45-53.

47. Francois С., Samson С. A new approach to the control of the planar one-legged hopper // The International Journal of Robotics Research.- 1998. V. 17, № 11. - P.1150-1166.

48. Hurmuzlu Y., Marghitu D.B. Rigid body collisions of planar kinematic chains with multiple contact points // The International Journal of Robotics Research. 1994. - V. 13, № 1. - R82-92.

49. Koditschek D.E., Buhler M. Analysis of a simplified hopping robot // The International Journal of Robbotics Research. 1991. - V. 10, № 6. - P.587-605.

50. Hwang C.-L. A trajectory tracking of biped robots using fuzzy-model-based sliding-model control // Proc. 41st IEEE Conference on Decision and Control CDC'02. Las Vegas, 2002. - P. 203-208.

51. Chemori A., Loria A. Control of a planar five link under-actuated biped robot on a complete walking cycle // Proc. 41st IEEE Conference on Decision and Control CDC'02. Las Vegas, 2002. -P. 2056-2061.

52. Крищенко А.П., Ткачев С.В., Фетисов Д.А. Управление плоским перемещением двуногого пятизвенного робота // Нелинейная динамика и управление: Сборник статей / Под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина. 2003. - Вып. 3. - С. 201-216.

53. Крищенко А.П., Ткачев С.В., Фетисов Д.А. Управление плоским перемещением двуногого пятизвенного робота по лестнице // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Естественные науки. 2006. -№ 1. -С.38-64.

54. Фетисов Д.А. Исследование управляемости регулярных систем квазиканонического вида // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Естественные науки. 2006. - № 3. - С.12-30.

55. Калман Р.Е. Об общей теории систем управления // Труды I конгресса ИФАК. 1961. - Т.2. - С.521- 547.

56. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. - 398 с.

57. Byrnes C.I., Isidori A. Exact linearization and zero dynamics // Proc. 29th IEEE Conference on Decision and Control. Honolulu, 1990. -P. 2080-2084.

58. Коробов В.И. Сведение задачи управляемости к граничной задаче // Дифференциальные уравнения. 1976. - Т.12, № 7. - С.1310-1312.

59. Sussmann H.J. A general theorem on local controllability // SIAM Journal of Control and Optimization. 1987. - V. 25, № 1. - P.158-194.

60. Sussmann H.J. Local controllability and motion planning for some classes of systems with drift // Proc. 30th IEEE Conference on Decision and Control. Brighton, 1991. - P. 1110-1114.

61. Bloch A.M., McClamroch N.H., Reyhanoglu M. Controllability and stabilizability properties of a nonholonomic control systems // Proc. 29th IEEE Conference on Decision and Control. Honolulu, 1990. -P. 1312-1314.

62. Hermes H. Large and small time local controllability // Proc. 33rd IEEE Conference on Decision and Control. Lake Buena Vista, 1994. -P. 1280-1281.

63. Hermann R., Krener A.J. Nonlinear contnrollability and observability // IEEE Trans, on Automatic Control. 1977. - V. AC-22, № 5. -P.728- 740.

64. Kimura H., Yamashita Т., Kobayashi S. Reinforcement learning of walking behavior for a four-legged robot // Proc. 40th IEEE Conference on Decision and Control CDC'01. Orlando, 2001. -P. 411-416.

65. Shen J., McClamroch N.H., Bloch A.M. Local equilibrium controllability of multibody systems controlled via shape change // IEEE Trans, on Automatic Control. 2004. - V. 49, № 4. - P.506-520.

66. Арутюнов А.В., Розова В.Н. Регулярные нули квадратичного отображения и локальная управляемость нелинейных систем. // Дифференциальные уравнения. 1999. - Т.35, № 6. - С.723-728.

67. Hirschorn R.M., Lewis A.D. Geometrical local controllability: second order conditions // Proc. 41st IEEE Conference on Decision and Control CDC'02. Las Vegas, 2002. - P. 368-369.

68. Murphey T.D., Burdick J.W. Nonsmooth controllability theory and an example // Proc. 41st IEEE Conference on Decision and Control CDC'02. Las Vegas, 2002. - P. 370-376.

69. Hirschorn R.M., Lewis A.D. A high order sufficient condition for local controllability // Proc. 40th IEEE Conference on Decision and Control CDC'01. Orlando, 2001. - P. 2607-2612.

70. Rampazzo F., Sussmann H.J. Set-valued differentials and a nonsmooth version of Chow's Theorem // Proc. 40th IEEE Conference on Decision and Control CDC'01. Orlando, 2001. -P. 2613-2618.

71. Cortes J., Bullo F. On nonlinear controllability and series expansions for Lagrangian systems with dissipative forces // Proc. 40th IEEE Conference on Decision and Control CDC'01. Orlando, 2001. -P. 2619-2624.

72. D'Allesandro D. On the controllability of systems on compact Lie groups and quantum mechanical systems // Proc. 39th IEEE Conference on Decision and Control CDC'00. Sydney, 2000. -P. 3982-3987.

73. De Leenheer P., Aeyels D. Accessebility properties of controlled Lotka-Volterra systems // Proc. 39th IEEE Conference on Decision and Control CDC'00. Sydney, 2000. - P. 3977-3981.

74. Melody J.W., Basar Т., Bullo F. On nonlinear controllability of homogeneous systems linear in control // Proc. 39th IEEE Conference on Decision and Control CDC'00. Sydney, 2000. - P. 3971-3976.

75. Tyner D.R., Lewis A.D. Controllability of a hovercraft model (and two general results) // Proc. 43th IEEE Conference on Decision and Control CDC'04. Atlantis, 2004. - P. 1204-1209.

76. Klamka J. Constrained controllability of nonlinear systems // Proc. of the American Control Conference ACC'03. Denver, 2003. - P. 495496.

77. Белецкий В.В. Двуногая ходьба. Модельные задачи динамики и управления. М.: Наука, 1984. - 288 с.

78. Bhat S.P., Bernstein D.S. Continious finite-time stabilization of the translational and rotational double integrators // IEEE Trans, on Automatic Control. 1998. - V. 43, № 5. - P.678-682.