Исследования по множествам достижимости управляемых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Беликов, Сергей Аркадьевич

• Беликов, Сергей Аркадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Беликов, Сергей Аркадьевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ МНОГОСВЯЗНЫХ СИСТЕМ СО СВЯЗИ) ПО УПРАВЛЕНИЮ

§ I. Описание множества достижимости.

§ 2. Применение к задаче о встрече.

§ 3. Задача терминального управления в стационарном случае.

§ 4. Задача терминального управления в нестационарном случае.

ГЛАВА П. МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

§ I. Предварительные сведения.

§ 2. Теорема о структуре множеств достижимости.

§ 3. Множества достижимости некоторых классов систем в банаховом пространстве.

ГЛАВА Ш. УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ И БИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ I. Об одном критерии управляемости.

§ 2. Теорема двойственности для линейных систем.

§ 3. Теорема двойственности для билинейных систем.

ГЛАВА 1У. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ

§ I. Задача построения календарных план-графиков работы взаимосвязанных производств в системах оперативно-диспетчерского управления технологическими комплексами.

§ 2. Об одной задаче распределения ресурсов вычислительной системы.

§ 3. Задача о динамическом распределении сырья энергии/.

§ 4. Некоторые задачи оптимального распределения ресурсов при выполнении конплекса работ, связанных сетевым графиком.

§ 5. Об одной задаче управления объектом с распределенными параметрами.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследования по множествам достижимости управляемых систем»

В настоящее время задачи исследования и оптимизации динамических процессов приобретают все более важное значение. Это , связано как с большим теоретическим значением этих задач, их связями со многими областями математики, механики и техники, так и с их важнейшими приложениями в экономике и производстве.

Динамика процесса описывается обычно дифференциальными и разностными эволюционными уравнениями, так как этот аппарат является достаточно гибким,'позволяет адекватно описывать различные практические ситуации и достаточно хорошо изучен.

В настоящей диссертационной работе рассматриваются процессы с сосредоточенными и распределенными параметрами, описываемые следущим эволюционным уравнением: yl^foCt.pctD + Fd.vw.yK». /0-5/ рассматриваемые в конечномерном или банаховом пространстве ij, где !/(•) - допустимое управление, то есть кусочно-непрерывная функция, такая, что V(f) <£ , ще vet)-некоторое подмножество банахова пространства .

Важнейшей характеристикой такой системы является множество ( Т) , называемое множеством достижимости из начального состояния уо за- время Т. Это множество равно замыканию в норме соответствующего пространства множества значений в момент Т решений уравнения /0.1/ с начальным данным , соответствующих всевозможным допустимым управлениям.

С изучением этого множества связаны многие вопросы структурной теории систем, такие как, например, управляемость, наблюдаемость, реализуемость уГ 3, 16, 39, 53 ] . После работ Калмана [ 28 ] для линейных систем связь этих понятий для различного рода систем с дискретным временем получила развитие в рамках теории категорий [ 3] . Для систем с непрерывным временем эффективным оказался дифференциально-геометрический подход. Обзор важнейших результатов этого направления можно найти в [ 2, 13, 33, 39] . В этих обзорах указаны также некоторые возможности использования множеств достижимости для задач оптимального управления.

Изучение свойств множеств достижимости /даже оценочных/ позволяет создавать эффективные алгоритмы оптимального управления, решать задачи о накоплении возмущений и многие другие.

Однако на сегодняшний день вопросы о построении множеств достижимости в различных ситуациях и, особенно, о применении этих множеств для решения динамических оптимизационных задач изучены весьма слабо. Это объясняется тем, что в общем случае структура этих множеств сложна и задача об их построении едва ли допускает простые конструктивные решения /отметим в этом плане работу £" 33 Д, в которой много внимания уделяется топологическим свойствам множеств достижимости/.

Целью настоящей работы является выделение частных случаев систем вида /0.1/. для которых такое построение возможно, По мнению автора, выделенные системы имеют важное теоретическое и прикладное значение.

При выделении этих систем мы ограничимся рассмотрением двух, в некотором смысле, крайних классов.

В первый класс включим системы вида:

X - F(t, V(t)) vai £ V(±)J

0.2/

У систем этого класса динамика задается в ввде зависимости скорости процесса от выделяемых ресурсов управления, а на управления наложены нестационарные ограничения достаточно общего вида.

Системы вида /0.2/ будем называть многосвязными системами со связью по управлению /что согласуется с работами [34 - 36] /.

Изучению систем этого класса посвящена глава I.

Второй класс состоит из систем вида: чения которых ограничений не накладвается.

Характерным для этого класса является рассмотрение систем с достаточно сложной динамикой, но без ограничений на управление. В этом классе наибольший интерес представляют системы с распределенными параметрами, описываемые уравнениями с частными производными. В этом случае f: -операторы /вообще говоря, нелинейные/ в банаховом пространстве , причём не предполагается непрерывным и может быть, например, дифференциальным оператором по пространственным переменным; (г , - непрерывные операторы.

Изучению систем вида /0.3/ и некоторых их обобщений /которые мы также относим ко второму классу/ посвящена глава П.

0.3/ где Ус (') . - скалярные кусочно-непрерывные управления, на зна

Отметим, что системы вида /0.3/ с сосредоточенными параметрами интенсивно изучались, и имеющиеся результаты описаны в упоминавшихся выше обзорах. Поэтому целью настоящей работы было изучение систем с распределенными параметрами. Однако применяемый подход оказался эффективным и в конечномерных пространствах и привел к некоторым новым результатам даже для таких систем.

Что касается систем вида /0.2/, у которых правая часть не зависит от искомой функции ^ С% ) , то они исключают возможность рассмотрении уравнений с частными производными, и для них наибольший интерес представляет случай конечномерного пространства. Основные результаты переносятся на бесконечномерный случай без особого труда. Поэтому в главе I рассматриваются только системы в конечномерном пространстве.

Общий подход при выделении систем с относительно простой структурой множества достижимости в главах I и П состоит в следующем. На основании изучения систем данного класса описывается структура множества, содержащего (Т) и далее формулируем ются условия, при которых это множество /будем называть его верхней оценкой/ совпадает с /г,. <г).

В главе I эти верхние оценки задаются в виде некоторой системы неравенств, в главе П-в виде интегральных многообразий, порожденных инволютивной системой векторных полей, которая строится по системе /0.3/. Эти многообразия можно построить конструктивно, если имеется возможность находить общие решения эволюционных уравнений с оператором f- , L =0,1,. в правой части. В настоящее время такие решения построены для многих задач математической физики /см., например, [14 J /.

В случае, когда fa - оператор в банаховом пространстве, не являющийся непрерывным, для соответствующих построений используется специальный вариант бесконечномерной дифференциальной геометрии, разработанный С.Н.Самборским [48 - 51] . При этом для систем, описываемых уравнениями с частными производными, обнаружены эффекты, которые не имеют место для случая систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. В частности, для линейных систем множество достижимости из 0 зависит от времени, откуда, как показано в главе Ш, такие свойства линейных систем, как управляемость и наблюдаемость зависят от времени, управления и наблюдения соответственно. В имеющихся работах, касающихся указанных вопросов для систем в частных производных это время принимается либо 0 либо 58, 68] , хотя рассматриваются несколько более общие вопросы.

За рамками работы остался обширный класс систем, динамика которых описывается уравнениями /0.1/, в правую часть которых входит искомая функция ^Г*) и на управления наложены ограничения. По-видимому, множества достижимости систем этого класса имеют гораздо более сложную структуру. Из работ, проводившихся в этом направлении, необходимо отметить два цикла статей [ 30 ] и [55] , в которых изучаются линейные системы с ограничениями в вице эллипсоидов [55 ] и параллелепипедов [ 30 ] . Применяя различные оригинальные подходы, авторы строят эллипсоид f 55 ] и: параллелепипед [30] , которые содержат множество dS^(T) . Анализ этих результатов показывает, что даже для линейных систем с простейшими ограничениями /эллипсоиды, параллелепипеды/ множество Йр, ( Г) имеет довольно сложную структуру, и относительно просто удается построить лишь оценки этих множеств специального вида, зависящего от характера ограничений. Поэтому настоящая работа / целью которой является точное описание множеств i?^ (Т) ограничивается рассмотрением систем вида /0.2/ и /0.3/. Традиционным является применение множеств достижимости для решения задач структурной теории систем, в частности, таких вопросов, как управляемость, наблюдаемость, реализуемость/"16, 53J . В настоящее время сложилось представление о двойственной связи управляемости и наблюдаемости линейных систем с непрерывным временем как о представлении фазового пространства системы в виде прямой суммы двух подпространств УЗ - f3u Ф , причём исходная линейная система управляема тогда и только тогда, когда ^Ь , а сопряженная система наблюдаема тогда и только тогда, когда — О [ 53 ] . Аналогичное представление можно получить для билинейных систем f66 ] . Результаты такого рода называются теоремами двойственности.

В случае систем с частными производными понятия управляемости и наблюдаемости, как уже указывалось, вообще говоря, зависят от времени. Это обстоятельство должно учитываться в формулировке теорем двойственности. Кроме того, для нелинейных /в частности, билинейных/ систем с частными производными наблюдаемость зависит от способов наблюдения. Поэтому возможны различные разложения фазового пространства, соответствующие этим способам. Некоторые из этих вопросов решаются в главе Ш.

Важнейшими приложениями множеств достижимости являются задачи оптимального управления. Если множество описывается системой уравнений и неравенств или является многообразием /с краем или без края/, допускающим достаточно простую параметризацию, то естественным является его использование в задачах терминального управления и оптимального быстродействия.

В задаче терминального управления, состоящей в переводе системы за время Т в состояние у* , минимизирующее заданный функционал , это состояние является решением следующей задачи математического программирования: * fy. (Г)

В задачЕ быстродействия минимальное время перевода системы из начального состояния в заданное состояние у может быть найдено как решение следующей задачи: t —min

Простым обобщением задачи быстродействия, имеющем важные приложения,является задача о встрече. Эта задача состоит в минимизации времени встречи объекта, описываемого системой /0.1/ с целью, движение которой описывается уравнением ^^-f(t) . Для нахождения минимального времени встречи можно решить задачу /0.5/, где

Применение описанного подхода оказывается эффективным в некоторых динамических задачах оптимального проектирования, для которых характерна простая динамика и сложнее:, часто нестационар-ные^ ограничения. В качестве примеров можно привести системы управления потоками газа в магистральных газопроводах; объекты, движущиеся на плоскости; системы оперативного управления сложны- , ми технологическими комплексами; задачи распределения ресурсов; практические задачи математической экономики и многие другие. Кроме того, модель /0.2/ может быть использована при построении программных управлений для устойчивых систем автоматического управления с малым перерегулированием [ 52 2 . Сложные ограничения на управление и фазовые ограничения не позволяют эффективно применять для решения этих задач принцип максимума Понтрягина и другие классические методы оптимального управления. Во многих публикациях постановка задачи либо сильно упрощается, что не всегда допустимо для адекватного описания, либо для её решения применяются эвристические подходы.

Применяя точные описания множеств достижимости, можно лучше понять структуру задачи, исследовать её свойства и разработать алгоритмы решения, использующие схемы /0.4/, /0.5/. Модели прикладных задач, которые эффективно решаются описанным подходом, приведены в главе IУ.

Рассмотрим подробнее содержание диссертации по главам.

Первая глава посвящена системам вида /0.2/.

В § I показано, что задачи управления для таких систем можно свести к каноническому виду, в котором F(t, vU)') - гГС-6) t а множество VYO - выпукло и может быть задано в виде конечной или бесконечной системы линейных неравенств: S(^). Далее для таких систем указаны условия на матрицу В и вектор-функцию &(•) , при которых множество (Т) имеет вид: £ foTSCzUZ.

Для систем, удовлетворяющих этим условиям, предлагается простой алгоритм нахождения управления, переводящего систему из состояния у* в заданное состояние (Т) за время Т. Этот алгоритм при кусочно-постоянной функции SO) сводится к последовательному решению систем линейных неравенств. Полученные результаты используются в §§ 2-4 для решения задач оптимального управления системами, удовлетворяющими укзанным условиям и для построения приближенных алгоритмов для общего случая систем /0.2/, заданных в каноническом виде.

Изучению множеств достижимости систем второго класса посвящена глава П.

В § I приводятся необходимые сведения о свойствах системы векторных полей в банаховом пространстве, содержащей одно векторное поле f0 , не являющееся непрерывным, и связанной с ней симметричной управляемой системой вида: ис a) ic (Ю

В частности,для таких векторных полей при некоторых ограничениях вводится операция скобки Ли и понятие инволютивности. Результаты этого параграфа, принадлежащие С.Н.Самборскому, необходимы для дальнейшего изложения. Более подробно они описаны в [48 - 51 ] .

В § 2 формулируется и доказывается теорема о структуре множества достижимости системы /0.3/ при условиях, наложенных на алгебры Ли, порожденные векторными полями f0 и fL . Указанные условия применимы и для систем в конечномерном пространстве. В этом очень частном случае показано, что они являются менее жесткими, чем известные условия Хиршона [2, 13, 62 J .

В § 3 выделены системы, для которых множество достижимости имеет вид:

1Де S " проходящее через точку ^ 6 J/3 интегральное многообразие некоторой инволютивной системы <Z>T непрерывных векторных полей, - значение в момент Т решения задачи Коши: ^ = & (gCO),

Глава Ш посвящена приложению результатов главы П к некоторым вопросам структурной теории линейных и билинейных систем в гильбертовом пространстве. Решение этих вопросов принципиально отличается от аналогичной теории в конечномерном пространстве, о чём упоминалось выше.

В § I приводится один критерий управляемости системы /0.3/, новый даже в конечномерном случае. Как следствие получается структура множества билинейной системы. В конечномерном случае, когда множество Щ0 ( 7~) билинейной системы не зависит от Т этот результат известен как представление множества достижимости /не зависящее от времени/ £* £3J . В случае гильбертова пространства такое представление верно, вообще говоря, лишь при Т=0.

§§ 2, 3 посвящены теоремам двойственности для линейных и билинейных систем.

Для билинейных систем вводятся различные определения наблюдаемости в зависимости от способа наблюдения /параллельная за время Т, соответствующая параллельному наблюдению состояний системы. при всевозможных управлениях; мгновенная в момент Т, соответствующая мгновенному наблюдению состояний системы свободно /то есть при нулевых управлениях/ эволюционирующей до момента Т; последовательная за время Т, соответствующая наблюдениям, не изменяющим траекторию свободного движения системы после момента Т/. Все эти определения при Т=0 и, следовательно, для конечномерного случая, эквивалентны.

Прикладные модели, на примерах которых показаны возможности применения полученных в работе результатов для решения практических задач, приведены в главе 1У.

В §§ 1-4 рассмотрены модели, сводящиеся к системе /0.2/. Применяя схемы /0.4/, /0.5/ и используя полученные в главе I описания множеств достижимости, эти задачи MOiyT быть решены методами оптимизации. При этом некоторые динамические задачи сводятся к классическим моделям исследования операций. Например, модель рас-мотренная в § 3 сводится к задаче размещения производства [38 ] , возможно, с дополнительными ограничениями на количество предприятий, и некоторым её обобщениям. Алгоритмы решения таких обобщенных задач приведены в работе автора /с Ю.А.Заком и Н.Л.Кирьян/ [9] .

В § 4 показана возможность учёта фазовых ограничений, заданных сетевым графиком.

В § 5 на простом примере показана возможность использования в задачах управления множеств достижимости систем, описываемых уравнениями с частными производными, изученных в главе П. Для наглядности примеру придан экологический смысл. Заметим, что этот пример носит лишь иллюстративный характер.

Основные результаты диссертации и её приложения опубликованы в статьях [5 - И, 24, 41, 42] .

Результаты работы докладывались в ХУ Воронежской зимней математической школе /1981/, на 41-й научной конференции ЛГУ им. П.Стучки /Рига, 1982/, Всесоюзном семинаре "Применение.автоматизированных систем в проектировании объектов строительства"/Ново-сибирск, 1981/, а также на семинарах в Институте проблем управления, Институте кибернетики АН УССР, Институте математики АН УССР, на кафедрах прикладной математики и АСУП Киевского политехнического института.

131 ABA I. МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ МНОГОСВЯЗНЫХ СИСТЕМ СО СВЯЗЬЮ ПО УПРАВЛЕНИЮ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Беликов, Сергей Аркадьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенных исследований изучены некоторые вопросы о построении множеств достижимости управляемых систем. Выделены важные классы систем, для которых можно конструктивно описать множества достижимости за время Т. Эти исследования позволяют ставить и:'решать многие динамические задачи оптимального управления, которые при помощи развитых в работе способов описания множеств достижимости сводятся к известным и новым моделям математического программирования. Получаемые модели часто обладают специфическими свойствами, учёт которых позволяет эффективно решать сводимые к ним задачи большой размерности. Применение полученных описаний множеств достижимости для решения вопросов управляемости и наблюдаемости систем, описываемых уравнениями с частными производными позволяет понять специфику этих вопросов для указанного случая и, в частности, ввести несколько определений наблюдаемости билинейных систем, совпадающих в конечномерном случае.

В связи с вышеизложенным, в диссертации получены следующие результаты:

Т. Выделен класс нестационарных многосвязных систем со связью по управлению, для которых указан канонический вид; множество достижимости систем, приведенных к каноническому виду описывается в виде системы линейных неравенств /конечной или бесконечной/.

2. Для систем, указанных в п. I описаны алгоритмы построения допустимых траекторий, приводящих в данную точку множества достижимости (Т~) за время Т.

3. Используя результаты пп. 1,2, описаны методы решения задачи о встрече и задачи терминального уравнения в стационарном и нестационарном случае. Эти методы сводятся к решению задач математического программирования специального вида.

4. Выделен класс систем с распределенными параметрами, для которых получена теорема о структуре множества достижимости.

5. На основании этой теоремы выделены некоторые классы управляемых систем в банаховом пространстве, для которых множество достижимости за время Т задается в виде интегрального многообразия некоторой вполне интегрируемой системы непрерывных векторных полей.

6. Результаты пп. 4, 5 применены к линейным и билинейным системам, в результате чего получены теоремы о множестве достижимости таких систем.

7. Получены некоторые критерии управляемости систем в банаховом пространстве, новые даже в конечномерном случае.

8. Введены различные понятия наблюдаемости линейных и билинейных систем, отражающие специфику систем, описываемых уравнениями с частными производными и сформулированы теоремы двойственности о связи ненаблюдаемого ядра исходной системы и достижимой оболочки сопряженной системы.

9. Рассмотрены прикладные производственно-технические задачи, эффективно решаемые на основе развитого в работе подхода. Программы решения некоторых из этих задач внедрены в производство.

УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ТЕРМИНОВ И ОБОЗНАЧЕНИЙ ТЕРМИНЫ

Стр.

Векторное поле

- проектируемое.63

S* - связанное.63

Вполне интегрируемая дифференциальная система.47

Интегральное многообразие в.и.д.с.47

Отображение, находящееся в инволюции с в.и.д.с.47

Распрямляющие координаты в.и.д.с.47

Допустимые траектории системы с распределенными параметрами.45

Достижимая оболочка.83

Задача быстродействия.10 о встрече.10 терминального управления.Ю

Лишняя гиперплоскость.22

Многосвязные системы со связью по управлению.6

Канонический вид м.с.с.с.п.у.19

Множество достижимости.4

Верхняя оценка м.д.7

Ненаблюдаемое ядро. .,.83

Мгновенно н.я. в момент Т.87

Параллельно н.я.86

Последовательно н.я.87

Стр;

Подалгебра Ли

79 допустимая. 1X1

К - регулярная.

Скобка Ли. 47

Теоремы двойственности. 9

ОБОЗНАЧЕНИЯ

R , Е - множество действительных чисел - множество положительных действительных чисел Z. - множество целых чисел

-ft -мерное евклидово пространство (у) t ('»- скалярное произведение /нижний индекс указывает пространство/ II'II - норма

4 nif внутренность множества

Э - граница множества сопи - выпуклая оболочка

Й?'Г- множество, гомотетичное множеству ^fl с коэффициентом гомотетии Т и центром в 0. множество достижимости из начального состояния за время Т.

Ф» SP& - замыкание линейной оболочки, нижний индекс указывает пространство - алгебра Ли, порожденная множеством & - группа преобразований, порожденная множеством *D

D-P1Ж - производная отображения f - 2/ Q Е F , / Е , F - банаховы пространства/. Это линейный оператор из Е в F. с4 (и, ft) - множество наборов отображений, определяемый в пункте П.1.Т. В/В^ - фактор-пространство Г') • 1 - скобка Ли act4t aJ(k - ac({<f=-C<*ctf4<f, i I,

- полугруппа' отображений, порожденная инфинитезимальным оператором V7 .

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Беликов, Сергей Аркадьевич, 1984 год

1. Авдонин С.А. Об управляемости систем с распределенными параметрами. - Вестник Ленинградского университета, 1980, № 19, с. 5-8.

2. Андреев Ю.Н. Дифференциально-геометрические методы в теории управления. Автоматика и телемеханика, 1982, Ш 10, с. 5-46.

3. Арбиб М.А., Меинс Э.Дж. Основание теории систем; разложимые системы. В кн. "Математические методы в теории систем", М., Мир, 1979, с. 7-48.

4. Ахиезер Н.И., Глазман И.М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Харьков, "Вшца школа", 1977, том I.

5. Беликов С.А. Множество достижимости . некоторых классов систем в банаховом пространстве. Препринт 81. 50/Иы-т математики АН УССР, 1981, с. 14-24.

6. Беликов С.А. Построение области достижимости для одного динамического объекта с нестационарными ограничениями. Кибернетика, Т983, А 6, с. 68-71.

7. Беликов С.А., Зак Ю.А. Об одном классе задач оптимального управления с ограничениями на фазовые координаты. Автоматика, 1980, J* I, с. 46-56.

8. Беликов С.А., Зак Ю.А., Кирьян Н.Л. Математические модели и алгоритмы решения одного класса прикладных задач нелинейного булевою программирования. Автоматика и телемеханика, 1981, Hk 8, с. 179-184.

9. ТО. Беликов С.А., Самборский С.Н. Множества достижимости систем, описываемых уравнениями с частными производными. Препринт 81. 50/Ин-т математики АН УССР, Киев, Т98Т, с. 3-13.

10. Беликов С.А., Самборский С.Н. Области достижимости для систем, описываемых уравнениями с частными производными. Сиб. мат. журн., 1983, том ХХ1У, » 4, с. 3-12.

11. Берщанский Я.М.,Мееров М.В. Решение линейных динамических задач оптимизации со специальной структурой ограничений. Автоматика и телемеханика, 1980, Jfc 5, с. 106-113.

12. Брокетт Р.У. Алгебры Ли и группы Ли в теории управления. В кн. "Математические методы в теории систем", М., Мир, 1979, с. 174- 220.

13. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М., Наука, 1979.

14. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М., Мир, 1973.

15. Дудников П.И., Самборский С.Н. 0 замкнутых подмножествах в банаховом пространстве. Препринт 81. 49/Ин-т математики АН УССР, Киев, Т98Т, с. 19-21.

16. Дудников П.И., Самборский С.Н. Критерии управляемости для систем в банаховом пространстве /обобщение теоремы Чжоу/. Укр.мат. журн., 1980, том 32, J6 5, с. 649-653.

17. Дьедоне Ж. Основы современного анализа. М., Мир, 1964. i<2Т. Еремин И.И., Астафьев Н.Н. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. М., Наука, Т976.

18. Зак Ю.А. 0 некоторых постановках задач оперативного управления непрерывным производством. В кн. "Системы промышленной кибернетики", № 2, Киев, ИК АН УССР, 1967, с. 47-66.

19. Зак Ю.А. Об одном классе многоэкстремальных задач и методах их решения. Автоматика и вычислительная техника, 1979, № 5,с. 41-47.

20. Зак ю.А., Беликов С.А. Исследование статистических алгоритмов многоэкстремальной адаптации в задачах распределения ресурсов вычислительной системы. Автоматика и вычислительная техника, 1982, & т, с. 59-66.

21. Зангвилл У.П. Нелинейное программирование. М., Советское радио, 1973.

22. Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения. М., Мир, Т975.

23. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономики. М., Наука, 1979.

24. Калман f., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М., Мир, 197I.

25. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, Т976.

26. Корноушенко Е.К. Интервальные покоординатные оценки для множества достижимых состояний линейной стационарной системы. I, П, III. Автоматика и телемеханика, Т980, 15, с. 12-22» 1980,т2, с. 10—77; Т982, № 10, с. 47-52.

27. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом ( пространстве. М., Наука, 1967.

28. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. М., Мир, 1967.

29. Лобри К. Динамические полисистемы и теория управления. В кн. "Математические методы в теории систем", М., Мир, 1979, с. 134173.

30. Мееров М.В., Литвак Б.Л. Оптимизация систем многосвязного управления. М., Наука, 1978.

31. Мееров М.В., Бейлин A.M. Динамическая задача управления потоками в системах магистральных газопроводов. В кн. "Управление многосвязными системами", М., Наука, 1975, с. 102-110•

32. Мееров М.В., Берщанский Я.М. Оптимизация многосвязных систем ( со связью по управлению. Там же, с. 5-10.

33. Михалевич B.C., Кукса А.И. Методы последовательной оптимизации в дискретных сетевых задачах оптимального распределения ресурсов. М., Наука, 1983.

34. Михалевич B.C., Шор Н.З., Галустова Л.А., Журбенко Н.Г., Мо-мот А.И., Сибирко А.Н., Трубин В.А., Юн Г.Н. Вычислительные методы выбора оптимальных проектных решений. Киев, Наукова думка, Т977.

35. Осетинский Н.И. Обзор некоторых результатов по современной теории систем. В кн. "Математические методы в теории систем", М., Мир, 1979, с. 271-327.

36. Павлов А.А. Линейные модели в нелинейных системах управления. Киев, Техника, 1982.

37. Павлов А.А., Беликов С.А., Юцаков А.Г. Об одном алгоритме управления устойчивым динамическим объектом. Электроника и моделирование, 1976, Л II, с.87-90.

38. Павлов А.А., Беликов С.А., Юцаков А.Г. Решение задачи о ветре-, че при выпукло-вогнутых ограничениях на вектор скорости. Математическое моделирование и теория электрических цепей, 1977,1. В 15, с. 73-77.

39. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях'- с частными производными. М., Физматгиз, 196I.

40. Полуэктов Р.А., Пуцима И.М. Экстремальные задачи многопараметрической унификации. Автоматика и телемеханика, 1974, Jifc 7, с. 146-154.

41. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., Наука, 1976.

42. Примак М.Е. О'.сходимости метода отсечений с очисткой на каждом шаге. Кибернетика, 1980, № I, с. 119-121.

43. Самборский С.Н. 0 множествах достижимости для линейных управляемых систем в банаховом пространстве. I, П. Кибернетика, T98I, Я Т, с. 141-142; Jp 2, с. 135-136.

44. Самборский С.й. Инволютивные дифференциальные системы в банаховом пространстве и множества достижимости для управляемых систем. Украинский математический журнал, 198I, том 33, В 2,с. 220-226.

45. Самборский С.Н. Конечномерные дифференциальные системы в банаховом пространстве и множества достижимости управляемых систем. Математическая физика, 1981, 29, с. 100-103.

46. Самборский С.Н. Дифференциальные системы в банаховом пространстве и множества достижимости управляемых систем. Препринт 81. 49/Ин-т математики АН УССР, Киев,. 1981, с. 3-18.

47. Самборский С.Н. Об управляемости систем, описываемых управлениями с частными производными. Сибирский математический журнал, 1983, J* 2, с. 150-159.

48. Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления ' и её применение. М., Машиностроение, 1972.

49. Уонем М. Линейные многомерные системы управления, геометрический подход. М., Мир, 1980.

50. Хазан М.И. Нелинейные эволюционные уравнения с малым параметром. Препринт 81. 50/Ин-т математики АН УССР, Киев, 1981, с;. 25-29.

51. Черноусько Ф.Л. Оптимальные гарантированные оценки неопределенностей с помощью эллипооцдовЛ, П, Ш. Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1980, й 3, с. ; а 4, с. 3-II;1. J6 5, с.

52. Шор Н.З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. Киев, Наукова думка, 1979.

53. Brockett R.W. Nonlinear systems and dif ferentional geometry.-Proceeding of IEEE, 1967,^64:.: N1, p.60-68,

54. Chan W.L., Li C.W. Controllability , observability and duality in infinite dimensional linear systems with multiple norm-bounded controllers. Int. J. Contr., 1981, v.33» N6, p.1039-1058.

55. Chow W.L. tfoer System von linear partiellen Differential-gleic-hungen erster ordung. Math.Ann., N 117, 1939, p.98-105.

56. Geoffrion A.M., Marsten R.E. Integer programming algorithms: u framework and state of the art survey. Manag. Sci., 1972, v.18, N9, p.464-491.

57. Hamatsuka Т., Мо*отеп A., Akashi H. Observer Disign for Linear Control System on Hilbert Spaces. SIAM J. Control and Optimization, 1981, F5, p.586-594.

58. Hirschorn R.M. Global controllability of nonlinear systems. -SIAM. J. Control And Optimization, 1976, Vol.14, N 4, p.700-711.

59. Krener A.J. A generalization of Chow^ theorem to nonlinear control problems. SIAM J. Control And Optimization, 1974» Vol 12, N 1, p.43-52.

60. Lobry C. Quelques aspects qualitatifs de la theorie de la commande. These sciences math. Grenoble, may 1972.1

61. Palais R. Foundations of global analysis. Benjami Inc., N.Y.Vi 1968, 132p.

62. Sussmann H.F. Minimal Realization and Canonical Forms for Bilinear Systems. J. Franklin Inst., 1976, v.301, N 6, p.593-604.

63. Sussman H.F., Jurdjevic V. Controllability of nonlinear systems. J. Differentional Equations, 1972, N12, p.95--116.

64. Tr3ggiani R. Extensions of rank condition. SIAM J. Control and Optimization, 14, Ш2, 1976, p.313-338.