Развитие и обобщение теорем О. Таусски и А. Островского и исследование обобщенной модели Леонтьева-Форда тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Бутова, Светлана Борисовна

• Бутова, Светлана Борисовна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бутова, Светлана Борисовна

Введение.

1. Глава I Развитие и обобщение теорем Адамара, О. Таусски и А. Островского

2. Глава II Оценки относительной погрешности.

2.1. Оценки относительной погрешности приближенного решения.

2.2. Оценки относительной погрешности для приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений.

2.3. Оценки относительной погрешности для приближенного решения уравнения в симулярном случае.

2.4. Оценки относительной погрешности для приближенного решения для систем линейных алгебраических, дифференциальных и интегральных уравнений.

3. Глава III Модель Леонтьева-Форда и её развитие.

3.1. Модель Леонтьева-Форда. Существование неотрицательного решения.

3.2. Обобщенная модель Леонтьева-Форда. Существование неотрицательного решения.

3.3. Двойственная модель к обобщенной модели Леонтьева-Форда.

3.4. О некоторых развитиях модели межотраслевого баланса.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие и обобщение теорем О. Таусски и А. Островского и исследование обобщенной модели Леонтьева-Форда»

В теории операторных уравнений и ее приложениях важное место занимают результаты, относящиеся к проблеме существования положительного решения у соответствующего линейного уравнения. Естественно, что встречаются уравнения разных классов : линейные системы алгебраических уравнений, линейные интегральные уравнения, уравнения, связанные с задачами математической экономики, нелинейные уравнения соответствующих классов. Все эти типы уравнений являются примерами операторных уравнений. Операторными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестный элемент х соответствующего линейного нормированного пространства Е, содержится под знаком оператора, т.е. уравнение вида = 0 (1) При этом понятие положительного решения предполагает наличие в нормированном пространстве Е класса элементов К, называемых положительными (неотрицательными) элементами. Этот класс выделяется аксиоматически и выражает основные свойства, характерные для положительных (неотрицательных) элементов (чисел). Свойства эти легко описать следующей системой аксиом :

1) из х € К следует, что (Ля) е К для всех А > 0;

2) из х1, х2 е К следует, что (х, + х2) е К;

3) из х е К,х * 0 вытекает, что (-х) е" К;

4) предел х* (по норме пространства Е ) любой последовательности элементов если этот предел существует, является элементом множества К (свойства замкнутости множества К ). Любое множество элементов К, удовлетворяющее аксиомам 1) - 4), называется, следуя М.Г.Крейну конусом.

Наличие в пространстве Е конуса К позволяет ввести в пространстве Е отношение х>у сравнения для некоторых пар (х,у)элементов в пространстве

Е. А именно пишут, что х > у в том и только том случае, если разность (х-у)еК. Операция сравнения элементов обладает основными свойствами знака неравенства > , с помощью которого можно сравнить любые два действительных числа а и Ъ (либо а>Ь, либо Ъ>а). Подчеркнем, что с помощью знака х>>- можно сравнивать элементы не всякой пары, а лишь элементы некоторых пар (х,у). Поэтому в отличие от множества действительных чисел, которое упорядоченно с помощью знака х>у, множество элементов нормированного пространства называется полуупорядоченным пространством. Конечно, хотелось бы иметь для любого нормированного пространства возможность сравнивать между собой элементы любой пары (х,^) пространства Е, причем так, чтобы операция сравнения > обладала привычными свойствами обычного знака «>». Однако легко доказать, что для линейных пространств Е размерности большей или равной двум, это невозможно! Поэтому «жертвы» здесь неизбежны, оказывается, что «удобнее» пожертвовать потерей возможности сравнения элементов любой пары, нежели привычными свойствами знака «>». При этом речь идет о следующих свойствах знака «>» :

1) из х > у и Л > Оследует, что Лх > Лу и -Лх < -Лу;

2) из >уг,х2 >у2следует, что х,+х2 >у]+у2 (неравенства одного смысла можно почленно складывать) и (х1-у2> у1-х2), т.е. неравенства неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать;

3) если хп>уп и хп х(п оо) и у„ -> у(п -» да), то х > у, т.е. в неравенствах можно переходить к пределу. При этом под символом х„ х понимается сильная сходимость в Е (т.е. сходимость по норме пространства Е).

При наличии в пространстве Е знака «>» положительными (точнее сказать неотрицательными) элементами называются все элементы, которые удовлетворяют неравенствам х>0 .

При изучении операторных уравнения вида (1) важную роль во многих задачах является проблема существования у такого уравнения решения х* такого, что х* > О (т.е. неотрицательного решения). Последнее связанно прежде всего с тем , что для широкого класса уравнений именно такие решения имеют соответствующий задаче смысл. Например, если мы имеем уравнение межотраслевого баланса (модель Леонтьева), то это уравнение записывается в виде операторного уравнения вида х = Ах + Ь (2) где А заданная квадратная неотрицательная пхп матрица = я" (называемая п х п технологической матрицей), Ь е Я" - заданный неотрицательный вектор (так называемый вектор валового выпуска полезного продукта). При этом, понятно, что в силу экономического смысла решением х* уравнения (З)может быть лишь неотрицательным вектором, т.е. х* > 0. Это пример является простым наглядным примером уравнения, для которого важно не только установить существование решения х, а именно, решения, обладающие свойством неотрицательности, т.е. решения принадлежащего классу элементов конуса К (неотрицательных элементов!). Проблема существования у операторного уравнения (3) неотрицательного решения тесно связана с проблемой оценки величины спектрального радиуса г(А) линейного положительного оператора Л.

Именно с этим связанно то обстоятельство, что в работе столь пристальное внимание уделяется вопросам оценки сверху величины спектрального радиуса линейного положительного оператора А которым просвещена первая глава диссертации. Речь идет об оценках спектрального радиуса матричных операторов. В результате получены развития и усиления известных классических результатов теорем А.Островского (см. [17]) о строгих оценках сверху спектрального радиуса матричного оператора. Подчеркнем, что эти результаты являются развитием теорем А.Островского и находятся в таком же отношении к теореме А.Островского каком находиться известная теорема О.Таусски к теореме Адамара. Напомним утверждения двух последних теорем.

Теорема Адамара : Пусть А = (а,у) (/,у = 1,п)вещественная квадратная матрица причем ау <Опри 1ф] фп выполнены неравенства : для каждого 1 = 1 ,п

К1 С/ = и.,и) (3) м и* о

Тогда матрица^ имеет обратную матрицу Л"1, причем

А'1 >0, (4) т.е. обратная матрица неотрицательная. Теорема О.Таусски : Пусть аи < 0 , при (/; у = 1, п, / ф у) и

5)

1 и*о причем хотя бы для одного у = /0 (1 < /0 < п) в (6) имеет место строгое неравенство : п

7=1 и*1о)

Пусть матрица А неразложимая . Тогда матрица А имеет обратную А'1, причем выполняется неравенство (5).

Эта теорема Таусски «высветила» важную роль класса неразложимых матриц.

Очень важную роль в теории линейных алгебраических систем уравнений играют известные теоремы Островского [58]:

Первая теорема Островского : Пусть А = ) В = 0 (у, / = 1, п) причем для некоторого а е [0;1] при всех значениях / = 1,п выполняются неравенства аи>Р»ОГа Тогда матрица А неособенная .

В связи с этой теоремой возникает (после теоремы Таусски) естественный вопрос о том, а не имеет ли здесь место аналог теоремы Таусски, если дополнительно известно, что матрица А неразложимая ? Точнее говоря не следует ли из системы нестрогих неравенств аи>Р«&-а а = й) и строгого неравенства аи>Р"0)-а (1 <1<п) о'о 'о \ о ; хотя бы для одного г = /0, а также свойства неразложимости матрицы А свойство неособенности этой матрицы ? Оказывается что ответ на этот вопрос положительный ! Более того, в случае если а0 < 0 (при г ф у, г, у = 1, п) ,

А"1 не только существует, но и неотрицательная матрица !

Это утверждение представляет полный аналог теоремы Таусски в плане усиления (обобщения) теоремы Таусски для первой теоремы Островского. Аналогичный результат установлен и для второй теоремы Островского. 4

При этом получено дальнейшее развитие признаков Островского для матрицы бесконечного порядка.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Бутова, Светлана Борисовна

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем :

1. Указанны развития и усиления признаков неособенности квадратных матриц, классических признаков Островского в случае неразложимых матриц конечного и бесконечного порядков.

2. Получены новые строгие и квалифицированные оценки сверху для спектрального радиуса матрицы.

3. Указаны способы построения последовательности векторов {£/„},{к„} монотонно сходящихся соответственно снизу и сверху к собственному вектору х* положительной матрицы А, отвечающему ведущему собственному значению.

4. Для уравнения х = Вх + / в сингулярном случае (т.е. когда число Л = 1 является точкой спектра оператора В) указанны подпространство значений вектора /, для которых это уравнение имеет главное решение х* и предлагается алгоритм построения приближений х„, сходящихся к этому решению.

5. Получены оценки относительной погрешности приближенного решения уравнения х = Вх + / как для регулярного, так и для сингулярного случая.

6. Изучена обобщенная модель Леньтьева-Форда межотраслевого баланса, учитывающего экологический фактор, для которой введено понятие обобщенного решения , установлено существование решения модели, учтены свойства решения теоремы существования неотрицательного решения и критерий разрешимости.

7. Построена двойственная модель к обобщенной модели Леонтьева-Форда и изучены ее свойства.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бутова, Светлана Борисовна, 2000 год

1. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. -М.: Физматиз. 1967.-415 с.

2. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. -М.: Наука. 1961.-407 с.

3. Канторович П.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах-М.: Физматиз. 1959.- 684 с.

4. Канторович П.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. -М.: Гостехиздат. 1950.- 546 с.

5. Канторович П.В., Крылов В.Н. Приближенные методы высшего анализа. -М.-Л. Физматиз. 1962.- 708 с.

6. Karim S. Positive operators //J.Marh.Mech.-1955.-№ 8.-P. 907-938.

7. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика.-М.: Мир. 1969.-421с.

8. Функциональный анализ. Под ред. С.Г. Крейна. -М.: Наука. 1972.-544с.

9. Колмагоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. -М.: Наука. 1968.- 544 с.

10. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.:11. Наука. 1969. 455 с.

11. Красносельский М.А. Положительное решение операторных уравнений. -М.: Физматгиз. 1962. 396 с.

12. Красносельский М.А., Лившиц Е.А., Соболев A.B. Позитивные линейные системы. М.: Наука. 1985. - 256 с.

13. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат. 1956. - 372 с.

14. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха // Успехи математических наук. -1948.-№3 .-вып. 1 .-3-95 .с.

15. Опойцев В.И., Хурадзе Т.А. Нелинейные операторы в пространствах с конусом. Тбилиси: Издательство Тбилисского университета. 1984. -269.с.

16. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применения. М.: ИП. 1960. - 170 с.

17. Стеценко В.Я., Есаян А.Р. К вопросу о разрешимости уравнений второго рода.//Известия АН Таджикской ССР. 1964.-Т.2 (15). 13-35.С.

18. Стеценко В.Я. 2. Критерий неразрешимости линейных операторов // Успехи математических наук. 1966. - №21. - вып. 5. 265-267.С.

19. Стеценко В.Я. Исследования по теории положительных операторов в пространствах с конусом: Дисс. . д-ра физ.-мат. наук. Воронеж. 1969. -307с.

20. Стеценко В.Я. Критерии неразложимости линейных операторов // УМН.1966. т.21 - вын.5 (131). 265-266.С.

21. Стеценко В.Я. Об одном спектральном свойстве неразложимого оператора. // УМН. 1967. - т.22 - вып.З (135). 242-244.С.

22. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -М. JL: Физматгиз. 1963. - 612 с.

23. Bellman R. Introduction to matrix analysis Me Graw Hill. New York. 1960. (Русский перевод: P. Беллман. Введение в теорию матриц, М.: «Наука», 1969).

24. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. - 1966.

25. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Гостехиздат.27. 1951.-Ос.

26. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.: Гостехиздат. 1956. -Ос.

27. Pham D. Techiques du calciil matriciel. Dunod. Paris. -1962.

28. Fraser R.A., Dunkan W.J., Kollar A.R. Elementary matrices. London. Cambridge University.- 1938 (Русский перевод: P. Фрезер, В. Дункан, А. Коллар Теория матриц и ее приложения. - М.: И.Л. - 1950).

29. Halmos Р/R/ Finite dimensional vector spaces, 3 nd ed. Prmccton. Van Nostrand.- 1958 (Русский перевод: П. Халмош Конечномерные векторные пространства. - М.: Физматизд. -1963).

30. Шилов Г.Е. Введение в теорию линейных пространств. М.: Гостехиздат. 1952.

31. Taussky О. Commutativity in finite matrices // Amer. Math. Montly. 1952.-№64.-P.229-235.

32. Taussky 0. A not of the group commutator of A and A* // J. Washington Acad. Sci.-1959.- № 48 P.305.

33. Taussky 0. Commutators of unitary matrices which commute with one factor//J. Math. Mech. -1961.-№ 10.-P.175-178. (181-183)

34. Wielandt H. Unserlegbare, nicht negative Matrizen // Math. Z. 1952.-№ 52.- S. 642-648.

35. Fan Ky. A niinimal property of the eigenvalues of a hermitian transformation, if Amer. Math. Montly. 1953.-№ 60.- P.48-60.

36. Frobenius A. bber Matrizen aus positiven Elementen. //1. Sitzungsber, Kgl. Preuss. Akad. Wiss.-1908.- v.2.- S. 471-476.

37. Frobenius A. bber Matrizen aus positiven Elementen. //1. Sitzungsber, Kgl. Preuss. Akad. Wiss.- 1909.- v.2.- S. 514-518.

38. Frobenius A. bber Matrizen aus nicht negativen Elementen. // I. Sitzungsber, Kgl. Preuss. Akad. Wiss.-1912.- v.2.- S. 456-477. (223-225)

39. Hadamard S. Lecons sur la propa gation des ondes. Chelsea. New York. 1949.

40. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. -1966.- с.0.

41. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гос-техиздат.-1950.-93-100 с.

42. Mac Duffee C.C. The theory of matrices. Chelsea. New York. 1946.-p.0/

43. Parodi M. La localisation des valeurs caractéristiques cles matrices et ses applications. Gauthier-Villars. Paris.- 1959.- p.O (Русский перевод: M. Пароди. Локализация характеристических чисел матриц и ее применение. М.: ИЛ. -I960, -с).

44. Perron О. Theorie der algebraishen Gleichungen II (zweite Auflage). De Gruyter. Berlin.-1933.-s.O.

45. Brauer A. Limits for the characteristic roots of a matrix. //1. Duke Math. J.1946.- v.II,- № 13.-P.387-395.

46. Brauer A. Limits for the characteristic roots of a matrix. // I. Duke Math. J.1947.-v. IV.-№ 14.-P.21-26.

47. Brauer A. Limits for the characteristic roots of a matrix. //1. Duke Math. J. -1952,-v. П.-№ 19.-P.73-91.

48. Brauer A. The theorems of Ledermann and Ostrowski on positive matrices. // Duke Math. J.-1957.- № 24.- 256-274.

49. Wielandt H.W. Ein Einschliessungssatz fbr charcteristische Wurzein normaler Matizen. //Arch. Maht.-1948.-№ 1.- S.348-352.52. 54. Wielandt H.W. On eigenvalues of sams of normal martices. // Pacific J. Math.- 1955.- № 5.- S.633-638.

50. Гершгорин С.A. bber die Abgrenzung der Eigewerte einer Matrix. //' ИАН СССР, сер.физ.-матем.-1931.- C.749-754.

51. Hoffhian A.J., Wielandt H.W. The variation of the spectrum of a normal matrix // Duke Math. J,-1952.- 20.- P.37-39.

52. Дмитриев H.A., Дынкин Е.Б. О характеристических числах стохастических матриц. // ДАН СССР. -1945. 49. -159-162.С.

53. Marcus M., Mink H., Moils В. Some results nonnegative matrices. // J. Res. Nat. Bur. Standards. -1961. 65B. - P.205-209.

54. Ostrovski A. bber die Detmiinanted mit bberweignder Haupt diagonale. // Comm. Math. Helv. 1937. -10. - S.69-96.

55. Ostrovski A. bber das Nichtverschwinden einer klasse von Detmiinanted und die localisierang der charakteristishen Wurzein von Matrizen. // Compositio. Math. -1951.-9.- S.209-226.

56. Ostrovski A. Bounds for the greatest latent root ofa positive matrix. // J. London Math. S0C.-1952.- 27.- S.253-256.

57. Ostrovski A. On nearly tra ingular matrices.- J. Res. Nat. Bur. Standards.-1954.-52.- P.319-345.

58. Ostrovski A., Schneider H. Bounds for the maximal charakteristic roots of matrices. // Duke Math. J. -I960.- 27.- P.547-553.

59. Ostrovski A., Schneider H. Some teorems on the inertia of general matrices. // J. Math.Anal, and Appl.-1962.- 4.- P.72-84.

60. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. Пер. с англ. под ред. В.Б. Лидского. М.: Наука. -1972.- Ос.