Формулы Фейнмана для эволюционных уравнений над полем ρ-адических чисел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Белошапка, Ольга Валериевна

• Белошапка, Ольга Валериевна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Белошапка, Ольга Валериевна

1 Введение

2 Формулы Фейнмана для уравнений типа теплопроводности с оператором Владимирова

2.1 Предварительные сведения и обозначения.

2.2 Уравнения теплопроводности с оператором Владимирова

2.3 Формулы Троттера и Чернова как источники формул Фейнмана.

2.4 Полугруппа, порождаемая оператором Владимирова

2.5 Формулы Фейнмана.

3 Формулы Фейнмана-Каца для уравнений типа теплопроводности с оператором Владимирова

3.1 Построение меры типа винеровских.

3.2 Стохастическая непрерывность

3.3 Формулы Фейнмана-Каца.

4 Формулы Фейнмана для уравнения теплопроводности в пространстве последовательностей над полем р-адических чисел

4.1 Предварительные сведениия и обозначения.

4.2 Построение счетно-аддитивной меры на конфигурационном пространстве.

4.3 Постановка задачи Коши для уравнения теплопроводности

4.4 Существование и единственность решения.

4.5 Формулы Фейнмапа.

Глава

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Формулы Фейнмана для эволюционных уравнений над полем ρ-адических чисел»

Диссертация посвящена представлению решений некоторых эволю-ционнных уравнений над полем р-адических чисел с помощью формул Фейнмана и Фейнмана-Каца.

Формулой Фейнмана называется представление решения задачи Коши для эволюционного дифференциального или псевдодифференциального уравнения в виде предела интегралов по декартовым произведениям некоторого пространства при стремлении числа сомножителей к бесконечности.

Формулой Фейнмана-Каца называется представление решения той же задачи с помощью интеграла по траекториям в том же пространстве. При этом кратные интегралы в формуле Фейнмана совпадают с интегралами, являющимися конечнократными аппроксимациями интегралов по траекториям.

Связь между эволюционными уравнениями и интегрированием но пространству траекторий впервые явно была описана Р. Фепн-маном. В его статье, опубликованой в 1948 году решение уравнения Шредингера представлено в виде функционального интеграла, определяемого как предел последовательности эффективно вычисляемых интегралов по конечному произведению конфигурационных пространств. Несмотря на то, что рассуждения Фейнмана носили эвристический характер, оказалось, что им можно придать точный математический смысл. Э. Нельсон заметил, что доказательство формулы Фейнмана для представления решения уравнения Шредингера с потенциалом можно провести путем применения теоремы Троттера (доказанной независимо Ю.Л. Далецким). Таким образом было положено начало эффективному методу получения представления решений эволюционных уравнений функциональными интегралами. В работах О.Г. Смолянова, X. ф. Вайцзеккера и их соавторов было предложено вместо теоремы Троттера использовать значительно ее обобщающую теорему Чернова, что позволило существенно расширить область применения предложенного подхода. Другие методы получения представлений решений уравнений типа Шредингера функциональными интегралами обсуждались в работах С.Альбеверио, Ф.А.Березина. Ю.Л.Далецкого, В.П.Маслова, Э.Нельсона, О.Г.Смолянова. А.Трумена, Е.Т.Шавгулидзе и другими.

Оказалось, что формулы Фейнмана и Фейнмана-Каца позволяют получить представления решений широкого класса эволюционных уравнений, с псевдодифференциальным оператором в правой части. В частности, представления решений могут быть получены для эволюционных уравнений относительно функций действительного аргумента, принимающих значения в пространстве комплексных функций р-адического аргумента.

Важность исследования последнего случая связана в первую очередь с тем. что в последнее десятилетие найдены существенные применения р-адического анализа в области биохимии и теории сплошных сред. С помощью р-адического анализа построена модель так называемой спектральной диффузии в пространстве состояний макромолекул белка, а также явления абсорбции угарного газа мио-глобином. р-адическая модель процессов с белковыми молекулами включает в себя уравнение, аналогичное уравнению теплопроводности, понимаемое в данном контексте как кинетическое. Кроме того, р-адический анализ нашел применение при описании процессов так называемых спиновых стекол.

Отметим, что впервые возможность применения р-адического анализа в математической физике была отмечена в работах B.C. Владимирова и И.В. Воловича. В этих работах речь шла о его применении для описания физических процессов масштабов планковской длины.

Исследованиям дифференциальных и псевдодифференциальных операторов относительно функций р-адических аргументов, и, в частности, представлениям решений уравнений с этими операторами в виде интегралов по путям в пространствах р-адических чисел, посвящен ряд работ О.Г.Смолянова и Н.Н.Шамарова. Результаты первых двух глав диссертации распространяют полученные О.Г. Смо-ляновым и Н.Н.Шамаровым на n-мерный случай.

Эти результаты имеют также ряд точек соприкосновения с задачами, исследованными Р.С.Исмагиловым и B.C. Варадаражаном, использовавшими, однако, другие методы.

Всем сказанным и определяется актуальность темы диссертации.

Цель работы

Исследование применимости техники функционального интегрирования для представления решений некоторых эволюционных уравнений относительно функций, определенных над р-адическими пространствами.

Научная новизна Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них заключаются в следующем:

1. Получены представления решений уравнений типа теплопроводности относительно функций, определенных на произведении вещественной прямой и пространства Qpn интегралами Фейнмана.

2. Получена формула Фейнмаиа-Каца для уравнений типа теплопроводности относительно функций, определенных на произведении вещественной прямой и пространства Qpn.

3. Доказаны представления решений уравнений типа теплопроводности относительно функций, определенных на пространстве последовательностей над Qp с помощью формул Фейнмана.

Методы исследования

В диссертации используются методы бесконечномерного анализа и ряд специальных конструкций.

Теоретическая и практическая ценность Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут представлять интерес для специалистов, занимающихся математической физикой и р-адичсским анализом. Апробация диссертации

Результаты, изложенные в диссертации, прошли аппробацию па следующих конференциях:

1. Семинар механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова "Бесконечномерный анализ и математическая физика"под руководством д.ф.-м.н., проф. О.Г. Смолянова, д.ф.-м.н. доц. Е.Т. Шавгулидзе (2008-2010гг.).

2. Семинар отделения математической физики МИАН института им. Стеклова под руководством д.ф.-м.н., проф. B.C. Владимирова и д.ф.-м.н., проф. И.В. Воловича (2010г.).

3. XVI Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов», Москва, 2009.

4. XVII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов», Москва, 2010.

5. СЯ-геометрия и уравнения в частных производных - IV, Левико Терме, Италия, 2010.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в трех работах автора: [30], [31], [32].

Краткое содержание работы

В первой главе получены формулы Фейнмана для уравнений типа теплопроводности, в которых роль оператора Лапласа играет оператор Владимирова. При этом предполагается, что неизвестные функции определены на произведении вещественной прямой и пространства 0)рП - п-мерного пространства над полем р-адических чисел. Полученный результат обобщает случай, рассмотренный в работе [1] для неизвестных функций, определенных на произведении одномерного пространства над полем р-адических чисел и вещественной прямой.

Сформулируем задачу Коши для рассматриваемого случая. Пусть а-вещественное положительное число. Определим неположительную функцию да : —> [0;+оо) формулой да(х) = — Обозначим через (да-) самосопряженный неограниченный в ¿^(Ор") оператор поточеченого умножения па функцию да, с областью определения

Далее, определим аналог оператора Лапласа И" (оператор Владимирова) с помощью преобразования Фурье: £)а = о (да•) о .

Его область определения Д* = {/ е ¿2 : да ■ / £ Ь2}. Пусть г) : <0)р" С - ограниченная непрерывная функция, а (V) -ограниченный, определенный всюду в 1/2 (Орп) оператор поточечного умножения на V.

Под задачей Коши для уравнения теплопроводности с оператором Владимирова далее будем понимать задачу отыскания функции Ф : —» Ь2((Ц>р"). дифференцируемой на (0,+оо), непрерывной на [О, +оо) и удовлетворяющей следующим условиям: где для любого t > О ^Ф(^) •'= limT^o[r (предел в

Однозначная разрешимость задачи Коши устанавливается с помощью теории аналитических полугрупп, а именно следует из свойства оператора (Da + V) из правой части задачи (1.1) быть генератором аналитической полугруппы:

Определение 1 Однопараметрическая полугруппа G называется ана нитической, если существует такое вещественное число (''угол раствора сектора аналитичности") ip £ (0; |] , что сужение функции G на открытый луч (0 ; +оо) продолжается до аналитической функции G^ в открытом секторе Е^ , и если при этом замыкание сужения функции G9 на всякий меньший сектор , 0 < в < ip , может быть непрерыно продолжено на U {0}.

Предложение 1 Оператор Da является генераторолс ограниченной аналитической полугруппы в пространстве Z/2(Qpn) с углом раствора аналитичности f. Для каждого вещественного неотри

Da + V)4!{t) Фо,

1.1)

2-норме). ца тельного t справедливо равенство еi ^ = Fl2 о о jr-i

Сформулируем следствие из теоремы Чернова, называемое формулой Троттсра, которое будет использоваться для получения формул Фейнмана.

Теорема 1 (формула Троттера) Пусть А — генератор ОПП в вещественном или комплексном банаховом пространстве V с областью определения D\ , причем существует вещественное число е > 0 такое, что ||е^|| ^ ei//£ при 0 < t < е и пусть В — ограниченный оператор в пространстве V , всюду в этом пространстве определенный. Тогда оператор А + В , определенный на области Da формулой (А + В)х — Ах + Вх , тоже является генератором полугруппы, и для каждого положительного выцественного числа t > 0 и каждого вектора х G V справедливы называемые формулами Троттера равенства еча+в)х= iim . lim (е™'ве"'а)пх ,

71—++00 Т1—*+ОО

1.2) в которых пределы берутся снова по 1юрме пространства V .

Далее, для применения формулы Троттера и получения искомых формул Фейнмана, находим явный вид полугруппы, порождаемой оператором Владимирова. Пусть Si = etL>a, t > 0.

Лемма 1 Пусть f € L2(Qpu). Тогда St = J-^StTi2 почти для всех х, где (Stf)(x) =

При t > ü и f G L'y элемент S(f) представляется непрерывной функцией Ft^a * f, где Ftja - функция из L2 П Li, непрерывная на

V, с £ где ряд сходится равномерно.

Замечание 1 Здесь Q(t) - индикатор)1ая функция на вещественной прямой.

И, наконец, сформулируем главную теорему главы 1 об искомой формуле Фейнмана.

Теорема 2 Для всех Фо £ -^(Qp") и для некоторой возрастающей последовательности натуральных чисел (пk) решение задачи 1.1 для почти всех жо 6 Qpn имеет вид ty(t)xQ — lim / m(—,xo.dxi)e"kl'i'ClS>- m(—,xi,dx >0° ./,Ti 6Qp nk «Ac2eQ£ nk f m{—,xrih-Udxnk)ekv{x^4Q{xnk), (1.3)

Jxnk<= Q» nk де каждый допредельный интеграл существует при каждом значении его параметра, в частности, для каэюдого xq.

Замечание 2 Mepam(s,x1 А) вводится следующим образом. Пусть для каэ/сдого s > 0, ms a - мера с плотностью FSiCn относительно меры Хаара d"x. Пусть ttiq = 5, где 5 - мера Дирака, то есть <5(/i) = 1 при О Э А и 5(А) — 0 иначе. Определим сдвиг меры: mb}aAA) = m(si а> А) = - х) =: m(s, х, А), для каждого х £ Qp71 и каждого борелевского А С Qpn.

Как упоминалось выше, формулой Фейнмана называется представление решения задачи Коши для эволюционного дифференциального или псевдодифференциального уравнений с помощью предела интегралов по декартовым степеням некоторого пространства, в нашем случае - Qpn. Формулой Фейнмана-Каца называется представление решения той же задачи с помощью интеграла по траекториям в том же пространстве. При этом кратные интегралы в формуле Фейнмана совпадают с интегралами, являющимися конечнократными аппроксимациями интегралов по траекториям. Формуле Фейнмана-Каца для задачи Коши (1.1) посвящена вторая глава диссертации. Чтобы из полученных уже формул Фейнмана вывести формулы Фейнмана-Каца, необходимо, во-первых, построить аналог меры Винера на пространстве (Qpn)'0'^. Будем искать такую меру что ее конечномерные проекции совпадают с мерой, задаваемой формулой тТ^ЧАг х Л2 х . х Атп) = m(-,0,d2/i) / m(-,y1,dy2). m{—, г/ть dym), А* Е Qpn.

Jy^Ax п JV2£A2 п JymeAm m

Оказывается, такая мера существует и единственна, что доказывается с помощью теоремы Колмогорова.

В пространстве (Qpn)^0'£l для каждого s £ [0,t] определим линейный функционал 7TS формулой:

7rs:(Qp")[°'£l^Qp";7rs(a;)=a;(S).

Определим сигма-алгебру <jq на пространстве (Qpn)'0'^ как минимальную, содержащую множества, являющиеся прообразами при всевозможных конечномерных проекциях (Qpn)'0'^ —> (Qpn)m измеримых множеств В £ (Qp"')m

Определение 2 Случайный процесс £ на вероятностном пространстве ((Qpn)^, <Jcn 00 значениями в пространстве. Qp" определим формулой: : [0, *] х (<0>рп)М э (5,ш) -> тг» = и(з). (1.4)

Напомним определение стохастической непрерывности случайного процесса.

Определение 3 Случайный процесс г : TxQ —» X над некоторым вероятностным пространством (Тl,J-,P), являющийся случайной функцией параметра, пробегающего метрическое пространство Т, и принимающий значения в метрическом пространстве X, называется стохастически непрерывным, если сходяшрйся последовательности элементов tn —» to £ Т отвечает сходящаяся по вероятности к г(1 о, •) последовательность r(tn, •) случайных величин.

Блаодаря стохастической неперывности процесса £ со значениями в полном метрическом сепарабельном пространстве Qpn, существует счетно-аддитивная мера Mj. па сигма-алгебре а'с , являющейся "следом"сигма-алгебры асг на множестве всех отображений ф : [0,i] —> Qpn без разрывов второго рода, такая, что для каждой конечномерной проекции (Qpn)f°;il —» (Qpn)fc+1 образ меры М1С совпадает с гщ .

Получаем формулы Фейнмана-Каца:

Теорема 3 Задача Коши 1.1 с начальным условием фо имеет единственное решение, при каэюдом t > 0 определяемое равенством

ФШч)= f e^v^^dt7p0{q + 'y(0))Mtc(drf) (1.5)

AsC([0,ij)

В третьей главе диссертации получены формулы Фейнмана для уравнений типа теплопроводности относительно функций, определенных на пространстве последовательностей над нолем Qp. H.H. Шамаров получил аналогичный результат, в котором в качестве конфигурационного пространства было рассмотрено пространство функций на отрезке.

Сформулируем задачу Коши для рассматриваемого случая.

Пусть - векторные пространства над <0>р и пусть •)- билинейная форма над <0>р, задающая двойственность между и Р, а, стъ,с} — минимальная а-алебра на С}, порожденная линейными функционалами вида &(•, у). Пусть /х— сг-аддитивная относительно сг^д мера. Определим свертку двух мер ь> £ Мр следующей формулой:

О * р){А) := (¡1 <8) I/) о где прямое произведение мер цхи задается на иолуалгебре сх.{Р, Г)Па(Р, Р): ц х у : Ах х А2 ¡л(А\)и{А2), а оператор ф : Р х Р —Р задается формулой ф(г/, г?) = и 4- V.

Пусть /.¿— сг-аддитивная относительно сг^д мера. Определим ¿-преобразование

Фурье меры рь\

Аналогично, если ь>—сг-аддитивная относительно а^р мера, то ее Ъ-преобразование Фурье определим формулой

Возьмем в качестве С} пространство всех последовательностей над 0!р 11 возьмем в качестве Р пространство всех финитных последовательностей над (0>р. Билинейное относительно поля (0>р отображение оо хих2, .) = Я Е <2, (7/1,3/2, ■••) =У £ Р, задаегг двойственность между (¿и Р (далее переменная х будет обозначать элементы пространства переменная у- элементы пространства. Р). На пространстве Р естественным образом введем норму \\у\\ := тахг- \уг\р.

Рассмотрим на Р пространство комплекснозпачных счетно-аддитивных на аьур мер с ограниченной вариацией Мр, и рассмотрим на ф пространство преобразований Фурье мер из Мр. Каждая мера ^ Е Мр обладает конечной полной вариацией п иг = эир!^ \р{Ак)\ :пе{1, 2,.}, к= 1

Аз е °ъ,р,АзГ\Ак = 0\к,з = 1,2,.,п;7 ф к}.

Тогда существует счетно-аддитивная мера г>агм : иод —> [0, ||/л||], такая, что п

А) = 8ир{]Г НАк)\ :пЕ{ 1. 2,.}, А,- С А € <гЬ|Р, к=1

Фискируем вещественное число а > 0. Функция /„(у) = — нсположительная вещественнозначиая, /а : Р —> (—оо;0]. Будем обозначать символом ( — ||у||°-) или (/„•) неограниченный оператор умножения на функцию ¡а{у) = ~¡М|а в пространстве Мр, заданный на области определения £)(/ ) := {/г Е Мр : ((— ||у||°) • /л) Е Мр} формулой Ри.) Э /х ((-||у||а) • //) € МР Определим аналог оператора Лапласа па области определения Ба = {Д б : ||т/||а ■ /х 6 Мр} = {Д : /л е £)(/•)}• Определим свертку двух мер /л, V Е Мр следующей формулой:

1/)(Л) := J ц{А- у)ь>(<1у)} где для каждого у Е Р и каждого борелевского 6 а^ р цу = ц(А — у) -сдвиг меры ¡л нв вектор у.

Пусть ъ> Е Мр,у = V и пусть V — оператор умножения па ограниченную непрерывную функцию V Е Рд.

Под задачей Коши для уравнения теплопроводности с определенным выше аналогом оператора Лапласа далее будем понимать задачу отыскания непрерывной функции Ф аргумента определенной на неотрицательной вещественной полуоси, принимающей значения в нормированном подпространстве С ^ и удовлетворяющей условиям:

Ф(0) = Ф0, где для любого £ > О |Ф(£) := Ит^оЬ" (предел в пространстве ^д).

Однозначная разрешимость задачи 1.6 следует из теории однопара-метрических полугрупп. А именно, оказывается, что в пространстве Мр оператор умножения на функцию (—||?/||а-) является генератором аналитической полугруппы > 0} в £>(/„) С Мр. Это позволяет показать, что семейство операторов {еша,£ > 0} образует аналитическую сверточную полугруппу {(ш^а*) '• £ > 0} в где ш^а - счетно-аддитивная мера г^д на сгъд-, обладающая преобразованием Фурье вида ш^а{у) = существование и единственность которой доказываются с помощью теоремы Колмогорова. И, наконец, получаем, что оператор (Па + У) является генератором аналитической полугруппы в пространстве Fg, из чего непосредственно вытекает

Теорема 4 Задача (1.6) при любой начальном условии Фо Е Иа имеет единственное решение Ф, при 1 > 0 определяемое формулой:

Ф(*) = е^а+1/)ф0

Заметим, что экспонента от ограниченного оператора бУ может быть представлена рядом Тейлора Х^о ^т5"^71) сходящимся в операторной норме, и совпадает с оператором умножения на ограниченную функицю es'v.

Определим сдвиг меры Wt,a Для любого А £ c^q на вектор х £ Q: Wt,a,x(A) = - х) = w{t, Ж, Л). (1.7)

Тогда f*Wt,a)(xo)= / f(x)wt,a(dx - Х0) = / f(x)wt,a,xQ{dx). (1.8) JQ JQ

Итак, используя найденные явные виды полугрупп es-°a, предыдущую теорему и формулу Троттера, получаем искомые формулы Фейимана:

Теорема 5 При любом начальном условии £ Fq решение задачи Кош и (1.6) в точке .т0 £ Q может быть представлено в виде Формулы Фейнмана:

V(t)x0 = lim [ w(-, 0, dyijß-"^). [ Vl.dy2)e^x0+У2). . n Jy2eQ n ' i w{-,yn^dyn)e^+y^Q{yn), hin^Q n причем предел сходится равномерно.

Пользуясь случаем, хочу выразить глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, Олегу Георгиевичу Смолянову за постановку задачи, постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Глава 2

Формулы Фейнмана для уравнений типа теплопроводности с оператором Владимирова

Глава посвящена нахождению решений уравнений типа теплопроводности в виде интегралов ФеГшмана. в которых роль оператора Лапласа играет оператор Владимирова. При этом предполагается, что неизвестные функции определены на произведении вещественной прямой и пространства (0>р'1 — /¿-мерного пространства над полем р-адических чисел.

Формулой Фейнмана называется представление решения задачи Ко-ши для эволюционного уравнения в виде предела интегралов по декартовым произведениям некоторого пространства Е при стремлении числа сомножителей к бесконечности. Такое представление решения уравнения можно считать аналогом его решения в квадратурах.

В случае, когда пространство Е совпадает с областью определения функции, являющейся начальным условием задачи Котаи, формула Фейнмана называется формулой Фейнмана в конфигурационном пространстве; аналогично определяется и формула Фейнмана в импульсном пространстве.

Наконец, если Е — это произведение области определения функции, являющейся начальным условием, и сопряженного к ней пространства, говорят о формуле Фейнмана в фазовом пространстве.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Белошапка, Ольга Валериевна, 2010 год

1. Смоляное О.Г., Шалшров H.H. Формулы Фейнмана и Фейнмана-Каца для эволюционных уравнений с оператором Владимирова.// ДАН, 2008, том 420, №1, с.1-4.

2. Смоляное О.Г., Шамаров H.H. Представление решений эволюционных уравнений с оператором Владимирова интеграами Фейнмана по траекториям.// ДАН. 2009, том 425, №5, с.1-5.

3. Смоляное О.Г., Шамаров H.H. Гамильтоновы интегралы Фейнмана для уравнений с оператором Владимирова.// ДАН, 2010, том 431, №2, с.170-174.

4. Исмагилов P.C. О спектре самосопряженного оператора в Ь2(К), где К — локальное поле; Аналог формулы Фейнмана-Каца.// ТМФ. 1991, т.89, т, октябрь.

5. Varadarajan V.S. Path integrals for a class of p-adic Schrodinger-equations.// Lett. Math. Phys. 39 (1997) p.97-106.

6. Владимиров B.C., Воловин И.В., Зеленое Е.И.: р-адический анализ и математическая физика.// М.: Наука. Физматлит., 1994.

7. О. G. Smolyanov, A. G. Tokareu, and A. Truman Hamiltonian Feynman Path Integrals via the Chernoff Formula.// J. Math. Phys. 43 (10) 5161-5171 (2002)

8. Гихман И.И., Скороход A.B.: Теория случайных процессов. т.1.// М.: Наука, 1971.

9. Богачев В.И., Смоляное О.Г.: Действительный и функциональный анализ.// Москва, РХД, 2009.

10. Смоляное О.Г., Шавгулидзе Е.Т.: Континуальные интегралы./ / Москва, Издательство МГУ, 1990.1.. Engel К.-J., Nagel R.: One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations.// Springer-Verlag, N.Y., 2000.

11. Хъюитпт Э., Росс К.: Абстрактный гармонический анализ, т.1 // Издательство Мир, 1975.

12. Хыоитт Э., Росс К.: Абстрактный гармонический анализ, т.2 // Издательство Мир, 1975.

13. Дынкин Е.Б.: Основания теории марковских процессов.// Физ-матиз, 1959.

14. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы (том 1) Общая теория.// Издательство Едиториал УРСС, 2010.

15. Diestel J., Uhl J.J. Vector measures.// AMS, Providence, 1977.

16. Неве Ж. Математические основы теории вероятностей.// Издательство Мир, Москва, 1969.

17. Владимиров B.C. Таблицы интегралов комплекснозначных функций р-адического арумента.// М.: МИАН, 2003.

18. Владимиров B.C., Волови И.В. Суперанализ, 1. Дифференциальное исчисление.// ТМФ, 1984, т.59, №1, с.3-27.

19. Volovich I.V. p-adic string.// Class. Quantm. Grav., 1987, V.4, p.83-87.

20. Volovich I.V. Harmonyc Analysis and p-adic strings.//' Letters Math. Phys,, 1988. V.16, p.61-67.

21. Владимиров B.C., Волович И.В. р-адическая квантовая механика.// ДАН СССР, 1988, т.302, №2, е.320-322.

22. А в emu сов В. А., Вику лов А.Х, Осипов В. А. р-адические модели ультраметрической диффузии в конформационной динамике макромолекул.// Тр. МИАН, 2004.

23. Козырев С.В. Методы и приложения ультраметрического и р-адического анализа: от теории всплесков до биофизики.// М.: МИАН, 2008 (Соврем, пробл. математики; Вып. 12).

24. О. G. Smolyanov, A. G. Tokarev, and A. Truman Hamiltonian Feynman Path Integrals via the Chernoff Foimula.// J. Math. Phys. 43 (10) 5161-5171 (2002).

25. Chernoff R. A Note on Products Formulas for Operator Semigroups// Journal of Fubctional Analysis. No 2 (1968) p.238-242.

26. Feynman R.P. Space-Time Approach to Nonrelativistic Quantum Mechanics.// Rev. Mod. Phys, 20 (1948), 367-387.

27. Шамаров H.H. Мера Пуассона-Маслова и формулы Фейнмана для решения уравнения Дирака.// Фундаментальная и прикладная математика, 2006, т. 12, вып.6, 193-211.

28. Белошапка О. В. Формулы Фейнмана для уравнений Шредин-гера с оператором Владимирова.// Сборник тезисов Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2010».