Исследование структуры сингулярных пучков с полуцелыми топологическими зарядами в оптически неоднородных и анизотропных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат наук Титова Анна Олеговна

• Титова Анна Олеговна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Титова Анна Олеговна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СИНГУЛЯРНЫЕ ПУЧКИ С ПОЛУЦЕЛЫМИ ТОПОЛОГИЧЕСКИМИ ЗАРЯДАМИ И МЕТОДЫ ИХ ФОРМИРОВАНИЯ

1.1. Основные характеристики сингулярных пучков с полуцелыми топологическими зарядами

1.1.1. Сингулярные пучки

1.1.2. Сингулярные пучки с полуцелыми топологическими зарядами

1.2. Методы формирования сингулярных пучков с полуцелыми топологическими зарядами

1.2.1. Метод компьютерно-синтезированных голограмм

1.2.2. Спиральные фазовые пластинки

1.3. Выводы

ГЛАВА 2 ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ СИНГУЛЯРНЫХ ПУЧКОВ С ПОЛУЦЕЛЫМИ ТОПОЛОГИЧЕСКИМИ ЗАРЯДАМИ В ОПТИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

2.1. Исследование структуры сингулярного пучка с полуцелым топологическим зарядом, сформированном на краю диэлектрического клина

2.1.1. Дифракция гауссова пучка на краю диэлектрического клина

2.1.2. Исследование структуры сингулярного пучка с полуцелым топологическим зарядом на краю диэлектрического клина. Теоретическая модель

2.1.3. Исследование структуры сингулярного пучка с полуцелым топологическим зарядом на краю диэлектрического клина. Эксперимент

2.2. Исследование поведения сингулярного пучка с полуцелым топологическим зарядом, распространяющегося в свободном пространстве

2.2.1. Сингулярные пучки с полуцелыми топологическими зарядами в свободном пространстве

2.2.2. Исследование структуры циркулярно-поляризованных сингулярных пучков с полуцелыми топологическими зарядами в свободном пространстве

2.3. Выводы

ГЛАВА 3 ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ СИНГУЛЯРНЫХ ПУЧКОВ С ПОЛУЦЕЛЫМИ ТОПОЛОГИЧЕСКИМИ ЗАРЯДАМИ В АНИЗОТРОПНЫХ ОДНООСНЫХ КРИСТАЛЛАХ

3.1. Матричная модель

3.2. Структура сингулярных пучков с полуцелыми топологическими зарядами при распространении в анизотропном одноосном кристалле

3.3. Траектории поляризационных сингулярностей. Теоретическая модель

3.4. Исследование структуры сингулярных пучков с полуцелыми топологическими зарядами при распространении в анизотропном одноосном кристалле. Эксперимент

3.4.1. Экспериментальная установка и методы измерения

3.4.2. Траектории поляризационных сингулярностей. Эксперимент

3.5. Выводы

ГЛАВА 4 ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ СИНГУЛЯРНЫХ ПУЧКОВ С ПОЛУЦЕЛЫМИ ТОПОЛОГИЧЕСКИМИ ЗАРЯДАМИ В МАССИВАХ АНИЗОТРОПНЫХ ОПТИЧЕСКИХ ВОЛОКОН

4.1. Циркулярные массивы волокон

4.2. Исследование структуры сингулярных пучков с полуцелыми топологическими зарядами в циркулярных массивах волокон. Теоретическая модель

4.3. Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

130

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование структуры сингулярных пучков с полуцелыми топологическими зарядами в оптически неоднородных и анизотропных средах»

ВВЕДЕНИЕ

Впервые о сингулярных пучках с полуцелыми топологическими зарядами упоминалось еще в начале, 90-х гг. в работах [1,2], в которых авторы задаются вопросами о состоянии и поведении таких пучков. Оказалось, что начальное распределение поля сингулярного пучка с полуцелым топологическим зарядом, не будет устойчивым при распространении на различные расстояния в однородных средах. Однако, данный класс пучков представлял большой интерес, [3-9], а в работе М. Берри [10], подробно рассмотрен процесс дифракции гауссова пучка на спиральной фазовой пластине, с дробным фазовым шагом. М. Берри показал, что сингулярные пучки с полуцелыми топологическими зарядами, могут переносить орбитальные угловые моменты. Также было показано, что пучки с полуцелыми топологическими зарядами являются стабильными при распространении [11]. Оказалось, что оптические вихри с полуцелыми топологическими зарядами можно характеризовать по направлению убывания фазы и ориентации в пространстве [12]. Сложение положительных, взаимно ориентированных пучков позволяет формировать оптические вихри целых порядков топологических зарядов, а разноименно заряженных, приведет к уничтожению сингулярности. Такие манипуляции с пучками переносящими сингулярности с полуцелыми топологическими зарядами, дают возможность генерировать основные сингулярные пучки [13].

Особенно следует выделить новый тип сингулярностей с винтовым волновым фронтом - дискретные сингулярные пучки с полуцелыми топологическими зарядами, формируемые симметричными массивами оптических волокон [14-25]. Массивы могут быть построены таким образом, что амплитуда поля вблизи оси равна нулю, что может существенно ослабить уничтожение сингулярных пучков с полуцелыми топологическими зарядами.

Актуальность исследования струткуры сингулярных пучков с полуцелыми топологическими зарядами обусловлена их уникальными свойствами, которые могут применяться для создания устройств и систем

коммуникаций, сканирования, хранения информации, криптографии, медицины, биологии, манипулирования микрочастицами [26-33].

В современной оптике свойства сингулярных пучков исследуются для создания устройств, позволяющих управлять процессами преобразования и взаимодействия спинового и орбитального угловых моментов в пределах одного и того же пучка света [34-40]. Дальнейшее исследование сингулярных пучков с полуцелыми топологическими зарядами, позволит расширить возможности и функциональность оптических систем, что вызывает большой интерес к данному классу пучков и методам их генерации [2, 41-46].

Практическая значимость работы заключается в том, что определенные условия накладываемые на распределение анизотропии оптических систем, позволяют использовать сингулярные пучки с полуцелыми топологическими зарядами для надежной передачи полей и создания современных высокоэнергетических оптических устройств.

Целью диссертационной работы явилось экспериментальное и теоретическое исследование структуры поля сингулярных пучков с полуцелыми топологическими зарядами при распространении в оптически неоднородных и анизотропных средах.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи исследования:

1. Проанализировать структуру поля сингулярного пучка с полуцелым топологическим зарядом, на краю диэлектрического клина.

2. Проанализировать структуру поля сингулярного пучка с полуцелым топологическим зарядом, при распространении в анизотропном одноосном кристалле.

3. Проанализировать структуру поля сингулярного пучка с полуцелым топологическим зарядом в массиве анизотропных оптических волокон.

Научная новизна полученных результатов:

1. Впервые экспериментально показано, что при прохождении параксиального гауссова пучка, через угловой край диэлектрического клина, в поле дифракции формируется сингулярный пучок с полуцелым топологическим зарядом.

2. Впервые экспериментально показано, что энергетическая эффективность метода формирования сингулярных пучков с полуцелыми топологическими зарядами на краю диэлектрического клина, составляет более 90%. Преимуществом предложенного метода является, высокая энергетическая эффективность генерируемого сингулярного пучка.

3. Впервые экспериментально и теоретически показано, что преобразование величины полуцелого топологического заряда оптического вихря, в анизотропном одноосном кристалле, происходит при условии, что поле пучка имеет круговую поляризацию, а угол под которым распространяется пучок не равен нулю относительно оси кристалла.

4. Впервые экспериментально с помощью разработанного устройства для определения и исследования распределения поляризации в лазерных пучках, в режиме реального времени, исследованы состояния поляризации циркулярно-поляризованного поля с полуцелым топологическим зарядом в анизотропном одноосном кристалле. Показано, что приосевые поляризационные сингулярности либо удваивают величину топологического заряда оптического вихря, при этом меняя знак на противоположный, либо аннигилируют, в зависимости от направления исходной поляризации.

5. Впервые теоретически исследована эволюция дискретных оптических вихрей в циркулярных массивах оптических волокон. Показано, что такие массивы могут поддерживать распространение, так называемых супермод. Показано, что использование анизотропных волокон добавляет

дополнительную степень свободы при создании таких массивов. Впервые теоретически показано, что циркулярный массив анизотропных волокон при определенных условиях, наложенных на распределение осей анизотропии отдельных центральных жил оптоволокна, может использоваться для устойчивой передачи полей с полуцелыми топологическими зарядами.

6. Впервые теоретические исследования свойств циркулярного массива оптических волокон показали, что он может генерировать цилиндрические векторные пучки ТЕ и ТМ типов. Показано, что тип формируемого пучка зависит от ориентации линейно-поляризованного исходного излучения. Таким образом, циркулярный массив анизотропных волокон позволяет управлять поляризацией по типу формируемого сингулярного векторного пучка. Показано, что массивы анизотропных волокон позволяют задавать топологический заряд оптического вихря входящего излучения.

7. Впервые проведено детальное исследование поляризационной и фазовой структуры сингулярных пучков с полуцелыми топологическими зарядами в циркулярном массиве оптических волокон. Полученные в результате численного моделирования картины интерференции циркулярно-поляризованной компоненты с плоской и сферической волной, подтверждают, что фазовая картина не изменяется при распространении, и одинакова в любом поперечном сечении. Кроме того, эволюция супермод полуцелого топологического заряда не сопровождается появлением набора единичных оптических вихрей.

8. Впервые теоретическое исследование циркулярных массивов анизотропных волокон с распределенной ориентацией осей анизотропии, показало, что если ось анизотропии делает полуцелое число полных вращений при трассировке вдоль контура массива, супермоды массива могут быть выбраны в виде стабильных комбинаций ортогональных циркулярно-поляризованных полей с противоположными полу-целочисленными топологическими зарядами. Установлено, что такие массивы могут

поддерживать устойчивое распространение полей с полуцелыми

топологическими зарядами.

Практическое значение полученных результатов заключается в том, что сингулярные пучки с полуцелыми топологическими зарядами позволяют формировать базовые сингулярные пучки со структурно устойчивыми оптическими вихрями целых порядков, а также самостоятельно, при определенных условиях, наложенных анизотропией среды распространения, могут представлять устойчивые волновые конструкции. Результаты этих исследований представляют большой практический интерес для создания устройств и систем коммуникаций, сканирования, хранения информации, криптографии, медицины, биологии и манипулирования микрочастицами.

Предложенная и запатентованная полезная модель устройства для определения и исследования распределения поляризации неоднородно поляризованных монохроматических световых полей, в режиме реального времени, может быть использована и применена в поляриметрии для исследования структуры и свойств веществ, в оптической промышленности для улучшения качества и надежности поляризационных оптических приборов.

Полученные результаты диссертационного исследования, могут быть применены в учебном процессе, при чтении спецкурсов по сингулярной оптике.

Достоверность научных результатов заключается в применении хорошо проверенных экспериментальных методов исследования и использовании теоретического аппарата современной физики, а также в хорошем согласовании экспериментальных и теоретических результатов.

Диссертационное исследование выполнено на кафедре общей физики ФТИ КФУ им. В. И. Вернадского, а также исследование проводилось в рамках академической мобильности молодых ученных России - АММУР, на кафедре фотоники и оптоинформатики ИТМО университета, г. Санкт-Петербург, 2016 г.

Положения, выносимые на защиту:

1. Впервые экспериментально показано, что при прохождении параксиального гауссова пучка, через угловой край диэлектрического клина, в поле дифракции формируется сингулярный пучок с полуцелым топологическим зарядом.

2. Впервые экспериментально показано, что энергетическая эффективность метода генерации сингулярного пучка с полуцелым топологическим зарядом на угловом краю диэлектрического клина, составляет более 90%. Преимуществом предложенного метода является, высокая энергетическая эффективность генерируемого сингулярного пучка.

3. Впервые экспериментально и теоретически показано, что преобразование величины полуцелого топологического заряда оптического вихря, в анизотропном одноосном кристалле, происходит при условии, что поле пучка имеет круговую поляризацию, а угол под которым распространяется пучок не равен нулю относительно оси кристалла.

4. Впервые экспериментально и теоретически показано, что приосевые поляризационные сингулярности либо удваивают величину топологического заряда оптического вихря в одноосном кристалле, при этом меняя знак на противоположный, либо аннигилируют, в зависимости от направления исходной поляризации.

5. Впервые теоретически показано, что циркулярные массивы оптических волокон поддерживают распространение супермод и могут генерировать цилиндрические векторные пучки ТЕ и ТМ типов. Тип формируемого пучка зависит от ориентации линейно-поляризованного исходного излучения.

6. Впервые теоретически показано, что циркулярные массивы сильно эллиптических волокон позволяют управлять поляризацией по типу генерируемого цилиндрического векторного пучка и позволяют задавать топологический заряд оптического вихря входящего излучения.

7. Впервые теоретически показано, что полуцелое число полных вращений осей анизотропии, при трассировке вдоль контура массива волокон, дает стабильные комбинации ортогональных циркулярно-поляризованных полей с противоположными полу-целочисленными топологическими зарядами.

8. Впервые теоретически показано, что циркулярные массивы анизотропных волокон могут поддерживать устойчивое распространение полей с полуцелыми топологическими зарядами.

Личный вклад автора. Все экспериментальные исследования, включенные в диссертацию и изложенные в работах [84-86, 108, 110, 131, 132], получены диссертантом самостоятельно. В работах [31, 32, 84-86, 108, 110, 131, 132], автор участвовал в обработке экспериментальных данных. В работах [30, 31, 32, 84-86, 108-110, 131, 132, 136, 159, 160] автор участвовал в постановке задач для экспериментов и теоретических расчетов. Участие в обсуждении и интерпретации полученных результатов автором в работах [30, 31, 32, 84-86, 108-110, 131, 132, 136, 159, 160], написание компьютерных программ [30, 109, 110, 131, 132, 159, 160], участие в разработке полезной модели [136].

Апрoбация рабoты: основные результаты диссертационного исследования были представлены на шести международных конференциях: «Международная конференция по передовой оптоэлектронике и лазерам, CAOL 2013» (г. Судак, Украина, 2013 г.), «Одиннадцатая международная конференция по корреляционной оптике» (г. Черновцы, Украина, 2013 г.), «IX Шета^опа1 inference of уои^ scientists Optics 2015» (г. Санкт-Петербург, Россия, 2015 г.), «V Шета^опа1 inference оп ptotonics and ^format^n optics» (г.Москва, Россия, 2016 г.), «VI Interna^m! inference оп ptotonics and information optics» (г. Москва, Россия, 2017 г.), «^ung scientist Chinese-Russian Optics & P^tenics Symposium CROPS 2017» (г. Санкт-Петербург, Россия, 2017 г.), а также на «I научной конференции профессорско-преподавательского состава, аспирантов, студентов и молодых ученых Дни науки КФУ им. В.И. Вернадского» (г. Симферополь, Россия, 2015 г.), на выставке научных, научно-технических и конструкторских разработок

Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «КФУ им. В.И. Вернадского» (г. Симферополь, Россия, 2015 г.), на всероссийском форуме «Инженерная школа» (пгт. Черноморское, Россия, 2016 г.), II Междисциплинарной научно-практической конференции молодых ученых по перспективным направлениям развития современной науки "Академик Вернадский" в рамках проведения фестиваля "Дни науки КФУ им. В.И. Вернадского" (г. Симферополь, Россия, 2016 г.)

Публикации. no материалам диссертациoннoгo исследoвания oпубликoванo 12 статей, из них 6 публикаций в изданиях, рецензируемых Web of Science или Scopus, 1 публикация в журналах из перечня ВАК, 1 патент и 4 публикации в других изданиях.

Соответствие паспорту научной специальности. Диccертaциoннaя рaбoтa cooтвeтcтвует - 01.04.05 ornraa. Oбласть исследoваний - излучение и вoлнoвая oптика, взаимo действие oптическoгo излучения с веществoм.

Структура диссертации. Рабoта устоит из введения, четырех глав, зaключeния, отис^ литeрaтуры из 162 библшграфических наимешваний. Oбщий oбъем рабoты - 146 страниц, 62 рисунка.

В первой главе исследoваны oснoвные методы фoрмирoвания сингулярных пуч^в с млуцелыми тoпoлoгическими зарядами. Шказаш, чтo энергетическая эффективнoсть метoда фoрмирoвания на кoмпьютернo-синтезирoваннoй гoлoграмме сoставляет шрядка 10%, нo при этoм фoрмируется пoчти идеальный oптический вихрь. Выявлеш, чтo метoд генерации на спиральных фазoвых пластинах oбладает высoкoй энергетичес^й эффективнoстью, пoрядка 70% oднакo, при изготовлении таких фазoвых мoдулятoрoв, неoбхoдимo пoльзoваться высoкoтoчными технoлoгиями, для тоблюдения тoчнoсти в высoте прoфиля транспаранта и исключения oтклoнения oт прямoгo геликoида.

Вo второй главе экспериментальш и теoретически исследoвана структура сингулярных пучгав с пoлуцелыми тoпoлoгическими зарядами в oптически

неоднородной среде. Теоретически и экспериментально показано, что на угловом краю диэлектрического клина, формируется сингулярный пучок с полуцелым топологическим зарядом. Такой процесс в ближнем поле дифракции сопровождается зарождением цепочки оптических вихрей. Показано, что положение оптических вихрей в цепочке и расстояние между ними зависит от расстояния до плоскости наблюдения. Место дислокации оптических вихрей соответствует эквифазным линиям, которые появляются вдоль края диэлектрического клина. Экспериментально показано, что энергетическая эффективность предложенного метода, составляет более 90%. Преимуществом предложенного метода является, высокая энергетическая эффективность генерируемого сингулярного пучка. Проведен анализ структуры непрерывного распределения фазы сингулярных пучков с полуцелыми топологическими зарядами, со стандартной гауссовой огибающей и установлено неизбежное их разрушение при распространении в свободном пространстве.

В третьей главе экспериментально и теоретически исследована структура поля сингулярных пучков с полуцелыми топологическими зарядами при распространении в анизотропной среде одноосного кристалла. Показано, что преобразование величины полуцелого топологического заряда оптического вихря, в анизотропном одноосном кристалле, происходит при условии, что поле пучка имеет круговую поляризацию, а угол под которым распространяется пучок не равен нулю относительно оси кристалла. Экспериментально с помощью разработанного устройства для определения и исследования распределения поляризации в лазерных пучках, в режиме реального времени, исследованы состояния поляризации циркулярно-поляризованного поля с полуцелым топологическим зарядом в анизотропном одноосном кристалле. Показано, что приосевые поляризационные сингулярности либо удваивают величину топологического заряда оптического вихря, при этом меняя знак на противоположный, либо аннигилируют, в зависимости от направления исходной поляризации.. Процесс обмена

оптическими вихрями в ортогональных циркулярных компонентах, будет повторяться до тех пор, пока пучок не достигнет критического значения угла более чем а0 = 2° и не начнет расщепляться, в результате двойного лучепреломления.

В четвертой главе теоретически исследована структура поля дискретных сингулярных пучков с полуцелыми топологическими зарядами в анизотропных циркулярных массивах оптических волокон. Показано, что такие массивы могут поддерживать распространение, так называемых супермод. Показано, что использование анизотропных волокон добавляет дополнительную степень свободы при создании таких массивов. Циркулярный массив анизотропных волокон при определенных условиях, наложенных на распределение осей анизотропии отдельных центральных жил оптоволокна, может использоваться для устойчивой передачи полей с полуцелыми топологическими зарядами. Показано, что циркулярный массив оптических волокон может генерировать цилиндрические векторные пучки ТЕ и ТМ типов. Показано, что тип формируемого пучка зависит от ориентации линейно-поляризованного исходного излучения. Таким образом, циркулярный массив анизотропных волокон позволяет управлять поляризацией по типу формируемого сингулярного векторного пучка. Показано, что такие массивы позволяют задавать топологический заряд оптического вихря, а эволюция супермод полуцелого топологического заряда при распространении не сопровождается появлением набора однозарядных оптических вихрей. Показано, что циркулярные массивы анизотропных оптических волокон могут поддерживать устойчивое распространение полей с полуцелыми топологическими зарядами.

В заключении изложены основные научные и практические результаты, полученные в результате диссертационного исследования.

ГЛАВА 1

СИНГУЛЯРНЫЕ ПУЧКИ С ПОЛУЦЕЛЫМИ ТОПОЛОГИЧЕСКИМИ

1.1. Основные характеристики сингулярных пучков с полуцелыми топологическими зарядами 1.1.1. Сингулярные пучки

В настоящее время, объектами исследования и повышенного интереса стали пучки света, обладающие такими фундаментальными свойствами, как дислокации волнового фронта [47], получившими название оптических вихрей, а область их исследования - сингулярной оптики [48,49]. Оптический вихрь - особенность волнового поля вокруг линии нулевой амплитуды, где фаза не определена [50]. По структурным особенностям различают три типа фазовых дислокаций: чисто краевые, чисто винтовые и смешанные краевые-винтовые дислокации.

Математически, условие наличия сингулярности в световом поле, можно записать в виде:

то есть, действительная и мнимая составляющие волновой функции одновременно обращаются в нуль [47]. Волновой фронт пучка с сингулярностью представляет собой геликоид, а при обходе дислокации по замкнутому контуру Ь, фаза волны р изменяется на величину кратную 2л.

Топологический заряд фазовой сингулярности рассчитывается как:

ЗАРЯДАМИ И МЕТОДЫ ИХ ФОРМИРОВАНИЯ

Яе^( х, у, 2) = 0,

(1.1.а)

1т х, у, 2) = 0.

(1.1.б)

(1.2)

Величина тoпoлoгическoгo заряда, oпределяет кoличествo ветвлений геликoида. Знак тoпoлoгическoгo заряда зависит ot направления убывания фазы: no часoвoй стрелке - пoлoжительный, прoтив - oтрицательный.

Пoверхнoсть геликoидальнoгo вoлнoвoгo фрoнта, oпределяется сooтнoшением:

kz - рр = const, (1.3)

2ж

где k = — - вoлнoвoе числo, z - расстояние вдoль направления

Л

распрoстранения, р - азимутальный угoл, р - тoпoлoгический заряд oптическoгo вихря.

Как известш, при распрoстранении световая вoлна расхoдится no различным направлениям, а мляризацтанные свoйства вoлны будут зависеть ot пoлoжения тoчки наблюдения. В связи с этим, Наем [51] была введена слoжная классификация oптических сингуляршстей электрoмагнитнoгo пoля. Oднакo в случае, если пучoк мoнoхрoматический, параксиальный - радиус перетяжки пучка р мнoгo бoльше длины вoлны Л, егo сoстoяние мoжет быть oписанo oднoй вoлнoвoй функцией i( х, у, z).

Решение параксиальшго вoлнoвoгo уравнения дает вoзмoжнoсть, пoлучить представление o6 эвoлюции сингулярных пуч^в:

(Vl + 2kdz )i(x, y, z) = 0, (1.4)

п2 д2 д2 j .

где V2 = —г +--г, k - вoлнoвoе числo, Л - длина вoлны.

х дх2 ду2

Вoлнoвая функция, мoнoхрoматическoгo пучка, распрoстраняющегoся с пoстoяннoй частoтoй, мoжет быть представлена следующим oбразoм:

l( х, у, z) = i( х, у, z)exp(ikz),

(1.5)

где г - ось распространения пучка, \у(х, у, 2) - комплексная амплитуда. Решение уравнения (1.5) принимает вид:

1 ткт2

в = —ехр{——-}, (1.6)

2 22

кр2

где 2 = г - гг0, 20 - длина Рэлея, р -радиус перетяжки пучка, г2 = х2 + у2.

Полное решение параболического уравнения [52] запишется:

Ж = Н (х, у, 2)в(х, у, 2). (1.7)

х

Подставив (1.7) в волновое уравнение (1.4) и нормируя координаты, как X = —¡=, У = , получим уравнение для комплексной амплитуды Н:

у/2

дн2 дн2 ж ян. т Л п ЙЛ

—Г + —- + гк (X-+ У-) + 2гк2-= 0. (1.8)

дх ду дх ду дг

Решение полученного уравнения позволяет описывать класс сингулярных пучков, таких как - Лагерра-Гаусса, Бесселя-Гаусса и Эрмита-Гаусса.

В цилиндрических координатах решение уравнения (1.4), даст пучки Лагерра-Гаусса с комплексным аргументом:

Н = г12~1Ь(2 (- 1кг2 / 2 2) ехр(г7р), (1.9)

где tgр = —, Ь^^) - обобщенные полиномы Лагерра. Уравнение (1.9) также имеет

х

решение в виде:

2г 2

Н = г72"7ьт)(-гГ)ехр(гГт), (1.10)

с

где Тт = 2т • аг(2 / г0), /Я - oбoбшенные шлишмы Лагерра. Такие пучки, были названы, пучками Лагерра-Гаусса с действительным аргументом. Мшжитель г11^2(^)ехр(г1р) в уравнениях (1.9) и (1.10), указывает на то, что пучoк, oбладающий oптическим вихрем, oкружен кoльцевыми краевыми дислoкациями, распрoстраняется вдoль oси z, рисушк 1.1.а.

Рисунoк 1.1 Распределение интенсивнoсти (а) Лагерра-Гауссoва пучка, (б) пучка Бесселя-Гаусса, (в) Эрмита-Гаусшва пучка

Уравнение (1.8) свoдится к дву-мершму уравнению Гельмгoльца:

д2р д2р

дХ2 дГ

+ К > = 0,

(111)

Решение этого уравнения дает мнoжествo параксиальных пуч^в, называемых пучками Гельмгольца-Гаусса. Если параметр К = 0, тo уравнение Гельмгoльца принимает вид двумершго уравнения Лапласа:

^ + ^ = 0.

дХ2 дУ

(1.12)

Решение этого уравнения мoжет oписывать смещенный накгоненный пучoк:

р = (X ± IУ) ехр(а(X ± IУ))в = (г /1) ехр{—(соб р ± IБтр) +1Щ}в. (1.13)

Такие пучки называются пучками Лагерра-Гаусса. Решение уравнения Гельмгольца-Гаусса в цилиндрических координатах, представляет собой пучки Бесселя-Гаусса, рисунок 1.1.6:

iK2 кг

у/ = exp(-—) Im (-)exp(±#)G, (1.14)

2kZ Z

где Im - измененная функция Бесселя первого рода m -го порядка. В отличие от чисто Бесселевых пучков, такие пучки могут обладать конечным потоком энергии. Решением уравнения Гельмгольца в цилиндрических координатах являются Бесселевы пучки:

(V2 + кг)щ = 0, (1.15)

Также, решение возможно в виде:

tic

W = exp^--—)exp(iK(X cos ju + Y sin j)) = ехр(К)exp(^cos^ - j)), (1.16) 2kZ 2kZ Z

где j - произвольный, комплексный параметр.

Решение уравнения (1.8) при H ф const в декартовой системе координат запишется в виде:

Нп = Срл / 2" 2 Нр (а/42)Н(ау/42), (1.17)

где Н - многочлены Эрмита, а = ехр(^^), = (-а)Р +, Р и Я - натуральные

целые числа. Решение этого уравнения представляет собой Эрмита-Гаусса пучки с комплексным аргументом. А с действительным аргументом, имеют решение уравнения (1.8) в виде:

Нрд - Нр(42/кс)ехр(гГрд), (1.18)

где с = р^Х+г^Гг2, Г = (р + д)аг^(2/г0). Кюрни пoлинoмoв Эрмита в

выражениях (1.17) и (1.18) oпределяют пoлoжение краевoй дислoкации вoлнoвoгo фрoнта. Распределение интенсивнoсти пучка Эрмита-Гаусса пoказанo на рисушк 1.1.в.

1.1.2. Сингулярные пучки с полуцелыми топологическими зарядами

Функция erf-Гауссoвых шлей с дрoбными тoпoлoгическими зарядами, имеет решение вектoрнoгo параксиальшго уравнения и oтнoсится к классу сингулярных пуч^в [11]. В oтличие oт классических сингулярных пучкoв, для erf-Гауссoвых пучкoв азимутальная р и радиальная р переменные не разделены.

Скалярный erf-Гауссoв пучoк мoжет быть представлен в виде [12]:

2/^e's— 2

NG {e erf

Ш sin—

+ seR42erf

f Ш cos—

(119)

Kr

где erf (x) - функция oшибки, Ш =. 2—, G = exp

a

.2 Л

v wlaj

/a, N = exp

4a

7 = 1 - ¿г/г0, г0 = / 2, - радиус перетяжки пучка при г = 0, к - вoлнoвoе числo, 5 = ±1, К - свoбoдный параметр, мoжет принимать значения кoмплекснoй единицы. Структура пучка меняется в зависимoсти oт значения параметра К, для начальшй плoскoсти распрoстранения г = 0, рисушк 1.2. ^гда значение параметра К, чисто действительше, интенсивнoсть пучка имеет С-пoдoбную фoрму, рисунoк 1.2.а и б. В случае если параметр К принимает мнимoе значение, шле представляет слoжный ^мплекс oднoзарядных oптических вихрей эвoлюциoнируюших на слoжнoм пути распрoстранения, рисунoк 1.2.в и г.

с

(в) (г)

Рисунок 1.2 Распределение интенсивности I - (а), (в) и фазы Ф - (б), (г) сингулярного пучка с полуцелым топологическим зарядом с w0 = 35/ш, (а), (б) -

К± = 6 • 105 ш-1, расстояние распространения z = 0 и (в), (г) - К± = 16 • 105 ш"1,

расстояние z = 0

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Титова Анна Олеговна, 2019 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Басистый, И. Оптические дислокации волнового фронта и их свойства/ И. Басистый, М. Соскин, М. Васнецов // Optics Communications. - 1995. - V. 119. - P. 604-612.

2. Басистый, И. Синтез и анализ оптических вихрей с дробными топологическими зарядами / И.Басистый, В.Пасько // Journal of Optics A. -2004. - V. 6. - P. S166-S169.

3. Leach, J. Наблюдение струткуры нецелого вихревого пучка / J. Leach, M. J. Padgett // New Journal of Physics. - 2004. - V. 6. - P. 71.

4. Gutierrez-Vega, J. C. Дифракция плоских волн с целыми и дробными топологическими зарядами на спиральных фазовых пластинах / J. C. Gutierrez-Vega // Journal of the Optical Society of America. - 2009. - V. 26. - P. 794-803.

5. Gutiérrez-Vega, J. C. Недифрагирующие вихревые пучки с непрерывной зависимостью порядка орбитального углового момента / J. C. Gutiérrez-Vega, C. López-Mariscal // Journal of Optics A. - 2008. - V. 10. - P. 015009.

6. Mitri, F. G. Vector wave analysis of an electromagnetic high-order Bessel vortex beam of fractional type a / F. G. Mitri // Optics Letters. - 2011. - V. 36. - P. 606-608.

7. Gutiérrez -Vega, J. C. Fractionalization of optical beams: I. Planar analysis / J. C. Gutiérrez -Vega // Optics Letters. - 2007. - V. 32. - P. 1521-3.

8. Gutiérrez -Vega, J. Fractionalization of optical beams: II. / J. Gutiérrez -Vega // Optics Express. - 2007. - V. 15. - P. 6300-13.

9. Oemrawsingh, S. S. R. Экспериментальная демонстрация запутывания дробных орбитальных угловых моментов двух фотонов / S. S. R. Oemrawsingh, X. Ma, D. Voigt, A. Aiello, E. R. Eliel, G.W.'t Hooft, and J.P. Woerdman // Physical Review Letters. - 2005. - V. 95. - P. 240501.

10.Берри, М. Оптические вихри, возникающие из геликоидальных целых и дробных фазовых шагов / М.Берри // Journal of Optics A. - 2004. - V. 6. - P. 259-269.

11. Фадеева, T. Векторные erf-Гауссовы пучки: дробные оптические вихри и симметричные ТЕ и ТМ моды / T. Фадеева, К. Алексеев // Optics Letters. -2012. - V. 37. - P. 1397 -1399.

12.Воляр, А.В. Оптические кварки в свободном пространстве / А.В. Воляр // Ukrainian Journal of Physical Optics. - 2013. - V. 14. - P. 31-43.

13.Егоров, Ю. Алгебра оптических кварков: эксперимент / Ю. Егоров, В. Коноваленко // Proceedings of SPIE. - 2014. - V. 9066. - P. 9066 0C.

14.Alexeyev, C. N. Linear azimuthons in circular fiber arrays and optical angular momentum of discrete optical vortices / C. N. Alexeyev, A. V. Volyar, M. A. Yavorsky // Physical Review A. - 2009. - V. 80. - P. 063821-1-12.

15. Izdebskaya, Ya. Symmetric array of off-axis singular beams: spiral beams and their critical points / Ya. Izdebskaya, V. Shvedov // Journal of the OSA A. -2008. - V. 25. - P. 171-181.

16.Издебская, Я. Массивы сингулярных пучков с очень высоким орбитальным моментом / Я. Издебская, T. Фадеева // Optics Letters. - 2006. - V. 31. - P. 2523- 2525.

17. Воляр, A. Структура и орбитальный угловой момент массива сингулярных гауссовых пучков / A. Воляр, В. Шведов, A. Рыбась // Ukrainian Journal of Physical Optics. - 2006. - V. 7. - P. 79-88.

18.Hudgings, J. Design and modeling of passive optical switches and power dividers using non-planar coupled fiber arrays / J. Hudgings, L. Molter, and M. Dutta // IEEE Journal of Quantum Electronics. - 2000. - V. 36. - P. 1438-1444.

19.Longhi, S. Light transfer control and diffraction management in circular fibre waveguide arrays / S. Longhi // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. - 2007. - V. 40. - P. 4477-4492.

20.Sukhorukov, A. A. Nonlocality in PT-symmetric waveguide arrays with gain and loss / A. A. Sukhorukov, S. V. Dmitriev, S. V. Suchkov, and Y. S. Kivshar // Optics Letters. - 2012. - V. 37. - P. 2148-2150.

21.Leykam, D. Discrete multivortex solitons / D. Leykam and A. S. Desyatnikov // Optics Letters. - 2011. - V. 36. - P. 4806-4808.

22.Desyatnikov, A. S. All-optical discrete vortex switch / A. S. Desyatnikov, M. R. Dennis, and A. Ferrando // Physical Review A. - 2011. - V. 83. - P. 063822.

23.Leykam, D. Composite vortices in nonlinear circular waveguide arrays / D. Leykam, B. Malomed, and A. S. Desyatnikov // Journal of Optics. - 2013. - V. 15. - P. 044016.

24.Kurti, R. S. Discrete cylindrical vector beam generation from an array of optical fibers / R. S. Kurti, K. Halterman, R. K. Shori, and M. J. Wardlaw // Optics Express. - 2009. - V. 17. - P. 13982-13988.

25.Алексеев, К. Н. Циркулярные массивы анизотропных волокон: дискретный аналог q пластины / К. Н. Aлексеев // Physical Review A. - 2012. - V. 86. - P. 063830.

26.Malmqvist, L. Trapped particle optical microscopy / L. Malmqvist and H.M. Henz // Optics Communications. - 1994. - V.105. - P.19-24.

27.Gahagan, K. Optical vortex trapping of particles / K. Gahagan and G. Swartzlander // Optics Letters. - 1996. - V. 21, №11. - P. 827-829.

28.Heckenderg, N. Trapping microscopic particles with singular beams / N. Heckenderg, T. Nieminen, M. Friese // Proceedings of SPIE. - 1997. - V. 3487. -P. 46-53.

29.Tao, S. H. Fractional optical vortex beam induced rotation of particles / S. H. Tao, X-C. Yuan, J. Lin, X. Peng and H. B. Niu // Optics Express. - 2005. - V. 13,

№ 20. - P. 7726.

*

30. Алексеев, К. Н. Распространение света в циркулярных массивах эллиптических волокон / К. Н. Алексеев, Дж. Милион, A.O. Погребная и M. A. Яворский // Journal of Optics. - 2016. - V. 18, № 2. - P. 025602.

*

31. Погребная, A.O. Демультиплексирование сигнала в пучках Лагерра-Гаусса

после маломодовых волокон / A.O. Погребная, С.И. Халилов, A^ Рыбась //

Journal of Physics: Conference Series. - 2016. - V. 735, №1. - P. 012079.

*

32. Халилов, С. Мультиплексирование и демультиплексирование сложного

сигнала в сингулярных пучках распространяющихся в маломодовых оптических волокнах. / С. Халилов, A. Ильясова, A. Рыбась, A. Погребная // Journal of Physics: Conference Series. - 2016. - V. 737, №1. - P. 012003.

33.Milione, G. 4^20 гигабитные моды с мультиплексированием по свободному пространству с использованием векторных мод и мультиплексора типа q-пластины / G. Milione, M. P. J. Lavery // Optics Letters. - 2015. - V. 40. - P. 1980-1983.

34.Rumala, Y. S. Перестраиваемый суперконтинуумный генератор векторного вихревого пучка с использованием q-пластины / Y. S. Rumala, G. Milione // Optics Letters. - 2013. - V. 38. - P. 5083-5086.

35.Zhao, Y.Q. Переходное преобразование оптического спин-орбитального углового момента в сильно сфокусированном пучке / Y.Q. Zhao, J.S. Edgar, G.D.M. Jeffries, D. McGloin, and D.T. Chiu // Physical Review Letters. - 2007. -V. 99. - P. 073901.

36. Wang, X.L. Оптический орбитальный угловой момент с вихревой поляризацией / X.L. Wang, J. Chen, Y.N. Li // Physical Review Letters. - 2010. - V. 105. - P. 253602.

37. Yonezawa, К. Компактный лазер с радиальной поляризацией с использованием двулучепреломляющей лазерной среды / К. Yonezawa, Y. Kozawa // Japanese Journal of Applied Physics. - 2007. - V. 46. - P. 5160-5163.

38. Gregg, P. Q-plates as higher order polarization controllers for orbital angular momentum modes of fiber / P. Gregg., M. Mirhosseini // Optics Letters. - 2015. -V. 40. - P. 1729-1732.

39. Yu, Y.F. Pure angular momentum generator using a ring resonator / Y.F. Yu, Y.H. Fu, X.M. Zhang // Optics Express. - 2010. - V. 18. - P. 21651-62.

40. Marrucci, L. Преобразование оптического спин-орбитального момента в неоднородной анизотропной среде / L. Marrucci, C. Manzo // Physical Review Letters. - 2006. - V. 96. - P. 163905.

41.Lee, W.M. Экспериментальное наблюдение эволюции оптического вихря в гауссовом пучке с дробным шагом фазы / W.M. Lee, X.-C. Yuan // Optics Communications. - 2004. - V. 239. - P. 129-135.

42. Baumann, S. Non-integral vortex structures in diffracted light beams / S. Baumann and E.J. Galvez // Proceedings of SPIE. - 2007. - V. 6483. - P. 64830T.

43.L'opez-Mariscal, C. Phase dynamics of continuous topological upconversion in vortex beams / C. L'opez-Mariscal, D. Burnham, D. Rudd, D. McGloin and J. Guti'errez-Vega // Optics Express. - 2008. - V. 16, № 15. - P. 11411.

44.Kim, G. Оптические вихри, изготовленные неспиральной фазовой пластинкой / G. Kim, J. Jeon, K. Ko // Applied Optics. - 1997. - V. 36. - P. 8614-21.

45.Khonina, S.N. Дифракционные картины с симметрией m-го порядка, генерируемые секционными спиральными фазовыми пластинами / S.N. Khonina, A.P. Porfirev, and A.V. Ustinov // Journal of Optics. - 2015. - V. 17. -P. 125607.

46.Stoyanov, L. Дифракция дальнего поля оптического вихревого пучка на вилочной решетке / L. Stoyanov, S. Topuzoski, I. Stefanov, L. Janicijevic, A. Dreischuh // Optics Communications. - 2015. - V. 350. - P. 301-308.

47.Nye, J.F. Дислокации в волновых цепочках/ J.F. Nye, M.V. Berry // Proc. of the Royal Society of London A. - 1974. - V.336. - P.165-190.

48.Бажешв, В.Ю. Laser beams screw dislocations of the wavefront / В.Ю. Бажешв, М.В. Васневдв // Письма в ЖЭТФ. - 1990. - Т. 52, В.8. - С.1037-1039.

49.Soskin, M.S. Сингулярная оптика / M.S. Soskin, M.V. Vasnetsov // Progress in Optics. - 2001. - V. 42 - P.217-276.

50.Soskin, M.S. Linear Theory of Optical Vortices / M.S. Soskin, M.V. Vasnetsov // Optical Vortices. Nova Science Publishers, Inc. NY: Vasnetsov M. and Staliunas K. - 1999. - P. 1-35.

51.Nye, J.F. Естественное фокусирование и тонкая структура света / J.F. Nye // Institute of Physics publishing. - 1999. - P. 328.

52. Киселев, А. New structures of paraxial Gaussian beams / А. Киселев // Om^ra и спек^с^м. - 2004. - Т. 96, № 4. - С.533-535.

53.Wong, S. S. M. Introductory Nuclear Physics, 2nd edition / S. S. M. Wong // Wiley Interscience Publication. - 1998. - P.472.

54.Leseberg, D. Компьютерно генерируемые голограммы: цилиндрические, конические и геликоидальные волны / D. Leseberg // Applied Optics. - 1987. - V. 26, №20. - P.4385-4390.

55.Tricoles, G. Computer generated holograms: an historical review / G. Tricoles // Applied Optics. - 1987. - V. 26, №20. - P.4351-4360.

56.Sacks, Z. Holographic formation of optical-vortex filaments / Z. Sacks, D. Razas, // Journal of the OSA B. - 1998. - V. 15, №8. - P. 2226-2234.

57. Soskin, M.S. Дислокации оптического волнового фронта / M.S. Soskin, M.V. Vasnetsov, and I.V. Basisty // Proceedings of SPIE. - 1995. - V. 2647. - P. 5762.

58.Bazhenov, V. Y. Лазерные лучи с винтовыми дислокациями в волновых фронтах / V. Y. Bazhenov, M. V. Vasnetsov // JETP Letters. - 1990. - V. 52. -P. 429-431.

59.Beijersbergen, M. Лазерные пучки с геликоидальным волновым фронтом, изготовленные с использованием спиральной фазовой пластины / M. Beijersbergen, R. Coerwinkel // Optics Communications. - 1994. - V. 112. - P. 321-327.

60.Oemrawsingh, S. Производство и характеристика спиральной фазовой пластины для оптических длин волн / S. Oemrawsingh, J. Houwelingen // Applied Optics. - 2004. - V. 43, №3. - P. 688-694.

61.Oemrawsingh, S. Полуцелые спиральные фазовые пластины для оптических длин волн / S. Oemrawsingh, E. Eliel, J. Woerdman // Journal of the OSA A. -2004. - V. 6. - P. 288-290.

62.Kotlyar, V. Дифракция конических и гауссовых пучков на спиральной фазовой пластине / V. Kotlyar, A. Kovalev // Applied Optics. - 2006. - V. 45. №12. - P. 2656-2665.

63.Moh, K.J. Высокомощные эффективные множественные оптические вихри в одиночном пучке, генерируемом спиральной фазовой пластиной / K.J. Moh, X.-C. Yuan // Applied Optics. - 2006. - V. 45, № 6. - P. 1153-1161.

64.Helseth, L. Оптические вихри в фокальной плоскости / L. Helseth // Optics Communications. - 2004. - V. 229, № 1. - P. 85-91.

65.Rockstuhl, C. Измерение фазовых сингулярностей с высоким разрешением, создаваемых компьютерными голограммами / C. Rockstuhl, V. Ivanovsky, M. Soskin, M. Salt, H. Herzing, R. Dandliker // Optics Communications. - 2004. -V. 24. - P. 163.

66.Alexeyev, A. N. Birth and evolution of optical dipoles on dielectric transparent wedges / A. N. Alexeyev, O. S. Borodavka, and V. G. Shvedov // Proceedings of SPIE. - 1999. - V. 3904.

67.Gorshkov, V. N. Синтез оптических вихрей методом фазового клина / V. N. Gorshkov, A. N. Khoroshun // Proceedings-SPIE. - 2001. - P. 65-74.

68.Izdebskaya, Ya. Оптические вихри генерируемые на оптическом клине / Ya.

Izdebskaya, V. Shvedov // Proceedings of SPIE. - 2001. - P. 78-82. 69.Shvedov, V. G. Формирование оптических вихрей в процессе дифракции света на диэлектрическом клине / V. G. Shvedov, Ya. V. Izdebskaya, A. N. Alekseev, and A. V. Volyar // Technical Physics Letters. - 2002. - V. 28, № 3. -P. 256-259.

70.Soskin, M. S. Horizons in World Physics / M. S. Soskin, and M. V. Vasnetsov //

Nova Science, Huntington. - 1999. - V. 228. - P. 1-35. 71.Azzam, R. M. Ellipsometry and Polarized Light / R. M. Azzam, and N. M. Bashara // North-Holland, Amsterdam. - 1977.

72.Izdebskaya, Ya. V. Оптичексие вихри генерируемые на оптическом клине / Ya. V. Izdebskaya, V. G. Shvedov // Proceedings of SPIE. - 2002. - V. 4607. -P. 78-82.

73.Izdebskaya, Ya.V. Дифракция сингулярного пучка на краю диэлектрической среды / Ya.V. Izdebskaya, V. G. Shvedov, A. V. Volyar // Ukrainian Journal of Physical Optics. - 2004. - V. 5, №3. - P. 96-99.

74.Izdebskaya, Ya.V. Генерация оптических вихрей высшего порядка диэлектрическим клином / Ya.V. Izdebskaya, V.G. Shvedov, A.V. Volyar // Optics Letters. - 2005. - V. 30, №18. - P. 2472-2474.

75.Izdebskaya, Ya.V. Focusing of wedge-generated higherorder optical vortices / Ya.V. Izdebskaya, V.G. Shvedov, A.V. Volyar // Optics Letters. - 2005. - V. 30, №19. - P. 2530-2532.

76.Shvedov, V.G. Generation of high-intensity singular beams / V.G. Shvedov, Ya.V. Izdebskaya // Proceedings of SPIE. - 2003. - V. 5257. - P. 308-312.

77.Izdebskaya, Ya.V. Структура оптических вихрей в двулучепреломляющей диэлектрической среде / Ya.V. Izdebskaya, V.G. Shvedov, A.V. Volyar // Proceedings of SPIE. - 2004. - V. 5582. - P. 222-230.

78.Издебская, Я. Генерация оптических вихрей высокого порядка системой оптических клиньев / Я. Издебская, В. Шведов, A.Воляр // Proceedings of SPIE. - 2004. - V. 6023. - P. 6023OT-2(8).

79.Born, M. Principles of optics / M. Born, E. Wolf // New York: Pergamon. - 1975.

80.Volyar, A. V. Генерация оптических вихрей и векторный формализм Джонса / A. V. Volyar, T. A. Fadeeva // Optics and Spectroscopy. - 2002. - V. 93. - P. 267-272.

81.Fadeyeva, T. A. Скрытые цепочки оптических вихрей, генерируемые с помощью угла фазового клина / T. A. Fadeyeva // Украинский журнал физической оптики. - 2013. - V. 14. - P. 57-69.

82.Abramowitz, M. Справочник по математическим функциям / M. Abramowitz // Washington: NBS. - 1972.

83.Prudnikov, A. P. Интегралы и ряды, элементарные функции / A. P. Prudnikov

// New York: Gordon and Breach. - 1986. - V.1.

*

84. Kovalyova, A. Генерация дробных оптичеких вихрей / A. Kovalyova, A.

Markovskyy // Ученые записки Таврического национального университета

им. В.И. Вернадского. - 2013. - V. 26 (65), № 2. - P. 13-19.

*

85. Ковалева, A. Генерация дробных оптичеких вихрей на фазовом клине / A.

Ковалева, A. Марковский, T. Фадеева, A. Рыбась // Proceedings of SPIE 2013.

- P. 90660G.

*

86. Kovalyova, A. Генерация дробных оптичеких вихрей на фазовом клине / A.

Kovalyova, A. Markovskyy // 2nd International Workshop "Nonlinear Photonics", NLP 2013 - 2013. - P. 46-47.

87.Kiselev, A. P. Localized light waves: Paraxial and exact solutions of the wave equation (a review) / A. P. Kiselev // Optics and Spectroscopy. - 2007. - V. 102.

- P. 603-622.

88.Volyar, A. The structure of a nonparaxial Gaussian beam near the focus: II. Optical vortices / A. Volyar, V. Shvedov, T. Fadeyeva // Optics and Spectroscopy. - 2001. - V. 90. - P. 104-112.

89.Angelsky, O.V. Интерференционная диагностика вихрей белого света / O.V. Angelsky, A. P. Maksimyak // Optics Express. - 2005. - V. 13, № 20. - P. 81798183.

90. Berry, M.V. Singularities in Waves and Rays / M.V. Berry, R. Balian, M. Kleman, and J. P. Poirier // Physics of Defects. - 1982. - Amsterdam: North-Holland / American Elsevier. - P. 453-543.

91.Shvedov, V. Focusing and correlation properties of white-light optical vortices / V. Shvedov, W. Krolikowski, A. Volyar // Optics Express. - 2005. - V. 13, № 19. - P. 7393-7398.

92.Freund, I. Оптические дислокационные сети в высоко случайных средах / I. Freund, N. Shvartsman, V. Freilikher // Optics and Communications. - 1993. - V. 101. - P. 247-264.

93.Volyar, A.V. Фокусировка сингулярных лучей / A.V. Volyar // Optics and Spectroscopy. - 2004. - V. 96, № 1. - P. 96-105.

94.Freund, I. Wave-field phase singularities: The sign principle / I. Freund, N. Shvartsman // Physical Review A. - 1994. - V.50, № 6. - P. 5164-5172.

95.Вoляр, А. В. The thin structure of optical vortices in a crystal: monochromatic singular beam / А. В. Вoляр, Ю. А. Егoрoв // Журнал Техничесгай Физики. -2004. - Т. 74, № 12. - C. 90-93.

96.Cincotti, G. Propagation-invariant beams in uniaxial crystals / G. Cincotti, A. Ciattoni, C. Palma // Journal of Modern Optics. - 2002. - V. 49, № 13. - P. 2267

- 2272.

97.Ciattoni, A. Векторная теория распространения в одноосно-анизотропных средах / A. Ciattoni, A. Ciattoni // Journal of OSA A. - 2001. - V. 18, № 7. - P. 1656 - 1661.

98.Cincotti, G. Hermite-Gauss Beams in Uniaxially Anisotropic Crystals / G. Cincotti, A. Ciattoni, C. Palma // Quantum Electronics. - 2001. - V. 37, № 12. -P. 1517- 1524.

99.Cincotti, G. Лагерра-гаусса и Бесселя-гаусса пучки в одноосных кристаллах / G. Cincotti, A. Ciattoni, C. Palma // Journal of Optical Society of America A. -2002. - V. 19, № 8. - P. 1680-1688.

100. Вoляр, А.В. Optical vortices in crystals: birth, destruction and disintegration of polarized obombic / А.В. Вoляр, Т.А. Фадеева // Письма в ЖТФ. - 2003. - Т. 29, № 3. - C. 58-64.

101. Ciattoni, A. Nondiffracting beams in uniaxial media propagating orthogonally to the optical axis / A. Ciattoni, C. Palma // Optics Communications.

- 2003. - V. 224 - P. 175-183.

102. Liang, Q.-T. Simple ray tracing formulas for uniaxial optical crystals / Q.-T. Liang // Applied Optics. - 1990. - V. 29, № 7. - P. 1008-1010.

103. Volyar, A.V. Генерация сингулярных пучков в одноосном кристалле / A.V. Volyar // Optics and Spectroscopy. - 2003. - V. 94, № 2. - P. 235-244.

104. Ciattoni, A. Оптическое распространение в одноосных кристаллах, ортогональных оптической оси: параксиальная теория / A. Ciattoni // Journal of Optical Society of America A. - 2003. - V. 20, № 11. - P. 2163-2171.

105. Ciattoni, A. Динамика углового момента параксиального пучка в одноосном кристалле / A. Ciattoni, G. Cincotti, C. Palma // Physical Review E. - 2003. - V. 67. - P. 036618 -1-10.

106. Ciattoni, A. Распространение анизотропного пучка в одноосных кристаллах / A. Ciattoni, C. Palma // Optics Communications. - 2004. - V. 231, I. 1-6. - P. 79-92.

107. Вoляр, А.В. The vectorial singularity of Gaussian beams in single crystals: the generation of optical vortices / А.В. Вoляр // Письма в ЖТФ. - 2002. - Т.

28, № 22. - C. 70-77.

*

108. Шгребная, A.O. Фазoвая структура пучка перешсящего oптический

вихрь с шлуцелым тoпoлoгическим зарядoм в oднooснoм кристалле / A.O. Шгребная, А.Ф. Рыбась // V International Conference on Photonics and

Informational Optical. - 2016. - С. 347-348.

*

109. ^валева, A.O. Conversion of angular moments in a circularly polarized

singular beam with a half charge / A.O. ^валева, А.Ф. Рыбась, Н.В. Петрoв, И.А. Шевкушв // VI International Conference on Photonics and Informational

Optical. - 2017. - С. 352-353.

*

110. Pogrebnaya, A.O. Конверсия циркулярно-поляризованных пучков, переносящих оптические вихри с дробными топологическими зарядами в одноосном кристалле / A.O. Pogrebnaya, S.I. Halilov // Journal of Physics: Conference Series. - 2016. - V. 735. - P. 012078.

111. Fadeyeva, T. A. Матричная модель четырелучепреломления вихревого пучка в одноосном кристалле / T. A. Fadeyeva, A. F. Rubass, A.V. Volyar // Украинский журнал физической оптики. - 2009. - V. 10. - P. 109-123.

112. Аззам, Р. Эллипшметрия и пoляризoванный свет / Р. Аззам, Н. Башара. // М.: Мир. - 1981. - 583 c.

113. Volyar, A. V. Лагерра-гауссовы пучки с комплекснвми и вещественными аргументами в одноосном кристалле / A. V. Volyar // Optics and Spectroscopy. - 2006. - V. 101, № 3. - P. 450 -457.

114. Flossmann, F. Параметры Стокса в анфолдинге оптического вихря через двулучепреломляющий кристалл / F. Flossmann, U. T. Schwarz, M. M. & M. R. Dennis // Optics Express. - 2006. - V. 14, № 23. - P. 11402-11411.

115. Fadeyeva, T. A. Поперечный сдвиг параксиального вихревого пучка высокого порядка, индуцированного однородной анизотропной средой / T. A. Fadeyeva, A. F. Rubass // Physical Review A. - 2009. - V. 79, № 5. - P. 053815-1-12.

116. Fadeyeva, T. Четырелучепреломление оптических вихрей в одноосных кристаллах / T. Fadeyeva, A. Rubass, Yu. Egorov, A. Volyar, G. Swartzlander // Journal of Optical Society of America A. - 2008. - V. 25, № 7. - P. 1634-1641.

117. Fadeyeva, T. Коноскопические картины и четырелучепреломление сингулярных пуков в одноосном кристалле/ T. Fadeyeva, A. Rubass // Proceedings of SPIE. - 2008. - V. 7008. - P. 700807-700808.

118. Fadeyeva, T. A. Дробные оптические вихри в одноосных кристаллах / T. A. Fadeyeva, A. F. Rubass // Journal of Optics. - 2013. - V. 15, № 4. - P. 044020.

119. Fadeyeva, T. Экстремальная спин-орбитальная связь параксиальных пучков в кристаллах / T. Fadeyeva, A. Volyar // Journal of the OSA A. - 2010. - V. 27. - P. 81-389.

120. Brasselet, E. Динамика оптической спин-орбитальной связи в одноосных кристаллах / E. Brasselet, Ya. Izdebskaya, V. Shvedov // Optics Letters. - 2009. - V. 34, № 7. - P. 1021-1023.

121. Heckenberg, N. R. Лазерные пучки с фазовыми сингулярностями / N. R. Heckenberg // Optical and Quantum Electronics. - 1992. - V. 24, № 9. - P. S951-S962.

122. Nye, J.F. Поляризационные эффекты в дифракции электромагнитных волн: роль дисклинаций / J.F. Nye // Proceedings of Royal Society of London A. - 1983. - V. 387. - P. 105-132.

123. Nye, J. F. Линии круговой поляризации в электромагнитных волновых полях / J. F. Nye // Proceedings of Royal Society of London A. - 1983. - V. 389.

- P. 279-290.

124. Nye, J. F. Линии сингулярностей в волновых полях / J. F. Nye // Philosophical Transactions of the Royal Society. - 1997. - V. 355. - P. 20652069.

125. Nye, J. F. Волновая структура монохроматического электромагнитного излучения / J. F. Nye, J.V. Hajnal // Proceedings of Royal Society of London A. - 1987. - V. 409. - P. 21-36.

126. Hajnal, J. V. Сингулярности в поперечных полях электромагнитных волн. I. Theory / J. V. Hajnal // Proceedings of Royal Society of London A. -1987. - V. 414. - P. 433-446.

127. Freund, I. Stokes singularity relations / I. Freund, A. I. Mokhun, M. S. Soskin // Optics Letters. - 2002. - V. 27, № 7. - P. 545-547.

128. Mokhun, A.I. Эллиптические критические точки: С-точки, а-линии и правило знака / A.I. Mokhun // Optics Letters. - 2002. - V. 27, № 12. - P. 995997.

129. Freund, I. Эллиптические критические точки в параксиальных оптических полях / I. Freund, M. Soskin, A. Mokhun // Optics Communications.

- 2002. - V. 207. - P. 223-253.

130. Freund, I. Polarization singularity indices in Gaussian laser beams / I.

Freund // Optics Communications. - 2002. - V. 201. - P. 251-270.

*

131. Pogrebnaya, A. O. Эволюция циркулярно поляризованного пучка

переносящего оптический вихрь с дробным топологическим зарядом в одноосном кристалле / A. O. Pogrebnaya, A. F. Rybas // Journal of Optical Technology. - 2016. - V. 83, Is. 10. - P. 586-589.

*

132. ^валева, A. O. Conversion of polarized singularities in a beam of light,

transferring an optical vortex with a half topological charge, propagating in a uniaxial crystal / A. O. ^валева, А. Ф. Рыбась // II Междисциплинарная научш-практическая ганференция мoлoдых ученых ш перспективным направлениям развития говременшй науки "Академик Вернадский". - 2016. - С. 42-45.

133. Egorov, Yu. Тонкая структура сингулярных пучков в кристаллах: цвета и поляризация / Yu. Egorov, T. Fadeyeva // Journal of Optics A. - 2004. -V. 6. - P. S217-S228.

134. Flossmann, F. Поляризационные сингулярности оптического вихря через двулучепреломляющий кристалл / F. Flossmann // Physical Review Letters. - 2005. - V. 95. - P. 253901-1-4.

135. Рыбась, А. Ф. Прoграмма расчета параметрoв шляризации и визуализации гостояния шляризации в реальшм времени / А. Ф. Рыбась, А. Э. Ибрагимoв // Свидетельствo o государственшй регистрации прoграммы для ЭВМ № 2017661237. Заявка № 2017618069. Дата государственшй

регистрации в Реестре прoграмм для ЭВМ 06.10.2017 г.

*

136. Рыбась, А. Ф. Устрoйствo для oпределения и исследoвания

распределения шляризации / А. Ф. Рыбась, А. O. Шгребная // Патент на шлезную мoдель №168752. Заявка №2016131640. Дата государственшй регистрации в Гoсударственнoм реестре шлезных мoделей Рoссийскoй Федерации 17. 02. 2017 г.

137. Snyder, A. W. Coupled-mode theory for optical fibres / A. W. Snyder // Journal of the OSA. - 1972. - V. 62. - P. 1267-77.

138. Yan, Y. Волоконный соединитель для генерации режимов орбитального момента / Y. Yan // Optics Letters. - 2011. - V. 36. - P. 4269-71.

139. Milione, G. Генерация цилиндрического векторного пучка из мультиэллиптического оптического волокна / G. Milione // Proceedings of SPIE. - 2011. - V. 7950. - P. 79500K.

140. Shafir, E. Mode-coupling analysis of anisotropic polarization-maintaining fibers / E. Shafir, A. Hardy, and M. Tur // Optics Letters. - 1987. - V. 12. - P. 1041-3.

141. Shafir, E. Coupled modes of anisotropic polarization maintaining fibers / E. Shafir, A. Hardy, and M. Tur // Journal of Lightwave Technology. - 1988. - V. 6.

- P. 58-63.

142. Alexeyev, C. N. Туннелирование углового момента спина в связанных анизотропных оптических волокнах / C. N. Alexeyev // Journal of Optics. -2013. - V. 15. - P. 044015.

143. Snyder, A. W. Теория оптических волноводов / A. W. Snyder // London

- 1983.

144. Alexeyev, C. N. Effect of the spin-orbit interaction on polarization conversion in coupled waveguides / C. N. Alexeyev, A. N. Alexeyev, N. A. Boklag // Journal of Optics A - 2009. - V. 11. - P. 125404.

145. Alexeyev, C. N. Моды высоких порядков связанных оптических волокон / C. N. Alexeyev, N. A. Boklag // Journal of Optics. - 2010. - V. 12. -P. 115704.

146. Zhan, Q. Цилиндрические векторные пучки: от математических понятий к приложениям / Q. Zhan // Advances in Optics and Photonics. - 2009.

- V. 1. - P. 11-57.

147. Milione, G. Using the nonseparability of vector beams to encode information for optical communication / G. Milione, T. A. Nguyen, J. Leach, D. A. Nolan, and R. R. Alfano // Optics Letters. - 2015. - V.40. - P. 4887-90.

148. Milione, G. Измерение самовосстановления пространственно неоднородных состояний поляризации векторных бесселевых пучков / G. Milione, A. Dudley, T. A. Nguyen, O. Chakraborty, E. Karimi, A. Forbes, and R. Alfano // Journal of Optics. - 2015. - V. 17. - P. 035617.

149. Viswanathan, N. K. Generation of optical vector beams using a two-mode fiber / N. K. Viswanathan, V. V. G. Inavalli // Optics Letters. - 2009. - V. 34. -P. 1189-91.

150. Ramachandran, S. Генерация и распространение радиально поляризованных пучков в оптических волокнах / S. Ramachandran, P. Kristensen // Optics Letters. - 2009. - V. 34. - P. 2525-7.

151. Karimi, E. Эффективная генерация и сортировка орбитального момента с помощью термически настроенных q-пластин / E. Karimi, B. Piccirillo // Applied Physics Letters. - 2009. - V. 94. - P. 231124.

152. Chen, C.-R. Propagation of a topologically half-charge vortex light beam in a self-focusing photorefractive medium / C.-R. Chen, C.-H. Yeh, and M.-F. Shih // Optics Express. - 2014. - V. 22. - P. 3180-3185.

153. Fürhapter, S. Spiral phase contrast imaging in microscopy / S. Fürhapter, A. Jesacher, S. Bernet, and M. Ritsch-Marte // Optics Express. - 2005. - V. 13. -P. 689-694.

154. Pors, B. J. High-dimensional entanglement with orbital-angular-momentum states of light / B. J. Pors, F. Miatto, G. W.'t Hooft, E. R. Eliel, and J. P. Woerdman // Journal of Optics. - 2011. - V. 13. - P. 064008.

155. Gotte, J. B. Квантовая формулировка дробного орбитального момента / J. B. Gotte // Journal of Modern Optics. - 2007. - V. 54. - P. 1723-1738.

156. Martinez-Castellanos, I. Формирование оптических пучков с нецелым орбитальным моментом: обобщенный дифференциальный операторный подход / I. Martinez-Castellanos, and J. C. Gutiérrez-Vega // Optics Letters. -2015. - V. 40. - P. 1764-1767.

157. Fadeyeva, T. A. Изменен ли оптический угловой момент плавно в дробно-заряженных вихревых пучках? / T. A. Fadeyeva, A. F. Rubass // Journal of the Optical Society of America B. - 2014. - V. 31. - P. 798-805.

158. Martinez-Castellanos, I. Vortex structure of elegant Laguerre-Gaussian beams of fractional order / I. Martinez-Castellanos, and J. C. Gutiérrez-Vega // Journal of the Optical Society of America A. - 2013. - V. 30. - P. 2395-2400.

*

159. Alexeyev, C.N. Transmission of fractional topological charges via circular

arrays of anisotropic fibers / C.N. Alexeyev, A.O. Kovalyova, A.F. Rubass, A.V.

Volyar, and M.A. Yavorsky // Optics Letters. - 2017. - V. 42. - P. 783-786.

*

160. Ковалева, A.O. Эвoлюция света в циркуляршм массиве oптических

вoлoкoн / A.O. ^валева, К.Н. Алексеев, А.Ф. Рыбась, Н.В. Петрoв, И.А. Шевкушв // VI International Conference on Photonics and Informational Optical. - 2017. - C. 566-567.

161. Alexeyev, A. N. Оптические вихри и поток их углового момента в многомодовом волокне / A. N. Alexeyev, T. A. Fadeyeva // Semiconductor Physics Quantum Electronics & Optoelectronics. - 1998. - V. 1. - P. 82-89.

162. Berry, M. V. Optical currents / M. V. Berry // Journal of Optics A. - 2009. - V. 11. - P. 094001.