Линеаризация аффинных систем и решение задач терминального управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор наук Фетисов Дмитрий Анатольевич

• Фетисов Дмитрий Анатольевич
• доктор наук
• 2020

Оглавление диссертации доктор наук Фетисов Дмитрий Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. А-ОРБИТАЛЬНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПО ОБРАТНОЙ СВЯЗИ И СОСТОЯНИЮ

1.1. Векторные поля, распределения, дифференциальные формы, ко-распределения

1.2. Эквивалентность и орбитальная эквивалентность аффинных систем по обратной связи и состоянию

1.3. Линеаризация обратной связью и орбитальная линеаризация аффинных систем

1.4. А-орбитальная эквивалентность по обратной связи и состоянию 42 Выводы к первой главе

Глава 2. А-ОРБИТАЛЬНАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ АФФИННЫХ СИСТЕМ С ОДНИМ УПРАВЛЕНИЕМ

2.1. Условие Ап-1-орбитальной линеаризуемости аффинных систем

с одним управлением

2.2. Связь между Ап-1-орбитальной линеаризуемостью и орбитальной линеаризуемостью для систем с одним управлением

2.3. Алгоритм Ап-1-орбитальной линеаризации для аффинных систем с одним управлением

2.4. Ап-1-орбитальная линеаризация трехмерных и четырехмерных систем

2.5. Условия Ап-1-орбитальной линеаризуемости в терминах векторных полей

2.6. Условие Ап-орбитальной линеаризуемости аффинных систем с одним управлением

2.7. Алгоритм Ап-орбитальной линеаризации аффинных систем с одним управлением

Стр.

2.8. Приложение А-орбитальной линеаризации к решению терминальных задач для аффинных систем с одним управлением

Выводы ко второй главе

Глава 3. А-ОРБИТАЛЬНАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ АФФИННЫХ СИСТЕМ С ВЕКТОРНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ

3.1. Условие Ап-1-орбитальной линеаризуемости аффинных систем

с векторным управлением

3.2. Связь между Ап-1-орбитальной линеаризуемостью и орбитальной линеаризуемостью для систем с векторным управлением

3.3. Алгоритм Ап-1-орбитальной линеаризации для аффинных систем с векторным управлением

3.4. Приложение А-орбитальной линеаризации к решению терминальных задач для аффинных систем с векторным управлением 142 Выводы к третьей главе

Глава 4. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ ТЕРМИНАЛЬНЫХ ЗАДАЧ СО СВОБОДНЫМ ВРЕМЕНЕМ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ АФФИННЫХ СИСТЕМ

4.1. Квазиканонический вид многомерной аффинной системы

4.2. Решение терминальной задачи на основе построения п-парамет-рической программной траектории

4.2.1. Описание метода

4.2.2. Достаточное условие существования решения

4.2.3. Численная процедура построения решения терминальной задачи

4.2.4. Обоснование численной процедуры

4.3. Решение терминальной задачи на основе построения у|-пара-

метрической программной траектории

4.3.1. Описание метода

Стр.

4.3.2. Достаточное условие существования решения

4.3.3. Численная процедура построения решения терминальной задачи

4.3.4. Обоснование численной процедуры

Выводы к четвертой главе

Глава 5. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ ТЕРМИНАЛЬНЫХ ЗАДАЧ С ФИКСИРОВАННЫМ ВРЕМЕНЕМ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ АФФИННЫХ СИСТЕМ

5.1. Преобразование задачи

5.2. Сведение терминальной задачи к граничной задаче для системы меньшей размерности

5.3. Построение решения граничной задачи для вспомогательной системы

5.4. Построение решения граничной задачи для исходной системы

5.5. Иллюстративный пример

Выводы к пятой главе

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линеаризация аффинных систем и решение задач терминального управления»

Введение

Актуальность темы. Одним из подходов к решению различных задач управления для нелинейных систем является подход, основанный на преобразовании системы к тому или иному специальному виду, для которого решение задачи может быть произведено известными методами. В качестве системы специального вида наибольшее распространение получили линейные системы, удовлетворяющие условию управляемости Р. Калмана [19]. В дальнейшем будем называть такие системы линейными управляемыми системами. Первым, кто предложил преобразовывать нелинейные системы с управлением в линейные управляемые системы, был Р. Брокетт. В работе [77], вышедшей в 1978 г., он получил первое условие линеаризуемости для аффинных систем со скалярным управлением. При этом Брокетт рассматривал специальный класс преобразований, при котором мог изменяться дрейф системы, но управляющее векторное поле оставалось неизменным. Чуть позже, в 1980 г., Б. Якубчиком и В. Респондеком [106] условие Брокетта было обобщено на более широкий класс преобразований, включающий в себя изменение как дрейфа системы, так и управляющего векторного поля. Преобразование аффинной системы в линейную управляемую систему на основе использования гладких обратимых замен управлений и состояний получило название линеаризации обратной связью. Окончательный вариант условия линеаризуемости аффинной системы обратной связью, известный и широко используемый по сей день, был получен Л. Хантом и Р. Сью в 1981 г. в работе [103]. Отметим, что для проверки, можно ли линеаризовать обратной связью аффинную систему с одним управлением и с п-мерным состоянием, необходимо построить специальную последовательность распределений, соответствующих системе. Система линеаризуема обратной связью в том и только в том случае, если (п — 1)-ый элемент этой последовательности является инволютивным распределением, а размерность п-го элемента равна п.

Условия линеаризуемости аффинных систем обратной связью (в локальном варианте) легко проверяемы с помощью алгебраических операций и операции дифференцирования. Тем не менее для большинства систем эти условия не выполняются. В связи с этим в последующие годы были предприняты попытки обобщить полученные результаты на более широкие классы систем. Необходимо отметить условия приближенной линеаризуемости обратной связью, полученные А. Кренером в работе [108], а также решение задачи выделения наибольшей линеаризуемой подсистемы, построенное Р. Марино в работе [117]. Одним из направлений обобщения условий линеаризуемости стало получение условий нерегулярной линеаризуемости обратной связью [98,134]. Целым направлением в нелинейной теории управления стала теория линеаризации обратной связью по выходу, построенная в работах [105,123]. Предложенное А. Исидори понятие нормальной формы аффинной системы с выходом нашло широкое применение как в теоретических, так и в прикладных исследованиях (см., например, [2,33,47,51,53]).

Интерес многих специалистов в области нелинейной теории управления связан с разработкой условий максимальной линеаризации обратной связью [83, 115,116]. Задача максимальной линеаризации для систем с одним управлением состоит в нахождении выхода максимально возможной относительной степени, обладающего следующим свойством: существуют гладкие обратимые замены управления и состояния, преобразующие систему с этим выходом к нормальной форме с асимптотически устойчивой нулевой динамикой.

В работах А.П. Крищенко получены глобальные условия линеаризуемости аффинных систем обратной связью на некотором подмножестве пространства состояний [34,37]. Кроме того, А.П. Крищенко было введено понятие частично определенного многозначного представления аффинных систем [34]. Применительно к задаче линеаризации значение этого понятия может быть сформулировано следующим образом: на разных подмножествах своей области определения одна и та же аффинная система может преобразовываться

в линейную управляемую систему разными преобразованиями состояния и управления; в результате система, не преобразующаяся в линейную управляемую систему на всем пространстве состояний, может преобразовываться в линейную управляемую систему на разных его подмножествах. Указанный подход нашел свое применение при решении задач построения множеств достижимости для аффинных систем [35,36].

Еще одним направлением развития теории линеаризации нелинейных систем стало исследование возможности преобразования систем к другим каноническим формам. Так, в монографии [32] предложен способ преобразования неавтономных нелинейных систем к треугольному виду, в работе [38] рассмотрена проблема преобразования аффинных систем к специальному квазиканоническому виду, который в некоторых случаях позволяет эффективно решать различные задачи управления. Условия преобразуемости аффинной системы к квазиканоническому виду гладкими обратимыми заменами состояния и управления доказаны в работе [38]. Различные аспекты преобразования аффинных систем к квазиканоническому виду, такие как нахождение максимально возможного индекса приводимости для систем с одним управлением и максимально возможного мультииндекса приводимости для систем с векторным управлением, обсуждались в работах [54,75].

Отметим, что в работах [77, 103, 106] условия линеаризуемости обратной связью были выведены в терминах векторных полей, соответствующих системе. Двойственный вариант условий линеаризуемости аффинных систем, полученный с помощью внешнего дифференциального исчисления и более предпочтительный в некоторых случаях с вычислительной точки зрения, был доказан Р. Гарднером и В. Шэдвиком в работе [97]. Альтернативную формулировку критерия линеаризуемости обратной связью можно найти в работе [14].

Естественным обобщением линеаризации обратной связью стала линеаризация динамической обратной связью. Проблемы преобразования нелинейных

систем в линейные управляемые системы с помощью динамической обратной связи рассматривались в работах [81,82,104,124,133]. Значительным вкладом в теорию линеаризации нелинейных динамических систем с управлением стала работа [95], в которой были введены понятие эндогенной эквивалентности динамических систем и определение плоской системы. Плоской в работе [95] была названа система, эндогенно эквивалентная тривиальной системе, динамика которой полностью описывается набором независимых функций, получившим название плоского выхода системы.

Ряд работ [113,118,120] посвящен проблеме линеаризации специального класса нелинейных систем - аффинных систем без дрейфа, к которым приводят многие прикладные задачи.

В 1986 г. в работе [129] было впервые предложено использовать для линеаризации нелинейных систем, помимо замен состояний и управлений, замены независимой переменной. Поскольку традиционно в теории управления независимой переменной придается смысл времени, то и замены независимой переменной в системе управления получили название «масштабирование времени». В общем случае масштабирование времени, зависящее как от состояния, так и от управления, преобразует аффинную систему в нелинейную систему, не являющуюся аффинной, что затрудняет дальнейшее исследование (по крайней мере теми методами, которые были известны тогда). Тем не менее если масштабирование времени зависит только от состояния, то аффинная система преобразуется в некоторую новую аффинную систему, для исследования которой можно применить методы линеаризации обратной связью. В работе [129] показано, что масштабирования времени, зависящие от состояния, позволяют линеаризовать аффинные системы, не линеаризуемые обратной связью. Сампеи и Фурута также вывели систему уравнений в частных производных для нажождения масштабирования времени, преобразующего исходную систему в систему, для которой выполнено первое условие линеаризуемости обратной связью - условие инволютивности. Второе условие (максимальный ранг п-го элемента последовательности распределений),

согласно работе [129], должно проверяться отдельно - для каждого из масштабирований времени, найденных в результате решения системы уравнений в частных производных. Система уравнений в частных производных из работы [129] в общем случае весьма громоздка, метод ее решения авторами не предложен. В связи с этим проблема нахождения линеаризующего масштабирования времени оставалась открытой.

В работе [125] В. Респондеком для аффинных систем введено понятие орбитальной эквивалентности по обратной связи и состоянию. Кроме того, в [125] предложено называть орбитально линеаризуемой систему, которая ор-битально эквивалентна по обратной связи и состоянию линейной управляемой системе. В [125] получено геометрическое условие орбитальной линеаризуе-мости для аффинных систем с одним управлением и приведена классификация орбитально линеаризуемых аффинных систем второго, третьего и четвертого порядка. Независимо от Респондека, М. Гэ, используя внешнее дифференциальное исчисление, доказал необходимое и достаточное условие орбитальной линеаризуемости аффинных систем с одним управлением [100]. На основе доказанного условия в работе [100] предложен алгоритм орбитальной линеаризации аффинных систем с одним управлением. В работах [40,42] предложено разделить множество масштабирований времени на два подмножества - интегрируемые масштабирования времени и неинтегрируемые масштабирования времени. Кроме того, в этих работах приведено необходимое и достаточное условие орбитальной линеаризуемости аффинных систем с одним управлением и его обобщение на случай нестационарных систем. В работах [21,25] для аффинных систем с трехмерным состоянием и с одним управлением получены условия, при выполнении которых неинтегрируемая замена независимой переменной совместно с гладкими невырожденными заменами состояния и управления преобразуют систему в линейную управляемую систему.

Масштабирование времени нашло широкое применение при решении разнообразных прикладных задач. Среди них отметим задачу построения ро-бастного контроллера для систем, описывающих химические реакции [119],

задачу линеаризации наблюдателя [102], задачу построения наблюдателя с линеаризуемой динамикой ошибки [127], задачу стабилизации системы, описывающей поведение механизма ЛегоЪо1 [128], задачу отслеживания пути для беспилотных летательных аппаратов [135], задачу путевой стабилизации для кинематических моделей колесных роботов [48], задачу терминального управления процессами в химических реакторах [24]. На основе использования замен независимой переменной предложены метод решения терминальных задач для аффинных систем с трехмерным состоянием и одним управлением [23], метод повышения относительной степени выхода у аффинной системы с одним управлением и одним выходом [122], метод нахождения такого масштабирования времени, которое позволяет сделать распределения, соответствующие системе с одним управлением, из неинволютивных инволютив-ными [130].

Орбитальная линеаризация аффинных систем с векторным управлением является более сложной проблемой. Первое условие орбитальной линеари-зуемости для аффинных систем с векторным управлением было получено в работе [101] на основе использования внешнего дифференциального исчисления. Полное геометрическое описание орбитально линеаризуемых аффинных систем с векторным управлением в случае, когда система преобразуется в линейную управляемую систему с одинаковыми индексами управляемости, приведено в работе [114]. На основе предложенного критерия орбитальной линеаризуемости в работе [114] разработан алгоритм преобразования аффинных систем с векторным управлением в линейные управляемые системы с одинаковыми индексами управляемости. Проблема поиска масштабирования времени, которое превращает распределения, соответствующие системе из неинволютивных в инволютивные, рассматривалась в работах [131,132].

Подчеркнем, что все приведенные условия орбитальной линеаризуемости касаются случая, когда используются масштабирования времени, зависящие от состояния и не зависящие от управления. Значительный вклад в проблему преобразования нелинейных систем внесли М. Флисс и соавторы в

работе [96], где было введено понятие орбитальной эквивалентности, которое можно, в частности, рассматривать как обобщение понятия орбитальной эквивалентности по обратной связи и состоянию. Орбитальная эквивалентность основана на преобразованиях Ли-Бэклунда и включает в себя, среди прочего, масштабирования времени, зависящие от управления. Если нелинейная система орбитально эквивалентна линейной управляемой системе, то эту систему называют орбитально плоской [96]. В [96] приведен пример нелинейной системы, которая не является плоской, но является орбитально плоской. Вместе с тем отметим, что пока нет условия, которое позволяло бы для произвольной нелинейной системы проверить, является ли она орбиталь-но плоской и (в случае положительного ответа) построить линеаризующие преобразования. В связи с этим представляется актуальным, оставаясь в рамках концепции орбитальной плоскостности, выяснить, насколько расширяются возможности линеаризации обратной связью, если использовать ее для аффинных систем в сочетании с заменами независимой переменной, зависящими от управления.

Одной из актуальных задач теории управления является задача построения траекторий, удовлетворяющих тому или иному набору свойств. Важной для приложений является терминальная задача, заключающаяся в отыскании таких управлений, которые переводят систему из заданного начального состояния в заданное конечное состояние [10,11,20,24]. Постановки терминальных задач могут различаться. В частности, момент окончания может быть задан, а может подлежать определению наряду с управлением; в постановке терминальных задач могут присутствовать ограничения на состояния и/или управления. Одним из наиболее популярных подходов к решению терминальных задач является подход, основанный на применении концепции обратных задачи динамики [8,15,44-46,49]. Возможности этого подхода существенно расширяются, если использовать его в сочетании с линеаризацией обратной связью [16-18]. Если аффинная система преобразуется гладкими обратимыми заменами состояния и управления на множестве допустимых состояний

в линейную управляемую систему, определенную на всем пространстве состояний, то терминальная задача для исходной системы эквивалентна терминальной задаче для линейной управляемой системы. Отсюда вытекает, что построить решение терминальной задачи для исходной системы можно, исходя из следующих соображений. Сначала для линейной управляемой системы строится программная траектория, удовлетворяющая граничным условиям и всем уравнениям системы, кроме единственного уравнения, содержащего управление. Затем из уравнения системы, содержащего управление, определяется программное управление, которое реализует построенную программную траекторию в качестве траектории линейной управляемой системы. Найденное управление является одновременно и решением терминальной задачи для исходной системы.

Описанный подход имеет два существенных недостатка: его применение существенно затрудняется, если в задаче присутствуют ограничения на состояния и/или управления; подход неприменим, если аффинная система не линеаризуется обратной связью. Второй недостаток преодолевается, если система является плоской: в этом случае с незначительными изменениями терминальная задача может быть решена тем же способом [121]. Если же система не является и плоской, то в общем случае вопрос о построении решений терминальной задачи для нелинейной системы остается открытым. В серии работ [3-7,43,74,76] предложен метод накрытий решения терминальных задач для нелинейных систем. Метод позволяет свести решение терминальной задачи к решению двух связанных задач Коши и, как показывают примеры, применим в том числе к системам, не являющимся ни плоскими, ни орбитально плоскими. В случае плоских систем метод накрытий обобщает подход, описанный выше. Составной частью метода накрытий является построение так называемого г-замыкания рассматриваемой терминальной задачи. В общем случае построение г-замыкания является непростой задачей, это накладывает ограничения на область применимости метода.

Метод решения терминальных задач для аффинных систем квазиканонического вида, основанный на сведении терминальной задачи к граничной задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений меньшей размерности, был предложен в работе [99]. Область применимости этого метода в работе [99] не обсуждалась. В работе [55] метод, предложенный в [99], был обоснован для аффинных систем квазиканонического вида с одним управлением и индексом приводимости, на единицу меньшим размерности состояния. Обоснование метода для систем с векторным управлением и индексом приводимости, на два меньшим размерности состояния, было получено в работе [56]. Вопрос о применимости метода для систем, у которых разность между размерностью состояния и индексом приводимости превышает два, остается открытым.

В работах [9,12,22,41,136] предложены методы решения терминальных задач с учетом ограничений на состояния. В работе [22] разработан метод вариаций решения терминальной задачи для двумерной аффинной системы, записанной в так называемом каноническом виде [34]. В работах [9,41] для двумерных систем канонического вида предложены варианты расширения множества, в котором ищутся фазовые траектории. С использованием этой идеи в [9,41] разработан метод решения терминальной задачи, основанный на оптимизационном подходе к построению фазовых траекторий, удовлетворяющих заданным ограничениям на состояния. В работах [12,136] этот метод обобщен на многомерные аффинные системы, распадающиеся на двумерные подсистемы канонического вида.

Отметим, что значительная часть работ посвящена приближенным методам построения решений терминальных задач. Так, в работе [52] предложен локальный алгоритм приближенного решения терминальной задачи для трехмерных систем без дрейфа и с двумерным управлением. На основе предложенного подхода в [52] разработан алгоритм приближенного решения терминальной задачи на трехмерном многообразии для аффинных систем с п-мерным состоянием и двумерным управлением. В серии работ [26-31,109-112]

разработан метод приближенного решения терминальных задач для нелинейных систем. Этот метод заключается в сведении терминальной задачи к серии задач стабилизации для линейных нестационарных систем с экспоненциальными коэффициентами и к серии задач Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений специального вида. Отметим, что достоинством этого метода является возможность решать в том числе терминальные задачи при наличии возмущений. Вместе с тем достаточные условия применимости метода накладывают ограничения и на граничные состояния, и на правую часть системы, и на величину возмущений (при их наличии).

Таким образом, известные методы решения терминальных задач либо применимы к системам специального вида, либо накладывают серьезные ограничения на систему, в связи с чем проблема построения решений терминальных задач для нелинейных систем остается актуальной.

Цель проведенных исследований — разработка новых методов преобразования нелинейных динамических систем в линейные управляемые системы и новых методов решения задач терминального управления для многомерных нелинейных динамических систем.

В рамках поставленной цели выделим основные задачи диссертационной работы:

- описать класс аффинных систем, которые могут быть преобразованы в линейную управляемую систему с помощью гладких невырожденных замен состояния, управления и масштабирования времени, зависящего от управления,

- разработать алгоритмы преобразования аффинных систем в линейные управляемые системы с помощью гладких невырожденных замен состояния, управления и масштабирования времени, зависящего от управления,

- выяснить, позволяют ли масштабирования времени, зависящие от управления, линеаризовать аффинные системы, не линеаризуемые орбитально,

- разработать методы решения терминальных задач для многомерных нелинейных динамических систем, не линеаризуемых обратной связью; описать

области применимости каждого из методов; разработать численные процедуры построения решений терминальных задач каждым из предложенных методов.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе применяются методы математической теории управления. При решении задачи о преобразовании аффинных систем в линейные управляемые системы центральное место занимают дифференциально-геометрические методы теории управления. Для решения задач терминального управления в работе используются методы математического анализа, методы качественной теории дифференциальных уравнений, концепция обратных задач динамики, методы линейной алгебры, численные методы.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Необходимое и достаточное условие А-орбитальной эквивалентности по обратной связи и состоянию для многомерных аффинных систем.

2. Необходимые и достаточные условия А-орбитальной линеаризуемости аффинных систем со скалярным и векторным управлением.

3. Алгоритмы А-орбитальной линеаризации аффинных систем со скалярным и векторным управлением.

4. Теорема об Ап-1-орбитальной линеаризуемости трехмерных и четырехмерных аффинных систем со скалярным управлением.

5. Теоремы о связи Ап_^орбитальной линеаризуемости и орбитальной ли-неаризуемости.

6. Методы решения терминальных задач со свободным временем управления для многомерных регулярных аффинных систем квазиканонического вида.

7. Метод решения терминальных задач с фиксированным временем управления для многомерных регулярных аффинных систем квазиканонического вида, основанный на варьировании параметров в программной траектории.

Практическая и теоретическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть применены для решения задачи преобразования многомерных нелинейных систем с управлением к различным каноническим формам (в том числе в линейные управляемые системы). Такие преобразования, в свою очередь, лежат в основе многих известных методов управления, используемых при решении прикладных задач. Результаты диссертационной работы могут быть также использованы для решения одной из важнейших задач теории управления - задачи терминального управления многомерными нелинейными системами. Полученные результаты могут представлять интерес для специалистов, работающих в МГТУ им. Н.Э. Баумана, ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, ФИЦ ИУ РАН, МГУ им. М.В. Ломоносова, МАИ и в других научных организациях и высших учебных заведениях.

Положения, выносимые на защиту:

1. Необходимое и достаточное условие А-орбитальной эквивалентности аффинных систем по обратной связи и состоянию.

2. Необходимые и достаточные условия Ап-1- и Ап-орбитальной линеари-зуемости аффинных систем со скалярным управлением; необходимое и достаточное условие Ап-1-орбитальной линеаризуемости аффинных систем с векторным управлением.

3. Алгоритмы Ап-1- и Ап-орбитальной линеаризации аффинных систем со скалярным управлением; алгоритм Ап-1 -орбитальной линеаризации аффинных систем с векторным управлением.

4. Теорема об Ап-1-орбитальной линеаризуемости трехмерных и четырехмерных аффинных систем со скалярным управлением.

5. Теоремы о связи Ап-^орбитальной линеаризуемости и орбитальной ли-неаризуемости для аффинных систем со скалярным и векторным управлением.

6. Методы решения терминальных задач со свободным временем управления для многомерных аффинных систем, эквивалентных по обратной связи и состоянию регулярным системам квазиканонического вида.

7. Метод решения терминальных задач с фиксированным временем управления для многомерных аффинных систем, эквивалентных по обратной связи и состоянию регулярным системам квазиканонического вида.

Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы получены с помощью строгих математических доказательств и подтверждаются результатами математического моделирования.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: XII Всероссийское совещание по проблемам управления (Москва, ИПУ РАН, 2014), III International Conference on Circuits, Systems, Communications, Computers and Applications (Флоренция, Италия, 2014), XIII международная конференция «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2016), VII международная конференция «Системный анализ и информационные технологии» (Светлогорск, 2017), XX IFAC Congress (Тулуза, Франция, 2017), Международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 2017), XIV международная конференция «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2018), VII International Conference on Mathematical Modeling in Physical Sciences (Москва, 2018), XIII Всероссийское совещание по проблемам управления (Москва, ИПУ РАН, 2019), XI IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems (Вена, Австрия, 2019).

Основные научные результаты диссертации отражены в 27 научных работах общим объемом 16.69 п.л., в том числе: в 19 статьях в изданиях, включенных в Перечень ВАК РФ [39,57-61,63,64,68,84-86,88-94]; в 11 статьях в изданиях, индексируемых в международных базах Scopus и Web of Science [68,84-86,88-94]; в 6 тезисах докладов конференций [62,67,69-71,87].

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Фетисов Дмитрий Анатольевич, 2020 год

Литература

1. Аграчев А.А., Сачков Ю.Л. Геометрическая теория управления. М.: Физ-матлит, 2005. 392 с.

2. Атамась Е.И. Алгоритмы обращения динамических систем с запаздыванием: дис. ... канд.физ.-мат.наук. М., 2018. 119 с.

3. Белинская Ю.С., Четвериков В.Н. Метод накрытий для терминального управления с учетом ограничений // Дифференциальные уравнения. 2014. Т. 50, № 12. С. 1629-1639.

4. Белинская Ю.С., Четвериков В.Н. Симметрии, накрытия, декомпозиция систем и терминальное управление // Дифференциальные уравнения.

2016. Т. 52, № 11. С. 1477-1488.

5. Белинская Ю.С., Четвериков В.Н. Декомпозиция систем и терминальное управление // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки.

2017. № 6. С. 103-125.

6. Белинская Ю.С. Решение задач терминального управления для плоских и лиувиллевых систем с учетом ограничений: дис. ... канд.физ.-мат.наук. М., 2017. 151 с.

7. Белинская Ю.С., Четвериков В.Н. Метод накрытий для терминального управления и орбитальная декомпозиция систем // Дифференциальные уравнения. 2018. Т. 54, № 4. С. 502-513.

8. Велищанский М.А., Крищенко А.П., Ткачев С.Б. Синтез алгоритмов переориентации космического аппарата на основе концепции обратной задачи динамики // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2003. № 5. C. 156-163.

9. Велищанский М.А., Крищенко А.П. Задача терминального управления для системы второго порядка при наличии ограничений // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 8. С. 301318. URL: http://engineering-science.ru/doc/793667.html (дата обращения: 21.07.2019).

10. Велищанский М.А. Движение летательного аппарата в вертикальной плоскости при наличии ограничений на состояния // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 3. С. 70-81.

11. Велищанский М.А. Терминальное управление механической системой при наличии ограничений на переменные состояния // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тез. докл. XIII международной конференции. М., 2016. С. 95-97.

12. Велищанский М.А. Численное решение терминальных задач управления для нелинейных систем: дис. ... канд.физ.-мат.наук. М., 2017. 124 с.

13. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988. 440 с.

14. Елкин В.И. Редукция нелинейных управляемых систем: Дифференциально-геометрический подход. М.: Наука, 1997. 320 е.

15. Ермошина О.В., Крищенко А.П. Синтез программных управлений ориентацией космического аппарата методом обратных задач динамики // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. № 2, С. 155-162.

16. Жевнин А.А., Крищенко А.П. Управляемость нелинейных систем и синтез алгоритмов управления // Доклады АН СССР, 1981. Т. 258, № 4. С. 805-809.

17. Жевнин А.А., Крищенко А.П., Глушко Ю.В. Управляемость и наблюдаемость нелинейных систем и синтез терминального управления // Доклады АН СССР, 1982. Т. 266, № 4. С. 807-811.

18. Жевнин А.А., Колесников К.С., Крищенко А.П. и др. Синтез алгоритмов терминального управления на основе концепций обратных задач динамики (обзор) // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1985. № 4. С. 178-188.

19. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. 400 с.

20. Канатников А.Н., Шмагина Е.А. Задача терминального управления движением летательного аппарата // Нелинейная динамика и управление:

Сборник статей. Вып. 7 / Под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. С. 79-94.

21. Касаткина Т.С. Преобразование аффинных систем к каноническому виду с использованием замен независимой переменной // Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электр. журн. 2013. № 7. С. 285298. URL: http://engineering-science.ru/doc/566578.html (дата обращения: 21.07.2019).

22. Касаткина Т.С., Крищенко А.П. Метод вариаций решения терминальных задач для двумерных систем канонического вида при наличии ограничений // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электр. журн. 2013. № 10. С. 355-372. URL: http://engineering-science.ru/doc/612563.html (дата обращения: 21.07.2019).

23. Касаткина Т.С., Крищенко А.П. Решение терминальной задачи для систем 3-го порядка методом орбитальной линеаризации // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электр. журнал. 2014. № 12. С. 781797. URL: http://engineering-science.ru/doc/612563.html (дата обращения: 21.07.2019).

24. Касаткина Т.С., Крищенко А.П. Терминальное управление процессами в химических реакторах методом орбитальной линеаризации // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электр. журн. 2015. № 5. С. 266280. URL: http://engineering-science.ru/doc/766238.html (дата обращения: 21.07.2019).

25. Касаткина Т.С. Решение терминальных задач для аффинных систем при наличии ограничений: дис. ... канд.физ.-мат.наук. М., 2016. 122 с.

26. Квитко А.Н. Об одной задаче управления // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40, № 6. С. 740-746.

27. Квитко А.Н. Метод решения граничной задачи для нелинейной управляемой системы с учетом неполной информации // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50, № 8. С. 1393-1407.

28. Квитко А.Н. Об одном методе решения граничной задачи для нелинейной нестационарной управляемой системы с учетом результатов измерений // Автоматика и телемеханика. 2012. № 12. С. 89-109.

29. Квитко А.Н. Решение глобальной граничной задачи для нелинейной нестационарной управляемой системы // Автоматика и телемеханика. 2015. № 1. С. 57-80.

30. Квитко А.Н., Фирюлина О.С., Еремин А.С. Алгоритм решения краевой задачи для нелинейной управляемой системы и его численное моделирование // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4(62). С. 608-621.

31. Квитко А.Н. Решение локальной краевой задачи для нелинейной нестационарной системы в классе синтезирующих управлений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2018. Т. 58, № 1. С. 70-82.

32. Ковалев А.М. Нелинейные задачи управления и наблюдения в теории динамических систем. Киев: Наукова думка, 1980. 174 е.

33. Краев А.В. Свойства относительных порядков и их роль при решении обратных задач управления: дис. ... канд.физ.-мат.наук. М., 2016. 145 с.

34. Краснощёченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. 520 с.

35. Крищенко А.П. Управляемость и множества достижимости нелинейных стационарных систем // Кибернетика и вычисл. техника. 1984. Вып. 62. С. 3-10.

36. Крищенко А.П. Исследование управляемости и множеств достижимости нелинейных систем управления // Автоматика и телемеханика. 1984. № 6. С. 30-36.

37. Крищенко А.П. Преобразование многомерных аффинных управляемых систем // Управляемые нелинейные системы. 1991. № 2. С. 5-14.

38. Крищенко А.П., Клинковский М.Г. Преобразование аффинных систем с управлением и задача стабилизации // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. № 11. С. 1945-1952.

39. Крищенко А.П., Фетисов Д.А. Преобразование аффинных систем и решение задач терминального управления // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2013. № 2. С. 3-16.

40. Крищенко А.П. Орбитальная линеаризация аффинных систем // Доклады Академии наук. 2013. Т. 453. № 6. С. 620-623.

41. Крищенко А.П. Параметрические множества решений интегральных уравнений // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2014. № 3 С. 3-10.

42. Крищенко А.П. Линеаризации аффинных систем // Дифференциальные уравнения. 2014. Т. 50. № 11. С. 1510-1516.

43. Крищенко А.П., Четвериков В.Н. Метод накрытий решения задач терминального управления // Доклады Академии наук. 2015. Т. 464. № 5. С. 539-543.

44. Крутько П.Д. Конструирование алгоритмов управления нелинейными объектами на основе концепций обратных задач динамики. Системы с одной степенью свободы // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1986. № 3. С. 130-142.

45. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем: линейные модели. М.: Наука, 1987. 304 с.

46. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем: нелинейные модели. М.: Наука, 1988. 327 с.

47. Лю Вэй. Построение траекторий и моделирование движения летательного аппарата в среде с препятствиями: дис. ... канд.физ.-мат.наук. М., 2018. 140 с.

48. Пестерев А.В., Рапопорт Л.Б., Ткачев С.Б. Каноническое представление нестационарной задачи путевой стабилизации // Известия РАН. Теория и системы управления. 2015. № 4. С. 160-176.

49. Петров Б.Н., Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1980. № 5. C. 149-155.

50. Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. М: Гостехиздат, 1947. 354 с.

51. Роговский А.И. Исследование свойств относительного порядка и нулевой динамики для различных классов динамических систем: дис. ... канд.физ.-мат.наук. М., 2019. 140 с.

52. Сачкова Е.Ф. Приближенное решение двухточечных граничных задач для систем с линейными управлениями // Автоматика и телемеханика. 2009. № 4. С. 179-189.

53. Ткачев С.Б. Стабилизация неминимально фазовых аффинных систем методом виртуальных выходов: дис. ... докт.физ.-мат.наук. М., 2010. 258 с.

54. Ткачев С.Б., Шевляков А.А. Преобразование аффинных систем со скалярным управлением к квазиканоническому виду // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2013. № 1. С. 3-16.

55. Фетисов Д.А. Исследование управляемости регулярных систем квазиканонического вида // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2006. № 3. С. 12-30.

56. Фетисов Д.А. Исследование управляемости аффинных систем с нулевой динамикой: дис. ... канд.физ.-мат.наук. М., 2006. 146 с.

57. Фетисов Д.А. Условие управляемости аффинной системы // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электр. журн. 2011. № 10. С. 110. URL: http://engineering-science.ru/doc/236936.html (дата обращения: 21.07.2019).

58. Фетисов Д.А. Достаточное условие управляемости аффинной системы // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электр. журнал. 2012. № 8. С. 301-308. URL: http://engineering-science.ru/doc/445546.html (дата обращения: 21.07.2019).

59. Фетисов Д.А. Управляемость регулярных систем квазиканонического вида с двумерной нулевой динамикой и скалярным управлением // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электр. журнал. 2012. № 10. C. 123-138. URL: http://engineering-science.ru/doc/465329.html (дата обращения: 21.07.2019).

60. Фетисов Д.А. Решение терминальных задач для аффинных систем // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электр. журн. 2013. № 10. С. 123-136. URL: http://engineering-science.ru/doc/604151.html (дата обращения: 21.07.2019).

61. Фетисов Д.А. Об одном методе решения терминальных задач для аффинных систем // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электр. журн. 2013. № 11. С. 383-400. URL: http://engineering-science.ru/doc/622543.html (дата обращения: 21.07.2019).

62. Фетисов Д.А. Решение терминальных задач для аффинных систем на основе преобразования к квазиканоническому виду // Всероссийское совещание по проблемам управления: Тез. докл. XII международной конференции. М., 2014. C. 2473-2481.

63. Фетисов Д.А. Решение терминальных задач для многомерных аффинных систем на основе преобразования к квазиканоническому виду // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2014. № 5. С. 16-31.

64. Фетисов Д. А. Достаточное условие управляемости многомерных аффинных систем // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электр. журн. 2014. № 11. С. 281-293. URL: http://engineering-science.ru/doc/737321.html (дата обращения: 21.07.2019).

65. Фетисов Д.А. Решение терминальных задач для аффинных систем с векторным управлением на основе орбитальной линеаризации // Математика и математическое моделирование. 2015. № 6. С. 17-31. URL: http://www.mathmelpub.ru/jour/article/view/36 (дата обращения: 21.07.2019).

66. Фетисов Д.А. Достаточное условие управляемости аффинных систем с двумерным управлением и двумерной нулевой динамикой // Математика и математическое моделирование. 2015. № 6. С. 32-43. URL: http://www.mathmelpub.ru/jour/article/view/37 (дата обращения: 21.07.2019).

67. Фетисов Д.А. Решение терминальных задач для многомерных аффинных систем на основе орбитальной линеаризации // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тез. докл. XIII международной конференции. М., 2016. C. 389-391.

68. Фетисов Д.А. К вопросу о симметричности решений линейных матричных дифференциальных уравнений // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2016. № 3. С. 16-26.

69. Фетисов Д.А. Линеаризации аффинных систем и решение задач терминального управления // Системный анализ и информационные технологии: Тез. докл. VII международной конференции. Светлогорск, 2017. С. 185-191.

70. Фетисов Д.А. Условие орбитальной линеаризуемости аффинных систем со скалярным управлением // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тез. докл. XIV международной конференции. М., 2018. С. 455-458.

71. Фетисов Д.А. О линеаризации аффинных систем с одним управлением на основе замен независимой переменной // Всероссийское совещание по проблемам управления: Тез. докл. XIII международной конференции. М., 2019. С. 73-77.

72. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004. 240 с.

73. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.

74. Четвериков В.Н. Метод накрытий для решения задач терминального управления // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электр. журнал. 2014. № 2. С. 125-143. URL: http://engineering-science.ru/doc/699730.html (дата обращения: 21.07.2019).

75. Шевляков А.А. Преобразование аффинных систем к квазиканоническому виду и построение минимально-фазовых систем: дис. ... канд.физ.-мат.наук. М., 2013. 123 с.

76. Belinskaya Yu.S., Chetverikov V.N. Covering method for point-to-point control of constrained flat systems // IFAC-PapersOnLine. 2015. Vol. 48. Issue 11. P. 924-929.

77. Brockett R.W. Feedback invariants for nonlinear systems // Proceedings of IFAC Congress. Helsinki, 1978. P. 1115-1120.

78. Bryant R. Some aspects of the local and global theory of Pfaffian systems // Ph.D. Thesis: University of North Carolina. Chapel Hill. 1979.

79. Exterior differential systems / R. Bryant [et al.] New-York, USA: SpringerVerlag. 1991. 475 p.

80. Burden R.L., Faires J.D. Numerical analysis, 9th Edition. Brooks/Cole, Pacific Grove, 2011. 895 с.

81. Charlet B., Levine J., and Marino R. On dynamic feedback linearization // System Control Letters. 1989. Vol. 13. P. 143-151.

82. Charlet B., Levine J., and Marino R. Sufficient conditions for dynamic state feedback linearization // SIAM J. Control and Optimization. 1991. Vol. 29. Issue 1. P. 38-57.

83. Conte G., Moog C.H., Perdon A.M. Algebraic methods for nonlinear control systems. 2nd Edition: Springer, 2007. 178 p.

84. Emel'yanov S.V., Krishchenko A.P., Fetisov D.A. Controllability research on affine systems // Doklady Mathematics. 2013. Vol. 87. Issue 2. P. 245-248.

85. Krishchenko A.P., Fetisov D.A. Terminal control problem for affine systems // Differential Equations. 2013. Vol. 49. Issue 11. P. 1378-1388.

86. Krishchenko A.P., Fetisov D.A. Terminal problem for multidimensional affine systems // Doklady Mathematics. 2013. Vol. 88. Issue 2. P. 608-612.

87. Fetisov D., Krishchenko A.P. An orbital feedback linearization based approach to solving terminal problems for affine systems // Recent Advances in Electrical and Electronic Engineering. Proceedings of the 3rd International Conference on Circuits, Systems, Communications, Computers and Applications. Florence, 2014. P. 41-47.

88. Fetisov D.A. Solution of terminal problems for affine systems in quasicanonical form on the basis of orbital linearization // Differential Equations. 2014. Vol. 50. Issue 12. P. 1664-1672.

89. Fetisov D.A. On the construction of solutions of terminal problems for multidimensional affine systems in quasicanonical form // Differential Equations. 2016. Vol. 52. Issue 12. P. 1638-1649.

90. Fetisov D.A. Orbital feedback linearization: application to solving terminal problems for multi-input control affine systems // IFAC-PapersOnline. 2017. Vol. 50. Issue 1. P. 2677-2683.

91. Fetisov D.A. Linearization of affine systems based on control-dependent changes of independent variable // Differential Equations. 2017. Vol. 53. Issue 11. P. 1483-1494.

92. Fetisov D.A. A-orbital linearization of affine systems // Differential Equations. 2018. Vol. 54. Issue 11. P. 1494-1508.

93. Fetisov D. To the linearization problem for single-input control affine systems // Journal of Physics: Conference Series. 2018. Vol. 1141. Art. No. 012120.

94. Fetisov D.A. On some approaches to linearization of affine systems // IFAC-PapersOnline. 2019. Vol. 52. Issue 16. P. 700-705.

95. Flatness and defect of nonlinear systems: introductory theory and examples / M. Fliess [et al.] // International Journal of Control. 1995. Vol. 61. P. 13271361.

96. A Lie-Backlund approach to equivalence and flatness of nonlinear systems / M. Fliess [et al.] // IEEE Transactions on Automatic Control. 1999. Vol. 44. Issue 5. P. 922-937.

97. Gardner R.B., Shadwick W.F. The GS algorithm for exact linearization to Brunovsky normal form // IEEE Transactions on Automatic Control. 1992. Vol. 37. Issue 2. P. 224-230.

98. Ge S.S., Sun Z., Lee T.H. Nonregular feedback linearization for a class of second-order nonlinear systems // Automatica. 2001. Vol. 37. P. 1819-1824.

99. Graichen K., Hagenmeyer V., Zeitz M. A new approach to inversion-based feedforward control design for nonlinear systems // Automatica. 2005. Vol. 41. P. 2033-2041.

100. Guay M. An algorithm for orbital feedback linearization of single-input control affine systems // Systems and Control Letters. 1999. Vol. 38. Issue 4-5. P. 271-281.

101. Guay M. Orbital feedback linearization of multi-input control affine systems // Proceedings of the American Control Conference. 2001. P. 3630-3635.

102. Guay M. Observer linearization of nonlinear systems by generalized transformations // Proceedings of the 42nd Conference on Decision and Control. Maui, 2003.

103. Hunt L.R., Su R. Linear equivalents of nonlinear time-varying systems // Proceedings of the MTNS. 1981. P. 119-123.

104. Isidori A., Moog C., De Luca A. A sufficient condition for full linearization via dynamic state feedback // Proceedings of the 25th IEEE Conference on Decision and Control. Athens, 1986. P. 203-207.

105. Isidori A. Nonlinear control systems. 3rd edition. London: Springer-Verlag,

1995. 550 p.

106. Jakubczyk B., Respondek W. On linearization of control systems // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math. 1980. Vol. 28. P. 517-522.

107. Khalil H.K. Nonlinear systems. Michigan State University, Prentice Hall,

1996. 734 p.

108. Krener A. Approximate linearization by state feedback and coordinate change // Systems and Control Letters. 1984. Issue 5. P. 181-185.

109. Kvitko A.N., Firyulina O.S., Eremin A.S. Solving boundary value problem for a nonlinear stationary controllable system with synthesizing control // Mathematical Problems in Engineering. 2017. Vol. 2017, Article ID 8529760. URL: http://www.hindawi.com/journals/mpe/2017/8529760/cta/ (дата обращения: 18.08.2019).

110. Kvitko A.N. Solution of the local boundary value problem for a nonlinear non-stationary system in the class of synthesising controls with account of perturbations // International Journal of Control. 2018. URL: http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00207179.2018.1537520 (дата обращения: 22.07.2019).

111. Kvitko A., Yakusheva D. On one boundary problem for nonlinear stationary controlled system // International Journal of Control. 2019. Vol. 92. Issue 4. P. 828-839.

112. Kvitko A.N., Maksina A.M., Chistyakov S.V. On a method for solving a local boundary problem for a nonlinear stationary system with perturbations in the class of piecewise constant controls // International Journal of Robust and Nonlinear Control. 2019. Vol. 29. Issue 13. P. 4515-4536.

113. Li S.-J., Respondek W. Flat outputs of two-input driftless control systems // ESAIM Control Optimisation and Calculus of Variations. 2012. Vol. 18. Issue 3. P. 774-798.

114. Li S.-J., Respondek W. Orbital feedback linearization for multi-input control systems // International Journal of Robust and Nonlinear Control. 2015. Vol. 25. P. 1352-1378.

115. Li S.-J., Moog C.H., Respondek W. Maximal feedback linearization and its internal dynamics with applications to mechanical systems on R4 // International Journal of Robust and Nonlinear Control. 2019. Vol. 29. Issue 9. P. 2639-2659.

116. Maximum feedback linearization with internal stability of 2-DOF underactuated mechanical systems / D. Maalouf [et al.] // Proceedings of the 18th IFAC World Congress. Milano, 2011.

117. Marino R. On the largest feedback linearizable subsystem // Systems and Control Letters. 1986. Issue 6. P. 345-351.

118. Martin P., Rouchon P. Feedback linearization and driftless systems // Mathematics of Control Signals and Systems. 1994. Vol. 7. Issue 3. P. 235254.

119. Application of nonlinear time-scaling for robust controller design of reaction systems / P. Moya [et al.] // International Journal of Robust and Nonlinear Control. 2002. Vol. 12. Issue 1. P. 57-69.

120. Murray R. Nilpotent bases for a class of nonintegrable distributions with applications to trajectory generation for nonholonomic systems // Mathematics of Control, Signals, and Systems. 1994. Issue 7. P. 58-75.

121. Murray R., Martin P., Rouchon P. Flat systems. Mini-Course // European Control Conference. Brussels, 1997. P. 211-264.

122. Nefedov G. Time-scaling for increasing a relative degree of single-input single-output affine systems // Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems. Proceedings of the 14th International Conference. 2018. URL: http://ieeexplore.ieee.org/document/8408382 (дата обращения: 26.11.2019).

123. Nijmeijer H., van der Schaft A. Nonlinear dynamical control systems. New York, USA: Springer-Verlag . 1990. 426 p.

124. Pomet J.B. A differential geometric setting for dynamic equivalence and dynamic linearization // In Geometry in Nonlinear Control and Differential Inclusions. 1995. Warsaw: Banach Center. P. 319-339.

125. Respondek W. Orbital feedback linearization of single-input nonlinear control systems // Proceedings of the IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems. Enschede, 1998. P. 499-504.

126. Respondek W., Pasillas-Lepine W. Canonical contact systems for curves: a survey //In Contemporary Trends in Geometric Control Theory and Applications. Singapore: World Scientific. 2001. P. 77-112.

127. Respondek W., Pogromsky A., Nijmeijer H. Time scaling for observer design with linearizable error dynamics // Automatica. 2004. Vol. 40. Issue 2. P. 277285.

128. Saito A., Sekiguchi K., Sampei M. Exact linearization by time scale transformation based on relative degree structure of single-input nonlinear systems // Proceedings of the 49th IEEE Conference on Decision and Control. Atlanta, 2010. P. 5408-5414.

129. Sampei M., Furuta K. On time scaling for nonlinear systems: Application to linearization // IEEE Transactions on Automatic Control. 1986. Vol. 31. P. 459-462.

130. Sekiguchi K., Sampei M. Multi-step algorithm for orbital feedback linearization of single-input control affine systems // Proceedings of the SICE Annual Conference. Akito, 2012. P. 1293-1297.

131. Sekiguchi K., Sampei M. On multi time-scale form of nonlinear systems // Proceedings of the 9th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems. Toulouse, 2013. P. 524-530.

132. Sekiguchi K., Sampei M. Multi-step procedure for orbital feedback linearization of multi-input control affine systems // Proceedings of the American Control Conference. Washington, 2013. P. 1802-1809.

133. Shadwick W. Absolute equivalence and dynamic feedback linearization // System Control Letters. 1990. Vol. 15. P. 35-39.

134. Sun Z., Xia X. On nonregular feedback linearization // Automatica. 1997. Vol. 33. Issue 7. P 1339-1344.

135. Tkachev S.B., Liu W. Design of path following method for unmanned aerial vehicles using normal forms // IFAC-PapersOnLine. 2015. Vol. 48. Issue 11. P. 10-15.

136. Solution of a terminal control problem under state constraints / M.A. Velishchanskiy [et al.] // IFAC-PapersOnLine. 2017. Vol. 50. Issue 1. P. 10679-10684.