Модели и методы исследования управляемости систем с регулярным и хаотическим поведением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Хрящев, Сергей Михайлович

• Хрящев, Сергей Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Хрящев, Сергей Михайлович

Введение

1 Основные понятия и определения

1.1 Предварительное описание систем управления и их функционирования. Связь возвращаемости и управляемости.

1.2 Общая схема исследования управляемости.

2 Управление линейными по состояниям системами

2.1 Специфика линейных по состоянию систем.

2.2 Линейные по состоянию системы управления с конечным множеством базовых управлений (полисистемы).

2.3 Линейные по состоянию системы управления с непрерывным пространством базовых управлений.

2.3.1 Предположение А о сводимости системы с непрерывным пространством базовых управлений к полисистеме с дискретным пространством базовых управлений

2.3.2 Матричные семейства общего положения.

2.3.3 Приведение матричных семейств в общее положение

2.3.4 Спектральные типы матричных семейств.

2.3.5 Справедливость предположения А1 для системы с тривиальным спектральным типом.

2.3.6 Управляемость систем с тривиальным спектральным I типом.

2.3.7 Ослабленное предположение А для систем с нетривиальным спектральным типом

2.3.8 Представление системы с нетривиальным спектральным типом. Иерархия подсистем.

2.3.9 Иерархия проективных компонент.

2.3.10 Условия зацепляемости компонент проективного разложения

2.3.11 Проективная управляемость систем с нетривиальным спектральным типом.

2.4 Пара управляющих встречных последовательностей многообразий

2.5 Пара встречных последовательностей многообразий для проекции линейной системы с тривиальным спектральным типом

2.6 Системы второго порядка.

2.6.1 Условия управляемости билинейных систем, выраженные через коэффициенты матриц.

2.6.2 Соотношение свойства зацепляемости и вида зависимости матричного семейства от управляющего параметра

2.7 Условия локальной управляемости критических элементов и условия зацепляемости.

2.7.1 Условия локальной управляемости

• 2.7.2 Условия локальной управляемости точек покоя

2.7.3 Условия локальной управляемости предельных циклов для систем третьего порядка.

2.7.4 Условия зацепляемости для систем третьего порядка

2.8 Примеры линейных по состоянию систем.

2.8.1 Системы второго порядка.

2.8.2 Системы третьего порядка.

2.8.3 Системы с комплексными коэффициентами

2.9 Примеры маятниковых колебательных систем.

2.10 Линейные по состоянию дискретные динамические системы управления.

2.11 Линеаризации системы управления.

2.11.1 Управление системой в окрестности ее точки покоя

2.11.2 Управление системой в окрестности ее предельного цикла.

2.11.3 Системы Морса-Смейла

2.11.4 Управление системой в окрестности ее инвариантного множества

2.12 Заключительные замечания об условиях управляемости для линейных и нелинейных систем.

2.12.1 Сравнение линейных и нелинейных систем с регулярным поведением.

2.12.2 Характер поведения траекторий регулярных и хаотических систем

2.12.3 Программная реализация проверки управляемости линейных по состоянию систем.

Управление хаотическими системами

3.1 Вводные замечания.

3.2 Определение динамической системы управления и некоторых связанных с ней понятий.

3.2.1 Основные отображения, локальные семейства отобра

Ш жений и порожденные ими системы управления

3.2.2 Управляемость системы и время управления

3.3 Свойства динамической системы, порожденной базовым отображением

3.3.1 Топологические свойства основных отображений

3.3.2 Системы, задаваемые гладкими обратимыми основными отображениями (гиперболическими и нейтральными)

3.3.3 Свойства основных отображений (диффеоморфизмов), выраженные в терминах инвариантных мер.

3.3.4 Оценки для скорости сходимости в законе больших чисел

3.3.5 Оценки для времени переходного процесса, равномерные относительно начального состояния.

3.4 Свойства локальной системы управления.

3.4.1 Условия полной равномерной локальной управляемости во всем пространстве состояний.

3.4.2 Условия частичной локальной управляемости для гиперболических систем.

3.4.3 Вычисление матрицы локальной управляемости

3.5 Оценки времени управления для систем равномерно гиперболического типа.

3.5.1 Оценки сверху времени управления для динамических систем управления, порожденных гиперболическими • отображениями.

3.5.2 Оценки снизу времени управления для динамических # систем управления, порожденных гиперболическими отображениями.

3.5.3 Пример динамической системы управления, порожденной линейным гиперболическим отображением

3.6 Оценки времени управления для гиперболических систем, использующие средние характеристики.

3.6.1 Средний коэффициент растяжения

3.6.2 Оценки времени управления для случая частичной локальной управляемости во всем пространстве состояний

3.6.3 Сравнение оценок времени управления, использующих равномерный коэффициент растяжения и коэффициент растяжения в среднем.

3.7 О выборе параметров в оценках для времени управления . . 177 3.7.1 Выбор оптимального значения параметра

3.8 Оценивание времени переходных процессов с помощью статистических методов

3.9 Асимптотичекие оценки сверху времени управления.

3.9.1 Оценки сверху для среднего времени управления, использующие распределения коэффициентов управляемости вдоль неустойчивых направлений.

3.10 Оценки времени управления для систем нейтрального типа

3.10.1 Свойства множеств локальной достижимости.

3.10.2 Оценка сверху времени управления для систем ней

• трального типа.

3.10.3 Оценка снизу времени управления для систем нейтрального типа.

3.10.4 Пример динамической системы управления, порожденной аффинным отображением нейтрального типа

3.11 Оценки времени управления для слабо хаотических систем, имеющих накрывающие системы.

3.11.1 Пример семейства вырождающихся систем управления на двумерном торе.

3.11.2 Некоторые случаи управления хаосом.

3.11.3 Возмущение вырожденного семейства отображений посредством двупараметрического семейства отображений

3.11.4 Определение слабо хаотической системы управления

3.11.5 Условия локальной управляемости слабо хаотических систем управления.

3.11.6 Оценки сверху времени управления.

3.12 Распределение ресурсов при управлении слабо хаотическими системами.

3.12.1 Описание возмущенных систем управления.

3.12.2 Сравнение оценок времени управления для возмущенных систем гиперболического и нейтрального типов. . 225 3.13 Оценки времени управления для нестационарных систем, порожденных квазилинейными гиперболическими отображени

3.13.1 Хаотические системы на торе, порожденные линейными нестационарными отображениями.

3.13.2 Описание одного класса нестационарных систем управления

3.13.3 Характеризация хаоса с помощью коэффициентов раз-бегания траекторий.

3.13.4 Оценки сверху времени управления с помощью коэффициентов разбегания траекторий.

3.13.5 Характеризация хаоса как степени роста объемов в неустойчивом направлении.

3.13.6 Оценки сверху времени управления на основе скорости роста объемов

3.13.7 Оценки снизу времени управления для нестационарных систем управления.

3.13.8 Оценки времени управления для случая, когда эллипсоид локальной управляемости не находится в общем положении

3.14 Заключительные замечания

Методы символической динамики и локального управления

4.1 Вводные замечания.

4.2 Символический образ динамической системы.

4.3 Построение управлений.

4.4 Применение методов символической динамики для исследования конкретных систем.

4.4.1 Исследование двумерной линейной по состоянию системы

4.4.2 Проверка условий зацепляемости.

4.4.3 Применение методов символической динамики к построению символических образов хаотических систем.

4.5 Заключительные замечания

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели и методы исследования управляемости систем с регулярным и хаотическим поведением»

Работа посвящена исследованию математических моделей динамических систем управления с конечномерными пространствами состояний, имеющих различные типы поведения. Основное внимание уделено нахождению условий управляемости этих систем, получению оценок времени управления и построению управляющих воздействий, обеспечивающих достижение заданных целей управления.

Проблема управляемости имеет длинную историю и продолжает оставаться одной из самых актуальных проблем теории управления. Точкой отсчета современного периода развития теории можно считать появление работ Калмана [120],[121],[121], в которых были получены условия управляемости систем, правые части которых являются линейными функциями по состояниям и управлениям. Вслед за этими работами появились многочисленные работы других авторов и за почти полувековой период получено много результатов по управляемости динамических систем. За последние годы были разработаны новые методы исследования управляемости динамических систем и выявлен ряд причин, обусловливающий управляемость или неуправляемость динамических систем.

Практически одновременно с исследованием управляемости линейных систем стала исследоваться управляемость нелинейных систем. Было сделано несколько попыток создания общей, или абстрактной теории систем (работы Калмана Р. [43], Кухтенко А.И. и др. [48], Блкина В.И. [24] и некоторые другие). Ряд интересных результатов получен благодаря применению методов обшей теории, однако большинство работ посвящено исследованию более частных вопросов. Много результатов получено при исследовании управляемости динамических систем, принадлежащих конкретным классам систем. Важным классом нелинейных систем является класс билинейных систем, т.е. систем, правые части которых являются билинейными функциями по состояниям и управлениям.

Линейные и билинейные системы являются простейшими моделями локального описания систем управления. А именно, линейная система является моделью системы управления в окрестности точки общего положения, билинейная система является моделью систем управления в окрестности точки покоя.

Значительные успехи в исследовании управляемости нелинейных систем были достигнуты благодаря применению геометрических и алгебраических методов исследования управляемости, в частности применению дифференциально-геометрических и теоретико-групповых методов. Это направление было актуальным на протяжении многих лет. Описание результатов, полученных применением дифференциально-геометрических и теоретико-групповых методов, можно найти в ряде обзоров, в частности в обзоре [5] Андреева Ю.Н., в обзоре [2] Аграчева A.A., Вахрамеева С.А., Гамкрели-дзе Р.В. и в обзоре [22] Вахрамеева С.А. и Сарычева A.B. В этих обзорах приводятся результаты по управляемости гладких динамических систем как абстрактных так и более конкретных классов. Некоторые новые результаты отражены в книге [4] Аграчева А.А и Сачкова Ю.Л. Класс систем, линейных по управлению, представляется особенно важным, так как предполагается, что управление будет осуществляться достаточно малыми по величине воздействиями, что не приводит к существенному изменению динамики исходной системы. В рамках дифференциально-геометрического подхода был получен ряд результатов по управляемости систем, линейных по управлению, (см. например, [60, 24, 116, 157]). Следует отметить, что дифференциально-геометрические методы являются наиболее подходящими для исследования свойств локальной управляемости, в целом же проблема управляемости имеет глобальный характер, т.е. относится ко всему пространству состояний. С этой точки зрения интерес представляют нелинейные системы достаточно общего вида.

Однако, разграничение систем по признаку линейный или нелинейный представляется поверхностным и не раскрывает особенностей этих систем.

Действительно, если в линейной системе сделать замену переменных, т.е.

• „ „ рассмотреть ее в новой системе координат, то она станет нелинейной, но сущность ее при этом не изменится. Возможны и обратные замены переменных, превращающие нелинейные системы в линейные. Установить существование таких замен переменных является трудной задачей. Некоторые ее частичные решения даны в работах [135, 158].

Более адекватным представляется деление систем на классы по характеру поведения (простое или сложное) их траекторий. Сходным, хотя и не тождественным, является деление систем на классы по принципу регулярности или хаотичности поведения их траекторий. Наиболее отчетливо свойства регулярного поведения проявляются у систем Морса-Смейла, а свойства хаотического поведения — у гиперболических систем вблизи их аттракторов достаточно сложной структуры, которые иногда называют странными. Несколько огрубляя ситуацию, можно сказать, что эта разница • поведения проявляется в том, что у систем с регулярным поведением близкие траектории не расходятся на протяжении достаточно большого промежутка времени, а у систем с хаотическим поведением траектории расходятся достаточно быстро. Отметим, что у систем, пограничных между этими ► классами, указанные свойства ослабляются, и с практической точки зрения отнести эти системы к каким-либо определенным классам иногда бывает затруднительно. В частности, некоторые системы Морса-Смейла с достаточно большим числом компактных инвариантных множеств могут демонстрировать весьма сложное поведение, см. рис.2.16. Как известно, одним из сценариев возникновения хаоса является переход через границу класса систем Морса-Смейла, [34].

Одним из факторов, влияющих на управляемость систем, является ее способность возвращаться в исходные состояния. Свойством возвращаемос-ти могут обладать как системы с регулярным, так и хаотическим поведением. В настоящей работе исследуется проявление свойства возвращаемости на различных моделях регулярных и хаотических систем.

Другим фактором, влияющих на управляемость систем, является соотношение исходных характеристик пространства состояний с характеристиками, индуцированными системой управления. Например, в работах [60], [61],[27],[28] и других исследовался вопрос, каким образом управляемость зависит от соотношения исходной топологии пространства состояний и топологии, индуцированной динамической системой управления. Другой пример относится к работе [15], где показано, что система управления с регулярным поведением индуцирует в пространстве состояний структуру специального клеточного комплекса, свойства которого обусловливают управляемость системы. На свойствах этого клеточного комплекса основан метод Болтянского В.Г. регулярного синтеза управлений. В данной работе иссле-• дуется вопрос о существовании клеточных комплексов специального вида для рассмотренных классов регулярных систем.

Опыт исследования систем с разными типами поведения показывает, что обычно оказывается невозможно управлять системами с регулярным и хаотическим поведением одними и теми же способами. Для систем с регулярным поведением успешно применяется метод регулярного синтеза управлений, [15]. Для систем с хаотическим поведением для управления часто используется существование всюду плотных траекторий, [159]. Таким образом, не существует универсального метода исследования управляемости произвольных динамических систем, кроме их численного моделирования. Численное моделирование имеет следующие недостатки. Во-первых, из-за того, что динамическая система имеет бесконечное множество состояний, часто не представляется возможным ее исчерпывающее исследование. Во-вторых численное моделирование не дает обычно понимания причин управ* ляемости или неуправляемости динамических систем. Эти обстоятельства являются побудительными мотивами для качественного исследования динамических систем управления, осуществленного в настоящей работе, причем при исследовании учитываются особенности систем с регулярным или хаотическим поведением.

Остановимся сначала на системах управления с регулярным поведением. В данной работе для некоторых классов таких систем предлагается метод управления, который является новым вариантом метода регулярного синтеза управлений. Этот метод состоит в построении двух так называемых встречных последовательностей многообразий, элементы которых называются клетками. Элементами первой последовательности обычно являются устойчивые многообразия для некоторых критических элементов (обычно предельных циклов). Размерности элементов этой последовательности убы

• вают. Элементами второй последовательности обычно являются неустойчивые многообразия для некоторых критических элементов (обычно также предельных циклов). Размерности элементов этой последовательности возрастают. В соответствии с предлагаемым методом движение происходит по клеткам, поочередно принадлежащим то одной, то другой последовательности. Переключение движений с элементов одной встречной последовательности на элементы другой встречной последовательности организовано так, что позволяет осуществить переход из начального заданного состояния в конечное заданное состояние.

Основное внимание в работе уделено применению метода встречных последовательностей для управления линейными по состоянию системами. Класс линейных по состоянию систем является важным, в частности, по следующей причине. К исследованию управляемости таких систем можно свести исследование управляемости произвольных гладких систем в окрестности их инвариантных множеств достаточно простой природы, таких как точки покоя, предельные циклы, инвариантные торы и некоторые другие. В данной работе рассмотрен ряд примеров такого сведения. Некоторые математические постановки задач об управлении линейными по состояниям системами можно найти в работах Кучеры [136] и Суссмана [155]. Однако задача о глобальной управляемости линейных по состояниям систем произвольной размерности не получила достаточно полного решения. Изложенные в этой работе новые условия управляемости линейных по состоянию систем основаны на публикациях автора [88], [90]. Для формулировки условий управляемости введены некоторые новые понятия, в частности понятие спектрального типа линейной по состояниям системы управления, понятие проективных компонент системы и понятие о зацеп-ляемости этих компонент.

• В предлагаемой работе исследуется управляемость грубых линейных систем, т.е. систем, сохраняющих свои свойства при малых возмущениях их параметров. Они называются системами общего положения. Нелинейные системы, дающие при линеаризации грубые линейные системы, достаточно адекватно характеризуются своими линейными приближениями.

Следует отметить, что многие понятия, введенные для линейных по состоянию систем, могут быть соответствующим образом модифицированы для гладких динамических систем управления достаточно широкого класса (без предположения наличия у них каких-либо специальных свойств). Поэтому методы управления, применявшиеся первоначально для линейных по состояниям системам, могут быть применены для управления регулярными системами более общего вида, без обязательной их линеаризации. Однако практически удается исследовать управляемость нелинейных систем общего вида лишь невысокой размерности, [129, 130]. Это связано с трудностью локализации их инвариантных множеств даже численными методами.

Обратимся теперь к системам с хаотическим поведением. Как уже отмечалось, системами с хаотическим поведением иногда невозможно управлять методами, пригодными для систем с регулярным поведением. Главная причина этого заключается в трудности осуществить регулярный синтез управлений (см. подробнее об этом в разделе 2.12). Однако, у систем с хаотическим поведением имеются всюду плотные траектории, что позволяет тривиально решить вопрос об их глобальной управляемости при наличии локальной управляемости. Примерная схема управления может быть осуществлена следующим образом. Для начальной и конечной точек пространства состояний существует (базовая) траектория, проходящая сколь угодно близко от них. Поэтому с помощью подходящего локального управления можно перейти из начальной точки на указанную траекторию, затем двигаться по этой траектории (достаточно большое время) до следующей подходящей точки, затем снова с помощью подходящего локального управления перейти с траектории в конечную точку.

Особенностью систем с хаотическим поведением является возможность применять управляющие воздействия сколь угодно малой интенсивности, так как базовая траектория проходит сколь угодно близко от начальной и конечной точек. Однако, это может сделать время управления сколь угодно большим. Поэтому для систем с хаотическим поведением на первый план выходят вопросы исследования зависимости времени управления от интенсивности управлений, а также от величин, характеризующих хаотичность системы.

В настоящее время исследование управляемости систем с хаотическим поведением проводится весьма интенсивно, что привело к появлению большого числа работ, в которых исследовались системы различных классов. Современное состояние теории управления хаосом и история вопроса освещены в обзоре [8, 9]. Мы перечислим здесь лишь некоторые из работ. Во-первых, отметим работу [143], в которой заложены основы так называемого ОСУ-метода, получившего развитие во многих последующих работах. В этой работе полученные оценки времени управления зависят степенным образом от уровня локальных управлений. Далее отметим работу [159], в которой исследовались необратимые одномерные систем на единичном отрезке и с помощью методов символической динамики получены оценки времени управления логарифмического типа. В работе [153] исследовалась управляемость гамильтоновых систем и отмечалось, что в области хаотического поведения траекторий время управления зависит логарифмически от размера областей локальной достижимости и, следовательно, от уровня локальных управлений. Из других подходов можно отметить работы, использующие методы обратной связи ([117, Ыс1оп А.], [149, К.] и др.) Имеется большое число работ, в которых время управления системой оценивалось численно. Для примера укажем на работы [99, 141].

В данной работе для систем с хаотическим поведением в качестве основной задачи рассматривается задача оценивания времени управления для различных класс систем. Для этого мы используем такую характеристику степени хаотичности как скорость роста объемов начальных множеств в неустойчивых направлениях. Связь скорости роста объемов и степени хаотичности системы отмечалась в работах [160, 142].

Укажем на одну особенность метода управления, использованного в данной работе: управляющие воздействия разделяются на основные (базовые) и вспомогательные (корректирующие). В качестве множества допустимых основных управлений обычно берется множество кусочно-постоянных управлений, а качестве множества вспомогательных управлений — множество кусочно-непрерывных управлений малой интенсивности. Основные (базовые) управления доставляют всевдотраектории движений системы управления и обеспечивают "почти управляемость" системы в пространстве состояний. Поэтому они имеют глобальный характер. Вспомогательные (корректирующие) управления позволяют замыкать эти всевдотраектории и получать настоящие траектории движения в пространстве состояний. Преимущество данного подхода разделения управлений на основные и корректирующие проявляется в том, что каждая из этих составляющих может проектироваться отдельно с тем, чтобы обеспечить заданные свойства совокупной системы. Такое разделение управлений имеется во многих реальных системах управления.

В ряде рассмотренных ниже задач управления можно ограничиться сравнительно небольшим (обычно конечным) множеством основных управлений. Отметим, что для систем с хаотическим поведением как правило можно обойтись всего одним основным управлением, которое соответствует динамической системе, имеющей всюду плотные траектории. Для систем с регулярным поведением множество основных управлений обычно более

I обширно, причем мощность множества основных управлений обусловливается количеством качественно различных фазовых портретов семейства векторных полей, задающих систему управления. Последнее же связано с числом бифуркаций, происходящих в этом семействе векторных полей. Заметим также, что имеется ряд сценариев, при которых регулярное поведение системы сменяется хаотическим после прохождения определенного количества бифуркаций.

Как отмечалось ранее, при управлении динамической системой в предлагаемом методе управления используется свойство локальной управляемости вдоль основных траекторий. Поэтому желательно, чтобы это свойство не было исключительным. В работе использовано, что по крайней мере для аналитических систем свойство локальной управляемости не является исключительным. Кроме того, для достаточно гладких систем наличие этого свойства может быть эффективно проверено с помощью ранговых критериев.

Выше мы касались вопросов качественного исследования управляемости систем. Остановимся на проблеме конкретного построения управлений. Что касается систем с регулярным поведением, то при исследовании их управляемости (методом встречных последовательностей) одновременно строится последовательность базовых управлений. Локальные же управления строятся стандартным способом (см. например [2]). Для систем с хаотическим поведением при качественном их исследовании обычно лишь используется существование управлений, обеспечиващих заданные цели управления.

• Для построения конкретных управлений полезными оказываются методы символической динамики. Методы символической динамики могут применяться для систем управления любой природы, но особенно эффективны они для систем с хаотическим поведением. В настоящей работе некоторый • специальный вариант метода символической динамики, предложенный в [54], приспособлен для поиска управляемых траекторий, ведущих из начальной точки в желаемую целевую точку.

Структура текста работы следующая. Работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, и заключения. Первая глава имеет вспомогательный характер. В ней описываются рассматриваемые объекты и ими порожденные структуры. Вторая глава посвящена исследованию управляемости класса линейных по состоянию динамических систем управления и некоторым классам регулярных систем с достаточно простым поведением. Основное внимание в этой главе уделяется получению достаточных условий управляемости по части переменных при различных предположениях о свойствах системы. Третья глава посвящена исследованию управляемости динамических систем управления с хаотическим поведением. Основное внимание в этой главе уделяется получению оценок сверху и снизу времени управления, а также получению оценок в среднем времени управления при различных предположениях о степени хаотичности систем. На основе полученных оценок решается задача о распределении ресурсов для управления состояниями системы, для создания хаоса и для улучшения свойств локальной управляемости. Четвертая глава посвящена вопросам построения управлений для динамических систем. В этой главе на основе методов символической динамики и методов локального управления указан конструктивный способ построения траектории, вдоль которой система может быть переведена из заданного начального состояния в желаемое конечное состо-• яние под действием последовательности допустимых управлений, которая также строится. В заключении дана общая сводка полученных результатов. В работе приведено значительное число примеров и иллюстраций. Список их дан в приложении.

Используемые в работе сведения по теории динамических систем, в основном, взяты из книг [44] и [17], а по теории случайных процессов — из книг [33, 68, 96, 50]. Часть общепринятых понятий и определений приводится, на другие понятия указаны ссылки, причем необязательно на первоисточники.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Хрящев, Сергей Михайлович

Заключение

В настоящей работе рассмотрены некоторые классы динамических систем управления, которые могут иметь регулярное или хаотическое поведение траекторий. Причем в одних частях пространства состояний у системы может наблюдаться регулярное поведение, а в других — хаотическое. Для исследования управляемости систем были предложены некоторые методы и при этом было показано, что для управления системой следует применять методы, адекватные типу системы.

В областях с регулярным поведением траекторий для управления применялся метод встречных последовательностей, в котором главную роль играют базовые (глобальные) управления, а локальные управления имеют вспомогательный (корректирующий) характер. В частности, для линейных по состоянию систем с помощью этого метода были достаточные условия управляемости, неизвестные ранее. Эти условия сформулированы в терминах спектрального типа системы.

В областях с хаотическим поведением метод управления основывался на существовании в этих областях всюду плотных траекторий для некоторого базового управления. Локальные управления использовались для управления вдоль плотных траекторий. Было исследовано несколько классов ха-I отических систем, различающихся по степени хаотичности. Основные результаты для систем этих классов относятся к оценкам времени управления системами в зависимости от интенсивности локальных управлений и степени хаотичности систем. Было выявлено, что увеличение степени хаотичности системы приводит к уменьшению времени управления системой. В связи с этим с целью уменьшения времени управления системой была поставлена и решена задача о распределении ресурсов для управления состояниями системы, для создания хаоса и для улучшения свойств локальной управляемости.

В работе была выявлена связь между свойствами возвращаемости и управляемости системы: свойство управляемости проявляется в способности системы возвращаться в любое исходное положение под действием допустимых управлений. При этом было отмечено различное влияние регулярного и хаотического поведения траекторий динамических систем на свойство возвращаемости траекторий в исходное состояние, следовательно, на управляемость. При регулярном поведении траекторий базовой системы для обеспечения возвращаемости траекторий требуется применять управления достаточно большей величины. При хаотическом поведении системы по истечении большого промежутка времени наблюдается почти возвраща-емость траектории базовой системы в исходное положение, т.е. даже при нулевом локальном управлении. Таким образом, в соответствующих областях можно ограничиться малыми по величине локальными управлениями для замыкания траектории.

В работе для рассмотренных классов регулярных систем установлено существование клеточных комплексов специального вида, которые обеспечивают управляемость системы. На свойствах этого клеточного комплекса основан метод управления с помощью встречных последовательностей многообразий.

Для построения управляющих воздействий были применены методы символической динамики локальных управлений, которые показали свою эффективность как для регулярных, так и для хаотических систем. к

Результаты, выносимые на защиту

1. Для линейных по состояниям систем управления вида х = А{и)х получены следующие результаты об управляемости по части переменных: а) достаточные условия проективной управляемости линейных полисистем (теорема 2.2.1) и к ним сводящимся линейных систем (теорема 2.3.1); б) достаточные условия радиальной управляемости линейных систем (теорема 2.3.3); в) достаточные условия проективной управляемости линейных систем с тривиальным спектральным типом (теорема 2.3.2); г) достаточные условия проективной управляемости линейных систем с нетривиальным спектральным типом и свойством зацепляемости (теорема 2.3.4).

2. Для управления динамическими системами достаточного общего вида предложен метод встречных последовательностей многообразий. Доказана управляемость системы, для которой существует такая последовательность многообразий (теорема 2.4.1). Дано применение этого метода для управления линейными по состояниям системами.

3. Для систем, допускающих линеаризации, получены следующие условия управляемости: а) достаточные условия управляемости нелинейных систем в окрестности точки покоя (теорема 2.11.1); б) достаточные условия управляемости нелинейных систем в окрестности замкнутой траектории (теорема 2.11.2).

4. Для хаотических систем получены оценки сверху и снизу времени управления при различных предположениях о степени хаотичности систем. Исследованы следующие классы систем: а) равномерно гиперболические системы (теоремы 3.5.1, 3.5.2, 3.5.3); б) гиперболические в среднем системы (теоремы 3.6.1, 3.7.1, 3.9.1); в) нейтральные системы (теоремы 3.10.1, 3.10.2); г) слабо хаотичные системы (теорема 3.11.1); д) нестационарные слабо хаотичные системы (теоремы 3.13.1 — 3.13.10).

5. Поставлена и решена задача о распределении ресурсов для управления состояниями системы, для создания хаоса и для улучшения свойств локальной управляемости, (теорема 3.12.1).

6. На основе методов символической динамики и локального управления дан способ нахождения траектории, вдоль которой система может быть переведена из заданного начального состояния в желаемое конечное состояние, и дан способ нахождения последовательности управлений, осуществляющих движение по этой траектории (теорема 4.3.1).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Хрящев, Сергей Михайлович, 2006 год

1. Абрахам Р., Смейл С. Q-устойчивось не типична.// В кн.: Сб. пер. Мат., 1969, т. 13, №2. С. 156-160.

2. Аграчев A.A., Вахрамеев С.А., Гамкрелидзе Р.В. Дифференциально-геометрические и теоретико-групповые методы в теории управления.// В кн.'Проблемы геометрии, т. 14 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). М.: 1983, С. 3-56.

3. Аграчев A.A., Готье Ж.П.Л. Субримановы метрики.// В кн.: Современная математика м ее приложения, т. 64 (Итоги науки и техники ВИНИТИ РАН). М.: 1999, С. 5-48.

4. Аграчев A.A., Сачков Ю.Л. Геометрическая теория управления. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

5. Андреев Ю.Н. Дифференциально-геометрические методы в теории управления//Автоматика и телемеханика. 1982. №1. С. 5-46.

6. Андрианов С.Н. Теоретико-групповое и алгебраическое моделирование систем управления пучками частиц.// Вопросы механики и процессы управления (Системы управления). СПб, 1992, Вып 15. С. 7-13.

7. Андрианов С.Н. Динамическое моделирование систем управления пучками частиц. Спб.: Изд-во СПб. университета, 2004.

8. Андриевский Б.Р., Фрадков Ф.Л. Управление хаосом: методы и приложения. I Методы// Автоматика и телемеханика. 2003. №5. С. 3 -45.

9. Андриевский Б.Р., Фрадков Ф.Л. Управление хаосом: методы и приложения. II Методы// Автоматика и телемеханика. 2004. №4. С. 3 -32.

10. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978.

11. Барабанов А.Е. Оптимальное управление линейным дискретным объектом динамическим объектом с усредненным функционалом качества// Докл. АН СССР, 1990. Т.312. №5. С.1053-1057.

12. Барабанов А.Е. Синтез минимаксных регуляторов.СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1996.

13. Баутин H.H., Леонтович Е.Л. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990.

14. Бланк М.Л. Устойчивость и локализация в хаотической динамике. М.: МНЦМО. 2001.

15. Болтянский В.Г. Достаточные условия оптимальности и обоснование метода динамического программирования.// Изв. АН СССР, серия математическая, 1964. т.28, №3, С. 481-514.

16. Бонченко С. И., Тураев Д.В., Шильников Л.П. Гомоклинические касания произвольного порядка в областях Ньюхауса.// В кн.: Современная математика м ее приложения, т. 67 (Итоги науки и техники ВИНИТИ РАН). М.: 1999, С. 69-128.

17. Боуэн Р. Методы символической динамики. М.: Мир, 1979.

18. Бурдаков С.Ф., Дьяченко В.А., Тимофеев А.Н. Проектирование манипуляторов промышленных роботов и роботизированных комплексов. М.: Высш. шк., 1986.

19. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.- М.: Наука, 1967.

20. А.Х.Гелиг, А.Н.Чурилов. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1993.

21. Граничин О.Н., Поляк Б.Т. Рандомизированные алгоритмы оценивания и оптимизации при почти произвольных помехах. М.: Наука, 2003.

22. Вахрамеев С.А., Сарычев A.B. Геометрическая теория управления.// В кн. Итоги науки и техники (алгебра, топология, геометрия), т. 23, 1985, С. 197-280.

23. Давыдов A.A. Особенности границы достижимости в двумерных управляемых системах.// Успехи мат. наук. 1982, т. 37, № 3. С. 183— 184.

24. Елкин В.И. Редукция нелинейных систем управления. Дифференциально-геометрический подход. М.: Наука, 1997.

25. Емельянов C.B. и др. Теория систем с переменной структурой. М.: Наука, 1970.

26. Емельянов C.B., Коровин С.К., Никитин С.И. Классификация особенностей и управляемость двумерных билинейных систем. М., 1986. Деп. ВИНИТИ 20.03.86, № 2292-В 86.

27. Емельянов C.B., Коровин С.К., Никитин С.И. Управляемость нелинейных систем. Двумерные системы.// В кн. Итоги науки и техники (техническая кибернетика), 1987. т. 21. С. 3 66.

28. Емельянов C.B. Коровин С.К., Никитин С.И. Нелинейные системы, управляемость, стабилизируемость, инвариантность.// В кн. Итоги науки и техники (техническая кибернетика), 1988. т. 23. С. 3-107.

29. Жермоленко В.Н. Колебательность двумерных билинейных систем// Автоматика и телемеханика, 2005, № 9, С. 27-39.

30. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988.

31. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников A.A. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука, 1991.

32. Зубов В.И. Теория колебаний. М.: Высш. школа, 1979.

33. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965.

34. Ильяшенко Ю.С., Вейгу Ли. Нелокальные Бифуркации. М.:МЦНМО ЧеРо, 1999.

35. Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления". Т.1. Динамические системы1. М.: ВИНИТИ. 1985.

36. Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления". Т.2. Динамические системы2. М.: ВИНИТИ. 1985.

37. Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления". Т.З. Динамические системы3. М.: ВИНИТИ. 1985.

38. Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления". Т.4. Динамические системы4. М.: ВИНИТИ. 1985.

39. Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления". Т.5. Динамические системы5. М.: ВИНИТИ. 1986.

40. Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления". Т.6. Динамические системы6. М.: ВИНИТИ. 1987.

41. Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления". Т.16. Динамические системы- 7. М.: ВИНИТИ. 1987.

42. Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления". Т.39. Динамические системы- 8. М.: ВИНИТИ. 1989.

43. Калман Р. Об общей теории систем управления. // Труды I конгресса ИФАК. изд-во АН СССР, 1961, Т.2. С.521-547.

44. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999.

45. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

46. Куратовский К. Топология. М.: Мир, 1969.

47. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968.

48. Кухтенко А.И., Семенов В.Н., Удилов В.В. Геометрические и абстрактно-алгебраические методы в теории автоматического управления.// Кибернетика и вычислительная техника (Киев), 1975, №27. С. 3-20.

49. Jlene H.JI. Геометрический метод исследования управляемости билинейных систем второго порядка.// Автоматика и телемеханика, №11, 1984, С. 19-25.

50. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: Иностранная литература, 1962.

51. Магницкий Н.А., Сидоров C.B. Новые методы хаотической динамики. М.: Едиториал УРСС, 2004.

52. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

53. Морозов А.Д. и др. Инвариантные множества динамических систем в Windows. M.: Эдиториал УРСС, 1998.

54. Осипенко Г.С. О символическом образе динамической системы.// Тр. конф. Граничные задачи, Пермь: 1983, С. 101-105.

55. Осипенко Г. С. Проверка условия трансверсальности методами символической динамики.// Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 9, С. 1126-1132.

56. Осипенко Г.С., Ампилова Н.Б. Введение в символический анализ динамических систем. СПб: СПбГУ, 2005.

57. Осипенко Г.С., Хрящев С.М. Исследование управляемости динамических систем методами символической динамики.// Электронный журнал Динамические системы и управление, 1997. № 1. С. 78-90.

58. Павловский Ю.Н. Управление декомпозиционными структурами.// Кибернетика и вычислительная техника (Киев), 1983. №58. С. 1116.

59. Палис Ж., Ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. М.: Мир, 1986.

60. Петров H.H., О локальной управляемости.// Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12. № 12, С. 2214-2222.

61. Петров H.H., Управляемые системы и теория слоений.// Кибернетика и вычислительная техника (Киев), 1983, №58, С. 8-11.

62. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.

63. Пилюгин С.Ю. Введение в грубые системы дифференциальных уравнений. Д.: Изд-во Ленинградского университета, 1988.

64. Поляк Б.Т. Синхронизация хаотических систем с помощью прогнозирующего управления// Автоматика и телемеханика, 2005, № 12, С. 40-50.

65. Понтрягин Л.С. О динамических системах, близких к гамильтоно-вым. // ЖЭТФ. 1934, т.4, вып. 8.

66. Постников М.М. Группы и алгебры Ли. М.: Наука, 1982.

67. Пью Ч. Усиление леммы о замыкании и теорема о плотности// В кн.: Сб. пер. Мат., 1968. т. 2. №6. с. 136-146.

68. Розанов Ю.А. Стационарные случайные процессы. М.:ФМ, 1963.

69. Сачков Ю.Л. Управляемость трехмерных билинейных систем// Вестник МГУ, серия мат., мех. 1991. №3. С. 26-29.

70. Сачков Ю.Л. Инвариантные ортанты трехмерных билинейных систем// Вестник МГУ, серия мат., мех. 1991. №4. С. 21-26.

71. Смейл С. Грубые системы не плотны.// В кн.: Сб. пер. Мат., 1967. т. 11. №4. С. 107-112.

72. Солодов А.В., Петров Ф.С. Линейные автоматические системы с переменными параметрами. М.: Наука, 1971.

73. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наукова Думка, 1978.

74. Фомин В.Н., Хрящев С.М. Об одной задаче адаптивного управления линейным объектом в условиях случайных помех.// Автоматика и телемеханика, 1976. № 10. С. 102-110.

75. Фрадков А.Л. Исследование физических систем при помощи обратных связей.//Автоматика и телемеханика, 1999. № 3. С. 213-229.

76. Фомин В.Н., Хрящев С.М. Об одной задаче адаптивного управления линейным объектом в условиях случайных помех.//Автоматика и телемеханика, 1976, № 10, С. 102-110.

77. Хрящев С.М. О состоятельности оценок матрицы коэффициентов линейных систем в условиях коррелированных помех.// Автоматика и телемеханика, 1982, № 8, С. 68-76.

78. Хрящев С.М. Об идентифицируемости параметров динамических систем по заданной функции наблюдения. СПб., 1987. Деп. ВИНИТИ 21.01.87, № 470-В87.

79. Хрящев С.М. О структуре областей постоянного дефекта наблюдаемости состояний динамических систем. СПб., 1989. Деп. ВИНИТИ 09.01.89, № 222-В 89.

80. Хрящев С.М. Один метод исследования глобальной управляемости нелинейных систем на многообразиях.// Резюме докладов и сообщений 4-й конф. по дифференциальным уравнениям и их применениям, Русе, 1989. С. 305.

81. Хрящев С.М. Критерии глобальной управляемости систем на двумерной сфере. //Тезисы докладов 7-й Чехослов. конф. по дифференциальным уравнениям и их приложениям, Прага, 1989. С. 100.

82. Хрящев С.М. Один способ классификации нелинейных систем управления.//Тезисы докладов 6-го всесоюзное совещ. Управление многосвязными системами, Суздаль, 1990. С. 120-121.

83. Хрящев С.М. Метод спуска и подъема в исследовании глобальной управляемости нелинейных систем.// Тезисы докладов 7-й всесо-юзн. конф. Управление в механических системах, Свердловск, 1990. С. 109.

84. Хрящев С.М. Один метод нахождения собственных векторов и собственных чисел линейного оператора. СПб., 1995. Деп. ВИНИТИ 19.04.95, № 1095-В 95.

85. Хрящев С.М. Спектральные условия управляемости динамических систем со свойством зацепляемости. СПб., 1996. Деп. ВИНИТИ. 24.05.96, № 1021-В96.

86. Хрящев С.М. О локальной управляемости динамической системы вдоль траектории. СПб., 1997. Деп. ВИНИТИ 24.03.97, N 868-В 97.

87. Хрящев С.М., Осипенко Г.С. Исследование управляемости динамических систем методами символической динамики.// Электронный журнал Дифференциальные уравнения и процессы управления. www.stu.neva.ru/ 1997. №1. С. 79-90.

88. Хрящев С.М. Спектральный метод исследования управляемости динамических систем вблизи инвариантных множеств.// Автоматика и телемеханика, 1998. №3. С. 29-42.

89. Хрящев С.М. О зависимости управляемости от аналитических свойств матрицы системы. //Труды 6-го С.-Петербургского симпозиума по теории адаптивных систем. С.-Петербург, 1999. Т. 2. С. 187-190.

90. Хрящев С.М. Об управляемости линейных по состоянию динамических систем.//Автоматика и телемеханика, 2000. №10. С. 59-71.

91. Хрящев С.М. Оценки времени управления в системах с хаотическим поведением. Ч. I.// Автоматика и телемеханика, 2004. №10. С. 5167.

92. Хрящев С.М. Оценки времени управления в системах с хаотическим поведением. Ч. II.// Автоматика и телемеханика, 2004. № 11. С. 102113.

93. Хрящев С.М. Оценки времени управления для нестацианарных систем, порожденных квазилинейными гиперболическими отображениями./ / Электронный журнал Дифференциальные уравнения и процессы управления www.neva.ru/journal/ 2004, №4, С. 77-115.

94. Хрящев С.М. Применение статистических методов для оценивания времени управления детерминированными системами.// Электронный журнал Дифференциальные уравнения и процессы управления www.neva.ru/journal/ 2006, №1, С. 1-35.

95. А.Н. Чурилов, A.B. Гессен. Исследование линейных матричных неравенств. Путеводитель по программным пакетам. СПб.: Изд-во С.1. Петерб. ун-та, 2004.

96. Ширяев А.Н. Вероятность. Наука, 1980.

97. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М.: Мир, 1986.

98. Яковенко Г.Н. Групповой подход к управляемости и инвариантности динамических систем.// Кибернетика и вычислительная техника (Киев), 1978. N 39, С. 26-39.

99. Baptista M.S., Caldas I. L. Easy-to-implement method to target nonlinear systems.//Chaos, 1997. V. 8. №1. P. 290-299.

100. Bink R.E., Möhler R.R. Completely controllable bilinear systems.// SIAM J. Control and Optim. 1968. V. 6. №3. P. 477-486.

101. Boothby W. M. A Transitivity Problem from Control Theory.// J. Differential Equations. 1975. V. 17. №3. P. 296-307.

102. Boothby W. M. Some comments on positive orthant controllability of bilinear systems.// SIAM J. Control and Optim. 1982. V. 20. №5. P. 634-644.

103. Brockett R.W. System Theory on Group Manifolds Coset Spaces.// SIAM J. Conrt. and Optim., 1972. V.10. №2. P. 265-284.

104. Bonnard B. Controllability des systemes bilineares. //Math Syst. Theory, 1981. V. 15. №1. P. 79-92.

105. Chen G., Dong X. From chaos to order. Methodologies, perspectives and applications. World Scientific, 1998.

106. Chen G., Ueta T. Chos in circuits and sysyems. World Scientific, 2002.

107. Chen G., Hill D. J. Bifurcation control. Theory and applications. Springer, 2003.

108. Chen G., Yu X. Chaos control. Theory and applications. Springer, 2003.

109. Cheng G.S., Tarn T.J., Elliott D.L. Controllability of bilinear systems//Lecture notes in economics and mathematical systems. Berlin. Springer-Verlag, 1975, P.83-100.

110. Colonius F., Kliemann W. The Dynamics of Control. Birkhaeser, 1999.

111. Fradkov A.L., Pogromsky A.Yu. Introduction to control of oscillations and chaos. Singapore: World Scientific, 1998.

112. Gauthier J.-P., Bornard G. An openess condition for the controllability of nonlinear systems.// SIAM J. Contr. and Optim., 1982. V. 20. №6. P. 808-814.

113. A.Kh. Gelig, A.N. Churilov. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-Modulated Systems. Boston-Basel-Berlin: Birkhauser, 1998.

114. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields, 1983.

115. Grasse K.A. On accessibility and normal accessibility: the openess of controllability in the fine C°-topology.// J. Differential Equations. 1984. V. 53. №3. 387-341.

116. Hermes H. On local and global controllability. SIAM J. Control. 1974. V. 12. №2. 252-261.

117. Isidori A. The Geometric Approach to Nonlinear Feedback Control. A survey Lect. Notes Contr. and Int. Sci., 1982. V.44. P. 517-531.

118. Jurdjevic V., Quinn J.P. Controllability and Stability// J. Differential Equation, 1978, V. 28, N 2, P. 381-389.

119. Hermes H. On Local Controllability.// SIAM J. Contr. and Optim., 1982. V. 20. №2. P. 211-220.

120. Kalman R.E. Mathematical description of linear dynamical systems.//SIAM J. Control, 1963. ser. A. V. 1. №2. P. 152-192.

121. Kalman R.E. Canonical structure of linear Dynamical systems.//Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1962, V. 48. №4. P. 595-601.

122. Kalman R.E., Ho Y.C., Narendra K.S. Controllability of linear dynamical systems. Contributions to Differential Equations, 1963, V. 1. P. 189-231.

123. Khryashchev S.M. A Method of computation of eigenvectors and eigenvalues and Matrix Jordan's form.//Abstracts 5-th Conference on Numerical Methods, Miskolc, 1990. P. 44.

124. Khryashchev S.M. Spectral conditions of spherical controllability. //Proc. of International Workshop Singular Solutions and Perturbations in Control Systems, Pereslavl-Zalessky, 1995, P. 5153.

125. Khryashchev S.M. Spectral conditions of spherical controllability linear with respect to the state dynamical systems.// Proc. of the third European Control Conference. Roma. 1995. V.4,part 2. P. 3454-3455.

126. Khryashchev S.M. On controllability conditions for dynamical systems with the looping property//Proc. of the 3rd International Conference on Motion and Vibration Control. China. 1996. V.2. P. 399-402.

127. Khryashchev S.M. On controllability of linear with respect to state dynamical systems.// Enlarged abstracts of the 9th conference on differential equations and their applications. Brno, 1997. P. 237-238.

128. Khryashchev S.M. On Stochastic Properties of Linear with Respect to State Control Systems.// Proc. of the international Conference on Control of Oscilations and Chaos. St. Petersburg, 1997. V.l. P. 179-180.

129. Khryashchev S.M. Method of bifurcation diagram for research of controllability.//Proc. of the international Congress. Berlin, 1998. P. 267-272.

130. Khryashchev S.M. A method of bifurcation graph for research of controllability//Proc. of 5th European Control Conference. Karlsruhe, 1999. P. 116-122.

131. Khryashchev S.M. A method for research of controllability.// Proc. of the international Conference on Control of Oscilations and Chaos. St. Petersburg, 2000. V.l. P. 156-157.

132. Khryashchev S.M. Estimation of transport times for chaotic dynamical control systems.// Proc. Int. Conf. Physics and Control, 2003. P. 528533.

133. Khryashchev S.M. Control Times in Systems of Chaotic Behavior. I. Its Estimation.// Automatiom and remote control. 2004. V.65. № 10. P. 1566-1579.

134. Khryashchev S.M. Control Times in Systems of Chaotic Behavior. II. Its Estimation.// Automatiom and remote control. 2004. V.65. №11. P. 1782-1792.

135. Krener A. J. On the equivalence of control systems and the linearization of nonlinear systems.// SIAM J. Control, 1973, V. 11. N 4. P. 670-676.

136. Kucera J. Solution in large of control problem x = (A( 1 — u) + Bu)x.//Chech. Math. J., 1966, V.16. №4. P. 600-623.

137. Kucera J. Solution in large of control problem x = (Au+Bv)x.//Chech. Math. J., 1967, V.17. №1. P . 91-96.

138. Kucera J. On the accessibility of bilinear systems.// Chech. Math. J., 1970, V.20. №.1. P. 160-168.

139. Leonov G.A. Lyapunov exponents and problems of linearization. From stability to chaos. St. Petersburg press, 1997.

140. Lobry C. Controllability of nonlinear control dynamical systems.//SIAM J. Contr. and Optim., 1974. V. 12. №.1. P. 1-4.

141. Macau E. Targeting in chaotic scattering. Physical review E. 1998. V.57. №°.5. P. 5337-5347.

142. Newhouse Sh. Entropy and Volume//Ergodic Theory and Dynamical Systems. 1988. V. 8* (Conley Memoria Issue) P. 283-300.

143. Ott E, Grebodi C., Yorke J. Controlling chaos.// Physical review letters. 1990. V. 64, №11. P.1195-1199.

144. Osipenko G.S. The periodic points and symbolic dynamics.// Seminar on Dynamical Systems. Basel: Birkhauser Verlag. 1993.

145. Osipenko G. Localization of the chain recurrent set.// Proc. of the conference Dynamic systems and applications. Atlanta, 1994. V.l, P. 277-282.

146. Osipenko G.S., Il'in I.V. Methods of Applied Symbolic Dynamics.// Proc. of Dynamic Systems and Applications. 1996. V.2. P. 451-460.

147. Osipenko G., Ershov E., Kim J. H. Lectures on invariant manifolds of perturbed differential equations and linearizations. State technical university St. Petersburg, 1996.

148. Osipenko G.S, Khryashchev S.M. Controllability and applied symbolic dynamics.// Proc. of the thirteenth international symposium on mathematical theory of networks and systems. Padova, 1998, P. 349352.

149. Piragas K. Continuous control of chaos byself-controlling feedback.// phys. Lett. A. 1992.V. 170, P. 421 428.

150. Paskota M., Lee H.W.I.// Targeting moving targets in chaotic dymamical systems// Chaos,Solutions, and Fractals, 1997. V.8. №9. P. 1533-1544.

151. Ratner M. The central limit theorem for geodesic flows on n-dimensional manifolds of negative curvature.//Israel J. Math.,16, 1973, P. 181-197.

152. Sachkov Yu.L. On Positive Orthant Controllability of Bilinear Systems in Small Codimensions.//SIAM Journ. Control and Optimization, 1997. V. 35. №1. P. 29-35.

153. Schroer C., Ott E. Targeting in hamiltonian systems that have mixed regular/chaotic phase spaces.// Chaos 7 V.4. 1997.

154. Sotomayor J. Generic bifurcations of dynamical systems.// Dynamical Systems. Academic Press. 1973, P. 561-582.

155. Sussmann H.J. The control problem x = A(u)x.// Chech. Math. J., 1972, V.22. №3, P. 490-494.

156. Sussmann H.J. Some properties of vector fields systems which are not altered by small perturbations.//J. Differential Equations, 1976. V. 20. №2. P. 292-315.

157. Sussmann H.J. A sufficient condition for local controllability. SIAM J. Contr. and Optim., 1978, V. 16. №.5. P. 790-802.

158. Sussmann H.J. Lie brackets, real analyticity, and geometric control.// Differ.Geom. Contr. Theory. Proc. Conf. Mich. Technol. Univ. 1983. P. 1-116.

159. Yang L., Liu Z., Zheng Y." Middle" periodic orbit and its application to chaos control.// International journal of bifurcation and chaos. 2001. V.12. №8. P .1869-1876.

160. Yomdin Y. Volume growth and entropy // Israel J.math. 1987. V. 57. P. 285-300.1. Список обозначений

161. Дп вещественное евклидово пространство размерности п11Рп вещественное проективное пространство размерности п

162. Мп, ЛГП,. многообразия размерности п1. Б11 сфера размерности п

163. Б1 замкнутая траектория роточка покоя1. X пространство состояний11 управляющее пространство1. Тп тор размерности п

164. Ы множество допустимых управленийй управляющее воздействие

165. А и локальное управляющее воздействиех у состояние х переводимо в состояние у при управлении й

166. Ну Е{ множество Е. переводимо в множество при управлении щ3(х) устойчивое многообразие точки хи(х) неустойчивое многообразие точки х

167. А(и),В(и) матрицы, зависящие от параметра и

168. Сг(11) пространство г раз дифференцируемых функций

169. Уе(.) ¿-окрестность множества

170. А, В. коммутатор матриц А, В