Инвариантные подпространства и линейные операторные уравнения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Шульман, Виктор Семенович

• Шульман, Виктор Семенович
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шульман, Виктор Семенович

1 Введение

1.1 Общая характеристика работы.

1.2 Список опубликованных работ автора по теме диссертации

1.3 Обзор основных результатов диссертации (по

главам)

1.4 Обзор литературы по теме диссертации.

2 Нетривиальность решеток инвариантных подпространств

2.1 Совместный спектральный радиус и совместная квазинильпотентность

2.2 Полунепрерывность и субгармоничность совместного спектрального радиуса

2.3 Вольтерровы алгебры компактно квазииильпотентны

2.4 Существенный спектральный радиус; применения к операторным полугруппам

2.5 Формула Бергера-Вонга.

2.6 Хаусдорфов радиус и инвариантные подпространства

2.7 Обобщенная формула Бергера-Вонга

2.8 Полугруппы операторов основного типа

2.9 Инвариантные подпространства операторных алгебр Ли

2.10 Комментарии и выводы.

3 Непрерывность Lat и рефлексивность решеток

3.1 Свойства замкнутости для решеток подпространств

3.2 Иерархия свойств замкнутости.

3.3 Тензорные произведения решеток.

3.4 Непрерывность отображения Lat

3.5 Достаточные условия непрерывности

3.6 Аппроксимируемость и рефлексивность.

3.7 Комментарии и выводы.

4 Коммутативные решетки и masa-бимодули

4.1 Рефлексивные бирешетки.

4.2 о;-топология.

4.3 Носители бирешеток и бимодулей

4.4 Теоремы плотности для masa-бимодулей

4.5 Минимаксная форма теоремы о нулях

4.6 Комментарии и выводы.

5 Операторный синтез

5.1 Операторный синтез для бирешеток.

5.2 Операторный синтез для псевдозамкнутых множеств

5.3 Существование минимальных алгебр.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Инвариантные подпространства и линейные операторные уравнения»

Актуальность темы диссертации. Значение и актуальность исследования строения инвариантных подпространств операторно алгебраических систем обусловлены возможностью их использования для анализа основных свойств (спектральных характеристик, геометрических инвариантов, неприводимых представлений) этих систем. В частности, весьма существенным оказывается возможность использования результатов об инвариантных подпространствах для исследования линейных операторных уравнений и (в свою очередь) их приложений к дифференциальным уравнениям и теории псевдодифференциальным операторов. Большой интерес к этим вопросам вызывается и наличием плодотворных связей между теорией инвариантных подпространств и такими разделами функционального анализа как теория банаховых алгебр, спектральная теория операторов, теория структур, бесконечномерная геометрия, теория меры, теория приближений, гармонический анализ (в частности, спектральный синтез), асимптотика операторных полугрупп, структурная теория бесконечномерных алгебр Ли. Актуальность тематики подтверждается, также, активным участием многих ведущих исследователей в ее развитии. Скажем о некоторых рассматривающихся в работе вопросах более подробно.

1. Триангуляция (то есть, нахождение максимальных цепочек инвариантных подпространств) операторных алгебр, полугрупп и алгебр Ли, и, как ее первый шаг, выработка критериев нетривиальности решеток инвариантных подпространств. Эти вопросы имеют первостепенную важность для классификации представлений соответствующих алгебраических структур, исследования спектральной структуры операторных систем, строения их подсистем, идеалов и факторов.

Интерес к проблемам триангулируемости возник уже в конце девятнадцатого века, вместе с теорией конечных групп и конечномерных алгебр Ли. Первые бесконечномерные результаты связаны с именами Гильберта, Шмидта, Вейля, фон Неймана, Стоуна, Халмоша, Л.С.Понтрягина, М.Г.Крейна. Важным этапом развития тематики явилась работа В.И.Ломоносова, за которой последовали работы Д.А.Гурария и Л.А.Ваксмана, Войтыньского, Раджави, Розенталя п многих других математиков. Избранный в диссертации подход потребовал серьезного продвижения в теории банаховых алгебр (теория совместного спектрального радиуса) и исследования асимптотики компактно порожденных полугрупп, что само по себе имеет большое значение. Еще одно направление, в котором, в результате этого подхода, стал возможен существенный прогресс — это спектральная теория операторных уравнений с компактными коэффициентами.

2. Выяснение условий непрерывности основного в теории инвариантных подпространств отображения Lat, сопоставляющего алгебре операторов ее решетку инвариантных подпространств. Интерес к проблемам непрерывности Lat объясняется, прежде всего, тем, что ее наличие стабилизирует задачи описания решеток инвариантных подпространств и, тем самым, делает возможным "аппроксимационный" подход к их решению. Результаты о непрерывности оказываются полезными при изучении области значений Lat, то есть, тех решеток подпространств, которые имеют вид Lat(M) для некоторого семейства операторов М; такие решетки принято, следуя Халмошу, называть рефлексивными. Таким образом, в круг рассматриваемых задач входит поиск достаточно удобных критериев рефлексивности решеток подпространств, то есть, изучение тех свойств, которые выделяют решетки инвариантных подпространств среди всех решеток подпространств. Следует отметить, что исследование непрерывности Lat выявляет топологическую подоплеку ряда фундаментальных результатов теории операторных алгебр , таких как теорема Арвесона о коммутативных решетках или теорема Ларсона - Андерсена о кратности инвариантных цепочек.

Вопрос о непрерывности Lat приводит к необходимости изучения геометрии решеток подпространств, а также пространственных тензорных произведений таких решеток и, в частности, исследования проблемы Хоппенвассера - Крауса о нахождении условий на операторные алгебры А и В, при которых решетка инвариантных подпространств их тензорного произведения совпадает с тензорным произведением их решеток. Заметим, что двойственная задача — нахождение оболочки тензорного произведения решеток — также привлекала и привлекает большое внимание; в частности, для ее решения в случае симметричных решеток была построена теория Томиты - Такесаки, вызвавшая революционный прогресс в современной теории С*-алгебр.

Впервые вопросы непрерывности hat, в неявном виде, возникли в работах фон Неймана, рассматривавшего "почти инвариантные" подпространства и "почти триангулирующие" цепочки подпространств. Позднее это направление получило развитие в работах Апостола, Фояша, Войкулеску, Халмоша, Конвея, Хэдвина, Дэвидсона и др. При этом основное внимание уделялось алгебрам с одной образующей; рассматриваемый в диссертации общий случай имеет принципиальные отличия и требует новой техники. Структура решеток инвариантных подпространств активно исследовалась в работах Диксмье, Калиша, М.С.Бродского, Донохью, Г.Э.Кисилевского, Н.К.Никольского, Домара, Д.В.Якубовича и многих других математиков.

3. Исследование структуры операторных бимодулей над максимальными самосопряженными коммутативными алгебрами операторов и соответствующих им проекторных систем (бирешеток). Рассматриваемые здесь вопросы можно разделить на два класса — те, которые связаны с разработкой чисто операторной (бескоординатной) техники в теории бирешеток, независимой от ограничений типа сепарабельности или счетной разложимости, и те, которые возникают при координатном подходе — они связаны с вопросами теории меры, емкости, спектрального анализа — синтеза и других классических областей анализа. Координатный подход впервые возник в работах Арвесона, который изучал специальный класс бимодулей — CSL-алгебры. Он же поставил (в основном, в алгебраической ситуации) множество задач как общеоператорного, так и координатного характера; некоторые из них рассматриваются и решаются в диссертации. На долгое время после работ Арвесона теория CSL-алгебр оказалась в центре внимания специалистов по теории операторных алгебр (среди которых можно выделить особенно значительный вклад Дэвидсона, Эрдеша, Ларсона, Андерсена). Необходимость изучения общемодульной ситуации выявилась в последнее десятилетие, в связи с потребностями теории линейных операторных уравнений, возникающих, в свою очередь, в теории представлений квантовых групп, уравнений в свертках, интегральных уравнений, линейных уравнений в частных производных. Рассмотрение этой тематики в диссертации потребовало создания и разработки нового аппарата: теории операторного синтеза, теории аппроксимативных обратных сплетений, теории псевдотопологических пространств.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка эффективного аппарата спектрального и триангуляционного (то есть, основанного на изучении структуры инвариантных подпространств) анализа операторно алгебраических систем — операторных алгебр, полугрупп, алгебр Ли, бимодулей над операторными алгебрами. Для этой цели в диссертации решаются задачи классификации представлений таких систем, изучения их решеток инвариантных подпространств, задачи совместной триангуляции, задачи выделения геометрических и аналитических инвариантов, удобных для анализа таких систем, изучения асимптотики компактно порожденных полугрупп, задачи спектрального и операторного синтеза, изучения топологических свойств (непрерывность, стабилизация, аппроксимативпость) основных конструкций, рассматриваются проблемы теории меры и теории емкостей, исследуется строение ядер и образов операторов в шкалах банаховых пространств, анализируются спектральные характеристики операторов умножения в симметрично нормированных идеалах и, как следствие, операторов свертки и дифференциальных операторов в частных производных.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются операторно алгебраические системы (алгебры, группы, полугруппы, алгебры Ли, бимодули операторов, действующих в гильбертовых или банаховых пространствах). Предмет исследования — алгебраические, геометрические (триангуляционные, в частности), спектральные свойства этих систем, их подсистем и связанных с ними систем линейных операторных уравнений.

Гипотеза. Основные результаты диссертации получены при исследовании справедливости следующих гипотез:

1. Алгебра Ли вольтерровых операторов имеет инвариантное подпространство (гипотеза Войтыньского).

2. Решетка проекторов тензорного произведения алгебр фон Неймана совпадает с тензорным произведением решеток проекторов сомножителей (гипотеза Хопенвассера)

3. Борелевское подмножество прямого произведения. компактов содержит носитель ненулевого оператора тогда и только тогда, когда оно не является маргинально нулевым (гипотеза Арвесона).

4. Решетка подпространств, порожденная решеткой конечной ширины и коммутирующей с ней синтезируемой решеткой, является синтезируемой (гипотеза Арвесона).

5. Транзитивный бимодуль над максимальной абелевой симметричной алгеброй операторов ультраслабо плотен в пространстве всех операторов (гипотеза Дэвидсона).

6. Коммутатор компактного и нормального оператора имеет, в случае его ядерности, нулевой след (гипотеза Вейсса).

7. Пространство решений линейного операторного уравнения с коммутирующими нормальными коэффициентами совпадает с пространством решений формально сопряженного уравнения (гипотеза Вейсса).

Методология и методы проведенного исследования. В диссертационной рабЬте используются методы классического анализа, теории операторов, теории банаховых алгебр, теории С*-алгебр, теории меры, теории емкостей Шоке, геометрии банаховых пространств, теории спектрального синтеза, теории симметрично нормированных операторных алгебр, теории представлений, теории структур. Специально для решения рассматриваемых в диссертации задач были разработаны аппарат теории псевдотопологических пространств, техника аппроксимативных сплетений, теория операторного синтеза.

Научная новизна полученных результатов. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. В тех случаях, когда изложение требует воспроизведения результатов и конструкций, принадлежащих другим математикам, это специально оговаривается и подчеркивается. В комментариях после каждой главы указывается, где опубликованы помещенные в этой главе результаты.

Рассмотрим, с этой точки зрения, каждую главу диссертации. Понятие совместного спектрального радиуса, являющееся основным техническим инструментом во второй главе, было введено в работе Рота и Стрэнга (1960 г). Однако применений к триангуляционным и спектральным задачам в этой работе не предполагалось, и потому ничего, кроме первого определения, в диссертацию из нее не вошло. Не только использование в теории инвариантных подпространств, операторных полугрупп и алгебр Ли, но и фундаментальные аналитические свойства, такие как субгармоничность совместного спектрального радиуса, не были установлены до работ автора и его ученика Ю.В.Туровского.

В третьей главе диссертации речь идет о непрерывности основного в теории инвариантных подпространств отображения Lat. Хотя аппроксимационные методы в теории инвариантных подпространств были инициированы еще фон Нейманом и концептуально близки к теории возмущений, теории рассеяния и т.д., принятый в диссертации подход, основанный па изучении геометрических свойств решеток проекторов и их тензорных произведений, является новым. Применения результатов о непрерывности к проблеме рефлексивности решеток (то есть, характеризации решеток инвариантных подпространств) также впервые появились в работах автора.

Начиная с четвертой главы, в изложении активно используется разработанный автором аппарат теории псевдотопологических пространств, ассоциированных с произведением двух пространств с мерой. Хотя вопросам эффективного описания алгебр, содержащих masa (максимальные коммутативные алгебры операторов), посвящена большая литература, особое место среди которой занимает статья Арвесона [66], техника псевдотопологии позволила значительно продвинуться в этом направлении, поскольку оказалась применимой для одновременного анализа различных masa-бимодулей. Как следствие, это позволило получить ответы на ряд открытых ранее вопросов теории masa-бимодулей и теории коммутативных решеток проекторов.

Теория операторного синтеза masa-бимодулей, развитая в пятой главе диссертации, также является новой, хотя связь между классическим спектральным синтезом и теорией инвариантных подпространств была открыта ранее Арвесоном. Ее построение позволило, в частности, решить ряд поставленных в [66] проблем. Связь между спектральным и операторным синтезом представляет сама по себе плодотворное направление исследований, на котором уже удалось установить ряд результатов, полезных как для теории операторов, так и для гармонического анализа.

В шестой главе диссертации обнаруживаются взаимно обогащающие связи между индивидуальным операторным синтезом и линейными операторными уравнениями. В связи с этим, разработан новый аппарат аппроксимативных обратных сплетений (АОС), позволяющий сравнивать поведение "родственных" операторов в шкалах банаховых пространств. Применения его к линейным операторным уравнениям, тензорным алгебрам и теории дифференциальных уравнений позволили получить новые результаты и в этих областях.

Практическая значимость полученных результатов.

Результаты работы имеют теоретический характер. Они могут применяться к ч операторным алгебрам, линейным операторным уравнениям и представлениям алгебр Ли, возникающим в механике и теоретической физике.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Получение результатов о существовании инвариантных подпространств' операторно алгебраических систем на основе разработанного автором аппарата совместного спектрального радиуса, в том числе решение проблемы Войтыньского о нетранзитивности энгелевых алгебр Ли компактных операторов.

2. Исследование непрерывности зависимости решетки инвариантных подпространств от семейства операторов, а также разработка эффективных топологических и геометрических критериев, выделяющих решетки инвариантных подпространств в классе общих решеток подпространств.

3. Построение теории операторного синтеза, и основанное на ее результатах решение ряда задач теории инвариантных подпространств, в том числе (поставленных Арвесоном и Дэвидсоном) а) проблемы характеризации носителей бимодулей над максимальными абелевыми симметричными алгебрами, б) проблемы плотности транзитивных бимодулей, с) проблемы существования минимальной ультраслабо замкнутой алгебры с заданной коммутативной решеткой инвариантных подпространств.

4. Разработка аппарата аппроксимативных обратных сплетений и получение, на его основе, описания пространств решений линейных операторных уравнений, позволивших ответить на ряд нерешенных вопросов теории таких уравнений, поставленных Г.Вейссом, а также получение приложений к характеризации пространств ограниченных решений некоторых классов дифференциальных уравнений в частных производных.

Апробация результатов диссертации. Вошедшие в диссертацию результаты докладывались на конференции по операторным алгебрам в Пифагорио (Греция) в 1996 году, на семинаре А.Я.Хелемского по теории банаховых алгебр (МГУ), на семинаре Е.А.Горина и В.Я.Лина по теории банаховых алгебр (МГУ), на семинаре Н.К.Никольского и В.П.Хавина по теории функций и теории операторов (ЛОМИ) в 1983, 1985 и 1986 годах, на совместном англо-российском симпозиуме по теории операторов в Ленинграде в 1996 году, па семинарах Д.П.Желобенко и А.И.Штерна по теории представлений в МИАН и МГУ, на симпозиуме по банаховым алгебрам в Белефельде (1997), на конференции по бесконечномерный линейным задачам в Словении (Блед 2001, 2005, Краньска Гора 2008), на конференции по банаховым алгебрам в Бедлево (Польша, 2003), на конференции по теории операторных алгебр в Эдмонтоне (Канада, 2003), на конференции IWOTA в Ньюкасле (2002), на семинарах по теории операторов и функциональному анализу в университетах Лондона, Оксфорда, Кембриджа, Лидса, Ланкастера, Эдинбурга, Ньюкасла, Белфаста, Дублина, Копенгагена, Гетеборга, Эгейском университете (Самос), университетах Гераклио (Крит), Афин, Торонто, Халифакса (Канада), Кента (США), Бордо, Белграда, Ленинграда, Минска, Институтах Математики Азербайджана, Украины, Белоруссии, на семинаре профессора Карлесона в Шведской Королевской Технической Школе (Стокгольм), на Воронежских Зимних Школах по функциональному анализу и Крымских Осенних Школах по спектральной теории; по ним были прочитаны курсы лекций в Афинском университете и в Банаховом центре института математики Польской АН.

Опубликованность результатов. По теме диссертации опубликована монография и 31 статья в научных журналах. Все результаты диссертации содержатся в этих работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из шести глав (включая Введение), заключения и списка используемых источников. Список насчитывает 259 наименований. Полный объем диссертации составляет 262 страницы, в том числе список используемых источников занимает 20 страниц.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Шульман, Виктор Семенович

Подведем итог, выделив основные результаты диссертационной работы.1. Построена теория совместного спектрального радиуса, включающая исследование алгебраических и аналитических свойств различных спектральных характеристик операторных семейств.Найдены применения этой теории к задачам теории представлений бесконечномерных алгебр Ли и компактно порожденных полугрупп.В частности, получены критерии существования инвариантных подпространств и критерии триангулируемости операторно алгебраических систем. Обратно, указаны- оценки спектрального радиуса семейства в терминах триангулирующих это семейство цепочек инвариантных подпространств. Доказана компактная квазинильпотентность и, как следствие, существование инвариантного подпространства, для любой алгебры вольтерровых операторов.Исследована зависимость асимптотики и алгебраической структуры полугруппы от спектрального радиуса и существенного спектрального радиуса порождающих ее подмножеств. Доказано, что если полугруппа G состоит из операторов основного типа (то есть, таких, у которых р(Т) = р

(Т)) и содержит группу {exp(tT) : t G R}, где Т — некоторый вольтерров оператор, то она имеет гиперинвариантное подпространство.Как следствие, получено решение проблемы триангуляции вольтерровой алгебры Ли и следующий, более общий, результат: если равномерное замыкание алгебры Ли квазинильпотентных операторов содержит ненулевой компактный оператор, то эта алгебра имеет инвариантное подпространство.Эти результаты опубликованы в работах: [15, 21, 24, 34, 36, 45, 48, 157, 160, 214, 223, 224, 225].2. Проведено исследование геометрии решеток проекторов и получены приложения к проблеме непрерывности отображения Lat. Доказано, что Lat, как отображение многообразия слабо замкнутых операторных алгебр в многообразие решеток подпространств, непрерывно в узком смысле, то есть равенство Lat(lim({A\})) = limLat({A\}) имеет место для сетей {ДА}, элементы которых являются алгебрами фон Неймана, или содержат masa, или содержатся в алгебре фон Неймана с разделяющим вектором (более общим образом, в произвольной алгебре, коммутант которой содержит две изометрии с взаимно ортогональными

образами).На основе результатов о непрерывности получен общий аппроксимационный критерий рефлексивности решетки, позволяющий решить проблему рефлексивности для широкого класса решеток, включающего инъективные решетки фон Неймана, коммутативные решетки и их тензорные произведения. Как следствие, получено положительное решение проблемы Хопенвассера-Крауса для решеток фон Неймана, в предположении инъективности одной из этих решеток.Результаты изложены в работах: [16, 47, 50, 53, 54, 160, 214, 218, 219].3. Создана теория псевдотопологических пространств, ассоциированных с произведением двух пространств с мерой; на основе изучения этих пространств охарактеризованы носители masa-бимодулей, содержащих операторы из различных Шэттеновских идеалов. Получены эффективные критерии плотности masa-бимодулей. В частности, показано, что транзитивный masa-бимодуль ультраслабо плотен в пространстве всех операторов (решение проблемы Дэвидсона [96]).С помощью введения и исследования специальной емкости Шоке на подмножествах прямого произведения пространств с регулярными мерами, доказано, что борелевское подмножество Е в прямом произведении двух сепарабельных метризуемых пространств с регулярными мерами несет ненулевой оператор в том и только том случае, если оно не является маргинально нулевым (то есть, не содержится в объединении двух множеств с нулевыми проекциями). Тем самым, получен ответ на вопрос Арвесона [66], доказавшего этот факт ("теорему о нулях") для компактных Е. Построен пример, показывающий, что метризуемость существенна. Получена минимаксная формула sup{A*(£) : A G М{Х х У),тп(А) < М,тг2(А) < и} = Ы{ц(А) + v{B) :AcX,BcY,Ec(AxY)U{Xx В)}, которую можно рассматривать как количественный вариант теоремы о нулях, если учесть, что всякая мера A Е M(XxY), проекции TTJ(A) которой на X, Y мажорируются /г, г/, определяет ограниченный оператор из L2(X) в L2(Y). Исследованы условия достижимости седловых значений.Результаты опубликованы в работах: [15, 53, 117, 137, 158, 212, 216].4. Построена теория операторного синтеза, с помощью которой получено решение ряда проблем теории операторов, долгое время остававшихся открытыми. В частности, доказано существование минимальных предрефлексивных алгебр для любой коммутативной решетки, получены аппроксимационные критерии синтезируемое™, построен пример, решающий отрицательно проблему синтезируемое™ решетки, порожденной синтезируемой решеткой и решеткой конечной ширины. Внетопологический (заменяющий внешние топологии псевдотопологией прямого произведения пространств с мерами) подход к задачам синтеза решеток и бирешеток проекторов позволил применять в этих задачах технику измеримых сечений. На этом пути доказана синтезируемость прообразов синтезируемых множеств относительно измеримых отображений; одним из прямых следствий этого результата является теорема о синтезируемости решеток конечной ширины.Исследована взаимосвязь между спектральным и операторным синтезом для подмножеств прямого произведения компактов.Доказано, что подмножество прямого произведения компактов является синтезируемым в классическом смысле относительно тензорной алгебры, если оно универсально (то есть, для любого выбора мер) операторно синтезируемо. Как следствие, получен ряд критериев классической синтезируемости, включающий теорему Друри [109] о "безтреугольных" множествах. Построен пример, показывающий, что класс универсально операторно синтезируемых множеств является более узким, чем класс спектрально синтезируемых, и найдены некоторые достаточные условия универсальной синтезируемости (множества без собственных бимер, операторные множества Диткина).Эти результаты изложены в работах: [18, 41, 52, 117, 212, 220].5. Исследованы задачи индивидуального операторного синтеза в тензорных алгебрах и их связь с проблемами теории линейных операторных уравнений. С помощью техники операторного синтеза построен пример, дающий отрицательное решение общей проблемы Вейсса [246] об эквивалентности линейных операторных уравнений n E A\XB\ = 0 где {Ai : 1 < i < n}, {Д- : 1 < i < n} — коммутативные семейства нормальных операторов.Построен аппарат аппроксимативных обратных сплетений (АОС), позволяющих сравнивать поведение "родственных" операторов в шкалах банаховых пространств. В качестве основного приложения, рассмотрены операторы умножения в шкале идеалов Шэттена &. Техника АОС позволила установить, что если хаусдорфова размерность спектра одного из коэффициентных семейств не превосходит 2, то написанные выше уравнения эквивалентны (в пространстве всех операторов). Даны оценки размерностей, при которых имеет место эквивалентность этих уравнений в &. Получены приложения к задачам о следах коммутаторов в симметрично-нормированных идеалах. Даны, также, ответы на поставленные в [247] и [191] (и связанные со следами коммутаторов) вопросы о разрешимости некоторых функциональных соотношений в конкретных функциональных пространствах.С помощью той же техники, для широкого класса коэффициентных семейств установлены неравенства вида \\Y,A:xB*\\2<c\\j2AXBt\\2 где ||.|J2 — норма Гильберта-Шмидта. Такого же рода оценки получены и для некоторых операторов умножения, коэффициенты которых не являются нормальными. В частности, доказано, что \\АХ — ХВ\\2 < \\А*Х — ХВ*\\2, если операторы А и В* гипонормальны.Исследованы спектральные подпространства и получены оценки подъема для линейных операторов умножения с нормальными коэффициентами. Как следствие, получены количественные оценки (длин цепочек идеалов) в проблеме спектрального синтеза в тензорных алгебрах Варопулоса. Результаты применяются к дифференциальным и псевдодифференциальным уравнениям в частных производных.Доказано, в частности, что пространство ограниченных на R2 решений уравнения полностью определяется многообразием нулей многочлена р. Рассмотрен и случай высших размерностей (на которые это утверждение впрямую не

переносится).Результаты опубликованы в работах: [29, 40, 41, 43, 46, 47, 49, 51, 52, 162, 165, 212, 220].Анализ рассмотренных в диссертации вопросов позволяет сделать вывод, что теория инвариантных подпространств в настоящее время эффективно использует, объединяет и развивает такие различные направления, как гармонический анализ, бесконечномерная геометрия, теория меры, теория потенциала, дифференциальные уравнения, топология, банаховы алгебры, теория представлений, не говоря уже о собственно теоретико-операторных вопросах.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Шульман, Виктор Семенович, 2009 год

1. Беспалов Ю.Н., Самойленко Ю.С., Шульман B.C. Семейства операторов, связанные полулинейными соотношениями/ / Применение методов функционального анализа в математической физике/ Академия Наук Украины, Институт Математики. — Киев, 1991. - С.28-51

2. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Оценки собственных чисел интегральных операторов // Успехи Матем. Наук — 1977 — Т. 32, Ш С.17-84.

3. Ваксман JI.JL, Гурарий Д.Л. Об алгебрах Ли с компактным присоединенным действием // Теория функций, функциональный анализ и их приложения — 1975 — Т.24 — С. 16-32.

4. Гольденштейн Л.С., Маркус А.С. О мерах некомпактности ограниченных множеств и линейных операторов j j Вопросы алгебры -и математического анализа — Кишинев: Карта Молдовенскн, 1965. — С.45-54.

5. Горин Е.А. О подпространствах банаховой алгебры, выделяемых аналитически j j XII Всесоюзная школа по теории операторов. — Челябинск, 1986. С.13-24.

6. Гохберг И.Ц., Гольденштейн Л.С., Маркус А.С. Исследование свойств ограниченных линейных операторов, связанных с их q-нормами // Ученые Записки Кишиневского Гос. Университета — 1957, №29 С.29-36.

7. Брешар М., Киссин Э., Шульман B.C. О Йордановых идеалах и подбимодулях: алгебраический и аналитический аспекты) I Функциональный анализ и его приложения — 2008 — том 42, вып. 3, 71-75.

8. Бродский М.С. Об одноклеточности оператора интегрирования и одной теореме Титчмарша // Успехи математических наук — 1965 Т.20, №5 - С.189-192,

9. Исмагилов Р.С. О кольцах операторов в пространствах с индефинитной метрикой // Доклады АН СССР — 1966 — Т.171, № С.269-271.

10. Исмагилов Р.С. О задаче расширения представлений // Мат. Заметки 1984 - Т.35, №1 - С.99-106.

11. Кисилевский Г.Э.' Инвариантные подпространства вольтерровых диссипативных операторов с ядерными мнимыми компонентами // Известия АН СССР, Сер. матем. -1968 Т.32, №1 - С.3-23.

12. Киссин Е.В., Шульман B.C. Операторно-дифференцируемые функции и дифференцирования операторных алгебр / / Функциональный анализ и его приложения — 1996 — Т.ЗО, №4 С.75-77

13. Литвинов Г.Л., Ломоносов В.И. Теоремы плотности в локадьно выпуклых пространствах и их приложения // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. МГУ — 1981 — Т. 20 — С. 210227.

14. Крейн М.Г. Одно применение принципа неподвижной точки в теории операторов в пространстве с индефинитной метрикой Доклады АН СССР 1964 - Т.5 - С.224-228.

15. Логинов А.И., Шульман B.C. Наследственная и промежуточная рефлексивность W*-алгебр // Известия АН СССР, серия матем. —1975 Т.39, №6 - С.1260-1273.

16. Логинов А.И., Шульман B.C. Редуктивные операторы и операторные алгебры // Известия АН СССР, серия матем. —1976 Т40, т - С.845-854.

17. Логинов А.И., Шульман B.C. Неприводимые J-симметричные алгебры операторов в пространствах с индефинитной метрикой // Доклады АН СССР 1978 - Т.248, Ш - С.21-23.

18. Логинов А.И., Шульман B.C. Инвариантные подпространства операторных алгебр: Итоги науки и техники, Математический анализ / ВИНИТИ Москва, 1988. - Том 26 - С.65-145.

19. Ломоносов В.И. Об инвариантных подпространствах операторов, коммутирующих с компактными // Функциональный анализ и его приложения 1973 - Т.7 - С.213-214.

20. Ю.И.Любич, В.И.Мацаев Об операторах с отделимым спектром // Матем. Сборник, 1962 Т.56, Ш - С.433-468.

21. Мустафаев Г.С., Шульман B.C. О плотности векторных функционалов // Доклады АН СССР — 1985 — Т.280, №4 — С.804-806.

22. Наймарк М.А., Логинов А.И., Шульман B.C. Несамосопряженные алгебры операторов в гильбертовом пространстве // Итоги науки и техники, Математический анализ / ВИНИТИ — Москва, 1974. — Том 12 С.413-465.

23. Никольский Н.К. Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа // Труды МИАН СССР — 1974 — Т. 120 — С. 1-234.

24. Осиленкер Б.П., Шульман B.C. Решетки инвариантных подпространств некоторых операторов / / Функциональный анализ и его приложения — 1983 — Т.17, №1 — С.81-82.

25. Пеллер В.В. Гапкелевы операторы в теории возмущений унитарных и самосопряженных операторов // Функциональный анализ и его приложения 1985 - Т.19, №2 - С.37-51.

26. Понтрягин Л.С. Эрмитовы операторы в пространствах с индефинитной метрикой // Известия АН СССР, серия матем.- 1944 Т.8 - С.243-280.

27. Розеноер С.А. Векторные функционалы и рефлексивность операторных алгебр // Известия АН Азерб. ССР, серия матем.- 1986 Т.35, №1 - С.24-26.

28. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций нескольких переменных. — Москва: Наука — 1971 420 с.

29. Самойленко Ю.С., Шульман B.C. Представления соотношений вида гА, В] = f{A)+g(B) // Украинский Матем. Журнал — 1991 Т/43, Ш - С.110-114.

30. Судаков В.Н. Геометрические задачи теории бесконечномерных распределений // Труды МИАН 1976 - Т.141 - С.1-179.

31. Туровский Ю.В. Спектральные свойства элементов нормированных алгебр и инвариантные подпространства // Функц. Анализ и его прил. 1984 - Т.18, №2 - С.77-78.

32. Туровский Ю.В. Спектральные свойства некоторых подалгебр Ли и совместный спектральный радиус в банаховых алгебрах // Спектральная теория операторов и ее приложения. — Баку, 1985. — Т.6 С.144-181.

33. Туровский Ю.В. Коммутативность по модулю радикала Джекобсона ассоциативных оболочек некоторых алгебр Ли // Спектральная теория операторов и ее приложения. — Баку, 1987. — Т.8 С.199-211.

34. Туровский Ю.В., Шульман B.C. Совместный спектральный радиус и инвариантные подпространства // Функциональный анализ и приложения 2000 - Т.34, №2 - С.91-94.

35. Туровский Ю.В., Шульман B.C. Радикалы в банаховых алгебрах и некоторые проблемы теории радикальных банаховых алгебр // Функциональный анализ и его приложения — 2001 — Т/35, №4 — С.88-91.

36. Туровский Ю.В., Шульман B.C. Инвариантные подпространства операторных алгебр Ли и теория К-алгебр // Функциональный анализ и его приложения 2003 - Т.37, №4 - С.328-330

37. Файнштейн А.С. Фредгольмовость и индекс для функции от левого и правого операторов умножения // Докл. АН Азерб. ССР — 1984 Т.40 - С.3-7.

38. Холево А.С. Аналог теории статистических решений в некоммутативной теории вероятности // Труды. Моск. Матем. Общества 1972 - Т.26 - С.133-149.

39. Широков Ф.В. Доказательство гипотезы Капланского // Успехи Математических Наук 1956 - Т. 11, №4 - С. 167-168.

40. Шульман B.C. Теорема Фуглида-Патнэма и рефлексивность // Докл. АН СССР -1973 Т.210 - С.543-544.

41. Шульман B.C. Операторы умножения в С*-алгебрах и проблема рефлексивности алгебр, содержащих m.a.s.a. // Функциональный анализ и его приложения — 1974 — Т.8, №1 — С.92-93.

42. Шульман B.C. Операторные алгебры со строго циклическими векторами j j Математические заметки — 1974 — Т.16, №2 — С.253-257.

43. Шульман B.C. Линейные операторные уравнения с обобщенно-скалярными коэффициентами // Доклады АН СССР — 1975 — Т.225,- С.56-58.

44. Шульман B.C. Одна теорема о неподвижной точке // Функциональный анализ и его приложения — 1979 — Т. 13, №1- С.88-89.

45. Шульман B.C. О неподвижных точках дробно-линейных преобразований // Функциональный анализ и его приложения- 1980 Т. 14, №2 - С.93-94.

46. Шульман B.C. Линейные операторные уравнения с нормальными коэффициентами // Доклады АН СССР 1983 — Т.270, №5 -С.1070-1073.

47. Шульман B.C. Операторы умножения и следы коммутаторов // Исследования по линейным операторам и теории функций. Записки Научных семинаров ЛОМИ 1984 - Т.135 - С.182-194.

48. Шульман B.C. Об инвариантных подпространствах вольтерровых операторов // Функциональный анализ и его приложения — 1984 — Т. 18, №2 С.85-86.

49. Шульман B.C. Сплетения и линейные операторные уравнения // Доклады АН СССР 1988 - Т.301, №1 - С.57-61

50. Шульман B.C. Решетки проекторов в гильбертовом пространстве // Функциональный анализ и его приложения — 1989 — Т.23, №2 — С.86-87.

51. Шульман B.C. Спектральный синтез и теорема Фуглида-Патнэма-Розенблюма // Теория функций и функциональный анализ — 1990 — №54 С.25-36.

52. Шульман B.C. Операторы умнооюения и спектральный синтез // Доклады Академии Наук СССР 1990 - Т.313, №5 - С. 1047-1051.

53. Шульман B.C. "Гнездовые алгебры" К.Р.Дэвидсона (и обзор современного состояния предмета) // Алгебра и Анализ, — 1990 — Т.2 С.236-255.

54. Шульман B.C. Факторизация вполне положительных коциклов и ГНС-конструкция для представлений в пространстве Понтрягина // Функциональный анализ и его приложения — 1997 — Т.31, №3 — С. 91-94

55. Якубович Д.В. Условия одноклеточности операторов взвешенного сдвига // Доклады АН СССР 1984 - Т.278, №4 - С.821-823.

56. Abdessemend A, Davies Е.В. Some commutator estimates in the Shatten classes // J.London Math. Soc. (2) 1989 - Vol.39 - P.299-308.

57. Ahlfors L., Beurling A. Conformal invariants and function theoretic null sets // Acta Math. 1950 - Vol.83 - P. 101-129.

58. Allan G.R. Power-bounded elements and radical Banach algebras // Banach Center Publ. 1997 - Vol.38 - P.9-16.

59. Anderson J., Foias C. Properties which normal operators share with normal derivations, and related topics// Pacific J. Math. — 1975 Vol.61 — P.313-325.

60. Anoussis M., Katavolos A., Lambrou M.S. On the reflexive algebra with two invariant subspaces j I J. Op: Th. 1993 - Vol.30 - P.267-299.

61. Argyros S, Lambrou M., Longstaff W.E. Atomic Boolean subspace lattices and applications to the theory of bases // Memoirs Amer. Math. Soc., — 1991 №445 - P. 1-178.

62. Apostol C., Foias C., Voiculesku D. Some results on non-quasitriangular operators, III// Rev. Roum. math. Pures et appl. — 1973 — Vol.18, №3 P.309-324.

63. Apostol C., Foias C., Voiculesku D. On strongly reductive algebras // Rev. Roum. math. Pures et appl. 1976 - Vol.21, №6 - P.633-641.

64. Aronszajn N., Smith K.T. Invariant subspaces of completely continuous operators // Annals of Mathematics — 1954 — Vol.60 — P.345-350.

65. Arsenovich M, Keckic D. Elementary operators on Banach algebras and Fourier transform // J. Functional Anal. 2004 — Vol.201, №3 — P.541-555.

66. Arveson W. Operator algebras and invariant subspaces // Annals of Mathematics, 1974 - Vol.100 - P.433-532.

67. Arveson W. Interpolation problems in nest algebra // J. Funct. Anal. — 1975 Vol.20, №3 - P.208-233.

68. Atzmon A. On , the existence of hyperinvariant subspaces // J.Oper.Theory 1984 - Vol.11 - P.3-40.

69. Aupetit В. Proprietes spectrales des algebres de Banach // Lect. Notes Math., 735, Berlin: Springer-Verlag, 1979. — 176 p.

70. Bartle R.G., Graves L.M. Mappings between functional spaces // Trans. Amer. Math. Soc. 1952 - Vol.72 - P.400-413.

71. Beggs E.J. Sigma topologies and the Riesz representation theorem // Stochastic and quantum mechanics — Swansey, World Sci.Publishing, 1990 P.26-39.

72. Beltita D., Sabac M. An asymptotic formula for the commutators // J. Funct. Anal. 1998 - Vol.153 - P.262-275.

73. Benedetto J. Spectral synthesis. — N.Y.: Academic Press, 1975 — 541 p.

74. Bercovici H. Hyper-reflexivity and the factorization of linear functionals // J. Functional Analysis 1998 - Vol.158 - P.242-252.

75. Bercovici H., Foias С., Pearcy C.M. Dual algebras with applications to invariant subspaces and dilation theory. — Providence: CBMS, 1985 — 135 p.

76. Berger M.A., Wang Y Bounded semigroups of matrices, // Linear Algebra Appl. 1992 - Vol.166 - P. 1-27.

77. Blecher D.P., Smith R.R. The dual of the Haagerup tensor product // J. London Math. Soc. (2) 1992 - Vol.45, №1 - P. 126-144.

78. Boyadziev K. Commuting Co-groups and the Fuglede-Putnam theorem // Stud. Math. 1985 - Vol.81, №3 - P.303-306.

79. Bonsall F.F., Duncan J. Numerical ranges of operators on normed algebras I. ~ London: Cambridge Univ. Press, 1971 — 178 p.

80. Bourbaki N. Elements de mathematique, Groupes et algebres de Lie. — Paris: Hermann, 1971 — 387 p.

81. Bresar, M.; Kissin, E.; Shulman, V.S. Lie ideals: from pure algebra to C*-algebras// J. Pure und Angew. Math. 2008 - vol.623 - pp. 73-121.

82. Brickman L., Fillmore P.A. The invariant subspace lattice of a linear transformation // Canad. J. Math. -1967 Vol.19, №4 - P.810-822.

83. Brown S.W. Some invariant subspaces for subnormal operators // Integral Equations and Operator Theory 1978 - Vol.1, №3 - P.310-333.

84. Brown S.W., Chevreau В., Pearcy С. Contractions with rich spectrum have invariant subspaces // J. of Operator Theory — 1979 — Vol.1, №1- P. 123-136.

85. Clancey C. Seminormal operators. Lecture Notes in Mathematics, 742 — Berlin: Springer, 1979 125 p.

86. Collela D. On spectral synthesis for sets of the form E = cl(C(£')) // Proc. Amer. Math. Soc., 1983 - Vol.89 - P.236-238.

87. Connes A. Classification of infective factors // Ann. Math. — 1976 — Vol.104 P.73-116.

88. Conway J.B. A complete Boolean algebra of subspaces which is not reflexive // Bull. Amer. Math. Soc. 1973 - Vol.79, №4 - P. 720-722.

89. Cuntz J. Locally C*-equivalent algebras // J. Funct. Anal. — 1976 — Vol.23, №2 P.95-106.

90. Curto R. Spectral permanence for joint spectra // Trans. Amer. Math. Soc. 1982 - Vol.270 - P. 659-665.

91. Curto R. Spectral theory of elementary operators // Elementary Operators and Applications — London, World Scientific, 1991 — 253 p.

92. Curto R., Fialkow L. The spectral picture of {La, Rb} // J- Funct. Anal.- 1987 Vol.71 - P.371-392.

93. Daughtry J. An invariant subspace theorem // Proc. Amer. Math. Soc.- 1975 Vol.49, №1 - P.267-268.

94. Davidson K.R. Perturbations of reflexive operator algebras // J. Operator Theory 1986 - Vol.15 - P.289-305.

95. Davidson K.R. Commutative subspace lattices // Indiana Univ. Ath, J.- 1978 Vol.27, №3 - P.479-490.

96. Davidson K.R. Nest algebras. — N.Y. et al: Longman, 1988. — 469 p.

97. Davidson K.R. Compact perturbations of reflexive algebras // Canadian J. Math. 1981 - Vol.33, №3 - P.685-700.

98. Davis C., Rosenthal P. Solving linear operator equations // Canad. Math. J. 1974 - Vol.26 - P. 1384-1389.

99. Dixon P.G., Muller V. A note on topologically nilpotent Banach algebras // Stidia Math. 1992 - Vol.102, №3 - P.269-275.

100. Eisner L. The generalized spectral-radius theorem: an analytic-geometric proof // Linear Algebra Appl. 1995 - Vol.220 - P.l'51-159.

101. Embry M., Rosenblum M. Spectra, tensor products and linear operator equations // Pacific J. Math. 1974 - Vol.53 - P.95-107.

102. Erdos J.A. Reflexivity for subspace maps and linear spaces of operators // Proc. London Math. Soc. (3) 1986 - Vol.52, №3 - P.582-600.

103. Erdos J.A., Katavolos A., Shulman V.S. Rank one subspaces of bimod-ules over maximal abelian selfadjoint algebras // J. Funct. Anal. — 1998 Vol. 157, №2 - P.554-587.

104. Eymard P. L'algebre de Fourier d'un groupe localement compact // Bull. Soc. Math. France 1964 - Vol. 92 - P.181-236.

105. Fall Т., Arveson W.E., Muhly P. Perturbations of nest algebras // J.Operator Theory 1979 - Vol.1, №1 - P.137-150.

106. Foias С., Pearcy C.M. (BCP)-operators and enrichment of invariantsubspace lattices // J. Oper. Theory 1983 - Vol.9, №1 - P. 187-202.

107. Fong C.K. On reductive operator algebras // Acta sci. math. — 1977 -Vol.39, №1-2 P.87-91.

108. Froelich J. Compact operators, invariant subspaces, and spectral synthesis // J. Funct. Anal. 1988 - Vol.81, №1 - P.l-37.

109. Froelich J. Compact operators in the algebra of a partially ordered measure space // J. Oper. Theory 1983 - Vol.10, №2 - P.353-355.

110. Fuglede B. A commutativity theorem for normal operators // Proc. Amer. Math. Soc. 1950 - Vol.36 - P.35-40.

111. Gelfand I. Zur Theorie der Charaktere der abelschen topologishen Grup-pen, // Mat. Sb. 1941 - Vol.51 - P.49-50.

112. Grothendieck A. Resume de la theorie metrique des produits tensoriels topologiques // Boll. Soc. Mat. Sao-Paulo 1956 - Vol.8 - P. 1-79.

113. Guinand P.S. On quasinilpotent semigroups of operators // Proc. Amer. Math. Soc. 1982 - Vol.86, №3 - P.485-486.

114. Hadwin D.W. An addendum to "Limsups of Lats- // Indiana Univ. Math. J. 1980 - Vol.29, №2 - P.313-319.

115. Halmos P.R. Reflexive lattices of subspaces // J. London Math. Soc. (2)- 1971 Vol.4 - P.257-263.

116. Halmos P.R. Limsups of Lats // Indiana Univ. Math. J. — 1980 — Vol.29, №2 P.293-311.

117. Halmos P.R. A Hilbert space problem book. — Berlin: Springer, 1982.- 457 p.

118. Harrison K.R. Strongly reductive operators j j Acta Sci. Math. — 1975- Vol.37, №3-4 P.205-212.

119. Harrison K.J. The tensor product formula for reflexive subspace lattices // Canad. Math. Bull. 1995 - Vol.38, №3 - P.308-316.

120. Harte R. Tensor products, multiplication operators and the spectral mapping theorem // Proc. Royal Irish Acad. 1973 - Vol.73A - P.285-302.

121. Haydon R.G., Shulman V.S. On a measure-theoretical problem of Arve-son 11 Proc. Amer. Math. Soc., 1996 - Vol.124 - 497-503. ,

122. Haydon R.G. Compact commutative subspace lattices need not be completely distributive j j Proc. Amer. Math. Soc. — 1992 Vol. 110, №3 — P.342-350.

123. Helton J.W'., Howe R. Traces of commutators of integral operatprs // Acta Math. 1976 - Vol.136 - P.271-305.

124. Hewitt E., Ross K.A. Abstract Harmonic Analysis II. — Berlin: Springer, 1970. 459 p.

125. Hoffmann M.J. Spans and intersections of essentially reducing subspaces // Proc. Amer. Math. Soc. 1978 - Vol.72, №2 - P.333-340.

126. Hopenwasser A. Tensor products of reflexive subspace lattices // Mich. Math. J. 1984 - Vol.31 - P.359-370.

127. Hopenwasser A., Laurie C., Moore R. Reflexive algebras with completely distributive subspace lattices // J. Oper. Theory — 1984 — Vol.11, №1 — P.91-108.

128. Hopenwasser A., Kraus J. Tensor products of reflexive agebras 11 j j J-London Math. Soc. (2) 1983 - Vol.28 - P.359-362.

129. Hopenwasser A., Moore R. Finite rank operators in reflexive operator algebras j j J. London Math. Soc., 1983 - Vol. 27 - P.331-338.

130. Jimbo M. q-difference analogue ofU(n) and the Yang-Baxter equation // Lett. Math. Phys. 1985 - Vol.10 - P.63-69.

131. Johnson B.E., Williams J.P. The range of a normal derivation // Pacific J. Math. 1975 - Vol.58 - P.105-122.

132. Johnson R.E. Distinguished rings of linear transformations // Trans. Amer. Math. Soc. 1964 - Vol.111, №3 - P.400-412.

133. Kalish G.K. A functional analysis proof of Titchmarsch's theorem on convolution // J.Math.Anal. and Appl. — 1962 — Vol.5, №2 — P.176-183.

134. Kaniuth E., Lau A.T. Spectral synthesis for A{G) and subspaces of VN{G) // Proc. Amer. Math. Soc. 2001 - Vol.129, №11 - P.3253-3263.

135. Katavolos A., Lambrou M.S., Papadakis M. On some algebras diagonal-ized by M-bases of i2 // J. Integral Equations and Operator Theory — 1993 Vol.17 - P.68-94.

136. Katavolos A., Todorov I.G. Normalizers of operator algebras and reflex-ivity // Proc. London. Math. Soc. 2003 - Vol.86, N°-2 - P. 463-484

137. Katavolos A., Radjavi H. Simultaneous triangularization of operators on a Banach space // J. London Math. Soc. — 1990 — Vol.41 — P.547-554.

138. Katsoulis E. Reflexivity for a class of subspace lattices // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1996 - Vol.119 - P.67-71.

139. Kissin E., Shulman V. S. Differential properties of some dense subalge-bras of C*-algebras // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1994 - Vol.37, №3 - P.399-422.

140. Kissin E., Shulman V. S. Dense Q-subalgebras of Banach and C*-algebras and unbounded derivations of Banach and C*-algebras // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1993 - Vol.36, №2 - P.261-276.

141. Kissin E., Loginov A.I., Shulman V.S. Derivations of C*-algebras and almost Hermitian representations on Uk-spaces // Pacific J. Math. — 1996 Vol.174, № - P.411-430.

142. Kissin E., Shulman V.S. Dual spaces and isomorphisms of some differential Banach *-algebras of operators // Pacific J. Math. — 1999 — Vol.190, № P.329-360.

143. Kissin E., Shulman V.S. Differential Banach *-algebras of compact operators associated with symmetric operators // J. Funct. Anal. — 1998 — Vol.156, №1 P. 1-29.

144. Kissin E., Shulman V.S.- Representations on Krein spaces and derivations of C*-algebras. — London: Longman, 1997. — 602 p.

145. Kissin E., Shulman V.S. Differential Schatten *-algebras; approximation property and approximate identities // J. Operator Theory — 2001 — Vol.45, №2 P.303-334.

146. Kissin E., Shulman V. S. On the range inclusion of normal derivations: variations on a theme by Johnson, Williams and Fong // Proc. London Math. Soc. 2001 - Vol.83, №1 - P.176-198.

147. Kissin E., Shulman V. S. Classes of operator-smooth functions. Operator Lipschitz and Operator Stable Functions // Proc. Edinburgh Math. Soc.- 2005 Vol.48 - P. 151-173.

148. Kissin E., Shulman V.S. On a problem of J. P. Williams // Proc. Amer. Math. Soc. 2002 - Vol.130, №12 - P.3605-3608.

149. Kissin E., Shulman V. S. Classes of operator-smooth functions. II. Operator-differentiable functions // Integral Equations Operator Theory 49 (2004), №2, 165-210.

150. Kissin E., Shulman V. S. Classes of operator-smooth functions. I. Operator-Lipschitz functions // Proceedings Edinb. Math. Soc. 48(2005), №1, 151-173.

151. Kissin E., Shulman V. S. Classes of operator-smooth functions. Ill Stable functions and Fuglede's ideals j j Proceedings Edinb. Math. Soc. 48(2005), m, 175-197.

152. Kissin E., Shulman V. S. Operator multipliers // Pacific J. Math. 227(2006), №1, 109-141.

153. Kissin E., Shulman V. S. On fully operator Lipschitz functions // J. Funct. Anal. 253(2007), №2, 711-728.

154. Kleinecke D.C. On operator commutators // Proc. Amer. Math. Soc.- 1957 Vol.8 - P.536-537.

155. Kraus J. The slice map problem for a-weakly closed subspaces of von Neumann algebras, // Trans. Amer. Math. Soc. — 1983 — Vol.279, №1- P.357-376.

156. Kraus J. Tensor products of reflexive agebras // J. London Math. Soc.- 1983 Vol.28 - P.350-358.

157. Larson D.R. Annihilators of operator algebras// Topics in Modern Operator Theory 1982 — Vol.6 - P. 119-130.

158. Larson D.R. A solution to a problem of J.R.Ringrose // Bull. Amer. Math. Soc. 1982 - Vol.7, №1 - P.243-246.

159. Larson D.R., Wogen W.R. Reflexivity properties ofT®0 // J. Functional Analysis, 1990 - Vol.92 - P.448-467.

160. Laurie C., Nordgen E. On triangularization of algebras of operators, // J. Reine Angew. Math. -1981 Vol.327 - P. 143-155.

161. Laurie C., Longstaff W. A note on rank one operators in reflexive algebras // Proc. Amer. Math. Soc., 1983 - Vol.89 - P.293-297.

162. Lebow A., Schechter M. Semigroups of operators and measures of non-compactness // J. Funct. Anal. — 1971 — Vol.7 — P. 1-26.

163. Lumer G., Rosenblum M. Linear operator equations // Proc. Amer. Math. Soc. 1952 - Vol.10 - P.32-41.

164. Laurie C., Nordgren E., Radjavi H., Rosenthal P. On triangularization of algebras of operators // J.Reine und angew Math. — 1981 — Vol.327- P.143-155.

165. Longstaff W.E. Strongly reflexive lattices // J. London Math. Soc., — 1976 Vol. 11 - P. 19-23.

166. Longstaff W.E., Rosenthal P. On two questions of Halmos concerning subspace lattices // Proc. Amer. Math. Soc. — 1979 — Vol.75, №1 — P.85-86.

167. Magajna B. A system of operator equations // Canad. Math. Bull. — 1987 Vol.30, №2 - P.200-209.

168. Miers C.R. A note on Lie nilpotence in operator algebras // Studia Math. 1987 - Vol.85 - P. 55-59.

169. Miziolek Т., Muldner Т., Rek A. On the topologically nilpotent algebras // Studia Math. 1972 - Vol.43 - P.41-50.

170. Moore R.L. Reductivity in C*-algebras and essentially reductive operators // Pacific J. Math. 1978 - Vol.74, jY*2 - P.419-428.

171. Murphy G.J. Continuity of the spectrum and spectral radius // Proc. Amer. Math. Soc. 1981 - Vol.82, №4 - P.619-621.

172. Murphy G.J. Triangularizable algebras of compact operators // Proc. Amer. Math. Soc. 1982 - Vol.84, №3 - P.354-356.

173. Nordgren E., Radjavi H., Rosenthal P. Triangularizing semigroup of compact operators // Indiana Univ. Math. J. — 1984 — Vol.33 — P.271-275.

174. Nordgren E., Radjabalipour M., Radjavi H., Rosenthal P. Algebras intertwining normal operators // Acta Sci. math. — 1977 — Vol.39 — P.115-119.

175. Open Problems: Proc. Fourth Conf. Operator Theory (Ti-mi§oara/Herculane, 1979) / Univ.Timi§oara. — Timi§oara, 1980. — P.335-342.

176. Orr J.L. Triangular algebras and ideals of nest algebras. // Memoirs Amer. Math. Soc. 1995 - Vol.117 - P.l-123.193. de Pagter B. Irreducible compact operators // Math Z. — 1986 — Vol.192, m 149-153.

177. Pavel N.H. Invariant subcones of a linearly continuous operator leaving a cone fixed in a Banach space // J. Math. Anal, and Appl. — 1982 — Vol.87, №2 P.628-631.

178. Radjavi H., Rosenthal P. On invariant subspaces and reflexive algebras // Amer. J. Math. 1969 - Vol.91 - P.683-692.

179. Radjavi H., Rosenthal P. Invariant subspaces. — N.Y.: Springer-Verlag, 1973 347 p.

180. Radjavi H., Rosenthal P. Simultaneous triangularization. — N.Y.: Springer-Verlag, 2000 254 p.

181. Read C.J. Л solution to the invariant subspace problem on the space l\ // Bull. London Math. Soc. 1985 - Vol.17 - P.305-317.

182. Rickart C.E. General theory of Banach algebras. N.Y.: Van Nostrand Reinhold, 1960. 523 p.

183. Riesz F., Sz.-Nagy B. Legons d'analyse fonctionnelle. — Budapest: Akademiai Kiado, 1972. — 546 p.

184. Rosenoer S. Completely reducible algebras containing compact operators // Can. J. Math. 1982 - Vol.34, №5 - P.1025-1035.

185. Rosenoer S. Completely reducible operators that commute with compact operators // Trans. Amer. Math. Soc. 1987 - Vol.299, №1 - P.33-40.

186. Rosenthal P. Examples of invariant subspaces lattices // Duke Math. J. -1970 Vol.37 - P. 103-112.

187. Rosenthal P. On commutants of reductive operator algebras // Duke Math. J. 1974 - Vol.41, №4 - P.829-834.

188. Rosenthal P., Soltysiak A. Formulas for the joint spectral radius of non-commuting Banach algebra elements // Proc. Amer. Math. Soc. — 1995- Vol.123, №9 P.2705-2708.

189. Rosenoer S. Trace class operators in CSL algebras // Canad. Math. Bull. 1992 - Vol.35 - P.416-422.

190. Rota G.-K., Strang W.G. A note on the joint spectral radius // Indag. Math. 1960 - Vol.22 - P.379-381.

191. Rudin W. "Real and complex analysis". N.Y.: McGraw Hill, 1966. -465 p.

192. Rudin W. Fourier analysis on groups. — N.Y.: John Wiley & Sons, 1990.- 285 p.

193. Rudin W. Functional analysis. N.Y.: McGRAW-HILL Book c., 1973.- 438 p.

194. Sarason D. Invariant subspaces and unstarred operator algebras // Pacific J. Math. 1966 - Vol.17, №3 - P.511-517.

195. Samoilenko Y.S., Shulman V.S., Turowska L.W. Semilinear relations and their *-representations // Methods Funct. Anal. Topology — 1996 — Vol.2, №1 P.55-111.

196. Schwartz J.T. Subdiagonalization of operators in Hilbert space with compact imaginary part // Comm. Pure Appl. Math. — 1962 — Vol.15 — P.159-172.

197. Shulman V. S. Invariant subspaces and spectral mapping theorems // Functional analysis and operator theory. / Banach Center Publ.(30) — Warsaw, 1994. P.313-325.

198. Shulman V.S. Some remarks on the Fuglede-Weiss theorem // Bull. London Math. Soc. 1996 - Vol.28, №4 - P.385-392.

199. Shulman V. S. On representations of limit relations // Methods Funct. Anal. Topology 2001 - Vol.7, №4 - P.85-86.

200. Shulman V.S. Various aspects of Fuglede's theorem // Spectral and evolutional problems 16(2005) - 192-203.

201. Shulman V.S., Todorov I.G. On subspace lattices I. Closedness type properties and tensor products // Integral Equations and Operator Theory — 52(2005), №4, P.561-579.

202. Shulman V.S., Todorov I.G. On subspace lattices II. Continuity of Lat // J. of Operator Theory 52(2004), №2, 371-384.

203. Shulman V.S., Turowska L.W.Operator synthesis. I. Synthetic sets, bi-lattices and tensor algebras // J. Funct. Anal. — 2004 — Vol.209, №2 — P.293-331.

204. Shulman V.S., Turowska L.W. Operator synthesis. II. Individual synthesis and linear operator equations // J. Reine Angew. Math. — 2006 — Vol.590 R143-187.

205. Shulman V.S., Turowska L.W Вeurling-Pollard type theorems // J. London Math. Soc. 2007 - Vol.75 - P.330-342.

206. Shulman V.S., Turovskii Y.V. Formulae for joint spectral radii of sets of operators // Studia Math. 2002 - Vol.149, №1 - P.23-37.

207. Shulman V.S., Turovskii Y. V. Joint spectral radius, operator semigroups, and a problem of W. Wojtynski j j J. Funct. Anal. — 2000 — 177, №2 P.383-441.

208. Shulman, V. S., Turovskii Y. V. Solvable Lie algebras of compact operators have invariant subspaces // Спектральные и эволюционные задачи: Т. 9 — С.38-44/ Симферопольский университет — Симферополь, 1999.

209. Shulman, V. S., Turovskii Y. V. Invariant subspaces of operator Lie algebras and Lie algebras with compact adjoint action // J. Funct. Anal. 223(2005), №2 P.425-508.

210. Shulman V.S., Turovskii Y.V. Topological radicals, I. Basic properties, tensor products and joint quasinilpotence// Banach Center Publications, Volume 67 (2005), Polish Acad, of Sci., Institute of Math. — P.293-333.

211. Smith R.R. Completely bounded module maps and the Haagerup tensor product // J. Funct. Anal. 1991 - Vol.102, №1 - P. 156-175.

212. Spronk N., Turowska L. Spectral synthesis and operator synthesis for compact groups J.London Math.Soc. — 2002 Vol.66, №2 - P.361-376.

213. Symes D. Structure of doubly generated reflexive lattices // Quarterly J. Math. 1998 - Vol.49, №194 - P.229-235.

214. Takesaki M. Theory of operator algebras. — N.Y.-Heidelberg: Springerv Verlag, 1985. 342 p.

215. Taylor J.L. A joint spectrum for several commuting operators // J. Funct. Anal. 1970 - Vol.6 - P. 172-191.

216. Todorov I.G. Spectral synthesis and masa-bimodules. J. London Math. Soc. 2002 - Vol.65, №3 - P.733-744.

217. Turovskii Y.V. Volterra semigroups have invariant subspaces // J. Funct. Anal. 1999 - Vol.162, №2 (1999) - P.313-323.

218. Vala K. On compact sets of compact operators // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser.A 1964 - Vol.351 - P.l-8.

219. Varopoulos N.T. Spectral synthesis on spheres // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1966 - Vol.62 - P.379-387.

220. Varopoulos N.T. Tensor algebras and harmonic analysis // Acta Math. 1967 - Vol.119 - P.51-112.

221. Vesentini E. On the subharmonicity of the spectral radius // Boll. Un. Mat. Ital. 1968 - №4 - P.427-429.

222. Voiculescu D. Remarks on Hilbert-Shmidt perturbations of almost-normal operators // Operator Theory: Adv. Appl., Vol.2 /Basel-Boston,1981. p. 311-318.

223. Voiculescu D. Some results on norm-ideal perturbations of Hilbert space operators// J Operator Theory 1979 - Vol.2, №1 - P.3-37.

224. Voiculescu D. Some extensions of quasitriangularity // Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 1973 - Vol.18 - P.1303-1320.

225. Voiculesku D. Norm-limits of algebraic operators // Rev. Roum. Math. Pures et Appl. 1974 - Vol.19, №3 - P.371-378.

226. Voiculesku D. A non-commutative Weyl-von Neumann theorem // Rev. Roum. Math. Pures et Appl. 1976 - Vol.21, №1 - P.97-113.

227. Wagner C.R. Weak limits of projections and compactness of subspace lattices 11 Trans. Amer. Math. Soc. 1987 - Vol.304, № - P.515-535.

228. Warner c.R. A class of spectral sets // Proc. Amer. Math. Soc. — 1976- Vol.57 P.99-102.

229. Weiss G. The Fuglede commutativity theorem modulo the Hilbert-Schmidt class and generating functions for matrix operators. I Trans. Amer. Math. Soc. 1978 - Vol.246 - P. 193-209.

230. Weiss G. An extension of the Fuglede-Putnam theorem modulo the Hilbert-Schmidt class to operators of the form ^ MnXNn // Trans. Amer. Math. Soc. 1983 - Vol.278, №1 -P.l-20.

231. Weiss G. The Fuglede commutativity theorem modulo the Hilbert-Schmidt class and generating functions for matrix operators. II // J. Operator Theory 1981 - Vol. 5, №1 - P.3-16.

232. Williams J.P. Derivation ranges: open problems // Topics in Modern Operator Theory, 319-328, Operator Theory: Adv. Appl., 2(1981).

233. Wogen W.R. Counterexamples in the theory of selfadjoint operator algebras 11 Bull. Amer. Math. Soc. -1986 Vol.15, no 2 - P.225-227.

234. Wojtynski W. Engel's theorem for nilpotent Lie algebras of Hilbert-Schmidt operators // Bull. Acad. Polon. Sci. 1976 -Vol.24, №9 -P. 797-801.

235. Wojtynski W. Banach-Lie algebras of compact operators // Stud. Math.- 1977 Vol.49 - P.263-273.

236. Wojtynski W. A note on compact Banach-Lie algebras of Volterra type // Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. math., astr. et phys. — 1978 — Vol.26, Ш 105-107.

237. Wojtynski W. On the existence of closed two-sided ideals in radical Banach algebras with compact elements // Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. math., astr. et phys. 1978 - Vol.26, №2 - 109-113.

238. Wojtynski W. Quasinilpotent Banach-Lie algebras are Baker-Campbell-Hausdorff U J. Funct. Anal. 1998 - Vol.153, №2 (1998) - P.405-413.

239. Zemanek J. Spectral radius characterizations of commutativity in Banach algebras j j Stud. Math. Vol.61 - P.23-35.

240. Zemanek J. Spectral characterization of two-sided ideals in Banach algebras // Stud. Math. 1980 - Vol.67, №1 - P. 1-12.