Спектральный анализ пучков операторов, возникающих в задачах гидродинамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Гринив, Ростислав Олегович

• Гринив, Ростислав Олегович
• кандидат физико-математических наук
• 1996

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гринив, Ростислав Олегович

Введение

0.1. Полиномиальные пучки операторов

0.2. Обзор литературы

0.3. Основные результаты диссертации

0.4. Обозначения

Глава I. Пучок операторов, моделирующий колебания конечного стержня с внутренним трением.

§1. Постановка задачи и вспомогательные результаты.

1.1. Постановка задачи

1.2. Некоторые определения и используемые результаты

§2. Спектральные свойства пучка Ь(А).

2.1. Структура спектра. Обобщённый спектр

2.2. Случай С = 0 и ограниченного оператора В. Вещественный спектр

2.3. Нейтральные собственные значения

2.4. Случай неограниченных операторов В и С. Невещественный спектр

2.5. Вещественные СЗ пучка Ь(Х)

2.6. Асимптотика СЗ в —оо и в точке —1/а

§3. Задача Коши.

3.1. Классические и обобщённые решения

3.2. Базисность по Риссу системы СПВ оператора Т

3.3. Аналитичность полугруппы, порождённой оператором Т

3.4. Задача Коши

§4. Исследование дифференциальной задачи(1.1)—(1.2).

4.1. Свойства операторов А ж G

4.2. Асимптотика СЗ задачи(1.3)-(1.4) в —оо

4.3. Асимптотика СЗ задачи(1.3)-(1.4) в точке — 1/а

4.4. Задача Коши

Глава II. Пучок операторов, моделирующий колебания бесконечного стержня с внутренним трением.

§5. Постановка задачи и обзор результатов.

5.1. Механическая задача

5.2. Относительная компактность в смысле квадратичных форм

§6. Спектральные свойства пучка L(А).

6.1. Непрерывный спектр

6.2. Невещественный спектр

6.3. Число СЗ пучка L(А) в правой полуплоскости

6.4. Накопление СЗ к точкам —I/o; и

§7. Задача Коши.

7.1. Сведёние задачи Коши к системе первого порядка

7.2. Аналитичность Со-полугруппы, порождённой оператором Т

7.3. Решение задачи Коши

§8. Исследование дифференциальной задачи (5.1)—(5.2).

8.1. Свойства оператора G

8.2. СЗ в правой полуплоскости

8.3. Накопление СЗ к точкам 0 и — 1/а

8.4. Задача Коши

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральный анализ пучков операторов, возникающих в задачах гидродинамики»

0.1. Полиномиальные пучки операторов. Методы функционального анализа и, в частности, спектральной теории операторов широко применяются при исследовании различных линейных моделей математической физики (дифференциальных уравнений и краевых задач, теории оптимального управления, теории упругости, гидродинамики и др.)- При этом естественно возникают спектральные задачи для полиномиальных операторных пучков (пучков операторов).

Действительно, обычно в малом приближении эволюция физической системы описывается линейными .дифференциальными уравнениями. Рассматривая соответствующие дифференциальные операции как операторы в некотором гильбертовом пространстве функций К, эту систему уравнений можно записать в виде

Здесь I время. и{1) и /(£) — функции со значениями в пространстве описывающие состояние физической системы и внешнее воздействие на неё соответственно, 71, к = 0, п — линейные (вообще говоря, неограниченные) операторы в Применяя метод Фурье, то есть ища решение однородного уравнения, отвечающего (0.1), в виде и{Ь) = уегХЬ, где у € А £ С. мы приходим к следующему равенству:

Возникает'задача найти все пары (Л,у) собственных значений (частот колебаний) и собственных векторов (состояний), удовлетворяющие равенству (0.2). Другими словами, мы получаем спектральную задачу для полиномиального пучка операторов

1)

2)

Т(Х) := £ АкТк.

3) к=0 4

Систематическое построение спектральной теории полиномиальных (в частности, квадратичных) операторных пучков началось с работ М. В. Келдыша 1951 г. [XX] (см. также [10]) и М. Г. Крейна и X. Лангера 1963 г. [14, 15]. Так. в статье [11] были введены понятия цепочки собственного и присоединённых векторов, кратности собственного значения и кратной полноты системы всех собственных и присоединённых векторов. Там же аналитическими методами были получены важные результаты о поведении резольвенты Т~1(\) и разрешимости соответствующего уравнения (0.1). В работе [15] геометрическими методами пространств с индефинитной метрикой была доказана возможность факторизации на линейные сомножители квадратичных пучков из некоторого класса, что позволило глубже исследовать свойства цолноты и базисности системы всех собственных и присоединённых векторов. После этих фундаментальных работ оператор-нозначные функции начали интенсивно изучаться многими математиками, и за последние три десятилетия спектральная теория полиномиальных операторных пучков превратилась в самостоятельный и довольно глубоко разработанный раздел теории линейных операторов (см., например, монографии И. Ц. Гохберга и М. Г. Крейна [7], А. С. Маркуса [20], Л. Родмана [39]. а также статьи А. Г. Костюченко и М. Б. Оразова [12], Г. В. Радзи-евского [27], А. А. Шкаликова [31] и др.). Однако, несмотря на достаточно общие результаты, полученные в этих и многих других работах, потребности механики порождают новые классы операторных пучков, для которых имеющиеся схемы исследования не всегда применимы.

Именно два класса таких пучков и рассматриваются в настоящей диссертации. Они возникают, например, в задаче о малых поперечных колебаниях вязкоупругого трубопровода, находящегося в вязкой среде и несущего установившийся поток несжимаемой жидкости1 (см., например, [38]). Со

1 Другие задачи, приводящие к пучку (0.5), можно найти в литературе, указанной в [35]. ответствующее уравнение имеет вид д5и д4и д ( . ,ди\ лди ,д2и п . и приводит к квадратичному пучку операторов

Л) = А2/ + А(сь4 + В) + А + С, (5) в котором А — самосопряжённый оператор, а операторы В и С подчинены Л в некотором смысле (А-компактны в главе I и (А+/)-компактны в смысле квадратичных форм в главе II, что соответствует трубопроводу конечной и бесконечной длины; подробности см. в §1 и §5).

0.2. Обзор литературы. Уравнения малых поперечных колебаний трубопровода конечной длины в самой общей постановке были строго выведены М. П. Паидуиссисом и Н. Т. Иссидом в 1974 г. [38]. Эта задача рассматривалась затем во многих работах главным образом с точки зрения устойчивости соответствующей гидродинамической системы, причём как численными (см. [38, 8] и ссылки, приведённые там), так и абстрактными методами функционального анализа (см. [8, 30, 23] и др.). Спектральная дифференциальная задача для уравнения (0.4) исследовалась В. Н. Пиво-варчиком в [25]; там также основное внимание уделялось вопросу об устойчивости. В недавней статье А. А. Шкаликова [40] получена точная формула для индекса неустойчивости2 абстрактных пучков вида (0.5), учитывающих также гироскопические силы, то есть содержащих дополнительное слагаемое г\К с неотрицательным оператором К.

В 1994 г: П. Ланкастер и А. А. Шкаликов (см. [35]) детально исследовали абстрактный пучок операторов Ь{А), отвечающий рассматриваемой задаче, для случая С = 0. Там, в частности, была установлена область локализации и структура спектра пучка Ь(А), получена оценка числа невещественных собственных значений и изучена соответствующая задача

Здесь под индексом неустойчивости понимается число линейно независимых и растущих со временем

А) решений дифференциального уравнения Ь(4:)у = 0.

Коши. В первой главе настоящей диссертации результаты статьи [35] во многом уточняются и переносятся на случай С ф 0.

Спектральная дифференциальная задача для уравнения (0.4) на положительной полуоси (описывающего колебания полубесконечного стержня) рассматривалась В. Н. Пивоварчиком в статье [26], где асимптотическими методами установлены некоторые её спектральные свойства. Во второй главе диссертации исследуется пучок операторов, являющийся абстрактной- моделью этой задачи. Такой подход при более слабых условиях на параметры задачи позволяет .во многом улучшить и обобщить результаты работы [26]. Отметим, что исследуемый в этой главе пучок операторов имеет нетривиальный (то есть не сводящийся к дискретному множеству точек накопления собственных значений) существенный спектр, и что ранее пучки с таким свойством, по-видимому, не изучались.

0.3. Основные результаты диссертации. Опишем вкратце основные результаты диссертации.

В первой главе рассматривается пучок операторов (0.5) при следующих условиях на операторные коэффициенты А, В и С:

1) А — А* полуограничен снизу и имеет компактную резольвенту;

2) В = В* ^ 0 является А-компактным в смысле Като (см. п. 1.2.3);

3) С симметрический оператор, А-компактный в смысле Като.

В §1 приводится постановка исходной механической задачи и её сведение к пучку операторов Ь(\) вида (0.5), а также некоторые определения и неоднократно используемые в дальнейшем утверждения из спектральной теории операторов и операторных пучков, теории интерполяции и др.

Второй параграф является основным и посвящён исследованию структуры спектра пучка Ь(А) и области локализации его собственных значений. Поскольку с ограниченными операторами работать удобнее, в первом пункте вводится семейство пучков с ограниченными коэффициентат I ми 1/0(А) := Ав~1Ь(Х)А~в (не умаляя общности можно считать оператор А ограниченно обратимым, см. замечание 1.1). Если — шкала гильбертовых пространств, построенная по оператору А, то пучок Ьд(А) совпадает с Ь(А), рассматриваемым как оператор-функция в пространстве %в-\ с областью определения Т>{Ьо) = %в. Особую роль играет пучок ¿^(А) =: ¿(А), так как его коэффициенты являются ограниченными самосопряжёнными операторами в 1-1. Именно пучок ¿(А) и изучается в основном в дальнейшем, законность чего обосновывается следующей теоремой — основным результатом этого пункта.

Теорема 1 (2.1). Спектры пучков Ь(А) и Ьв(А) при 0 £ [0,1] совпадают. Более того. стезз(1) = (те53(Ьо) = {-1/а}, а(1Щ = аг(Ь) = аг(Ьв)

0, и канонические цепочки собственного и присоединённых веторов пучков Ь(А) и А), отвечающие нормальным собственным значениям, имеют одинаковую структуру.

Во втором и третьем пунктах рассматривается случай С = 0 и ограниченного оператора В, ранее детально исследованный в работе [35]. Тем не менее полученные здесь результаты существенно дополняют и уточняют результаты указанной статьи. Так, лемма 2.7 утверждает, что все собственные значения вне кольца Я(Ъ+,Ь~,а) (см. (2.2)) имеют дефинитный тип. Это позволяет установить число собственных значений пучка Ь(А) в интервале3 (аьО), определяющих асимптотику по времени решений соответствующей динамической задачи = 0 (см. §3).

Теорема 2 (2.2). Для числа т(«1,0) собственных значений пучка Ь(А) в интервале (а] . 0) выполняются неравенства4

3Числа О! ^ а-2 > аз ^ а4 суть абсциссы точек пересечения кольца Д(6+,6,о;) с вещественной осью.

4Лг,4 (к) есть функция распределения спектра оператора А.

Далее, следуя работе [32], вводится число нейтральных собственных значений г), которое учитывает как невещественные, так и вещественные собственные значения нейтрального типа (см. (2.6)). Аналитическими методами удаётся установить следующую оценку для числа г), уточняющую аналогичный результат работы [35].

Теорема 3 (2.3). Для числа. нейтральных собственных значений пучка Ь{\) справедлива оценка г]/2^МА(а1 + 0)-ЫА(а21).

Заметим, что введённая величина г] имеет важное значение — например, г]/2 связана с индексом неустойчивости пучка Ь(—г'А), то есть числом линейно независимых и неограниченных при £ —)- сю решений уравнения ц-фу = о.

Кроме того, при доказательстве этой теоремы обобщаются на случай неограниченных операторов некоторые утверждения о возмущении спектра аналитических семейств операторов.

В четвёртом и пятом пунктах устанавливаются результаты, аналогичные доказанным в пп. 2 и 3, для случая, когда операторы В и С неогра-ничены и В ^ 0. Лемма 2.16 описывает область локализации невещественного спектра пучка ¿-(А): он принадлежит пересечению полуплоскости {А <Е С | Ие А ^ го < 0} и некоторого кольца (быть может, вырождающегося в круг или точку). Далее, число невещественных собственных значений (точнее, число г] нейтральных собственных значений) пучка Ь(А) также можно оценить сверху. Отметим, что требуемая оценка доказывается геометрическими методами, путём сведения пучка Ь(А) к линейному пучку Ь(£) := £Т — С в пространстве Понтрягина и выделения максимального С-неположительного Т-инвариантного подпространства. 9

Теорема 4 (2.4). Пусть число г] нейтральных собственных значений пучка. Ь(А) определено равенством (2.6). Тогда г] конечно и

77/2 < 7Г0, где 7Го — наименьшая возможная суммарная кратность положительного

Число собственных значений х\(Ь) в правой полуплоскости (все они ведующая лемма.

Лемма 1 (2.19). Индекс неустойчивости х{Ь) пучка Ь(Х) конечен и равен и{А+С) суммарной кратности отрицательного спектра оператора А+С.

Наконец, в шестом пункте §2 исследуется асимптотика собственных значений пучка Ь{Х) в —оо и в точке — 1 /а.

Заметим, что при А ф — 1/а пучок Ь(X) есть относительно компактное возмущение пучка Ьо(Х) := А2/ + аХА + А и асимптотика их спектров в точке —сю' должна совпадать. Эвристические рассуждения подсказывают. что число собственных значений пучка Ьо(\) в интервале (г, ко) при ко > — 1/а. и г —>■ —со эквивалентно величине N ¿{—г / а). Это наблюдение обосновывает теорема 2.5.

Георема 5 (2.5). Пусть функция распределения собственных значений Мд(к) оператора А обладает свойством регулярности, то есть

Тогда количество г (г, ко) собственных значений пучка Ь( X) в интервале (г. ко), ко < — 1 /а, при г —> — оо асимптотически эквивалентно Nг/а).

Следствие 2 (2.22). Пусть 0 < р\ ^ . ^ рп ^ . суть собственные значения оператора А, а Хп — занумерованные в невозрастающем порядке ю спектр а оператора Ь(к) при к < —1/а. щественные), равное индексу неустойчивости х{Ь) пучка Ь(А), даёт еле

6) собственные значения пучка Ь(А), меньшие произвольного фиксированного числа ко < — 1/а. Тогда

К ~ -осрп при п —у оо (то есть, Хш\^\п/рп -- —а).

Далее, как утверждают леммы 2.23, 2.25 и следствие 2.24, точка — 1/а является точкой накопления собственных значений пучка Ь{Л) слева (справа) в том и'только том случае, когда оператор Т Ь{—1/а) имеет бесконечное число положительных (отрицательных) собственных значений. При этом число т(/г, г) собственных значений в интервале (/с, г), < г < — 1/а, равно5 7г(г) — 7г(/с); аналогично для интервала (г+,к+): — 1/а < г+ < к+, имеем т(г+, к+) — и(г+) — тт(к+). Следующая теорема устанавливает асимптотику величин 7г(г) и при г —> — 1/а — 0 и г+ —> — 1/а -)- О соответственно, то есть асимптотику количества собственных значений пучка Ь(А) вблизи точки —1/а. Отметим, что при этом изучение сложных величин сводится к исследованию более простых, ибо в конкретных задачах асимптотику функций п±(б,Т) удаётся найти явно (см. §4).

Теорема 6 (2.6). Пусть 7г( — 1/а) = оо (соответственно, и{—1/а) = оо) и функция распределения п+(з. Т) (соответственно, п(й, Т)) компактного оператора Т Ь( — 1/а) обладает свойством регулярности, то есть соответственно, п+(з(1 + е),Т) Пт Нт —-—;——г—- = 1

НтИт—^ ^ —- = 1).

-40 в—>0 П(в,Т)

Тогда л (г — 1/а) ~ п+(—га,Т) при г —>• 0— (соответственно, и (г — 1/а) п(га, Т) при г —» ОН-).

3Через п(к) (и(к)) обозначено число положительных (отрицательных) собственных значений оператора Цк).

В третьем параграфе исследуется задача Коши

Ьфи{Ь) = й(г) + (аА + В)й{Ь) + (Л + б>(£) = О м(0) - ¿о, й(0) = фъ

7)

8)

Сначала определяются понятия классических и элементарных решений уравнения (0.7) и производных по Келдышу цепочек пучка Ь(Х). Задача (0.7)-(0.8) сводится затем к уравнению первого порядка в "энергетическом" пространстве6 Н = Их/2 х "Но, и первая компонента функции г>(£) называется обобщённым решением исходной задачи Коши.

Как обычно, существование и единственность обобщённых решений устанавливается легче для этого-достаточно исследовать некоторые свойства оператора Т в пространстве Н. Благодаря тому, что оператор Т является (Сгсамосопряжённым, его каноническая система корневых векторов образует в Н базис Рисса7 (теорема 3.1). Далее, оператор Т является генератором Со-полугруппы операторов Щ в И, действующей по формуле (3.11)' (теорема 3.2), которая к тому же оказывается аналитической (лемма 3.4). Суммируя все эти результаты, получаем следующую теорему.

Теорема 7 (3.3). Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Тогда для любых начальных данных фо £ 7^1/2, ф\ £ "Но уравнение (0.7) имеет единственное обобщённое решение и(Ь), удовлетворяющее начальным условиям (0.8) в том смысле, что при £ —у 0 по норме пространства Н.

6Шкала гильбертовых пространств Не построена по оператору А.

При условии, что точка А = —1/а не является сингулярной, которое предполагается выполнении всюду в дальнейшем. Тг>(£), ад) -у (0о>1)

Это решение можно представить в виде и(Ь) .= е1*' £ (у) + ^ + • • • + = е^ £ сЭДф, (9) где к = 0есть цепочка собственного и присоединённых векторов, отвечающая собственному значению = + /со пучка Ь(Х). Ряд (0.9) сходится к и(1,) по норме пространства 7^1/2 безусловно и равномерно по Ь на любом конечном промежутке, а после почленного дифференцирования сходится к й(Ь) безусловно и равномерно по £ на любом конечном промежутке по норме пространства

Если каноническая система СПВ д:1к оператора Т выбрана регулярной, а С] знаковая характеристика ¿-той цепочки (см. предложение 2.12), то коэффициенты сопределяются по формуле

CJ = £з

Со (Л ^

О -I i-k

Ф, ОГ I где ф= (ф0, -кофо + ф\).

Что же касается классических решений, то они получаются при выборе более гладких начальных условий.

Теорема 8 (3.4), Пусть фо € Iii и ф\ Е Их/ъ- Тогда построенное в теореме 3.3 решение задачи Коши (3.1)-(3.2) является классическим.

В четвёртом параграфе полученные в §§2-3 результаты применяются для исследования конкретной дифференциальной задачи (0.4) (для простоты положено р(х) = 1, общий случай сводится к этому заменой переменных). Многие величины, связанные с операторами А, В и G можно вычислить явно, что позволяет получить точные формулы для соответствующеи спектральной задачи р-\х) [¡Г(х) + (д(х)у'(х))'} + \p-\x) [ау™(х) + ß(x)y{x)} + Х2у(х) = О, 2/(0) = /(0) - у( 1) - у"( 1) = 0.

10)

П)

Лемма 3 (4.2). Пусть ко < — 1/а; тогда число т(г. ко) собственных значений задачи (O.lO)-(O.ll) в интервале (г, fco) при г —>- —оо асимптотически

Следствие 4 (4.3). Пусть Хп — занумерованные в невозрастающем порядке собственные значения задачи (0.10)—(0.11), меньшие ко. Тогда (при произвольном выборе числа ко) справедливо соотношение

Лемма 5 (4.4). Точка X = —1/а является точкой накопления собственных значений задачи (0.10) (0.11) справа (слева) в том и только том случае, когда д+(х) ф 0 (соответственно, когда д~(х) ф 0).

Теорема 9 (4.1). Пусть все нули функции д(х) простые. Тогда для чисел г(А:. -г - 1/и ) ит(г+ — 1/се, к+) собственных значений задачи (0.10) (0.11) в интервалах (/с, —г — 1 /а) и (г+ — 1/а, к+) соответственно при г± —>• 0 справедливы представления числа с± явно определены в лемме 4.7).

Следствие б (4.8). Пусть X% (Х^) суть занумерованные в невозрастающем (соответственно, в неубывающем) порядке вещественные собственные значения задачи (0.10)—(0.11), большие —I/o; (соответственно, принадлежащие интервалу (fc, — l/a) при каком-то фиксированном fc < —1/a). Тогда

Хп = — а(7гп)4 + о(п4) при п —> оо. 2 при к оо к

Будем теперь искать решение и(х,Ь) уравнения (0.4) на [0,1], удовлетворяющее следующим краевым и начальным условиям:

Теорема 10 (4.2). Задача Коши (0.4),(0.12),(0.13) для любых начальных данных и ф\ € /7-2(0,1) имеет единственное обобщённое решение и{х^). Если дополнительно л ф\ е ^^'(0,1), то полученное решение будет классическим.

Во второй главе исследуется пучок операторов Ь(А) такого же вида (0.5), как и в первой главе, но с другими свойствами операторных коэффициентов Л, Б и С:

1) А = А* > 0, существенный спектр оператора А совпадает с положительной полуосью [0, со);

2) В = В* ^ 0 вполне непрерывен относительно А + / в смысле квадратичных форм (см.[3],[28]);

3) С симметричен, подчинён оператору А1/2, то есть |С| ^ д0А1!2 для некоторого положительного числа до, и (А + /)-компактен в смысле квадратичных форм.

Хотя при этом спектральные свойства пучка Ь(А) коренным образом меняются., многие методы исследования и результаты из первой главы остаются в силе.

13)

12)

Фо(х) е \Vlui0,1) := {у(х) Е Ж22(0,1) I 2,(0) - 2/(1) = 0}

Фо(х) Е И>^(0, 1) := {у(х) е Ж24(0,1) I 2/(0) = /(0) = 2/(1) = /(1) = 0}

В пятом параграфе приводится постановка механической задачи (5.1)-(5.2) и её сведение к изучаемому пучку операторов L(А). Затем объясняется понятие относительной компактности в смысле квадратичных форм и доказывается лемма об эквивалентности нескольких её определений.

В §6 исследуется спектр пучка L(А). Ключевым моментом здесь является тот факт, что существенный спектр теперь не сводится лишь к одной точке — 1 /а. Пусть J обозначает интервал (—оо, — I/o], а О — окружность радиуса I/o с центром в точке —l/cx.

Теорема 11 (6.1). Существенным спектром пучка L(А) является множество О U J.

Далее находится область локализации невещественных собственных значений пучка L(А). Согласно лемме 6.2, все они принадлежат пересечению левой полуплоскости и некоторого кольца с центром в точке —I/o (быть может, вырождающегося в круг или точку), внутренний и внешний радиусы которого определяются по операторам А, В и G. л

В следующем пункте исследуется спектр в правой полуплоскости. Имеет место результат, аналогичный лемме 2.19.

Лемма 7 (6.4). Все собственные значения пучка L(A) в правой полуплоскости вещественны; их количество равно v{A-\-G) — суммарной кратности отрицательного спектра оператора А + G.

Заметим, что теперь число u(A-\-G) может равняться +оо, и при этом вещественные собственные значения накапливаются к точке 0 справа (следствие 6.6). Если операторы А и G порождены конкретной дифференциальной задачей (0.4) на полуоси, то конечность или бесконечность величины 1у(А + G) зависит от поведения функции д{х) при х —> оо (следствие 0.4).

Вопрос о накоплении собственных значений из интервала ( — I/o, 0) к его концам изучается в последнем пункте §6. Удаётся установить лишь доста

16 точные признаки такого накопления8 (а не критерии, как в главе I).

Лемма 8 (6.7). Если /а) = оо (соответственно, z/(0) = ooj, то точка X = — 1 /a (Соответственно, А = 0) является точкой накопления вещественных собственных значений справа (соответственно, слева).

В §7 исследуется задача Коши (3.1)-(3.2) (с операторами А, В и G, обладающими теперь свойствами 1)-3) §5). Как и в §3, эта система сводится к уравнению первого порядка (3.6) в "энергетическом" пространстве Ш = "Hi/2 х Но с начальным условием (3.7). Хотя теперь оператор Т имеет нетривиальный существенный спектр, и поэтому система его собственных и присоединённых векторов неполна в Н, он, как и раньше, порождает аналитическую Co-полугруппу операторов Vt в Ш (теорема 7.1). Поэтому имеют место аналоги теорем 3.3 и 3.4 (теоремы 7.2 и 7.3) о существовании и единственности обобщённых и классических решений задачи Коши.

Наконец, в восьмом параграфе исследуется дифференциальная задача (0.4) на полуоси и соответствующая ей спектральная задача (5.3)^(5.4). Благодаря конкретному виду дифференциальных операторов А и G эти задачи удаётся изучить довольно детально.

Следствие 9 (8.2). а) Если д~{х) = 0, то весь невещественный спектр "Пучка L(А) лежит в круге

D — {X е С \ |А + l/a\ ^ 1 /а]. б) Если д+(х) = 0, то все невещественные собственные значения пучка L{А) лежат вне круга

D' = {А е С I |А + l/a\ ^ 1/(а^1-«&+)}, где b+ = ess sup (3(х).

8По-видимому, эти условия действительно не являются необходимыми.

Следствие 10 (8.4). а) Если д{х) ^ 0 при достаточно больших х и sup t /г°° g (s) ds — oo, то v{T) = oo. о б) Если max t L00 g+(s) ds ^ 1/4 при достаточно больших a > 0, то v{T) < t^a со и, в частности, f 00

Лемма 11 (8.6). Точка А = —1 /a является точкой накопления вещественных собственных значений справа в том и только том случае, когда g+(x) 0.

Наконец, свойства решений соответствующей задачи Коши в терминах гладкости начальных данных определяет

Теорема 12 (8.1). Задача Коши (0.4),(3.2) для любых начальных данных фо(х) G := {у(х) G W|(R+) I 2/(0) = у'(0) = 0} я ф\(х) G /,2(К+) имеет единственное обобщённое решение, удовлетворяющее краевым условиям

Если дополнительно функция фо(х) принадлежит пространству Ж24(1+), а ф\ (х) — пространству Wj¡jj (M), то полученное решение будет классическим.

0.4. Обозначения. Всюду в работе приняты следующие обозначения и определения (заимствованные, в основном, из книги [9]).

Пусть X и У — гильбертовы простанства, а Т — плотно определённый линейный оператор из X в У. Его область определения обозначается через D(T), область значений, или образ — через RanT := {Tv | v G D(T)}. Множество KerT := {г; G V(T) | Tv = 0} является ядром оператора Т, при этом число rmlT dim Ker Т есть ero индекс вырождения. Индексом дефект,a def Т называется размерность фактор-пространства У/ Ran Т.

18

Оператор Т является фредголъмовым, если nulT < сю и def Т < со, и при этом indT := nulT — def Т — его индекс.

Множество ограниченных операторов9 из X в Y обозначается через 05(X, Y); если Y = X, то вместо ©(X, X) пишем (X). Подпространства компактных операторов в 05(X, Y) и 05(X) обозначаются через ©^(X, Y) и ©оо(Х) соответственно.

Оператор Т, действующий из гильбертова пространства X в гильбертово пространство Y будем называть замкнутым (и писать Т G C(X,Y))y если его график Г(Т) := {(y,Tv) | v G D(T)} является замкнутым подпространством в пространстве X х Y. Если Т G £(X,Y) и D(T) = X, то оператор ограничен (теорема о замкнутом графике, см. [9, Гл.III, §5.4]).

Буквой I обозначается тождественный оператор.

Всюду в дальнейшем для словосочетаний "собственное значение" и "собственный вектор" используются сокращения СЗ и СВ соответственно.

Пусть оператор Т самосопряжён и компактен. Тогда n+(k,T) обозначает число СЗ оператора Т, больших к, a n(/c, Т) — число СЗ, меньших —к.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору А. А. Шкаликову за стимулирующие обсуждения и постоянное внимание к работе, а также И. А. Шейпаку и А. Я. Бурдяк за полезные обсуждения и ценные замечания.

9Иногда мы называем ограниченными операторы, которые заданы на плотной в X (и не совпадающей с X) области определения и имеют ограниченные замыкания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гринив, Ростислав Олегович, 1996 год

1. Азизов Т. Я., Иохвидов И. С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной, метрикой. — М.:Наука, 1986. — 352с.

2. Берг Й., Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства. Введение. — М.:Мир, 1980. — 264с. '

3. Бирман М. Ш. О спектре сингулярных граничных задач//Матем. сб. 1961. Т.55(97),2. С. 125-174.

4. Бирман М.Ш., Соломяк М. 3. Спектральная теория самосопряжённных операторов в гильбертовом пространстве. — Ленинград: ЛГУ, 1980. — 264с.

5. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1988. — 512с.

6. Глазман И. М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. — М.:Физматгиз, 1963. — 340с.

7. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введена,е в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом, пространстве. — М.: Наука, 1965. — 448с.

8. Зефиров В. И., Колесов В. В., Милославский А. И. Исследование собственных частот прямолинейного трубопровода//Изв. АН СССР. Сер. Мех. Тв. Тела 1985. № 1. С.179-188.

9. Като Т. Теория возмущений линейных опера,торов. . М.:Мир, 1972. — 740с.

10. Келдыш ' М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряжённых линейных операторов//УМП. 1971. Т. 26, вып. 4. С. 15-41.

11. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несомо сопряжённых уравнений// ДАН СССР. 1951. Т. 77, № 1. С. 11-14.

12. Костюченко А. Г., Оразов М.Б. Задача о колебаниях упругого полуцилиндра и связанные с ней самосопряженные квадратичные пучки// Тр. Семинара им. И. Г. Петровского. 1981. Вып. 6. С. 97-146.

13. Костюченко А. Г., Шкаликов A.A. Самосопряжённые квадратичные пучки и эллиптические задачи// Функц. ан. прилож. 1983 Т. 17, вып. 2. С. 38-61.

14. Крейн М.Г. Лангер Г. К. К теории квадратичных пучков самосопряжённых операторов// ДАН СССР. 1964. Т. 154, № 6. С. 1258-1261.

15. Крейн М\ Г., Лангер Г. К. О некоторых математических принципах теории демпфированных колебаний континуумов//Труды международного симпозиума по применению теории функций в механике сплошной среды. Т.2. — М.:Наука, 1965. С.283-322.

16. Крейн М. Г., Любарский Г. Я. Об аналитических свойствах мультипликаторов периодических канонических дифференциальных систем положительного типа//Изв. АНСССР. Сер. матем. 1962. Т. 26, № 4. С. 594-572.

17. Крейн М. Г. Про лгнтт цыком неперервш оператору, в функцгональних просторах з двома нормами//36. праць 1н-ту математики АН УРСР. 1947. № 9. С. 104-129.

18. Крейн С. Г., Петунии Ю. И. Шкалы банаховых пространств//УМН. 1966. Т.21, вып. 2. С.87-186.

19. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М.: Мир, 1971. — 371с.

20. Маркус А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. — Кишинёв: Штиинца, 1986. — 260с.

21. Маркус A.C., Мацаев В. И. Теоремы сравнения спектров линейных операторов и crie к/тральные асимптотики// Тр. Моск. матем. об-ва. 1982. Т. 45. С. 133-181.

22. Милославский А. И. К обоснованию спектрального подхода в неконсервативных зада,чах теории упругой устойчивости// Функц. ан. прилож. 198-3. Т. 17, вып. 3. С. 83-84.

23. Милославский А. И. Об устойчивости некоторых классов эволюционных уравнений// Сиб. матем. журн. 1985. Т. 26, № 5. С. 118-132.

24. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969. — 527с.

25. Пивоварчик В. Н. Краевая задача, связанная, с колебаниями стержня с внутренним и внешним, трением//Вест. МГУ. Сер. 1. Матем, мех. 1987. № 3. С.68-71.

26. Пивоварчик В.Н. О колебаниях полубесконечного стержня с внутренним и внешним ' трением,// ПММ. 1988. Т.52, № 5. С.829-836.

27. Радзиевский Г. В. Задача о полнот,е корневых векторов в спектральной теории oneparnop-функций// УМН. 1982. Т. 37, вып. 2. С. 81-145.

28. Рид М. Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2. Гармонический анализ. Самосопряжённость. — М.:Мир, 1978. — 395с.Т. 4- Анализ операторов — М.:Мир, 1982. — 428с.

29. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. .- 587с.

30. Челомей C.B. О динамической устойчивости упругих систем при протекании через них пульсирующей жидкости// Изв. АН СССР. Сер. Мех. Тв. Тела. 1984. № 5. С. 170-174. •

31. Шкаликов A.A. Эллиптические уравнения в гильбертовом пространстве и спектральные задачи, связанные с ними// Тр. Семинара им. И. Г. Петровского. 1989. Вып. 14. G.140-224.

32. Шкаликов А. А., Гринив Р. О. О пучке операторов, возникающем в задаче о колебаниистержня'с внутренним трением//Матем. заметки. 1994. Т.56, № 2. С.114-131.

33. Chen S., Triggiani R. Proof of extensions of two conjectures on structural damping for elast/ic systems//Pacific Journ. Math. 1989. V. 136, № 1. P. 15-55.

34. Grisvard P. Characterisation de quelques espaces d'interpolation// Arch. Rat. Mech. Anal. 1967. V. 25. Р.40ЧЗЗ.

35. Lancaster P., Shkalikov A. A. Damped vibrations of beams and related spectral problems/ /Canad. Appl. Math. Quart. 1994. V. 2, № 1. P. 45-90.

36. Lancaster P., Shkalikov A. A., Ye Q. Strongly definitizable linear pencils in Hilbert space// Integr. Equat. Oper. Th'. 1993. V. 17, № 3. P. 338-360.

37. Langer H. Spectral functions of definitizable operators in Krein spaces// in Lecture Notes in Mathematics, № 948. P. 1-46. — Berlin: Springer-Verlag, 1982.

38. PaTcloussis' M. P., Issid N. T. Dynamic stability of pipes conveying fluid// .J. Sound and ' Vibration. 1974. V.33, №3. P.267-294.

39. Rodman L. An introduction to operator polynomials — ОТ: Advances and Applications. Vol. 38. • Basel etc.: Birkhauser, 1989.

40. Shkalikov A. A. Operator pencils arising in elasticity and, hydrodynamics. The instability index formula// In Recent Developments in Operator Theory and its Applications — ОТ: Advances and Applications. Vol. 87. -- Basel etc.: Birkhauser, 1996.

41. Гринив P.O. Колебания полу бесконечного стержня с внутренним трением//УМН.1995. Т.50, вып.4. С.121.

42. Гринив P.O. О локализации собственных значений оператора Шрёдингера с потенциалом, зависящим, от спектрального параметра// УМН. 1996. Т.51, вып.5. С.120.

43. Гринив Р'. О. О спектре пучка операторов, возникающего в задаче о колебаниях полубесконечного ст.ержня с внутренним трением//Вестник МГУ. Сер 1. Матем., мех.1996. No.l. С. 19-23.

44. Гринив P.O. Спектральные свойства одного класса операторных пучков//УМК. 1994. Т.49, вып.4. С.125.