Эволюция оптических вихрей в дифрагированном поле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат наук Черных Алексей Викторович

• Черных Алексей Викторович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Черных Алексей Викторович

Реферат

Sinopsis

Введение

ГЛАВА 1. Оптические вихри в световом поле

1.1 Моды Лагерра-Гаусса

1.2 Пучок Куммера

1.3 Декомпозиция ОВ высших порядков

1.4 Краткие выводы по Главе

ГЛАВА 2. Интерферометр сдвига с сингулярным источником света

2.1 Интерферометр сдвига

2.2 Оптимальные параметры интерферометра бокового сдвига с сингулярным источником света

2.3 Определение разности фаз пучков в интерферометре бокового сдвига с сингулярным источником света

2.4 Синтез оптических вихрей в интерферометре бокового сдвига с клиновидным светоделительным элементом

2.5 Краткие выводы по Главе

ГЛАВА 3. Краевая дифракция оптических вихрей

3.1. Теория дифракции

3.2 Экспериментальная реализация краевой дифракции пучков Куммера

3.3 Теоретическое описание краевой дифракции пучков Куммера

3.4 Асимптотическая аналитическая модель дифракции

3.5 «Скачки» ОВ в распространяющемся дифрагированном пучке Куммера

3.6 Краткие выводы по Главе

ГЛАВА 4. Трансформация пучка Лагерра-Гаусса с помощью двойного фазового клина

4.1 Аналитическое описание ОВ синтезированного при помощи ДФК

4.2 Свойства ОВ синтезированного при помощи ДФК

4.3 Цепь вихрей синтезированных при помощи ДФК

4.4 Пучок Лагерра-Гаусса в поле ДФК

4.5 Краткие выводы по Главе

Заключение

Благодарность

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Приложение А

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эволюция оптических вихрей в дифрагированном поле»

РЕФЕРАТ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Представляемая диссертационная работа посвящена исследованию миграции и характеристик оптических вихрей (ОВ) при дифракции пучков Лагерра-Гаусса и Куммера, которые были подвержены амплитудной или фазовой модуляции. Исследование сфокусировано на раскрытии особенностей эволюции фазовых сингулярностей и их близлежащих окрестностей поля (сердцевин ОВ). Проведен анализ поведения ОВ при дифракции скалярных сингулярных пучков на полубесконечном экране с прямолинейным краем и на фазовом элементе в виде двойного клина - далее двойной фазовый клин (ДФК). Изучена трехмерная картина распределения сингулярностей (сингулярный скелет) дифрагированного поля. Найдены условия высокой чувствительности элементов сингулярного скелета к изменениям геометрических параметров дифракции, что может найти применение в прецизионной метрологии [1] и телекоммуникациях. Кроме того, один раздел диссертационной работы посвящена исследованию интерферометра сдвига, как средства, при помощи которого можно быстро провести фазовый анализ оптического поля и обнаружить ОВ, так и устройства, обладающего возможностью синтезировать ОВ.

Исследование выполнено в сравнительно недавно возникшей области науки - сингулярной оптике, изучающей особенности скалярных и векторных световых полей [2]. Одним из основных предметов исследования этого направления являются ОВ. Они обладают уникальными: в центре ОВ амплитуда светового поля равна нулю, а фаза неопределена (сингулярна); в центре ОВ образуется винтовая дислокация волнового фронта (ВДВФ), и в его окрестности поле несет механический орбитальный угловой момент (ОУМ), обусловленный циркуляцией энергии вокруг фазовой сингулярности [3]. Простейшими и исторически первыми изученными полями с ОВ являются циркулярные вихревые пучки, у которых ОУМ равен 1И на фотон, где И - постоянная Планка и I - целое число, называемое топологическим зарядом ОВ. Существование топологически различных

дискретных состояний ОУМ определяет исключительные возможности применения оптических пучков с ОВ в технике передаче и кодировке информации [4]; кроме того, ОВ используются для управления движением малых частиц (микро- и наноманипуляции) [5-10].

Фазовые сингулярности, которые, являются неотъемлемой частью поля, характеризуют все амплитудно-фазовое распределение; использование знаний о динамике их пространственного расположения при дифракции способствует повышению информативности оптических пучков. Проведение первоначального исследования детальной картины поведения сингулярностей для дифракции стандартных циркулярных ОВ на простых преградах представляет собой рациональный подход в данном направлении, и потому диссертационная работа безусловно актуальна. Расширение знаний о сингулярностях и особенностях их поведения в поле дифракции, определение пространственных и морфологических характеристик, закономерностей их эволюция с практической точки зрения позволит ускорить и повысить эффективность использования ОВ в прикладных задачах науки и техники.

Степень разработанности. Существенный вклад в изучение проблемы краевой дифракции ОВ внесли А.Я. Бекшаев, М.В. Васнецов, В.Н. Горшков, И.Г. Мариенко, Я. Масаяда, М.С. Соскин, А.Н. Хорошун. В работах предшественников были изложены первые результаты наблюдения дифракции ОВ на прямолинейном непрозрачном крае и выявлены различные особенности: условия возникновения дислокаций, механизмы образования ОВ, поперечная циркуляция энергии, самовосстановление вихревого волнового фронта пучка. В представляемой диссертационной работе, благодаря современным вычислительным возможностям и применению новых подходов к решению проблем дифракции ОВ, были обнаружены нетривиальные топологические реакции рождения и аннигиляции ОВ, а также построены «вихревые нити» -пространственные траектории эволюции фазовых сингулярностей, образующие трехмерный сингулярный скелет дифрагированного поля.

Другому аспекту диссертационной работы - дифракции на фазовом клине -были ранее посвящены труды таких авторов, как А.Н. Алексеев, А.В. Воляр, С. Вьяс, В.Н. Горшков, Я.В. Издебская, Д. Курабцев, П. Сентилкумаран, М.С. Соскин, Т.А. Фадеева, А.Н. Хорошун, В.Г. Шведов. Их работы в значительной мере способствовали изучению феномена образования ОВ на фазовом клине, однако в трудах этих ученых отсутствует полная картина эволюции оптического поля, включая сингулярный скелет и морфологические параметры сердцевины фазовой сингулярности.

Интерферометр сдвига с сингулярным источником света ранее рассматривался авторами: Д.П. Гай, С. Вьяс, Р.С. Сирохи, в работах [30,33] показан метод детектирования ОВ; образование наклоненных интерференционных полос при использовании в качестве делительного элемента клиновидной пластинки. Преимущество рассматриваемого интерферометра сдвига состоит в том, что получены результаты хорошего качества без пространственной фильтрации и установлено условие его применимости. В схеме использовалось минимальное количество элементов, что позволило еще больше исключить влияние шумов и вибраций.

Цели и задачи. Цель диссертационной работы заключается в том, чтобы экспериментальными, численными и аналитическими методами выявить картину эволюции оптических вихрей при дифракции на прямолинейном крае и двойном фазовом клине посредством исследования пространственных и морфологических характеристик фазовых сингулярностей.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Разработка эффективной, простой и надежной методики синтеза и анализа пучков с ОВ.

2. Разработка и использование программ для быстрого расчета дифракции пучков скалярного поля, а также для определения позиций и параметров сердцевины ОВ.

3. Аналитическое и экспериментальное исследование пространственной миграции и морфологии ОВ при распространении дифрагированного пучка.

4. Проведение анализа топологических реакций фазовых сингулярностей и установление условий их возникновения.

Научная новизна полученных результатов:

1. Впервые определены условия детектирования ОВ в интерферометре сдвига с сингулярным источником света.

2. Впервые экспериментально осуществлен синтез ОВ из пучка Гаусса в интерферометре бокового сдвига с клиновидным светоделительным элементом.

3. Впервые обнаружена спиралевидная миграция ОВ в поле краевой дифракции циркулярных ОВ пучков при поступательном движении края экрана. Обнаружены петлеобразные участки траекторий и «скачки», возле которых положение ОВ высокочувствительно к смещению края экрана.

4. Впервые на основе аналитического решения для задачи дифракции пучка Гаусса на двойном фазовом клине, расположенном вне перетяжки определены параметры сердцевины ОВ.

5. Впервые представлен детальный анализ устойчивой «цепи» ОВ единичного заряда одного знака, полученной при прохождении пучка Гаусса через ДФК.

6. Впервые построены сингулярные скелеты поля пучков Лагерра-Гаусса с топологическими зарядами 2, 3, 4, дифрагированных на ДФК и найдены параметры, при которых наблюдается генерация дополнительных околоосевых диполей ОВ и смена знака топологического заряда осевого вихря. Произведена оценка устойчивости такого сингулярного скелета к смещению фазовой маски.

Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные в работе результаты могут использоваться в высокочувствительной оптической метрологии [1,34]. Развитая методика определения траекторий, положений, «скачков», генерации и аннигиляции фазовых сингулярностей, которые выступают в роли важных пространственных меток в оптическом поле позволяет использовать ее в качестве основы для разработки новых оптических инструментов, например в метрологии высокого разрешения [1,34-42], а также для диагностики исходного поля. Другим направлением применимости

результатов работы является техника микроманипуляции («оптические пинцеты»), например, ведение светопоглощающих микрочастиц и нанокластеров [35,43-46] вдоль траекторий оптических вихрей.

Наблюдаемые и предсказанные в этой работе специфические особенности поведения сингулярного скелета довольно распространены для световых пучков с хорошо развитой сингулярной структурой [47-49]. С этой точки зрения, дифрагированные ОВ-пучки можно рассматривать как эффективные средства для создания управляемых структур с заданными свойствами, которые могут быть полезны науке и технике.

Объектом исследования являются монохроматические лазерные пучки Гаусса, Лагерра-Гаусса и Куммера.

Предметом исследования являются пространственные и морфологические характеристики, закономерности и эволюция фазовых сингулярностей в поле дифракции.

Методология и методы исследования. При решении поставленных в диссертационной работе задач были использованы как методы теоретического анализа и компьютерного моделирования, так и методы экспериментального исследования дифракционных и интерференционных явлений.

Для синтеза лабораторных пучков с дислокациями волнового фронта применялись амплитудные дифракционные решетки с бифуркацией полос и фазовый модулятор света (spatial light modulator - SLM). Экспериментальный анализ свойств полученных пучков выполнялся посредством обеспечения оптимальной интенсивности для четкой локализации темных областей ОВ, интерференции сдвига и интерференции с референтным гауссовым пучком. Для подавления «шума» оптического излучения регистрация осуществлялась усреднением серии отдельных кадров.

Для теоретического анализа свойств пучков с ОВ было использован метод численного расчета дифракции посредством интеграла Кирхгофа. Аналитическое описание поля составлялось в параксиальном приближении на основе решений

интеграла Кирхгофа-Френеля с требуемыми условиями для каждой отдельной задачи.

Положения, выносимые на защиту:

1. Если соотношение квадрата величины бокового сдвига к радиусу кривизны волнового фронта больше, чем длинна волны, то интерференционная картина (ИК) позволяет регистрировать ОВ в интерферометре сдвига с сингулярным источником света.

2. Экспериментально обнаружено, что при поступательном движении края экрана поперек оси однозарядного пучка (|т| = 1), оптический вихрь мигрирует по спиралевидной траектории в противоположном направлении к поперечной циркуляции энергии. Аналитически установлена взаимосвязь количества оборотов спиралевидной траектории и параметров частично экранируемого пучка: длинной волны излучения, дистанцией наблюдения, поперечным размером и радиусом кривизны дифрагирующего пучка.

3. При дифракции пучков с неединичным топологическим зарядом (|т| = 2, 3), распавшиеся однозарядные оптические вихри мигрируют по своим спиралевидным траекториям, содержащим петлеобразные участки и скачки, вблизи которых положение ОВ особо чувствительно к положению края экрана.

4. Аналитически показано, что сформированные оптические вихри при дифракции пучка Гаусса на двойном фазовом клине мигрируют по расходящимся траекториям и испытывают вращение относительно центральной оси по направлению циркуляции потока энергии пучка. Полуоси эллипсов, описывающих сердцевины оптических вихрей при распространении, вращаются против этого направления, а эллиптичность, после достижения максимума, монотонно убывает.

5. Если в процессе дифракции пучков Лагерра-Гаусса с топологическими зарядами 2 и 4 на двойном фазовом клине формируются два дополнительных околоосевых диполя оптических вихрей и их отрицательно заряженные компоненты мигрируют к осевому вихрю, то происходит инверсия его знака топологического заряда.

Степень достоверности. Достоверность научных результатов теоретического исследования определяется использованием надежно апробированных подходов и методов теории дифракции совместно с современным программным обеспечением, а экспериментальной работы -надежно апробированными методами наблюдения интерференции и дифракции.

Личный вклад автора заключается в:

1. Проведении экспериментального исследования по интерференции, дифракции на краю и обработке полученных данных (изложенных в 1-3 Главах).

2. Разработке программного обеспечения на основе открытой библиотеки OpenCV для захвата изображений с длительной экспозицией.

3. Разработке программы параллельного вычисления численного решения дифракционных интегралов с помощью библиотеки OpenCL и проведении компьютерного моделирования дифракционных задач.

4. Разработке алгоритма и программного кода для поиска расположения фазовых дислокаций расчетного поля дифракции и определения морфологии сердцевин ОВ.

5. Нахождении аналитического решения интеграла Кирхгофа-Френеля для дифракции пучка Гаусса на ДФК и определении параметров сердцевины осевого ОВ на его основе.

6. Участие в постановке задач и обсуждении промежуточных результатов исследований.

7. Участие в обсуждении результатов и написании статей, тезисов.

8. Представление результатов работы на научных семинарах и конференциях.

Апробация результатов. Материалы и результаты диссертации были представлены на международных конференциях: 14th International Conference Laser Optics, Санкт-Петербург, Россия (2010), 5th International Conference "Singular Optics", Севастополь, Украина (2012), International Conference on Correlation Optics, Черновцы, Украина (2013, 2015, 2017), International Conference on Nano Science and Nano Technology ICNST, Mokpo National University, Muan, Korea

(2014), DPG Verhandlungen, Hannover, Germany (2016), Proceedings of the 2016 IEEE 7th International CAOL, Одесса, Украина (2016), Москва-Астана-Харьков-Вена, Международный научный центр, Актуальные проблемы современной науки (июль 2016), International Conference "Digital Singular Optics: Applications and Fundamentals" (DS0AF'2018)", Севастополь, Россия (2018), Открытые физические чтения, Луганск (2018, 2019).

Публикации. В рамках диссертационной работы результаты исследований опубликованы в 18 статьях, из которых 13 публикаций индексируются в базах Web of Science или Scopus.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 108 источников. Работа изложена на 184 страницах и содержит 61 рисунок, 3 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность роботы, сформулированы ее цели и задачи.

Первая глава посвящена описанию оптических пучков, содержащих фазовые дислокации на оси: Лагерра-Гаусса и Куммера. Показан вывод аналитического решения, описывающего свободное распространение пучка Куммера в приближении Френеля. Проведен анализ декомпозиции трехзарядового ОВ при наличии на оси дополнительного пучка Гаусса малой интенсивности. В этой системе пучков проведена оценка нестационарного поведения разделенных фазовых дислокаций - они испытывают радиальное и азимутальное смещение в процессе распространения из-за различной расходимости и сдвига фазы Гуи. Если максимальная интенсивности пучка Гаусса равна 0.7% максимума пучка Куммера, тогда присутствующие ОВ единичного будут удалены от центральной оси пучка на расстояние, соответствующее примерно 30% от радиуса составного пучка. Такая паразитная декомпозиция

присутствовала в экспериментальном пучке, что повлияло на сходимость с теоретическими расчетами, описанными в Третьей Главе.

Вторая глава посвящена исследованию интерференции сдвига оптического поля, содержащего оптические вихри единичного заряда (Рисунок 1.а-с).

100 200 300 400 500 600

■ ..... 1 1

Л1 -ТИеогеИса! ;

/А /\ / \ '/ у/ . | / у .....

1( 0 200 300 4 0 ш

Рисунок 1 - Распределения интенсивностей пучков, полученных (а) экспериментально и путем расчета (Ь), (с) -распределение интенсивности

Проведен эксперимент по получению интерференционных полос равной толщины в интерферометре бокового сдвига (Рисунок 2). В качестве светоделительного элемента интерферометра выступала лабораторная плоскопараллельная стеклянная пластина.

Рисунок 2 - Схема интерферометра сдвига: 1 - Не-№ лазер, 2 - дифракционная решетка с «вилкой», 3 - светоделитель, 4 - фотокамера, 5 - компьютер

Появление интерференционных полос (Рисунок 2) обусловлено кривизной волнового фронта применяемого расходящегося оптического пучка. На

интерференционных картинах (ИК) найдены положения ОВ по расщеплению полос, вид которых обуславливается углом поворота светоделительного элемента. Произведен расчет интерференции сдвига оптических вихрей согласующийся с экспериментальными данными. Измерен сдвиг фаз между двумя интерферирующими пучками Куммера по сопоставлению расположений максимумов и минимумов интенсивности на теоретических и экспериментальных интерферограммах.

IH

\\

Рисунок 3 - Экспериментальная (а) и расчетная (Ь) интерферограммы, имеющие одинаковую разность фаз между пучками

Расстояние между центральными осями или точками фазовых дислокаций интерферирующих пучков равно величина бокового сдвига S, а также может быть вычислено по формуле:

s = d . sin2a (1)

2-2 ■\¡n - sin а

По полученным ИК устанавливается расположение сингулярных пучков, что в свою очередь предоставляет возможность найти из уравнения (1) один из параметров пластины: угол наклона а, толщину d или показатель преломления n. Ширина интерференционной полосы Ах определяется по интерферограмме, а радиус кривизны волнового фронта (считая, что присутствующий фазовый геликоид не вносит значительных изменений) вычисляется так:

R = — (2)

Оптимальные параметры вихревого интерферометра сдвига - такие, которые позволяют достоверно выявлять ОВ на ИК по расщеплению полос.

Чтобы гарантировать приемлемую видимость расщепления интерференционных полос, их ширина Ах должна быть меньше, чем боковой сдвиг При этом величина бокового сдвига ограничивается радиусом пучка, тем самым обеспечивая пребывание сердцевины ОВ одного пучка в области другого:

Ах < 5 < г (3)

Главными особенностями предложенного интерферометра являются минимальное количество элементов в схеме и наличие пространственных меток. Выбор оптимальных параметров интерферометра основывается только на двух величинах: радиус кривизны пучка Куммера и расстояние между дислокациями.

Образование ОВ (Рисунок 4. а) в интерферометре бокового сдвига возможно из пучков со сферическими волновыми фронтами. Причиной этому служит возникновение деструктивной интерференции, которую можно создать с помощью наклона одного из интерферирующих пучков перпендикулярного направлению сдвига. Создавать такой наклон способна нерегулярная тонкая стеклянная пластина, выполняющая роль клиновидного светоделительного элемента, на которой сложение пучков приводит к новой топологии волнового фронта пучка. Интерференционный анализ полученной структуры поля проводился с помощью схемы интерферометра бокового сдвига с плоскопараллельной пластиной.

Рисунок 4 - ИК (а) для интерферометра сдвига с гауссовым пучком. ИК (Ь) для схемы с двумя пластинами, позволяющая подтвердить образование ОВ

Экспериментально осуществлен синтез ОВ из пучка Гаусса в интерферометре бокового сдвига с клиновидным светоделительным элементом.

По углу наклона сердцевины ОВ (Рисунок 4.а) определен фазовый градиент, нормированный к радиусу отражающегося пучка Гаусса, который составил #=6.43.

Третья глава посвящена дифракции сингулярных пучков на краю плоского полубесконечного экрана.

На Рисунке 5 представлена оптическая схема дифракции пучков Куммера на краю экрана (Obstacle). Пучки Куммера с m = -1, -2, -3 топологическими зарядами генерируются в первом, втором и третьем дифракционных порядках голографической дифракционной решетки с «вилкой». В данной работе использовались пучки, отраженные от решетки. Все поперечные координаты приведены в единицах равных поперечному размеру образующего Гауссова пучка b=0.232 мм.

Laser Gr.

Рисунок 5 - Экспериментальная установка: Laser He-Ne, 633 нм , Gr. -дифракционная решетка с «вилкой», Mr. - зеркало, Obstacle - подвижный экран,

CCD - ПЗС-камера с оптическим фильтром

Ниже представлена таблица (Рисунок 6) с некоторыми частными результатами экспериментальных распределений интенсивности

дифрагированного пучка в зависимости от расстояния регистрации и степени перекрытия пучка.

а=0.43 т=-1

а=0.81 т=-2

а=0.65 т=-3

г=1см

г=30см

е

С

С

г=60см

нн

г=82см

Рисунок 6 - Распределение интенсивностей дифрагированных пучков с зарядами т = -1, -2, -3, где г - расстояние между камерой и перекрытием, а - расстояние

перекрытия до центра пучка

Позиции сердцевин ОВ и их поведение с изменением степени экранирования пучка определяют свойства миграции ОВ в сечении для фиксированного расстояния. Во всех случаях наблюдается поперечная циркуляция энергии по часовой стрелке (если установить камеру против распространения пучка). Сердцевины ОВ описывают спиральные траектории с движением против часовой стрелки. По мере увеличения степени перекрытия сердцевины ОВ уходят на бесконечность - исчезают. Проведенный эксперимент имеет отличия от теоретических данных, т.к. в процессе образования многозарядные пучки Куммера имеют безвихревую компоненту и распадаются на несколько однозарядных. Эти распавшиеся пучки не чувствительны к малому перекрытию, и мы не наблюдаем полной картины миграции ОВ. Исключением является краевая дифракция пучка Куммера с единичным топологическим зарядом - в этом случае наблюдается хорошее согласование теоретических и экспериментальных данных.

Рисунок 7 - Траектории, описываемые сердцевинами ОВ в сечении дифрагированного пучка г = 30 см за экраном, когда край экрана движется вдоль отрицательного направления Х, для пучков Куммера с топологическим зарядом (а) т = -1 и (Ь) т = -2. Горизонтальные и вертикальные координаты в единицах Ь (5); большая серая стрелка показывает циркуляцию энергии в пучке, маленькие стрелки показывают направление движения ОВ, когда край экрана приближается к оси пучка. На вставке на графике (Ь) показана увеличенная область.

Для однозарядного пучка наличие края экрана вызывает смещение сердцевины ОВ от его исходного положения на оси 7; с ростом области перекрытия сердцевина ОВ смещается по спиралевидной траектории (Рисунок 7.а) в противоположном направлении к вращению профиля пучка, что согласуется с внутренней циркуляцией энергии, показанной серой стрелкой, и, в конечном счете, исчезает в области тени.

у/Ь

0.4 0.2

-0.2

-0.4 -0.5

^-Ах

/4 ' \(а)

0 В \

\ с

/X \

/

х/Ь

(Ь)

> -0.5

В 1

2.5 2 .2

2.36 2.34

1 х/Ь

у/Ь 0.5

0

-2

(с)

с 'ж

0.6

у/Ь

(й)

0 ГУ к

1 0.05

—►

х/Ь

х/Ь

Рисунок 8 - Траектории, описываемые сердцевинами ОВ в сечении г = 30 см за экраном, край экрана перемещается от а = 4.4Ь к а = -0.5Ь для падающего пучка Куммера с топологическим зарядом т = -3. Поперечные координаты выражаются

в единицах Ь; большая серая стрелка показывает циркуляцию энергии в падающем пучке, маленькие стрелки показывают направления движения ОВ. (а) «Начальные» позиции трех вторичных ОУ, отмеченных В, С и D для а = 4ЛЬ, тонкая черная кривая обозначает контур постоянной интенсивности на уровне 10% от максимума; (Ь) - траектории ОВ В, С и D, когда степень перекрытия возрастает (значения а, при которых исчезает соответствующий ОВ отмечены возле концов кривых), ось пучка обозначена черным кругом. Пунктирная линия

на графике (Ь) иллюстрирует «скачок» ОВ

0

0

0

0

-1

0

-1

0

В случае дифракции пучка ОВ с топологическим зарядом |т| > 1 структура поля усложняется, по меньшей мере, двумя обстоятельствами: 1) осевой ОВ разлагается на набор из |т| вторичных ОВ (на Рисунке 8.а линиями разных цветов отмечены линии постоянной фазы с инкрементом 1 радиан), которые имеют отдельные траектории, и 2) их спиралевидные траектории намного сложнее (с

острыми выступами, самопересекающимися и другими особыми точками, которые не были определены в проведенном эксперименте). Траектории миграции ОВ показаны на Рисунках 7.Ь и 8.Ь^.

Важной особенностью траекторий ОВ является то, что движение ОВ вдоль своих траектории не является равномерным, это наиболее ярко проявляется на траектории ОВ точки В (Рисунок 8.Ь).

Предложена асимптотическая (а >> Ь) аналитическая модель дифракции, по которой можно определить критерий возникновения «скачка» ОВ:

м=

кга

тг

> 1 и ^ф^ 0, (4)

где г = ^х2 + у2 и ф = аге1ап (у/х) это полярные координаты в плоскости наблюдения.

Отметим, что в рассмотренном случае т < 0 и, следовательно, м < 0, тогда скачок происходит в нижней полуплоскости около ф = 3п/2, что наблюдаем на Рисунке 3.8.Ь. В свою очередь, условие (4) показывает, что скачок может иметь место при достаточно большом а и не очень высоком г; в частности, это объясняет, почему численный анализ выявляет «скачкообразные» аномалии при г = 30 см, и их невозможно обнаружить в том же дифрагированном пучке при г = 60 см и г = 82 см. В рассматриваемых условиях дифракции пучка Куммера, когда (Рисунок 8.Ь) г = 30 см, а = 2.35Ь и г ~ 0,72Ь, величина \М\ = 1.01, что согласуется с «критерием скачка».

Также проведено численное моделирование эволюции сингулярного скелета, которая связанна с ее трехмерной природой: для фиксированного положения края экрана координаты ОВ изменяются от расстояния г плоскости наблюдения. В соответствии с общефизическими аргументами, выше рассмотренной, аналитической теории механизмы, определяющие траектории ОВ, отвечающие за эволюцию в зависимости от г, а также разрывы траекторий и топологические реакции, остаются применимыми.

Четвертая глава посвящена дифракции пучков Лагерра-Гаусса на ДФК. Синтез оптического поля с оптическими вихрями может быть осуществлен по

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Черных Алексей Викторович, 2021 год

ИСТОЧНИКОМ СВЕТА

2.1 Интерферометр сдвига

Интерференция оптического излучения широко применяется [75] в измерениях длин волн, углов, линейных габаритов деталей, смещений тел, в изучении тонкой структуры спектральной линии; при определении показателя преломления, плотности и дисперсионных свойств веществ; для контроля формы; микрорельефа и деформаций поверхностей оптических деталей; чистоты металлических поверхностей и др.

Важность интерферометрии бокового сдвига [76] подтверждается широким и повсеместным её применением при диагностики оптических элементов и систем, при исследовании потоков и диффузных явлений в жидких и газообразных средах, при измерении смещений в электронных спекл-полях [77]. Главные преимущества одноплечевого интерферометра сдвига - это устойчивость к микровибрациям и высокое пространственное разрешение интерференционных картин (ИК), которые достигаются за счет минимизации числа элементов в оптической системе.

Ключевой принцип интерферометрии сдвига основан на малом смещении фронта волны с деформацией и образовании ИК с несмещенным волновым фронтом. Если фронт пучка сходен с плоским, то боковое смещение осуществляется сдвигом пучка вдоль поперечной плоскости; а при сферическом волновом фронте - поворотом пучка относительно оси, которая перпендикулярна волновому фронту и исходит от центра кривизны.

В основе устройства интерферометров сдвига стоят светоделительные элементы, которые разделяют падающий пучок по интенсивности, и в то же время сохраняют его форму фазового распределения. Для такой цели лучший результат достигается с использованием плоскопараллельных пластин, покрытых полупрозрачным отражающим слоем. Хотя допустимо применение простых

стеклянных лабораторных плоскопараллельных пластин, когда достаточна лишь небольшая часть общего потока оптического излучения в получении хорошо видимой ИК, что делает, показанный ниже в этой главе, интерференционный метод легкодоступным и удовлетворительным для анализа ОВ.

Введем двумерную функцию Ж(х,у), которая описывает неровности волнового фронта в декартовых координатах. При сдвиге референтного пучка на величину £ (боковой сдвиг) в сагиттальном направлении отклонение волнового фронта в отдельной точке описывается функцией ж (х - £, у), тогда результирующая разность хода А Ж между фронтами вычисляется как разность [Ж (х, у) - Ж (х - £, у)]. При малом боковом сдвиге £ разность хода фронтов можно описать через частную производную:

где п - порядок интерференционной полосы.

Достоверность метода описания разности хода уравнением (2.1) повышается при £ ^ 0, хотя параллельно с этим происходит снижение чувствительности системы. Отчего возникает необходимость в определении оптимального значения £ для каждого частного случая отдельно.

Если в качестве исходного пучка будет использоваться пучок с неравномерно распределенной амплитудой А(х,у), постоянной фазой кЖ(х,у) и с малым смещением £, то в результате интерференции получим схожий результат, что и для плоской волны с единичной амплитудой ехр(/• к-дж(х,у)). Т.е. форма интерференционных линий останется прежней, и они и будут освещены по закону близкому к А( х, у)2.

Рассмотрим теперь некоторые частные случаи присутствия аберраций в интерферометре бокового сдвига. В сравнении источниками света будет выступать пучок гаусса £в0° и сингулярный 1в0. Расстояние смещения будем

(2.1)

считать достаточно малым, чтобы воспользоваться формулой (2.1) и достаточным, чтобы проявились разрывы интерференционных полос в случае использования сингулярного пучка.

В перетяжке пучка Гаусса разность хода АЖо будет такой же, как и для плоской волны А Ж; общая разность хода равна:

АЖ0 = АЖС = АЖ =

дЖ дх

■ Б = пХ,

(2.2)

а для сингулярного:

АЖ0 = АЖБ + АЖ = АЖБ +

дЖ дх .

■ £ = пХ.

(2.3)

Разность хода ДЖб следует определять, как разность:

1 , , . 1

АЖ8 = Ж8 (х, у) - Ж8 (х - Б, у), (2.4)

где ЖБ (х, у) = —■ а^1е( х, у) = — ■ п^в(-х) + агСаП — I - форма геликоидального

к к ^ у х J^

волнового фронта, в - функция Хевисайда.

Пример разности хода двух одинаковых геликоидальных волновых фронтов, смещенных на расстояние Б, показан на Рисунке 2.1, где минимальное значение -А/2 соответствует черному цвету, а максимальное +А/2 - белому, окружающий серый фон приблизительно равен нулю. При переходе от белого к черному цвета (по центру Рисунка 2.1) не происходит «скачка» из-за того, что отличие между ними целая длинна волны, т.е. это эквивалент нулевой разности; «скачок» в половину длинны волны происходит только при пересечении точек дислокации У1 и У2.

VI У2

\

Рисунок 2.1 - Разность хода ДЖ£ геликоидальных волновых фронтов

Для отчетливого наблюдения дислокаций в виде разрыва полос на интерференционной картине необходимо, чтобы расстояние смещения было больше ширины полосы. Следовательно, отклонение, создаваемое аберрацией, ДЖ должно изменяться быстрее, чем происходит отклонение в «фоновой»

ДТ7, г „ дДЖ£ дДЖ разности ДЖ?, образованной присутствием ОВ: -<<-.

дх дх

Рассмотрим характерные интерферограммы в интерферометре бокового сдвига для гауссова и сингулярного пучков при наличии аберрации.

Дефокусировка. Разность хода волновых фронтов при наличии

дефокусировки представить в виде функции Ж (х, у) = В( х2 + у2). Которую подставив в (2.1) можно выразить через уравнение (2.5), что описывает интерференционную картину в виде системы равноудаленных прямолинейных полос, перпендикулярных к направлению сдвига.

ДЖ = 2Бх£ = пЯ

(2.5)

Расчетные модели интерферограмм при наличии дефокусировки исследуемых пучков представлены на Рисунке 2.2.

Как видно из Рисунка 2.2.в области присутствия ОВ происходит расщепление интерференционных полос по которым можно определить координаты дислокаций и величину бокового сдвига. В целом ИК содержит в себе

систему равноудаленных полос для предфокальной и зафокальной областей. Благодаря использованию сингулярного пучка по изменению направления расщепления полос легко определить направление кривизны волнового фронта, что невозможно сделать по интерферограммам для гауссова пучка Рисунок 2.2. а,с. Присутствие оптических дислокаций дает информацию о наблюдаемом положении: в предфокальной области (выпуклый волновой фронт) левая «вилка» направленна вниз, а правая - вверх, в зафокальной области - наоборот. Если знак заряда сингулярного пучка изменить на противоположный, то картины в Рисунках 2.2.ё и 2.2.Г поменяются местами.

й е /

Рисунок 2.2 - ИК бокового сдвига для анаберрационного волнового фронта

гауссова (а, Ь, с) и сингулярного (ё, е, : пучков при прохождении через фокальную область: а, й- предфокальная, Ь, е - в фокусе, с,/- зафокальная

На Рисунке 2.3 показаны экспериментальные ИК, образованные расходящимися пучками Куммера с топологическим зарядом -1 и Гаусса. Приведенная на Рисунке 2.3.а ИК получена в результате прохождения пучка Гаусса через дифракционную решетку с дефектом в виде «вилки» и периодом ^=37.2 мкм, а интерферограмма на Рисунке 2.3.Ь - при использовании той же решетки без наличия точки бифуркации полос. Эти ИК свидетельствуют о сохранении ширины полосы (одинаковые радиусы кривизны) и большей расходимости сингулярного пучка.

Рисунок 2.3 - Изображения ИК, снятых в первом дифракционном максимуме при падении пучка Гаусса на решетку с «вилкой» (а) и одномерную дифракционную

решетку (Ь) с аналогичным периодом

Подводя итог, можно сделать следующее утверждение: введение фазовой сингулярности в гладкий волновой фронт путем замены гауссова пучка сингулярным источником света позволяет сохранить общую интерференционную картину и визуализировать важную информацию, скрытую при использовании гладкого фронта. Общие правила образования полос для гауссова пучка (или плоской волны) аналогичны и для сингулярного пучка. Новшеством является расщепления полос на ИК, которые вносят дополнительную информацию о поле, позволяют определить положение дислокаций пучков, величину бокового сдвига. Еще одним преимуществом использования сингулярного источника света является возможность указать направление наклона фронта в месте сложения с ОВ по направлению интерференционной «вилки». Если применять сингулярный

пучок противоположного заряда Ю01, то на интерферограммах изменится только направления расщеплений.

2.2 Оптимальные параметры интерферометра бокового сдвига с сингулярным источником света

В этом разделе рассмотрено определение удовлетворительных характеристик интерферометра сдвига с сингулярным источником света для однозначного выявления на ИК областей расщепления полос равной толщины и последующее применение полученных данных в нахождении величины бокового сдвига и параметров светоделительной плоскопараллельной пластины.

В схеме интерферометра использовался пучок Куммера, его выражение комплексной амплитуды в декартовых координатах (х, у, 2) имеет вид:

U (х, y, z, z 0) =

w( z 0)

■ (-01

«1+1

k 2^х2 + y2

4П

8z2 • q3/2

-• exp

k л 8z2 • q

• exp

f r i

V v

kz + m • angle(х, y) +

k (х2 + y2 f

2 z

\m\-1

2

k2^х2 +y2 8 z2 • q

-I

m|+1

2

k V х2 + y2 ^ 8z2 • q

(2.6)

где q =

1 ik

f

w( z o)2 2

11

■ + ■

Vzo R(zo)у

вспомогательный параметр, wo - поперечный

параметр пучка Гаусса в его перетяжке, zo - дистанция от перетяжки до сингулярной дифракционной решетки, z - дистанция от решетки до плоскости наблюдения, k=2nH - волновое число, zR = nw\ / Я - длина Релея, w(z0) = и-^1 + z2 / zR - поперечный параметр пучка Гаусса на расстоянии zo,

R(z0) = z0(1 + z2R / z0) - радиус кривизны волнового фронта пучка Гаусса на

расстоянии zo, I - модифицированная функция Бесселя первого рода, angle -функция определяющая угол между осью Х и вектором (х,у), m - топологический заряд ОВ, в данном разделе m=±1.

Величина бокового сдвига пучков £ равна дистанции между оптическими вихрями или центральными осями пучков, а также она может быть определено из законов преломления и отражения геометрической оптики как:

£ = а 51п2а (2.7)

л/п2 - б1п2 а

Найдя величину бокового сдвига по интерферограмме, из уравнения (2.7) можно определить параметры плоскопараллельной пластинки: угол наклона а в схеме, толщину d или показатель преломления п.

Схематическое изображение разработанного интерферометра сдвига с сингулярным источником света показано на Рисунке 2.4.а. В схеме использовался лазерный пучок Гаусса мощностью 1.5 мВт и длиной волны Х=0.6328 мкм, который проходя через бинарную дифракционную решетку с «вилкой» периодичностью d=37.2 мкм, преобразовывался в пучок Куммера. Эта бинарная решетка включает в себе топологический дефект в виде расщепления полос (Рисунок 2.4.Ь), что является причиной синтеза оптических вихрей в отличных от нуля дифракционных порядках [18]. Величина топологического заряда образующегося ОВ определяется дифракционным порядком, а знак -направлением, в котором производится наблюдение. Однозарядные пучки (т=±1) отражаются под углом а от плоскопараллельной пластинки толщиной 1.5 мм и с показателем преломления 1.5. Отражаясь от передней и задней поверхностей пластинки пучки интерферируют в области матрицы ПЗС камеры, что регистрирует распределение интенсивности ИК и передает его на компьютер для последующей записи.

т= +1

a

b

Рисунок 2.4 - (а) Схема интерферометра сдвига с сингулярным источником света: 1 - Не-№ лазер, 3 - светоделительный элемент в виде плоскопараллельной пластинки, 4 - ПЗС камера без объектива, 5 - компьютер; (Ь), (а) 2 - бинарная

дифракционная решетка с «вилкой»

Падающие на светоделительный элемент пучки Куммера от различных дифракционных порядков -1, 0, +1, отражаются от плоскопараллельной пластинки под углами с разницей в два дифракционных угла решетки; в целях систематизации угол а для всех интерферограмм записан как для нулевого максимума. При малом наклоне светоделительного элемента сдвиг между интерферирующими пучками Куммера незначительный и сингулярность в волновом фронте образует на интерферограмме v-образные структуры (Рисунок 2.5.а-Ь). Четкое расщепление интерференционных полос отсутствует, а значит, нет достоверного подтверждения присутствия оптического вихря в пучке. В +1 дифракционном максимуме угол отражения пучков равен а+i = а + 1°, а в -1 максимуме - а-1 = а - 1°, что согласуется с периодичностью полос в решетке. При разнице в 2° интерферограммы в -1 максимуме (Рисунок 2.5.а) и в +1 максимуме (Рисунок 2.5.Ь) не демонстрируют принципиальных отличий, поэтому при анализе особенностей этого интерферометра можно ограничится рассмотрением ИК только для одного дифракционного максимума.

Рисунок 2.5 - Интерферограммы зафиксированные на расстоянии 30 см от светоделителя в -1 (а) и +1 (Ь) дифракционных порядках для угла а=9°, и в -1 дифракционном порядке для углов а=35° (с), а=37° (ё). Величина бокового сдвига

£ отмечена двухсторонней стрелкой

На интерферограмме в -1 дифракционном порядке (Рисунок 2.5.с) распознаются две хорошо контрастирующие вилочные структуры с различными направлениями расщепления: вниз и вверх. Боковой сдвиг интерферирующих пучков £ равен расстоянию между фазовыми дислокациями. При отражении сингулярный пучок, в силу геометрических свойств, меняет знак топологического заряда дислокации [47], поэтому, имевшие заряд т = -1, оба отраженных пучка интерферируют как ОВ с зарядом т = +1. Направление «вилок» на ИК определяется не только знаком заряда ОВ, но и углом наклона гладкой части фронта соседнего пучка. А так как интерферирующие пучки в месте дислокации имеют разный наклон кривизны волнового фронта, то и расщепление полос происходит в разных направлениях. Т.е. если референтная волна падает слева, то расщепление вниз и наоборот [18].

«Цвет» вилки всецело зависит от разности фаз между интерферирующими пучками. На Рисунке 2.5. с можно видеть справа белую вилку, а слева - черную. После поступательного поворота светоделительного элемента на 2° происходит плавная смена цветов на противоположные (Рисунок 2.5.д). А это значит, что разность хода пучков изменилась в полдлинны волны. Однако для более корректного и точного определения разности фаз требуется более тщательный анализ интерферограммы, который показан в следующем разделе.

В собранном интерферометре сдвига также исследована эволюция полос равной толщины при приближении камеры к плоскопараллельной пластинке для угла падения пучков а = 60°. На расстоянии г = 135 см ИК (Рисунок 2.6.а) содержит две сцепленные вилки, которые, при дальнейшем приближении камеры на расстояние г = 85 см, вилки расходятся (Рисунок 2.6.Ь) и лучше выражают обособленность двух ОВ. На дистанции г = 20 см уже четко детектируются два отдельных расщепления интерференционных полос (Рисунок 2.6.с). Т.к. отражающие плоскости светоделительного элемента параллельны, то расстояние между ОВ по ходу распространения пучков остается неизменным. При свободной дифракции поля только лишь ширина интерференционных полос претерпевает уширение из-за увеличения радиуса кривизны волнового фронта.

Рисунок 2.6 - ИК зарегистрированные на разных расстояниях от пластинки 2=135 см (а), 2=85 см (Ь), 2=20 см (с) для одного угла наклона а=60°

Осуществить анализ регистрируемых интерферограмм можно через функцию описывающую форму волнового фронта Ж(х, у). Для упрощения задачи представим пучок Куммера через основную его составляющую моду Лагерра-Гаусса, тогда волновой фронт пучка единичного отрицательного заряда описывается так:

*(х' у)=(х¥1 -1 •^ (х ] (28)

где Я - радиус кривизны фронта в месте наблюдения ИК.

Продифференцировав (2.8), запишем уравнение характеризующее распределение полос на ИК:

А* (х, у) =

( \ х у

уЯ кх2 (1 + у Vх2)у

• £ = пЯ (2.9)

Первое слагаемое в уравнении (2.9) отвечает за наличие вертикальных полос и их ширину, а второе - за присутствие расщепления полос и его направление.

Ширина интерференционной полосы Ах определяется по интерферограмме, а радиус кривизны волнового фронта (считая, что присутствующий фазовый геликоид не вносит значительных изменений) вычисляется так:

Я = Ах^ (2.10)

Оптимальные параметры вихревого интерферометра сдвига - такие, которые позволяют выявлять ОВ на ИК по расщеплению полос. Чтобы гарантировать приемлемую дистанцию для раздельного наблюдения расщеплений интерференционных полос, их ширина Ах должна быть меньше, чем боковой

сдвиг Б. При этом величина бокового сдвига ограничивается радиусом пучка, тем самым обеспечивая пребывание сердцевины ОВ одного пучка в области другого:

Ах < Б < г (2.11)

Условие (2.11) в соответствии с приближением (2.10) может быть преобразовано в новое выражение, которое будет более удобным для оценки по параметрам интерферирующих пучков:

Б2 / Я >Л. (2.12)

Главными особенностями предложенного интерферометра являются минимальное количество элементов в схеме и внесение пространственных меток, упрощающих нахождение наклона, толщины и показателя преломления плоскопараллельной пластины. Выбор оптимальных параметров интерферометра основывается только на двух величинах: радиус кривизны пучка Куммера (что определяет ширину интерференционных полос) и расстояние между дислокациями. По итогу изучения работы интерферометра сдвига с сингулярным пучком можно прийти к выводу, что наличие ОВ в пучке расширяет возможности интерференционных методов.

2.3 Определение разности фаз пучков в интерферометре бокового сдвига с сингулярным источником света

В этом разделе показана возможность определения разности фаз в выше рассмотренном вихревом интерферометре сдвига, но в качестве светоделителя выступала другая лабораторная плоскопараллельная стеклянная пластина толщиной около 3 мм. С помощью ИК найдены позиции ОВ (области расщепления полос) и сдвиг, определяемый углом поворота светоделительного элемента. Проведено сравнение экспериментальных интерферограмм с теоретическими по расположению максимумов и минимумов интенсивности, которые предоставляют информацию о разности хода интерферирующих пучков.

Интерферограммы рассчитывались как сумма волновых уравнений сингулярных пучков, один из которых смещен по фазе:

№(х,у, 2) = и (х — х,у —у0,2) + и (х-Х2,У—у 0,2)' ехр(-8), (2.13)

где и - волновое уравнение пучка Куммера в декартовых координатах (2.6) с топологическим зарядом т=+1, х, у - дистанция произвольной точки до центра ОВ, г - промежуток между решеткой и плоскостью наблюдения, (х1, уо) и (х2, уо) -точки координат осей сингулярных в плоскости (х, у, 2), 8 - разница фаз между пучками.

Регистрация интерферограмм, образованных сингулярными пучками, и по которым определялась разность фаз, проводилась посредством интерферометра сдвига с сингулярным источником света [А1], его схема показана в предыдущем разделе (Рисунок 2.4.а.)

Параметры установки: дистанция от Не-№ лазера до дифракционной решетки с «вилкой» равно 1 см, от решетки до светоделительного элемента - 42 см, от светоделителя до ПЗС камеры - 38 см. Расстояния между элементами интерферометрической установки и угол поворота пластины а были выбраны так, чтобы предусмотреть дифракционное расширение и полностью захватить ИК, а также четко регистрировать вилочные структуры. Разрешение ПЗС камеры равно 640х480 пикселей (4.8х3.6мм), с аналогичным шагом разбивки вычислены расчетные матрицы поперечного распределения. Используемый оптический резонатор генерировал моду Гаусса длинной волны к=633 нм с длинной Релея 2я=27 см. Появление интерференционных полос обусловлено кривизной волнового фронта применяемого расходящегося оптического пучка.

Для определения нормировочного коэффициента интенсивности теоретического пучка Куммера (Рисунок 2.7.Ь) требуется производить регистрацию отдельно одного экспериментального пучка (Рисунок 2.7. а). Но из-за того, что отраженные пучки разделены только внутри пластины, эта задача не решается простым перекрытием одного из них. Поэтому светоделитель в схеме интерферометра сдвига (Рисунок 2.4.а) замещался стеклянной призмой, что

разводила лучи, отраженные от передней и задней граней. Такой подход регистрации чрезвычайно удобен и не нарушает целостность конструкции интерферометра. Следует отметить, что оптический фильтр перед ПЗС матрицей камеры подбирается с учетом отсутствия «засвета» не на распределении интенсивности одного пучка, а на их интерференционной картине.

Рисунок 2.7 - Профиль распределения интенсивностей пучков Куммера экспериментального (а) и расчетного (Ь)

На Рисунке 2.8 изображено экспериментальное и теоретическое распределения интенсивностей в поперечном сечении, проведенном горизонтально через точку дислокации. Из экспериментального снимка вычтена темновая интенсивность, а теоретическое распределение нормировано.

100

200

300

400

500

600

100 -

Experimental _100 Theoretical

0-

-80

-60

-40

-20

-о

100

200

300

400

500

600

pixels

Рисунок 2.8 - Распределения интенсивностей в поперечном сечении пучка

Куммера

Асимметрия пучка Куммера (Рисунок 2.8) обусловлена нецентральным прохождением пучка Гаусса через дифракционную решетку. Сопутствующими искажениями мы будем пренебрегать, считая, что они не влияют на фазу, а меняют амплитудное распределение, которое отвечает за общую освещенность интерферограммы.

е ^

Рисунок 2.9 - Экспериментальные интерферограммы (а, с, е) и соответствующие им теоретические (Ь, ё, :

На Рисунке 2.9.а показан снимок ИК, на которой отмечены белая горизонтальная линия, проходящая через центры ОВ, и окружности с центрами, совпадающими с точками фазовых дислокаций. Центры ОВ располагаются в

области расщепления интерференционных полос, точность их дислоцирования ограничивается несколькими пикселями применяемой ПЗС матрицы. Для этой ИК вычисленная разность фаз равна 0.2п, соответствующая расчетная интерферограмма представлена на Рисунке 2.9.Ь. Далее светоделительную пластинку поступательно поворачивали и для зафиксированных интерферограмм вычисляли убывающую последовательность разность фаз: 1.7п - Рисунок 2.9.е,ё и 1.3п - Рисунок 2.9.е,£ По ИК рассчитаны Дх=0.39 мм; £=1.275 мм; ^=78.6 см.

Благодаря нелинейной структуре интерферограмм расположение максимумов и минимумов зависит от разности фаз присутствующих пучков. На Рисунке 2.10 показан срез ИК (белая линия на Рисунке 2.9.а), где экспериментальное распределение указано черной линией, а подобранное теоретическое - серой. На графике (Рисунок 2.10) интенсивность выражена в относительных единицах, а координаты - в пикселях. Использовалась камера с матрицей 1/3" - эквивалент ширины 4.8 мм; если всего 640 пикселей, то размер оного равен 7.5 мкм.

(Л

с

о

160 140120 -100 8060 -4020 -0 --20

-100

Experimental Theoretical

100

200

400

500

600

700

300

pixels

Рисунок 2.10 - Сравнительный график интенсивностей центрального среза экспериментальной (черный) и теоретической (серый) ИК

Расхождения в данных (Рисунок 2.10) обусловлены асимметрией исходного пучка Куммера: его правая часть имеет большую интенсивность, чем левая, так и на интерферограмме проецируется подобная ситуация - правая часть лучше освещена. Поэтому находить фазовый сдвиг целесообразней через координаты экстремумов, которые отображают фазовую структуру. Величина фазового сдвига 8 определялась путем подбора наилучшей сходимости расчетных и экспериментальных координат.

В собранной интерференционной схеме погрешность величины 8 составила ±0.1п, в этом пределе интерферограммы остаются практически неразличимы. На точность измерений в значительной мере влияет искаженность и присутствие шумов образующего пучка Куммера.

Интерференционные картины (Рисунок 2.9. с, е.) получены при поступательном повороте светоделителя, при этом разность фаз в пределах погрешности равномерно убывала: сначала на 0.5п (от 0.2п до 1.7п - проход через 2п), а затем на 0.4п (от 1.7п до 1.3п).

Описанный метод нахождения фазового сдвига обладает высокой точностью благодаря тому, что есть возможность определять позиции интерферирующих пучков по расположению точек фазовых дислокаций и далее сопоставлять правильную расчетную модель интерференции. Достоверность измерений ограничена техническими характеристиками применяемых элементов. Но даже в рассмотренном случае, с наличием шумов и искажений, интерферометр обладает субволновой точностью, что делает его актуальным в современных задачах.

2.4 Синтез оптических вихрей в интерферометре бокового сдвига с клиновидным светоделительным элементом

Образование продольных фазовых дислокаций возможно в поле интерференции пучков с исходным гладким волновым фронтом. Причиной этому может служить присутствие аберраций в световом поле. С другой стороны, синтез

ОВ возможен посредством использования в качестве делительного элемента клина [А2], который приводит к наклону одного из пучков и выполнению условий образования фазовой сингулярности.

Для изучения аберраций волнового фронта, создаваемые нерегулярной тонкой стеклянной пластиной использовалось три схемы интерферометров бокового сдвига: с обычным, сильно расходящимся гауссовым пучком и двойной интерференцией. В качестве интерферирующих волн выбраны пучки Гаусса. Пучок Гаусса в параксиальном приближении описывается уравнением (1.3), что показано в первой главе; в декартовых координатах мода Лагерра-Гаусса ЬОо° выражается так:

ие( х у г) = Е(

'о о

м>( г)

•ехр

г 2 2 л х2 + у2А

г Г

w(г)2

ехр

V V

к (х2 + у2)

кг +—--- - arctan

2Я(г)

ЛЛ

V гя У

(2.14)

У У

В дальнейшем в работе гауссов пучок ЬОо° будем называть обычным гауссовым пучком, чтобы отличать его от расходящегося пучка Гаусса, прошедшего через линзу.

Проведем анализ интерферограмм для эталонной плоскопараллельной и нерегулярной пластинок с помощью первого интерферометра сдвига, использующего расходящийся пучок, структурная схема которого представлена на Рисунке 2.11 (вид сверху). Световой пучок с длиной волны А=0.6328 мкм и мощностью 1.5 мВт (созданный Не-№ лазером 1) падает на линзу 2, затем уже расходящийся пучок отражается от передней и задней граней исследуемой пластины 3 и создает интерференционную картину на экране 4. Интерференционное распределение регистрировалась сфокусированной на экран ПЗС камерой 5.

Рисунок 2.11 - Структурная схема интерферометра сдвига с использованием

расходящегося пучка

Структурная схема второго интерферометра сдвига отличается от предыдущего тем, что убирается линза 2 на Рисунке 2.11. Таким образом на пластину 3 падает обычный гауссов пучок. Для регистрации ИК используется ПЗС камера со снятым объективом, расположенная вместо экрана 4.

В схемах с расходящимся гауссовым пучком и обычным гауссовым пучком исследуемыми объектами являлись плоскопараллельная пластина и пластина с дефектами.

При использовании эталонной плоскопараллельной пластины получаем ИК с ровными полосами равной толщины в схемах интерферометра с сильно расходящимся пучком (Рисунок 2.12.а) и гауссовым пучком (Рисунок 2.1 2.Ь). Наклон полос на Рисунке 2.12.а вызван отсутствием точной центрированной оптической системы и установкой камеры под углом.

Рисунок 2.12 - ИК эталонной пластины для сильно расходящегося пучка (а) и

обычного пучка Гаусса (Ь)

В качестве нерегулярной пластинки использовалась фотопластинка очищенная от эмульсии. Для схемы интерферометра с сильно расходящимся пучком с исследуемой нерегулярной пластиной полосы искривляются (Рисунок 2.13). Наличие наклонных полос свидетельствует о наличии наклона, перпендикулярному направлению сдвига. Полученная периодичность искривлений на интерферограмме позволяет заявлять, что неровности на пластине образованны в процессе ее производства.

Рисунок 2.13. Интерферограмма бокового сдвига расходящегося пучка для

нерегулярной пластины

Поставив нерегулярную пластину в схему интерферометра без линзы, получаем ИК с периодичной зависимостью от угла поворота Рисунок 2.14. Область падения и отражения луча на данной пластине соответствует примерно дислокации отмеченной белой окружностью на Рисунке 2.13. Параметры схемы: расстояние от лазера до нерегулярной пластины 54 см, начальный угол наклона а=52.8°.

Рисунок 2.14 - ИК для интерферометра с гауссовым пучком, шаг поворота

пластины равен 0.02°

Интерференционный анализ полученной структуры поля на Рисунке 2.14 проводился с помощью схемы представленной на Рисунке 2.15. Расстояние от лазера 1 до нерегулярной пластины 2 составляло 54 см, от нерегулярной до эталонной пластины 3 образовывало 24 см, от эталонной пластины до камеры 4 равно 18 см, угол наклона нерегулярной пластины а=45°, эталонной пластины у=24°.

1

2

3

Рисунок 2.15 - Схема интерферометра с двумя пластинами

Интерферограмма для поля, полученного в интерференционной схеме с обычным гауссовым пучком Рисунок 2.14.а, изображена на Рисунке 2.16. Полученная интерференционная картина представляет собой несколько полос с двумя разрывами белой (слева) и черной (справа) полос.

Рисунок 2.16 - ИК для схемы с двумя пластинами, позволяющая подтвердить

структуру фазовых дислокаций

Теоретическое представление. На Рисунке 2.17 продемонстрированы расчетные распределения интенсивности и фазы с теми же геометрическими параметрами, что для схемы интерферометра с нерегулярной пластинкой. Наклон между передней и задней гранями этой пластины был подобран так, чтобы происходило образование винтовых дислокаций.

ч

Рисунок 2.17 - Теоретические распределения интенсивности и фазы для схемы интерферометра сдвига с нерегулярной пластиной

Разность фаз между интерферирующими пучками Гаусса составляла п, 3п/2, 2п, п/2 соответственно для случаев а, Ь, с, d на Рисунке 2.18. Наблюдается подобная периодичность смещения вихрей как в эксперименте, в котором малый поворот пластины вызывает изменение разности фаз между интерферирующими пучками. Отличие расчетных и экспериментальных интенсивностей поля обусловлено более сложной структурой применяемой светоделительной пластины.

Выводы. В этой работе использованы схемы интерферометров с сильно расходящимся гауссовым пучком и обычным, в каждой из которых исследовались эталонная пластина и пластина с аберрациями, а также двойная интерференционная схема на основе пучка Гаусса и пучка с ОВ. Показана возможность получения ОВ на нерегулярной пластине. Проведен расчет подобного оптического поля, наблюдаемого в интерферометре бокового сдвига имеющего две простейшие аберрации: дефокусировку и наклон, перпендикулярный сдвигу. По углу наклона сердцевины ОВ (Рисунок 2.14) определен фазовый градиент нерегулярной пластины, нормированный к радиусу отражающегося пучка Гаусса составил К=6.43 (см. формулу (4.1)).

2.5 Краткие выводы по Главе 2

Во второй Главе предметом исследования выступал интерферометр сдвига, содержащий осевой ОВ. Введение фазовой сингулярности значительно не изменяет общую интерференционную картину и при этом вносит дополнительную информацию. Т. е. общие правила образования полос для гауссова пучка (или плоской волны) аналогичны и для сингулярного пучка, а получаемые расщепления полос вносят в ИК дополнительную информацию о поле: позволяют определить положение дислокаций пучков, направление наклона фронта в месте сложения с ОВ по направлению «вилки». Наличие ОВ в поле увеличивает информативность ИК, давая перспективу модернизации интерферометров сдвига.

Собран интерферометры бокового сдвига с сингулярным источником света и зарегистрирована динамика ИК при различных наклонах светоделительного элемента. Определены параметры интерферометра сдвига для получения интерференционных полос. Экспериментальные и теоретические интерферограммы хорошо согласуются, по ним определена разность фаз между интерферирующими пучками.

Также исследован синтез ОВ в интерферометре бокового сдвига с аберрацией типа наклон, когда отражающие поверхности светоделительного элемента наклонены относительно друг друга в перпендикулярном направлении к сдвигу. Такой способ синтеза ОВ подобен синтезу с помощью ДФК, обсуждаемого в Главе 4, с тем отличием, что тут участие принимают два пучка Гаусса.

ГЛАВА 3. КРАЕВАЯ ДИФРАКЦИЯ ОПТИЧЕСКИХ ВИХРЕЙ 3.1. Теория дифракции

Впервые работу о явлении дифракции опубликовал Ф. М. Гримальди в 1665 году, его математическое описание представил Х. Гюйгенс в 1678 году. Принцип Гюйгенса поясняет природу распространение электромагнитных волн и не противоречит законам геометрической оптики, однако он полностью не раскрывает дифракционные явления. В 1815 году О. Френель расширил этот принцип - ввел понятие интерференции и когерентности элементарных волн. Новый подход предоставил возможность описывать феномен дифракции на основе принципа Гюйгенса-Френеля. Строгий математический вид принципу придал Г. Кирхгоф [78], выведя формулу расчета дифракции в интегральном виде [79].

Процесс дифракции волн следует понимать как возникновение отклонений от прямолинейного направления распространения волн, т.е. когда происходит нарушение правил геометрической оптики. Явление дифракции проявляется не только при взаимодействии волн с объектами, но также и при свободном распространении, например, когда происходит расширение пучка с ограниченным плоским волновым фронтом. Дифракцию представляют следствием интерференции волн от бесконечного множества виртуальных элементарных источников, распределенных по всей волновой поверхности пучка. В случае деструктивной интерференции (соблюдается условие равенства амплитуд и разности фазы на п) этих элементарных источников излучения формируются фазовые сингулярности. Процесс «рождения» сингулярных точек всегда происходит парно - образуется две фазовые дислокации с разными по знаку топологическими зарядами, такая структура сингулярных точек в оптическом поле называется диполем оптических вихрей. При распространении пучка сингулярные точки описывают в пространстве линии - траектории миграции ОВ,

которые в свою очередь являются внешними характеристиками сингулярного скелета.

Анализ поля дифракции с дислокациями волнового фронта в работах [4,8085] проводился путем расчета интеграла Кирхгофа-Френеля, который позволяет получать точные распределения поля без ограничений по области наблюдения. Численный расчет интеграла является трудоемкой задачей для вычислительных машин и, зачастую, для представления поля в пространстве ограничиваются расчетом нескольких областей. Однако, благодаря методике распараллеливания вычислений на графических процессорах, можно ускорить расчет в 50-250 раз. В работе с помощью такого метода была выстроена подробная картина эволюции поля и выявлены новые особенности поведения фазовых сингулярностей.

Рассмотрим дифракционной задачу (Рисунок 3.1), в которой О -гармонический источник, а £ - замкнутая поверхность, окружающая некоторую точку Р, точка М принадлежит участку поверхности dS с внешней нормалью п.

Рисунок 3.1 - Схема для вывода теоремы Кирхгофа-Гельмгольца

Векторное волновое уравнение для электрического поля световой волны

имеет вид [86] - АЕ -

1 д2 Е

с2 дг2

поля Еа (а = х, у, 2) можно записать так:

= 0. Скалярное волновое уравнение для компонент

АЕ--1 ^ = 0.

с2 дг2

(3.1)

В общем случае решение уравнения (3.1) для монохроматического излучения можно записать в виде:

E(r, t) = E0 (r) exp(i(kr - at)) или E(r, t) = E(r) exp(-,'(a t)),

где r - радиус-вектор, r = ^x2 + y2 + z2, a - частота излучения, k - волновой вектор, E(r) = E0(r)егЬ - функция пространственных координат, которая задает комплексную амплитуду излучения. Для плоской волны единичной амплитуды с направлением вдоль оси z можно представить как А(г) = е,ь.

В соответствии с теоремой Грина - если две функции E1 и E2, а также их производные первого и второго порядков, однозначны и непрерывны внутри вместе с границей некоторого объема пространства, то они объединены соотношением:

J(EAE -EiAE2)dr = \(E2^-Ei . (3.2)

J J у dn dn J

Стоящий слева интеграл в уравнении (3.2) берется по ограниченному поверхностью S объему области пространства, а интеграл справа - по этой же поверхности; n - это нормаль от поверхности S.

Если E1 и E2 - два решения волнового уравнения, то

E2AE1 - E1AE2 = -E2k E1 + E1k E2 = 0.

тогда левая сторона уравнения (3.2) становится равной нулю.

Теперь Е1 приравняем какому-то неопределенному решению волнового

е-кг

уравнения (3.1) Е, а Е2 равное описывающей сферическую волну функции -

г

Подставляя выражения для функций E1 и E2 в (3.2), получим

elkl dE ^ д f -lkr ^

J "£-E£ - Г = 0. (3.3)

J I r dn dn у r J |

Соотношение (3.3) является интегральной теоремой Гемгольца-Кирхгофа. В случае плоской волны Е = ае~Шг распределение в Р имеет вид

д

ае~'кг соб(п, г) — дг

-1кг

№

(3.4)

Чтобы с помощью интеграла (3.4) можно было определить Ер по заданным

дЕ

значениям Е и — в плоскости, Кирхгоф предложил два правила:

дп

дЕ

1. На открытых частях экрана Е и — равны тем же величинам, каким бы они

дп

соответствовали при отсутствии непрозрачных частей.

дЕ

2. А на непрозрачных частях Е = 0 и — = 0.

дп

Оптическое приближение целесообразно использовать при решении дифракционных задач, оно применимо, когда условие 1/ г << к остается справедливым для всей искомой области вычисления. В этом приближении можно провести аппроксимацию второго члена в (3.4):

д_ дп

Ге1кг ^

_ д (е1кг^

Акг

„гкг

V г у

= сов(п, г) — - = сов(п, г )1 1к — I-«1к сов(п, г)-.

дг V г у V г у г г

Тогда распределение в точке Р вычисляется так:

ЕР =-П 1к||ае-кг [еоБ(п,г) + соб(п,. (3.5)

Выражение (3.5) остается применимым лишь при условии, что расстояния

г >> X и п >> X.

Далее рассмотрим уже выведенные интегралы [79], которые применялись в численных расчётах поля дифрагированных пучков в этой работе. Интеграл Кирхгофа в приближении Релея-Зоммерфельда вычислялся по формуле:

Е ( х, у) = ^ Ц Е' ( х', у') еХрки' йу(3.6)

где Е - комплексная амплитуда искомого оптического поля, Е' - известного поля, г (в случае если плоскость источников Х^' и дифракционной картины XY параллельны и их оси Ъ совпадают) вычисляется по формуле

г = ^(х - х ')2 + (у - у')2 + 22 , г - расстояние между двумя плоскостями.

Выражение (3.6) в преобразованном виде может использоваться даже если плоскость дифракционной картины и источников не параллельны, например, когда необходимо рассчитать поле создаваемое дифракционной решеткой для определенного порядка. Такое вычисление требует лишь учесть геометрические параметры пути распространения пучка в расчетной программе.

В аналитических преобразованиях, представленных в 1 и 4 Главах, использовалось решение интеграла Кирхгофа-Френеля, который является следующим шагом аппроксимации (|х - х '| / г ^ 1 и |у - у '| / г ^ 1):

Е ( х У ) =

к ехр(/Ат)

(.

2П

Л Е' ( ху' )• ехр

¡к

((х - х')2 + (у - у')2) ^

йх' йу',

(3.7)

2

Интеграл (3.7) применяется для расчета комплексной амплитуды оптического поля в параксиальном приближении. Это приближение заключается в пренебрежении второй производной комплексной амплитуды поля по продольной координате 32 Е / &2 . В физическом смысле параксиальное

приближение базируется на условиях:

1. Изменения амплитуды вдоль оси распространения намного меньше

дЕ дЕ

изменений в поперечном направлении — << —.

дг дг

2. Поперечная компонента нормали волнового фронта намного меньше продольной составляющей п± << пи.

Интеграл (3.6) использовался для численного определения амплитуды поля Е на расстоянии г от известного распределения амплитуды Е'. Этим распределениям определялись двумерные матрицы размерами пх2, пу2 для Е и пх1, пу1 для Е', расстояния между элементами определялись как Дx', Ду', Ax, Ду соответственно. Расчет матрицы, содержащей результат дифракции, можно представить в виде:

Е() = ^пШ^£2Е• (x(у'(Ц))СХР(^l2}),

2п Л=1 !1 =1 г 11, J2, Ь)

где расстояние между элементами г (!1, J2, 12) = ^(x(J2) - x'(Jl))2 + (у (г2) - у '(/1))2 + 22 , а

функции определения поперечных координат через индексы матрицы находятся как x'(j1) = Ак'• (2J1 -пхх -1)/2, у'(11) = Ау'• (211 -пух -1)/2, x(j2) = Дx• (2J2 -nx2 -1)/2,

у(12) = Ау^(22-пу2-1)/2. Отметим, что множитель перед знаками суммы можно

опустить при вычислении, т.к. он представляет собой нормировочный коэффициент и вносимый им сдвиг фазы не играет роли в оптическом приближении.

Важным условием правильного расчета дифракционной картины является выбор пределов интегрирования. Выбор оптимальных пределов основывается на двух условиях: 1) дифракционная картина не должна зависеть от размеров плоскости источников, 2) плоскость источников должна быть минимальна, чтобы максимально сократить время вычисления. Например, при расчете дифракции пучка Гаусса на двойном фазовом клине область источников охватывала пучок в пределах, где модуль амплитуды был е9 раз меньше, чем максимум. Операции вычисления производятся с числами двойной точности - одинарная точность не обеспечивает достоверных результатов.

При численном моделировании оптические вихри, с азимутальным зарядом больше, чем единица, испытывают декомпозицию на несколько однозарядных ОВ. Выбор большей области и меньшего разбиения плоскости источников позволит сблизить ОВ, но предельного случая - единого многозарядного ОВ - мы не достигнем. В тоже время при аналитическом вычислении интеграла Кирхгофа-Френеля многозарядная структура остается устойчивой. Структура оптического поля сверхчувствительна к параметрам численного расчета и требует проведения предварительного анализа.

3.2 Экспериментальная реализация краевой дифракции пучков Куммера

Краевая дифракция циркулярных ОВ [87-96] проявляет много впечатляющих нетривиальных особенностей, связанных с их особыми физическими параметрами: спиральной формой волнового фронта и поперечной циркуляцией энергии. Даже в условиях небольшого дифракционного возмущения (когда дифракционное препятствие заслоняет только дальнюю периферию поперечного сечения пучка), общие и хорошо изученные дифракционные эффекты (полосы, поперечная диффузия энергии света и т. д. [86]) дополнены специфическими дифракционными преобразованиями ОВ. Помимо асимметричного проникновения световой энергии в область тени [89,93-95], свидетельствующего о поперечной циркуляции энергии в падающем пучке, большое внимание было уделено распределению и миграции сердцевин ОВ в дифрагированном пучке [87,88,91,92,94-96]. Амплитудные нули и фазовых особенности сердцевин ОВ могут быть физически выделены, точно обнаружены и локализованы [97-99], что применяется, например, в метрологии [1,38,41,42].

Далее рассмотрим преобразования касающиеся положения (положений) сердцевины ОВ после того, как пучок Куммера дифрагирует на прямолинейном крае непрозрачного экрана (Рисунок 3.2).

Система исследуемого процесса выглядит следующим образом. Падающий гауссов пучок, после прохождения через дифракционную решетку с «вилкой»,

получает т-зарядовый ОВ в ш-ом дифракционном порядке и преобразуется в пучок Куммера. Эта дифракция вызывает ассиметричное возмущение поля, которое приводит к разложению т-зарядового ОВ на |ш| однозарядных вторичных оптических вихря. Такой «распад» многозарядного ОВ нарушает азимутальную симметрию всего пучка и изменяет траекторию ОВ в процессе распространения. В данном разделе представлены результаты экспериментального исследования поведения сердцевин ОВ (фазовых сингулярностей) и их сравнение с теоретическими данными моделирования.

Экспериментальная установка. На Рисунке 3.3 представлена оптическая схема дифракции пучков Куммера на остром краю экрана (Obstacle). Пучки Куммера с m = +1, +2, +3 топологическими зарядами генерируются на первом, втором и третьем дифракционных порядках голографической дифракционной решетки с «вилкой». В данном экспериментальном исследовании были использованы пучки, отраженные от решетки. После выбранный оптический вихрь отражается от зеркала, которое направляет луч на перекрытие с острым краем. После отражения знак топологического заряда изменялся на противоположный: m = -1, -2, -3. Перекрытие представляет собой непрозрачный

Падающий пучок

Рисунок. 3.2 - Схема перекрытия сингулярного пучка

острый край, который смонтирован вертикально с возможностью точного позиционирования в горизонтальном направлении. Падающий пучок имеет отрицательный заряд, поперечная циркуляция энергия в плоскости экрана показана на Рисунке 3.2 закругленной стрелкой.

Все поперечные координаты приведены в единицах равных поперечному размеру образующего пучка Гаусса Ь=0.232 мм.

Laser Gr.

Рисунок 3.3 - Экспериментальная установка: Laser He-Ne, 633 нм , Gr. -дифракционная решетка с «вилкой», Mr. - зеркало, Obstacle - подвижный экран,

CCD - ПЗС-камера с оптическим фильтром

Профиль интенсивности дифрагированного пучка регистрировался ПЗС-камерой (без объектива) с матрицей размером 4.8*3.6 мм или 768 х 576 пикселей (размер пикселя 6,25 мкм). Чувствительная область камеры была расположена под прямым углом к оси пучка падающего ОВ на различных регулируемых расстояниях от препятствия. Каждый получаемый снимок является арифметическим усреднением 100-150 последовательных снимков (вполне достаточно 100). Такое усреднение позволяет снизить уровень шума при регистрации стационарного распределения интенсивности. Захват изображений с камеры и усреднение выполнялось программой написанной на языке С++ с использованием открытой библиотеки алгоритмов компьютерного зрения OpenCV.

Геометрические параметры схемы: длина Рэлея гауссова лазерного пучка составляет 27 см, расстояние между окном выхода лазера и дифракционной

решетки равняется 27 см, расстояние от решетки до препятствия составляет около 11 см, расстояние от препятствия до плоскости наблюдения изменяется от 1 см до 82 см.

Ниже представлены таблицы с некоторыми частными результатами экспериментальных распределений интенсивности дифрагированного пучка в зависимости от расстояния регистрации и степени перекрытия пучка.

Таблица 3.1. Распределение интенсивностей дифрагированного пучка с зарядом т=-1, где z - расстояние между камерой и перекрытием, a - расстояние перекрытия до центра пучка в поперечных размерах образующего пучка Гаусса.

Таблица 3.2. Распределение интенсивностей дифрагированного пучка с зарядом т=-2, где z - расстояние между камерой и перекрытием, а - расстояние перекрытия до центра пучка, указано в поперечных размерах образующего пучка

Гаусса.

Таблица 3.3. Распределение интенсивностей дифрагированного пучка с зарядом т=-3, где z - расстояние между камерой и перекрытием, a - расстояние перекрытия до центра пучка, указано в поперечных размерах образующего пучка

Гаусса.

Одна из основных целей диссертационного исследования состоит в определении позиции ОВ и динамики их смещения. Точная локализация сингулярностей не является тривиальной задачей. Обычные интерференционные методы обнаружения ОВ (путем нахождения вилочного разделения полос в интерференционной картине, образованной в результате интерференции с опорной волной без фазовых дислокаций) трудно применимы из-за низкого пространственного разрешения используемой оптической системы. Именно поэтому несколько специальных подходов были предложены и применены для обнаружения ОВ. Благодаря подобранным оптическим фильтрам удалось достичь получения достаточно яркими для анализа области низкой интенсивности в центре пучка, где происходит миграция сердцевин ОВ. Их позиция индицировалась по более темным пятнам в зоне исследуемой низкой интенсивности. Также для определения местоположения сердцевин ОВ использовалась информация о появлении интерференционных «вилок» (Рисунок 3.4) на месте темных точек. В этом случае опорной волной выступала часть переотраженного фонового излучения, которое не содержала фазовых дислокаций - об это свидетельствует неизменное количество оптических вихрей в исследуемой части пучка.

Рисунок 3.4 - Центральная часть поперечного распределения интенсивности 3-зарядового дифрагированного пучка Куммера для положения экрана а=0.65Ь на расстоянии 2=82 см. Белые кружки обозначают места сердцевин ОВ

На Рисунке 3.5 показаны теоретические и экспериментальные траектории смещения ОВ в зависимости от степени перекрытия пучка. Важно отметить, что расчетные траектории не полные - описание будет в следующем разделе.

гз = 30 ст л = 60 ст ¿2 = 82 ст

Рисунок 3.5 - Теоретические (толстые линии) и экспериментальные (тонкие линии) траектории ОВ в пределах сечения дифрагированных пучков Куммера с топологическими зарядами: (1-я строка) т= -1, (2-я строка) т= -2 и (3-я строка)

т= -3. Стрелки показывают движение ОВ, когда край экрана движется в отрицательном направлении X. В конечных точках траекторий ОВ исчезают; эти точки обозначены соответствующими позициями экрана а (также в единицах Ь)

Позиции сердцевин ОВ и их поведение с изменением степени экранирования пучка показывают миграцию фазовых сингулярностей в сечении для фиксированного расстояния. Во всех случаях наблюдается поперечная циркуляция энергии по часовой стрелке (если установить ПЗС-камеру против распространения пучка). Сердцевины ОВ описывают спиральные траектории с движением против часовой стрелки, как показано стрелками. По мере увеличения степени перекрытия сердцевины ОВ уходят на бесконечность - исчезают. Проведенный эксперимент имеет отличия от теоретических данных, т.к. в процессе формирования многозарядных пучков Куммера образуется безвихревая компонента, которая становится причиной декомпозиции многозарядного вихря на несколько однозарядных. Эти распавшиеся пучки не чувствительны к малому перекрытию, и мы не наблюдаем полной картины миграции ОВ. Исключением является краевая дифракция пучка Куммера с единичным топологическим зарядом - в этом случае наблюдается хорошее согласование теоретических и экспериментальных данных.

3.3 Теоретическое описание краевой дифракции пучков Куммера

В этой части мы детально рассмотрим дифракцию на краю вихревых пучков Куммера, сердцевина которых не испытывает декомпозицию до прохождения преграды. Все параметры расчетов соответствуют выбранным ранее параметрам для экспериментальной установки.

В ходе моделирования вычислялся дифракционный интеграл (3.7), который позволяет получать амплитудные и фазовые профили дифрагированного пучка в любом сечении за перекрытием.

Для однозарядного пучка (Рисунок 3.6.а) наличие края экрана (перекрытия) вызывает смещение сердцевины ОВ от его исходного положения на оси 7; с ростом области перекрытия сердцевина ОВ смещается по спиралевидной траектории в противоположном направлении к вращению профиля пучка, что

согласуется с собственной циркуляцией энергии, показанной серой стрелкой, и, в конечном счете, исчезает в области тени (х > а) [95]. Если край экрана смещать от оси Ъ„ спиралевидная траектория ОВ будет теоретически совершать бесконечное число вращений, пока не восстановит исходное осевое положение.

Рисунок 3.6 - Траектории, описываемые сердцевинами ОВ в сечении дифрагированного пучка г = 30 см за экраном, когда край экрана движется вдоль отрицательного направления Х, для пучков Куммера с топологическим зарядом (а) т = -1 и (Ь) т = -2. Горизонтальные и вертикальные координаты в единицах Ь (5); большая серая стрелка показывает циркуляцию энергии в пучке, маленькие стрелки показывают направление движения ОВ, когда край экрана приближается к оси пучка. На вставке на графике (Ь) показана увеличенная область

В случае дифракции пучка ОВ с топологическим зарядом т структура поля усложняется, по меньшей мере, двумя обстоятельствами: 1) осевой ОВ разлагается на набор из |т| вторичных ОВ (на Рисунке 3.7.а линиями разных цветов отмечены линии постоянной фазы с инкрементом 1 радиан), которые имеют отдельные траектории, и 2) их спиралевидные траектории намного сложнее (с острыми выступами, самопересекающимися и другими особыми точками, которые не были определены в проведенном эксперименте). Траектории миграции ОВ показаны на Рисунках 3.6.Ь и 3.7.Ь-ё; отметим, что каждому ОВ присваивается собственный цвет, и он сохраняется на последующих Рисунках.

Для трехзарядного пучка Куммера вся конфигурация настолько сложна, что эволюция вторичных ОВ показана на отдельных графиках (Ь), (с) и (ё). Картина особенно запутанная при небольшом экранировании пучка (а>>Ь), когда ОВ слегка возмущены и расположены вблизи номинальной оси пучка. Траектории ОВ так же совершают бесконечное число вращений при приближении к началу координат, что не может быть показано на Рисунке 3.7.Ь-ё.

у/Ь

0.4 0.2

-0.2

-0.4 -0.5

; \(3)

' 0 В \

\

V 4

у/Ь

х/Ь

(Ь)

-0.5

В 1

2.5 2 2

2.36 2.34

1 х/Ь

у/Ь 0.5

0

-2

/ (с)

( С Ж