Преобразование аффинных систем к квазиканоническому виду и построение минимально-фазовых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Шевляков, Андрей Анатольевич

• Шевляков, Андрей Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шевляков, Андрей Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ

1. СИСТЕМЫ СО СКАЛЯРНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ.

1.1. Квазиканонический вид аффинной системы.

1.2. Условия существования квазиканонического вида

1.3. Локальные условия существования квазиканонического вида.

1.4. Алгоритм преобразования к квазиканоническому виду

1.5. Проблема оценки ранга функциональной матрицы

1.6. Алгоритм исследования ранга функциональной матрицы

2. СИСТЕМЫ С ВЕКТОРНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ.

2.1. Нахождение мультииндекса приводимости.

2.2. Алгоритм преобразования к квазиканоническому виду

3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К КВАЗИКАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ.

3.1. Программный комплекс quasiPack.

3.2. Преобразование к квазиканоническому виду модели перевернутого маятника на тележке.

3.3. Преобразование модели движения вертолета.

4. ПОСТРОЕНИЕ МИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫХ АФФИННЫХ

СИСТЕМ.

4.1. Квазиканонический вид и нормальная форма. ч 4.2. Построение минимально фазовых систем со скалярным управлением в случае высокого индекса приводимости . 75 4.3. Построение минимально фазовых систем с векторным управлением в случае высокого однородного мультииндекса приводимости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Преобразование аффинных систем к квазиканоническому виду и построение минимально-фазовых систем»

Актуальность темы. Один из подходов к решению задачи управления нелинейной динамической системой основывается на преобразовании системы к специальному виду, для которого метод решения соответствующей задачи управления известен. Примером являются системы канонического вида [1,6,9], которые с помощью линеаризации обратной связью можно преобразовать в линейную систему, записанную в канонической форме Бруновского [31].

В работах [7,9] вводятся понятия канонического и квазиканонического вида. Условия приводимости к каноническому виду хорошо известны [6], однако не всякую аффинную систему можно преобразовать к этому виду. Поэтому среди аффинных систем выделяют системы, которые преобразуются к квазиканоническому виду [7]. Такие системы содержат подсистему, которая линеаризацией обратной связью преобразуется в каноническую форму Бруновского, и подсистему общего вида.

Основные теоретические положения о преобразовании в некоторой открытой области аффинных систем со скалярным управлением к квазиканоническому виду приведены в [7], а с векторным управлением — в [6].

Представляет интерес получение различных локальных условий существования требуемых преобразований, а также условий, при выполнении которых квазиканонический вид имеет специальные свойства.

Близким по смыслу к понятию квазиканонического вида является понятие нормальной формы [40] аффинной системы. Преобразование к нормальной форме также используется для решения задач управления аффинными системами. Чтобы получить нормальную форму аффинной системы в окрестности некоторой точки нужно указать специальную функцию — выход системы, для которой в этой точке определена относительная степень в скалярном случае или векторная относительная степень в случае векторного управления. Среди систем в нормальной форме выделают удовлетворяющие условию минимальной фазово-сти. Получение выходов, относительно которых система является минимально фазовой, является важной задачей, так как для минимально-фазовых систем способы решения задачи стабилизации положения равновесия известны.

В работах [28,54] предлагается использовать линеаризацию по части переменных, соответствующих системе, определяющий нулевую динамику, в окрестности положения равновесия и решать задачу стабилизации на основе анализа свойств линеаризованной системы. Ограниченность данного подхода связана с тем, что линеаризованная система не всегда отражает свойства исходной. Для неминимально фазовых систем, у которых неминимальная фазовость является "слабой", в работе [38] предлагается строить для исходной системы аппроксимацию, которая будет минимально фазовой, и решать задачу стабилизации на основе этой аппроксимации.

В работах [46,52] развивается идея построения нового выхода, называемого статически эквивалентным, относительно которого аффинная система оказывается минимально фазовой, а решение задачи стабилизации заданного значения нового выхода дает решение задачи стабилизации заданного значения исходного выхода.

В рамках теории плоскостности рассматривается вопрос о поиске нового выхода [35,36], обеспечивающего минимальную фазовость аффинной системы, рассматриваемой в пространстве состояний, расширенном за счет производных от управления. При реализации этого подхода как правило встречаются значительные технические трудности. Кроме того, отсутствуют достаточные условия, позволяющие определить количество производных от управления, которые следует принять в рассмотрение.

Для неминимально фазовых аффинных систем, нормальная форма которых имеет специальный вид, построение стабилизирующего управления возможно методом обратного обхода интегратора [12,47].

В [49] по части переменных нормальной формы на фиксированном отрезке времени строится программная траектория, и на основе этой траектории формируется стабилизирующая обратная связь по всем переменным. Отметим, что полученные в работе необходимые и достаточные условия существования требуемой траектории являются достаточно обременительными.

Примеры решения прикладных задач, сводящихся к задаче стабилизации неминимально фазовых систем, можно найти в [42,53].

Одной из интересных идей, обсуждаемой различными авторами, является идея нахождения новых выходов аффинной системы, относительно которых система будет минимально фазовой [11-13,28,46,52] или иметь другие требуемые свойства. Однако до настоящего времени проблема поиска новых выходов, обеспечивающих минимальную фазовость, остается в общем случае нерешенной.

А.П. Крищенко, Д.Ю. Панфиловым и С.Б. Ткачевым в работах [10,11,13] предложен метод виртуальных выходов, позволяющий для аффинных систем находить новые выходы, которым соответствует нормальная форма с асимптотически устойчивой нулевой динамикой.

Знание таких выходов позволяет строить стабилизирующие обратные связи методами, известными для минимально фазовых систем. Если такой выход найдется, то для построения стабилизирующей обратной связи аффинную систему с этим выходом в окрестности положения равновесия следует преобразовать к нормальной форме и для полученной нормальной формы записать стабилизирующую обратную связь. Поскольку при невырожденных гладких заменах переменных локальная асимптотическая устойчивость положения равновесия замкнутой стационарной системы сохраняется, полученная обратная связь, записанная в исходных переменных, будет стабилизирующей.

В работах [10,11,13] рассматривались системы с относительной степенью выхода 1 и 2 и векторной относительной степенью (1,., 1) и (2,., 2). Представляет интерес получение обобщения на случай относительной степени выхода больше двух для систем со скалярным управлением и аналогичный результат для систем с векторным выходом.

Современные системы компьютерной алгебры (CAS, computer algebra system) позволяют в значительной степени автоматизировать процесс проверки условий существования преобразования к каноническому и квазиканоническому видам, в связи с чем представляет интерес вопрос о создании процедур проверки необходимых и достаточных условий существования требуемого преобразования, а также процедур нахождения соответствующей замены переменных и квазиканонического вида.

Системы компьютерной алгебры начали применяться в решении задач нелинейного управления в 80-90 годах [40]. Эти направления получили названия CACSD (Computer Aided Control Systems Design) и CACE (Computer Aided Control Engineering). Существуют пакеты программ, предназначенные для решения задач управления нелинейными системами (стабилизации положения равновесия путем преобразования к каноническому виду).

В рамках исследования использовались системы Мар1е и МАТЬАВ. Выбор этих систем обусловлен тем, что МАТЬАВ достаточно широко распространен, а Мар1е предоставляет обширные возможности для символьных вычислений.

Целью работы является разработка теоретических основ и алгоритмов преобразования аффинных систем со скалярным и векторным управлением к квазиканоническим видам, а также распростанение метода виртуальных выходов на аффинные системы с высоким индексом приводимости.

Задачами исследования являются: получение условий существования квазиканонического вида для аффинных систем; создание алгоритмов преобразования стационарных аффинных систем к квазиканоническим видам, ориентированных на использование систем компьютерной алгебры; получение условий существования виртуальных выходов, относительно которых система с высоким индексом приводимости является минимально-фазовой; исследование преобразуемости к квазиканоническому виду моделей технических систем.

Методы исследования. В диссертации применяются методы математической теории управления, теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и дифференциальной геометрии.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту:

1. локальные условия существования квазиканонического вида для аффинных систем со скалярным управлением;

2. алгоритмы преобразования к регулярному квазиканоническому виду для аффинных систем со скалярным и векторным управлением;

3. распространение метода виртуальных выходов для аффинных систем со скалярным и векторным управлением, имеющих высокий индекс (мультииндекс) приводимости;

4. преобразование к регулярному квазиканоническому виду и стабилизация положения аффинной системы, описывающей пространственное движение вертолета.

Достоверность результатов подтверждена строгими доказательствами и результатами расчетов.

Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что теоретические результаты доведены до конструктивных методов, позволяющих решать задачи преобразования к квазиканоническим видам, а также в сведении задачи стабилизации класса неминимально-фазовых аффинных систем к задаче, для которой способ решения известен (линеаризация обратной связью). Разработан и зарегистрирован программный комплекс quasiPack. Комплекс представляет собой набор процедур, реализованных в среде Maple, и предназначен для автоматизации решения задач, возникающих при преобразовании систем к квазиканоническому виду (свидетельство о государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ №2012617543 от 21 августа 2012 г.)

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на III Международной конференции "Системный анализ и информационные технологии" (Звенигород, 2009), I традиционной Всероссийской молодежной летней школе "Управление, информация и оптимизация" (Переславль-Залесский, 2009), XI Международной конференции им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2010), конференции "Управление в технических системах" (Санкт-Петербург, 2010), II Международной конференции "Моделирование нелинейных процессов и систем" (Москва, 2011), XII Международной конференции им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2012), III традиционной Всероссийской молодежной летней школе "Управление, информация и оптимизация" (Звенигород, 2012). Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ №09-07-00486, №1107-00329, проекта 2.1.1/227 аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы" (2009 - 2011 гг.), а также Министерства образования и науки Российской Федерации (соглашение № 14.В37.21.0370).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 научных статьях [18.22-24] в журналах из Перечня ведущих научных журналов и 8 тезисах конференций [5,14-16,21,25-27].

Личный вклад соискателя. Все исследования, результаты которых изложены в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, списка литературы и двух приложений. Работа изложена на 123 страницах, содержит шесть иллюстраций. Библиография включает 54 наименования.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Шевляков, Андрей Анатольевич

Основные результаты и выводы

В диссертации получены следующие результаты.

1. Получены новые локальные условия существования квазиканонического вида.

2. Разработаны алгоритмы преобразования к регулярному квазиканоническому виду для систем со скалярным и векторным управлением.

3. Метод виртуальных выходов распространен на класс аффинных систем с высокой однородной относительной степенью выхода со скалярным и векторным управлением.

4. Разработан программный комплекс quasiPack, позволяющий автоматизировать типовые задачи, возникающие при преобразовании аффинных систем с управлением к квазиканоническому виду.

Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы.

1. Разработанные алгоритмы являются теоретически обоснованными и могут быть использованы для преобразования к квазиканоническому виду аффинных систем со скалярным и векторным управлением, в том числе являющихся моделями технических систем.

2. Приведенные теоретические результаты обобщают метод виртуальных выходов на случай высокой однородной относительный степени.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шевляков, Андрей Анатольевич, 2013 год

1. Жевнин A.A., Крищенко А.П. Управляемость нелинейных систем и синтез алгоритмов управления // ДАН СССР. 1981. Т.258, №4. С. 805 - 809.

2. Канатников А.Н., Крищенко А.П., Четвериков В.Н. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 456 с.

3. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. 574 с.

4. Ким Д.П. Теория автоматического управления. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. Т.2. 464 с.

5. Краснощеченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. 520 с.

6. Крищенко А.П. Преобразование нелинейных систем и стабилизация программных движений // Труды МВТУ им. Н.Э. Баумана. 1988. № 512. С. 69 87.

7. Крищенко А.П., Клинковский М.Г. Преобразование аффинных систем с управлением и задача стабилизации

8. Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. С. 1945 1952.

9. Крищенко А.П. Преобразование многомерных аффинных управляемых систем // Управляемые нелинейные системы. 1991.2. С. 5 14.

10. Крищенко А.П., Панфилов Д.Ю., Ткачев С.Б. Построение минимально фазовых аффинных систем / / Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38, №11. С. 1483-1489.

11. Крищенко А.П., Панфилов Д.Ю., Ткачев С.Б. Глобальная стабилизация аффинных систем с помощью виртуальных выходов / / Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39, № 11. С. 1503-1510.

12. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков A.JI. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000. 549 с.

13. Ткачев, С.Б. Стабилизация неминимально-фазовых аффинных систем методом виртуальных выходов: Дис. . докт. физ.-мат. наук: 05.13.01: защищена 20.04.10. М., 2010.- 258 с. - Библиогр.: С. 217 -234.

14. Ткачев С.Б., Шевляков A.A. Оценка нулевой динамики неминимально-фазовых аффинных систем // Управление в технических системах: Труды конференции с международным участием. СПб., 2010. С. 48 51.

15. Ткачев С.Б., Шевляков A.A. Алгоритм преобразования системы со скалярным управлением к квазиканоническому виду / / Моделирование нелинейных процессов и систем: Труды Международной конференции. М., 2011. С. 307.

16. Ткачев С.Б. Реализация движения колесного робота по заданной траектории // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2008. №2. С. 33 55.

17. Ткачев С.Б., Шевляков A.A. Преобразование аффинных систем со скалярным управлением к квазиканоническому виду // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2013. №1 С. 3 16.

18. Ткачев С.Б. Стабилизация неминимально фазовых аффинных систем с векторным управлением // Наука и образование. МГ-ТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон, журн. 2012. №10. URL: http://technomag.edu.ru/doc/450613.html (датаобращения: 02.02.13).

19. Ткачев С.Б., Кондрашова А.Д., Шевляков A.A. Стабилизация беспилотного вертолета методом виртуальных выходов // Системный анализ и информационные технологии: Труды Международной конференции. Звенигород, 2009. С. 17.

20. Шевляков A.A. Вычисление ранга функциональной матрицы // Наука и образование электронный ресурс. 2011. № 10. URL: http://technomag.edu.ru/ doc/243762.html (дата обращения: 01.09.2012).

21. Шевляков A.A. Преобразование аффинных систем к квазиканоническому виду // Вестник МГТУ "Станкин". 2012. №1. С. 55 59.

22. Шевляков A.A. Дифференциально-геометрические методы в теории управления // Актуальные проблемы фундаментальных наук: Сборник трудов. М.: НИИ РЛ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. С. 42 - 43.

23. Шевляков А.А. Стабилизация неминимально-фазовых аффинных систем // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов XII Международной конференции им. Е.С. Пятницкого. М., 2012. С. 343.

24. Allgower F., Doyle F.J. Approximate input-output linearization of nonlinear systems // Nonlinear model-based process control / Ed. by R. Barber, C. Kravaric Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1998. P. 235-274.

25. Avila M., Loukianov G., Sanchez N. Electro-Hydraulic Actuator Trajectory Tracking // Proceedings of the American Control Conference. Boston, 2004. P. 2603 2608.

26. Brockett R. Feedback invariant for nonlinear systems // Proc. Vllth. IFAC World Congress. Helsinki, 1978. P. 1115 1120.

27. Brunovsky P. A. A classification of linear controllable systems // Kybernetika. 1970. V.6, №3. P. 176 188.

28. Cheng D., Isidori A., Respondek W. Exact Linearization of Nonlinear Systems with Outputs // Math. Systems Theory. 1988. №21. P. 63 83.

29. Cesareo G., Marino R. On the application of symbolic computation to nonlinear control theory // EUROSAM '84 Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation. Cambridge, 1984. V. 174. P. 35 46.

30. Fantoni I., Lozano R. Non-linear control for Undeactuated Mechanical Systems. London: Springer Verlag, 2001. 295 p.

31. Fliess M., Sira-Ramirez H., Marquez R. Regulation of nonminimum phase outputs: A flatness based approach // Perspectives in Control Theory and Applications: A Tribute to loan Dore Landau. London: Springer-Verlag, 1998. P. 143-164.

32. Fliess M., Marquez R. Continuous-time linear predictive control and flatness: A module-theoretic setting with examples // Int. J. Control. 2000. № 7. P. 606-623.

33. Gavrilets V., Mettler B., Feron E. Dynamic Model for a Miniature Aerobatic Helicopter // MIT-LIDS report, 2003. no. LIDS-P-2580. 22 p.

34. Hauser J., Sastry S., Meyer G. Nonlinear control design for slightly non-minimum phase systems: application to V/STOL aircraft // Automatica. 1992. V. 28, № 4. P. 665-679.

35. Hunt L.R., Su R. Control of nonlinear time-varying systems

36. Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control. San Diego, 1981. V.20. P.558 563.

37. Isidori A. Nonlinear control systems. London: Springer-Verlag, 1995. 587 p.

38. Jakubczyk B., Respondek W. On Linearization of control systems // Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. Sci. Math. 1980. V.28. P. 517 522.

39. Kantera J. M., Seidera W. D. Nonlinear feedback control of multivariable non-minimum-phase processes // Journal of Process Control. 2002. V. 12, № 6. P. 667-686.

40. Khalil H.K. Nonlinear systems. Upper Saddle River: Prentice-Hall, 2002. 750 p.

41. Koo T.J, Sastry S. Output Tracking Control Design of a Helicopter Model Based on Approximate Linearization // Proceedings of the 37th IEEE Conference on Decision & Control. Tampa (Florida, USA), 1998. V.4. P. 3635-3640.

42. Kravaris C., Mousavere D. ISE-optimal nonminimum-phase compensation for nonlinear processes // Journal of Process Control. 2007. V. 17, № 5. P. 453-461.

43. Kravaris C., Niemec M., Kazantzis N. Singular PDEs and the assignment of zero dynamics in nonlinear systems // Systems &; Control Letters. 2004. No 51(1). P. 67 77.

44. Krstic M., Kanellakopoulos I., Kokotovic P.V. Nonlinear and adaptive control design. New York: John Wiley and Sons, 1995. 563 p.

45. Kwatny H., Chang B. Symbolic computing of nonlinear observable and observer forms // Applied Mathematics and Computation. 2005. №171. P. 1058 1080.

46. Lee S. M., Jo H., Seo J. H. Feedforward Stabilization of nonlinear nonminimum phase system // Proc. of the 36-th Conference on Decision & Control. Phoenix, 1999. P. 1284-1289.

47. Marino R. On the largest feedback-linearizable subsystem // Systems & Control Letters. 1986. №6. P. 345 351.

48. Sastry S. Nonlinear Systems Analysis, Stability, and Control. New York: Springer-Verlag, 1999. 669 p.

49. Wright R. A., Kravaris C. Nonminimum-phase compensation for nonlinear processes // AIChE Journal. 1992. V.38, №1. P. 26-40.

50. Wu W. Stable inverse control for nonminimum-phase nonlinear processes // Journal of Process Control. 1999. V. 9, № 2. P. 171-183.

51. Zou Q., Devasia S. Precision preview-based stable-inversion for nonlinear nonminimum-phase systems: The VTOL example // Automatica. 2007. № 1. P. 117-127.