Возмущение и самовосстановление структурированных пучков Лагерра-Гаусса и спиральных вихревых пучков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Акимова Яна Евгеньевна

• Акимова Яна Евгеньевна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Акимова Яна Евгеньевна

Введение

Глава 1. Структурированные лазерные пучки их природа и применение (обзор)

1.1 Моды структурированных вихревых пучков

1.1.1 Моды Эрмита- и Лагерра-Гаусса комплексного переменного

1.1.2 Моды Эрмита- и Лагерра-Гаусса действительного переменного

1.1.3 Пучки с гармонической амплитудой

1.1.4 Пучки Гельмгольца

1.1.5 Недифрагирующие лазерные пучки

1.1.6 Недифрагирующие пучки в круговых и цилиндрических координатах

1.1.7 Бесселевы пучки

1.1.8 Пучки Эйри

1.1.9 Параксиальные пучки Гельмгольца

1.1.10 Выводы по разделу

1.2 Лучевые и дифракционные каустики структурированных пучков

1.2.1 Катастрофа типа складки. Устойчивые и неустойчивые пучки Эйри

1.2.2 Катастрофа типа сборки. Пучки Пирси

1.2.3 Катастрофа ласточкин хвост (swallowtail catastrophe)

1.2.4 Каустики эллиптических пучков Матье

1.2.5 Каустики эллиптической и гиперболической омбилики и их тонкая структура

1.2.6 Самовосстановление каустических пучков при внешних возмущениях

1.2.7 Сингулярные пучки в неоднородных случайных средах

1.2.8 Выводы по разделу

1.3 Структурно устойчивые композиции параксиальных пучков

1.3.1 Полиморфные структурированные пучки

1.3.2 Пучки Эрмита-Лагерра-Гаусса

1.3.3 Обобщенные пучки Айнса-Гаусса

1.3.4 Спиральные вихревые пучки

1.3.5 Выводы по разделу

1.4 Выводы по главе

Глава 2. Структурированные пучки Лагерра-Гаусса

2.1 Топологический заряд пучков Лагерра-Гаусса

2.2 Три группы структурированных Лагерр-Гауссовых пучков

2.3 Однопараметрические структурированные пучки Лагерра-Гаусса

2.3.1 Тонкая структура мод Лагерра-Гаусса

2.4 Формирование и управление тонкой структурой пучков Лагерра-Гаусса

2.5 Анализ спектра мод структурированного пучка, орбитальный угловой момент и топологический заряд

2.6 Выводы по главе

Глава 3. Разрушение и восстановление структуры спиральных вихревых пучков

под действием регулярных внешних возмущений

3.1 Структурная устойчивость спиральных вихревых пучков, тонкая структура потоков энергии и их критические точки

3.1.1 Базисные и симметричные спиральные пучки

3.1.2 Тонкая структура оптических токов

3.1.3 Эксперимент

Выводы по разделу

3.2 Структурная устойчивость спиральных пучков под действием внешних возмущений

3.2.1 Поверхность устойчивости спирального вихревого пучка

3.2.2 Преобразование мод при секторном возмущении треугольного спирального пучка

3.2.3 Перестройка потоков энергии

3.2.4 Эксперимент

3.2.5 Выводы по разделу

3.3 Перестройка устойчивых состояний спиральных вихревых пучков

3.3.1 Разрушение мод Лагерра-Гаусса в составе спиральных пучков

3.3.2 Разрушение и восстановление спиральных вихревых пучков

3.3.3 Асимптотики возмущенного СВ пучка

3.3.4 Выводы по разделу

3.4 Выводы по главе

Глава 4. Регулярные и случайные внутренние возмущения спиральных вихревых

пучков

4.1 Внутренние и внешние возмущения структурированных пучков

4.2 Модель гармонического возмущения структурированных мод Лагерра-Гаусса

4.3. Преобразование базиса структурированного пучка при его произвольных

возмущениях (включая случайные возмущения)

4.4 Структура поля, орбитальный угловой момент и топологический заряд при регулярном возмущении

4.5 Сортировка и цифровое востановление мод в структурированных пучках

4.6 Структуированные спиральные пучки при регулярном возмущении

4.6.1 Преобразование структуры спирального вихревого пучка

4.7 Конверсия топологического заряда и изменение вращения спирального пучка при распространении за счет вариации структурных параметров

4.8 Случайные внутренние возмущения спирального пучка

4.9. Сортировка ЛГ и ЭГ мод в спиральном пучке, подверженном случайным

внутренним возмущениям

4.10 Выводы по главе

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Введение

Данная диссертационная работа направлена на исследования устойчивости спиральных вихревых пучков и структурированных пучков Лагерра-Гаусса к регулярным и случайным возмущениям.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Возмущение и самовосстановление структурированных пучков Лагерра-Гаусса и спиральных вихревых пучков»

Актуальность и степень разработанности темы

Первоначальные публикации и доклады на международных конференциях по проблеме создания, детектирования и распространения массивов сингулярных пучков, а также их взаимодействие с веществом начали формироваться в единое научное направление исследований «структурированные вихревые пучки» после публикации знаковой статьи [1] в 2017 году. Коллективу авторов удалось показать отличительные признаки свойств больших структурированных массивов вихревых мод от простых суперпозиций сингулярных пучков [2,3] и их разнообразное применение в различных областях физики и техники. В частности, это исключительные свойства структурированных пучков для оптических пинцетов [4], в системах передачи сверхплотных массивов информации [5], в оптической криптографии [3,6,7], 3Б-микроскопии для восстановления микрорельефа сложных поверхностей [8] и даже в метрологии [9], что делает их незаменимыми инструментами в сложных технических устройствах и технологических процессах. Существенный вклад в формирование и популярность этого нового направления сингулярной оптики внесли коммерческие разработки пространственных модуляторов света [7] и специальные теоретические подходы для анализа свойств структурированных пучков [10].

Однако среди рассмотренного многообразия исследований прослеживаются определённые пробелы в анализе реальных систем передачи и детектирования информации транслируемую через структурированные пучки. Сразу заметим, что при использовании структурированных пучков следует задать вопрос: как информация, вносимая в каждую моду их композиции, будет искажать общую структуру картины пучка и какие взаимные помехи при этом могут возникнуть?

Так, искажение голографической решетки, формирующая моды пучка, неточности юстировки, устройства ввода и детектирования, а также случайные вибрации могут вносить случайные возмущения, связанные с приборным оснащением оптических устройств. Мы их относим к внутренним регулярным и случайным возмущениям. Кроме того, на участке передачи структурированного сигнала также возникает возмущение, вызванное действием внешней среды, главными из которых являются турбулентные потоки в атмосфере или модовая дисперсия и связь мод в многомодовых оптических волокнах. В данной диссертационной работе мы

сосредоточимся только на внутренних регулярных и случайных возмущениях, вносимых как в сами моды композитного пучка, так и его структуру.

Однако необходимо подчеркнуть, что в работах вышеперечисленных авторов не рассмотрены следующие важные вопросы:

1. Параметрическое семейство структурно устойчивых пучков Лагерра-Гаусса, содержащее суперпозицию множества пучков Эрмита-Гаусса, сумма индексов которых является постоянной величиной, а управляющий параметр семейства позволяет плавно изменять орбитальный угловой момент и дискретно изменять топологический заряд пучка.

2. Смена состояний устойчивости структурированного спирального пучка при локальном и глобальном действии внешних возмущений на их поверхность устойчивости (каустическую поверхность).

3. Структурная устойчивость спиральных вихревых пучков к случайным возмущениям как в теоретическом, так и экспериментальном плане. В частности, когда внутреннее возмущение случайным образом изменять фазы мод Эрмита-Гаусса в структуре спирального пучка при условии, что перекрестная связь между модами отсутствует.

Цель и задачи

Таким образом, целью данной диссертационной работы явилась разработка модели устойчивых структурированных пучков Лагерра-Гаусса и спиральных вихревых пучков в базисе мод Эрмита-Гаусса при условии, что каждая мода Эрмита-Гаусса испытывает внутренние и внешние регулярные и случайные возмущения. Измеряя 3D спектры вторичных мод Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса (амплитуды и начальные фазы), вычислить орбитальный угловой момент и полный топологический заряд системы возмущенных мод, и восстановить картину интенсивности исходных невозмущенных пучков.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Осуществить компьютерное моделирование и реализовать эксперимент для новой группы эквивалентного параметрического структурно устойчивого семейства пучков Лагерра-Гаусса, позволяющее плавно изменять орбитальный угловой момент, а также топологический заряд пучка.

2. Построить модель поверхности устойчивости (каустической поверхности), провести компьютерное моделирование и поставить эксперимент по исследованию изменения состояний структурной устойчивости спиральных вихревых пучков треугольной и четырехугольной формы, подверженных воздействию фигурной диафрагмы.

3. Построить модель внутренних регулярных и случайных возмущений структурированных Лагерр-Гауссовых и спиральных пучков и выполнить теоретическое и экспериментальное

исследование их структурных особенностей. Обратить внимание на изменение орбитального углового момента и топологического заряда при вариации управляющих параметров структурированных Лагерр-Гауссовых и спиральных пучков под действием внутренних регулярных и случайных возмущений.

Научная новизна работы

1. Впервые найдено эквивалентное параметрическое семейство устойчивых структурированных пучков Лагерра-Гаусса, представленных в виде соответствующей суперпозиции мод Эрмита-Гаусса с постоянной сумой индексов.

2. Впервые построена модель каустической поверхности для треугольных и четырехугольных спиральных вихревых пучков. На основе теоретического моделирования и эксперимента выявлены изменения устойчивых состояний для данного класса пучков при действии локальных и глобальных возмущений.

3. Впервые рассмотрена четырехпараметрическая система регулярных и случайных внутренних возмущений структурированного Лагерр-Гауссова и спирального вихревого пучка с амплитудными и фазовыми управляющими параметрами. Обнаружено, что когда амплитудный параметр структурированного пучка значительно больше единицы, то он превращается в гибридный Эрмит-Лагер-Гауссов пучок, повернутый на 45 градусов относительно оси х. Полный топологический заряд структурированного пучка остается неизменным к внутренним возмущениям, если фазы его собственных Эрмит-Гауссовых мод изменяются в интервале (—к/ 2, л/ 2), а его орбитальный угловой момент изменяется

от нуля до максимального значения. Если амплитудный параметр структурированного пучка меньше единицы, то его полный топологический заряд сохраняется.

Теоретическая и практическая значимость

Полученные результаты в данной диссертационной работе имеют важную теоретическую и практическую значимость. Непосредственно 3Б спектры квадрата амплитуд и начальных фаз позволяют судить о внутренней структуре сложного комбинированного пучка любой сложности, что в настоящее время является немаловажным условием при уплотнении информации больших массивов данных. В то же время плавное детектирование изменения орбитального углового момента и информационной энтропии по уже полученным 3Б спектрам позволяют также судить и о степени возмущения пучка при наличии внешних возмущений.

Также в работе представлены исследования о условиях нарушения структурной устойчивости спиральных вихревых пучков. Обнаружены критические значения, при которых пучок перестает сохранять свою форму при распространении, и распознать его или передать на большие расстояния уже становится невозможным. Стоит отметить, что проблема структурной

устойчивости пучков со многими степенями свободы также затрагивает вопрос перераспределения потоков энергии спиральных вихревых пучков. Как известно, спиральные пучки представляют собой суперпозицию пучков Лагерра-Гаусса, которые в свою очередь можно представить в виде суммы мод Эрмита-Гаусса со строго заданными значениями топологического заряда, радиальных чисел, амплитуд и фаз. Проанализировав структуру критических точек в потоках энергии для спиральных пучков треугольной и четырехугольной формы, было обнаружено, что структурная устойчивость обеспечивается за счет особых точек типа центр-седло и триад стабильный узел-седло-нестабильный узел, связанных сетью сепаратрис как во внутренней, так и внешней области пучка вдоль образующей, за счет чего пучок удерживает свою форму при распространении. В работе также было показано, что потоки энергии и их особые точки формируют характерную поверхность, получившую название поверхность устойчивости или каустической поверхности, которая характеризует сопротивляемость пучка к внешним возмущениям.

Таким образом, полученные результаты в данной работе считаются актуальными как для современных исследований в области сингулярной оптики, так и являются полезными для совершенствования систем передачи и уплотнения информации.

Методы исследования

В диссертационной работе использовался метод моментов интенсивности для построения 3D спектров вихревых пучков, а также проводился подробный анализ внутренних и внешних потоков энергии пучка при наличии и отсутствии возмущений, что позволило судить как о структуре сложных комбинированных вихревых пучков в целом, так и о их устойчивости. В частности, возмущения задавались в виде секторного возмущения, возмущения оптическим ножом и фигурной диафрагмой, которая либо экранировала весь пучок, оставляя лишь тонкую область каустики пучка, либо вырезала из пучка каустику, оставляя весь оставшийся пучок без изменения. Полученные результаты были подтверждены теоретически и экспериментально, дополнительно проводилось компьютерное моделирование процессов возмущения и восстановления пучка при его распространении вдоль оси г .

Положения, выносимые на защиту

1. Новое эквивалентное параметрическое семейство структурно устойчивых пучков, представленных в виде мод Лагерра-Гаусса с соответствующей суперпозицией пучков Эрмита-Гаусса, сумма индексов которых не меняется. Управляющий параметр семейства позволяет плавно изменять орбитальный угловой момент и дискретно изменять топологический заряд пучка.

2. Каустическая поверхность спиральных вихревых пучков с треугольной и четырехугольной формой образующей, в то время как за устойчивость каустической поверхности отвечает характерный узор критических точек линий тока энергии. Действие регулярных внешних возмущений переводит структурированный пучок в новое устойчивое состояние через цепочку дислокационных реакций, если его поверхность устойчивости локально или глобально разрушена. Если же возмущения не разрушают поверхность устойчивости, то структурированный пучок возвращается в свое исходное устойчивое состояние.

3. Полный топологический заряд структурированного пучка остается неизменным к внутренним случайным возмущениям, если фазы его собственных Эрмит-Гауссовых мод изменяются в интервале (—тс/2, тс/2), тогда как его орбитальный угловой момент

изменяется от нуля до максимального значения. Если амплитудный параметр структурированного пучка меньше единицы, то его полный топологический заряд сохраняется в интервале (—тс, тс) случайных фаз.

Достоверность полученных результатов

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, подтверждается в использовании правильных моделей, корректностью теоретических преобразований и математических формулировок, а также совпадением результатов моделирования, произведенных с использованием коммерческих программных продуктов и авторских программ с экспериментальными результатами. Достоверность теоретических результатов и численных расчетов гарантируется общепризнанными программными математическими пакетами MAPLE и Wolfram MATHEMATICA.

Личный вклад автора

Изложенные в диссертационной работе результаты были получены соискателем либо его научным руководителем при его непосредственном участии. Так, соискателем самостоятельно проводились экспериментальные исследования восстановления и возмущения спиральных вихревых пучков и структурированных пучков Лагерра-Гаусса. В частности, проводились экспериментальные исследования влияния секторного возмущения на структурную устойчивость пучка, топологический заряд и орбитальный угловой момент, когда угол сектора изменялся от 0 до 2тс и дополнительно проводились исследования, когда пучок плавно перекрывался оптическим ножом. Отдельные исследования были проведены соискателем при возмущении пучка фигурной диафрагмой, когда в пучке либо вырезалась, либо оставлялась тонкая область каустики. Исследовалась структурная устойчивость пучка вдоль оси z. Генерация

спиральных вихревых пучков и структурированных пучков Лагерра-Гаусса осуществлялась при помощи пространственного модулятора света (SLM), на который выводилась заранее сгенерированная в лицензированном математическом пакете MAPLE голографическая решетка.

Совместно с научным руководителем проводились теоретические расчеты и компьютерное моделирование процессов искажения и восстановления пучка при распространении. В частности, проводилось построение каустической поверхности спирального вихревого пучка треугольной и четырехугольной формы, а также построение внешних и внутренних потоков энергии при различных типах возмущений.

Отдельная благодарность выражается профессору Е. Г. Абрамочкину за помощь в теоретических расчетах, в частности, асимптотик для спиральных вихревых пучков при возмущении фигурной диафрагмой.

Результаты, представленные в данной работе, неоднократно докладывались на международных и российских конференциях соискателем лично.

Публикации и апробация работы

По теме данной диссертационной работы было опубликовано 17 работ, входящих в базу Scopus и Web of Science, из которых 9 статей в изданиях, рекомендованных ВАК. Результаты исследований были представлены и доложены на международных научных конференциях:

• VII Международная конференция и молодежная школа «Информационные технологии и нанотехнологий» (ИТНТ), Россия, Самара, 20 - 24 сентября, 2021.

• Международная конференция «Цифровая сингулярная оптика» (DSO2021), Россия, Ялта, 6 - 10 сентября, 2021.

• 2nd international conference on light and light-based technologies (2nd ICLLT-2021), Турция, Анкара, 26-28 мая, 2021.

• VI Международная конференция и молодежная школа «Информационные технологии и нанотехнологии» (ИТНТ), Россия, Самара, 26 - 29 мая, 2020.

• VIII Международная конференция «Фотоника и информационная оптика, Россия, Москва, 23 - 25 января, 2019.

• 25-я Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-25), Россия, Севастополь (Ласпи), 19 - 26 апреля 2019.

• V Международная конференция и молодежная школа «Информационные технологии и нанотехнологии» (ИТНТ), Россия, Самара, 21 - 24 мая, 2019.

• XXXI международная школа-симпозиум по голографии, когерентной оптике и фотонике, Россия, Екатеринбург, 30 сентября - 4 октября, 2019.

• Международная конференция ФизикА.СПб, Россия, Санкт-Петербург, 22 - 24 октября, 2019.

• Международная конференция «Цифровая сингулярная оптика» (DSO2018), Россия, Севастополь, 17 - 21 сентября, 2018.

Объем и структура диссертации

Данная диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка сокращений и условных обозначений, а также списка литературы, включающего 211 источников. Работа изложена на 164 страницах машинного текста, которые содержат 86 рисунков и 2 таблицы.

Глава 1. Структурированные лазерные пучки их природа и применение (обзор)

Структурированные лазерные пучки представляют собой суперпозицию множества стандартных мод лазерных резонаторов с учетом всех их возможных степеней свободы, при этом структурирование по степеням свободы может осуществляется как за счет последовательности световых импульсов и сочетания частот, так и пространственных степеней свободы, таких как поляризация, амплитуда и фаза, а также орбитальный угловой момент (ОУМ) и спиновой угловой момент (СУМ) [2,3]. На практике для использования и изучения природы структурированных пучков, прежде всего необходимо их формировать в определенной композиции, а также разделять по модовому составу поляризации, ОУМ и т.д. Стоит отметить, что не смотря на то, что понятие структурированного света было введено совсем недавно, однако проблема формирования (синтеза) и разделение лазерных пучков по модовому составу была основной проблемой лазерной физики еще на заре изобретения лазеров. Так, в начале 70-х годов прошлого столетия этой проблемой занималась группа ученых из института физики АН СССР во главе с академиком А.Н. Прохоровым. В частности, особо следует отметить вклад таких ученных этой группы, как Сысакяна И. Н., Сойфера В. А., Кривошлыкова С. Г. Впоследствии множество их исследований, опубликованных в различных научно-технических журналах, были объединены в монографии академика Сойфера В. А. и профессора Голуба М. А. [11]. В основу синтеза пучков и дальнейшего их разделения по модовому составу было положено использование дифракционных оптических элементов. Дальнейшее развитие этого направления получило отражение во многочисленных публикациях учеников академика Сойфера В. А., таких как Котляра В. В., Хониной С. Н., Казанского Л. Н. и др.[12]. Результаты исследований в этой области зарубежных ученых можно найти в обзорной статье [13]. Быстрое развитие компьютерных технологий и использование жидкокристаллических экранов позволило существенно упростить и повысить качество формирования и разделения лазерных пучков, на основе так называемых пространственных модуляторов света (далее SLM от англ. «spatial light modulator»). Подробный обзор использования SLM устройств можно найти в обзорной статье Эндрю Форбса с соавторами для скалярных пучков [14] и в обзорных работах [15,16] для векторных пучков.

Среди множества разновидностей структурированных пучков особую роль играют монохроматические сингулярные пучки, то есть пучки, переносящие множество оптических вихрей и векторных сингулярностей [17,18], поскольку в этих пучках можно управлять не только модовым составом, но и ОУМ и СУМ, что, как уже отмечалось ранее, обеспечивает множество дополнительных степеней свободы. Именно эти уникальные характеристики структурированных сингулярных пучков и обеспечили их широкое применение во многих теоретических и технических областях таких как: в системах захвата и транспортировки микрочастиц [4-20], оптической связи [5,21], в квантовых устройствах использующих классические аналоги

квантового перепутывания [22-24] и нелинейной оптики [25-27]. До недавнего времени структурированные пучки формировались посредством мод Лагерра-Гаусса (ЛГ) и Эрмита-Гаусса (ЭГ) [28,29]. Кроме того, большой вклад в развитие направления структурированных пучков дали исследования мод с дробными топологическими зарядами (ТЗ), которые невозможно разделить по азимутальным и радиальным координатам (см. работы [30-35], а также ссылки [36,37] по ег^пучкам и Гамма пучкам]. Их уникальные свойства получили широкое распространение в уплотнённых системах передачи информации [5,38,39], в системах сортировки и ориентации микрочастиц [19,20,40,41], для формирования трехмерных систем захвата микрочастиц [42-44], для изучения тени и полутени в форме узлов и ожерелий оптических вихрей [45-47] и для управления векторными структурированными пучками за счет спин-орбитального взаимодействия [48]. Особо подчеркнем исследование в области топологии и тонкой структуры недавно открытых структурированных пучков Айнса-Гаусса (АГ) [49,50], эллиптических Лагерра-Гауссовых пучков [51] и обобщенных гауссовых пучков [52,53].

Так, все множество структурированных сингулярных пучков можно условно разделить на две большие группы: структурно устойчивых и структурно неустойчивых пучков, относительно различных типов внешних возмущений, включая смещение вдоль оси пучка. Наш основной интерес фокусируется на группе структурно устойчивых вихревых композиций. К настоящему времени известно только 4 семейства таких пучков — это пучки Эрмита-Лагерра-Гаусса (ЭЛГ) [52,54-57], вихревые пучки Айнса-Гаусса [17,58,59], каустические пучки [60-64] и спиральные пучки [43,57,65,66]. Важной особенностью этих пучков является то, что их эволюцию в пространстве и времени можно отобразить траекториями на поверхности сферы Пуанкаре [17,67].

1.1 Моды структурированных вихревых пучков

Структурная устойчивость композиции вихревых мод в пучках обеспечивается жесткой связью амплитуд и фаз собственных мод структурированных пучков, поэтому весьма важно рассмотреть структурные характеристики этих мод. В общем случае задача получения общих решений параксиального волнового уравнения для фундаментальных мод была решена А. П. Киселёвым в его статье [68]. Найдем решения скалярного уравнения Гельмгольца:

а2и ди ди (2Г, п , п

—г +—г +—г + ки = 0, к > 0, (1)

дх2 ду2 дг2

где k - волновое число. Будем искать решение уравнения в виде быстро и медленно осциллирующих множителей

и ( х, у, г ) = е'к2Ж (х, у, г; к ). (2)

В параксиальном приближении:

уравнению для комплексных амплитуд:

д2и ди

дг2 дг

,|&2{у|. Приходим к параксиальному волновому

52Щ дЩ , дЩ Л

—г + —г + 2гк-= 0.

дх ду дг

Ограничимся случаем физически реальных полей

Щ ^ 0, г =у/х2 + .у2 ^да. Основным решением уравнения (3) является фундаментальная мода Гаусса.

О = — ехр [¡к(х2 + у2) / 2д] = — ехр [¡кг2 / 2д ],

(3)

(4)

(5)

г = у[х2 + у2, д = г -гго,

где г„ = ■

км'2

2

длина Релея, м - радиус перетяжки Гауссова пучка.

1.1.1 Моды Эрмита- и Лагерра-Гаусса комплексного переменного

Очевидно, что решению уравнения (3) будут удовлетворять и все производные от комплексной амплитуды Гауссовой моды

щ =д О =—1— а(х/4д)а(у/4д)О,

п / I—\п+п ^п ^ \ 1 у У^п \ 1 / '

(6)

где а (я) - является полиномом ] степени. Можно показать, что эти полиномы отличаются от многочлена Эрмита И] (ур2з) только постоянным множителем, так что пучки ЭГ легко записать в форме

ИО^п (х, у) = ■

1

((п + п )/2)+1

О

ехр( ) • Ип

х

V

•И

у

V МОУ

(п, п = 0,1,2,...),

(7)

где о = 1 +1 — . Линейная суперпозиция мод ЭГ образует новое семейство мод ЛГ комплексного

переменного. Для этого необходимо воспользоваться формулой (3.13) для г = 0 в работе [57]:

|(2/)пп! ЬОпп-п (х, У), (п > п) |(2/)пп!ЬОПт-п (У,х),(п < п)

•2п+п п+п

/ ^ (2г)кр(п-к,п-к)(0)Ип+п-кЛ(х, у),

(8)

к=0

где ЛГ

ДОп,п ( X, у )= -еХР

Г „2 2 Л Г , .Лп| Г „2 , ,,2 Л

О

-х - у V м02 у

х ± ¡у

V МО у

Д

х + у V м02 у

(9)

г

0

1.1.2 Моды Эрмита- и Лагерра-Гаусса действительного переменного

Для того чтобы исключить комплексные переменные в аргументе функций ЭГ и ЛГ воспользуемся соотношением внутри каждого семейства [69]:

V_t_

V (n - к)!(« +1)

<( x ) = -(^ LZ

r tx л

~H2 к+к ( X) =

(t - 1)П

(Z + 1\

t - 1 1 2

V t +1 у f

H

2 n+К

V

t-1

[к=0 или 1p

(10)

(11)

к=0' (п - к)!(2к + г)! 2к+кУ ' (2п + г)! ^ г где (а) - символ Похгаммера. Откуда получаем комплексные амплитуды для ЛГ и ЭГ пучков с действительным аргументом [57]:

LG = ]—rexp

ы

2iz (x2 + y2) к--——-—- - i (2n + m +1) arg ы

V

2\ |2 Z0 Ы

Lm

' 2^ 2Л x + y

2 2 v wokl у

HG = t1 exp ы

f

к ■

2iz ( x2 + y2)

2 I |2 z0 ы

- i (n + m +1) arg ы

H

f \ x

VW ||y

H

f \ y

vw0 lly

(12)

(13)

Моды Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса обладают рядом уникальных свойств. Первое - это полнота семейства мод и их ортогональность, что позволяет любую непрерывную абсолютно интегрируемую функцию представить в виде их суперпозиции. Второе, они являются собственными модами устойчивых резонаторов с зеркалами, обладающими осевой симметрией. Третье свойство — это то, что оба семейства мод являются структурно устойчивыми решениями параксиального волнового уравнения, то есть форма распределения интенсивности не изменяется при распространении с точностью до линейных масштабных преобразований [70]. И четвертым свойством является инвариантность формы комплексной амплитуды относительно формы ABCD для центрированных оптических систем первого рода (распространение, отражение и преломление, линзовые системы, неоднородная среда с параболическим показателем преломления) [70]. Наряду с такими исключительными свойствами следует отметить, что они оказываются неустойчивыми относительно слабых деформаций зеркал открытых резонаторов или форм поперечного сечения элементов лазера. Параксиальное волновое уравнение (3) дополняет семейство ЭГ и ЛГ мод огромным множеством новых решений, учитывающих искажение осевой симметрии пучка. Полное множество решений параксиального волнового уравнения отражено в огромном множестве монографий и обзорных статей, например, в монографиях [18,71-74], а также в ряде докторских диссертаций, опубликованных в издательстве Springer и других [75-77]. Основные решения для всевозможных семейств отражены в 2D уравнениях Лапласа и Гельмгольца, которые легко получить, следуя статье [68].

К

к

t

Заметим, что

1.1.3 Пучки с гармонической амплитудой

Ё° = гкХо, ™ = гкУс.

дх д ду д

Будем искать решение параксиального уравнения (3)

Ж = у( X, У) с,

где X = х/д, У = у/д. Обозначим оператор Ь

ь=а2/ ах2+а2/ ау2+2гк а/а?,

тогда

Ь (¥о ) =

(аV аV „., а^

—Г + —Г + 2гк —

ч ах ау аг

в + 2

г ав ау ав аул ках ах ау ау

= о,

(15)

(16)

(17)

кроме того

2гк ^^ в = 2гк

аг

ах + а^ ау

= 2гк

^ х а^ у а¥

^ах аг ау аг) у дА ах дА ау)

в.

(18)

Откуда получаем двухмерное уравнение Лапласа

а2^ а2^

= о.

(19)

ах2 аг2

Как известно, решению уравнения Лапласа удовлетворяет широкий класс гармонических функций [78]. Простым примером решения этого уравнения для класса структурированных пучков является устойчивое решение в виде обычной степенной функции комплексного переменного

¥ = (X ± ¡У)т . (20)

Подход Киселева позволяет существенно расширить класс структурно устойчивых решений.

1.1.4 Пучки Гельмгольца Будем искать решение параксиального уравнения в более общей форме:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Акимова Яна Евгеньевна, 2022 год

Список литературы

1. Rubinsztein-Dunlop, H. Roadmap on structured light / H. Rubinsztein-Dunlop, A. Forbes, M. V. Berry, M. R. Dennis et al // Journal of Optics. - 2017. - Vol. 19(1). - 013001.

2. Forbes, A. Structured Light: Tailored for Purpose / A. Forbes // Optics and Photonics News. -2020. - Vol. 31(6). - 24.

3. Forbes, A. Quantum mechanics with patterns of light: Progress in high dimensional and multidimensional entanglement with structured light / A. Forbes, I. Nape // AVS Quantum Science. -2019. - Vol. - 1(1). - 011701.

4. Padgett, M. Tweezers with a twist / M. Padgett, R. Bowman // Nature Photonics. - 2011. - Vol. 5(6). - P. 343-348.

5. Wang, J. Advances in communications using optical vortices / J. Wang // Photonics Research. -2016. - Vol. 4(5). - P. 14-28.

6. Andrews, D.L. Structured light and its applications: an introduction to phase-structured beams and nanoscale optical forces. - Amsterdam: Elsevier, 2008. - 341 p.

7. Vijayakumar, A. Generation of structured light by multilevel orbital angular momentum holograms / A. Vijayakumar, C. Rosales-Guzman, M. R. Rai, J. Rosen, O. V. Minin, I. V. Minin, A. Forbes // Optics Express. - 2019. - Vol. 27(5). - P. 6459-6470.

8. Geng, J. Structured-light 3D surface imaging: a tutorial / J. Geng // Advances in Optics and Photonics. - 2011. - Vol. 3(2). - P. 128-160.

9. Belmonte, A. Measurement of flow vorticity with helical beams of light / A. Belmonte, C. Rosales-Guzman, J. P. Torres // Optica. - 2015. - Vol. 2(11). - P. 1002-1005.

10. Wang, Zh. Astigmatic hybrid SU(2) vector vortex beams: towards versatile structures in longitudinally variant polarized optics / Zh. Wang, Y. Shen, D. Naidoo, X. Fu, A. Forbes // Optics Express. - 2021. - Vol. 29(1). - P. 315-329.

11. Soifer, V.A. Laser beam mode selection by computergenerated holograms / V.A. Soifer, M.A. Golub. - Boca Raton: CRC Press, 1994. - 224 p.

12. Khonina, S.N. Optical vortices in a fiber: mode division multiplexing and multimode selfimaging / S.N. Khonina, N.L. Kazanskiy, V.A. Soifer. - In: Recent progress in optical fiber research, 2012. - P. 327-352.

13. Dickey, F. Laser Beam Shaping / F. Dickey // Optics and Photonics News. - 2003. - Vol. 14(4). - P. 30-35.

14. Forbes, A. Creation and detection of optical modes with spatial light modulators / A. Forbes, A. Dudley, M. McLaren // Advances in Optics and Photonics. - 2016. - Vol. 8(2). - P. 200-227.

15. Otte, E. Polarization singularity explosions in tailored light fields / E. Otte, Ch. Alpmann, C. Denz // Laser & Photonics Review. - 2018. - Vol. 12(6). - 1700200.

16. Rosales-Guzman, C. A review of complex vector light fields and their applications / C. Rosales-Guzman, B. Ndagano, A. Forbes // Journal of Optics. - 2018. - Vol. 20(12). - 123001.

17. Shen, Y. Hybrid topological evolution of multi-singularity vortex beams: generalized nature for helical-Ince-Gaussian and Hermite-Laguerre-Gaussian modes / Y. Shen, Y. Meng, X. Fu, M. Gong // Journal of the Optical Society of America A. - 2019. - Vol. 36(4). - P. 578-587.

18. Kotlyar, V.V. Vortex Laser Beams / V.V. Kotlyar, A.V. Kovalev, A.P. Porfirev. - Boca Raton: CRC Press, 2018. - 418 p.

19. Woerdemann, M. Optical assembly of microparticles into highly ordered structures using Ince-Gaussian beams / M. Woerdemann, C. Alpmann, C. Denz // Applied Physics Letters. - 2011. - Vol. 98(11). - 111101-111101-3.

20. Woerdemann, M. Advanced optical trapping by complex beam shaping / M. Woerdemann, C. Alpmann, M. Esseling, C. Denz // Laser & Photonics Review. - 2013. - Vol. 7(6). - P. 839-854.

21. Willner, A.E. Optical communications using orbital angular momentum beams / A.E. Willner, H. Huang, Y. Yan, Y. Ren, N. Ahmed, G. Xie, C. Bao, L. Li, Y. Cao, Z. Zhao, J. Wang, M.P.J. Lavery, M. Tur, S. Ramachandran, A.F. Molisch, N. Ashrafi, S. Ashrafi // Advances in Optics and Photonics. -2015. - Vol. 7(1). - P. 66-106.

22. Fickler, R. Quantum entanglement of high angular momenta / R. Fickler, R. Lapkiewicz, W.N. Plick, M. Krenn, C. Schaeff, S. Ramelow, A. Zeilinger // Science. - 2012. - Vol. 338(6107). - P. 640643.

23. Fickler, R. Interface between path and orbital angular momentum entanglement for high-dimensional photonic quantum information / R. Fickler, R. Lapkiewicz, M. Huber, M.P.J. Lavery, M.J. Padgett, A. Zeilinger // Nature Communications. - 2014. - Vol. 5(1). - 4502.

24. Magana-Loaiza O.S. Hanbury Brown and Twiss interferometry with twisted light / O.S. Magana-Loaiza, M. Mirhosseini, R.M. Cross, S.M.H. Rafsanjani, R.W. Boyd // Science Advances. - 2016. -Vol. 2(4). - e1501143.

25. Lanning, R.N. Gaussian-beam-propagation theory for nonlinear optics involving an analytical treatment of orbital-angular-momentum transfer / R.N. Lanning, Z. Xiao, M. Zhang, I. Novikova, E. E. Mikhailov, J. P. Dowling // Physical Review A. - 2017. - Vol. 96(1). - 013830.

26. Kong, F. Controlling the orbital angular momentum of high harmonic vortices / F. Kong, C. Zhang, F. Bouchard, Z. Li, G.G. Brown, D. H. Ko, T.J. Hammond, L. Arissian, R.W. Boyd, E. Karimi, P.B. Corkum // Nature Communications. - 2017. - Vol. 8. - 14970.

27. Gauthier, D. Tunable orbital angular momentum in high-harmonic generation / D. Gauthier, P.R. Ribic, G. Adhikary, A. Camper, C. Chappuis, R. Cucini, L.F. DiMauro, G. Dovillaire, F. Frassetto, R. Geneaux, P. Miotti, L. Poletto, B. Ressel, C. Spezzani, M. Stupar, T. Ruchon, G. De Ninno // Nature Communications. - 2017. - Vol. 8. - 14971.

28. Izdebskaya, Ya. Vortex-bearing array of singular beams with very high orbital angular momentum / Ya. Izdebskaya, T. Fadeyeva, V. Shvedov, A. Volyar // Optics Letters. - 2006. - Vol. 31.

- P. 2523-2525.

29. Wang, Y. Generalised Hermite-Gaussian beams and mode transformations / Y. Wang, Y. Chen, Y. Zhang, H.Chen, S. Yu // Journal of Optics. - 2016. - Vol. 18(5). - 055001.

30. Gotte, J.B. Light beams with fractional orbital angular momentum and their vortex structure / J.

B. Gotte, K. O'Holleran, D. Preece, F. Flossmann, S. Franke-Arnold, S. M. Barnett, M. J. Padgett // Optics Express. - 2008. - Vol. 16(2). - P. 993-1006.

31. Nugrowati, A.M. Position measurement of non-integer OAM beams with structurally invariant propagation / A. M. Nugrowati, W. G. Stam, J. P. Woerdman // Optics Express. - 2012. - Vol. 20(25).

- 27429-41.

32. Martinez-Castellanos, I. Vortex structure of elegant Laguerre-Gaussian beams of fractional order / I. Martinez-Castellanos, J.C. Gutiérrez-Vega // Journal of the Optical Society of America A. - 2013. -Vol. 30(11). - P. 2395-2400.

33. Nugrowati, A. M. Non-integer OAM beam shifts of Hermite-Laguerre-Gaussian beams / A.M. Nugrowati, J.P. Woerdman // Optics Communications. - 2013. - Vol. 308. - P. 253-255.

34. Tung, J.C. Exploring vortex structures in orbital-angularmomentum beams generated from planar geometric modes with a mode converter / J.C. Tung, H.C. Liang, T.H. Lu, K.F. Huang, Y. F. Chen // Optics Express. - 2016. - Vol. 24(20). - P. 22796-22805.

35. Porfirev, A.P. Simple method for efficient reconfigurable optical vortex beam splitting / A.P. Porfirev, S.N. Khonina // Optics Express. - 2017. - Vol. 25(16). - P. 18722-18735.

36. Fadeyeva, T. Vector erf-Gaussian beams: fractional optical vortices and asymmetric TE and TM modes / T. Fadeyeva, C. Alexeyev, A. Rubass, A. Volyar // Optics Letters. - 2012. - Vol. 37(9). - P. 1397 - 1399.

37. Alexeyev, C. N. Mutual transformations of fractional-order and integer-order optical vortices /

C.N. Alexeyev, Yu.A. Egorov, A.V. Volyar // Physical review A. - 2017. - Vol. 96. - 063807.

38. Anguita, J.A. Coherent multimode OAM superpositions for multidimensional modulation / J.A. Anguita, J. Herreros, I B. Djordjevic // IEEE Photonics Journal. - 2014. - Vol. 6(2). - P. 1-11.

39. Millar D.S. High-dimensional modulation for coherent optical communications systems / D.S. Millar, T. Koike-Akino, SO. Arik, K. Kojima, K. Parsons, Ts. Yoshida, T. Sugihara // Optics Express.

- Vol. 22(7). - P. 8798-8812.

40. Kuo, C. Numerical study of the properties of optical vortex array laser tweezers / C. Kuo, S. Chu // Optics Express. - 2013. - Vol. 21(22). - P. 26418-26431.

41. Curtis, J. E. Dynamic holographic optical tweezers / J.E. Curtis, B.A. Koss, D.G. Grier // Optics Communications. - 2002. - Vol. 207(1-6). - P. 169-175.

42. Li, X. Automultiscopic displays based on orbital angular momentum of light / X. Li, J. Chu, Q. Smithwick, D. Chu // Journal of Optics. - 2016. - Vol. 18(8). - 085608.

43. Abramochkin, E.G. Spiral light beams / E.G. Abramochkin, V.G. Volostnikov // Physics-Uspekhi. - 2004. - Vol. 47(12). - P. 1177-1203.

44. Chang, C. Shaping of optical vector beams in three dimensions / C. Chang, Y. Gao, J. Xia, S. Nie, J. Ding // Optics Letters. - 2017. - Vol. 42(19). - P. 3884-3887.

45. Dennis, MR. Isolated optical vortex knots / M R. Dennis, R.P. King, B. Jack, K. O'Holleran, M.J. Padgett // Nature Physics. - 2010. - Vol. 6. - P. 118-121.

46. Kleckner, D. Creation and dynamics of knotted vortices / D. Kleckner, W.T.M. Irvine // Nature Physics. - 2013. - Vol. 9(4). - P. 253-258.

47. Tempone-Wiltshire, S.J. Optical vortex knots—one photon at a time / S.J. Tempone-Wiltshire, S.P. Johnstone, K. Helmerson // Scientific Reports. - 2016. - Vol. 6(1). - 24463.

48. Devlin, R.C. Arbitrary spin-to-orbital angular momentum conversion of light / R.C. Devlin, A. Ambrosio, N.A. Rubin, J.P.B. Mueller, F. Capasso // Science. - 2017. - Vol. 358(6365). - P. 896-901.

49. Bandres, M. A. Ince-Gaussian beams / M.A. Bandres, J.C. Gutiérrez-Vega // Optics Letters. -2004. - Vol. 29(2). - P. 144-146.

50. Bandres, M. A. Ince-Gaussian modes of the paraxial wave equation and stable resonators / M.A. Bandres, J.C. Gutiérrez-Vega // Journal of the Optical Society of America A. - 2004. - Vol. 21(5). - P. 873-880.

51. Kotlyar, V.V. Elliptic Laguerre-Gaussian beams / V.V. Kotlyar, S.N. Khonina, A.A. Almazov, V.A. Soifer, K. Jefimovs, J. Turunen // Journal of the Optical Society of America A. - 2006. - Vol. 23(1). - P. 43-56.

52. Abramochkin, E.G. Generalized Gaussian beams / E.G. Abramochkin, V.G. Volostnikov // Journal of Optics A Pure and Applied Optics. - 2004. - Vol. 6(5). - 157.

53. Wang, Y. Generalised Hermite-Gaussian beams and mode transformations / Y. Wang, Y. Chen, Y. Zhang, H. Chen, S. Yu // Journal of Optics. - 2016. - Vol. 18(5). - 055001.

54. Abramochkin, E.G. Generalized Hermite-Laguerre-Gauss beams / E.G. Abramochkin, V.G. Volostnikov // Physics of Wave Phenomena. - 2010. - Vol. 18(1). - P. 14-22.

55. Abramochkin, E. Closed-form expression for mutual intensity evolution of Hermite-Laguerre-Gaussian Schell-model beams / E. Abramochkin, T. Alieva // Optics Letters. - 2017. - Vol. 42(19). - P. 4032-4035.

56. Abramochkin, E.G. Hermite- Laguerre-Gaussian beams in astigmatic optical systems / E.G. Abramochkin, E.V. Razueva, V.G. Volostnikov // Proceedings of SPIE - The International Society for Optical Engineering. - 2008. - Vol. 7009. - 70090M.

57. Абрамочкин, Е.Г. Современная оптика гауссовых пучков / Е.Г. Абрамочкин, В.Г. Волостников. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 184 с.

58. Ohtomo, T. Generation of vortex beams from lasers with controlled Hermite- and Ince-Gaussian modes / T. Ohtomo, S. Chu, K. Otsuka // Optics Express. - 2008. - Vol. 16(7). - P. 5082-5094.

59. Otsuka, K. Generation of vortex array beams from a thinslice solid-state laser with shaped wide-aperture laser-diode pumping / K. Otsuka, S. Chu // Optics Letters. - 2009. - Vol. 34(1). - P. 10-12.

60. Kravtsov, Yu.F. Caustics, Catastrophes and Wave Fields / Yu.F. Kravtsov, Yu.I. Orlov. - Berlin: Springer Verlag, 1993. - 210 c.

61. Кравцов, Ю. Каустики, катастрофы и волновые поля / Ю. Кравцов, Ю. Орлов // Успехи Физических Наук. - 1983. - Т. 141, №4. - С. 591-627.

62. Berry, M. The elliptic umbilic diffraction catastrophe / M. Berry, J. Nye, F. Wright // Philosophical Transactions of The Royal Society B Biological Sciences. - 1979. - Vol. 291(1382). - P. 453-484.

63. Zannotti, A. Shaping caustics into propagation-invariant light / A. Zannotti, C. Denz, M.A. Alonso, M R. Dennis // Nature Communications. - 2020. - Vol. 11(1). - 3597.

64. Soifer, V.A. Spiral Caustics of Vortex Beams / V.A Soifer, S.I. Kharitonov, S.N. Khonina, Y.S. Strelkov, A.P. Porfirev // Photonics. - 2021. - Vol. 8(1). - 24.

65. Razueva, E. Multiple-twisted spiral beams / E. Razueva, E. Abramochkin // Journal of the Optical Society of America A. - 2019. - Vol. 36(6). - P. 1089-1097.

66. Rodrigo, J.A. Shaping of light beams along curves in three dimensions / J.A. Rodrigo, T. Alieva, E. Abramochkin, I. Castro // Optics Express. - 2013. - Vol. 21(18). - P. 20544-20555.

67. Shen, Y. SU (2) Poincare sphere: a generalized representation for multidimensional structured light / Y. Shen, Z. Wang, X. Fu, D. Naidoo, A. Forbes // Physical review A. - 2020.- Vol. 102(3). -031501.

68. Kiselev, A.P. New Structures in Paraxial Gaussian Beams / A.P. Kiselev // Optics and Spectroscopy. - 2004. - Vol. 96(4). - P. 476-481.

69. Прудников, А. П. Интегралы и ряды (специальные функции) / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков. О.И. Маричев. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 664 с.

70. Kogelnik, H. Laser beams and resonators / H. Kogelnik, T. Li // Applied Optics. - 1966. - Vol. 5(10). - P. 1550-1567.

71. Simon, D.S. A Guided tour of light beams / D. S. Simon. - USA: Morgan & Claypool Publishers, 2016. - 105 p.

72. Hugo, E. Non-diffracting waves / E. Hugo, Hernandez-Figueroa, Erasmo Recami, M. Zamboni-Rached. - Berlin: Wiley-VCH, 2014. - 512 p.

73. Martellucci, S. Free and guided optical beams / S. Martellucci, M. Santarsiero. - Singapore: World scientific publishing Co. Pte. Ltd., 2004. - 254 p.

74. Котляр, В.В. Ускоряющиеся и вихревые лазерные пучки / В.В. Котляр, А.А. Ковалев. -Москва: Физматлит, 2018. - 256 с.

75. Woerdemann, M. Structured light fields: applications in optical trapping, manipulation and organization / Mike Woerdemann. - Berlin: Springer Berlin Heidelberg, - 2012. - 147 p.

76. Zannotti, A. Caustic light in nonlinear photonic media / A. Zannotti. - Switzerland: Springer Nature, 2020. - 196 p.

77. Nomoto, S.M. Polarization properties of Airy and Ince-Gaussian Laser Beams: dissertation doctor of philosophy in physics (PhD) / Nomoto Sean Michael. - University of Arkansas, 2019. - 163.

78. Будак, Б.М. Сборник задач по математической физике / Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов. - 4-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 688 с.

79. Ren, Yu. Non-Diffracting Light Wave: Fundamentals and Biomedical Applications / Yu. Ren, H. He, H.Tang, K.K.Y. Wong // Frontiers in Physics. - Vol. 9. - 698343.

80. Arscott, F.M. Periodic differential equations / F.M. Arscott. - London: Pergamon Press, 1964.

- 283 p.

81. Jones, P.H. Optical Tweezers: Principles and Applications / P.H. Jones, O.M. Marago, G. Volpe.

- Cambridge: Cambridge University Press, 2015. - 561 p.

82. Durnin, J. Exact solutions for nondiffracting beams. I. The scalar theory / J. Durnin // Journal of the Optical Society of America A. - 1987. - Vol. 4(4). - P. 651-654.

83. Березный, А.Е. Бессель-оптика / А.Е. Березный, А.М. Прохоров, И.Н. Сисакян, В.А. Сойфер // Доклады АН СССР. - Т. 474, №4. - С. 802-805.

84. Mcgloin, D. Bessel beams: diffraction in a new light / D. Mcgloin, K. Dholakia // Contemporary Physics. - 2005. - Vol. 46(1). - P. 15-28.

85. Mazilu, M. Light beats the spread: non-difracting beams / M. Mazilu, D.J. Stevenson, F. Gun-Moore, K. Dholakia // Laser & Photonics Review. - 2009. - Vol. 4(4). - P. 529-547.

86. Bandres, M.A. Accelerating beams / M.A. Bandres // Optics Letters. - 2009. - Vol. 34(24). - P. 3791-3793.

87. Berry, M. Nonspreading wave packets / M. Berry, N.L. Balazs // American Journal of Physics.

- 1979. - Vol. 47(3). - P. 264-267.

88. Gutie'rrez-Vega, J.C. Helmholtz-Gauss waves / J.C. Gutie'rrez-Vega, M.A. Bandres // Journal of the Optical Society of America A Opt. Image Sci. Vis. - 2005. - Vol. 22(2). - 289-98.

89. Bandres, M.A. Elliptical beams / M.A. Bandres, J.C. Gutierrez-Vega // Optics Express. - 2008.

- Vol. 16(25). - 21087-92.

90. Olver, F. NIST handbook of mathematical functions / F. Olver, D. Lozier, R. Boisvert, Ch. Clark.

- New York: Cambridge University press, 2010. - 968 p.

91. Levy, U. Light Modes of Free Space / U. Levy, S. Derevyanko, Y. Silberberg // Progress in Optics. - 2016. - Vol. 61. - P. 237-281.

92. Poston, T. Catastrophe theory and its applications / T. Poston, I. Stewart. - Belmont: Pitman, 1978. - 491 p.

93. Arnold, V.I. Singularities of differentiable maps. vol.1: the classification of critical points caustics and wave fronts / V.I. Arnold, S.M. Gusein-Zade, A.N. Varchenko. - Boston: Birkhauser, 1985.

- 393 p.

94. Nye, J.F. Natural focusing and fine structure of light caustics and wave dislocations / J.F. Nye. -Bristol: Institute of Physics, 1999. - 328 p.

95. Berry, M.V. Catastrophe optics: morphologies of caustics and their diffraction patterns / M.V. Berry, C. Upstill // Progress in Optics. - 1980. - Vol. 18. - P. 257-346.

96. Nye, J.F. From Airy rings to the elliptic umbilic diffraction catastrophe / J.F. Nye // Journal of Optics A Pure and Applied Optics. - 2003. - Vol. 5(5). - 503.

97. Thom, R. Structural stability and morphogenesis: Structural stability and morphogenesis: an outline of a general theory of models / René Thom. - Reading, M.A: W.A. Benjamin, 1975. - 404 p.

98. Arnold, V.I. Catastrophe Theory / V.I. Arnold. - Berlin: Springer-Verlag, 1984. - 78 p.

99. Strogatz, S.H. Nonlinear dynamics and chaos / S.H. Strogatz. - Reading, M.A: CRC Press, 1994. - 498 p.

100. Kaganovsky, Y. Wave analysis of Airy beams / Y. Kaganovsky, E. Heyman // Optics Express. -2010. - Vol. 18(8). - P. 8440-8452

101. Siviloglou, G.A. Accelerating finite energy Airy beams / G.A. Siviloglou, D.N. Christodoulides // Optics Letters. - 2007. - Vol. 32(8). - P. 979-981.

102. Berry, M.V. Stable and unstable Airy-related caustics and beams / M.V. Berry // Journal of Optics. - 2017. - Vol. 19(5). - 055601.

103. Ring, J.D. Auto-focusing and self-healing of Pearcey beams / J.D. Ring, J. Lindberg, A. Mourka, M. Mazilu, K. Dholakia, M. R. Dennis // Optics Express. - 2012. - Vol. 20(17). - P. 18955-18966.

104. Berry, M.V. Integrals with coalescing saddles / M.V. Berry, C.J. Howls. - Gaithersburg: NIST Handbook of Mathematical Functions, 2010. - 794 p.

105. Zannotti, A. Optical catastrophes of the swallowtail and butterfly beams / A. Zannotti, F. Diebel, M. Boguslawski, C. Denz // New Journal of Physics. - 2017. - Vol. 19(5). - 053004.

106. Julián-Macías, I. Wavefronts and caustics associated with Mathieu beams / I. Julián-Macías, C. Rickenstorff-Parrao, Omar de Jesús Cabrera-Rosas, E. Espíndola-Ramos, S.A. Juárez-Reyes, P. Ortega-

Vidais, G. Silva-Ortigoza, C.T. Sosa-Sánchez // Journal of the Optical Society of America A. - 2018. -Vol. 35(2). - P. 267-274

107. Marston, Ph.L. Hyperbolic umbiliic diffraction catastrophe and rainbow scattering from spheroidal drops / Ph.L. Marston // Nature. - 1984. - Vol. 312. - P. 529-531.

108. Duan, Q. Generalized rainbow patterns of oblate drops simulated by a ray model in three dimensions / Q. Duan, F. Onofri, X. Han, K. Ren // Optics Letters. - 2021. - Vol. 46(18). - P. 45854588.

109. Khonina, S.N. Caustics of non-paraxial perfect optical vortices generated by toroidal vortex lenses / S.N. Khonina, S.I. Kharitonov, S.G. Volotovskiy, V.A. Soifer // Photonics. - 2021. - Vol. 8(7).

- 259.

110. Kharitonov, S.I. Caustics of the vortex beams generated by vortex lenses and vortex axicons / S.I. Kharitonov, S.N. Khonina, S.G. Volotovskiy, N.L. Kazanskiy // Journal of the Optical Society of America A. - 2020. - Vol. 37(3). - P. 476-482.

111. Khonina, S.N. Mirror and circular symmetry of autofocusing beams / S.N. Khonina // Symmetry.

- 2021. - Vol. 13(10). - 1794.

112. Wright, F. J. Wavefield singularities: a caustic tale of dislocation and catastrophe: dissertation doctor of philosophy in physics (PhD) / Wright Francis J. - Wills Physics Laboratory, 1997. - 312.

113. Nye, J. F. Dislocation lines in the hyperbolic umbilic diffraction catastrophe / J. F. Nye // Proceedings of The Royal Society A Mathematical Physical and Engineering Sciences. - 2006. - Vol. 462(2072). - P. 2299-2313.

114. Nye, J.F. Evolution of the hyperbolic umbilic diffraction pattern from Airy rings / J. F. Nye // Journal of Optics A Pure and Applied Optics. - 2006. - Vol. 8(3). - P. 304-314.

115. Borghi, R. Evaluation of cuspoid and umbilic diffraction catastrophes of codimension four / R. Borghi // Journal of the Optical Society of America A. - 2011. - Vol. 28(5). - P. 887-896.

116. Teng, H. Swallowtail-type diffraction catastrophe beams / H. Teng, Yi. Qian, Ya. Lan, W. Cui // Optics Express. - 2021. - Vol. 29(3). - P. 3786-3794.

117. Durnin, J. Diffraction-free beams / J. Durnin, J.J. Miceli, J. H. Eberly // Physical Review Letters.

- 1987. - Vol. 58(15). - P. 1499-1501.

118. Chávez-Cerda, S. A new approach to Bessel beams / S. Chávez-Cerda // Journal of Modern Optics. - 1999. - Vol. 46. - P. 923-930.

119. Anguiano-Morales, M. Conical dynamics of Bessel beams / M. Anguiano-Morales, M.M. Méndez-Otero, M.D. Iturbe-Castillo, S. Chávez-Cerda // Optical Engineering. - 2007. - Vol. 46(7). -078001.

120. Broky, J. Self-healing properties of optical Airy beams / J. Broky, G.A. Siviloglou, A. Dogariu, D.N. Christodoulides // Optics Express. - 2008. - Vol. 16(17). - P. 12880-12891.

121. Anguiano-Morales, M. Self-healing property of a caustic optical beam / M. Anguiano-Morales, A. Martinez, M.D. Iturbe-Castillo, S. Chavez-Cerda, N. Alcala-Ochoa // Applied Optics. - 2007. - Vol. 46(34). - P. 8284-8290.

122. Алмазов, А.А. Восстановление после припятствий лазерных пучков, содержащих угловые гармоники / А.А. Алмазов, С.Н. Хонина // Компьютерная оптика. - 2005. - Выпуск 27. - С. 7283.

123. Канев, Ф.Ю. Особенности восстановления фазы вихревого пучка при увеличении числа и порядка особых точек / Ф.Ю. Канев, В.П. Аксенов, И.В. Измайлов, Ф.А. Стариков // известие Томского политехнического университета. - 2009. - Т. 315, №2. - С. 44-48.

124. Aiello, A. Wave-optics description of self-healing mechanism in Bessel beams / A. Aiello, G.S. Agarwal // Optics Letters. - 2014. - Vol. 39(24). - P. 6819-6822.

125. Hermosa, N. Helico-conical optical beams self-heal / N. Hermosa, C. Rosales-Guzman, J.P. Torres // Optics letters. - 2013. - Vol. 38(3). - P. 383-385.

126. Korotkova, O. Random Light Beams Theory and Applications / O. Korotkova. - Boca Raton: CRC Press, 2014. - 366 p.

127. Gbur, G.J. Singular Optics / G. J. Gbur. - Boca Raton: CRC Press, 2016. - 563 p.

128. Salla, G.R. Optical Vortices: Scattering through random media: dissertation doctor of philosophy in physics (PhD) / Salla Gangi Reddy. - Mohanlal sukhadia university, 2015. - 136.

129. Schwartz, Ch. Probing random media with singular waves Electronac Theses and Dissertations: dissertation doctor of philosophy in physics (PhD) / Chaim Schwartz. - University of Central Florida, 2006. - 228

130. Khonina, S.N. Bessel beam: significance and applications - a progressive review / S.N. Khonina, N.L. Kazanskiy, S.V. Karpeev, M.A. Butt // Micromachines. - 2020. - Vol. 11(11). - 997.

131. Aksenov, V.P. Synthesized vortex beams in the turbulent atmosphere / V.P. Aksenov, V.V. Dudorov, V.V. Kolosov, M.E. Levitsky // Frontiers in Physics. - 2020. - Vol. 8. - 143.

132. Soifer, V.A. Vortex beams in turbulent media: review / V.A. Soifer, O. Korotkova, S.N. Khonina, E.A. Shchepakina // Computer Optics. - 2016. Vol. 40(5). - P. 605-624.

133. Eyyuboglu, H.T. Propagation of higher order Bessel-Gaussian beams in turbulence / H.T. Eyyuboglu // Applied Physics B. - 2007. - Vol. 88(2). - P. 259-265.

134. Zhu, K. Study on the propadation parameters of Bessel-Gaussian beams carrying optical vortices through atmospheric turbulence / K. Zhu, S. Li, Y. Tang, Y. Yu, H Tang // Journal of the Optical Society of America A. - 2012. - Vol. 29(3). - P. 251-257.

135. Mphuthi, N. Are Bessel beams resilient to aberrations and turbulence? / N. Mphuthi, R. Botha, A. Forbes // Journal of the Optical Society of Am. A. - 2018. - Vol. 35(6). - P. 1021-1027.

136. Zhou, J. Coupled mode theory for orbital angular momentum modes transmission in the presence of atmosphere turbulence / J. Zhou, J. Zong, D. Liu // Optics Express. - 2015. - Vol. 23(25). - 31964.

137. Cox, M.A. On the resilience of scalar and vector vortex modes in turbulence / M.A. Cox, C. Rosales-Guzman, Martin P.J. Lavery, D.J. Versfeld, A. Forbes // Optics Express. - 2016. - Vol. 24(16).

- P. 18105-18113.

138. Cox, M.A. The resilience of Hermite- and Laguerre-Gaussian modes in turbulence / M.A. Cox, L. Maqondo, R. Kara, G. Millione, L. Cheng, A. Forbes // Journal of light wave technology. - 2019. -Vol. 37(16). - P. 3911-3917.

139. Lukin, V.P. Beam spreading of vortex beams propagating in turbulent armosphere / V.P. Lukin, P A. Konyaev, V.A. Sennikov // Applied Optics. - 2012. Vol. 51(10). - P. 84-87.

140. Gbur, G. The evolution of vortex beams in atmospheric turbulence / G. Gbur // Proceedings of SPIE - The International Society for Optical Engineering. - 2008. - Vol. 6878. - 687804.

141. Porfirev, A.P. Study of propagation of vortex beams in aerosol optical medium / A.P. Porfirev, M.S. Kirilenko, S.N. Khonina, R.V. Skidanov, V.A. Soifer // Applied Optics. - 2017. - Vol. 56(11). -P. 8-15.

142. Ferlic, N.A. The azimuthal spectrum of common transmittance functions and random media / N.A. Ferlic, C. ODonnell, M. van Iersel, and Ch. C. Davis // Proc. of SPIE. - 2021. - Vol. 11834. -118340K.

143. Gbur, G. Vortax beam propagation through atmospheric turbulence and topological charge conservation / G. Gbur, R. K. Tyson // Journal of the Optical Society of America A. - 2008. - Vol. 25(1).

- P. 225-230.

144. Котляр, В.В. Топологическая стабильность оптических вихрей при дифракции на случайном фазовом экране / В.В. Котляр, А.А. Ковалев, А.П. Порфирьев // Компьютерная оптика.

- 2019. - Т. 43, №6. - С. 917-925.

145. Lu, Т.К Generation of flower high-order Poincare sphere laser beams from a spatial light modulator / T.H. Lu, T.D. Huang, J.G. Wang, L.W. Wang, R.R. Alfano // Scientific Reports. - 2016. -Vol. 6(1): 39657.

146. Rodrigo, J.A. Polymorphic beams and Nature inspired circuits for optical current / J.A. Rodrigo, T. Alieva // Scientific Reports. - 2016. - Vol. 6(1). - 35341.

147. Абрамочкин, Е.Г. Спиральные вихревые пучки / Е.Г. Абрамочкин, В.Г. Волосников // Успехи физических наук. - 2004. - Т. 47. - С. 1177-1203.

148. Gielis, J. A generic geometric transformation that unifies a wide range of natural and abstract shapes / J. Gielis // American Journal of Botany. - 2003. - Vol. 90(3). - P. 333-338.

149. Abramochkin, E. Beam transformation and nontransformed beams / E. Abramochkin, V. Volostnikiv // Optics Communications. - 1991. - Vol. 83(1-2). - P. 123-135.

150. Лавреньтьев, М.А. Методы теории функции комплексного переменного / М.А. Лавреньтьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1987. - 716 c.

151. Berry, M.V. Optical vortices evolving from helicoidal integer fractional phase steps / M.V. Berry // Journal of Optics A: Pure and Applaied Optics. - 2004. - Vol. 6(2). - P. 259-268.

152. Kotlyar, V.V. Topological charge of a linear combination of optical vortices: topological competition / V.V. Kotlyar, A.A Kovalev, A.V. Volyar // Optical Express. - 2020. - Vol. 28(6). - P. 8266-8281.

153. Kotlyar, V.V. Astigmatic transforms of an optical vortex for measurement of its topological charge / V.V. Kotlyar, A.A Kovalev, A.P. Porfirev // Applied Optics. - 2017. - Vol. 56(14). - P. 40954104.

154. Воляр, А.В. Цифровая сортировка пучков Эрмита-Гаусса: анализ спектра мод и топологический заряд возмущенного пучка Лагерра-Гаусса / А.В. Воляр, Е.Г. Абрамочкин, Ю.А. Егоров, М.В. Брецько, Я.Е. Акимова // Компьютерная оптика. - 2020. - Т. 44, №4. - С. 501-509.

155. Abramochkin, E. General astigmatic transform of Hermite-Laguerre-Gaussian beams / E. Abramochkin, E. Razueva, V. Volostnikov // Journal of the Optical Society of America A. - 2010. -Vol. 27(11). - P. 2506-2513.

156. Abramochkin, E. Beams transformations and nontransformed beams / E. Abramochkin, V. Volostnikov // Optics Communications. - 1991. - Vol. 83(1-2). - P. 123-135.

157. Allen, L. Orbital angular momentum of light and the transformation of Laguerre-Gaussian laser mides / L. Allen, M.V. Beijersbergen, R. J.C. Spreeuw, J.P. Woerman // Physical Review A. - 1992. -Vol. 45(11). - P. 8185-8189.

158. Volyar, A. Fine structure of perturbed Laguerre-Gaussian beams: Hermite-Gaussian mode spectra and topological charge / A. Volyar, E. Abramochkin, Yu. Egorov, M. Bretsko, Ya. Akimova // Applied Optics. - 2020. - Vol. 59(25). - P. 7680-7687.

159. Monin, E.O. The transformation of Hermite-Gauss beams with embedded optical vortex by lens system / E.O. Monin, A.V. Ustinov // Journal pf Physics Conference Series. - 2018. - Vol. 1038(1). -012039.

160. Lin, Y.C. Generation of optical vortex array with transformation of standing-wave Laguerre-Gaussian mode / Y.C. Lin, T.H. Lu, K.F. Huang, Y.E. Chen // Optical Express. - 2011. - Vol. 19. - P. 10293-10303.

161. Volyar, A. Measurement of the vortex spectrum in a vortex-beam array without cuts and gluing of the wavefront / A. Volyar, M. Bretsko, Ya. Akimova, and Yu. Egorov // // Optics Letters. - 2018. -Vol. 43(22). - P. 5635-5638.

162. Volyar, A. Measurement of the vortex and orbital angular momentum spectra with a single cylindrical lens / A. Volyar, M. Bretsko, Ya. Akimova, Yu. Egorov // Applied Optics. - 2019. - Vol. 58. - P.5748-5755.

163. Prudnikov, A.P. Integrals and series. Special functions / A. P. Prudnikov, Yu. A. Brychkov, O. I. Marichev. - New York: Gordon and Breach Science Publishers, 1986. - 618 p.

164. Воляр, А.В. Структурная устойчивость спиральных пучков и тонкая структура потока энергии / А.В. Воляр, Е.Г. Абрамочкин, Е.В. Разуева, Я.Е. Акимова, М.В. Брецько // Компьютерная оптика. - 2021. - Т. 45, №4. - С. 482-489.

165. Воляр, А.В. Преобразование структурно устойчивых состояний спиральных пучков под действием секторных возмущений / А.В. Воляр, Я.Е. Акимова // Компьютерная оптика. - 2021. -Т. 45, № 6. - С. 789-799.

166. Воляр, А.В. Перестройка устойчивых состояний спиральных вихревых пучков / А.В. Воляр, Е.Г. Абрамочкин, Я.Е. Акимова, М.В. Брецько // Компьютерная оптика. - 2022. - Т. 46, № 1. - С. 5-15.

167. Volyar, A. Geometry of spiral beams: 3D curved structured vortex beams and optical currents / A. Volyar, E. Abramochkin, E. Razueva, M. Bretsko, Ya. Akimova // Journal of Optics. - 2021. - Vol. 23(4). - 044003.

168. Volyar, A. V. Structural stability of spiral vortex beams to sector perturbations / A. V. Volyar, Ya. E. Akimova // Applied Optics. - 2021. - Vol. 60 (28). - P. 8865-8874.

169. Volyar, A. Destroying and recovering spiral vortex beams due to figured perturbations / A. Volyar, E. Abramochkin, Ya. Akimova, M. Bretsko // Journal of the Optical Society of America A. -2021. - Vol. 38(12). - P. 1793-1802.

170. Paakkonen, P. Rotating optical fields: experimental demonstration with diffractive optics / P. Paakkonen, J. Lautanen, M. Honkanen, M. Kuittinen, J. Turunen, S.N. Khonina, V.V. Kotlyar, V.A. Soifer, A T. Friberg // Journal of Modern Optics. - 1998. - Vol. 46. - P. 2355-2369.

171. Berry, M.V. Optical currents / M.V. Berry // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. -2009. - Vol. 11. - 094001.

172. Berry, M.V. Curvature of wave streamlines / M.V. Berry // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2013. - Vol. 46. - 395202.

173. Арнольд, В.И. Топологические методы в гидродинамике / В.И. Арнольд, Б.А. Хесин // М.: МЦНМО, 2007. - 392 c.

174. Berry, M.V. Stream function for optical energy flow / M.V. Berry, M.R. Dennis // Journal of Optics. - 2011. - Vol. 13(6). - 064004.

175. Постон, Т. Теория катастроф и её приложения / Т. Постон, Й. Стюарт. - Москва: Мир, 1980. - 607 c.

176. Брычков, Ю.А. Специальные функции. Производные, интегралы, ряды и другие формулы / Ю.А. Брычков. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 512 с.

177. Siegman, A.E. Hermite-Gaussian functions of complex argument as optical beam eigenfunctions / A.E. Siegman // Journal of Optical Society of America. - 1973. - Vol. 63(9). - P. 1093-1094.

178. Wünsche A. Generalized Gaussian beam solutions of paraxial optics and their connection to a hidden symmetry / A. Wünsche // Journal of Optical Society of America A. - 1989. - Vol. 6(9). - P. 1320-1329.

179. Arnold, V.I. Dynamical systems V: bifurcation theory and catastrophe theory / V.I. Arnold, V.S. Afrajmovich, Y.S. Il'yashenko, L.P. Shil'nikov. - Berlin: Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1994. -283 p.

180. Berry, M.V. Wave dislocation reactions in non-paraxial Gaussian beams / M.V. Berry // Journal of modern optics. - 1998. - Vol. 45(9). - P. 1845-1858.

181. Raz, O. Spectral caustics in attosecond science / O. Raz, O. Pedatzur, B.D. Bruner, N. Dudovich // Nature Photon. - 2012. - Vol. 6. - P. 170-173.

182. Vaveliuk, P. Caustic beams from unusual powers of the spectral phase / P. Vaveliuk, A. Lencina, O. Martínez-Matos // Optics Letters. - 2017. - Vol. 42(19). - P. 4008-4011.

183. Chen, R.-P. Structured caustic vector vortex optical field: manipulating optical angular momentum flux and polarization rotation / R.-P. Chen, Z. Chen, K.-H. Chew, P.-G. Li, Z. Yu, J. Ding, S. He // Scientific Reports. - 2015. - Vol. 5(1). - P. 1-8.

184. Zannotti, A. Shaping caustics into propagation invariant light / A. Zannotti, C. Denz, M.A. Alonso, M R. Dennis // Nature Communications. - 2020. - Vol. 11. - 3597.

185. Soifer, V.A. Spiral caustics of vortex beams / V.A. Soifer, S.I. Kharitonov, S.N. Khonina, Yu.S. Strelkov, A.P. Porfirev // Photonics. - 2021. - Vol. 8(24). - P. 1-20.

186. Volyar, A.V. Rotation of the wavefront of an optical vortex in free space / A.V. Volyar, V.G. Shvedov, T.A. Fadeeva // Technical Physics Letters. - 1999. - Vol. 25. - P. 203-206.

187. Padgett, M.J. The Poynting vector in Laguerre-Gaussian laser modes / M.J. Padgett, L. Allen // Optical Communications. - 1995. - Vol. 121(1-3). - P. 6-40.

188. Nye, J.F. Natural focusing and fine structure of light: caustics and wave dislocations / J.F. Nye. - Bristol: Institute of Physics, 1999. - 328 p.

189. Volyar, A. Orbital angular momentum and informational entropy in perturbed vortex beams / A. Volyar, M. Bretsko, Ya. Akimova, Yu. Egorov // Optical Letters. - 2019. - Vol. 44(29). - P. 5687-5680.

190. Arnold, V.I. Singularities of Differentiable Maps / V.I. Arnold, S.M. Gusein-Zade, A.N. Varchenko. - Boston: Basel Stuttgart, 1988. - 489 p.

191. Berry, M.V. Wave dislocation reactions in non-paraxial Gaussian beams / M.V. Berry // Journal of Modern Optics. - 1988. - Vol. 45(9). - P. 1845-1858.

192. Volyar, A. Digital sorting perturbed Laguerre-Gaussian beams by radial numbers / A. Volyar, M. Bretsko, Ya. Akimova, Yu. Egorov // Journal of the Optical Society of America A. - 2020. - Vol. 37. - P. 959-968.

193. Bern, M. Principles of Optics / M. Bern, E. Wolf. - Cambridge: Cambridge University Press, 1999. - 385 p.

194. Temme, N.M. Asymptotic Methods for Integrals / N.M. Temme. - Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 2015. - 587 p.

195. Chen, R. Structural stability of open vortex beams / R. Chen, Qi Zhao, Y. Shen, Y. Liu, Y. Yang // Applied Physics Letters. - 2021. - Vol. 119. - 171105.

196. Shen, Y. Rays, waves, Su(2) symmetry and geometry toolkits for structured light / Y. Shen // J. Opt. - 2021. - Vol. 23. - 124004.

197. Otte, E. High-dimensional cryptography with spatial modes of light: tutorial / E. Otte, I. Nape, C. Rosales-Guzman, C. Denz, A. Forbes, B. Ndagano // Journal of the Optical Society of America B. -2020. - Vol. 37(11). - P. 309-323.

198. Qiao, Zh. Multi-vortex laser enabling spatial and temporal ancoding / Zh. Qiao, Zh. Wan, Gu. Xie, J. Wang, L. Qian, D. Fan // PhotoniX. - 2020. - Vol. 1. - 13.

199. Wang, X. Recent advances on optical vortex generation / X. Wang, Zh. Nie, Y. Liang, J. Wang, T. Li, B. Jia // Nanophotonics. - 2018. - Vol. 7(9). - P. 1533-1556.

200. Andersson, M. Orbital angular momentum modes do not increase the chanenel capacity in communication links / M. Andersson, E. Berglind, C. Biork // New Journal of Physics. - 2015. - Vol. 17. - 043040.

201. Andrews, L.C. Laser beam propagation through random media / L.C. Andrews, R.L. Phillips. -USA: Spie press, 2005. - 782 p.

202. Gbur, G. Vortex beam propagation through atmospheric turbulence and topological charge conservation / G. Gbur, R.K. Tys // J. Opt. Soc. Am. A. - 2008. - Vol. 25(1). - P. 225-230.

203. Gu, Y. Topological reactions of optical correlation vortices / Y. Gu, G. Gbur // Optics Communication. - 2009. - Vol. 282. - P. 709-716.

204. Кириленко, М.С. Иследование устойчивости топологического заряда многокольцевых вихревых пучков лагерра-Гаусса к случайным искажениям / М.С. Кириленко, С.Н. Хонина // Компьютерная оптика. - 2019. - Т.43, № 4. - С. 567-576.

205. Wang, T. Beam-spreading and topological charge of vortex beams propagating in a turbulent atmosphere / T. Wang, J. Pu, Z. Chen // Optics Communications. - 2009. - Vol. 282. - P. 1255-1259.

206. Wang, Y. Spiral spectrum pf a Laguerre-Gaussian beam propagating in anisotropic turbulent plasma / Y. Wang, D. Zhang, J. Xie, Y. Guo, L. Guo // Photonics Journal. - 2021. - Vol. 13(6). -7900310.

207. Ильин, В.А Линейная алгебра / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 280 с.

208. Воляр, А.В. Цифровой анализ спекл картины хаотичной композиции мод и восстановление регулярного узора интенсивности после многомодового волокна / А.В. Воляр, М.В. Брецько, Я.Е. Акимова, Ю.А. Егоров // Компьютерная оптика. - 2021. - Т. 45, № 2. - С. 179189.

209. Volyar, A. Stable and unstable structured vortex beams, their energy flows and accompanying vortex spectra / A. Volyar, E. Abramochkin, E. Razueva, Ya. Akimova, M. Bretsko, Yu. Egorov // Asian Journal of Physics. - 2021. - Vol. 30 (8-9).

210. Goodman, J.W. Speckle phenomena in optics: theory and applications / J.W. Goodman. -Englewood: Roberts & Co., 2007. - 387 p.

211. Воляр, А.В. Формирование и анализ спектров оптических вихрей сингулярных пучков с аномалиями орбитального углового момента / А.В. Воляр, М.В. Брецько, Я.Е. Акимова, Ю.А. Егоров // Компьютерная оптика. - 2019. - Т. 43, № 4. - С. 517-527.