Ряды экспоненциальных многочленов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Кривошеева, Олеся Александровна

• Кривошеева, Олеся Александровна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Кривошеева, Олеся Александровна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Характеристики комплексной последовательности

1.1. Плотности

1.2. Пополнение последовательности с конечной

34

максимальной плотностью

1.3. Индексы конденсации

1.4. Специальный индекс конденсации

1.5. Индекс концентрации

1.6. Разбиение на группы последовательности с конечным индексом

68

концентрации

1.7. Пополнение последовательности с конечным индексом

78

конденсации

Глава 2. Сходимость рядов экспоненциальных многочленов

2.1. Пространство коэффициентов сходящихся рядов

2.2. Аналог теоремы Абеля

2.3. Аналог теоремы Коши-Адамара

2.4. Вычисление коэффициентов сходящегося ряда

2.5. Ряды с показателями, имеющими ненулевой индекс конденсации

2.6. Ряды с показателями, имеющими ненулевой специальный

индекс конденсации

2.7. Ряды с показателями, имеющими ненулевую

113

относительную кратность

Глава 3. Представление функций из инвариантных подпространств

3.1. Инвариантные подпространства в ограниченной области

3.2. Инвариантные подпространства целых функций

3.3. Инвариантные подпространства со спектром нулевой плотности

Глава 4. Особые точки суммы ряда экспоненциальных мономов

4.1. Особые точки и характеристики последовательности

4.2. Особые точки суммы ряда на дуге границы его

области сходимости

4.3. Ряды, у которых области сходимости совпадают с областями

159

существования их сумм

4.4. Особые точки суммы ряда Дирихле

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ряды экспоненциальных многочленов»

Введение

Пусть Л = {Я^, п^}_=1 — последовательность различных комплексных чисел Я^ и их кратностей п^ такая, что +11 > к > 1, и |Я^| ^ к ^ _. Диссертация посвящена изучению рядов экспоненциальных мономов и рядов экспоненциальных многочленов, т.е. рядов вида

_ ,Пк—1

аКпхпе^. (0.1)

>• к

X

к=1 ,п =0 _,Ит

V _ .

т =1,у =1

(2), (0.2)

где ет,у — фиксированная линейная комбинация функций системы £(Л) = ,

показатели Я^ которой разбиты на группы ит, т > 1. Линейная комбинация ет,у формируется по точкам Я^ группы .

Исследуются проблемы представления рядами (0.1) и (0.2) элементов подпространств аналитических функций инвариантных относительно оператора дифференцирования в выпуклых областях комплексной плоскости. Изучается также задача распределения особых точек сумм рядов (0.1) и (0.2) на границах их областей сходимости. Указанные исследования основаны на изучении областей и характера сходимости этих рядов, на исследовании различных характеристик последовательностей показателей рядов (0.1) и (0.2), на изучении взаимосвязей между этими характеристиками и их влияния на соотношение между областями сходимости рядов (0.1) и (0.2) и областями существования их сумм.

Тематика, связанная с рядами экспоненциальных мономов и их частными случаями -рядами экспонент (т.е. рядами вида (0.1), где пк = 1, к > 1), рядами Дирихле (т.е. рядами вида (0.1), где Пк = 1 и Я^ - положительные числа) и рядами Тейлора имеет богатую историю. Их исследование берет свое начало в трудах Тейлора, Коши, Адамара, Абеля и Дирихле. Указанные выше задачи для таких рядов изучались в работах Ж. Валирона, Д. Полиа, С. Мандельбройта, В. Бернштейна, Л. Шварца, П. Мальявена, Б.Я. Левина, А.Ф. Леонтьева, И.Ф. Красичкова-Терновского, Ю.Ф. Коробейника, А.С. Кривошеева и многих других математиков.

Ряды экспоненциальных мономов (и более общих экспоненциальных многочленов) являются естественным обобщением рядов экспонент. Широкий круг вопросов, связанных с рядами экспонент, освещен в монографии А. Ф. Леонтьева [1]. Один из основных результатов теории таких рядов, ставший уже классическим, также принадлежит А.Ф. Леонтьеву. Ему удалось доказать, что любую функцию, аналитическую в выпуклой области А сС, можно

разложить в ряд экспонент с фиксированными показателями Я^, к > 1, при определенных условиях на эти показатели. Известно, что экспоненты (и только они) являются собственными функциями оператора дифференцирования. Поэтому задачу представления рядами экспонент можно рассматривать как задачу разложения по собственным функциям этого оператора.

В пространстве Н(Б) (функций аналитических в области Б) имеется большой запас собственных функций оператора дифференцирования (это все экспоненты). Поэтому существует много различных наборов показателей Я^, при помощи которых удается получить представление всех функций из этого пространства посредством ряда экспонент. Если же Ш — подпространство в Н(О), инвариантное относительно оператора дифференцирования (например, пространство решений однородного уравнения свертки или их систем), то, как правило, только лишь собственных функций этого оператора (в этом случае имеется только счетный набор собственных функций) уже недостаточно для разложения всех функций из подпространства Ш.

Однако, ситуация меняется, если наряду с собственными функциями рассматривать еще и присоединенные функции оператора дифференцирования в Ш — экспоненциальные мономы

2пеХкг, п _ 1, Пк — 1,

где Пк — кратность собственного значения Х^. Задача разложения функций из замкнутого инвариантного относительно оператора дифференцирования подпространства Ш с Н(Б) по собственным и присоединенным функциям этого оператора (т.е. задача представления рядом (0.1)) называется проблемой фундаментального принципа. Такое название связано с тем, что в частном случае, когда инвариантное подпространство является пространством решений линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, возможность разложения произвольного решения по собственным и присоединенным функциям оператора дифференцирования называют фундаментальным принципом Л. Эйлера.

Если представление рядом (0.1) по каким-то причинам становится невозможным, то возникает задача представления рядом (0.2), т.е. проблема существования базиса в инвариантном подпространстве, построенного по собственным и присоединенным функциям оператора дифференцирования.

В связи с представлениями рядами (0.1) и (0.2) естественным образом возникают задачи изучения поведения сумм этих рядов. В частности, широко исследуется проблема распределения особых точек суммы ряда (0.1) и его частных случаев (рядов экспонент, рядов Дирихле и рядов Тейлора).

Решение указанных проблем требует глубоких исследований в области сходимости рядов (0.1) и (0.2). Возникает целый ряд важных задач, которые тесно связаны с поведением

последовательности Л = {Äk, пк}™=1 показателей этих рядов. Прежде всего, это задача пополнения последовательности Л до правильно распределенного множества (т.е. до нулевого множества целой функции экспоненциального типа и регулярного роста), задача разбиения Л на группы, подходящие для представления рядом (0.2), изучение самой возможности такого разбиения. Кроме того, значительные роли играют проблема взаимосвязи между характеристиками последовательности Л и сходимостью рядов (0.1) и (0.2), задача о влиянии этих характеристик на соотношение между областями сходимости рядов и областями существования их сумм и др.

Диссертация посвящена исследованию всех отмеченных выше задач. В частности, в ней получены аналоги теорем Абеля и Коши-Адамара для рядов (0.1) и (0.2). Найдены критерии представления рядами (0.1) и (0.2) функций из замкнутого инвариантного подпространства в ограниченной выпуклой области плоскости. Получен также критерий представления рядом (0.2) элементов инвариантного подпространства целых функций. Кроме того, получен ряд результатов по проблеме распределения особых точек сумм рядов (0.1) и (0.2) на границах областей их сходимости. Найдены необходимые и достаточные условия (критерий) на последовательность Л, при которых область существования суммы любого ряда (0.1) совпадает с областью его сходимости. Получены также необходимые и достаточные условия (критерий) на последовательность Л, при которых каждая сумма ряда Дирихле имеет хотя бы одну особую точку на любом отрезке фиксированной длины, лежащем на прямой сходимости ряда. Частными случаями этих результатов являются хорошо известные результаты, относящиеся к рядам экспонент и рядам Дирихле и Тейлора.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

В первой главе изучаются вопросы, связанные с глобальным и локальным распределением по плоскости точек кратной комплексной последовательности Л = {Ак, пк}'^=1. Исследуются различные числовые характеристики Л и взаимосвязи между ними.

В первом параграфе рассматриваются некоторые известные характеристики Л и их свойства. Пусть п(г, Л) — число точек с учетом их кратностей , которые попадают в круг В(0, г). Верхней и нижней плотностью последовательности Л называются соответственно величины

_ -п(г, Л) п(г, Л)

п(Л) = lim-, п(Л) = lim-.

r^m Т Т

Говорят, что Л имеет плотность п(Л) (измерима), если п(Л) = п(Л) = п(Л) < +'. Пусть

Г 1'

— неубывающая по модулю последовательность, которая состоит из точек , причем, каждая встречается в ней ровно раз. Положим

— lnp

а (л) = lim :—г.

р— Щ

Роль характеристики &(Л) раскрывается в следующем утверждении.

Лемма 1.1.1. Пусть Л = {Äk, пк}"=1. Ряд

к=1-

'

^ п, р-£\Хк\

пке

к=1

сходится для любого г >0 тогда и только тогда, когда а(Л) = 0.

Рассматриваются также локальные характеристики Л. Величина

- пк

т(Л) = Иш —г

называется относительной кратностью последовательности Л. Пусть Пл (я, 5) — число точек Хк с учетом их кратностей пк, попавших в круг В (г, ^М). Положим

Пл(Лк, S) lim———;—, .....

к^ж \Хк\ Л

Мл(8) = lim , , , Мл = lim Мл(8).

В лемме 1.1.2 устанавливаются некоторые взаимосвязи между глобальной характеристикой п(Л) и величиной Мл.

Во втором параграфе рассматривается понятие максимальной плотности п0 (л), введенное первоначально Д. Полиа [2] для положительных последовательностей:

n n п —п(г, л)-п((1 - S)r, л) п0 (л) = lim п (л, 8), п0 (л, 8) = lim -^-

8^0 г^ж ОТ

В силу леммы из §E3 гл. VI книги [3] определение корректно (предел существует).

Теорема Д. Полиа ([3], гл. VI, § E3) утверждает, что любая последовательность положительных чисел с конечной максимальной плотностью является частью некоторой измеримой последовательности с той же плотностью. В лемме 5 работы [66] А.С. Кривошеевым приводится другое доказательство этой теоремы. Метод построения пополнения, который при этом используется, является более простым, чем метод из книги [3]. В лемме 1.2.3 этот результат в несколько более общей форме распространяется на комплексные последовательности. При этом используется метод А.С. Кривошеева. На основе этой леммы в теореме 1.2.5 строится правильно распределенное ([4], гл. II) пополнение комплексной последовательности л = {Äk, пк} с конечной максимальной плотностью в углах

Г((р) = [А = telP: рЕ(-ф, (р), t > 0},

которое согласовано с заданным выпуклым компактом.

Символом Л(Г(~ф, ф)) обозначим последовательность, состоящую из всех пар (Хк, пк) таких, что Е Г(~ф, ф).

Говорят ([4], гл. II, §1), что Л имеет угловую плотность, если для всех ^, ф за исключением, быть может, счетного множества Фл последовательность Л(Г(~ф, ф)) имеет плотность. Последовательность Л называется правильно распределенным множеством ([4], гл. II, §1), если она имеет угловую плотность и выполнено условие Линделефа, т.е. существует предел

Ж (Л) = lim Ж (г, Л) , Ж (г, Л) = У ^ .

\h\<r

Пусть Т — выпуклый компакт с опорной функцией

Нт(ср) = sup Re(ze—i(P), у ЕЖ,

ZET

и w, z - точки его границы дТ. Через s(w, z, Т) обозначим длину дуги дТ, соединяющей w и z, движение по которой от w к z осуществляется в положительном направлении (против часовой стрелки). Положим

Ь(ф, Т) = дТШ(ф, Т), 1(ф, Т) = {z:Re(ze—i(P) = Нт(ф)} Для каждого ф ЕЖ множество Ь(ф, Т) является либо точкой (которую обозначим г(ф)) либо отрезком. Множество Ф(Т) направлений ф, для которых Ь(ф, Т) — отрезок, не более чем счетное. Пусть

ST(-ф, ф) = sup s(w, z, Т).

wELty ,T),zEL(y ,T)

В лемме 1.2.4 (при помощи леммы 1.2.3) для последовательности с конечной максимальной плотностью в углах строится пополнение, имеющее угловую плотность. На этой основе с помощью леммы 2.5 работы [5] доказывается

Теорема 1.2.5. Пусть Л = {Хк, пк] и Т — выпуклый компакт. Следующие утверждения эквивалентны:

1) Для всех ^, ф Ф(Т) с условием 0 < ф — < 2п выполнено неравенство

ф)

п0 (л(Г(гр, ф)))

<

2п

2) Существует правильно распределенное пополнение Л0 последовательности Л такое, что ФЛо = Ф(Т) и

п(Л0 (ТЩ, ф))} = ^ , $, ф£Ф(Т), 0< ф--ф < 2п.

Замечание. На основе метода доказательства леммы 1.2.4 в работе [5] доказывается теорема 2.4. В этой теореме получен более общий результат, т.к. пополнение л1 в ней удовлетворяет дополнительному условию л1 с л2, где л2 — фиксированная последовательность.

Пусть 2 — класс неубывающих на отрезке [—2п,2п] функций ш, обладающих свойствами: 1) м(0) = 0, 2) функция ш непрерывна слева, 3) ш(<р) = ш(<р — 2п) — ш(—2п), <р Е (0,2п). Символом Ф(^) обозначим множество точек разрыва функции «Gl. Если ty, ф Е [—2п,2п) и ф —'ф Е (0,2п], то ty, ф будем называть допустимыми значениями. Пусть л имеет угловую плотность. Тогда она единственным образом определяет функцию Шл Е 2 по правилу:

^л(-ф) = — lim п(л(Г(-ф, а))), Шл(ф) = п(л(Г(-ф, ф))) + Шл(-ф),

где ty, а Е (—2п, 0)\Фл, (р Е(-ф, ф + 2п)\Фл.

Будем говорить, что л имеет угловую плотность ш Е 2, если она имеет угловую плотность и Шл = ш.

Пусть л = {Хк, щ}, ty, ф€Фл — допустимые значения и Т = {^1, ..., tyj — разбиение ('ф, (р), (р1 = < < ■■■ < = <р2, ty € Фл, j = 1,1. Положим

щ(р, К) = sup ^ —1 п0 (л(г(ф;, ty +1))),

где супремум берется по всевозможным указанным разбиениям. Отметим, что схожая с п0 ('ф, ф, л) величина введена в работе [6].

Будем говорить, что л — правильная последовательность, если Фл является не более чем счетным множеством, и щ ("ф, ф, л) < ж для всех допустимых значений ty, <р € Фл. Если л — правильная последовательность, то положим

<= — lim п0 а, л), «л(ф) = Щ ф, л) + ^,

где ty, а Е (—2п, 0)\Фл, ф Е (~ф, ty + 2п)\Фл. Функция ^ единственным образом продолжается до функции из класса 2, и продолжение не зависит от ty Е (—2п, 0)\Фл.

Пусть Т — выпуклый компакт, ty, а Е (—2п, 0)\Ф(Т), ф Е (~ф, ty + 2п)\Ф(Т). Положим

шт(-ф) = — lim ^-^л(Г('ф, а))), ыт(ф) = ф) + .

Функция шт единственным образом продолжается до функции из класса 2.

Используя функции ш<Л и шт, теорему 1.2.5 можно сформулировать так.

Теорема 1.2.6. Пусть Л = {Хк, пк} и Т — выпуклый компакт. Эквивалентны утверждения:

1) Л— правильная последовательность, и для всех допустимых ^, <р£Ф(Т)иФЛ выполнено неравенство

< (ф) — < W <-^-■

2) Существует правильно распределенное пополнение Л0 последовательности Л с угловой плотностью шТ/2п.

Замечание. Из теоремы 1.2.6 следует, что Л является правильной последовательностью

тогда и только тогда, когда она является частью правильно распределенного множества

(другими словами, существует ее правильно распределенное пополнение).

Пусть f — целая функция экспоненциального типа (т.е. \f(z)\ < aeb^z^, z £ С) и

— ln\f(rei(P)\ hAcp) = lim ^^-^

' r^+OT f

— ее индикатор. Функция hf совпадает с опорной функцией выпуклого компакта Т, который называется индикаторной диаграммой f ([11], гл. I, § 5). Говорят, что f имеет регулярный рост, если

— \n\f(rei(P)\ hf{(p) = lim ——--ср £ [0,2п],

1 r^+rx^fcE Т

где Е с (0, — множество нулевой относительной меры ([4], гл.Ш). Согласно классическому результату Б.Я. Левина функция f имеет регулярный рост тогда и только тогда, когда ее кратное нулевое множество является правильно распределенным ([4], гл.Ш, теорема 4).

В работе [67] последовательность Л называется совместимой с ограниченной выпуклой областью D, если существует целая функция экспоненциального типа и регулярного роста f ([4], гл.Ш) с нулевым множеством Л0 з Л такая, что

hf(<p) = HD(—<p), <р £ [0,2п]. Лемма 1.2.7. Пусть D — ограниченная выпуклая область и Т — компакт комплексно сопряженный к замыканию D. Эквивалентны утверждения

1) Верно утверждение 1) теоремы 1.2.6.

2) Последовательность Л совместима с областью D.

В §1.3 изучаются индексы конденсации, введенные А.С. Кривошеевым в работах [7]-[9] и [67]. Пусть Л = {Ак, щ}, U = {Um} — разбиение последовательности {Äk} на группы Um, т> 1. Точки £ Um будем обозначать Хт i, а их кратности — пт i. Символом Mm(Nm) обозначается число точек (с учетом их кратностей ), попавших в группу Um. Разбиение U = {Um}

называется тривиальным, если каждая группа Um состоит из одной точки. Группы Um называются относительно малыми, если они имеют относительно малый диаметр, т.е.

J ^"ТП I I lim max ---¡—^ = 0,

m^™ 1<j,l<Mm д I

и Nm/lAm,iI ^ 0. Положим

v = П fe^T, m* i-

J Ah n^ \301АкМ/

Если круг В(Атti,5lAm 11) не содержит точек Äk v, к Ф т, то qAц(z,ö) = l. Для разбиения U

определим групповой индекс конденсации

ln Ua.u (Äm, i^)!

SA(U) = \im SA(U,Ö), SA(U,Ö) = lim min .

m — ^Mm \Ämл \

Для тривиального разбиения используется символ SA. Величина SA схожа по смыслу с классическим индексом конденсации Бернштейна [10], но при этом эффективна для любой комплексной последовательности. Оценка SA(U) > —ж означает, что группы Um в каком-то смысле отделены друг от друга. Этот смысл проясняется в теореме 1.3.3, где доказывается существование попарно не пересекающихся открытых множеств Bm з Um относительно малых диаметров таких, что

ln\qA(z,w,ö(e))\> (2SA(U) — e)\z\, z Е dBm П B(w, S\w\), \w\ > й(е). Здесь qA — специальным образом нормированная часть бесконечного произведения Вейерштрасса для целых функций:

/ z — h\nk

qA(z ,W,S) = П (3^) .

, w,

Хк <ЕВ(к~8\\н\)

Лемма 1.3.4 является в некотором смысле обратным к теореме 1.3.3 утверждением. В §1.4 рассматривается специальный индекс конденсации

БЛ = '

8^0 8

(£Л(8) =§а(Ц'8) для тривиального разбиения) который играет решающую роль при исследовании проблемы распределения особых точек для сумм рядов Дирихле (а также более общих рядов).

Будем говорить, что Л = {Хк— почти вещественная последовательность, если ЯеЯк >0 и ^ 1, к ^ ж. Индекс Б0 играет важную роль для таких последовательностей

(в частности, для положительных последовательностей) благодаря следующему утверждению.

Лемма 1.4.1. Пусть Л = {Хк, 1} — почти вещественная последовательность такая, что т(Л) = 0 и Б00 > ж. Тогда п0 (Л) < ж.

В §1.5 исследуется индекс концентрации SA, введенный А.С. Кривошеевым в работе [70] для решения задачи о конечности нижнего индикатора целой функции экспоненциального типа. В этой же работе при помощи характеристики SA указанная задача была им решена. Пусть Л = {Лк, пк] и а > S >0. Рассмотрим функцию

q\ (z, w, а, S) = П

Пк

\3а\Лк\) '

Если кольцо В(Лк, а\Лк\)\В(Лк, не содержит точек Л5, то полагаем qA = 1. Функция

1п|^д(г, а, 5)\ не положительна в круге В(^, а\ш\), а Е (0,1/3), не возрастает по а £ (0,1/3) и не убывает по 8 Е (0, а). Положим

1п\^д (w, w, а, 5)|

SA = lim SA (а), SA (а) = lim lim

i

n _MA(S) _ [MA(S)

М0 = lim —^—-, M\ = 1im1nSMA(S), M2K = I dS.

s^0 ö s^0 J о

Имеет место следующий результат.

Теорема 1.5.1. Пусть Л = {Лк, пк]. Верны утверждения:

1) М\ >Б\(а), а £(0,1/3);

2) Если М2 < ю, то 5д = 0.

В §1.6 приводятся условия на последовательность Л, при которых существует ее разбиение и на относительно малые группы такое, что $А(и) > —ю ($А(и) = 0). Задача существования подобного разбиения (которое необходимо для представления рядом (0.2)) полностью решается в следующих утверждениях.

Теорема 1.6.2. Пусть Л = {Лк, пк]. Верны следующие утверждения

1) Если и = {ит} — разбиение Л на относительно малые группы, то 5д > 2£А(и).

2) Если > —ю, то существует разбиение и на относительно малые группы такое,

что §А(и) > 35д.

Следствие 1.6.3. Пусть Л = {Лк, пк]. Эквивалентны следующие утверждения

1) существует разбиение и на относительно малые группы такое, что §А(Щ = 0.

2) = 0.

В заключительном параграфе первой главы строится пополнение последовательности Л, которая разбита на группы и имеет конечный групповой индекс конденсации (теорема 1.7.1). Пополнение имеет конечный индекс конденсации и совпадает с нулевым множеством целой

функции экспоненциального типа, т.е. имеет конечную верхнюю плотность и удовлетворяет специальному условию Линделефа ([11], гл.1, §3, теорема Линделефа).

Вторая глава диссертации посвящена исследованию сходимости рядов (0.1) и (0.2). Для таких рядов, как и в теории рядов экспонент (и, в частности, для степенных рядов и рядов Дирихле) первоочередными являются задачи описания классов областей сходимости (это включает в себя задачу о продолжении сходимости) и характер сходимости рядов, а также восстановление области сходимости по коэффициентам ряда. В теории степенных рядов первые две задачи решаются при помощи теоремы Абеля, а последняя задача - при помощи теоремы Коши-Адамара. Для рядов Дирихле имеется аналог теоремы Абеля ([11], гл. II, лемма 1.1), в котором утверждается, что сходимость ряда Дирихле в одной точке z0 влечет за собой его сходимость в полуплоскости {z Е С: Rez < Rezo}. Если при этом величина ((Л) равна нулю, то ([11], гл. II, теорема 1.1) эта сходимость будет абсолютной и равномерной в любой полуплоскости {z Е С: Rez < Rez0 — г}.

Кроме того, для рядов Дирихле имеется полный аналог теоремы Коши-Адамара, в котором при условии ((Л) = 0 вычисляется расстояние от начала координат до граничной прямой полуплоскости сходимости ([11], гл.П, теорема 1.2). В случае рядов экспонент полный аналог теоремы Абеля отсутствует. Имеется результат ([12], [11], гл.П, теорема 2.1) о том, что множество точек абсолютной сходимости ряда экспонент выпукло. Причем на компактных подмножествах внутренности этого множества ряд сходится равномерно ([11], гл.П, теорема 2.2). Если выполнено условие ((Л) = 0, то ([11], гл.П, теорема 2.3) простая и абсолютная сходимость ряда экспонент в выпуклой области равносильны. Кроме этого для рядов экспонент известен также ([12]-[14] и [1], теорема 3.1.3) аналог теоремы Коши-Адамара. В ней дается описание области сходимости ряда экспонент, которая получается как пересечение некоторого семейства полуплоскостей. При этом приводится формула для расстояний от начала координат до граничных прямых этих полуплоскостей. В случае общих рядов вида (0.1) можно отметить лишь результат из работы [15]. Здесь доказывается, что область абсолютной сходимости ряда (0.1) выпуклая, если выполнено следующее условие: т(Л) = 0.

Во второй главе при условиях ((Л) = т(Л) = 0 приводится полный аналог теоремы Абеля для рядов экспоненциальных мономов и, в частности, для рядов экспонент, а также для более общих рядов (0.2). Показывается, что областью сходимости ряда (0.1) является выпуклая область специального вида. Доказывается, что поточечная сходимость ряда (0.1) в этой области эквивалентна его абсолютной сходимости, равномерной сходимости на компактах и даже сходимости в более сильной топологии. Приводится также аналог теоремы Коши-Адамара, который, как частные случаи, содержит все предыдущие подобные результаты для рядов Дирихле и рядов экспонент. Кроме того, исследуется взаимосвязь между различными

характеристиками последовательности показателей ряда (0.1) и областями его сходимости и существования его суммы.

Параграф 2.1 посвящен описанию пространства коэффициентов сходящихся рядов вида (0.1) и (0.2). Пусть Л = {Лк,пк}, Лк = гке1рк, Б - выпуклая область, и КБ = [Кр] — последовательность выпуклых компактов в области Б, которая строго исчерпывает ее. Положим

д(Л,Б) = , др(Л) = |а = [ак,п}: \\а\\р = Бир^^ехр (гкНкр(—Рк)) < от

р >1 к ,п

где Нк — опорная функция К. Пусть Е с С,0 — замкнутое подмножество 35(0,1). 0-выпуклой оболочкой Е называется множество

Е(0) = [z е С: Ке(ге—1р) < НЕ(<р),е 1р е 0}. Символом 0(Л) обозначим множество всех частичных пределов последовательности

[Лк/\Лк\}к_1. В следующей теореме дается описание пространства коэффициентов рядов (0.1), сходящихся в выпуклой области Б.

Теорема 2.1.5. Пусть Б - выпуклая область, и Л такова, что а (Л) = т(Л) = 0. Тогда эквивалентны утверждения:

1) Ряд (0.1) сходится в области Б.

2) Имеет место включение а = [ ак,п] е Q(Л,D).

Рассмотрим теперь ряд (0.2), который для простоты запишем в виде

от

^ауеу(2) (0.3)

V =1

Пусть Л0 = { £у}ОТ=1, ^ = тVel^V, — последовательность комплексных чисел такая, что \ ^ от, \ < +1 \, и eV — целая функция, v> 1. Следуя [16], будем говорить, что {е-^} — почти экспоненциальная последовательность с показателями если для любой выпуклой области Б выполнены условия:

1) для каждого р > 1 существуют а >0 и номер 5 такой, что

шах^00\ < аехр (^Нк, V > 1, [Кр] = Кб;

хеКр ^ '

2) для каждого р > 1 существуют Ъ >0 и номер 5 такой, что

Ъехр (^НкЛ—^П < шах^00\, V > 1.

\ р ) гек5

Почти экспоненциальные последовательности исследовались в работах [16]-[18]. Важный пример таких последовательностей изучен в работе [17]. Пусть Л разбита на относительно

малые группы и = {ит}, [Ат ^. Следуя [17], положим

мт

Гт 1 = 1

где Гт — контур, охватывающий точки группы ит. Пусть

г Л оО— 1)п \ 0"— 1)! [ Рп(1 № . г^г ет 4 (г) =Р^ ' [Хт ,1, г) = I --—, ] = 1,Мт.

Полученную систему функций [ ету]. т' ^ обозначим символом £(Л, и). В случае тривиального

разбиения система £(Л,и) совпадает с £(Л). В работе [18] (теорема 3) доказывается, что £(Л, и) — почти экспоненциальная последовательность (с показателями ^ = Хтд). Для рядов (0.3) (в частности, для рядов (0.2), где ет ^ строятся по относительно малым группам) верен следующий результат.

Лемма 2.1.7. Пусть { еу} — почти экспоненциальная последовательность с показателями Л0 = { Предположим, что общий член ряда (0.3) ограничен на каждом компакте К открытого множества Е, т.е. \<Луеу(г)\ < А(К), V > 1, г Е К. Тогда й = {йк} Е Q(Л0,D), где D = Е(&(Л0)).

В параграфе 2.2 приводятся аналоги теоремы Абеля для рядов (0.1) и (0.3). Теорема 2.2.1. Пусть Л = {Хк,пк}, а(Л) = т(Л) = 0. Предположим, что общий член ряда (0.1) ограничен на множестве Е ^ С. Кроме того, если начало координат является изолированной точкой Е, то ограничена последовательность { акп]. Тогда для каждого р > 1 найдется Ср >0 (не зависящее от й) такое, что

ю ,Пк—1

^\ак,п\ $ир\гпеА^\ < Ср\\а\\р+2,

УЕК-

~ т. ЕКп

к=1,п=0 р

где \\а\\р построены по Жц = [Кр] и D = Е(@(Л)). В частности, ряд (0.1) сходится абсолютно и равномерно на компактах из D.

Пусть Ъ(Л, а) обозначает открытое ядро множества всех точек г Е С, в которых сходится ряд (0.1), и его сумма является аналитической функцией. Если а(Л) = т(Л) = 0, то по теореме

2.2.1 Ъ(Л,а) является выпуклой областью (возможно пустой). Более того, Ъ(Л,а) — это 0(Л)-выпуклая область (т.е. область вида (z: Re(z е-< h(\p), еЕ 0(Л)}).

Теорема 2.2.3. Пусть { ev} — почти экспоненциальная последовательность с показателями Л0 = { ^v}, такими, что а(Л0) = 0. Предположим, что общий член ряда (0.3) ограничен на каждом компакте К открытого множества Е. Тогда для любого р > 1 существуют s = s(p) и Ср >0 (они не зависят от d) такие, что

от

Z\dv\ max|ev(z)| < Cp\\d\\s,

гЕКр r

v=1

где нормы \\d\\s построены по Kq и D = Е(в(Ло)). В частности, ряд (0.3) сходится абсолютно и равномерно на компактах из D.

Пусть Vi(Ло, d) — множество точек плоскости, в окрестности каждой из которых ряд (0.3) сходится равномерно. Если а(Ло) = 0, то из теоремы 2.2.3 следует, что Vi (Ло,d) является выпуклой и даже 0(Л0) - выпуклой областью.

В §2.3 получены аналоги теоремы Коши-Адамара для рядов (0.1) и (0.3). Пусть eip Е 0(Л). Для коэффициентов а = ( ак п] ряда (0.1) положим

иг л^ ■ ■ Ы(1/\ак(р,п\)

h((p,a, Л) = inflim min —^—, ,

0<п<пки)—1 \Äk(D\

где инфимум берется по всем (^k(j)} таким, что ^k(j)/\^k(j)\ ^ 1Р. Положим

V0(а,Л) = (z:Re(ze—ip) < h(p,a,Л),еi(p Е 0(Л)}.

Множество V0(а,Л) является 0(Л)-выпуклой областью.

Теорема 2.3.1. Пусть последовательность Л такова, что а(К) = т(Л) = 0. Тогда ряд (0.1) сходится в каждой точке области V0 (а, Л) и расходится в каждой точке ее внешности за исключением, возможно, начала координат.

Из теоремы 2.3.1 следует, что Ъ(Л, а) = V0(а,Л)

Приведем теперь результат, который является аналогом теоремы Коши-Адамара для ряда (0.3). Пусть ( Е 0(Л0) и

,, . Л , . fl. ln(l/\dk(j)\)

h(p, d, Л0) = inf lim —^—p-^,

j^OT \h(j)\

где инфимум берется по всем (^k(j)} таким, что ^k(j)/\^k(j)\ ^ 1Р. Положим

Ъ0(й,Л0) = [г■ Ке(ге—1р) < К(р,й,Л),е1р Е 0(Л0)}. Как и выше, Ъ0 (й, Л0 ) — 0(ЛО )-выпуклая область.

Теорема 2.3.2. Пусть { еу} — почти экспоненциальная последовательность с показателями Л0 = {^У}, такими, что а(Л0) = 0. Тогда (Л0,й) = Ъ0 (й, Л0).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кривошеева, Олеся Александровна, 2018 год

Литература

1. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. - М.: Наука, 1976. - 536 с.

2. Polya G. Untersuchungen uber Lucken und Singularitäten von potenzreihen // Math. Z. - 1929.

- Vol. 29. - P. 549-640.

3. Koosis P. The logarithmic integral, I. - First paperback edition, with corrections. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1998. - 606 pp.

4. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. - М.: Гостехиздат, 1956. - 632 c.

5. Абдулнагимов А.И., Кривошеев А.С. Правильно распределенные подмножества в комплексной плоскости // Алгебра и анализ. - 2016. - Т.28. №4. - С.1-46.

6. Кондратюк А.А. Целые функции с конечной максимальной плотностью нулей. I. // Теория функций, функциональный анализ и их приложения: Респ. науч. Сб. - Х.: Изд-во Харьк. ун-та, 1970. - Вып. 10. - С. 56-70.

7. Кривошеев А.С. Критерий фундаментального принципа для инвариантных подпространств // Докл. РАН. - 2003. - Т. 389, № 4. - С. 457-460.

8. Кривошеев А.С. Фундаментальный принцип для инвариантных подпространств в выпуклых областях // Изв. РАН. Сер. матем. - 2004. - Т.68. №2. - С.71-136.

9. Кривошеев А.С. Базис в инвариантном подпространстве // Докл. РАН. - 2005. - Т.403, № 4. - С. 439-442.

10. Bernstein V. Leçons sur les progrès récents de la théorie des séries de Dirichlet. - Paris: Gauthier-Villars, 1933. - 320 pp.

11. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. - М.: Наука, 1983. - 176 c.

12. Hille E. Note on Dirichlet's series with complex exponents // Ann. Of Math. - 1924. - Vol. 25.

- P. 261-278.

13. Лунц Г.Л. О некоторых обобщениях рядов Дирихле // Матем. сб. - 1942. - Т. 10(52), № 1-2. - С. 35-50.

14. Лунц Г. Л. Об одном классе обобщенных рядов Дирихле // УМН. - 1957. - Т. 12, вып. 3(75). - С. 173-179.

15. Братищев А.В. Базисы Кете, целые функции и их приложения: дисс. на соискание уч. ст. д-ра физ.-мат. наук: 01.01.01. - Ростов-на-Дону, 1995. - 248 с.

16. Кривошеев А.С. Почти экспоненциальный базис // Уфимск. Матем. журн. - 2010. - Т.2. №1. - С. 87-96.

17. Кривошеев А.С. Базисы «по относительно малым группам» // Уфимск. Матем. журн. -2010. - Т.2. №2. - С. 67-89.

18. Кривошеев А.С. Почти экспоненциальная последовательность экспоненциальных многочленов // Уфимск. Матем. журн. - 2012. - Т.4. №1. - С. 88-106.

19. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. - М.: Наука, 1980. - 384 с.

20. Schwartz L. Théorie générale des fonctions moyenne-périodique // Ann. Math. - 1947. - Vol. 48. №4. - P. 857-929.

21. Красичков-Терновский И.Ф. Однородное уравнение типа свертки на выпуклых областях// Докл. АН СССР. - 1971. - Т. 197. №1. - С. 29-31.

22. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный анализ на выпуклых областях // Матем. сб. - 1972. - Т. 87(129). №4. - С. 459-489.

23. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. - 1972. - Т. 88(130). №1. - С. 3-30.

24. Valiron G. Sur les solutions des équations differentielles linéaires d'ordre infini et à coefficients constants // Ann. Sci. École. Norm. Sup. - 1929. - V.46. №1. - Pp. 25-53.

25. Гельфонд А.О. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами бесконечного порядка и асимптотические периоды целых функций // Тр. МИАН СССР. - 1951. - Т. 38. - С. 42-67.

26. Dickson D.G. Expansions in series of solutions of linear difference-differential and infinite order differential equations with constant coefficients // Memor. Amer. Math. Soc. - 1957. - V. 23. - P. 1-72.

27. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. - М.: Наука. 1967. - 376 с.

28. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций. - М.: Гостехиздат. 1954. - 327 с.

29. Евграфов М.А. Интерполяционная задача Абеля-Гончарова. - М.: Гостехиздат. 1954. -127 с.

30. Левин Б.Я. О некоторых приложениях интерполяционного ряда Лагранжа к теории целых функций // Матем. сб. - 1940. - Т.8. № 3. - С. 437-454.

31. Леонтьев А.Ф. Об интерполировании в классе целых функций конечного порядка // Докл. АН СССР. - 1948. - Т.61. №5. - С. 785-787.

32. Леонтьев А.Ф. Об интерполировании в классе целых функций конечного порядка нормального типа // Докл. АН СССР. - 1949. - Т. 66. № 2. - С. 153-156.

33. Леонтьев А.Ф. К вопросу об интерполировании в классе целых функций конечного порядка // Матем. сб. - 1957. - Т. 41. № 1. - С. 81-96.

34. Леонтьев А.Ф. О значениях целой функции конечного порядка в заданных точках // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1958. - Т. 22. №3. - С. 387-394.

35. Ибрагимов И.И. Методы интерполяции функций и некоторые их приложения. - М.: Наука. 1971. - 518 с.

36. Ибрагимов И.И., Келдыш М.В. Об интерполяции целых функций // Матем. сб. - 1947. -Т. 20. №2. - С. 283-292.

37. Казьмин Ю.А. К вопросу о восстановлении аналитической функции по ее элементам // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1966. - Т.30.№2. - С. 307-324.

38. Казьмин Ю.А. Об одной интерполяционной задаче // Сиб. матем. журн. - 1967. - Т. 8. №2. - С. 293-312.

39. Казьмин Ю.А. Об одной интерполяционной задаче // Сиб. матем. журн. 1967. - Т. 8. №3. - С. 587-600.

40. Коробейник Ю.Ф. Интерполяционные задачи, нетривиальные разложения нуля и представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1980. - Т.44. №5. - С. 10661144.

41. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // УМН. - 1981. - №1. - С. 73-126.

42. Гольдберг А.А., Левин Б.Я., Островский И.В. Целые и мероморфные функции // Итоги науки и техн. Соврем. пробл. мат. фундам. направления. - М.: ВИНИТИ, 1991. - С. 5186.

43. Dickson D.G. Infinité order differential équations // Proc. Amer. Math. Soc. - 1964. - Vol. 15. № 4. - P. 638-641.

44. Леонтьев А.Ф. О представлении функций последовательностями полиномов Дирихле // Матем. Сб. - 1966. - Т. 70. № 1. - С. 132-144.

45. Meise R. Sequence space representations for (DFN)-algebras of entire functions modulo closed ideals // J. Reine Angew. Math. - 1985. - Vol. 282. - P. 59-95.

46. Напалков В.В. О базисе в пространстве решений уравнений свертки // Матем. заметки. -1988. - Т.40. №1. - С. 44-55.

47. Кривошеев А.С. Базис Шаудера в пространстве решений однородного уравнения свертки // Матем. заметки. - 1995. - Т. 57. №1. - С. 57-72.

48. Polya G. Eine Verallgemeinerung des Fabryschen Luickensatzes // Nachr. Ges. Wiss. Gottingen. - 1927. - P. 187-195.

49. Hadamard J. Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor // J. Math. Pures Appl. Ser. 4. - 1892. - Vol. 8. - P.101-106.

50. Fabry E. Sur les points singuliers d'une function donnée par son développement en série et l'impossibilité du prolongement analytique dans des cas très généraux. Ann. Sci. École. Norm. Sup. Ser. 3. - 1896. - Vol. 13. - P.367-399.

51. Fucks W. On the growth of functions of mean type // Proc. Edinburgh Math. Soc. Ser. 2. -1954. - Vol. 9. - P. 53-70.

52. Malliavin P. Sur la croissance radiale d'une function meromorphe // Illinois J. Math. - 1957. -Vol. 1. - P. 259-296.

53. Koosis P. The logarithmic integral, II. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1992. - 608 pp.

54. Polya G. Uber die Exiistenz unendlich vieler singularer Punkte auf der Kovergenzgeraden gewisser Dirichlet'sher Riehen // Sitzungber. Preub. Akad. Wiss. - 1923. - P. 45-50.

55. Ostrowski A. Uber die analytishe Fortsetzung von Taylorshen und Dirichletchen Reihen // Math. Ann. - 1955. - Vol. 129. - P. 1-43.

56. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. - M.: №ука, 1985.

57. Лелон П., Груман Л. Целые функции многих комплексных переменных. - M.: M^. -1989.

58. Юлмухаметов Р.С. Aппроксимация субгармонических функций // Analysis Mathematica. - 1985. - Т.11. - С. 257-282.

59. Кривошеев A.C, Шпалков В.В. Комплексный анализ и операторы свертки // YMH. -1992. - Т. 47. №6. - С. 3- 58.

60. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. III. О распространении спектрального синтеза // Mатем. Сб. - 1972. - Т. 88(130). № 3. -С.331-352.

61. Кривошеева ОА., Кривошеев A.Q, Aбдулнагимов A.H Целые функции экспоненциального типа. Ряды Дирихле: монография. - Уфа: РИЦ БашГУ, 2015. - 196 с.

62. №палков В.В., Кривошеева ОА. Теоремы Aбеля и КошиАдамара для рядов экспоненциальных мономов // Докл. РAH. - 2010. - Т. 432, №5. - С. 18-20.

63. Кривошеева, ОА. Особые точки суммы ряда экспоненциальных мономов на границе области сходимости // Aлгебра и анализ. - 2011. - Т.23, №2. - С. 162-205.

64. Кривошеева, ОА. Область сходимости рядов экспоненциальных мономов // Уфимс. матем. журн. - 2011. - Т.3, №2. - С. 43-56.

65. Кривошеева ОА., Кривошеев A.C Критерий выполнения фундаментального принципа для инвариантных подпространств в ограниченных выпуклых областях комплексной плоскости // Функц. анализ и его прил. - 2012. - Т.46, №4. - С. 14-30 .

66. Кривошеев A.C, Кривошеева ОА. Замкнутость множества сумм рядов Дирихле // Уфимск. матем. журн. - 2013. - Т.5, №3. - С. 96-120.

67. Кривошеев A.Q, Кривошеева ОА. Базис в инвариантном подпространстве аналитических функций // Mатем. сб. - 2013. - Т.204, №12. - С. 49-104.

68. Кривошеева О.А. Область сходимости рядов экспоненциальных многочленов // Уфимск. матем. журн. - 2013. - Т.5, №4. - С. 84-90.

69. Кривошеева, О.А., Кривошеев А.С. Особые точки суммы ряда Дирихле на прямой сходимости // Функц. анализ и его прил. - 2015. - Т.49, №2. - С. 54-69.

70. Кривошеев А.С., Кривошеева О.А. Базис в инвариантном подпространстве целых функций // Алгебра и анализ. - 2015. - Т.27, №2. - С. 132-195.

71. Кривошеев А.С., Кривошеева О.А. Фундаментальный принцип и базис в инвариантном подпространстве // Матем. заметки. - 2016. - Т.99, №5. - С. 684-697.

72. Кривошеева О.А. Инвариантные подпространства со спектром нулевой плотности // Уфимск. матем. журн. - 2017. - Т.9, №3. - С. 102-110.

73. Кривошеева О.А., Кривошеев А.С. Представление функций из инвариантного подпространства с почти вещественным спектром // Алгебра и анализ - 2017. - Т.29, №4. - С. 82-139.

74. Кривошеева О.А. Построение некоторых специальных целых функций // Вестник Башкирского университета. - 2016. - Т.21, №4. - С. 848-858.

75. Кривошеева О.А. Числовые характеристики комплексной последовательности // Вестник Башкирского университета. - 2017. - Т.22, №3. - С. 613-621.

76. Кривошеева О.А. Распределение особых точек суммы ряда экспоненциальных мономов на границе его области сходимости // Вестник Башкирского университета. - 2017. -Т.22, №4. - С. 916-924.

77. Кривошеева О.А. Базис в инвариантном подпространстве аналитических функций // Уфимск. матем. журн. - 2018. - Т.10, №2. - С. 57-75.