Расчет дифракции монохроматического излучения на спиральных фазовых пластинках и аксиконах, формирующих сингулярные лазерные пучки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, доктор физико-математических наук Ковалев, Алексей Андреевич

• Ковалев, Алексей Андреевич
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ковалев, Алексей Андреевич

Введение

Глава 1. Скалярная параксиальная дифракция световых полей на спиральной фазовой пластинке (СФП)

1.1 Дифракция ограниченной плоской волны на СФП

1.1.1. Дифракция Фраунгофера ограниченной плоской волны на СФП

1.1.2. Дифракция Френеля ограниченной плоской волны на СФП

1.2 Дифракция плоской волны на эллиптической СФП

1.3 Дифракция амплитудно-фазового светового поля на СФП—простые оптические вихри 41 1.3.1. Оптические вихри, сформированные СФП со степенной амплитудной составляющей 4 Г

1.4 Дифракция Гауссова пучка на СФП 51 1.4.1. Дифракция Фраунгофера Гауссова пучка на СФП

1.4.2 Дифракция Френеля Гауссова пучка на СФП в терминах гипергеометрических функций 54'

1.4.3 Дифракция Френеля моды Лагерра-Гаусса (0, т) на СФП 55 1.4.4. Экспериментальные исследования дифракции Гауссова пучка на

Выводы по главе

Глава 2 Скалярная параксиальная дифракция световых полей на спиральном аксиконе (СА)

2.1 Дифракция неограниченной плоской волны на СА

2.1.1. Дифракция Фраунгофера конической волны на СФП

2.1.2. Экспериментальные исследования дифракции света на СФП и СА

2.2 Дифракция ограниченной плоской волны на С А

2.2.1. Описание дифракции Фраунгофера на СА с помощью гипергеометрических функций

2.2.2. Описание дифракции Фраунгофера на СА с помощью ряда из функций Бесселя

2.2.3. Описание дифракции Фраунгофера на СФП с помощью конечных сумм функций Бесселя

2.2.4. Сравнение теории и эксперимента

2.3 Дифракция Гауссова пучка на С А

2.3.1. Аналитические выражения

2.3.2. Численное моделирование

2.3.3. Результаты эксперимента

2.4 Свойство СА подавлять боковые лепестки оптических вихрей 94 . Выводы по главе

Глава 3 Векторная непараксиальная дифракция света на СФП

3.1 Векторная дифракция ограниченной плоской волны на СФП

3.1.2. Численное моделирование

3.2 Дифракция Гауссова пучка с эллиптической поляризацией на СФП

3.2.1. Интегральные преобразования, описывающие распространение вихревых лазерных пучков в свободном пространстве

3.2.2. Аналитические выражения для векторной дифракции Гауссова пучка на СФП

3.2.3. Численное моделирование

3.3 Дифракция Гауссова пучка с начальной радиальной поляризацией на

3.3.1. Интегральные преобразования для описания распространения радиально и азимутально поляризованных лазерных пучков в свободном пространстве

3.3.2. Распространение радиально поляризованных оптических вихрей

3.3.3. Выражения для продольной составляющей

3.3.4. Интерференция Гауссовых вихрей с круговой поляризацией

3.3.5. Численное моделирование

Выводы по главе

Глава 4 Параксиальная дифракция света на квантованных СФП

4.1 Дифракция Фраунгофера плоской волны на квантованной СФП

4.1.1. Уравнение полигональной апертуры

4.1.2. Дифракция Фраунгофера плоской волны на ДОЭ с формой правильного многоугольника и кусочно-постоянным микрорельефом

4.1.3. Численное моделирование

4.2 Трех- и четырехуровневые спиральные фазовые пластинки 143 4.2.1. Малоуровневые СФП 143 4.2.3. Трехуровневая СФП, состоящая из трех субапертур

Выводы по главе

Глава 5 Гипергеометрические лазерные пучки

5.1 Параксиальная теория гипергеометрических лазерных пучков (ГГ-пучки) 153 5.1.1. Гипергеометрические лазерные пучки общего вида

5.2 Гипергеометрические моды

5.2.1 Гипергеометрические моды при у =

5.2.2 Обобщенные гипергеометрические моды

5.2.3 Численное моделирование

5.3 Частные случаи ГГ-пучков

5.3.1 Гауссовы гипергеометрические пучки

5.3.2 Модифицированные квадратичные пучки Бесселя-Гаусса

5.3.3 Гауссовы оптические вихри

5.3.4 Полые Гауссовы оптические вихри

5.3.5 Модифицированные элегантные пучки Лагерра-Гаусса

5.3.6 Гамма-гипергеометрические пучки

5.4 Непараксиальная теория ГГ-пучков

5.4.1. Угловой спектр плоских волн для непараксиальных гипергеометрических мод

5.4.2. Прямые и обратные непараксиальные гипергеометрические моды

5.4.3. Численное моделирование

5.5 Экспериментальное формирование гипергеометрических лазерных пучков

Выводы по главе

Глава 6 Дифракция света на логарифмическом аксиконе (ЛА) и преодоление дифракционного предела

6.1 Самофокусировка векторного гипергеометрического пучка

6.1.1. Непараксиальное векторное распространение гипергеометрического лазерного пучка с эллиптической поляризацией

6.1.2. Самофокусировка ГГ-пучков при п =

6.1.3. Самофокусировка ГГ-пучков при п —

6.1.4. Результаты моделирования

6.2 Дифракция Гауссова пучка на ЛА: преодоление дифракционного предела

6.2.1. Общее выражение для амплитуды

6.2.2. Осевая интенсивность

6.2.3. Фазовая радиальная сингулярность в центре

6.2.4. Радиус поперечного распределения интенсивности

6.2.5. Моделирование FDTD-методом

6.3 Моды градиентного гиперболического секансного волновода

6.3.1. ТЕ-моды планарного ГС-волновода

6.3.2. ТЕ-моды ГС-волновода с «пьедесталом»

6.3.3. ТМ-моды ГС-волновода

6.3.4. ТЕ-моды ограниченного ГС-волновода

6.3.5. Моделирование прохождения ТЕ-мод в ГС-волноводе

Выводы по главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчет дифракции монохроматического излучения на спиральных фазовых пластинках и аксиконах, формирующих сингулярные лазерные пучки»

В диссертации теоретически исследуется дифракция (параксиальная, непараксиальная и векторная) когерентного света на спиральной фазовой пластинке, спиральном аксиконе и логарифмическом спиральном аксиконе.

Актуальность темы

Объекты с вихревой структурой существуют в самых разнообразных сферах материального мира, в макромире (спиральная форма галактик и туманностей), в микромире (элементарные частицы, световые поля) и в нашей повседневной жизни (циклоны и антициклоны, торнадо и тайфуны). Их структуры и поведение до сих пор ещё исчерпывающе не изучены и представляют собой обширное поле для исследований. Так, в последние несколько лет происходит выделение в отдельный раздел («сингулярная оптика») раздела оптики, занимающейся исследованием световых пучков с фазовыми особенностями. Частным случаем таких пучков являются вихревые лазерные пучки, обладающие орбитальным угловым моментом, и формируемые, например, при прохождении света через спиральную фазовую пластинку [1]. В точке сингулярности такого пучка интенсивность светового поля обращается?в нуль, а значение фазы не определено. В окрестности такой точки происходят резкие фазовые изменения.

Сингулярные особенности в световых полях могут появляться при их прохождении через случайно-неоднородные и нелинейные среды. Также возможно возбуждение вихревых полей в лазерных резонаторах и многомодовых волоконных световодах. Наиболее простым и управляемым способом формирования вихревых полей является использование спиральных дифракционных оптических элементов (ДОЭ), а также динамических жидкокристаллических транспарантов. Простейшими такими ДОЭ являются спиральная фазовая пластинка (СФП) и спиральный аксикон (СА).

Вихревым лазерным пучкам посвящены многочисленные исследования и публикации как российских учёных-оптиков, так и их зарубежных коллег. В последнее время активно изучаются свойства подобных пучков на основе мод Бесселя, Лагерра-Гаусса (ЛГ), Эрмита-Гаусса (ГЭ) и других [2-4].

Область применения оптических вихрей постоянно расширяется. В частности, в задачах нанофотоники их предлагается использовать для манипулирования микро- и нанообъектами. Например, недавно в работе [5] исследовалось движение золотых наночастиц (от 100 нм до 250 нм), захваченных в центральной части оптического вихря. Также все больше уделяется внимание исследованию возможностей использования плазмонных эффектов в качестве нано-пинцетов [6, 7].

Использование оптических вихрей в фотолитографии позволяет достичь разрешения X/ 10 (X — длина-волны, света). При-этом возможно эффективное использование спиральных оптических структур даже с малым числом уровней квантования' [8].

К числу других применений оптических вихрей относится, например, интерферометрия: с помощью СФП, помещенной в плоскость пространственного спектра ^оптической системы (/ - фокусное расстояние сферической линзы) предложен способ получения спиральных интерферограмм, используя которые легко различать выпуклые-и вогнутые участки волнового фронта-[9].

С помощью спиральных фильтров выполняется контрастирование и рельефное изображение фазовых объектов нанометрового размера. [10].

СФП используется также в звездном коронографе, в котором свет от яркой звезды преобразуется в кольцо и диафрагмируется, а слабый свет от планет этой звезды проходит через диафрагму и регистрируется. Известно, что вихревые волны в когерентной системе имеют хорошо определенную фазу, которая, однако, плохо определена в частично-когерентной системе. В пределе, для полностью некогерентного случая, ни винтовая фаза, ни нулевая интенсивность не наблюдается. Это позволяет использовать оптические вихри для исключения из области наблюдения когерентного излучения с целью усиления некогерентного сигнала, именно этот эффект используется в коронографе [11, 12].

СФП также применяется для оптического выполнения радиального преобразования Гильберта [13]. Гильберт-оптика, а также близкая по преобразованиям в частотной области теневая оптика, успешно используются для предобработки изображений и фазового анализа. Гильберт-спектроскопия позволяет достигать наноразрешения при Фурье-спектральном анализе. Использование радиального преобразования Гильберта, в том числе дробного, на основе СФП открывает новые возможности в решении упомянутых выше задач.

Фазовые дислокации с нулевой интенсивностью, представляют собой перспективное средство в метрологии. Так как точность определения положения дислокации не ограничена классическим дифракционным пределом (градиент изменения фазы в этом случае теоретически неограниченно возрастает), а лишь отношением сигнал/шум, то геометрия объекта при условии наличия априорной информации об объекте может быть определена с очень высокой -точностью [14]. На этом подходе основывается« метод оптико-вихревой метрологии [15], успешно примененный в оптико-вихревом интерферометре, позволяющем отслеживать смещение объектов с нанометрической точностью [16].

Чувствительность сингулярных пучков к изменениям волнового фронта и различного рода дефектам может использоваться для бесконтактного* тестирования поверхностей [17] и анализа оптических систем [18].

С помощью оптико-вихревых интерферометров, в основе которых лежит генерация световых полей, представляющих собой регулярные решетки или сетки оптических вихрей [19, 20] (т.е. измерения ведутся по положению узлов не с максимальной световой интенсивностью, а минимальной - нулевой), можно определять углы поворота волнового фронта с точностью 0,03 угловых секунды [21] и измерять углы наклона волнового фронта с точностью 0,2 угловых секунды [22].

В нелинейных оптических средах оптические вихри могут использоваться для формирования волноводных структур [23] и «лабиринтов» [24], а также для исследования различных физических явлений [25, 26].

1. Впервые СФП была рассмотрена в 1984 году [1] как элемент Бессель-оптики. В 1992 году СФП была изготовлена как амплитудная решетка с «вилкой» [27], как радиально-спиральная амплитудная решетка [28]. Без несущей пространственной частоты СФП была изготовлена и исследована в [29], а название свое получила после работы [30]. Заметим, что в [29] СФП использовалась для оптического выполнения радиального преобразования Гильберта. Ранее теоретически рассматривалась дифракция неограниченной плоской волны на СФП [31]. В [32] рассматривалась СФП с дробным топологическим зарядом. В [33] получено выражение для скалярной дифракции Гауссова,пучка на СФП.

Однако дифракция плоской волны, ограниченной круглой диафрагмой, на СФП не была рассмотрена. Также не было показано, что комплексная, амплитуда света при дифракции на СФП выражается через гипергеометрические функции.

2. Аксикон известен с 1954 года [34]. Это» стеклянный конус, который освещается со стороны основания, а оптическая ось проходит вдоль высоты конуса. Он, как- правило, используется в оптике для создания узкого «бездифракционного» лазерного пучка [35, 36] или совместно с линзой для формирования узкого кольцевого распределения интенсивности света [37-39], а также для увеличения глубины резкости микроскопов [40-42]. При совмещении аксикона со спиральной фазовой пластинкой получается оптический, элемент, называемый спиральным аксиконом. Впервые дифракционный спиральный аксикон (СА) [43] был изготовлен по технологии фотолитографии и экспериментально использован для формирования Бесселевых пучков высших порядков в 1992 году. СА в комбинации со сферической линзой был изготовлен немного ранее с помощью отбеливания на желатине и был использован для фокусировки в кольцо с устранением центрального максимума [44].

В некоторых работах предприняты попытки математически описать дифракцию света на аксиконе. В [45] получена приближенная формула для распределения интенсивности в окрестности фокуса. Однако аксикон в этой работе исследовался не спиральный. В [46] получено выражение для описания изображения, формируемого ^системой с аксиконом в качестве пространственного фильтра. Однако аксикон использовался неспиральный и выражение получено для двумерного случая и эмпирическим путем, поэтому не точно описывает формируемое поле.

Явных аналитических выражений, описывающих дифракцию когерентного света на СА получено не было.

3. Лазерные пучки с радиальной поляризацией используются для острой субволновой фокусировки. Распространение радиально-поляризованных пучков рассматривается в [47—49]. В [47] не была изучена продольная компонента поля, которая дает заметный вклад в общую интенсивность в случае острой фокусировки света. В [48] исследована непараксиальная дифракция, но рассматривалось поле без оптических вихрей. В [49] рассмотрена дифракция Гауссова пучка с радиальной поляризацией, но в рамках параксиальной теории и также без оптических вихрей. Острая (непараксиальная) фокусировка невихревых лазерных пучков с радиальной поляризацией и вихревых пучков с эллиптической поляризацией рассматривалась соответственно в [50] и [51]. В1 основе рассмотрения в [50, 51] были приближенные теории Дебая и Ричардса-Вольфа.

Однако не были получены явные аналитические выражения для радиальной, азимутальной и осевой проекций вектора напряженности электрического поля, описывающие непараксиальную дифракцию Гауссовых оптических вихрей (вихревых лазерных пучков) с начальной радиальной и азимутальной поляризациями.

4. При изготовлении СФП, как и любого другого дифракционного оптического элемента, по технологии литографии получается ступенчатый микрорельеф. В результате СФП получаются многоуровневыми (квантованными). Многоуровневые СФП исследовались в [52, 53]. В [52] теоретически рассчитано, с какой эффективностью преобразует ступенчатая СФП Гауссов пучок в моду Лагерра-Гаусса (0, 1), а также проведен эксперимент с 16-уровневой СФП, изготовленной по технологии фотолитографии. В [53] теоретически найдены минимальные числа уровней фазы СФП (для номеров п < 8), при которых конечно-уровневые СФП слабо отличаются от непрерывной СФП. С помощью конечно-уровневой СФП, реализованной на основе жидко-кристаллической ячейки, в [53] сформированы вихревые лазерные пучки с номерами сингулярности до 6. В [54, 55] рассматривается ахроматическая СФП, которая формирует почти одинаковые вихревые поля, если длина волны освещающего излучения меняется в достаточно широком диапазоне (140 нм). В этих работах [52-55] СФП анализируется с помощью разложения в ряд по угловым гармоникам.

Однако не было получено аналитического выражения (не в виде ряда) для описания дифракции Фраунгофера плоской волны на многоуровневой (квантованной) СФП.

5. В современных научных исследованиях интерес к различным типам лазерных пучков заметно возрос. Продолжаются исследования хорошо известных мод Лагерра-Гаусса [56]. В [57] с помощью функции Вигнера рассмотрены непараксиальные моды Лагерра-Гаусса. Продолжают исследоваться элегантные пучки Лагерра-Гаусса [58] и Эрмита-Гаусса [59]. Эти пучки описываются соответствующими полиномами с комплексными аргументами. В [60, 61] исследовались разными методами эллиптические пучки Лагерра-Гаусса. В работах [62, 63] рассматривалось новое семейство параксиальных лазерных пучков — гипергеометрические моды. Эти моды близки к известным модам Бесселя [64, 65]. Они также обладают бесконечной энергией и могут быть сформированы с помощью ДОЭ только приближенно.

Однако теоретически не было сделано обобщение гипергеометрических мод и не были получены гипергеометрические лазерные пучки.

6. В последнее время возрос интерес к точным решениям параксиального уравнения типа Шредингера в цилиндрической системе координат. Недавно были открыты гипергеометрические-гауссовые пучки [66], круговые пучки [67]. В [67] указано, что частными случаями круговых пучков являются многие известные световые пучки, например, стандартные [68] и элегантные [69] моды Лагерра-Гаусса, квадратичные Бессель-Гауссовы пучки [70], Гауссовы оптические вихри [31, 71].

Однако аналогичных непараксиальных гипергеометрических лазерных пучков, которые получаются как решения уравнения Гельмгольца, получено не было.

7. Известны работы, в которых показана самофокусировка кольцевых лазерных пучков. Так, в [72] исследуется распространение в пространстве мод ЬР(п и ЬР„ полого волокна. Показано, что на некотором расстоянии кольцевая мода ЬРо1 самофокусируется, а у моды ЬРц уменьшается радиус кольца, хотя само кольцо не переходит в фокус. В [73] исследуется самофокусировка кольцевого Гауссова пучка: получена зависимость интенсивности пучка на оси и формула для фокусного расстояния такого пучка. В' работах [74] и [75] получены, соотношения* для ширины кольцевого пучка (второй момент интенсивности) в зависимости от расстояния вдоль оси; г. Эти соотношения получены для* пучков Уиттекера-Гаусса. Численно показано, что при действительном параметре* (первый' параметр в функции Уиттекера) радиус пучка, при распространении» уменьшается, причем чем больше параметр //, тем дальше перетяжка (фокус) от начала координат г = 0.

Но не было показано, что непараксиальные векторные гипергеометрические лазерные пучки с топологическим, зарядом п = 0, 1 также обладают свойством самофокусировки (то есть смещением перетяжки от начальной плоскости).

8. Интерес к фокусировке лазерного света в продольный осевой отрезок, в том числе с субволновым диаметром, не ослабевает. В [76] с помощью фемто-секундного лазерного импульса с длиной волны X = 800 нм экспериментально с помощью аксикона сформирован пучок Бесселя, который проделал в стекле на-ноканал диаметром 200 нм = 0,25А, и длиной 30 мкм. В [77],экспериментально с помощью сужающейся трубки (фактически это полый аксикон) из стекла сформировали на расстоянии 2,2Х фокусное пятно с диаметром по полуспаду интенсивности, близким к дифракционному пределу Р1\\^НМ = 435 нм = 0,65Х, А, = 671 нм. В [78] численно показано, что вблизи вершины стеклянного аксикона при определенных параметрах может возникнуть субволновое фокусное пятно диаметром = 0,3 0А,. В [79] впервые рассмотрен ЛА с квадратичл ной зависимостью фазы от радиальной координаты £(г) = у 1п(а+Ьг ), который был реализован с помощью цифровой голограммы и фокусировал свет в осевой отрезок. В [80] проведено моделирование ЛА и показано, что осевая интенсивность вдоль отрезка в среднем более постоянная, в отличие от конического линейного аксикона [81], у которого средняя интенсивность-растет вдоль осевого отрезка.

Но не были получены аналитические выражения для параксиальной комплексной амплитуды дифракции Гауссова пучка на логарифмическом аксиконе.

9. В последнее время возрос интерес к планарным градиентным и фотонно-кристаллическим линзам, которые способны обеспечить субволновую фокусировку лазерного света [82—85] и применяются для ультра-компактного сопряжения планарных волноводов разной ширины [86*, 87*]. Часто в качестве пла-нарной градиентной линзы используется линза, показатель преломления которой зависит от поперечной координаты как гиперболический секанс. Гиперболическая секансная (ГС) линза имеет свою долгую^ историю. Еще в 1930 году П.С. Эпштейн [88] рассмотрел задачу расчета мод для градиентного волновода со сложным показателем преломления, обобщающим ГС-профиль. В 1951 году А.Л. Микаэлян [89] нашел, что ГС-профиль показателя преломления является оптимальным для фокусировки света. Поэтому ГС-линза Микаэляна является частным случаем градиентного волновода Эпштейна. Далее задача распространения света в ГС-волноводе и ГС-линзе решалась в геометрооптическом [90, 91], квазиоптическом [92] и волновом [93-96] приближениях. В [97, 98] описаны экспериментальные результаты по фокусировке света с помощью ГС-линзы. В [99] ГС-линза используется для сверхразрешения совместно с рефракционной и дифракционной линзами.

Однако не было показано, что моды планарного ГС-волновода могут быть выражены через многочлены Якоби, и что любая- композиция ТЕ-мод ГС-волновода периодически повторяется при распространении.

Из приведенного обзора научных работ и сформулированных нерешенных задач следует цель диссертации.

Цель диссертационной работы

Теоретическое исследование дифракции когерентного света на спиральной фазовой пластинке, спиральном аксиконе и логарифмическом спиральном ак-сиконе.

Для достижения поставленной цели требовалось решить следующие задачи:

1. Получить явные аналитические выражения для описания скалярной дифракции плоской волны на СФП, а также установить свойства формирующейся дифракционной картины.

2. Получить явные аналитические выражения для описания скалярной дифракции плоской волны на СА. Исследовать влияние аксикона на картину дифракции на СФП.

3. Получить явные аналитические выражения для векторной дифракции Гауссова пучка с различным состоянием поляризации на СФП. Исследовать фокусировку радиально поляризованных Гауссовых пучков.

4. Получить явные аналитические выражения для описания дифракции Фраунгофера плоской волны на квантованной СФП. Установить свойства оптических вихрей, формирующихся при дифракции на СФП с малым числом уровней квантования.

5. Получить явные аналитические выражения для описания скалярной параксиальной дифракции Френеля и установить свойства гипергеометрических лазерных пучков и мод, формирующихся при прохождении Гауссова пучка с амплитудной степенной составляющей через спиральный логарифмический ак-сикон.

6. Получить явное выражение для непараксиальной дифракции гипергеометрических лазерных пучков в свободном пространстве.

7. Получить явные аналитические выражения для трех проекций вектора напряженности электрического поля гипергеометрического лазерного пучка в слабом непараксиальном приближении. Исследовать фокусировку гипергеометрических пучков.

8. Получить выражение для дифракции Френеля Гауссова пучка на спиральном логарифмическом аксиконе (ЛА), а также для эффективного радиуса картины дифракции. Исследовать возможность преодоления дифракционного предела с помощью ЛА.

9. Получить явные выражения для мод планарного гиперболического се-кансного (ГС) волновода. Определить величину периода Тальбота. Установить изображающие свойства отрезка ГС-волновода.

Научная новизна работы

В диссертационной работе впервые получены следующие результаты:

1. Получены явные аналитические выражения для комплексной амплитуды света, описывающей скалярную дифракцию на спиральной фазовой пластинке (СФП). В случае освещения СФП плоской волной учтена ее ограниченность круглой диафрагмой (раньше это учитывалось только для^ СФП первого порядка). В случае освещения Гауссовым пучком комплексная амплитуда выражена через гипергеометрическую функцию, что позволило рассмотреть дифракцию Гауссова пучка с амплитудной степенной составляющей и обобщить известные выражения для оптических вихрей.

2. Получены явные аналитические выражения для комплексной амплитуды света, описывающей скалярную дифракцию плоской неограниченной и ограниченной круглой диафрагмой волн на спиральном аксиконе. Использование спирального аксикона позволило управлять контрастом периферийных колец на дифракционной картине оптического вихря, изменяя параметр аксикона.

3. С помощью вычисления интегралов Рэлея-Зоммерфельда в слабом непараксиальном приближении получены явные аналитические выражения для амплитуды трех компонент вектора напряженности электрического поля, описывающей дифракцию Гауссова пучка на СФП с произвольным целым топологическим зарядом п. Рассмотрено прохождение через СФП Гауссова пучка с радиальной и азимутальной начальной поляризацией (ранее радиально поляризованные Гауссовы пучки рассматривались в свободном пространстве без СФП). Полученные выражения позволили обосновать формирование радиально и азимутально поляризованных световых пучков при интерференции Гауссовых оптических вихрей с правой круговой поляризацией и п = — 1 и левой круговой поляризацией и п = +1, а также необходимость использования СФП с единичным топологическим зарядом для фокусировки в пятно, а не кольцо.

4. Получены явные аналитические выражения для комплексной амплитуды света, описывающей скалярную параксиальную дифракцию Фраунгофера плоской волны на квантованной СФП. Новизна состоит в том, что рассматривалась СФП в форме правильного многоугольника, состоящего из конечного числа треугольных секторов с постоянной' фазой в каждом из них. Это позволило показать, что оптические вихри можно сформировать при прохождении плоской волны света через СФП всего с тремя или четырьмя уровнями квантования, которая является более простой в изготовлении по сравнению с непрерывной СФП.

5. Рассмотрено трехпараметрическое семейство гипергеометрических лазерных пучков, комплексная амплитуда которых является решением параксиального уравнения Гельмгольца и пропорциональна функции Куммера. Гипергеометрические лазерные пучки формируются при прохождении Гауссова пучка с амплитудной степенной составляющей через логарифмический аксикон, совмещенный с СФП.

6. Найдено решение уравнения Гельмгольца, которое описывает распространение гипергеометрических лазерных пучков в свободном пространстве без использования параксиального приближения. Это семейство решений выражается через произведения двух линейно-независимых решений уравнения Куммера, и описывает световые поля, распространяющиеся как в прямом, так и в обратном направлении вдоль оптической оси. Эти пучки являются еще одним примером непараксиальных оптических вихрей или сингулярных световых полей с радиальной симметрией поперечной интенсивности и винтовой (спиральной) фазой.

7. Рассмотрены векторные гипергеометрические лазерные пучки, для которых получены аналитические выражения для амплитуд трех проекций вектора напряженности электрического поля. Также получены формулы для осевой интенсивности таких пучков с нулевым и единичным топологическим зарядом. Эти формулы позволили обнаружить смещение положения перетяжки пучка от начальной плоскости и определить величину этого смещения.

8. Получено явное аналитическое выражение для комплексной амплитуды света, описывающей дифракцию Френеля Гауссова пучка на спиральном логарифмическом аксиконе. Это позволило ^оценить эффективный радиус картины дифракции, обосновать уменьшение этого радиуса с ростом модуля отрицательного параметра аксикона, и показать с помощью моделирования: возможность формирования субволнового фокусного пятна с диаметром, равным одной пятой длины волны.

9. Получены явные выражения для комплексных амплитуд ТЕ и ТМ мод планарного гиперболического' секансного (ГС) волновода. Новизна состоит в выражении амплитуды ТЕ мод через полиномы Якоби, а также в том, что показано наличие периода Тальбота для ТЕ-поляризованного излучения и отсутствие такового для ТМ-поляризованного. Отрезок ГС-волновода (ГС-линза) рассмотрен в качестве изображающей системы с субволновым разрешением и предложено для увеличения разрешения вместо интенсивности регистрировать проекцию вектора Умова-Пойнтинга на оптическую ось.

Практическая значимость

Полученные в диссертационной работе результаты имеют также и прикладное значение. Полученные в диссертации аналитические выражения могут применяться при расчетах и моделировании в таких оптических задачах, как создание оптических ловушек, в которых осуществляется захват диэлектрических микрочастиц в световое кольцо и вращение по нему; создание устройств оптической обработки изображений, в котором спиральный оптический элемент может использоваться в качестве пространственного фильтра для подчеркивания контуров на оптическом изображении; субволновая фокусировка лазерного излучения с помощью логарифмического аксикона или гиперболической секансной линзы.

Достоверность полученных результатов

Достоверность полученных результатов подтверждается соответствием экспериментальным данным, или переходом в предельных случаях в, ранее известные результаты, других исследователей, а также прямой проверкой-с помощью программы МаЙаЬ равенства левой'и правой частей всех полученных аналитических выражений.

Положения, выносимые на;защиту

1. При скалярной дифракции на спиральной; фазовой пластинке (СФП) с целым топологическим зарядом п формируется световое поле, комплексная амплитуда которого описывается* гипергеометрической функцией при дифракции плоской волны и функцией Куммера при дифракции Гауссова пучка. В.случае дифракции Фраунгофера на СФП ограниченной плоской волны. комплексная амплитуда оптического вихря также пропорциональна конечной сумме- функций Бесселя, а в случае дифракции Френеля Гауссова пучка — сумме двух модифицированных функций Бесселя.

2. В случае дифракции Фраунгофера плоской волны, ограниченной круглой диафрагмой, на спиральном аксиконе (СА) комплексная амплитуда света описывается рядом из гипергеометрических функций 1-Р2(<я, Ь, с, г). При дифракции Френеля Гауссова пучка на СА комплексная амплитуда описывается рядом из функций Куммера ^ (а, Ь, г) (вырожденных гипергеометрических функций). Использование аксикона совместно с СФП позволяет сформировать дифракционную картину с низким контрастом периферийных колец.

3. При векторной дифракции света на СФП комплексная амплитуда описывается конечной суммой из функций Бесселя (в случае параксиальной дифракции Фраунгофера плоской волны с эллиптической поляризацией) и линейной комбинацией двух модифицированных функций Бесселя (для дифракции Гауссова пучка как с эллиптической, так и с радиальной поляризацией). В случае начальной радиальной поляризации Гауссова пучка положение фокуса оказывается смещенным от геометрического в сторону перетяжки.

4. При дифракции Фраунгофера плоской волны на квантованной СФП в форме правильного многоугольника световое поле описывается конечной суммой плоских волн. В случае треугольной или квадратной СФП с тремя или четырьмя уровнями фазы в центре дифракционной картины в области размером, равным диску Эйри, формируется оптический вихрь с единичным топологическим зарядом.

5. При прохождении Гауссова пучка с амплитудной степенной составляющей через спиральный логарифмический аксикон-формируется световой пучок, комплексная амплитуда которого в зоне дифракции Френеля описывается функцией Куммера (вырожденной гипергеометрической функцией). При наличии амплитудной особенности в начале координат эти световые пучки переходят в гипергеометрические моды, сохраняющие при распространении вид кольцевой интенсивности в поперечном сечении, меняясь только масштабно. Пространственная частота светлых колец на дифракционной картине линейно возрастает при удалении от оптической оси.

6. Комплексная амплитуда гипергеометрического лазерного пучка в непараксиальном приближении описывается произведением двух линейно-независимых решений уравнения Куммера.

7. В слабом непараксиальном приближении амплитуды трех проекции вектора напряженности гипергеометрического лазерного пучка описываются функциями Куммера. При распространении такого пучка с нулевым или единичным топологическими зарядами в свободном пространстве происходит самофокусировка, заключающаяся в смещении перетяжки пучка (области с максимальной осевой интенсивностью) от начальной плоскости.

8. При дифракции Френеля Гауссова пучка на спиральном логарифмическом аксиконе размер формируемого светового пятна находится в обратной зависимости от параметра аксикона. С помощью логарифмического аксикона может быть осуществлена субволновая фокусировка Гауссова пучка сразу за аксиконом.

9. Комплексная амплитуда ТЕ и ТМ мод планарного гиперболического се-кансного волновода описывается- соответственно полиномами Якоби и Гауссовыми-гипергеометрическими функциями. Для ТЕ мод существует период Таль-бота, через который дифракционная картина самовоспроизводится. Планарная гиперболическая секансная линза, являющаяся отрезком гиперболического се-кансного волновода, позволяет разрешить по критерию Рэлея два когерентных точечных источника, разделенных расстоянием равным 0;15 длины волны света.

Личный вклад автора

Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Также автор самостоятельно проводил моделирование и сравнение экспериментальных данных с результатами моделирования. Постановка задач и обсуждение результатов проводились совместно с научным консультантом.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из Введения, шести глав, Заключения, списка цитированной литературы и содержит 249 страниц текста, включая 98 рисунков и 5 таблиц. Список литературы состоит из 201 наименований.

Заключение диссертации по теме «Оптика», Ковалев, Алексей Андреевич

Выводы по главе 3

1.При фокусировке в пятно радиально поляризованного Гауссова пучка следует использовать линзу совместно с СФП порядка п — ± 1. Вклад в формирование фокального пятна дает, в основном, продольная составляющая электрического поля. В отсутствии СФП происходит фокусировка в кольцо.

2 При дифракции Гауссова пучка с начальной радиальной поляризацией на СФП с топологическим зарядом п = ±1 на оптической оси фазовая и поляризационная сингулярности компенсируют друг друга, комплексная амплитуда не равна нулю, а поле обладает круговой поляризацией.

3. При интерференции Гауссовых вихрей с топологическими зарядами п = 1 с левой круговой поляризацией и п = -1 с правой круговой поляризацией формируется радиально или азимутально поляризованный световой пучок. В случае азимутальной поляризации продольная составляющая будет отсутствовать.

4 При фокусировке векторного Гауссова пучка с начальной радиальной поляризацией дифракционное фокусное пятно по полуспаду интенсивности может быть меньше, чем предсказывается скалярной теорией (при моделировании было получено пятно диаметром по полуспаду интенсивности 1,4 от длины волны вместо 2,06).

5 При дифракции на СФП Гауссова пучка с начальной радиальной поляризацией происходит осевое смещение фокуса от геометрического (при численном моделировании РОПЗ-методом получено смещение фокуса почти 50%).

Глава 4

Параксиальная дифракция света на квантованных СФП 4.1 Дифракция Фраунгофера плоской волны на квантованной

Существует множество способов-изготовления СФП, например путем многоступенчатого травления кремния [165] или с помощью абляции эксимерным лазером полиамидной подложки [166]. Микрорельеф формируемой СФП.получается ступенчатым или квантованным.

Многоуровневые СФП исследовались в [52, 53]. В [52] теоретически посчитано, с какой эффективностью преобразует ступенчатая СФП Гауссов пучок в моду Лагерра-Гаусса (0, 1), а также проведен эксперимент с 16-уровневой СФП, изготовленной по технологии фотолитографии.

В [53] теоретически найдены СФП с минимальным числом уровней фазы (для номеров п < 8), которые слабо отличаются от непрерывных СФП. С помощью конечно-уровневой СФП, реализованной на основе жидкокристаллической ячейки, в [53] сформированы вихревые лазерные пучки с номерами сингулярности до 6.

В [54, 55] рассматривается ахроматическая СФП, которая формирует почти одинаковые вихревые поля, если длина волны освещающего излучения меняется в достаточно широком диапазоне (140 нм). В этих работах [52—55] СФП анализируется с помощью разложения в ряд по угловым гармоникам: где шос!(.) - целое число, Р - общее число уровней фазы СФП, (р - азимутальный угол полярной системы координат, п - номер СФП, Ст - комплексные ко

СФП

4.1) эффициенты, ехр{гт(р) — угловые гармоники, описывающие пропускание непрерывной СФП с номером т.

В этой главе рассматривается конечно-уровневая СФП, ограниченная полигональной апертурой. Причем число уровней квантования фазы СФП равно числу сторон правильного многоугольника, ограничивающего апертуру СФП. В этом случае удалось получить аналитическое выражение в виде конечной суммы плоских волн для комплексной амплитуды, описывающей дифракцию Фраунгофера плоской волны на конечно-уровневой СФП, ограниченной правильным многоугольником.

Заметим, что ранее уже рассматривалась возможность формирования вихревых полей с помощью неспиральных фазовых пластинок [167]. В нашем случае, в отличие от [167], при увеличении числа уровней квантования фазы (или числа сторон многоугольника), картина дифракции в дальней зоне стремится к картине дифракции, сформированной непрерывной СФП с круглой апертурой.

4.1.1. Уравнение полигональной апертуры

Пусть О - многоугольник, заданный координатами своих вершин Ар(хр, ур), р = 0,Р-1, где Р — число вершин (рис. 4.1).

Пусть уравнение стороны многоугольника, соединяющей р-ю и (р+1)-ю вершины, имеет вид: у = арх + Ьр. (4.2)

Рис. 4.1. ДОЭ с многоугольной апертурой а

Пусть Дх, у) - функция двух переменных, определенная в Я следующим образом:

А*,у)=

1,(х5<у)єП,

4.3)

Известно, что преобразование Фурье от такой функции Ах, у) вычисляется с помощью уравнения полигональной апертуры [168]:

А [±і{,Хр+І1Ур)], (4.4) -хр)+т}(ур+1 -уР)Ц£(хр - V )+ті(Ур-Ур-1)] где под индексами р подразумеваются значения тос!(/?, Р), т.е. (х^, уР) = (х0, .Уо), (хь у-і) = (хРь уР-\) и т.д.

Тогда комплексная амплитуда, описывающая дифракцию Фраунгофера на полигональной апертуре (рис. 4.1) плоской волны с длиной волны X при фокусном расстоянии сферической линзы, равномимеет вид:

2як ,=І [ф^, -Хр) + 1][урА-ур)][е(хр-хр,) + л{уР "V.)] (4.5) где к = 2%!Х — волновое число.

4.1.2. Дифракция Фраунгофера плоской волны на ДОЭ с формой правильного многоугольника и кусочно-постоянным микрорельефом

Рассмотрим дифракционный оптический элемент, имеющий форму правильного многоугольника £2= АоАі.АР\, вписанного в окружность радиуса Я и р-1 содержащего начало координат О. Тогда Г2 = , где 0.р — треугольники

Р=о

ОАрАр+1, а каждая вершина Ар имеет координаты (рис. 4.2) хр =Ясоб у=Ябіп ^

V -О Ґ -\ р->

71

Р~~Р

4.6)

Р*

7Г

Пусть внутри каждого треугольника Ор глубина микрорельефа имеет постоянное значение, тогда внутри 0.р и функция комплексного пропускания ДОЭ будет постоянна:

4.7)

У '

1 о \ у^о(хо>Уо)

Лр-і(хр-і>Ур.\)

Рис. 4.2. ДОЭ с апертурой в виде правильного многоугольника

Тогда, пользуясь уравнением для полигональной апертуры (4.4), можно получить выражение для комплексной амплитуды, описывающей дифракцию Фраунгофера плоской волны на таком ДОЭ (рис. 4.2):

2жк + + ЧУр )

У о2

2 як

Гб іп ехр(/Ч^)ехр -і^Хр + г}Ур)

-Е- 1 1 г>2

2 як

Гбіп

Р ) р=0 (хр+1 - ) + 7] (- ^ )](%хр + цур ) р=^Хр+1+Г]Ур+1)у(хр+1 -хр) + 7] (ур+1 -ур)~\

4.8)

При переходе к полярным координатам вместо (4.8) получается следующее выражение:

2лл р~х

2 пкр ехр(іЧ'р)

V Р у Р=о л Л ( 7г л

СОБ (ОпЛ---в СОБ <7?---в

Гр р II ГР р 2пкрг р-1 р=о ехр(/Ур) ехр(^р,)

БІП {(рр-0) ехр

Жр

-I-— СОБ со *}Фр~-в

4.9)

В случае СФП, т.е. = п(рр, из (4.9) получим [169*]:

•г п сое — ехр(/Тр)

2лкр р=0

БИТ созар совог^,

2віпбіл — + соеоср+і ехр^-/ ^^ соъар СОЭ ССр ехр

Жр

-I-соб ОС р* 1

4.10)

--л где %=-п(рр, рр = {2п/Р)р, р = 0,Р-1, ар=(рр- — -6,Р>Ъ.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ковалев, Алексей Андреевич, 2011 год

1. Берсзный, А.Е. Бессель-оптика / А.Е. Березный, A.M. Прохоров, И.Н. Сисакян, В:А. Сойфер // Доклады АН СССР. 1984. - Т. 274. - № 4. - С. 802-804.

2. Litvin, LA. A conical wave approach to calculating Bessel-Gauss beam reconstruction after complex obstacles / I.A. Litvin, M.G. McLaren, A. Forbes // Opt. Gommun. — 2009. — Vol. 282.-P: 1078-1082.

3. Sato, S. Hollow vortex beams / S. Sato, Y. Kozawa // J. Opt. Soc. Am. A; 2009. - Vol. 26. -No. 1.- P. 142-146.

4. An and, S. Generation of a hollow Gaussian beam and its anomalous behavior / S. An and // Opt. Commun.-2009. -Vol. 282.-P. 1335-1339.

5. Dienerowitz, M. Optical vortex trap for: resonant confinement of metal, nanoparticles / Mi Dienerowitz, M. Mazilu, P.J; Reece, T.F. Krauss, K. Dholakia // Opt. Express: 2008. -Vol. 16.-No. 7.-P. 4991-4999.

6. Zelenina, A. Tunable optical;sorting and manipulation of nanoparticles via plasmon excita-.-tion / A. Zelenina, R- Quidant, M: Nieto-Vesperinas // Opt; Lett; 2006: - Vol; 311 - P.* 2054-2056.

7. Burresi, M. Observation of Polarization Singularities» at the: Nanoscale- / M. Burresi, R.J.P. Engelen,.A. Opheij, D. van Oosten, D. Mori, T. Baba, L. Kuipers// Phys. Rev. Lett. -2009;-Vol. 102.-P. 033902.

8. Levenson, M. The vortex via process: analysis and mask fabrication for; contact CDs < 80nm / M. Levenson, S.M. Tan, G; Dai, Y. Morikawa, N. Ilayashi, T. Ebihara // Proc. SPIE. 2003. • Vol. 5040. - P. 344-370.

9. Jesacher, A. Spiral ;interferogram analysis / A. Jesacher, S. Furhapter, S. Bernet, M. Ritsch-Marte // J. Opt: Soc. Am; A; 2006. - Vol. 231 - No. 6; - P; 1400-1409.

10. Bernet, S. Quantitative imaging of complex samples by spiral phase contrast microscopy / S. Bernet, A. Jesacher, S. Furhapter, C. Maurer, M. Ritsch-Marte // Opt. Express: — 2006. -Vol. 14.- No. 9. P: 3792-3805.

11. Van Dijk, T. Evolution of singularities in a partially coherent vortex beam / T. van: Dijk, T.D. Visser // J. Opt. Soc. Am: A. 2009. - Vol. 26. - No. 4. - P. 741-744.

12. Davis, J.A. Fractional derivatives—analysis and experimental implementation / J.A. Davis, D.A. Smith, D.E. McNamara, D.M. Cottrell, J. Campos // Appl. Opt. 2001. - Vol. 40. -No. 32.-P. 5943-5948.14.17,18,19,20,21,22,23,24.25,26.