Определение спектров мод структурированных вихревых пучков методом моментов интенсивности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Брецько Михаил Владимирович

• Брецько Михаил Владимирович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Брецько Михаил Владимирович

Введение

Глава 1. Измерение и сортировка мод структурированных вихревых ^

пучках (обзор)

1.1 Интерференционный подход

1.2 Дифракционный метод

1.3 Метод Шака-Гартмана

1.4 Компьютерно-синтезированные голограммы

1.5 Геометрическое разделение мод

1.6 Астигматичное преобразование

1.7 Метод моментов интенсивности

1.8 Выводы по главе

Глава 2. Метод моментов интенсивности и дробный топологический ^

заряд структурированного пучка

2.1 Модель массива мод с топологическим зарядом одного

знака

2.2 Контрольный эксперимент

2.3 Оптические вихри с дробным топологическим зарядом

2.4 Резонансные всплески орбитального углового момента и спектр мод пучка с дробным топологическим зарядом

2.5 Измерение спектра мод с единственной цилиндрической линзой

2.5.1 Теоретическая модель метода измерений

2.5.2 Эксперимент и калибровочные измерения

2.6 Выводы по главе

Глава 3. Лавинная неустойчивость структурированных пучков с

68

дробным топологическим зарядом

3.1 Модель структурированного пучка

3.2 Лавина оптически вихрей и инверсия лавины единичного вихревого состояния

3.3 Измерение спектров мод лавины вихрей

3.3.1 Метод моментов интенсивности со сферической линзой

3.4 Метод моментов интенсивности с цилиндрической линзой, инверсия лавины вихрей

3.5 Выводы по главе

Глава 4. Измерение спектра и сортировка мод по азимутальному и

радиальному числу при секторном и круговом возмущении „

85

структурированного пучка

4.1 Секторное возмущение вихревого пучка: энтропия Шеннона,

орбитальный угловой момент и топологический заряд

4.1.1 Компьютерное моделирование

4.1.2 Топологический заряд

4.1.3 Энтропия Шеннона

4.1.4 Экспериментальная реализация

4.1.5 Вывод по разделу

4.2 Сортировка пучков Лагерра-Гаусса по радиальному числу методом моментов интенсивности

4.2.1 Предварительные замечания и модель пучка

4.2.2 Принцип цифровой сортировки мод Лагерра-Гаусса по радиальному индексу

4.2.3 Сортировка невырожденных состояний

4.2.4 Сортировка вырожденных состояний

4.2.5 Выводы по разделу

4.3 Выводы по главе

Заключение

Список сокращений

Список литературы

Введение

Диссертация посвящена разработке и исследованию цифрового метода определения амплитуд и фаз в сложных структурированных лазерных вихревых пучках, а также экспериментальному применению его к различным типам возмущения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Определение спектров мод структурированных вихревых пучков методом моментов интенсивности»

Актуальность и степень разработанности темы

Среди трех ключевых проблем сингулярной оптики: формирование вихревых пучков [1], их распространение через мелкодисперсные среды, включая турбулентную атмосферу и океан [2], и многомодовые оптические волокна [3], а также измерение орбитального углового момента (ОУМ) мод [4] в сложной композиции оптических вихрей (ОВ), - последняя проблема измерения (амплитуд и начальных фаз) и сортировка вихревых мод занимает особое место в связи с необходимостью анализа тонкой структуры сложной композиции мод и их сортировки не только по топологическому заряду (ТЗ), но и по радиальному числу, а также по пространственной неоднородной собственной поляризации совместно с поляризационными индексами Пуанкаре-Хопфа [5].

В настоящее время различают пять основных методов анализа вихревого состава скалярных, структурированных сингулярных пучков: интерференционный метод [4], дифракционный метод [6], метод Шака-Гартмана [7], метод компьютерно-синтезированных голограмм и дифракционных оптических элементов [4,8] и метод геометрического разделения пучков [9,10]. Такая классификация методов была предложена Грегори Гбюром в монографии [8], и ее мы будем придерживаться в данной диссертационной работе.

Интерференционный метод явился одним из первых наглядных подходов выявления оптических вихрей в световом потоке структурированного пучка, который опирается на анализ интерференционной картины в двулучевом интерферометре. При сложении структурированного сингулярного пучка с гладким гауссовым пучком появляются расщепления интерференционных полос в форме «вилок», которые указывают на положение сердцевины оптического вихря

и направление ветвей «вилок» (вверх или вниз) указывает на знак ТЗ, а число «вилок» с учетом знаков (направлений ветвей) задает общий ТЗ пучка. Однако простой подсчет вилок в интерференционной картине не позволяет отнести их конкретному типу вихревого пучка и найти его амплитуду и начальную фазу.

Дифракционный метод позволяет сразу определить ОУМ и ТЗ пучка при его дифракции на треугольной диафрагме. Жесткие края треугольника таким образом перераспределяют потоки энергии в дифрагированном пучке, что в дальней зоне дифракции формируется характерная картина интенсивности, которая однозначно указывает на ТЗ вихревого пучка. Более того, дифракционный подход позволяет определять ТЗ вихрей, переносимых фемтосекудными лазерными импульсами [11]. К дифракционному методу также можно отнести дифракцию пучка на астигматичном оптическом элементе. Например, фокусировка вихревого пучка Лагерра-Гаусса (ЛГ) на цилиндрической линзе формирует в ее плоскости двойного фокуса картину пучка Эрмита-Гауса (ЭГ), число краевых дислокаций которого сразу указывает на ТЗ дифрагированного пучка [12]. Однако этот метод не позволяет анализировать вихревой состав структурированных пучков со сложной комбинацией мод.

Более общую картину фазовых сингулярностей позволяет вскрыть метод Шака-Гартмана, с помощью которого восстанавливается форма волнового фронта сложного пучка и даже осуществить коррекцию искажений, внесенных внешней средой. В основе метода лежит анализ распределения интенсивности после прохождения массива микролинз, уложенных определенным образом. Расшифровка картины интенсивности и построение формы волнового фронта осуществляется посредством цифровой обработки картины интенсивности в соответствии с определенным алгоритмом. В первоначальном варианте такой датчик волнового фронта был разработан авторами статьи [13] для коррекции изображений астрономических объектов, искаженных атмосферой. Несмотря на исключительную способность метода Шака-Гартмана восстанавливать и корректировать волновой фронт сложных вихревых пучков, он не предназначен для сортировки собственных мод пучка по квантовым числам.

Особое место в анализе спектра мод структурированных сингулярных пучков занимают голографические методы на основе дифракционных оптических элементов (ДОЭ) и МОДАНОВ [14-16]. В основе формирования ДОЭ лежат голографические принципы согласования мод в структурированном пучке с цифровой голографической решеткой. Лазерный пучок преобразуется на ДОЭ в структурированный сингулярный пучок. Если на пути такого пучка установить соответствующий ДОЭ, то происходит пространственная селекция вихревых мод таким образом, что каждой паре квантовых чисел мод - ТЗ и радиальному числу ставится в соответствие пространственное направление распространения моды. Впервые такие дифракционные элементы были предложены и разработаны авторами статьи [17] еще в 1983 году, ими же эти элементы были названы моданами (см. также [8]). Несмотря на наглядность и относительную простоту, этот метод не позволяет измерять начальные фазы мод, а, следовательно, не может быть использован для воспроизведения исходного пучка и коррекции небольших искажений, вносимых внешними возмущениями.

Геометрический метод также позволяет осуществлять пространственное разделение мод по направлениям за счет дифракции на фазовой маске, имеющей характерную геометрическую форму. Авторами статей [9,10] было предложено выполнить фазовый оптический элемент в логарифмически-полярной форме. После дифракции структурированного пучка на таком элементе он превращается в пучок лучей, формирующих изображение в виде ярких параллельных полос. Каждой полосе в изображении соответствует два квантовых числа ЛГ моды. Как и в случае ДОЭ, геометрический метод не позволяет измерять начальные фазы мод и не может быть использован для восстановления и коррекции структурированного пучка.

В настоящее время получил широкое распространение голографический метод на основе цифровых пространственных модуляторов света (БЬМ), позволяющих не только формировать структурированные пучки, но также осуществлять пространственную сортировку их мод [18]. Но для того, чтобы дополнить такую сортировку измерением их начальных фаз, Форбс и соавторы [18]

предложили дополнить этот метод сканированием полей отсортированных мод когерентным гауссовым пучком. Для этого в оптическую схему пространственной сортировки вводится дополнительное оптическое плечо, позволяющее сканировать поля мод. Используя специальное компьютерное обеспечение, осуществляется цифровая обработка интерференционных картин и вычисляются соответствующие разности фаз. Естественно, такой подход не позволяет его использование в системах передачи больших массивов данных, поскольку предполагает применение дополнительного защищенного канала передачи опорного гауссова пучка.

Исходя из выше сказанного, можно подчеркнуть, что в вышеперечисленных работах:

1. Не разработан единый метод, позволяющий измерять как амплитуды, так и начальные фазы сложного структурированного пучка, в состав которого входят вихри с разным знаком заряда, без нарушения целостной структуры пучка и с возможностью цифрового восстановления его исходной структуры.

2. Не рассматривались спектры модовых амплитуд сингулярных пучков с дробными орбитальными угловыми моментами, сопровождающимися возникновением лавины оптических вихрей с положительными и отрицательными топологическими зарядами, и осцилляциями орбитального углового момента при небольших изменениях величины дробного топологического заряда.

3. Экспериментально не измерялись спектры модовых амплитуд, орбитальный угловой момент, топологический заряд и информационная энтропия Шеннона вихревого пучка, на который действовало возмущение в виде непрозрачного сектора в широком диапазоне возмущения. Не осуществлялась цифровая сортировка радиальных мод Лагерра-Гаусса методом моментов интенсивности высших порядков с возможностью восстановления исходного пучка на примере действия возмущения в виде круглой диафрагмы.

Цель диссертационной работы

Разработать и реализовать метод анализа спектров мод Лагерра-Гаусса (амплитуд и начальных фаз) на основе измерения моментов интенсивности высших порядков. На основе этого метода осуществить анализ спектров орбитального углового момента пучков с дробным топологическим зарядом с одним и двумя управляющими параметрами. Кроме того, исследовать спектры мод ЛГ пучков, возмущенных секторной и круговой апертурами.

Задачи диссертационной работы

1. Разработать и экспериментально реализовать метод цифрового анализа спектра мод (амплитуд и начальных фаз) в структурированных вихревых пучках в базисе мод Лагерра-Гаусса и Эрмита-Гаусса, используя моменты интенсивности высших порядков. В качестве характеристической функции момента выбрать функции Эрмита-Гаусса или Лагерра-Гаусса.

2. Исследовать спектры орбитального углового момента пучков Лагерра-Гаусса с нулевым радиальным числом, но с дробными значениями топологического заряда в виде ряда пучков Лагерра-Гаусса. При этом комплексная амплитуда должна иметь два управляющих параметра: параметр отклонения топологического заряда от целочисленного значения и масштабный параметр. Обратить внимание на устойчивость состояния пучка в окрестности целочисленных значений топологического заряда, но при разных значениях управляющего масштабного параметра. Сравнить спектры орбитального углового момента пучков с дробными топологическими зарядами с одним и двумя управляющими параметрами.

3. Теоретически и экспериментально исследовать возмущение пучков Лагерра-Гаусса с нулевым радиальным числом секторной и круговой апертурой, ось которой совпадает с осью пучка. Выявить, какие параметры пучка сохраняются при возмущениях. Обратить внимание на соотношение между радиальными числами и топологическим зарядом вторичных мод и исходного пучка. Вычислить орбитальный угловой момент и информационную энтропию Шеннона при различных значениях управляющих параметров возмущения.

Научная новизна работы

1. Впервые разработан и экспериментально реализован метод цифрового определения спектра мод структурированных вихревых пучков в базисе мод Лагерра-Гаусса и Эрмита-Гаусса на основе моментов интенсивности высших порядков. Метод позволяет измерять не только амплитуды и начальные фазы мод сложных вихревых пучков, но и вычислять орбитальный угловой момент, информационную энтропию, а также восстанавливать исходную структуру композиции вихревых пучков.

2. Впервые обнаружен эффект лавинной неустойчивости состояний структурированных вихревых пучков с дробными орбитальным угловым моментом, сопровождающийся возникновением лавины оптических вихрей с положительными и отрицательными топологическими зарядами, и осцилляциями орбитального углового момента при небольших изменениях дробного топологического заряда.

3. Впервые теоретически и экспериментально показано, что при возмущении пучков Лагерра-Гаусса секторной и круговой апертурой сохраняется орбитальный угловой момент и топологический заряд, несмотря на большие значения параметров возмущения, при этом информационная энтропия резко возрастает.

Положения, выносимые на защиту

1. Метод измерения спектра Лагерра-Гауссовых мод на основе моментов интенсивности высших порядков, позволяющий вычислять орбитальный угловой момент, информационную энтропию Шеннона и топологический заряд структурированного пучка, а также восстанавливать исходную структуру возмущенных Лагерр-Гауссовых пучков.

2. Эффект лавинной неустойчивости структурированных пучков с дробным топологическим зарядом, проявляющийся в том, что малые отклонения топологического заряда пучков от целочисленных значений вызывает лавину оптических вихрей с противоположными знаками топологического заряда. Соотношение между энергетическим вкладом вихрей с положительными и

отрицательными топологическими зарядами контролируется управляющим масштабным параметром структурированного пучка.

3. Возмущение Лагерр-Гауссовых пучков секторной диафрагмой приводит к генерации широкого спектра Лаггер-Гауссовых мод с различными знаками топологического заряда для случая секторной диафрагмы, но одинаковыми радиальными числами. При этом орбитальный угловой момент и топологический заряд возмущенного пучка не изменяется даже при больших значениях угла секторной апертуры. В случае с круглой диафрагмой происходит рождение широкого спектра мод Лагерра-Гаусса с различными радиальными числами, но при этом исходный топологический заряд остается прежним.

Теоретическая значимость

Теоретическая значимость полученных результатов в данной диссертационной работе заключается в разработке метода измерения амплитуд и фаз модового состава оптических вихрей в сложных комбинированных сингулярных пучках, который основан на регистрации моментов интенсивности. При этом световой пучок не подвергается каким-либо преобразованиям, разрушающим целостную структуру пучка. Данный метод позволяет измерять амплитуды и начальные фазы парциальных пучков. Также построена двухпараметрическая комплексная амплитуда параксиального

структурированного пучка со следующими параметрами: параметром дробного топологического заряда и масштабным параметром. Эти параметры позволяют различным образом управлять состоянием пучка так, что спектр орбитального углового момента как функция дробного топологического заряда имеет три характерные области изменения орбитального углового момента. Теоретически исследовано преобразование структуры оптических вихрей под действием секторных и круговых возмущений.

Практическая значимость

Практическую значимость имеют:

1. Реализация метода моментов интенсивности, соответствующие алгоритмы и компьютерные программы для решения системы линейных уравнений и определение амплитуд и начальных фаз структурированных вихревых пучков.

2. Создание компьютерно-синтезированных голограмм с определенным сингулярным рельефом, необходимых для генерации сингулярных пучков с заданным профилем интенсивности.

3. Разработанные оптические схемы для определения амплитуд и начальных фаз структурированных пучков, а также возмущенных пучков круглой и секторной диафрагмой.

Достоверность полученных результатов

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, подтверждаются в использовании правильных моделей, корректностью теоретических преобразований и математических формулировок, а также совпадением результатов моделирования, произведенных с использованием коммерческих программных продуктов и авторских программ с экспериментальными результатами. Достоверность теоретических результатов и численных расчетов гарантируется общепризнанными программным математическими пакетами MAPLE и Wolfram MATHEMATICA.

Методы исследования

В диссертационной работе используются методы математического моделирования в рамках теории дифракции и волновой оптики, а также моделирование в математических пакетах MAPLE и Wolfram MATHEMATICA.

Личный вклад автора

Изложенные результаты в диссертационной работе получены лично соискателем, либо при его непосредственном участии. Соискателем самостоятельно разрабатывались алгоритмы использования метода моментов интенсивности высших порядков для параксиальных пучков ЛГ и ЭГ. На основе разработанной теории соискателем проводились экспериментальные исследования пучков ЛГ и ЭГ при различных возмущениях, исследовался ОУМ в зависимости от

дробного ТЗ. Совместно с научным руководителем разрабатывались схемы, осуществлялся расчет, оптимизация метода моментов интенсивности. Также совместно с научным руководителем осуществлялись постановка задач и обсуждение результатов исследований.

Публикации и апробация работы

По теме диссертационной работы опубликовано 17 работ, в том числе 10 статей в изданиях, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией для опубликования основных научных результатов диссертации на соискание ученой степени кандидата и доктора наук. Основные результаты работы докладывались на конференциях международных и всероссийских конференциях, в том числе:

1. Международная конференция «Цифровая сингулярная оптика» (DSO2018), Россия, Севастополь, 17 - 21 сентября, 2018.

2. VIII Международная конференция «Фотоника и информационная оптика, Россия, Москва, 23 - 25 января, 2019.

3. 25-я Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-25), Россия, Севастополь, 19 - 26 апреля 2019.

4. Международная конференция и молодежная школа «Информационные технологии и нанотехнологии» (ИТНТ), Россия, Самара, 21 - 24 мая, 2019.

5. XXXI международная школа-симпозиум по голографии, когерентной оптике и фотонике, Россия, Екатеринбург, 30 сентября - 4 октября, 2019.

6. Международная конференция ФизикА.СПб, Россия, Санкт-Петербург, 22 -24 октября, 2019.

7. VI Международная конференция и молодежная школа «Информационные технологии и нанотехнологий» (ИТНТ), Россия, Самара, 26 - 29 мая, 2020

8. Международная конференция ФизикА.СПб, Россия, Санкт-Петербург, 19 -23 октября, 2020.

9. X Международная конференция «Фотоника и информационная оптика», Россия, Москва, 27 - 29 января, 2021.

10. Международная конференция «Цифровая сингулярная оптика» (DSO2021), Россия, Ялта, 6 - 10 сентября, 2021.

11. VII Международная конференция и молодежная школа «Информационные технологии и нанотехнологий» (ИТНТ), Россия, Самара, 20 - 24 сентября, 2021.

Объем и структура диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка сокращений, списка литературы, включающего 122 наименований. Работа изложена на 143 листах машинописного текста, содержит 68 рисунков.

Глава 1. Измерение и сортировка мод структурированных вихревых пучках

(обзор)

Широкое использование структурированных вихревых пучков в системах передачи хранения и обработки информации выдвинуло на первый план две ключевые проблемы: формирование структурированного пучка и измерение спектра мод (амплитуд фаз поляризации), совмещенное с их пространственной и временной сортировкой. Это хорошо видно на примере линий передачи оптических данных по свободному пространству. На рисунке 1 представлена схема, которую использовали авторы статьи [21], сумевшие передать терабитный объем информации через свободное пространство.

Рисунок 1 - Схема передачи информации в свободном пространстве с помощью

уплотнение ОУМ

Массив Лагерр-Гауссовых пучков формирует устойчивый структурированный пучок. Каждый пучок получает собственную модуляцию, а весь массив передается через свободное пространство. В приемном устройстве пучки сортируются по поляризации и ОУМ. Дальнейшая обработка информации осуществляется на

основе электронных устройств. Если формирование структурированных пучков осуществляется посредством пространственного модулятора света [1], то вопрос измерения спектра и сортировки мод в структурированных пучках остается открытым, хотя намеченные перспективы исследований в этой области (см., например, [18,22]) сводятся к использованию БЬМ. Так авторы работы [23] выделяют четыре вопроса требующих решения при разработке систем измерения спектров и сортировки мод:

(а) турбулентность. Атмосферная турбулентность вызывает непредсказуемые искажение фазы на различных участках передаваемого структурированного пучка. Измерительная система должна учитывать случайный разброс фазы.

(б) Расогласовываемость: Расогласовываемость между передатчиком приемником, означает, что передаваемый пучок не полностью попадает на приёмник зрачка детектора, что приводит к существенным ошибкам измерения.

(в) Расходимость: Моды в высших порядках структурированных пучках расходятся быстрее, чем моды низших порядков, что существенно затрудняет их анализ при приеме сложного пучка. Фактически, это требование сводится к проблеме формированию структурно устойчивых пучков.

(г) Мультиплексирование и демультиплексирование мод: в оптических устройствах при модуляции и детектирования важно учитывать унитарность мод, которая предполагает, что все моды в структурированных пучках единому правилу АБСБ. Иными словами, при прохождении оптической системы первого рода, моды структурированного пучка не должны изменять свою структуру, а их комплексный параметр перетяжки должен изменяться единым образом для всех мод. Фактически это требование вновь сводится к формированию структурно устойчивых модовых композиций. Таким образом, любая система измерения спектра и сортировки мод должна учитывать все вышеизложенные требования. Подробный анализ каждого из требований для систем сортировки изложен в работе [23].

Целью данного раздела является анализ литературы по проблеме измерения спектра мод и их сортировки.

К настоящему времени сложилась определенная система анализа модового состава структурированных пучков, которую можно условно разбить на 7 частей, а именно [8]:

1)интерференционный метод, 2) дифракционный метод, 3) метод Шака-Гартмана, 4) компьютерно-синтезированные голограммы, 5) метод геометрического разделения мод, 6) астигматичное преобразование, 7) метод моментов интенсивности. Каждый из этих методов позволяет измерить только отдельные характеристики пучка, не охватывая его как целое. Рассмотрим подробнее каждый из них.

1.1 Интерференционный подход

Уже на первых шагах исследований в области только родившегося направления сингулярной оптики [24] стал вопрос измерения основных характеристик сингулярных лазерных пучков, которые получаются на эксперименте. В этот период времени еще не стоял вопрос о сложных структурированных пучках, а только о единичных сингулярных пучках, переносящих ОУМ [25], поэтому процесс измерения сводился к анализу фазовой структуры сингулярностей. Регистрировалось распределение фазы в окрестности фазовой сингулярности, либо в интерферометре Маха-Цендера с призмой Довэ. Процесс измерения сводился к простому наложению двух пучков: один пучок, содержащий оптических вихорь с топологическим зарядом т, а второй пучок - безвихревой гауссов пучок, падающий под некоторым углом на вихревой пучок. В результате сложения двух полей, регистрируемая картина интенсивности выражается в простой форме

1(х,у)~\е'т,р + е1к*х\2 = 2 + 2со5(тц>-кхх), (1)

где кх - проекция волнового вектора. Характерное распределение интенсивности интерференции для различных значений ТЗ вихря приведено на рисунке 2.

Детектор

Рисунок 2 - Интерферометр Маха-Цендера (слева) и картины распределения интенсивности для ОВ с разным ТЗ (а) т = 1, (б) т = 2 , (в) т = 3

Если окрестность вилочной сингулярности обвести окружностью, охватывающее несколько интерференционных полос, то разность между числом полос, пересекающих окружность снизу и выходящих из окружности сверху равно ТЗ оптического вихря, переносимого сингулярным пучком. Анализ интерференционной картины можно существенно упростить если в одном из плеч Маха-Цендера поместить призму Довэ. Призма Довэ осуществляет зеркального отображение поля пучка до и после полного внутреннего отражения, это значит, что знак ТЗ после внутреннего отражения изменяется. Таким образом, если на вход интерферометра поступает пучок, переносящий ОВ с ТЗ равным т , то при сложении полей после интерферометра, оптические вихри в пучках уничтожаются, но возникают вырожденные краевые дислокации в виде черных прямых линий, пересекающих пучок, изображенных на рисунке 3. Число краевых дислокаций численно совпадает с ТЗ вихря.

Детектор

Рисунок 3 - Интерферометр для определения ТЗ вихревого пучка с помощью призмы Довэ. (а) т = 1, (б) т = 2 , (в) т = 3

Следует различать понятия ТЗ и ОУМ. Согласно Берри [26] под ТЗ структурированного пучка будем понимать число траекторий оптических вихрей, пересекающих поверхность перпендикулярной оси пучка, с учетом их знаков. Хотя, эта физическая величина задается строго математически в виде контурного интеграла в окрестности сингулярности, она имеет глубокий физический смысл при работе со структурированными пучками, которую необходимо измерять на эксперименте. ОУМ определяет вращение поля пучка вокруг оси и характеризуется его способностью передавать ОУМ материальной частице, раскручивая ее вокруг оси пучка. В частном случае единичного сингулярного пучка, ОУМ численно равен ТЗ. Поэтому при измерении спектров мод часто говорят не о распределении мод по ТЗ, а распределении мод по ОУМ мод.

Важно отметить, что сингулярные пучки высших порядков, переносящие оптические вихри с ТЗ больше единицы являются структурно неустойчивыми полевыми конструкциями. При малых возмущениях вихри высших порядков распадаются на единичные ОВ, иначе говоря, любое нарушение осевой симметрии приводит к разрушению центрированного ОВ. Именно это свойство неустойчивости было использовано авторами [27-29] для определения ТЗ сингулярных пучков. Наиболее ярко этот эффект проявляется при дифракции света на треугольной апертуре. Будем считать, что на треугольную апертуру на рисунке 4. падает сингулярный пучок

тогда в дальней зоне дифракции угловой спектр пучка в координатах кх, ку запишется в виде интеграла Френеля

1.2 Дифракционный метод

ит (х, у ) = ( х ± 1у )Н,

(2)

А

Рисунок 4 - Геометрия рассматриваемой треугольной апертуры

В дальней зоне дифракции основной вклад в интеграл будут давать три плоских волны, характеризующимися тремя лучами [30]:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Брецько Михаил Владимирович, 2022 год

Список литературы

1. Forbes, A. Creation and detection of optical modes with spatial light modulators / A. Forbes, A. Dudley, M. McLaren // Advances in Optics and Photonics. - 2016. - Vol. 8(2). - P. 200-227.

2. Soifer, V.A. Vortex beams in turbulent media: review / V.A. Soifer, O. Korotkova, S.N. Khonina, E.A. Shchepakina // Computer Optics. - 2016. - Vol. 40(5). - P. 605-624.

3. Khonina, S.N. Optical vortices in a fiber: mode division multiplexing and multimode selfimaging / S.N. Khonina, N.L. Kazanskiy, V.A. Soifer. - In: Recent progress in optical fiber research, 2012. - P. 327-352.

4. Soifer, V.A. Laser beam mode selection by computergenerated holograms / V.A. Soifer, M.A. Golub. - Boca Raton: CRC Press, 1994. - 224 p.

5. Арнольд, В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения — Москва: Наука, 1984. - 334 c.

6. Hickmann, J.M. Unveiling a truncated optical lattice associated with a triangular aperture using light's orbital angular momentum / J.M. Hickmann, E.J.S. Fonseca, W.C. Soares, S. Chavez-Cerda // Physical Review Letters. - 2010. - Vol. 105(5): 053904.

7. Chen, M. Detection of phase singularities with a Shack-Hartmann wavefront sensor / M. Chen, F.S. Roux, J.C. Olivier // Journal of the Optical Society of America A. - 2007. - Vol. 24(7). - P. 1994-2002.

8. Gbur, G.J. Singular Optics / G.J. Gbur. - Boca Raton: CRC Press, 2016. - 563 p.

9. Padgett, M.J. Measuring the orbital angular momentum of light / M.J. Padgett, M. Lavery, G. Berkhout, J. Courtial, M. Beijersbergen // Article in Proceedings of SPIE -The International Society for Optical Engineering. - 2011.

10. Lavery, M. Refractive elements for the measurement of the orbital angular momentum of a single photon / P.J.M. Lavery, D.J. Robertson, G.C.G. Berkhout, G.D. Love, M.J. Padgett, J. Courtial // Optics Express. - 2012. - Vol. 20(3). - P. 2110-2115.

11. Araujo, L.E.E. Measuring vortex charge with a triangular aperture / L. E. E. Araujo, M. E. Anderson // Optics Letters. - 2011. - Vol. 36(6). - P. 787-789.

12. Mirhosseini, M. Efficient separation of the orbital angular momentum eigenstates of light / M. Mirhosseini, M. Malik, Zh. Shi, R.W. Boyd // Nature Communications. -2013. - Vol. 4(1). - 2781.

13. Platt, B.C. History and principles of Shack-Hartmann wavefront sensing / B.C. Platt, R. Shack // Journal of Refractive Surgery. - 2001. - Vol. 17. - P. 573-577.

14. Сойфер, В.А. Методы компьютерной оптики / В.А. Сойфер. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 688 с.

15. Карпеев, С.В. Анализ и формирование многомодовых лазерных пучков с помощью ДОЭ / С.В. Карпеев, С.Н. Хонина. - Самара: Самаротий гос. аэрокосмический университет, 2007. - 120 с.

16. Сойфер, В.А. Дифракционная компьютерная оптика / В.А. Сойфер - Москва: Физматлит, 2007. - 736 с.

17. Голуб, M.A. Экспериментальное исследование пространственных фильтров, разделяющих поперечные моды оптических полей / М.А. Голуб, С.В. Карпеев, С.Г. Кривошлыков, А.М. Прохоров, И.Н. Сисакян, В.А. Сойфер // Квантовая электроника. - 1983. - Т. 10, № 8. - С. 1700-1701.

18. Rubinsztein-Dunlop, H. Roadmap on structured light / H. Rubinsztein-Dunlop, A. Forbes, M.V. Berry, M.R. Dennis, D.L. Andrews, M. Mansuripur, C. Denz, C. Alpmann, P. Banzer, T. Bauer, E. Karimi, L. Marrucci, M. Padgett, M. Ritsch-Marte, N.M. Litchinitser, N.P. Bigelow, C. Rosales-Guzman, A. Belmonte, J.P. Torres, T.W. Neely, M. Baker, R. Gordon, A.B. Stilgoe, J. Romero, A.G. White, R. Fickler, A.E. Willner, G. Xie, B. McMorran, A.M. Weiner // Journal of Optics. - 2017. - Vol. 19, Issue 1. -013001.

19. Ananev, Yu.A. Theory of intensity moments for arbitrary light beams / Yu.A. Ananev, A.Ya. Bekshaev // Optics Spectroscopy. - 1994. - Vol. 76(4). - P. 558-568.

20. Hu, M.-K. Visual Pattern recognition by Moments Invariants // Ming-Kuei Hu // IRE Transactions on information theory. - 1962. - Vol. 8(2). - P. 179-187.

21. Wang, J. Terabit free-space data transmission employing orbital angular momentum multiplexing / J. Wang, J.-Yu. Yang, I.M. Fazal, N. Ahmed, Y. Yan, H.

Huang, Y. Ren, Ya. Yue, S. Dolinar, M. Tur, Al. E. Willner // Nature Photonics. - 2012.

- Vol. 6(7). - P. 488-496.

22. Pinnell, J. Modal analysis of structured light with spatial light modulators: a practical tutorial / J. Pinnell, I. Nape, B. Sephton, M.A. Cox, V. Rodriguez-Fajardo, A Forbes // Journal of the Optical Society of America A. - 2020. - Vol. 37(11). - P. 146160.

23. Willner, Al.E. Perspectives on advances in highcapacity, free-space communications using multiplexing of orbital-angular-momentum beams / A.E. Willner, Zh. Zhao, C. Liu, et al // APL Photonics. - 2021. - Vol. 6(3) - 030901.

24. Soskin, M. Singular Optics / M. Soskin, M.V Vasnetsov // Progress in Optics. -2001. - Vol. 42. - P. 219-276.

25. Allen, L. Orbital angular momentum of light and the transformation of Laguerre-Gaussian laser modes / L. Allen, M.W. Beijersbergen, R.J.C. Spreeuw, J.P. Woerdman // Phys. Rev. A. - 1992. - Vol. 45:8185.

26. Berry, M.V. Optical vortices evolving from helicoidal integer and fractional phase steps / M.V. Berry // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. - 2004. - Vol. 6. - P. 259-268.

27. Franke-Arnold, S. Advances in optical angular momentum / S. Franke-Arnold, L. Allen, M. Padgett // Laser & Photon. Rev. - 2008. - Vol 2(4). - P. 299-313.

28. Zhao, Y. Measure the arbitrary topological charge of perfect optical vortex beams by using the dynamic angular double slits / Y. Zhao, X. Huang, Z. Chang, X. Wang, P. Zhang // Optics Express. - 2021. - Vol. 29(21). - 32966.

29. Shen, Y. Truncated triangular diffraction lattices and orbital-angular-momentum detection of vortex SU (2) geometric modes / Y. Shen, X. Fu, M. Gong // Optics Express.

- 2018. - Vol. 26(20) - 25545.

30. Олвер, Ф. Асимптотика и специальные функции / Ф. Олвер, А.П. Прудникова. - Москва: Наука, 1990. - 528. с.

31. Карпеев, С.В. Генерация и анализ модовых световых пучков с помощью многопорядковых доэ, согласованных с модами лазерного излучения и функциями

цернике / С.В. Карпеев, С.Н. Хонина // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета. - 2010. - № 4(24). - С. 202-214.

32. Khonina, S.N. Generation and selection of laser beams represented by a superposition of two angular harmonics / S.N. Khonina, V.V. Kotlyar, V.A. Soifer, K. Jefimovs, J. Turunen // Journal of Modern Optics. - 2004. - Vol. 51(5). - P. 761-773.

33. Khonina, S.N. Measuring the light field orbital angular momentum using DOE / S.N. Khonina, V.V. Kotlyar, V.A. Soifer, P. Paakkonen, J. Turunen // Optical Memory and Neural Networks. - 2001. - Vol. 10(4). - P. 241-255.

34. Kirilenko, M.S. Information transmission using optical vortices / M.S. Kirilenko, S.N. Khonina // Optical Memory and Neural Networks. - 2013. - Vol. 22(2). - P. 81-89.

35. Khonina, S.N. Zernike phase spatial filter for measuring the aberrations of the optical structures of the eye / S.N. Khonina, V.V. Kotlyar, D.V. Kirsh // Journal of Biomedical Photonics & Engineerin. - 2015. - Vol. 1(2). - P. 146-153.

36. Ruffato, G. Diffractive optics for combined spatial- and mode- division demultiplexing of optical vortices: design, fabrication and optical characterization / G. Ruffato, M. Massari1, F. Romanato // Scientific Reports. - 2016. - Vol. 6. - 24760.

37. Boruah, B.R. Dynamic manipulation of a laser beam using a liquid crystal spatial light modulator / B.R. Boruah // American Journal of Physics. - 2009. - Vol. 77(4). - P. 331-336.

38. Lazarev, G. Beyond the display: phase-only liquid crystal on silicon devicesand their applications in photonics / G. Lazarev, P.-J. Chen, J. Strauss, N. Fontaine, A. Forbes // Optics Express. - 2019. - Vol. 27. - P. 16206-16249.

39. Ren, Y.X. Experimental generation of Laguerre-Gaussian beam using digital micromirror device / Y.X. Ren, M.Li, K. Huang, J.G. Wu, H.F. Gao, Z.Q. Wang, Y.M. Li // Applied Optics. - 2010. - Vol. 49. - P. 1838-1844.

40. Mirhosseini, M. Rapid generation of light beams carrying orbital angular momentum / M. Mirhosseini, O. S. Magana-Loaiza, C. Chen, B. Rodenburg, M. Malik, R. W. Boyd // Optics Express. - 2013. - Vol. 21. - P. 30196-30203.

41. Cox, M.A. A high-speed, wavelength invariant, single-pixel wavefront sensor with a digital micromirror device / M.A. Cox, E. Toninelli, L. Cheng, M.J. Padgett, and A. Forbes // IEEE Access. - 2019. - Vol. 7. - P. 85860-85866.

42. Scholes, S. Structured light with digital micromirror devices: a guide to best practice / S. Scholes, R. Kara, J. Pinnell, V. Rodríguez-Fajardo, A. Forbes // Optical Engineering. - 2019. - Vol. 59(04) - 1.

43. Mair, A. Entanglement of the orbital angular momentum states of photons / A. Mair, A. Vaziri, G. Weihs, A. Zeilinger // Nature. - 2001. - Vol. 412. - P. 313-316.

44. Forbes A. Quantum mechanics with patterns of light: progress in high dimensional and multidimensional entanglement with structured light / A. Forbes, I. Nape // AVS Quantum Science. - 2019. - Vol 1(1) - 011701.

45. Kotlyar, V.V. Astigmatic transforms of an optical vortex for measurement of its topological charge / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev, A.P. Porfirev // Applied Optics. - 2017. - Vol. 56. - P. 4095-4104.

46. Котляр, В.В. Определение топологического заряда оптического вихря с помощью астигматического преобразования / В.В. Котляр, А.А. Ковалёв, А.П. Порфирьев // Компьютерная оптика. - 2016. - Т. 40, № 6. - С. 781-792.

47. Abramochkin, E. Beams transformations and nontransformed beams / E. Abramochkin, V. Volostnikov // Optics Communications. - 1991. - Vol. 83(1-2). - P. 123-135.

48. Бекшаев, А.Я. Преобразования световых пучков в параксиальных оптических системах: дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.04.05 / Бекшаев Александ Якович. -Одесса, 2003. - 353 с.

49. Bastiaans M.J. Second-order moments of the wigner distribution function in firstorder optical systems / M.J. Bastiaans // Optik. -1991. - Vol. 88. - P. 163-168.

50. Dragoman D. The Wigner distribution function in optics and optoelectronics / D. Dragoman // Progress in Optics. - 1997. -Vol. 37. - P. 1-56.

51. Simon, R. Optical phase space, Wigner representation, and invariant quality parameters / R. Simon, N.J. Mukunda // Journal of the Optical Society of America. -2000. - Vol. 17. - P. 2440-2463.

52. Mejias P.M. Parametric characterization of the spatial structure of nonuniformly polarized laser beams / P.M. Mejias, R. Martinez-Herrero, G. Piquero, J.M. Movilla // Progress in Quantum Electronics. - 2002. - Vol. 26. - P. 65-130.

53. Siegman, A.E. How to (Maybe) Measure Laser Beam Quality / A.E. Siegman // DPSS (Diode Pumped Solid State) Lasers: Applications and Issues, Optical Society of America. - 1998. - paper MQ1. - P. 184-199.

54. ISO 11146-2:2005 Test methods for laser beam widths, divergence angles and beam propagation ratios. Part 2: «General astigmatic beams». - 2005. - 15.

55. ГОСТ Р ИСО 11146-2-2008 Лазеры и лазерные установки (системы) методы измерений ширин, углов расходимости и коэффициентов распространения лазерных пучков. - Москва: Стандартинформ, 2011. - 20 с.

56. Ахманов, С.А. Статистическая радиофизика и оптика. Случайные колебания и волны в линейных системах / С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 638 с.

57. Гудмен, Дж. Статистическая оптика / Дж. Гудмен. - Москва: Мир, 1988. -528 с.

58. Мандель, Л. Оптическая когерентность и квантовая оптика / Л. Мандель, Э. Вольф. - Москва: Физмалит, 1999. - 896 с.

59. Teague, M.R. Image analysis via the general theory of moments / M.R. Teague // Journal of the Optical Society of America. - 1980. - Vol. 70(8). - P. 920-930.

60. The, C.H. On image analysis by the methods of moments / C.H. The, R.T. Chin. // IEEE Transaction on Pattern Analysis and Machine Intelligence. - 1998. - Vol. 10(4). -P.496 - 513.

61. Papakostas, G. Moments and moment invariants - theory and applications / G. Papakostas. - Xanthi, Greece: Science Gate Publishing,2014. - 293 p.

62. Flusser, J. Moments and moment invariants in pattern recognition / J. Flusser, T. Suk, B. Zitova. - Chichester, UK: John Wiley & Sons, Ltd., 2009. - 312 p.

63. Bekshaev, A.Ya. Paraxial Light Beams with Angular Momentum / A.Ya. Bekshaev, M.S. Soskin, M.V. Vasnetsov. - New York: Nova Science Publishers, 2008. - 112 p.

64. Bekshaev, A.Ya. Optical vortex symmetry breakdown and decomposition of the orbital angular momentum of light beams / A.Ya. Bekshaev, M.S. Soskin, M.V. Vasnetsov // Journal of the Optical Society of America A. - 2003. - Vol. 20. - P. 16351643.

65. Bekshaev, A.Ya. Transformation of higher-order optical vortices upon focusing by an astigmatic lens / A.Ya. Bekshaev, M.S. Soskin, M.V. Vasnetsov // Optics Communications. - 2004. - Vol. 241. - P. 237-247.

66. Fadeyeva, T.A. Does the optical angular momentum change smoothly in fractional-charged vortex beams? / T.A. Fadeyeva, A.F. Rubass, R.V. Aleksandrov, A.V. Volyar // Journal of the Optical Society of America B. - 2014. - Vol. 31. - P.798-805.

67. Alperin, S.N. Quantitative measurement of the orbital angular momentum of light with a single, stationary lens / S.N. Alperin, R.D. Niederiter, J.T. Gopinath, K.E. Siements // Optics Letters. - 2016. - Vol. 41(21). - P. 5019-5022.

68. Котляр, В.В. Методы определения орбитального углового момента лазерного пучка / В.В. Котляр, А.А. Ковалёв, А.П. Порфирьев // Компьютерная оптика. - 2019. - Т. 43, № 1. - С. 42-53.

69. Воляр, А. В. По ту сторону интенсивности, или моменты интенсивности и измерение спектра оптических вихрей сложных пучков / А.В. Воляр, М.В. Брецько, Я.Е. Акимова, Ю.А. Егоров // Компьютерная оптика. - 2018. - Т. 42, № 5. - С. 736743.

70. Volyar, A. Measurement of the vortex spectrum in a vortex-beam array without cuts and gluing of the wavefront / A. Volyar, M. Bretsko, Ya. Akimova, Yu. Egorov // Optics Letters. - 2018. - Vol. 43. - P. 5635-5638.

71. Basisty, M. Optical wavefront dislocations and their properties / Basisty M., Soskin M. Vasnetsov // Optics Communications. - 1995. - Vol. 119. - P. 604-612.

72. G"otte, J.B. Light beams with fractional orbital angular momentum and their vortex structure / J.B. G"otte, K. O'Holleran, D. Preece, F. Flossmann, S. Franke-Arnold, S.M. Barnett, M.J. Padgett // Optics Express. - 2008. - Vol. 16(2). - P. 993-1006.

73. Fadeyeva, T. Vector erf-Gaussian beams: fractional optical vortices and asymmetric TE and TM modes / T. Fadeyeva, C. Alexeyev, A. Rubass, A. Volyar // Optics Letters. - 2012. - Vol. 37. - P. 1397-1399.

74. Alexeyev, C.N. Mutual transformations of fractional-order and integer-order optical vortices / C.N. Alexeyev, Yu.A. Egorov, A.V. Volyar. // Physical Review A. -2017. - Vol. 96 - 063807.

75. Volyar, A.V. Super pulses of orbital angular momentum in fractional-order spiroid vortex beams / A.V. Volyar, Yu.A. Egorov // Optics Letters. - 2018. - Vol. 43. - P. 7477.

76. Диткина, В.А. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / В.А. Диткина, Л.Н. Кармазиной. -Москва: Наука, 1979. - 830 c.

77. Абрамочкин, Е.Г. Современная оптика гауссовых пучков / Е.Г. Абрамочкин, В.Г. Волостников. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 184 с.

78. Wen, J. Vortex strength and beam propagation factor of fractional vortex beams / J. Wen, Li-Gang Wang, X. Yang, J. Zhang, S.-Y. Zhu // Optics Express. - 2019. - Vol. 27. - P. 5893-5904.

79. Kotlyar, V.V. Topological charge of a linear combination of optical vortices: topological competition / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev, A.V. Volyar // Optics Express. -2020. - Vol. 28. - P. 8266-8281.

80. Gutiérrez-Vega, J.C. Nondiffracting vortex beams with continuous orbital angular momentum order dependence / J.C. Gutiérrez-Vega, C. López-Mariscal // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. - 2007. - Vol. 10(1). - 015009.

81. Singh, B.K. Visualization of internal energy flows in optical fields carrying a pair of fractional vortices / B.K. Singh, D.S. Mehta, P. Senthilkumaran // Journal of Modern Optics. - 2013. - Vol.60(13). - P. 1027-1036.

82. Volyar, A. Measurement of the vortex and orbital angular momentum spectra with a single cylindrical lens / A. Volyar, M. Bretsko, Ya. Akimova, Yu. Egorov // Applied Optics. - 2019. - Vol. 58. - P. 5748-5755.

83. Воляр, А.В. Формирование и анализ спектров оптических вихрей сингулярных пучков с аномалиями орбитального углового момента / А.В. Воляр, М.В. Брецько, Я.Е. Акимова, Ю.А. Егоров // Компьютерная оптика. - 2019. - Т. 43, № 4. - С. 517-527.

84. Prudnikov, A.P. Integrals and series elementary functions / A.P. Prudnikov, Y.A. Brychkov, O.I. Marichev. - New York: Gordon and Breach, 1986. - 708 p.

85. Kotlyar, V.V. Hermite-Gaussian laser beams with orbital angular momentum / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev, A.P. Porfirev // Computer Optics. - 2014. - Vol. 38(4). - P. 651-656.

86. Воляр, А.В. Лавинная неустойчивость орбитального углового момента оптических вихрей высших порядков / А.В. Воляр, М.В. Брецько, Я.Е. Акимова, Ю.А. Егоров // Компьютерная оптика. - 2019. - Т. 43, № 1. - С. 14-24.

87. Volyar, A. Vortex avalanche in the perturbed singular beams / A. Volyar, M. Bretsko, Ya. Akimova, Yu. Egorov // Journal of the Optical Society of America. - 2019.

- Vol. 36. - P. 1064-1071.

88. Nye, J.F. Dislocations in wave trains / J.F. Nye, M.V. Berry // Proceedings of The Royal Society A Mathematical Physical and Engineering Sciences A. - 1974. - Vol. 336.

- P. 165-190.

89. Yao, E. Fourier relationship between angular position and optical orbital angular momentum / E. Yao, S. Franke-Arnold, J. Courtial, S. Barnett, M. Padgett // Optics Express. - 2006. - Vol. 14(20). - P. 9071-9076.

90. Franke-Arnold, S. Uncertainty principle for angular position and angular momentum / S. Franke-Arnold, S. Barnett, E. Yao, J. Leach, J. Courtial, M. Padgett // New Journal of Physics. - 2004. - Vol. 6. - P. 1-8.

91. Karimi, E. Radial coherent and intelligent states of paraxial wave equation / E Karimi, E. Santamato // Optics Letter. - 2012. - Vol.37. - P. 2484-2386.

92. Karimi, E. The quantum nature of the radial degree of freedom of a photon via Hong-Ou-Mandel interference / E. Karimi, D. Giovannini, E. Bolduc, N. Bent, F.M. Miatto, M.J. Padgett, R.W. Boyd // Physical Review A. - 2014. - Vol.89 - 013829.

93. Plick, W.N. Physical meaning of the radial index of Laguerre-Gauss beams / W.N Plick, M. Krenn // Physical Review A. - 2015. - Vol.92(6) - 063841.

94. Karimi, E. Quantum number of Laguerre-Gauss modes / E. Karimi, R.W. Boyd, P. de la Hoz, H. de Guise, J. RehVcek, Z. Hradil, A. Aiello, G. Leuchs, L.L. Sanchez-Soto // Phys. Rev. A. - 2014. - Vol. 89 - 063813.

95. Gu, X. Gouy phase radial mode sorter for light: concepts and experiments / X. Gu, M. Krenn, M. Erhard, A. Zeilinger // Physical Review Letters. - 2018. - Vol.120 -103601.

96. Zhou, Y. Sorting Photons by Radial Quantum Number / Y. Zhou, M. Mirhosseini, D. Fu, J. Zhao, S.M.H. Rafsanjani, A.E. Willner, R.W. Boyd // Physical Review Letters. - 2017. - Vol.119 - 263602.

97. Fu, D. Realization of a scalable Laguerre-Gaussian mode sorter based on a robust radial mode sorter / D. Fu, Y. Zhou, R. Qi, S. Oliver, Y. Wang, S.M.H. Rafsanjani, J. Zhao, M.Z. Shi, P. Zhang, R.W. Boyd // Optics Express. - 2018. - Vol.26(25). - P.33057-33065.

98. Zhou, Y. Using all transverse degrees of freedom in quantum communications based on a generic mode sorter / Y. Zhou, M. Mirhosseini, S. Oliver, J. Zhao, S.M.H. Rafsanjani, M.P.J. Lavery, A.E. Willner, R.W. Boyd // Optics Express. - 2019. -Vol.27(7). - P.10383-10394.

99. Anderson, M.E. Measuring the topological charge of ultra-broadband, optical vortex beams with a triangular aperture / M.E. Anderson, H. Bigman, L.E.E. de Araujo, J.L. Chaloupka // Journal of the Optical Society of America B. - 2012. - Vol. 29(8). - P. 1968-1976.

100. Stahl, Ch. Analytic calculation of vortex diffraction by a triangular aperture / Ch. Stahl, G. Gbur // Journal of the Optical Society of America. - 2016. - Vol. 33. - P. 11751180.

101. Chen, R. Detecting the topological charge of optical vortex beams using a sectorial screen / R. Chen, X. Zhang, Y. Zhou, H. Ming, A. Wang, Q. Zhan // Applied Optics. -2017. - Vol. 56. - P. 4868-4872.

102. Melo, L.A. Direct measurement of the topological charge in elliptical beams using diffraction by a triangular aperture / L.A. Melo, A.J. Jesus-Silva, S. Chavez-Cerda et al. // Scientific Reports. - 2018. - Vol. 8:6370.

103. Mourka, A. Probing the modal characteristics of novel beam shapes: dissertation doctor of philosophy in physics (PhD) / Areti Mourka. - University of St Andrews, 2013. - 194.

104. Воляр, А.В. Секторное возмущение вихревого пучка: энтропия Шеннона, орбитальный угловой момент и топологический заряд / А.В. Воляр, М.В. Брецько, Я.Е. Акимова, Ю.А. Егоров, В.В. Милюков // Компьютерная оптика. - 2019. - Т. 43, № 5. - С. 723-734.

105. Volyar, A. Orbital angular momentum and informational entropy in perturbed vortex beams / A. Volyar, M. Bretsko, Ya. Akimova, Y. Egorov // Optical. Letters. -2019. - Vol. 44. - P. 5687-5690.

106. Abramochkin, E. Beam transformations and nontransformed beams / E. Abramochkin, V. Volostnikov // Optics Communications. - 1991. - Vol. 83(1-2) - P. 123-135.

107. Berry, M.V. Paraxial beams of spinning light / M.V. Berry // Proceeding SPIE. -1998. - Vol. 3487. - P. 6-11.

108. Izdebskaya, Y. Focusing of wedge-generated higher-order optical vortices / Y. Izdebskaya, V. Shvedov, A. Volyar // Optics Letters. - 2005. - Vol. 30(19). - P. 25302532.

109. Volyar, A.V. Optical eddies in small-mode fibers: II. The spin-orbit interaction / A.V. Volyar, V.Z. Zhilaitis, V.G. Shvedov // Optika and Spektroskopiya. - 1999. - Vol. 86(4). - P. 664-670.

110. Malik, M. Measurement of the orbital-angular-momentum spectrum of fields with partial angular coherence using double-angular-slit interference / M. Malik, S. Murugkar, J. Leach, R.W. Boyd // Physical review A. - 2012. - Vol. 86. - P. 63806 - 63812.

111. Mandel, L. Optical coherence and quantum optics / L. Mandel, E. Wolf. -Cambridge: Cambridge U. Press, 1995. - 1192 p.

112. Francis, T.S.Yu. Entropy and information optics / T.S.Yu. Francis - New York: Marcel Dekker Inc., 2003. - p. 528.

113. Bozinovic, N. Terabit-scale orbital angular momen-tum mode division multiplexing in fibers / N. Bozinovic, Y. Yue, Y. Ren, M. Tur, P. Kristensen, H. Huang, A.E Willner, S. Ramachandran // Science. - 2013. - Vol. 340(6140). - P.1545-1548.

114. Shields, A.J. Overcoming the rate-distance limit of quantum key distribution without quantum repeaters / A.J. Shields, J.F. Dynes, Z.I. Yuan, M. Lucamarini // Nature. - 2018. - Vol.557(7705). - P.400-403.

115. Воляр, А.В. Сортировка пучков Лагерра-Гаусса по радиальному числу посредством моментов интенсивности / А.В. Воляр, М.В. Брецько, Я.Е. Акимова, Ю.А. Егоров // Компьютерная оптика. - 2020. - Т. 44, № 2. - С. 155-166.

116. Volyar, A. Digital sorting perturbed Laguerre-Gaussian beams by radial numbers / A. Volyar, M. Bretsko, Ya. Akimova, Yu. Egorov // Journal of the Optical Society of America A. - 2020. - Vol.37. - P. 959-968.

117. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. - Mосква: Наука главная редакция физико-математической литературы, 1983. - 752 с.

118. Abramochkin, E. General astigmatic transform of Hermite-Laguerre-Gaussian beams / E. Abramochkin, E. Razueva, V. Volostnikov // Journal of the Optical Society of America. - 2010. - Vol.27. - P.2506-2513.

119. Phillips, R.L. Spot size and divergence for Laguerre Gaussian beams of any order / R.L. Phillips, L.C. Andrews // Applied Optics. - 1983. - Vol. 22. - P. 643-644.

120. Shannon, C.E. A Mathematical theory of communication / C.E. Shannon // Bell System Technical Journal. - 1948. - Vol.27. - P.379-423.

121. Mirhosseini, M. High-dimensional quantum cryptography with twisted light / M. Mirhosseini, O.S. Magana-Loaiza, M.N. O'Sullivan, B. Rodenburg, M. Malik, M.P.J. Lavery, M.J. Padgett, D.J. Gauthier, R.W. Boyd // New Journal of Physics. - 2015. - Vol. 17:033033.

122. Hollas, J.M. Modern spectroscopy / J.M. Hollas. - New York: John Wiley & Sons, Inc., 2002. - 482p.