Вихреразрешающее моделирование турбулентных течений и переноса примеси в уличных каньонах с использованием многопроцессорных вычислительных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Данилкин, Евгений Александрович

• Данилкин, Евгений Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Данилкин, Евгений Александрович

Введение.

Глава 1 Вихреразрешающее моделирование турбулентности.

1.1 Методы моделирования турбулентных течений.

1.2 Характерные особенности вихреразрешающего моделирования.

1.3 Выбор подсеточной модели.

L4 Задание граничных и начальных условий.

1.5 Использование современной вычислительной техники.

1.6 Основные задачи моделирования.

Глава 2 Математическая модель турбулентного течения вокруг плохообтекаемых тел.

2.1 Физическая постановка задачи.

2.2 Отфильтрованные уравнения Навье-Стокса.

2.3 Подсеточная модель Смагоринского и замыкание динамического типа.

2.4 Уравнение переноса тепла.

2.5 Уравнение переноса примеси.

2.6 Граничные условия.

2.7 Выводы.

Глава 3 Численный метод решения дифференциальной задачи.

3.1 Построение вычислительной сетки.

3.2 Аппроксимация уравнения движения.

3.3 Алгоритм расчета давления, согласованного с полем скорости.

3.4 Методы решения сеточных уравнений.

3.5 Тестирование численного метода.

3.6 Численная реализация динамической модели.

3.7 Выводы.

Глава 4 Параллельная реализация.

4Л Подходы к распараллеливанию адвективно-диффузионного уравнения.

4.2 Распараллеливание итерационных методов решения СЛАУ и анализ эффективности полученных реализаций.

4.3 Результаты тестирования методов решения СЛАУ.

4.4 Параллельная реализация численного метода решения разностной задачи.

4.5 Выводы.

Глава 5 Результаты применения вихреразрешающей модели турбулентности.

5.1 Турбулентное течение в канале.

5.2 Обтекание цилиндра квадратного сечения.

5.3 Исследование движения воздуха и переноса примеси в уличном каньоне.

5.4 Численное исследование аэродинамической картины и распространения выбросов автотранспорта для участка городской застройки.

5.5 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вихреразрешающее моделирование турбулентных течений и переноса примеси в уличных каньонах с использованием многопроцессорных вычислительных систем»

В настоящее время более половины населения Земного шара проживает на урбанизированных территориях, причем количество городов-миллионников неуклонно растет. Такая ситуация приводит к появлению целого ряда экологических проблем, некоторые из них связаны с качеством атмосферного воздуха. Для понимания аэродинамических процессов, происходящих в городской застройке вблизи линейных (автомобильных дорог) и точечных источников, и для решения проблем охраны окружающей среды наряду с приборным контролем состава атмосферного воздуха активно применяются методы математического моделирования, которые позволяют численно предсказывать детальную картину распределения концентраций газовых составляющих, загрязняющих атмосферный воздух, на основе решения сложной системы многомерных нестационарных уравнений. Особо важную роль в распространении примеси между зданиями играет турбулентность, поскольку скорость движения воздуха в городской застройке относительно невелика.

На современном этапе развития теории турбулентности моделирование турбулентных течений в окружающей среде осуществляется, в основном, с использованием осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса и переноса (RANS-подход), для которых требуется решить проблему замыкания путем привлечения полуэмпирических моделей различного уровня сложности. Несмотря на то, что этот подход позволяет получить успешные результаты, для целого ряда турбулентных течений (А.Ф. Курбацкий, А. С. Гиневский, Г.С. Глушко, В.М. Иевлев, В.Е. Launder, W. Rodi и др.), тем не менее, он дает низкую точность при описании нестационарных турбулентных течений вблизи плохообтекаемых тел. Это объясняется определенными физическими особенностями отрывных течений, а именно, наличием в них организованных нестационарных вихревых структур, параметры которых определяются геометрическими характеристиками рассматриваемого течения и граничными условиями.

В таких случаях метод моделирования крупных вихрей (LES-подход) оказывается более предпочтительным, так как он хорошо предсказывает нестационарную структуру турбулентного течения и позволяет явно разрешать крупные вихри вплоть до размера ячейки расчетной сетки, а вихри меньшего масштаба моделируются с помощью различных подсеточных моделей. Вихреразрешающему моделированию турбулентных течений посвящены работы О.М. Белоцерковского, A.M. Липанова, Ю.Ф. Кисарова, Ю.И. Хлопкова, А.В. Глазунова, К.Н. Волкова, J.W. Deardorff, W. Rodi, P. Moin, M. Germano, D.K. Lilly, S. Ghosal и др., однако широкое применение LES-подхода для исследования течений в окружающей среде сдерживается высокими требованиями к их численной реализации. Вихреразрешающее моделирование, в том числе и-в элементах городской застройки, нуждается в численных схемах высокого порядка аппроксимации и высокопроизводительных вычислительных алгоритмах, подразумевающих использование многопроцессорной вычислительной техники для получения результатов моделирования за приемлемое время.

Целью работы является построение вихреразрешающей модели турбулентных течений и переноса примеси в уличных каньонах и численного метода ее решения на многопроцессорных вычислительных системах с распределенной памятью.

Для достижения данной цели сформулированы следующие основные задачи исследования:

1. Построение вихреразрешающей модели турбулентных течений и переноса примеси в уличных каньонах.

2. Разработка и апробация адаптированного на многопроцессорную вычислительную технику с распределенной памятью численного метода решения уравнений Навье-Стокса, описывающих движение несжимаемой среды, и адвективно-диффузионных уравнений, представляющих перенос примеси.

3. Численное исследование влияния соотношения ширины и высоты уличного каньона, расположения источника примеси и скорости потока воздуха на структуру течения и распространение концентрации примеси.

Научная новизна полученных автором результатов заключается в следующем:

1. Построена и впервые применена для исследования турбулентных отрывных течений и переноса пассивной газообразной примеси в городской застройке нестационарная трехмерная вихреразрешающая модель, учитывающая влияние плохообтекаемых препятствий и их шероховатости на поведение потока и распределение концентрации примеси.

2. На задачах турбулентного течения в канале и обтекания цилиндра квадратного сечения на основе вычислительного эксперимента впервые показано, что для корректного расчета параметров потока и его турбулентной структуры с помощью используемой вихреразрешающей модели, опирающейся на явные разностные схемы второго порядка аппроксимации в сочетании с динамической подсеточной моделью, лучшие результаты показывает применение противопотоковой схемы QUICK Леонарда для аппроксимации конвективных членов по сравнению с центрально-разностными схемами или противопотоковой схемой MLU.

3. На основе вычислительных экспериментов, проведенных на многопроцессорной вычислительной системе с распределенной памятью для рассматриваемых в работе задач, впервые показано, что необходимая для получения результатов за приемлемое время параллельная реализация вихреразрешающей модели турбулентности должна использовать двумерную геометрическую декомпозицию сеточной области исследования, а также параллельный алгоритм сопряженных градиентов в сочетании с предобуславливанием по методу Зейделя с красно-черным упорядочиванием для решения разностного эллиптического уравнения для поправки давления.

4. Впервые с использованием вихреразрешающей модели турбулентности проведено исследование влияние соотношения ширины и высоты уличного каньона, расположения источника примеси и скорости потока воздуха на структуру течения и распространение концентрации примеси. Выявлено существование трех режимов циркуляции воздуха внутри каньона в зависимости от его геометрических параметров.

Теоретическая^ значимость диссертационного исследования состоит в развитии теории турбулентности в части вихреразрешающего моделирования турбулентных течений и переноса примеси в окружающей среде. Это открывает перспективы в применении вихреразрешающего моделирования для решения фундаментальных экологических проблем, связанных с качеством атмосферного воздуха.

Практическая значимость определяется тем, что разработанные и апробированные в рамках диссертационной работы методы, могут быть применены для ускорения-расчетов при-численном моделировании реальных турбулентных течений. Предложенная и реализованная для многопроцессорной вычислительной техники математическая модель позволяет рассчитывать структуру турбулентного течения воздушных масс и предсказывать зоны превышения предельно допустимых концентраций примеси для конкретных участков городской застройки.

Работа выполнялась в соответствии с основными направлениями НИР Томского государственного университета в рамках темы 1.12.06 ЕЗН Министерства образования РФ, а ^также по научным проектам, поддержанным грантами РФФИ (№ 09-05-01126, № 08-05-90711-мобст) и программой СКИФ-ГРИД (№ 2007-СГ-04/3, № 2009-СГ-04/5).

Материалы проведенных исследований включены в программу специального курса лекций, читаемого на механико-математическом факультете ТГУ.

Достоверность и обоснованность научных положений и выводов, сделанных в диссертационной работе, основана на корректном применении фундаментальных уравнений механики сплошных сред и следует из адекватности физических и математических моделей и численных методов, используемых в работе, что подтверждается сравнением с результатами экспериментов, а также с известными теоретическими данными других авторов.

На защиту выносится:

1. Вихреразрешающая модель для исследования турбулентных течений и переноса примеси в уличных каньонах.

2. Численный метод решения системы уравнений Навье-Стокса для несжимаемой среды и его параллельная реализация на многопроцессорной вычислительной системе с распределенной памятью.

3. Результаты исследования эффективности и масштабируемости разработанных параллельных численных алгоритмов. Предложенные и обоснованные способы декомпозиции расчетной области при численном решении систем дифференциальных уравнений на многопроцессорной вычислительной технике с распределенной памятью.

4. Результаты математического моделирования турбулентных течений и переноса примеси в уличных каньонах.

Личный вклад автора: Данилкин Е.А. под руководством профессора Старченко А.В. построил математическую модель турбулентного течения. Разработал эффективную параллельную реализацию численного решения уравнений Навье-Стокса, описывающих, движение несжимаемой среды. Осуществил сравнение различных способов декомпозиции расчетной области по вычислительным узлам и выявил наиболее эффективный из них с точки зрения минимизации вычислительных затрат без потери в масштабируемости- решаемой задачи. Построил параллельные алгоритмы реализующие рассматриваемые методы решения систем линейных алгебраических уравнений, определив особенности этих методов и возможность их применения для решаемой задачи. Осуществил тестирование модели турбулентности и переноса примеси.

Основные результаты диссертации доложены соискателем на 5-ти международных, 3-х всероссийских и 3-х региональных научных и научно-практических конференциях в Санкт-Петербурге, Казани, Новороссийске, Новосибирске, Красноярске, Томске и полностью представлены в следующих опубликованных работах [18-25], в том числе в 1 статье в издании из списка ВАК.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Данилкин, Евгений Александрович

5.5 Выводы

Результаты численных экспериментов показали, что построенная математическая модель турбулентности способна воспроизводить характерные особенности турбулентного потока, нестационарный характер исследуемого течения и моделировать процесс отрыва вихрей.

Проведено всестороннее тестирование математической модели, предложенных подсеточных замыканий и схем аппроксимации конвективных слагаемых. Проанализированы сильные и слабые стороны каждой схемы аппроксимации и подсеточной модели с точки зрения качества получаемых результатов. На основе этого для решения поставленной задачи предложено использовать динамическое замыкание в сочетании с направленной схемой QUICK второго порядка аппроксимации для конвективных членов.

Проведен параметрический анализ течения в уличном каньоне для различных метеорологических и геометрических условий. Выявлены основные типы течения и соответствующие для них картины распределения примеси. Показано, что расположение источников примеси на дне каньона существенно влияет на распределение примеси внутри каньона и интенсивности выветривания примеси.

В заключительной части раздела представлены результаты моделирования распространения загрязнения от автотранспорта для участка городской застройки. Получена картина турбулентного движения воздушных масс в городском квартале, а также распределение выхлопов от автотранспорта для различных вертикальных сечений и в виде изоповерхности концентрации примеси. На основе сравнительного анализа с RANS-подходом показано, что использование вихреразрешающего моделирования турбулентных течений в городской застройке позволяет повысить детализацию вихревых структур воздушных потоков, влияющую на уровень концентрации выбросов автотранспорта.

Заключение

1. Для исследования аэродинамики и переноса примеси в уличных каньонах разработана нестационарная пространственная модель, опирающаяся на использование вихреразрешающего моделирования турбулентности.

2. Численная реализация предложенной модели осуществляется на основе метода конечного объема, явных разностных схем второго порядка по времени и пространству. В гидродинамической части модели для согласования полей скорости и давления использовалась схема предиктор-корректор, в соответствии с которой явная схема Адамса-Бэшфорда для уравнения движения выполняет функцию предиктора, а коррекция поля скорости осуществлялась на основе решения разностного уравнения Пуассона для поправки давления.

3. На основе вычислительных экспериментов, проведенных на многопроцессорной вычислительной системе с распределенной памятью для рассматриваемых в работе задач, показано, что необходимая для получения результатов за приемлемое время параллельная реализация вихреразрешающей модели турбулентности должна использовать двумерную геометрическую декомпозицию сеточной области исследования, а также параллельный алгоритм сопряженных градиентов в сочетании с предобуславливанием по методу Зейделя- с красно-черным упорядочиванием для- решения разностного эллиптического уравнения для поправки давления.

4. Тестирование предложенной математической модели и численного метода проведены на экспериментальных и расчетных данных других авторов. На основании выполненных вычислительных экспериментов и результатов сравнительного анализа можно говорить об адекватности предложенной модели исследуемым физическим процессам.

5. На задачах турбулентного течения в канале и обтекания цилиндра квадратного сечения на основе вычислительного эксперимента показано, что для корректного расчета параметров потока и его турбулентной структуры с помощью используёмой вихреразрешающей модели, опирающейся на явные разностные схемы второго порядка аппроксимации в сочетании с динамической подсеточной моделью, лучшие результаты показывает применение противопотоковой схемы QUICK Леонарда для аппроксимации конвективных членов по сравнению с центрально-разностными схемами или противопотоковой схемой MLU.

6. На основе построенной математической модели турбулентного течения несжимаемой среды для трехмерной модели уличного каньона проведен ряд расчетов, результаты которых показывают, что максимальные концентрации примеси наблюдаются у подветренной стороны каньона и вблизи источников примеси. Кроме того показано, как расположение источника примеси на дне каньона и геометрические параметры исследуемой области влияют на картину течения и распределения примеси. В заключение предложенная микромасштабная математическая модель применена для расчета турбулентного течения и распространения примеси для реального участка городской застройки и на основе численного анализа полученных результатов выявлены зоны повышенной экологической опасности.

7. Материалы проведенных исследований включены в программу специального курса лекций, читаемого на механико-математическом факультете Томского государственного университета.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Данилкин, Евгений Александрович, 2010 год

1. Андерсон Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: пер. с англ. в 2-х т. / Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер. М. : Мир, 1990. - Т. 2. - 392 с.

2. Антонов А.С. Параллельное программирование с использованием MPI / А.С. Антонов. М. : Изд-во МГУ, 2004. - 71 с.

3. Беликов Д. А. Высокопроизводительные вычисления на кластерах: учеб. пособие / Д. А. Беликов, И. В. Говязов, Е. А. Данилкин, В. И. Лаева, С. А. Проханов, А. В. Старченко; под редакцией Старченко А.В. Томск : ТГУ, 2008. - 198 с.

4. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред / О.М. Белоцерковский. М. : Наука, 1982. - 520 с.

5. Белоцерковский О.М. Динамика пространственных вихревых течений в неоднородной атмосфере. Вычислительный эксперимент / О.М. Белоцерковский, В.А. Андрущенко, Ю.Д. Шевелев. М. : Янус-К, 2000. -456 с.

6. Белоцерковский О.М. Турбулентность: новые подходы / О.М. Белоцерковский, A.M. Опарин, В.М. Чечёткин. М. : Наука, 2002. - 286 с.

7. Белоцерковский О. М. Методы Монте-Карло в механике жидкости и газа: монография / О. М. Белоцерковский, Ю. И. Хлопков. М. : Азбука-2000, 2008.-329 с.

8. Богословский Н.Н. Параллельная реализация алгоритма вычислительной гидродинамики SIMPLE / Н.Н. Богословский, А.О. Есаулов, А.В. Старченко // Труды Сибирской школы-семенара по параллельным вычислениям, ТГУ. Томск, 2002. - С. 118-124.

9. Букатов А. А. Программирование многопроцессорных вычислительных систем / А. А. Букатов, В. Н. Дацкж, А. И. Жегуло. Ростов-на-Дону : Изд-во ООО «ЦВВР», 2003. -т 208 с.

10. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики / П.Н. Вабищевич. М. : Изд-во МГУ, 1991. - 156 с.

11. Ветлудкий В.Н. Численные методы в динамике вязкой жидкости / Ветлуцкий В.Н. и др. // Моделирование в механике. 1987. - Т. 1, - № 4. -С. 22-45.

12. Воеводин В.В. Параллельные вычисления / В.В. Воеводин, Вл.В. Воеводин. СПб. : БХВ-Петербург, 2002. - 608 с.

13. Воеводин В.В. Численные методы, параллельные вычисления и информационные технологии / В.В. Воеводин. .- М. : БИНОМ, 2008. -320 с.

14. Волков К.Н. Моделирование крупных вихрей в расчетах турбулентных течений / К.Н. Волков, В.Н. Емельянов. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 368 с.

15. Гергель В.П. Основы параллельных вычислений для многопроцессорных вычислительных машин / В.П. Гергель, Р.Г. Стронгин. ~ Нижний Новгород : Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2000. 176 с.

16. Гергель В.П. Теория и практика параллельных вычислений / В.П. Гергель. М. : БИНОМ, 2007. - 424 с.

17. Глазунов А.В. Вихревое моделирование турбулентности с• использованием смешенного динамического локального замыкания // Известия РАН, Физика атмосферы и океана. 2009. - Т. 45, - № 1. - С. 7-28.

18. Данилкин Е.А. К выбору способа декомпозиции при численном решении систем связанных дифференциальных уравнений на многопроцессорной технике с распределенной памятью / Е.А. Данилкин, А.В. Старченко //

19. Третья Сибирская школа-семинар' по параллельным вычислениям. —j

20. Томск : Изд-во Том. гос. ун-та, 2006. С. 95-101.

21. Данилкин Е.А. Численное решение систем связанных нелинейных• дифференциальных уравнений на многопроцессорной технике с распределенной памятью / Е.А. Данилкин, А.В. Старченко // Материалы

22. XV международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. М. : Вузовская книга, 2007. - С. 201-203.

23. Данилкин Е.А. К вопросу об эффективности ЗБ-декомпозиции при численном решении уравнения переноса с использованием МВС с распределенной памятью // Вестник Томского государственного университета, Серия: математики и механика. 2008. - № 2(3). - С. 3946.

24. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения / Дж. Деммель. М. : Мир, 2001. - 430 с.

25. Есаулов А.О. К выбору схем для численного решения уравнений переноса / А.О. Есаулов, А.В. Старченко // Вычислительная гидродинамика, ТГУ. Томск, 1999 - С. 27-32.

26. Жукаускас А.А. Конвективный перенос в теплоприемниках / А.А. Жукаускас. М. : Наука, 1982.-472 с.

27. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем / В.П. Ильин М. : Наука, 1995. - 287 с."

28. Корнеев В.В. Параллельные вычислительные системы / В.В. Корнеев. -М.: Нолидж, 1999. 320 с.

29. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса / А.Н. Колмогоров // ДАН СССР, 1941. Т. 30. - С. 299-303.

30. Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости / А.Н. Колмогоров // ДАН СССР, Физика. 1942. Т. 6, № 1-2. -С. 56-58.

31. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы0• высшей математики. В 2-х томах / В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.и. Монастырный. — Минск : Вышэйшая школа, 1975. Т.2. - 670 с.

32. Курбацкий А. Ф. Лекции по турбулентности: В 2 ч. / А. Ф. Курбацкий. Введение в турбулентность. Новосибирск, 2000. Т. 1. - 118 е.; Моделирование турбулентных течений. - Новосибирск, 2001. Т. 2. - 136с.

33. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. Изд. 2-ое перераб. и доп. / О. А. Ладыженская // Букинист, 1970.-288 с.

34. Лебедев В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика / В. И. Лебедев. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. - 296 с.

35. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа: учеб. для вузов. 7-е изд., испр. / Л. Г. Лойцянский. М.: Дрофа, 2003. - 840 с.

36. Малышкин В.Э. Параллельное программирование мультикомпьютеров / В.Э. Малышкин, В.Д. Корнев. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2006. -296 с.

37. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды / Г.И. Марчук. М. : Наука, 1982. - 320 с.

38. Методы расчёта турбулентных течений: Пер. с англ. / ред. В. Колльмана. М. : Мир, 1984.-463 с.

39. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика / А.С. Монин, A.M. Яглом. Спб.: Гидрометеоиздат, 1992.'Т. 1; -М. : Наука, 1967. Т. 2.

40. Немнюгин С.А., Стесик О.Л. Параллельное программирование для многопроцессорных вычислительных систем / С.А. Немнюгин, О.Л. Стесик. СПб. : БХВ-Петербург, 2002. - 200 с.

41. Нутерман Р.Б. Моделирование аэродинамики и распространения выбросов от автотранспорта в городском подслое / Р. Б. Нутерман, А.А. Бакланов, А.В.Старченко // Математическое моделирование. 2010. - Т. 22, № 4. - С. 3-22.

42. Оке Т.Р. Климаты пограничного слоя / Т.Р. Оке. -Л. : Гидрометеоиздат. -1982.-358 с.

43. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости: Пер. с англ. / С. Патанкар. М. : Энергоатомиздат, 1984. - 149 с.48." Роуч П. Вычислительная гидродинамика: Пер. с англ. / П. Роуч М. : Мир. - 1980.-612 с.

44. Самарский А.А. Устойчивость разностных схем / А.А. Самарский, А.В. Гулин. М. : Наука, 1973. - 415 с.

45. Самарский А.А. Методы решения сеточных уравнений / А.А. Самарский, Е.С. Николаев. -М. : Наука, 1978. 519 с.

46. Самарский А.А. Теория разностных схем / А.А. Самарский. М. : Наука, 1989.-616 с.

47. Самарский А.А. Численные методы решения задач конвекции-диффузии ' / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич. М. : Эдиториал УРСС, 1999. - 247с.

48. Старченко А.В. Параллельные вычисления на многопроцессорных вычислительных системах / А.В. Старченко, А.О. Есаулов. Томск : Изд-во Том. ун-та, 2002. - 56 с.

49. Старченко А.В. Сравнительный анализ некоторых итерационных методов для численного решения пространственной краевой задачи для уравнения эллиптического типа / А.В. Старченко // Вестник Томского государственного университета. 2003. - №10. С. 70-80.

50. Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования: В 2-х. т. / ред. Бахвалов Н.С., Воеводин В.В. М. : Наука, 2005 Т. 2. - 405 с.

51. Турбулентность. Принципы и применение / ред. Фрост У., Моулден Т. -М.: Мир, 1980.-535с.

52. Турбулентные сдвиговые течения: Пер. с англ.; ред. А. С. Гиневский. -М.: Машиностроение, 1982. Т. 1. - 432 с.

53. Хинце О. Турбулентность: Пер с англ. под ред. Г. Н. Абрамовича / О. Хинце. М.: Физматгиз, 1963. - 680 с.

54. Хлопков Ю. И. Лекции по теоретическим методам исследования турбулентности / Ю.И. Хлопков. -М. : МФТИ, 2005. 178 с.

55. Хлопков Ю. И. Ренормгрупповые методы описания турбулентных движений несжимаемой жидкости / Ю.И. Хлопков, В.А. Жаров, С.Л. Горелов. М. : Изд-во МФТИ, 2006. - 491 с.

56. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя / Шлихтинг Г. М. : Наука, 1974.-712 с.

57. Bardina J. Improved subgrid scale models for large-eddy simulation / J. Bardina, J. H. Ferziger, W. C. Reynolds // Am. Inst. Astronaut. 1980. - P. 80-135.

58. Baggett J.S. Resolution requirements in large-eddy simulation of shear flows / J.S. Baggett, J. Jimenez, A.G. Kravchenko // CTR Annual Research Briefs, 1997.-P. 51-66.

59. Cabot W. Approximate wall boundary conditions in the large-eddy simulation . of high Reynolds number flow / W. Cabot, P. Moin // Flow Turb. Combust.2000.-Vol. 63.-P. 269-291.

60. Deardorff J.W. A numerical study of three-dimensional turbulent channel flow at large Reynolds numbers / J.W. Deardorff // J. Fluid Mech. 1970. -Vol. 41.-P. 453-480.

61. Deardorff J.W. The use of subgrid transport equations in a three-dimensional model of atmospheric turbulence / J.W. Deardorff // Journal of Fluids Engineering. 1973. - Vol. 9. - P. 429-438.

62. Germano M. Turbulence: the filtering approach / M. Germano // Journal of . Fluid Mechanics. 1992. - Vol. 238. - P. 325-336.

63. Germano M. A dynamic subgrid-scale eddy viscosity model / M. Germano, U. Piomelli, P. Moin, W. H. Cabot // Phys. Fluids. A. 1991'. - Vol. 3. - P. 1760-1765.

64. Ghosal S. An analysis of numerical errors in large-eddy simulation of turbulence / S. Ghosal // Journal Comput. Phys. 1996. - Vol. 125. - P. 187206.

65. Ghosal S. A dynamic localization model for large eddy simulation of turbulent flows / S. Ghosal, T. Lund, P. Moin, K. Akselvoll // J. Fluid Mech. -1995. Vol. 286. - P. 229-255.

66. Gokarn A. Large eddy simulations of incompressible turbulent flows using parallel computing techniques / A. Gokarn, F. Battaglial, R.O. Fox // Int. J. Numer.Meth. Fluids.-2008.-Vol. 56.-№ 10.-P. 1819-1843.

67. Grigoriadis D.G.E. LES of the flow past a rectangular cylinder using the immersed boundary boundary concept / D.G.E. Grigoriadis, J.G. Bartzis, A. Coulas // Int. J. Number. Meth. Fluids. 2003. Vol. 41. - № 6. - P. 616-632.

68. Gullbrand J. The effect of numerical errors and turbulence models in large-eddy simulation of channel flow, with and without explicit filtering / J. Gullbrand, F.K. Chow // J. Fluid Mech. 2003. - P. 323-341.

69. Hoyas S. Scaling of the velocity fluctuations in turbulent channels up to Re = 2003 / S. Hoyas, J. Jimenez // Annual Research Briefs, Center for Turbulence Research, NASA Ames/Stanford Univ. 2005. - P. 351-356.

70. Hoydysh W.G., Dabberdt W.F. Kinematics and dispersion characteristics of flows in asymmetric street canyons / W.G. Hoydysh, W.F Dabberdt // Atmospheric Environment. 1988. - Vol. 22. - P. 2677-2689.

71. Jimenez J. On why dynamic subgrid-scale models work / J. Jimenez // Center for Turbulence Research, NASA Ames/Standford Univ. Annual Research Briefs.- 1995.

72. Kim J. Turbulence statistics in fully developed channel flow at low Reynolds number / J. Kim, P. Moin, R. Moser // Journal of Fluid Mechanics. 1987. -Vol. 177.-P. 133-166.

73. Kravchenko A.G. On the Effect of Numerical Errors in Large Eddy Simulation of Turbulence Flows / A.G. Kravchnko and P. Moin // J. Сотр.• Phys.-1997.-P. 310-322.

74. Leonard B. A Stable and Accurate Convective Modeling Procedure Based on Quadratic Upstream Interpolation / B. Leonard // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1979. - Vol. 19, - P. 59-98.

75. Lilly D. К. A proposed modification of the Germano subgrid-scale closure . model / D.K. Lilly // Phys. Fluids A. 1992. - P. 633-635.

76. Lubcke H. Comparison of LES and RANS in bluff-body flows / H. Lubcke, St. Schmidt, T. Rung, F. Thiele // J. Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 2001. - Vol.89. - P. 1471-1485.

77. Lund, T.S. On the use of discrete filters for large eddy simulation // Annual Research Briefs, Center for Turbulence Research, NASA Ames/Stanford Univ.- 1997.-P. 83-95.

78. Lund T.S. Experiments with explicit filtering for LES using finite-difference method / T.S. Lund, H.J. Kaltenbach // Center for Turbulence Research, Annual Research Briefs. 1995. - P. 91-105.

79. Lyn D. A laser-Doppler velocimetry study of ensemble averaged characteristics of the turbulent near wake of a square cylinder / D. Lyn, S. Einav, W. Rodi et al. // J. Fluid Mech. 1995. - V. 304. - P. 285-319.

80. Meneveau C. Scale-invariance and turbulence models for large eddy simulation / C. Meneveau, J. Katz // Annu. Rev. Fluid Mech. 2003. - Vol. 32.-P. 1-32. ;

81. Moin P. Direct numerical simulation: A tool in turbulence research / P. Moin, K. Mahesh // Annual Review of Fluid Mechanics. 1998. - Vol. 30. - P. 539-578.

82. Moin P. Advances in large eddy simulation methodology for complex flows // Int. J. Heat Fluid Flow. 2002. V. 23. - 710 p.

83. Moin P. On the numerical solution of time dependent viscous incompressible fluid flows involving solid boundaries / P. Moin, J. Kim // Journal of Computational Physics. 1980. - Vol. 35. - P. 381-392.

84. Morinishi Y. Subgrid scale modeling taking the numerical errors into consideration / Y. Morinishi, O.V. Vasilyev // Center of turbulence research. -1998.-P. 237-245.

85. Nakayama A. On the influence of numerical schemes and subgrid-stress models on large eddy simulation of turbulent flow past a square cylinder / A.

86. Nakayama, S.N. Vengadesan // Int. J. Numer. Methods Fluids. 2002. - Vol. 38.-P. 227-253.

87. Niederschulte M.A. Measurements of turbulent flow in a channel at low Reynolds numbers / M.A. Niederschulte, R.J. Adrian, T.J. Hanratty //

88. Experiments in Fluids. 1990. Vol. 9. - P. 222-230.

89. Orszag A. Transform method for calculation of vector coupled sums: application to the spectral form of the vorticity equation. // J. Atmos. Sci. -1970.-Vol. 27.-890 p.

90. Park N. Discretization errors in large eddy simulation: on the sutibility of centered and upwind-biased compact difference schemes / N. Park, J.Y. Yoo, H. Choi // J. Сотр. Phys. 2005. - P. 580-616.

91. Piomelli, U. Finite-Diference Computations of High Reynolds Number Flows Using the Dynamic Subgrid-Scale Model // Theoret. Comput. Fluid Dinamics.1995.-Vol. 7.-P. 2007-216.

92. Piomelli, U. The inner-outer layer interface in large-eddy simulation with wall-layer models / U. Piomelli, E. Balaras, H. Pasinato, K. Squires and P. Spalart // Int. J. Heat and Fluid Flow. 2003. - P. 538-550.

93. Rodi W. Comparison of LES and RANS calculations of the flow around bluff bodies // J. Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 1997. - Vol. 69-71.-P. 55-75.

94. Rodi W. Status of large eddy simulation: results of a workshop / W. Rodi, J. Ferziger, M. Breuer, M. Pourquie // J. Fluis Eng. 1997. - Vol. 119. - P.248.262.

95. Sagaut P. Large eddy simulation for Incompressible Flow 3rd ed. An Series: Scientific Computation, 2006. XXIX. 556 p.

96. Schmidt S. Comparison of numerical methods applied to the flow over wall-mounted cubes / S. Schmidt, F. Thiele // International Journal of Heat and Fluid Flow. 2002. - Vol. 23 - P. 330-339.

97. Smagorinsky J. General circulation experiments with the primitive equations. I: The basic experiment 11 Monthly Weather Review. 1963. - Vol. 91. - №. 3.-P. 99-165.

98. Spalart P. R. Strategies for turbulence modelling and simulations // Int. J. of Heat and Fluid Flow. 2000. - Vol. 21. - P. 252-263.

99. Stone C. Large-eddy simulations on distributed shared memory clusters / C. Stone and S. Menon // Journal of Parallel and Distributed Computing. 2004. -Vol. 64.-№10.-P. 1103-1112.

100. Tejada-Martines A. A parameter-free dynamic subgrid-scale model for large eddy simulation / A. Tejada-Martines, K. Jansen // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2006. - V. 195. - P. 2919-2938.

101. TOP500 Lists. Электронный ресурс. URL: http://www.top500.org.

102. Tseng Y. Modeling flow around bluff bodies and predicting urban dispersion using large eddy simulation / Y. Tseng, C. Meneveau, M. Parlange // Environ. Sci. Technol. 2006, Vol. 40. - P. 2653-2662.

103. Van der Vorst H.A. Bi-CGSTAB: a fast and smothly converging variant of Bi-CG for the solution of nonsymmetric linear systems //SIAM Journal. -1992.-Vol. 13.-№ 2.-P.631-644.

104. Van Leer B. Towards the ultimate conervative difference scheme. II. Monotonicity and conservation combined in a second order scheme // J. of Computational Physics. 1974. - Vol. 14. - P. 361-370.

105. Vengadesan S. Evalution of LES models for fkow over bluff body from engineering application perspective / S. Vengadesan, A. Nakayama // Sadhana. 2005. - Vol.30. -№ 1. - P. 11-20.

106. Walton A. Large-eddy simulation of pollution dispersion in an urban street canyon. Part 1: Comparison with field data / A. Walton, A.Y.S. Cheng, W.C. Yeung // Atmospheric Environment. 2002. - Vol. 36. - P. 3601-3613.

107. Walton A. Large-eddy simulation of pollution dispersion in an urban street canyon. Part 2: idealised canyon imulation / A. Walton, A.Y.S. Cheng // Atmospheric Environment. 2002. - Vol. 36. - P. 3615-3627.

108. Wilcox D.C. Turbulence modeling for CFD: DCW Industries Inc, 1993. 460 . P

109. Yakhot A. Turbulent flow around a wall-mounted cube: A direct numerical simulation / A. Yakhot, H. Liu, N. Nikitin // International Journal of Heat and Fluid Flow. 2006. - Vol. 27. - P. 994-1009.