Исследование специальных классов операторных дзета-функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Нарзуллаев Х.Н.

• Нарзуллаев Х.Н.
• 1949

Оглавление диссертации Нарзуллаев Х.Н.

Глава

Примеры тождестве типа Ламберта

§ 1. ;.

§ 2,■

Глава П

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование специальных классов операторных дзета-функций»

В настоящей работе мы доказываем ряд арифметических и аналитических тождеств с помощь© метода операторной дзета-функции,предложенного за последние годы проф. 1/

Н.П.Романовым ' . В целях сравнения этого метода с методами, известными ранее,мы решили,помимо тождеств,до сих пор не встречавшихся в литературе,этим способом доказать несколько тождеств известных ранее. Намеченное нами изложение начнём с краткого описания метода операторной дзета-функции.

Пусть дано семейство функций F ,заданных на любом множестве вещественных или комплексных чисел и последовательность дистрибу.тирных функциональных операторов z ' . , от'ображающих семейство функции /Г само на себя,причём эти операторы обла дают свойством

I I =/ (*"'*"

Lyy, I f*',*, названным Н.И.Романовым 1 - свойством. L{ - предполагается тождественным оператором).

Vh.П.Романов. ««Применение функционального анализа к вопросам распределения простых чисел»». Известия Научно-исследовательского"института математики и механики при Томском Государственном университете им.Куйбышева.

Или Н.Н.Романов.«Однопараметрические операторные группы и полугруппы и новые методы теории простых чисел, основанные на их рассмотрении»». (Рукопись).

Как показано Н.П.Романовым примером такой последовательности операторов могут служить операторы где функция взята из множества всех функций б области ) и .У1 , любое из целых положительных чисел. Легко проверить выполнение обоих указанных требований.Принадлежи ость функций и одному и тому же семейству f (иначе говоря эквивалентность условий /бОб Г и -fcbtlGp ) очевидна, йз.преобразования

L k*>)=L кт*>=fa***=L™ fa вытекает второе требование LWL& ~ . йз данной последовательности операторов, обладающей М-свойством, можно получить и другие последовательности, обладающие тем же свойством. Например, если последовательность операторов L*. . ) обладает М-свойством, то оператор . [!„ - г где ^"J- характер Дирихле по модул© К, также обладает М-свойством. (Выполнение условия £ Г для множества f^ ,влечёт за собою выполнение уело вий: fCujfaxfcF4 ).

Н.П.Романов в вышеуказанной работе рассмашривает однопараметрическое семейство линейных операторов L* (ГД© й любое положительное число), заданных на некотором линейном функциональном множестве f , удовлетворяющем следующим аксиомам (названное й.П.Романовым системой аксиом А): т#еФлюбой из операторов семейство отображает У В ? . a. = т.е. L, = £ .wEтождественный оператор.

3. L&Lf-Libg при любых положительных и вещественных Лий (31-свойств о) ♦

4. Существует производная L,M в точке и =1

1)

Другими словами требуется существование предела So ни, ft * hli^ ,причём линейный оператор , определяемый формулой (l), обладает свойством

§. Если почленный предельный переход под знаком оператора /,м законен, при любом и>о , то

Кроме системы аксиом А, Н.П.Романов рассматривает систему аксиом В, отличающуюся от А только тем, что из аксиомы А выбрасывается требование лс * и, в связи с эти?*, выбрасывается аксиома (5).

Кроме того, второй вариант всей теории рассматривается, когда параметр М-любое, отличное от нуля, комплексное число. Тогда Lk U* будет выражением, вообще говоря, многозначным, различные значения которого переходят одно в другое при обходе И около начала координат,

В обоих вариантах операторы Lu образуют группу по операторной композиции,

В некоторых случаях можно в системе аксиом А и В выбросить также аксиому (3), заменив её аксио ой (З1): Lu = £ iLu, . Далее, Н.П.Романов даёт способы нахождения семейств операторов, удовлетворяющих аксиоматике А ш аксиоматике В.

Приведём некоторые из них.

Если дан оператор А, отображающий пространство в пространство f ,под знаком которого можно производить дифференцирование по Ж, то опреде ляемое формулой LU-J)LUA~ , где оператор удовлетворяющий аксиоматике А или В, удовлетворяет соответственно также аксиоматике А или В, При этом если j то - ft* ^ где

В самом деле этим, аксиома (3) доказана. Все остальные аксиомы доказываются без труда. Далее, если совершить дифференцирование, то получится

Возьмём конкретный пример, основанный на этом методе:

L Jl<)=f(X + fyu) В качестве А введём операцию

Afu)= fcfy*)

Обратная к ней операция будет

А'Цм^С*)

Теперь рассмотрим L^^Cx) = J^Сгсх)

Далее ХЦм Л'Цсо = J)^ Ае'№)~х{<*)-4

Откуда Lu = ^^ск) в еледовательно/ <1

Я- Х^ ; Этим способом Н.П.Романов пришёл к примеру

Преобраз оваиие, ^ является группой. В самом деле

J сиЫ*

Далее результат дифференцирования будет JifWott jwtidt u=i

- tcxjfc*) + fU.

След озэательно/ X в данном случае имеет вид: X-^+WxJ

Н.П.Романов рассматривал несколько способов, позволяющих из одного семейства операторов с указанными свойствами, переходить в другое такое же семейство.

Далее Н.Н.Романсов рассматривает следующие функциональные операторы, определённые на функциональном множестве f*\

Alri з)

И*/

4) 1

И:£ где Ln ^ и Я - линейный функциональный оператор, обладающий I - свойством.

Б этих тождествах jiinj является функцией Мёбиуса: определяемой равенствами: х/

2/ jitn) = o , если /г -делится на квадрат, отличный ' от единицы.

3/ ^Сп) = C-l)K , если /X не делится на квадрат, отличный от единицы и показатель »к" обозначает число различных простых делителей /г ,

J\.Ln) " Функция Жангольдта, определяемая следующими равенствами:

1/ ЛШгО

2/ ]\Ск)-£о§>р > если /Z-Р*, при Р - простом и (рС>0 .

3/ /\(п) = О во всех остальных случаях.

При этом, если последовательность такая, что для любой функции f-WG Т справедлива оценка при У1 , то тогда ряды (2),(3),(4) и (5) сходятся в полуплоскости - вещественная часть комплексного параметра 5 В случае - ft , естественно писать 1 и определяют операторы X Cs,L) 9

4(s,L) , -X'CS'L 3 » ~ •^•Cs.U) являющиеся в Re s) > -fi голоморфными фрнвдиями пара -метра ? .В случае, если суммы рядов (2), (3), (4) и (5) входят, в область определения L, (может быть рас ширенную по сравнению of ) ш "почленное применение L к указанным рядам законно, то X(a)£(U)f= Zis.QflxX'auti*), что оправдывает обозначения (4) и (в).

Из соотношения (7) можно получить очень много интересных соотношений, для случая последовательности

Lк (h^ljZ,.) обладающей М-свойством,

Например, полагая 5= ^ и u fa) =г получаем

У*'

ЛдзиьиЯН&А. /С %4Li<Z,J(jt4 yuotUJ&K-LbO ^э^-ъъиьвъ. <УПЯ0?(Щи+с> - у. ,

H&i

6)

7)

Откуда оо

8) n*t Простейшее тождество такого типа имеет вид ^Г TC"J Xn • Впервые такие тождества рас

Мл/ ^ ^ Я*/ сматривались Ламбертом в ХУ1 веке. Ламберт строил cbi выводы, пользуясь непосредственно формулами

-Л с^Л- ■ )

1-Хл

Необходимая для этой цши перегруппировка слагаемых оказывается возможной при любом /x/<i t так как ряды в правой части сходятся в этов случае абсолютно.

В операторном случае, как мы видели выше, подби* рая подходящую функцию и подходящее значение для S , можно получить ряд тождеств типа Ламберта. Другими словами, если

Л»/ г' то применяя к обоим частям операцию — у получим

Тождество (9) условимся называть тождеством типа Ламберта,

Далее Н.П.Романов для операторной дзета функции при весьма незначительных ограничениях, доказывает . справедливость соотношения

S4X М^х где «у« есть решение уравнения вида

На этом мы заканчиваем намеченный нами обзор исследования Н.П.Романова и переходим к изложению результатов, полученных нами.

Все наши исследования делятся на две части.Одна из них основаны на использовании формул#)«(7), выражаюодно из важных свойств операторной дзета-функции. Другая совокупность выводов , связана с приложением формулы (10).