Линейные отношения, полугруппы линейных отношений и дифференциальные операторы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Загорский, Александр Сергеевич

• Загорский, Александр Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Загорский, Александр Сергеевич

Список обозначений.

Введение.

Глава 1. Некоторые сведения из теории линейных отношений.

§1 Основные определения из теории линейных отношений.

§2 Инвариантность и R-инвариантность.

§3 Свойство стабилизации степеней линейного отношения.

§4 Об одном классе полугрупп линейных отношений.

Глава 2. Комплексификация линейного отношения.

§ 1 О функциональном исчислении для линейных отношений на вещественных банаховых пространствах.

§2 О полугруппах операторов и спектральной теореме.

Глава 3. Исследование дифференциального оператора, порожденного задачей Коши с начальным условием из подпространства.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линейные отношения, полугруппы линейных отношений и дифференциальные операторы»

При развитии спектральной теории линейных операторов и ее приложений, часто возникают проблемы, связанные с необходимостью введения в рассмотрение линейных отношений (многозначных линейных операторов) и развития спектральной теории линейных отношений. Так, например, если линейный оператор, действующий в банаховом пространстве, имеет неплотную область определения, то не существует сопряженного оператора, а естественным образом возникает сопряженное линейное отношение. Последовательность линейных замкнутых операторов, сходящаяся относительно расстояния, использующего понятие раствора подпространств, может в пределе иметь линейное отношение, не являющееся графиком линейного оператора. При изучении вырожденных полугрупп операторов, возникающих при рассмотрении некорректных задач математической физики, в качестве генератора полугруппы естественным образом стали использоваться линейные отношения [12]. Изучение некоторых классов дифференциальных операторов приводит к необходимости рассмотрения полугрупп линейных отношений. Таким образом, дальнейшее развитие теории линейных отношений является весьма актуальной задачей.

К настоящему времени имеется монография [39], в которой систематически излагается теория линейных отношений и в которой имеется достаточно полная библиография проведенных до 1998г. исследований и в том числе по спектральной теории линейных отношений (глава 6). Более поздние исследования по спектральной теории линейных отношений содержатся в статье [9], а в монографии [41] получены ее приложения к вырожденным дифференциальным уравнениям.

В большинстве известных монографий (см. например [14], [16], [25], [31], [34], [401, [41], [39]), в которых подробно излагается, либо существенно используется спектральная теория линейных операторов в банаховых пространствах, их авторы, как правило, предполагают, что эти пространства являются комплексными, либо указывают на возможность комплексификации вещественного банахова пространства. Тем не менее, при построении спектральной теории линейных операторов в вещественных банаховых пространствах иногда необходимо подробно отслеживать переход в комплексифи-кацию пространства и обратный переход. Такие же вопросы возникают и при построении спектральной теории линейных отношений на вещественных банаховых пространствах. Оптимальным является построение функций операторов, проекторов Рисса, полугрупп операторов, не используя комплексификации вещественного пространства.

Несколько неожиданным явилась возможность использования спектральной теории линейных отношений при изучении линейных дифференциальных уравнений вида где А : D(A) С I -> I - линейный замкнутый оператор, действующий в комплексном банаховом пространстве X и являющийся генератором (инфинитезималы-гым производящим оператором) сильно непрерывной полугруппы операторов U : R+ —> End X. где End X — банахова алгебра эндоморфизмов банахова пространства

Одним из центральных вопросов качественной теории таких уравнений является исследование асимптотического поведения решений, а также нахождение условий существования ограниченных решений. Изучение этих вопросов в терминах экспоненциальной дихотомии решений однородного уравнения (1) связывают с именем Перрона. В его статье [53] асимптотические свойства решений однородных уравнений (в конечномерном пространстве X) соотносились (если использовать более современную терминологию) с определенными свойствами дифференциального оператора г d л рассматриваемого в банаховом пространстве Сг,(К+,Х) непрерывных и ограниченных на М+ функций и принимающих свои значения

1) = Ах + f(t)

X. в X. Эта работа послужила основой для дальнейшего развития качественной теории дифференциальных уравнений (вообще говоря с переменными коэффициентами A(t), t ^ 0). Для случая ограниченных операторов A(t), t ^ 0 можно обратится к хорошо известным монографиям Массера, Шеффера [28] и Далецкого, Крейна [15], которые характеризовали экспоненциальную дихотомию решений в терминах сюръективности оператора L и условия замкнутости и дополняемости подпространства векторов из X, являющихся начальными условиями для ограниченных на R+ решений однородного дифференциального уравнения. В этих монографиях подчеркивалась крайняя важность развития соответствующей теории для дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами.

В последнее время резко возрос интерес к изучению качественных свойств решений дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами. В монографии [38] подведены итоги исследований до 1999 года и в ней содержится очень подробный обзор полученных результатов. При этом стал систематически применятся операторный подход, основанный на использовании оператора L в подходящих функциональных протсранствах. Одним из наиболее используемых методов исследования оператора L стал метод, основанный на применении разностных операторов.

Пусть Е — замкнутое подпространство из X. Рассмотрим линейный оператор

СЕ : D{Ce) С Г(Ж+,Х) F{R+,X), который определяется в любом рассматриваемом здесь банаховом пространстве е {ЬР(Ш+,Х), р е [1,оо]; Cb(R+,X)} следующим образом. Непрерывная функция х G для которой вектор ж(0) принадлежит Е, относится к области определения D(jCe) оператора если существует функция / б X) такая, что верно равенство t x{t) = U{t)x{0) - J U(t - T)f{r)dr, t 2 0. о

Далее полагается Сех = /. Если Е — {0}, то оператор Cq — Се определяется с помощью равенств i x{t) = - J U(t- r)/(r)dr, t 2 0. о

Изучение оператора Се существенно стимулируется использованием его спектральных свойств при исследовании факторизации интегрального оператора. Винера-Хопфа с рациональным ядром [42], где L —---А. А Е End, С"', изучался в гильбертовом пространdt стве С'д). Исследование оператора Се важно также в связи с тем, что ранее раздельно изучающиеся операторы £0 и £>х можно рассматривать как принадлежащие одному (более общему) классу операторов.

Пусть LRC(X) — множество линейных замкнутых отношений на банаховом пространстве X, то есть множество замкнутых линейных подпространств из X х X. Отображение Т : М+ —» LRC(X), удовлетворяющее условиям: 1) Т(0) = I — тождественный оператор из End X С LRC(X) (при отождествлении операторов с их графиками); 2) T(ti -Иг) = T(£i)T(£2), £i,£2 G М+, называется полугруппой линейных отношений на банаховом пространстве X.

Оператору Се поставим в соответствие полугруппу 7g : Е+ —» ЬЯС(Т{Ж+, X)) отношений на функциональном пространстве Т — F(R+,X) вида г /Л Г( гп ( \ f U{t)x{s-t), s^t, { G Т Х * •' ^ = 1 U(s)xо(в), о < s < t, где Xq : [0, £] —> Е - некоторая функция из подпространства (2) хеТ} }.

При этом отметим, что если Т — Сь = C&(R+,X), то полугруппа Те определяется равенствами (2), где хо : [0,£] —> Е — некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая условию xo(t) — ж(0).

Кроме того, оператору Се сопоставим линейное отношение JCe на банаховом пространстве последовательностей lp = lp(Z+,X), р £

1, оо], определив его равенствами г/ \ , ; / \ ( U(l)x(n - 1), п > 1, KE = {(x,y)ei1,y.ip-.y(n) = ){^" n = Q; для некоторого xq Е Е }.

Отметим, что разностные операторы использовались в работе В.М. Тюрина [32].

Приводимые в диссертации исследования показывают, что изучение оператора Се во многом сводится к изучению соответствующих свойств (обратимость, инъективность, сюръективность и т.д.) для отношения Т>е = I — Ке и операторов / — (it), t > 0. Таким образом, использование спектральной теории линейных отношений при исследовании дифференциального оператора является весьма актуальной задачей.

Важно отметить, что полугруппы отношений возникают также при рассмотрении задачи x(to) = ж(0) G X, где to > 0, для дифференциального уравнения вида (1). Для нахождения решения такой задачи, по сути дела, приходится привлекать полугруппу T{t) = ([/(Z:))""1, t ^ 0, являющуюся, в случае если Ker U(t) ^ {0} для некоторого t > 0, полугруппой отношений.

Основными целями работы являются:

1) построение спектральной теории линейных отношений на вещественных банаховых пространствах;

2) изучение полугрупп операторов на вещественных банаховых пространствах;

3) изучение полугрупп линейных отношений с компактным спектром;

4) исследование дифференциальных операторов методами теории полугрупп и с использованием разностных отношений;

5) исследование условий обратимости дифференциальных операторов;

6) исследование структур гиперболических полугрупп линейных отношений.

В работе используются методы спектральной теории линейных операторов и линейных отношений, методы комплексного анализа, теории полугрупп операторов дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.

В качестве основных результатов можно выделить следующие:

1) исследована структура полугруппы линейных отношений с компактным спектром;

2) получены формулы для функций от линейных отношений на вещественных банаховых пространствах;

3) получены формула для полугруппы вещественных операторов, генератором которой является заданный вещественный оператор комплексификация которого является секториальным оператором и формула вещественного проектора (для вещественного отношения), аналогичного проектору Рисса;

4) установлена связь между свойствами дифференциальных операторов и разностных линейных отношений;

5) получены необходимые и достаточные условия обратимости дифференциальных операторов;

6) исследована структура гиперболических полугрупп линейных отношений взвешенного сдвига.

Работа имеет теоретический характер.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1) Воронежская зимняя математическая школа Крейна (ВЗМШ-2006);

2) 16-ая Крымская осенняя математическая школа-симпозиум (КРОМШ-2005), а также неоднократно на семинарах проф. А.Г. Баскакова в Воронежском государственном университете.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [18] - [22]. Из совместной работы [18] в диссертацию включены только результаты, принадлежащие лично автору.

Перейдем к обзору результатов диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Загорский, Александр Сергеевич, 2006 год

1. Баскаков А.Г. Спектральные свойства дифференциального оператора с неограниченным оператором / А.Г. Баскаков // Дифф. уравнения. - 1991. - Т.27, №1. - С.2162- 2164.

2. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных дифференциальных операторов и полугруппы разностных операторов / А.Г. Баскаков // Докл. РАН. 1995. - Т.343, №3. - С.295-298.

3. Баскаков А.Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Функцион. анализ и его прил. 1996. - Т.ЗО, №3. - С.1-11.

4. Баскаков А.Г. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностных операторов / А.Г. Баскаков // Матем. зам. -1996. Т.59, №6. - С.811-820.

5. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных дифференциальных операторов и полугруппы разностных операторов, I / А.Г. Баскаков // Дифференц. уравнения. 1997. - Т.ЗЗ, №10. -С.1299-1306.

6. Баскаков А.Г. О корректности линейных дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Матем. сб. 1999. - Т.190, №3. -С.3-28.

7. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных дифференциальных операторов и полугруппы разностных операторов, II /А.Г. Баскаков // Дифференц. уравнения. 2001. - Т.37, №1. -С.3-11.

8. Баскаков А. Г. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами/ А.Г. Баскаков, А.И. Пастухов // Сибирский математический журнал 2001 - Т.42, №6 - С.1231-1243.

9. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А.Г. Баскаков, К.И. Чернышов // Матем. сборник. 2002. - Т.193, №11. - С.3-42.

10. Баскаков А.Г. О генераторах полугрупп операторов / А.Г. Баскаков // Докл. РАН. 2006. - Т.406, №6. - С.727-729.

11. Бирман М.Ш. Функциональный анализ (под редакцией Крей-на С.Г.) / М.Ш. Бирман и др. М: Наука. - 1972.

12. Бурбаки Н. Спектральная теория. / Н. Бурбаки М.: Мир. -1972.

13. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн М.: Наука. - 1970.

14. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория. T.I. / Н. Данфорд, Дж.-Т. Шварц - М.: ИЛ. - 1962.

15. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения / В.В. Жиков // Изв. АННССР. сер. матем. 1976. - Т.40. С.1380-1408.

16. Загорский А.С. О некоторых свойствах линейных отношений на конечномерных линейных пространствах / А.С. Загорский А.С., В.В. Хатько В.В. // Вестник ВГУ, серия физ.-мат. 2002, №2. - С.59-62.

17. Загорский А.С. О полугруппах линейных отношений / А.С. Загорский // Вестник ВГУ, серия физ.-мат. 2004, №2. - С.158-161.

18. Загорский А.С. О некоторых спектральных свойствах линейных отношений на вещественных банаховых пространствах / А.С. Загорский // Труды 16-ой Крымской осенней математической школы (КРОМШ). 2005 - Т.16. - С.128-134.

19. Загорский А.С. К спектральной теории линейных отношений на вещественных банаховых пространствах / А.С. Загорский // Вестник ВГУ, серия физ.-мат. 2006, №1. - С.152-159.

20. Загорский А.С. О дифференциальном операторе, порожденном задачей Коши с начальным условием из подпространства / А.С. Загорский // Препринт НИИ математики ВГУ 2006, №19.

21. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като -Т.М: Мир. 1972.

22. Крейн С.Г. Интерполяция линейных операторов / С.Г, Крейн, Е.М. Семенов, Ю.И. Петунии М: Наука. - 1978.

23. Крейн С.Г. Функциональный анализ. Справочная математическая библиотека / под ред. С.Г.Крейна. М.: Наука. - 1972.

24. Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа / С.С. Кутателадзе Новосибирск: изд-во ин-та математики. - 2001.

25. Латушкин Ю.Д. Операторы взвешенного сдвига и линейные расширения динамических систем / Ю.Д. Латушкин, A.M. Сте-пин // Успехи матем. наук. 1991. - Т.46. №2. - С.85-143.

26. Maccepa X.JI. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х.Л. Maccepa, Х.Х. Шеффер- М.: Мир 1970.

27. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. / 3. Пресдорф М: Мир. - 1979.

28. Робертсон А. Топологические векторные пространства / А. Робертсон, В. Робертсон М: Мир. - 1967.

29. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин М: Мир. - 1975.

30. Тюрин В.М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах / В.М. Тюрин // Сиб. Матем. журн. 1991. - Т.32, №3. - С.160-165.

31. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри М: Мир, 1985.

32. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлинс М.: ИЛ. - 1962.

33. Azizov T.Ya. Contractive relations in Pontryagin spaces, preprint. / T.Ya. Azizov, A. Dijksma.

34. Bart H. Wiener-Horf factorization, inverse Fourier transform and exponential dichotomies operators / H. Bart, I. Gohberg, M.A. Kaashoek //J. Funct. Anal. 1986. - V.68. - P. 1-42.

35. Bart H. Invertibility and dichotomy of differential operators on a half-line / H. Bart, I. Gohberg, M.A. Kaashoek // J. Dun. Biff. Eq.- 1993. V.5. - P.1-36.

36. Chicone C. Evolution Semigroups in Dynamical System and Differebtial Equations / C. Chicone, Y. Latushkin Amer. Math. Soc. - 1999.

37. Cross R. Moltivalued Linear Operators / R. Cross New York: M. Dekker, 1998.

38. Engel K.-J., Nagel R. One-Parameter semigroups for linear evolution equations. K.-J. Engel, R. Nagel New-York: Springer-Verlag. - 2000.

39. Favini A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces / A. Favini, A. Yaggi New York: M. Dekker. - 1998.

40. Gohberg I. Classes of Linear Operators. Vol. I / I. Gohberg, S. Goldberg, M.A. Kaashoek Birkhaser Verlag. - Basel-Boston-Berlin. - 1990.

41. Goldberg S. Unbounded Linear Operators. Theory and Applications / S. Goldberg New York: McGraw-Hill. - 1966.

42. Howland J.S. Stationary scattering theory for time-dependent Hamiltonians / J.S. Howland //Math. Ann. 1974. - V.207. - P.315-335

43. Latushkin Y. Fredholm differential operators with unbounded coefficients / Y. Latushkin, Y. Tomilov // J. Differential Equations.- 2002. V.208. - P.388-429.

44. Latushkin Y. Fredholm Properties of Evolution Semigroups / Y. Latushkin, Y. Tomilov // Illinois J. Math. 2004. V.48. - №3. -P.999-1020.

45. Latushkin Y. Evolutionary semigroups and Lyapunov theorems in Banach spaces / Y. Latushkin, Montgomery-Smith. // J. Funct. Anal. 1995. - V.127. - P.173-197.

46. Latushkin Y. Exponential dichotomy and mild sulutions of nonautonomous equations in Banach spaces / Y. Latuskin, T. Randolph, R. Schnaubelt // J. Dunam. Diff. Eqns. 1998. V.10.- P.489-510.

47. Megan M. Discrete admissibility and exponential dichotomy for evolution families / M. Megan, A.L. Sasu, B. Sasu // Discrete Contin. Dynam. Systems. 2003. - V.9. - P.383-397.

48. Minh N.V. Characterization of Dichotomies of Evolution Equations on the Half-Line / N.V. Minh, N.T. Huy // J.Math. Anal, and Appl. 2001. - V.261. - P.28-43.

49. Nagel R. Semigroup methods for non-autonomous Cauchy problems in Evolution Equations / R. Nagel // Lect. Notes Pure Appl. Math. 1995. - V.168. - P.301-316.

50. Minh N.V. Exponential stability, exponential expansiveness and exponential dichotomy of evolution equations on the half-line / N.V. Minh, F. Rabiqer, R. Schnaubrlt // 1998. V.32. - P.332-353.

51. Perron O. Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen / 0. Perron //Math. Z. 1930. - V.32, №3. - P.465-473.

52. Rau R. Hyperbolic evolutionarysemigroups on vector-valued function spaces / R. Rau // Semigroup Forom. 1994. - V.48. -P.107-118.

53. Rabiqer F. The spectrls mapping theorem for evolution semigroups on spaces of vector-valued functions / F. Rabiqer, R. Schnaubert // Semigroup Forum. 1996. - V.52. - P.225-239.

54. Ritsner V.S. Theory of linear relations (Russian). / Ritsner V.S. VINITI - 1982 - №846-82.

55. Ritsner V.S. On the spectral theory of linear relations in a Pontryagin spaces. / Ritsner V.S., Senderov V.A. Soviet Math. (Iz. VUZ) - 28(1984) - №8 - P.34-37.

56. Sasu B. Exponential dichotomy and admissibility on the half-line / B. Sasu, A.L. Sasu // J. Math. Anal. Appl. 2006. V.316. - P.397-408.

57. Taylor A.E. Introduction to Functional Analysis / A.E. Taylor -New York: John Wiley. 1958.