Стабилизация аффинных систем ограниченным управлением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Сидоров, Дмитрий Александрович

• Сидоров, Дмитрий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сидоров, Дмитрий Александрович

ВВЕДЕНИЕ

1. СТАБИЛИЗАЦИЯ ОГРАНИЧЕННЫМ УПРАВЛЕНИЕМ

1.1. Линейные системы.

1.2. Глобальная стабилизация нелинейных систем.

1.2.1. Устойчивые системы.

1.2.2. Масштабирование управления.

1.2.3. Функции Ляпунова для систем с управлением

1.2.4. Метод обратного хода.

1.3. Стабилизация нелинейных систем в большом.

1.4. Выводы.

2. СТАБИЛИЗАЦИЯ АФФИННЫХ СИСТЕМ СО СКАЛЯРНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ.

2.1. Аффинные системы со скалярным управлением.

2.2. Семейства управлений и функций Ляпунова.

2.3. Учет ограничения на управление.

2.4. Глобальная стабилизация

2.5. Стабилизация в большом.

2.6. Сравнительный анализ методов стабилизации.

2.7. Учет линейных слагаемых.

2.8. Выводы.

3. СТАБИЛИЗАЦИЯ АФФИННЫХ СИСТЕМ С ВЕКТОРНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ.

3.1. Аффинные системы с векторным управлением.

3.2. Глобальная стабилизация

3.3. Стабилизация в большом.

3.4. Стабилизация углового положения космического аппарата

3.5. Выводы.

4. СИНТЕЗ ОГРАНИЧЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ СЕМЕЙСТВ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА

4.1. Масштабирование управления.

4.2. Построение ограниченного управления.

4.3. Выводы.

ВЫВОДЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стабилизация аффинных систем ограниченным управлением»

Одной из задач, рассматриваемых теорией управления, является задача стабилизации положения равновесия. Она заключается в поиске управления в виде обратной связи по состоянию, при подстановке которого в систему положение равновесия становилось бы асимптотически устойчивым. В технических приложениях величина управления является ограниченной по модулю или по компонентам. Поэтому представляет интерес решение задачи стабилизации с учетом этих ограничений на управление.

Во многих случаях удается получить управление, стабилизирующее положение равновесия лишь локально, и возникает задача оценки области стабилизируемости при наличии ограничений на управление.

Другой задачей является построение обратной связи, стабилизирующей положение равновесия глобально. Однако при наличии ограничений на управление существующие методы глобальной стабилизации применимы лишь к узким классам систем.

Наиболее значительные результаты по глобальной стабилизации ограниченным управлением получены для линейных систем [1-4,19,21]. Для линейной системы ограниченное, глобально стабилизирующее управление существует тогда и только тогда, когда система стабилизируема и действительные части собственных чисел матрицы системы неположительны, и известен метод построения такого управления [1].

Для нелинейных систем получены более частные результаты. Методы решения задачи стабилизации ограниченным управлением для нелинейных систем можно разделить на две группы. К первой группе относятся методы построения глобально стабилизирующего управления, т.е. методы получения обратной связи, стабилизирующей систему при любых начальных условиях. Ко второй группе относятся методы стабилизации в большом, т.е. методы получения обратной связи, стабилизирующей систему для начальных условий из некоторой области, и получения оценки этой области.

В отличии от линейного случая, для нелинейных систем неизвестен критерий глобальной стабилизируемости ограниченным управлением. В работах, посвященных глобальной стабилизации, приводятся разные достаточные условия, при выполнении которых можно построить ограниченное, глобально стабилизирующее управление. При этом предлагаемые методы обычно применимы к довольно узким классам нелинейных систем.

Например, метод предлагаемый в статье [22], применим для аффинных систем со скалярным управлением, в правые части которых особым образом входят только однородные функции. В [13] рассматривается метод, в котором для построения ограниченного, глобально стабилизирующего управления используются функции Ляпунова со специальными свойствами. Применимость данного метода ограничена классом систем, для которых удается найти функцию Ляпунова с такими свойствами. В [18] предлагается модификация метода обратного хода, которая обеспечивает ограниченность управления. Однако этот метод применим только для систем, которые приводятся к специальному виду, необходимому для построения стабилизирующей обратной связи методом обратного хода, и удовлетворяют жестким условиям, обеспечивающим ограниченность полученного управления.

Таким образом, в настоящее время задача глобальной стабилизации нелинейных систем ограниченным управлением решена лишь для узких классов систем. Поэтому представляет интерес разработка новых методов глобальной стабилизации и расширение классов нелинейных систем, допускающих такую стабилизацию.

В отличии от задачи глобальной стабилизации, задача стабилизации в большом при наличии ограничений на управление может быть решена для достаточно широкого класса нелинейных систем [5, 8, 20]. В большинстве таких методов для оценки области стабилизируемости используется аппарат функций Ляпунова. При этом оценка ищется в виде области, ограниченной поверхностью уровня функции Ляпунова. Различные методы отличаются способами построения ограниченного управления и выбора функции Ляпунова.

Важным критерием для сравнения различных методов является объем области стабилизируемости. Среди существующих методов не удается выделить метод, который давал бы больший объем области стабилизируемости для всех систем. Поэтому представляет интерес получение новых методов стабилизации в большом, которые могут дать лучшую оценку области стабилизируемости для определенных классов систем.

Целью работы является разработка методов построения ограниченных обратных связей, позволяющих глобально или в большом стабилизировать положение рановесия аффинных систем, а также методов оценки области стабилизируемости.

Методы исследования

В диссертации применяются методы дифференциальных уравнений, теории устойчивости, дифференциальной геометрии и геометрической теории управления.

Научная новизна

Для аффинных систем, допускающих преобразование к регулярному каноническому виду, разработан метод стабилизации ограниченным управлением. Получены условия применимости разработанного метода для глобальной стабилизации и стабилизации в большом.

Решена задача стабилизации в большом с помощью ограниченного управления для систем Ван-Дер-Поля, Ресслера и для системы, описывающей угловое движение космического аппарата вокруг центра масс.

На примере системы Ресслера проведен сравнительный анализ оценок областей стабилизируемости, полученных предлагаемым методом и другими методами стабилизации в большом.

Для аффинных систем со скалярным управлением, допускающих преобразование к нерегулярному каноническому виду, предложен метод синтеза ограниченного управления. Получены условия, при выполнении которых построенное управление позволяет для любых начальных условий привести систему в окрестность положения равновесия, ограниченную заданной поверхностью уровня функции Ляпунова.

Полученные результаты являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность

Результаты, полученные в диссертации, позволяют решать задачи глобальной стабилизации или стабилизации в большом для аффинных систем с помощью ограниченной обратной связи, а также получать оценки области стабилизируемости. Полученные стабилизирующие управления позволяют учитывать ограничения, допускают оценку области стабилизируемости, и могут быть использованы в технических приложениях.

На защиту выносится:

1) полученные семейства стабилизирующих управлений и функций Ляпунова для линейных систем с нулевыми собственными числами и способ обеспечения выполнения ограничения на управление;

2) метод синтеза ограниченной обратной связи для аффинных систем, допускающих преобразование к регулярному каноническому виду, и условия его применимости для глобальной стабилизации и стабилизации в большом;

3) метод синтеза ограниченной обратной связи для аффинных систем со скалярным управлением, допускающих преобразование к нерегулярному каноническому виду, и условия, при выполнении которых полученное управление для любых начальных условий приводит траекторию системы в окрестность положения равновесия, ограниченную заданной поверхностью уровня функции Ляпунова.

Апробация результатов работы

Результаты диссертационной работы докладывались автором на VI международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" в ИПУ РАН в 2000 г., на Всероссийском научно-исследовательском семинаре "Нелинейная динамика и управление" на факультете ВМК МГУ в 2003 г, на одинадцатой международной конференции "Математика, компьютер, образование" в 2004 г.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях [28, 29, 30, 32] и 2 тезисах выступлений на конференции [31, 33].

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 103 страницах, содержит 58 рисунков. Библиография содержит 33 наименования.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Сидоров, Дмитрий Александрович

Выводы

В диссертации для линейных систем с нулевыми собственными числами получены семейства стабилизирующих управлений и функций Ляпунова для замкнутых систем. Решена задача стабилизации нулевого положения равновесия систем управлением, ограниченным заданной величиной.

Для аффинных систем со скалярным управлением, допускающих приведение к регулярному каноническому виду, предложен метод синтеза ограниченного стабилизирующего управления. Получены условия, при выполнении которых предложенный метод позволяет решить задачу глобальной стабилизации. Если полученные условия выполняются лишь на некотором множестве, то построенное управление позволяет решить задачу стабилизации в большом.

Полученный результат расширен на класс аффинных систем с векторным управлением, допускающих приведение к регулярному каноническому виду. С помощью предложенного метода решена задача стабилизации в большом углового положения космического аппарата.

Рассмотрен случай, когда аффинная система допускает приведение лишь к нерегулярному каноническому виду. Для таких систем предложен метод синтеза ограниченного управления. Получены условия, при выполнении которых построенное управление позволяет для любых начальных условий привести систему в окрестность положения равновесия, ограниченную заданной поверхностью уровня функции Ляпунова.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сидоров, Дмитрий Александрович, 2004 год

1. Sussmann H.J., Sontag E.D., Yang Y. A general result on the stabilization of linear systems using bounded controls // IEEE Trans. Autom. Control. 1994. - V. 39. - P. 2411-2425.

2. Schmitendorf W.E., Barmish B.R. Null controllability of linear systems with constrained controls // SIAM J. Control and Opt. 1980. - V. 18. - P. 327-345.

3. Sontag E.D. An algebraic approach to bounded controllability of linear systems // Int. J. Control. 1984. - V. 39. - P. 181-188.

4. Teel A.R. Global stabilization and restricted tracking for multiple integrators with bounded controls //Systems and Control Letters. -1992.-V. 18.-P. 165-171.

5. Жевнин А.А., Крищенко А.П. Управляемость нелинейных систем и синтез алгоритмов управления // Доклады АН СССР. -1981. Т. 258, № 4. - С. 805 - 809.

6. Крищенко А.П. Исследование управляемости и множеств достижимости нелинейных систем // Автоматика и телемеханика.1984.-№ 6.-С. 30-36.

7. Крищенко А.П. Стабилизация программных движений нелинейных систем // Известия АН СССР. Техническая кибернетика.1985. № 6. - С. 103-112.

8. Крищенко А.П. Преобразование нелинейных систем и стабилизация программных движений // Труды МВТУ. 1988. - № 512. -С. 69-87.

9. Крищенко А.П. Преобразование многомерных аффинных управляемых динамических систем / / Управление нелинейными системами : Сборник статей. М.: ВНИИ системных исследований, 1991. -С. 5-14.

10. Krishchenko A.P. Stabilization of equilibrum points of chaotic systems // Phisics Letters A. 1995. - V. 203. P. 350-356.

11. Krstic M., Deng H. Stabilization of nonlinear uncertain systems. -New York: Springer, 1998. 193 p.

12. Sontag E.D. A "universal" construction of Arstein's theorem on nonlinear stabilization // Systems and Control Letters. 1989. - V. 13, №. 2. - P. 117-123.

13. Lin Y., Sontag E.D. A universal formula for stabilization with bounded controls // Systems and Control Letters. 1991. - V. 16. -P. 393-397.

14. Malisoff M., Sontag E.D. Universal formulas for feedback stabilization with respect to Minkowski balls // Systems and Control Letters. 2000. - V. 40. - P. 247-260.

15. Lafferriere G.A., Sontag E.D. Remarks on control Lyapunov functions for discontinuous stabilizing feedback // Proc. IEEE Conf. Decision and Control, IEEE Publications. San Antonio, 1993. -P. 306-308.

16. Sontag E.D., Sussmann H.J. Nonsmooth control-Lyapunov functions // Proc. IEEE Conf. Decision and Control, IEEE Publications. New Orleans, 1995. - P. 2799-2805.

17. Lin W. Input Saturation and Global Stabilization of Nonlinear Systems via State and Output Feedback // IEEE Trans. Autom. Control. 1995. - V. 40, №. 4. - P. 776-782.

18. Freeman R., Praly L. Integrator Backstepping for Bounded Controls and Control Rates // IEEE Trans. Autom. Control. 1998. - V. 43, №. 2. - P. 258-262.

19. Каменецкий В.А. Синтез ограниченного стабилизирующего управления для п-кратного интегратора // Автоматика и Телемеханика. 1991. - № 6. - С. 33-40.

20. Каменецкий В.А. Синтез ограниченного стабилизирующего управления для нелинейных управляемых систем // Автоматика и Телемеханика. 1995. - № 1. - С. 43-56.

21. Morin P., Murray R.M., Praly L. Nonlinear rescaling of control laws with application to stabilization in the presence of magnitude saturation //IFAC Nonlinear Control Systems Design Symposium (NOLCOS). Twente, 1998. - P. 690-696.

22. Murray R.M. Geometric Approaches to Control in the Presence of Magnitude and Rate Saturation // Astrom Symposium on Control. 1999. - P. 43-72.

23. M'Closkey R.T., Murray R.M. Exponential stabilizationof driftless nonlinear control systems using homogeneous feedback // IEEE Trans. Autom. Control. 1997. - V. 42. - P. 614-628.

24. Kokotovic P.V. The joy of feedback: nonlinear and adaptive // Control Systems Magazine. 1991. - V. 12. - P. 7-17.

25. Kokotovic P.V., Sussman H.J. A positive real condition for global stabilization of nonliner systems // Systems and Control Letters. -1989.-V. 13-P. 125-133.

26. Бранец B.H., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. - 320 с.

27. Krstic М., Kanellakopoulos I., Kokotovic P.V. Nonlinear and adaptive control design. New York: Wiley-Interscience, 1995. -576 p.

28. Стабилизация аффинных систем ограниченным управлением/ Р. Йохансон, А.П. Крищенко, Д.А. Сидоров, С.Б. Ткачев // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2001. - № 2. -С. 31-44.

29. Сидоров Д.А., Ткачев С.Б. Стабилизация аффинных систем ограниченным управлением // Нелинейная динамика и управле-ние:Сборник статей/Под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина. -М., 2001. Вып. 1. - С. 131-144.

30. Сидоров Д.А., Ткачев С.Б. Стабилизация нелинейных динамических систем с ограниченным управлением // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов VI международного семинара. М., 2000. - С. 100.

31. Сидоров Д.А. Сравнительный анализ методов стабилизации ограниченным управлением // Моделирование, декомпозиция и оптимизация сложных процессов. М., ВЦ РАН, 2003. - С. 104- 115.

32. Сидоров Д.А. Стабилизация нелинейных систем с помощью параметрических семейств функций Ляпунова // Математика, компьютер, образование: Тезисы докладов одиннадцатой международной конференции. Дубна, 2004. - С. 149.