Конечно аддитивное расширение Марковских операторов и эргодические теоремы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Жданок, Александр Иванович

• Жданок, Александр Иванович
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Жданок, Александр Иванович

Введение.

§ 0.1 Основные обозначения и определения.

§ 0.2 Постановка проблем.

§ 0.3 Предпосылки методологии.

§0.4 Замечания по поводу конечно аддитивных мер.

§ 0.5 Основные результаты работы.

Глава I. Конечно аддитивные меры.

§1.1 Чисто конечно аддитивные меры и интеграл по конечно аддитивной мере

§1.2 Регуляризация конечно аддитивных мер.

§ 1.3 Регуляризация меры и граничные множества. Разложения меры.

§ 1.4 Банаховы пределы числовых последовательностей.

§ 1.5 Слабо предельные точки последовательностей мер и банаховы пределы.

Глава II. Гамма-компактификация измеримых пространств.

§2.1 Общие замечания.

§ 2.2 Компактные расширения и банаховы алгебры.

§2.3 Конструкция гамма-компактификации измеримого пространства.

§ 2.4 Продолжение мер на гамма-компактификацию.

§ 2.5 Дальнейшие сведения о гамма-расширении точки.

Глава III. Расширение Марковских операторов на пространство конечно аддитивных мер.

§3.1 Двойственные пары Марковских операторов.

§ 3.2 Инвариантные меры конечно аддитивных расширений

Марковских операторов ("Основные теоремы").

§ 3.3 Конечно аддитивные цепи Маркова.

§ 3.4 Свойства множеств инвариантных мер Марковских операторов.

§3.5 Слабо предельные точки средних по Чезаро и инвариантные меры.

ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 3.6 Размерность множеств инвариантных мер.

Глава IV. Эргодические теоремы для Марковских операторов

§4.1 Построение для произвольной конечно аддитивной цепи Маркова ее феллеровского продолжения на гамма-компактификацию фазового пространства

§ 4.2 Эргодические альтернативы.

§4.3 Сильные предельные теоремы.

§4.4 Слабые предельные теоремы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конечно аддитивное расширение Марковских операторов и эргодические теоремы»

0.1 Основные обозначения и определения.

Большая часть обозначений и терминологии ориентирована на книгу Данфорда и Шварца [22].

X,Y, Z - множества, пространства, х, у, z,. - элементы (точки) множеств;

N - множество натуральных чисел,

N={1,2,3,.};

Z - множество целых чисел,

Z={.,- 2,-1,0,1,2,.};

R = R1 - множество действительных чисел, числовая прямая;

Q - множество рациональных чисел в R1]

- "алеф нуль", обозначение счетной мощности множества; с = tti - "континуум", обозначение континуальной мощности множества, 2**° = с = Ni;

Е = TjX - произвольная алгебра или а-алгебра подмножеств пространства X (считаем, что все алгебры содержат одноточечные подмножества из X); сг(£) - сигма-алгебра, порожденная алгеброй Е;

Т = Тх ji/=z srfx = gs = двх = ®Z == ®z{X) Е о

Е = Е = Int Е Fr(E) = ЕГ)(Х \ Е) dimX

X С С У X* кх атХ = аХ

13тх = рх

1т,Х = 7X исходная топология в X (считаем, что все топологические пространства Т\ -отделимы, т.е. все их одноточечные подмножества замкнуты); борелевская алгебра подмножеств в топологическом X, порожденная топологией тх\ борелевская сг-алгебра подмножеств в топологическом X, порожденная топологией тх; бэровская <т-алгебра подмножеств в топологическом X, порожденном "нулевыми множествами" непрерывных функций на X; замыкание множества Е С X в (Х,т)] внутренность множества Е С X в (X, т); граница множества Е С X в (X, г); размерность (по Гамелю) линейного пространства X; означает, что нормированное пространство X является замкнутым линейным подпространством в нормированном пространстве Y; пространство, топологически сопряженное к пространству Х\ конус неотрицательных элементов в полуупорядоченном пространстве X; александровская компактификация топологического пространства (X, г); стоун-чеховская компактификация топологического пространства (X, т); гамма-компактификация измеримого пространства (X, £);

Хе

В(Х) Н(Х, Е)

В(Х, Е)

В(Х, Е)

С{Х)

Ъа(Х, Е), са(Х, Е) р/а(Х, Е) rba(X, Е), rca(X, Е) характеристическая функция множества Ее Е: банахово пространство вещественных ограниченных Е-измеримых функций f : X R1 с равномерной sup-нормой; нормированное пространство конечных линейных комбинаций характеристических функций ХЕ) Е € Е, т.е. простых функций; банахово пространство, замыкание в равномерной норме пространства Н(Х, Е) в пространстве В(Х), Н(Х, Е) = В(Х, Е) С В(Х); банахово пространство всех вещественных ограниченных Е-измеримых функций / : X —» R1 с равномерной sup-нормой в случае, когда Е является а-алгеброй; банахово пространство вещественных ограниченных непрерывных функций / : X —» R1 с равномерной sup-нормой; банаховы пространства вещественных ограниченных мер \л : Е —» R1, с нормой, равной полной вариации, соответственно конечно аддитивных и счетно аддитивных мер (конечно аддитивные меры называют также зарядами); линейное нормированное подпространство в ba(X, Е) чисто конечно аддитивных мер; банаховы пространства - подпространства регулярных мер, соответственно в ba(X, Е) и са(Х, Е) (для топологического

Var(/i, Е) - вариация меры /л на множестве Ее Е;

M = Var (jm,X)i

Sx - мера Дирака в точке х Е X:

Интеграл функции / по мере /J на всем пространстве X будем обозначать: А) = (/, М) = /Ы = МЛ = / № = / f(x)n(dx) = f f(x)dfj,(x). х

Пусть М - одно из используемых пространств мер: тм - сильная метрическая топология в М\ тм* - слабая топология в М, порожденная сопряженным пространством М*; тв - слабая топология в М, порожденная пространством В(Х, Е); тс - слабая топология в М, порожденная пространством С(Х) (для топологического

X).

Перечисленные топологии для фиксированного М (для топологического X) сравнимы: тс -< тв -< тм* -< тм- Все топологии тм*, тв, тс задаются тихоновской базой топологии с системой окрестностей точки (j, Е М вида: = {г)ЕМ\ < е, г = l,2,.,n}; п Е N, е > 0.

Здесь ,., £п - линейные функционалы из соответствующих пространств М*, В(Х, Е), С(Х). В последних двух пространствах & - это любая функция / Е В(Х, Е) или / Е С{Х), понимаемая как линейный функционал на ba(X, Е) вида /(д) = (/,/л) = / fdfi. def

Sm — {/л Е М : /л > 0, /л(Х) = 1}, в частности:

SCa d— {/л G са(Х, Е) : уи > 0, /л(Х) = 1} - это все счетно аддитивные вероятностные меры на измеримом пространстве (X, Z); мы будем также называть вероятностными и конечно аддитивные меры из 5'ьа;

ЫМ{цп} L{nn)

Щ^п] Д ад

Для обозначения марковского процесса принято сокращение: МП.

В работе рассматриваются в основном однородные (по временни) марковские процессы с дискретным временем, которые также называют цепями Маркова и обозначают ЦМ.

ЦМ (счетно аддитивная), определенная на произвольном измеримом пространстве {X, Е), задается своей переходной функцией (вероятностью) р(х, Е), удовлетворяющей обычным условиям:

1) р : X х S [0,1];

2) р(;Е)еВ(Х,Е), УЕе Е;

3) р(х,-) е са(Х, Е), Ух е X;

4) р(х,Х) = 1, УхеХ.

В некоторых разделах работы будут рассмотрены также и конечно аддитивные ЦМ с заменой условий 3) на условие

3)'р(х,-) е Ьа(Х, Е), Ух ex.

Марковские операторы - это пара операторов Т и А, определяемых переходной функцией(счетно аддитивной) ЦМ:

- мера, являющаяся банаховым пределом последовательности мер {/-in}]

- множество всех банаховых пределов последовательности мер {/in};

- все тв-предельные меры для последовательности мер {/in};

- все т^-предельные меры для последовательности мер {/in};

- регуляризация меры ц £ Ъа(Х, !Ш), т.е. такая мера Д € rba(X,jrf), что /(д) — /(//.) для любой / € С(Х)\

- класс С-эквивалентных мер для д G rba(X, Е), \х > 0:

7г(/|) {Л € Ьа(Х, Щ : Л > 0, Л = //}.

Т : 5(Х,Е) - В(Х,Е), Tf(x) = (Tf)(x) = f f(y)p(x, dy), /GB(X,E),:r GX;

A : ca(X, £) —> ca(X, £), Ац(Е) = (Ац) (E) = J p(x, E)/j,(dx), ц g ca(X, s),£ge

Инвариантная мера ЦМ - мера fi g Sm, удовлетворяющая условию ^ = Ац. Обозначим Ам = {ц g Sm '■ Ц = A/i}. В частности, A = Аьа = g Sba • M = A^},

Aca {//. g Sca ■ ц = А/л},

Apfa d— {l-1' G Sba '■ A4 = A/i, /i — чисто конечно аддитивна}.

Средние по Чезаро для ЦМ, или эргодические средние ЦМ - это последовательность мер определяемая равенствами: 1 nti

Будем пользоваться следующими условными обозначениями, принятыми в вероятностной литературе: р\х,Е)=р(х,Еу, рк+1(х,Е)= ! pk(y,E)p(x,dy) = (pk(;E),p(x,•)), Л = .

JX

Верхний индекс в выражении рк(х,Е) означает не степень, а интегральную "свертку".

Тогда Акц = Jxpk(x,-)fj,(dx).

В соответствующих разделах настоящей работы мы будем повторять или уточнять приведенные определения и обозначения.

0.2 Постановка проблем.

В этом и последующих параграфах Введения (§ 0.2 - 0.5) мы хотим предварительно и схематично представить читателю основные решаемые на страницах настоящей работы проблемы. Мы предполагаем, что читатель знаком с основными понятиями общей теории меры и с элементами теории линейных операторов. Точные определения многих упоминаемых здесь объектов с комментариями будет дано в § 1.1 и ряде других. Если при чтении введения будут возникать терминологические трудности, то нужно использовать сводку обозначений из §0.1.

В работе рассматривается произвольное множество X с некоторой алгеброй или (7-алгеброй его подмножеств Е, т. е. измеримое пространство (X, Е). В некоторых случаях X предполагается топологическим пространством с топологией тис борелевской алгеброй ,<г/ или ст-алгеброй 38, порожденными топологией г, т. е. рассматриваются измеримые пространства или (Х,38).

На измеримом пространстве (X, Е) задается функция двух переменных: р\Х х Е —> В}, р(х,Е), которая является Е-измеримой по первой переменной и мерой (конечно аддитивной или счетно аддитивной) по второй переменной.

Для придания функции р(х, Е) вероятностного содержательного смысла потребуем, чтобы 0 < р(х,Е) ^ 1 при всех аргументах и р(х,Х) = 1 при всех х € X. Такую функцию р(х,Е) называют переходной функцией (переходной вероятностью).

Переходная функция р (х, Е) имеет в теории вероятностей конкретную смысловую интерпретацию. На {X, Е), называемым фазовым пространством, задается однородный (по времени) марковский процесс с дискретным временем, который полностью определяется своей переходной вероятностью р(х,Е), дающей вероятность перехода случайного процесса из точки х в множество Е за один шаг (во времени). При этом, обычно, фиксируется произвольная начлаьная точка xq е X, из которой начинается случайное движение (вместо точки xq можно взять и некоторое начальное распределение /г0 на (X, Е), т. е. вероятностную меру). Указанный случайный марковский процесс называют в теории вероятностей (однородной) цепью Маркова, которую далее будем сокращенно обозначать ЦМ. Подчеркнем, что слово "цепь" указывает на дискретность и счетность только "времени", а само фазовое пространство (X, Е) может быть каким угодно и иметь любую мощность или топологическую структуру (в старой литературе иногда термин "цепь" указывал и на счетность множества X, у нас — нет такого ограничения).

В теории цепей Маркова, как и всюду в классической теории вероятностей, рассматриваются только переходные функции р (х, Е), являющиеся счетно аддитивными мерами по второму аргументу, это условие будем пока считать выполненным и мы. Но далее в настоящей работе мы будем рассматривать и конечно аддттивные переходные функции.

Переходная функция р (х, Е), как интегральное ядро, однозначно порождает два линейных оператора Г и Л, действующих в пространствах функций и мер на (X, Е) соответственно. Эти операторы Т и А и будем называть Марковскими операторами:

Т : £(Х,£) - (Tf)(x) = Tf(x) = f f(y)p(x,dy), feB(X, E),xex

A : ca(X, E) ca(X, E), {Ац)(Е) = Ац{Е) = J p(f, E)^{dx), ц e ca(X, E), Ее E.

Эти операторы достаточно хорошо изучены. Они являются линейными, непрерывными (ограниченными) и ||Т|| = ЦАЦ = 1. Оба оператора положительны относительно конусов неотрицательных функций и мер соответственно. Оператор Т имеет в конусе неотрицательных функций Кв внутреннюю неподвижную точку /(ж) = 1.

Оператор А изометричен в конусе Кса, т.е., если /л > 0, то \\А/л\\ = ||д|| = /i(X). Тем самым оператор А переводит вероятностные меры в вероятностные: ASca С Sca. Оператор А может и не иметь неподвижной точки в конусе неотрицательных счетно аддитивных мер. Если же существует /1 = А/1 е Sca (это равносильно условию: Эту = Ar] е Кса), то такая мера называется инвариантной мерой оператора А (т. е. для переходной функции) или стационарным распределением цепи Маркова.

Пусть X является топологическим пространством, Е = 33 - борелев-ская сг-алгебра подмножеств в X, и на (X, задана переходная функция, т. е. ЦМ. Если выполняется Т[С(Х)] С С(Х), то такая цепь, а также ее Марковские операторы называются феллеровскими.

Пусть цо G S^ ид„ = Апцо = А/лп-1, п — 1,2,. ЦМ можно отождествить с последовательностью вероятностных мер {цп} = зависящей от начальной меры как от параметра. Таким образом, ЦМ можно рассматривать как некий итерационный процесс, порождаемый линейным положительным Марковским оператором в пространстве мер.

Предметом изучения в работе являются Марковские операторы, порождаемые переходными функциями на произвольных и топологически измеримых пространствах (X, £). Рассматриваются как счетно аддитивные, так и конечно аддитивные переходные функции, а также определяемые ими цепи Маркова.

Исследования в настоящей работе проводятся в рамках операторного подхода к изучению цепей Маркова, позволяющего использовать конструкции и методы функционального анализа, который был впервые в главных чертах разработан Иосидой и Какутани в работе [123] в 1941 году.

Целью настоящего исследования является изучение асимптотического поведения ЦМ, понимаемого как описанные выше итерационные операторные процедуры в пространстве мер. К асимптотическому поведению последовательностей мер здесь относится также и поведение всевозможных средних, в частности, средних по Чезаро. Сходимость рассматривается в различных сильных и слабых топологиях. Разумеется, подобные рассмотрения предполагают те или иные условия, накладываемые либо на фазовое пространство, либо на переходную функцию или на операторы Т и А.

Указанная проблема составляет существо классической эргодической теории для цепей Маркова, а конкретные предельные теоремы, дающие решение относящихся сюда вопросов, называются эргодическими (существуют разные точки зрения на то, какие именно предельные теоремы следует называть эргодическими, а какие нет. Мы следуем Хилле и Филипсу [72], стр. 523, где "эргодические теоремы" трактуются наиболее широко).

Эргодическая теория марковских процессов прежде всего, цепей Маркова, как самостоятельная дисциплина существует уже более полувека. Первоначально она развивалась в тесной связи с общей эргодической теорией для точечных преобразований (динамических систем), ориентированной на применения в статистической физике. Соответствующая литература весьма обширна и включает в себя работы многих крупных специалистов не только в области теории вероятностей, но и, в большей мере, в функциональном анализе. В настоящей работе будут упоминаться лишь те работы, которые имеют непосредственное отношение к полученным здесь результатам.

Цель нашей работы сформулирована выше в самых общих словах. Поскольку, многие относящиеся сюда проблемы решены, то указанную цель следует конкретизировать. Для этого необходимо сделать ряд замечаний исторического и методологического характера.

Предельные (эргодические) теоремы обычно доказывают при тех или иных предположениях. Типичными являются следующие ограничения, которые мы формулируем в форме, употребляемой в вероятностной литературе (мы указываем, в основном, монографическую литературу).

1. Ограничения на фазовое пространство. Случай конечного числа состояний для ЦМ, т. е. множества X, изучен практически до конца и изложен во многих монографиях (см., например, Кемени, Снелл [44]). ЦМ со счетным числом состояний устроена существенно сложнее, однако ее предельное поведение исследовано достаточно хорошо, но далеко не до конца (Дуб [23], Чжун-Кай-лай [75], Кемени, Снелл, Кнепп [45]). Не иссякает поток работ по изучению ЦМ на компакте. Предельное поведение ЦМ при различных ограничениях на фазовое пространство в целом представлено в учебнике А.А. Боровкова [12]. Детальный анализ эргодичности ЦМ на числовой прямой и в конечномерных пространствах дан в монографии А.А.Боровкова [13].

2. Условия на марковские операторы. Если предположить, что оператор Т или А, вполне непрерывен или квази вполне непрерывен (в другой терминологии - компактен или квазикомпактен), то из общих теорем функционального анализа следует подробная и полная картина асимптотического поведения ЦМ. Проблема здесь заключается в том, чтобы выразить условие (квази) вполне непрерывности оператора Т или А в терминах переходной функции. Решению этой проблемы посвящено много работ. Одним из самых известных условий такого рода является условие, полученное Деблином, и обобщенное затем Дубом [23]. Подробнее о ранней истории этого большого класса предельных теорем см. в книге Лоэва [53]. Предположение о феллеровости ЦМ также является условием на марковские операторы (условие ТС(Х) С С(Х)), которое позволяет более широко пользоваться топологическими методами при доказательстве предельных теорем (Иосида [41]). Существует еще много подобных условий на марковские операторы типа "гладкости" (см., например, Гирсанов [20], Розенблат [119], Туоминен и Твидэ [121]).

3. Предположение о существовании инвариантной вероятностной меры. Это предположение присутствует почти во всех основных эргодических теоремах, полученных Фе л л ером и Иосидой (Иосида [41]), и многих других авторов. "Априорная" инвариантная вероятностная мера перешла из общей эргодической теории, где ее существование является естественной физической предпосылкой в статистической физике (см. Халмош [71] и Данфорд, Шварц [22]). С другой стороны, постулируемое существование инвариантной вероятностной меры /х позволяет рассматривать марковские операторы в пространствах Лебега Ьр{Х,И, ц). Наличие хорошо развитой теории линейных операторов в пространствах Лебега и обеспечивает построение развернутой эргодической теории для таких ЦМ (см., например, статьи Хо-ровица [102] и [104]).

В настоящей работе в основных результатах не предполагается счетности пространства состояний, т.е. почти нет ограничений на фазовое пространство. Некоторые результаты будут связаны с предположениями второго типа и в соответствующих местах будут приведены более подробные библиографические ссылки. Что же касается предположений третьего типа, то именно их критический пересмотр обусловил появление данного исследования.

Существует "много" ЦМ, не имеющих инвариантных вероятностных мер. В то же время, есть примеры ЦМ, которые хотя и не имеют таких мер, но ведут себя в асимптотике достаточно "хорошо" (примеры приведены ниже). Этот факт достаточно хорошо известен, и еще Халмош [71] призывал к развитию эргодической теории без предположений такого рода.

Пусть ЦМ имеет инвариантную вероятностную меру /i. Большинство соответствующих эргодических теорем, которые доказываются для марковских операторов в пространствах LP(X, //), гарантируют существование пределов различных средних лишь //-почти всюду или в метрике пространства LP(X, Е, /л).

Это означает, что поведение траекторий ЦМ вне носителя инвариантной меры (в случае топологического X) остается не изученным. В тех же, весьма частых в практике ситуациях, когда инвариантная мера /л = 8Z имеет одноточечный носитель {z}, утверждения таких теорем становятся тривиальными. Важные вопросы о том, сходится ли ЦМ в каком-либо смысле к мере 5Z и как быстро, остаются открытыми.

К аналогичным неудобствам приводит и априорное фиксирование на фазовом пространстве ЦМ какой-либо меры р, (не обязательно инвариантной) и рассмотрение ЦМ почти всюду на (X, Е), т.е. исследование марковских операторов в пространствах типа LP(X,Y,, р), р < оо. В частности, изучение цепей Харриса [99] обычно проводится в пространствах Loo(X, Е,д), где специально введенная некая мера р, формально заранее не предполагается инвариантной (см., например, [98]). В монографии В.М.Шуренкова [78], в той ее части, где рассматривается дискретное время, также делается акцент на цепи, возвратные по Харрису. В этой связи интересно замечание А.А.Боровкова [11]: "Подавляющее большинство работ об эргодичности ЦМ посвящено харрисовым цепям, и можно считать, что последние изучены достаточно полно. Иначе обстоит дело с не харрисовыми цепями. В существующей литературе по ЦМ нам известно совсем мало работ, которые с неприводимостью по Харрису не связаны." В монографии [13] А.А. Боровков развивает свой подход к изучению эргодичности таких ЦМ. Сразу отмечаем, что настоящее исследование ориентировано именно на не харрисовые ЦМ.

Приведем следующий простой пример с инвариантными мерами. Пусть X = [0,1/2], Е = SS, на которых задано три ЦМ при помощи отображений F : X —> X:

Здесь мы полностью убрали стохастичность в вероятностях перехода

ЦМ1: F{x) = x2, х G [0,1/2];

- чем проще, тем лучше будет иллюстрация. Речь идет о детерминированных динамических системах.

Им соответствуют переходные функции рг(х,{х2}) = 1, х е [0,1/2]; р2(х,{х2}) = 1, х е (0,1/2], р2(0,{1/2}) = 1; р3(х1{х2}) = 1, хе (0,1/2), рз(0, {1/2}) = рз(1/2, {1/2}) = 1;

Марковские операторы в пространстве са([0,1/2], 8§) для трех ЦМ обозначим соответственно Л(i), А^) и А^.

Пусть 1Л° е Sca, /Л°((0,1/2)) = 1. Обозначим ^ = Afafi0, = и Дз — Тогда для всех трех ЦМ ^ = $ = $ и 1/2п)) = $((0,1/2п)) = ^((0, l/2n)) = 1 при п = 1, 2,. Легко проверить, что для любой / g С [о, 1/2] выполняется J fd/j,f —> f fd50 = /(0) при n —» oo и г = 1, 2,3, где <50 - мера Дирака в точке ноль, т.е. {/j"} сходятся слабо (в тс-топологии) к <50 (и даже равномерно по из указанного класса). Однако, при этом ЦМ1 имеет инвариантную вероятностную меру ЦМЗ -5i/2, а ЦМ2 вообще не имеет таковых. Если ЦМ не начинаются с отличной от нуля вероятностью из точек 0 и 1/2, то их предельное поведение идентично и никак не связано с отсутствием или наличием инвариантных счетно аддитивных вероятностных мер и с их "расположением".

Понятно, что предельные теоремы, гарантирующие существование тех или иных пределов почти всюду относительно инвариантных счетно аддитивных вероятностных мер не могут дать никакой существенной информации о построенных ЦМ. В частности, индивидуальная и статистическая эргодические теоремы (Иосида [41], стр.532-533), заведомо приводят к тавтологии для ЦМ, имеющих инвариантные меры с одноточечным носителем.

В работе ставится и в определенной степени решается задача: изучить асимптотическое поведение итераций от Марковских операторов, во-первых, вне носителей инвариантных вероятностных мер, а, во-вторых, при отсутствии таких мер.

В следующем параграфе мы расскажем, как будем решать эту проблему и снова вернемся к примеру с ЦМ1, ЦМ2 и ЦМЗ.

0.3 Предпосылки методологии.

Здесь мы лишь указываем на некие "Основные теоремы", на которые опираются представленные в настоящей работе исследования. Подробно эти теоремы и результаты автора в их развитие будут представлены в §3.2.

Пространства функций и мер находятся в определенной двойственной связи [22]: для произвольного (X, Е) выполняется В*(Х,Т,) — ba(X, Е), для нормального топологического X выполняется С*(Х) = rba(X для компактного хаусдорфового X выполняется С*(Х) = гса(Х. М), где знак равенства означает изометрический изоморфизм, и слева стоят пространства, топологически сопряженные к соответствующим пространствам функций. Отсюда следует, что лишь для феллеровской ЦМ, заданной на хаусдорфовом компакте, оператор А является сопряженным к оператору Т, суженному на пространство С(Х), что хорошо известно.

Используя конструкцию интеграла по конечно аддитивной мере [22], в рамках которой для любых / G В(Х, Е) и ц G ba(X, Е) существует интеграл J fdfi, продолжим (или расширим) оператор А с сохранением его аналитического вида на пространство ba(X, Е). Обозначим временно это продолжение Ах. Подставляя для каждого Ее Е характеристическую функцию / = Хе G В(Х,Е) в тождество f(T*fi) = l^(Tf), верное для всех /л G ba{X,Yi) и / G В(Х, Е), получим Т* = Аг. Таким образом, мы получаем замкнутую в функциональном смысле конструкцию

Т : В(Х, Е) - В(Х, Е), Tf(x) = / f(y)p(x, dy), при / G В(Х, Е), х G X;

Т* = Аг : ba(X, Е) Ьа(Х, Е), Аг/л(Е) = Jр(х, E)/i(dx), при ц G Ъа(Х, Е), Ее Е.

Очевидно, оператор А\ является линейным непрерывным оператором с нормой ||i4i|| = ||Л|| = ЦТ|| = 1. Оператор А\ положителен относительно конуса КЬа неотрицательных мер в ba(X, Е), и изометричен в нем.

Продолжение оператора А позволяет более широко использовать теоремы о неподвижных точках и спектральных свойствах положительных линейных операторов и их сопряженных. Так, из теоремы Крейна-Рутмана ([48] теорема 3.1, стр. 26), и из того факта, что оператор Т имеет в конусе Кв внутреннюю неподвижную точку f(x) = 1, сразу же следует следующее утверждение.

Основная теорема 1. Для любой ЦМ, заданной на произвольном измеримом пространстве (X, Е), существует инвариантная конечно аддитивная мера: л g Ъа(Х, е), л > о, а(х) = 1, а(Е) = /р(х, E)X{dx) ME е е (т.е. ЗА = АгХ g Sba)

Заметим, что из той же теоремы Крейна-Рутмана следует, что и любой Марковский процесс с непрерывным временем и переходной функцией р (t, х, Е) имеет инвариантную конечно аддитивную меру a g Sba

УЕ g е, а(Е) = jp(t, х, E)X(dx), Vt > 0.

Продолжение оператора А на пространство конечно аддитивных мер рассматривалось в работе Шидака [120]. Там же была доказана "Основная теорема I", однако более сложным путем и без использования положительности марковских операторов.

Неотрицательная мера а g ba(X, Е) называется чисто конечно аддитивной [124], если из 0 < /л < A, fj, g са(Х, Е) следует /л = 0. Произвольная мера A g ba(X, Е) называется чисто конечно аддитивной, если в ее разложении Жордана А = А+ — А"~ обе меры А+ и А- чисто конечно аддитивны. Известно [124], что любая конечно аддитивная мера единственным образом представила в виде А = Ai + А2; где Ai счетно аддитивна, т.е. Ai g са(Х, Е), а а2 - чисто конечно аддитивна.

Теорема 0.1. [120]. Пусть на (X, Е) задана некоторая ЦМ u А = А\Х g Sba■ Если А = ai + Аг есть разложение А на счетно аддитивную и чисто конечно аддитивную составляющие, то Ах = АгХг и Х2 = А\Х2.

Таким образом, достаточно рассматривать лишь счетно аддитивные и чисто конечно аддитивные инвариантные меры.

Аналогичное рассмотрение для феллеровских ЦМ проводилось в работах Фогеля [93], [94], [95], [97], представленное также в его монографин [96]. Пусть X такое топологическое пространство, для которого са(Х,£%) = rca(X, Зё). Для метрического X это всегда выполняется. Пусть на (X, 3$) задана феллеровская ЦМ. Тогда оператор А : гса(Х, 33) —>• гса(Х, 0), вообще говоря, не является сопряженным к оператору Т : С(Х) —> С(Х) (и тем более, к его расширению Т : В(Х, Е) —» В(Х, Е)). Однако, так же как и в общем случае, оператор А можно продолжить с сохранением его аналитического вида на пространство регулярных конечно аддитивных мер rba(X,s</), заданных на борелевской алгебре з/. Продолженный оператор : rba(X, —> rba(X, уже является топологически сопряженным к Т : С(Х) С(Х).

Тот факт, что меры для продолженного оператора определены на борелевской алгебре, а не на cr-алгебре, не должен вызывать особых затруднений. Если Л G rba(X,s$) оказывается счетно аддитивной, то по теореме Хана Л имеет единственное продолжение на 33 и, тем самым, Л G rca(X, 38).

Применяя к положительным операторам Т и теорему Крейна-Рутмана и, учитывая то, что оператор Т имеет в конусе внутреннюю неподвижную точку f(x) = 1, получим следующий результат.

Основная теорема II. Пусть для некоторого топологического пространства X выполняется са(Х,3§) = гса(Х,3§). Тогда для любой феллеровской ЦМ, заданной на (X, 3§), существует инвариантная регулярная конечно аддитивная мера:

Л е гЬа{Х, J2f), А > 0, АрО = 1,

А(Е) = fp(x, E)X(dx) УЕ G srf (т.е. ЗА = А2\ е Srba)•

Заметим, что этот результат отсутствует и у Шидака и в указанных выше работах Фогеля. Однако, утверждение "Основной теоремы II" можно было бы получить простым повторением доказательства Шидака "Основной теоремы I" с очевидными изменениями для феллеровского случая или слегка модифицируя доказательства теорем в работе Фогеля [93] (полагаем, что Фогелю и следует приписывать теорему II, которая у нас является прямым следствием теоремы Крейна - Рутмана).

Если А £ rba(X, то ее счетно аддитивная и чисто конечно аддитивная составляющие также будут регулярны.

Теорема 0.2.[94]. Пусть са(Х,3§) = rca(X,3§) u А = А2А е Srba

Если А = Ai + Л2 есть разложение X на счетно аддитивную и чисто конечно аддитивную составляющие, то Ai = А2Х\ и X2 = А2Х2.

Появление инвариантных конечно аддитивных мер в работах Ши-дака и Фогеля не повлекло за собой их специального рассмотрения. Более того, использование инвариантных конечно аддитивных мер для интегрального представления специального вида для переходной функции у Шидака, не привело ни к каким существенным отличиям (именно в этом вопросе!) от счетно аддитивного случая. Что касается работ Фогеля, то здесь конечно аддитивные меры рассматриваются лишь как промежуточный этап при построении инвариантных счетно аддитивных мер (см., например, работу Хоровица [103]).

Вернемся теперь к примеру, построенному в предыдущем параграфе. Согласно "Основной теореме I", все три ЦМ должны иметь инвариантную конечно аддитивную меру. Если рассматривать только ЦМ1 и ЦМЗ, то, на первый взгляд, утверждение Основной теоремы I тривиально выполнено, так как меры 50 и 8\/2 инвариантны (они даже счетно аддитивны) для ЦМ1 и ЦМЗ. Однако, для ЦМ2 нужно прибегнуть уже к более специальному рассмотрению. Если Л = А^Х е S)m, то такая мера, как легко проверить, обязана удовлетворять условию А((0,е)) = 1 для любого е > 0. А это как раз и есть "типичное" условие, которому удовлетворяют чисто конечно аддитивные меры. Заметим, что таких мер "очень много" - 22*0. Основная теорема I гарантирует, что среди таких мер есть хотя бы одна, инвариантная для ЦМ2.

Пусть А = л (2) Л € Sba для ЦМ2, т.е. А (Е) = f p2(x,E)X(dx),\/E е т. Поскольку А({0}) = А({1/2}) = 0, то [од/2]

J p2(x,E)X(dx) = J p2(x,E)\(dx), ME e

0,1/2] (од/2)

По построению, переходные функции всех трех ЦМ совпадают при х е (0,1/2) и Ее <%),1/2).

Следовательно, для любого Е £ <^(0,1/2) > i = 1, 2,3,

Л(Е) = А(2)Х(Е)= J p2{x,E)X(dx)= J p2(x,E)X(dx) =

0,1/2] (0,1/2) J Pi(x,E)X(dx) = J Pi(x,E)X(dx) = A{i)X(E), (0,1/2) [0,1/2] т.е. чисто конечно аддитивная мера Л является инвариантной также и для ЦМ1 и ЦМЗ.

Как было установлено в предыдущем параграфе, если /UO((0,1/2)) = 1, ро Е Sca, то последовательность {рп} для всех трех ЦМ слабо (в тс-топологии) сходится к мере 5о, которая, однако, для ЦМ2 и ЦМЗ не является инвариантной. Пусть А - построенная выше инвариантная для всех трех ЦМ чисто конечно аддитивная мера. Тогда, для любой / G С(Х), / > 0, получим для каждого е > 0 inf f{x) < [ f(x)X(dx) = [ f(x)X(dx) < sup f(x). x€(0,e) J J xe(0,e)

0,e) X

Поскольку / непрерывна и s > 0 произвольно, то

J f(x)X(dx) = /(0) = J f(x)60(dx).

X X

Для произвольной / € C(X) это равенство следует из разложения = /+ + Г •

Следовательно, если f fdpn f fd6о, то и J fdpn —> J fdX для любой feC(X).

Таким образом, все три ЦМ имеют общую инвариантную чисто конечно аддитивную меру А, к которой они слабо сходятся при любой начальной счетно аддитивной р0 6 Sca, ро((0> 1/2)) = 1- Заметим, что топология тс неотделима в пространстве Ъа(Х,38), и А и So попадают в один класс слабой эквивалентности.

В разобранном примере инвариантная чисто конечно аддитивная мера оказалась жестко связанной с асимптотическим поведением итераций марковских операторов. В то же время инвариантные счетно аддитивные (вероятностные) меры никакого влияния на асимптотику не оказывали. Такая ситуация и обусловила основную идею нашей работы, состоящую в том, что для общих Марковских операторов, т. е. цепей Маркова," ответственность" за то или иное асимптотическое поведение несут инвариантные конечно аддитивные меры.

По существу, все основные результаты работы служат обоснованием этой гипотезы.

0.4 Замечания по поводу конечно аддитивных мер.

Конечно аддитивные меры более интересны и, возможно, более важны, чем счетно аддитивныё'' - С. Бохнер (по свидетельству Д. Махарам [111]).

Как явствует из рассуждений предыдущего параграфа, особую роль в настоящей работе играют конечно аддитивные меры. Сделаем несколько библиографических и методологических замечаний по этому поводу. В принятой ныне аксиоматике в теории меры аксиома о счетной аддитивности меры является усилением аксиомы о конечной аддитивности. Было бы естественным ожидать, что конечно аддитивные меры, логически возникающие раньше счетно аддитивных, и более хорошо исследованы, чем последние. На самом деле это не так. Когда на рубеже XX века Борель и Лебег наконец построили "интеграл Лебега", то мера, по которой происходило интегрирование, с необходимостью оказалась счетно аддитивной ("мера Лебега"), заданной на "борелевской" 5-алгебре. Только "мера Лебега" позволяла построить интеграл, обобщающий интеграл Римана, а это и было целью Лебега и Бореля.

После этого вполне закономерными представляются работы Радона (1913 г.) и Фреше (1914 г.), в которых строится "интеграл Лебега" для уже произвольных мер, но обязательно счетно аддитивных. И, наконец, в 1918 г. Каратеодори строит счетно аддитивную меру аксиоматически, независимо от определения интеграла. Таким образом, построение и изучение счетно аддитивных мер было следствием конкретных практических нужд (обобщение интеграла Римана). Осознание же того, что конечно аддитивные меры могут рассматриваться не как промежуточный рабочий объект, а как самостоятельный предмет изучения, по-видимому, появилось у математиков существенно позже. Во всяком случае, первые работы, посвященные конечно аддитивным мерам как таковым появились лишь в 30-ые годы.

В 1934 году Фихтенгольц и Канторович [69] и одновременно Гильдебрандт [101] построили интеграл по конечно аддитивной мере, обобщающий интеграл Лебега. С этих работ и начинается развитие теории конечно аддитивных мер. Большая часть результатов для конечно аддитивных мер была получена в основополагающих работах Александрова А.Д. [82], [83], [84] и Иосиды и Хьюитта [124]. Впоследствии эти результаты были дополнены и развиты до единой стройной теории в книге Данфорда и Шварца [22]. Отметим, что многие относящиеся сюда конструкции и результаты получены авторами книги и опубликованы в [22] впервые. Из последующих работ отметим большие статьи Варадарайна [16], Топсо [68] и Терпе и Флаксмайер [67], которые выполнены уже в чисто функциональном духе. Меры здесь изучаются как элементы пространств, топологически сопряженных к некоторым пространствам функций. Аксиоматическая теория конечно аддитивной меры строится в монографии Б.К. Рао и Б.М. Рао [116], в которой такие меры называются зарядами (charges). Там же дается обширная библиография по данной теме.

Из недавних монографий по теории меры отметим книгу В. И. Бо-гачева [9], являющуюся исключительно полным и обстоятельным изложением не только сегодняшнего состояния данной науки, но и содержащим подробнейший экскурс в историю ее создания со всеми ссылками на оригинальные работы. В книге есть интересные примеры чисто конечно аддитивных мер, но основной ее материал излагается только для счетно аддитивных мер (также, как и в классической книге Халмоша [70]).

В отечественной литературе редко появляются работы, посвященные конечно аддитивным мерам как таковым. В этой связи укажем на статью С. А, Малюгина [54], в которой строится два нетривиальных примера чисто конечно аддитивных мер на отрезке ([0,1],^), обладающих весьма необычными свойствами. Другим примером является статья А. Г. Ку-сраева и С. А. Малюгина [50], в которой изучаются векторные конечно аддитивные меры.

Сделаем теперь одно замечание полемического характера. Обычно, ни у кого не вызывает сомнений необходимость изучения свойств конечно аддитивных мер в тех случаях, когда ищутся условия их счетной аддитивности. Под таким углом зрения, например, рассматриваются конечно аддитивные меры в работе Смолянова и Фомина [66]. Однако, после знакомства с некоторыми "экзотическими" свойствами чисто конечно аддитивных мер (т.е. не являющихся счетно аддитивными), нередко задается вопрос: не являются ли чисто конечно аддитивные меры слишком / надуманным математическим объектом? На это есть очень простой ответ.

Рассмотрим пространство C(R}) непрерывных ограниченных функций на числовой прямой. Уже в этом простом случае пространство всех линейных непрерывных функционалов на С {В}) (т.е. сопряженное пространство) содержит регулярные чисто конечно аддитивные меры (обобщение теоремы Рисса). Таким образом, чисто конечно аддитивные меры естественным образом возникают на самом деле в самых различных задачах функционального анализа и его приложений. Разумеется, не всегда и не все свойства линейных функционалов при этом используются, что и послужило почвой для разбираемого здесь критического замечания.

Обратимся теперь к нуждам теории вероятностей, в которой одной из важнейших проблем является изучение асимптотического поведения последовательностей "вероятностных", т.е. счетно аддитивных мер. Условия "слабой" сходимости мер занимают при этом центральное место. Под слабой сходимостью в теории вероятностей понимают сходимость мер в тс-топологии в пространстве счетно аддитивных мер. Если X не является бикомпактом, то С*(Х) = rba(X, srf) ф гса(Х, При этом пространство гса(Х,£$) не замкнуто в тс-топологии в rba(X, si). Если {цп} - последовательность вероятностных счетно аддитивных мер на гса(Х,&), то у нее всегда существуют тс-предельные точки в rba(X, £3), которые, вообще говоря, не счетно аддитивны. Поскольку при изучении гс-сходимости последовательности {/in} желательно рассматривать все ее гс-предельные точки, то возникает необходимость выходить из пространства счетно аддитивных мер в пространство конечно аддитивных мер. Этим обстоятельством и объясняется появление конечно аддитивных мер как самостоятельного объекта изучения в уже классических вероятностных работах Прохорова [63] и Боровкова [10]. "Все рассмотрения удобнее проводить не в пространстве мер, а в более широком пространстве зарядов" [10], пишет Боровков. В указанных работах, следуя А.Д. Александрову [82], зарядом называется конечно аддитивная мера.

В теории цепей Маркова конечно аддитивные меры впервые использовались в уже цитированных работах Шидака [120] и Фогеля [94], [95].

Следует отметить, что во всех перечисленных вероятностных исследованиях конечно аддитивные меры являются лишь промежуточным объектом на пути к счетно аддитивным мерам.

Укажем теперь на использование конечно аддитивных мер в ряде смежных наук, имеющих взаимосвязи с теорией вероятностей.

Прежде всего, необходимо указать на бурно развивающуюся сегодня теорию игр. Хорошо известно, что теория игр, по самой своей сути, обязана использовать аппарат теории вероятностей (и его содержательную трактовку), а основные изучаемые ею динамические по времени процессы могут трактоваться как цепи Маркова. Мы здесь не будем упоминать и использовать основные принципы и термины теории игр, но должны сделать лишь несколько замечаний, имеющих прямое отношение к настоящей работе.

Одним из центральных понятий теории игр является "стратегия", понимаемая как некоторая функция множеств, т. е. мера. На первом этапе своего развития в теории игр использовались стратегии, определенные счетно аддитивными мерами. Однако, в 1950 году появляется работа С. Карлина [105], в которой обосновывается необходимость привлечения счетно аддитивных мер к исследованию стратегий. Главный аргумент, если говорить только о чисто математической стороне вопроса, — такой же, как и у нас в настоящей работе. Согласно С. Карлину [105], стратегии, — это элементы сопряженного к С{Х) пространства. Если X — компакт, то С*(Х) действительно будет пространством всех счетно аддитивных мер на X. Если же нет, тогда в С*(Х) войдут и конечно аддитивные меры на X. Приведем цитату из [105]: 11 Игра разыгрывается на всех конечно-аддитивных распределениях, вместо счетно-аддитивных распределений. Идея С. Карлина нашла свое развитие в известной книге Дубинса и Сэведжа [91] (1965 г.), в которой конечно аддитивным мерам (стратегиям) придается конкретный вероятностный смысл. Отметим, что такие меры в [91] определены на счетном декартовом произведении счетных пространств с дискретной топологией (т. е. на №°).

Новые методы книги Дубинса и Сэведжа [91], восходящие к работе Карлина [105], получили очень широкое распространение среди математиков, специализирующихся в теории игр, и способствовали появлению целой серии работ на эту тему (см. например, ранние работы

88], [113], многочисленный список последующих работ мы уже не приводим). Из отечественных работ укажем на статью Е. Б. Яновской [81] опубликованной, особо подчеркнем, в журнале "Теория вероятностей и ее применения" (ТВиП) (1970 год; это чуть-ли не единственная по сегодняшний день публикация в нашей стране, посвященная конечно аддитивным мерам в теории игр).

В рамках этой же проблематики из теории игр в 1981 году появилась работа Рамакришнана [114] с (черезчур) общим названием "Конечно аддитивные цепи Маркова". В ней на языке стратегий рассматриваются весьма специальные цепи Маркова с конечно аддитивной переходной функцией на счетном пространстве (см. также [115]). Замечания по этому поводу у нас будут даны в Главе III.

С начала 1980-ых годов активно используются конечно аддитивные меры в теории экстремальных задач в многочисленных работах А.Г. Ченцова, что привело к созданию им новой методологии при решении экстремальных задач многокритериальной оптимизации. Это новое направление хорошо представлено в монографии А.Г. Ченцова [73]. Развитие метода привело к наделению конечно аддитивной меры вероятностным смыслом [74] и потребовало более детального изучения топологических свойств пространства конечно аддитивных мер [89]. Интересно, что использование конечно аддитивных мер в теории экстремальных задач привело, так же, как и в настоящей работе, к необходимости построения некоторого расширения исходного ("фазового") пространства [73]. Это совершенно независимая отдаленная аналогия свидетельствует о ненадуманности расширений (гамма-компактификаций) в наших иследованиях.

Можно констатировать, что на сегодняшний день конечно аддитивные "вероятности" уже перестали вызывать неприятие или осторожность у многих математиков. Одним из свидетельств тому служит появление в ТВиП статьи Епифани, Лиджой [92] с решением одной из проблем конечно аддитивной "вероятности".

Следует отметить, что изучение проблем "конечно аддитивной теории вероятностей" только начинается, поскольку затруднен прямой перенос конструкции случайных величин из счетно аддитивной теории в конечно аддитивную.

В настоящей работе априори не ставилась цель найти приложения для конечно аддитивных мер в теории цепей Маркова. Возникли они естественным образом на определенном этапе операторного исследования асимптотического поведения цепей Маркова. Первые же результаты, полученные автором в весьма частных случаях, показали, что инвариантные чисто конечно аддитивные меры могут нести существенную информацию об асимптотике цепей Маркова. Это обстоятельство и побудило автора предпринять систематическое исследование относящихся сюда вопросов в рамках функционального операторного подхода.

Отметим, что почти во всех исследованиях по теории конечно аддитивных мер, начиная с работ А.Д. Александрова и Иосиды и Хью-итта, и кончая перечисленными выше вероятностными работами, рассматриваются регулярные конечно аддитивные меры на топологических пространствах. Такие меры счетно аддитивны на любом компакте (это знаменитая теорема А.Д. Александрова). В рамках же развиваемого в настоящей работе подхода необходимо рассматривать инвариантные нерегулярные конечно аддитивные меры даже и для феллеровских марковских операторов. Этим объясняется то, что большая часть работы посвящена конечно аддитивным мерам.

0.5 Основные результаты работы.

1. Проведено продолжение Марковских операторов (со счетным аддитивным ядром) основных классов счетно аддитивных цепей Маркова с пространства счетно аддитивных мер на пространство конечно аддитивных мер и установлен методологически общий для всех таких цепей факт о существовании инвариантных конечно адитивных мер. Данный результат обобщает подобные полученные ранее результаты других авторов.

2. Рассмотрены Марковские операторы с конечно ад дитивным ядром и соответствующие им конечно аддитивные цепи Маркова. Доказаны общие теоремы о существовании инвариантных конечно аддитивных мер у таких операторов.

3. На основе известного представления банаховой алгебры В(Х, Е) через пространство C(Q), где Q — ее пространство максимальных идеалов (или множество двузначных конечно аддитивных мер), введена гамма-компактификация X произвольного измеримого пространства (X, Е). Исследовано топологическое строение гамма-компактификации исходного пространства. Изучены особенности продолжения измеримых ограниченных функций до непрерывных и конечно аддитивных ограниченных мер до счетно аддитивных при расширении исходного измеримого пространства до его гамма-компактификации. В частности даны условия выметания носителей исходных мер в нарост гамма-компактификации при продолжении мер.

4. Введено новое понятие — гамма-расширение точки при вложении топологического борелевского пространства в его гамма-компактификацию. Изучено устройство гамма-расширения точки и ее гамма-нароста для различных топологий в исходном пространстве, дано их представление в терминах двухзначных мер, и исследованы другие свойства. При некоторых условиях доказано, что гамма-компактификация исходного топологического пространства совпадает с объединением гамма-расширений всех его точек тогда и только тогда, когда X компактно.

5. Произвольной конечно аддитивной цепи Маркова на общем нетопологическом фазовом пространстве поставлена в соответствие некоторая феллеровская цепь Маркова на компакте - "гамма-цепь Маркова на гамма-компактификации" исходного фазового пространства. Переход от исходной цепи к феллеровской и обратно хорошо оснащен набором соответствующих отображений, дающих явные формулы перехода. Полученная конструкция позволяет трансформировать различные утверждения, верные для феллеровских цепей Маркова на компакте, в соответствующие утверждения для произвольных цепей.

6. Доказано, что классу всех феллероских цепей со счетно аддитивной переходной функцией на гамма-компактификации некоторого измеримого пространства биективно соответствует класс всех цепей Маркова на данном измеримом пространстве с конечно аддитивной переходной вероятностью, подкласс которого образуют традиционные цепи со счетно аддитивной переходной вероятностью. В терминах классов Марковских операторов указанное соответствие является изометрическим изоморфизмом.

7. В рамках разработанного автором подхода доказан набор теорем эргодического типа с альтернативными условиями, в которых асимптотическое поведение в различных топологиях средних по Чезаро от марковских последовательностей мер при всевозможных предположениях увязывается с инвариантными конечно аддитивными мерами Марковских операторов.

8. Введено понятие семейства конечно-осредненных цепей Маркова (и их операторов) для исходной цепи. Это позволило на основе полученных автором теорем эргодического типа для произвольных цепей Маркова доказать ряд новых теорем об условиях сильной сходимости средних по Чезаро для конечно-осредненных и исходных цепей Маркова.

В частности, доказана эквивалентность следующих двух условий:

1) для произвольной цепи Маркова ее конечно-осредненная цепь удовлетворяет условиям Дуба-Деблина (т.е. соответствующие марковские операторы квазикомпактны);

2) все инвариантные конечно аддитивные меры (они всегда существуют) исходного Марковского оператора счетно аддитивны (одновременно доказано, что в этом случае существует лишь конечное число линейно независимых инвариантных мер).

9. В последних теоремах работы даются условия слабой сходимости средних по Чезаро для Марковских операторов к инвариантной счетно аддитивной мере. Суть условий при тех или иных предположениях сводится к тому, чтобы все другие инвариантные конечно аддитивные меры попадали в один класс эквивалентности в слабой топологии с данной предельной инвариантной счетно аддитивной мерой.

10. Рассмотрены Марковские операторы, не имеющие инвариантных счетно аддитивных мер. При довольно общих предположениях доказано, что их асимптотическое поведение (средних по Чезаро) также характеризуется инвариантными чисто конечно аддитивными мерами.

Общим главным результатом работы мы считаем ее методологию, позволившую получить указанные выше и другие "основные результаты". Полагаем, что эта методология формирует новое направление в теории Марковских операторов, которое позволит получать новые результаты и за пределами настоящей работы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Жданок, Александр Иванович, 2006 год

1. Боровков А.А. Теория вероятностей. М., Изд. "Эдиториал УРСС" (ИМ СО РАН, Новосибирск), 1999. 470 с.

2. Боровков А.А. Эргодичность и устойчивость случайных процессов. М., Изд. "Эдиториал УРСС" (ИМ СО РАН, Новосибирск), 1999. -440 с.

3. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М., Наука, 1968. 272 с.

4. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах, меры на отделимых пространствах. М., Наука, 1977. — 600 с.

5. Варадарайн B.C. Меры на топологических пространствах. Матем. сборник. 1961. 55(97), I. С. 35-100 (Translated in Amer. Math. Soc. Translations (2) 78, P. 161-228 (1965)).

6. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М., Физматгиз, 1961. — 408 с.

7. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М., Наука, 1965. 304 с.

8. Гельбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М., Мир, 1967. 252 с.

9. Гирсанов И.В. Сильно-феллеровские процессы. ТВиП, 1960. V, I. С. 7-28.

10. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория, М., ИЛ, 1962. 896 с.

11. Дуб Дж.Л. Вероятностные процессы. М., ИЛ, 1956. — 606 с.

12. Емельянов Э.Ю. Условия регулярности марковских полугрупп на абстрактных .^-пространствах. Математические труды, 2004, Т. 7, № 1, (Новосибирск, изд-во Института математики СО РАН). С. 50-82.

13. Жданок А.И. Эргодическая теорема для нефеллеровских марковских процессов. — В сб.: XIV Всесоюзная школа-коллоквиум по теории вероятностей и математической статистике. Тезисы докладов. Тбилиси, "Мецниериба", 1980. С. 14-15.

14. Жданок А.И. Эргодические теоремы для негладких марковских процессов. В сб.: Топологические пространства и их отображения. Рига, изд-во ЛатвГУ, 1981. С. 18-33.

15. Жданок А.И. Инвариантные конечно аддитивные меры и предельное поведение марковских процессов с дискретным временем. -ДАН Укр ССР, N 3, 1981. С. 11-13.

16. Жданок А.И. Итерационные процессы как цепи Маркова. Латвийский матем. ежегодник, вып.26. Рига, "Зинатне", 1982. С. 153-164.

17. Жданок А.И. Гельфандовская компактификация и двузначные меры. В сб.: Топологические пространства и их отображения. Рига, изд-во ЛатвГУ, 1983. С. 161-164.

18. Жданок А.И. Необходимые и достаточные условия квазикомпактности марковскогоо оператора. — В сб.: VIII Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. Рига, изд-во ЛатвГУ, 1983. С. 84-85.

19. Жданок А.И. Регуляризация конечно аддитивных мер. Латвийский матем. ежегодник, вып.28. Рига, "Зинатне", 1984. С. 234-248.

20. Жданок А.И. Конечно аддитивные меры и метод расширения в эргодической теории. // Распределение на функциональных структурах. Препринт 87. 27. Киев, Институт математики АН УССР, 1987. С. 19-37.

21. Жданок А.И. Конечно аддитивные меры и метод расширения в теории цепей Маркова. В сб.: Пятая Международная Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике. Тезисы докладов, том 3. Вильнюс, изд-во АН ЛитССР, 1989. С. 217-218.

22. Жданок А.И. Конечно-аддитивные меры в эргодической теории цепей Маркова. I. Математические труды. Том 4, N 2, июль-декабрь, 2001. (Новосибирск, изд-во Института математики СО РАН). С. 5395.

23. Жданок А.И. Конечно-аддитивные меры в эргодической теории цепей Маркова. И. Математические труды. Том 5, N 1, январь-июнь, 2002. (Новосибирск, изд-во Института математики СО РАН). С. 46-65.

24. Zhdanok A.I. Finitely additive measures in ergodic theory of Markov chains I. Siberian Advances in Mathematics, v. 13, N 1, 2003. P. 87125. (USA, Allerton press inc.)

25. Zhdanok A.I. Finitely additive measures in ergodic theory of Markov chains II. Siberian Advances in Mathematics, v. 13, N 2, 2003. P. 108125. (USA, Allerton press inc.)

26. Жданок А.И. Чисто конечно-аддитивные аналоги меры Лебега на произвольных счетных множествах, плотных на числовой прямой, — Научные труды ТывГУ, выпуск 3, том 1, 2005. Кызыл, изд-во ТывГУ. С. 43-60.

27. Жданок А.И. Конечно аддитивно е расширение цепей Маркова и эргодические теоремы (монография). Кызыл, изд-во ТывГУ, 2005. 219 с.

28. Иосида К. Функциональный анализ. М., Мир, 1967. — 624 с.

29. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.-Л., Физматгиз, 1950. 548 с.43 4445