Подгрупповая структура разветвляющихся стационарных и периодических решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Макеев, Олег Владимирович

• Макеев, Олег Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Макеев, Олег Владимирович

Введение

1 Построение общего вида уравнения разветвления стационарных и периодических решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с симметрией симморфных кристаллографических групп

1.1. Описание программы построения уравнения разветвления по допускаемой группе симметрии.

1.2. Уравнение разветвления допускающее группу С211 моноклинной сингонии.

1.3. Построение общего вида уравнения разветвления допускающего старший кристаллический класс £>2Л ромбической сингонии

1.4. Система разветвления допускающая точечную группу Лм тетрагональной сингонии

1.5. Уравнение разветвления с симметрией группы Дм ромбоэдрической сингонии.

1.6. Общий вид системы разветвления с симметрией группы гексагональной сингонии.

1.7. Общий вид уравнения разветвления допускающего группу О/, кубической сингонии.

2 Подгрупповая симметрия уравнения разветвления и малых стационарных и периодических решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах

2.1. Программа для построения структуры подгрупп.

2.2. Системы разветвления с симметрией плоских решеток

2.2.1. Группа симметрии прямоугольника

2.2.2. Уравнение разветвления с симметрией группы квадрата

2.2.3. Уравнение разветвления с симметрией группы шестиугольника

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Подгрупповая структура разветвляющихся стационарных и периодических решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах»

1. История вопроса

В монографии [8] было впервые дано систематическое изложение с точки зрения современного функционального анализа теории ветвления решений нелинейных уравнений, основанной на редукции нелинейной задачи к эквивалентной конечномерной - системе трансцендентных алгебраических уравнений с малым параметром. Классические результаты A.M. Ляпунова [56] и Э. Шмидта [143] были возрождены на существенно более высоком уровне. Теория ветвления как одно из направлений качественной теории дифференциальных уравнений возникла на рубеже XIX и XX столетий в прикладной задаче математического описания возможных фигур равновесия вращающейся жидкой массы [56,81] и в общей теории нелинейных интегральных уравнений [143]. Ее дальнейшее развитие диктовалось прикладными задачами математической физики и нелинейного анализа. В первой четверти XX столетия методами теории ветвления и конформных отображений А.И. Некрасов [72] решает плоскую задачу о гравитационных волнах па свободной поверхности бесконечного слоя жидкости. Двумя годами позже эти результаты были получены другими методами Т. Леви-Чивита [114] и Д. Стройком [146]. Л. Лихтенштейн [115] и Л.Н. Сретенский [89] дают современное для того времени развитие результатов A.M. Ляпунова и А. Пуанкаре о фигурах равновесия небесных тел. H.H. Назаров [69] публикует цикл исследований о ветвлении решений нелинейных интегральных уравнений и точках бифуркации нелинейных интегральных уравнений Гам-мерштейпа. В 50-х гг. И.Г. Малкин [65] и Л. Чезари [100] применяют методы теории ветвления к различным задачам о периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений. В этих работах последовательно прослеживается связь теории ветвления с задачами устойчивости решений [66], основой которых явились фундаментальные работы A.M. Ляпунова по устойчивости. Таким образом, основополагающие результаты теории ветвления возникли в математическом моделировании гидродинамических процессов и общей теории нелинейных функциональных уравнений.

М.М. Вайнберг [7] и М.А. Красносельский [26] развивают вариационные и топологические методы в задачах теории ветвления. М.А. Красносельский на основе введенного им аналога степени отображения - теории вращения векторных полей - доказывает теорему существования бифуркации от нечетно-кратного собственного значения. Методы теории степени отображения в нелинейном анализе применялись также в работах J. Cronin [109]. Наиболее общие теоремы существования бифуркации были получены в работах H.A. Сидорова и В.А. Треногина [88,97], где основным моментом явилась идея В.А. Трено-гина применения теории особых точек конечномерных векторных полей непосредственно к уравнению разветвления (УР), что позволило снять требования компактности операторов в результатах М.А. Красносельского.

При многомерном ветвлении нелинейная задача часто имеет одно или несколько семейств решений, зависящих от свободных параметров. Существование таких решений связано с наличием групповой симметрии в исходной задаче. Случай, когда параметры решения не имеют группового смысла, в физике называется случайным вырождением. Отметим здесь симметрию групп вращений для задачи о фигурах равновесия вращающейся жидкой массы и симметрию группы сдвигов в задаче о волнах на поверхности тяжелой жидкости - первых прикладных задачах теории ветвления, где групповая симметрия порождена симметрией области. Как правило, физические процессы в неограниченных областях инвариантны относительно группы движений евклидова пространства. Если нелинейная задача ставится на (s — 1)-мерном многообразии в Rs, то она допускает группу симметрии этого многообразия. Примером может служить нелинейно возмущенное уравнение Гельмгольца на сфере S2 в R3 [28] или (s — 1)-мерной гиперповерхности £ с краем дЕ или без края в Rs [49].

Идея применения групповой симметрии в теории ветвления принадлежит В.И. Юдовичу [80,102], исследовавшему вместе с сотрудниками [20,90-92] задачи о тепловой конвекции в жидкости и вторичные стационарные течения жидкости между вращающимися в одну сторону цилиндрами. Дальнейшим развитием симметрийной теории ветвления явился метод группового расслоения для построения редуцированного УР [50,51]. В монографии Б.В. Логинова [33] - обзоре результатов в симметрийных задачах теории ветвления по 1980 г. доказана основополагающая теорема о наследовании групповой симметрии нелинейной задачи соответствующим УР, предложены различные способы его редукции (понижения порядка), дана методика построения решений, инвариантных относительно подгрупп, исследованы связи симметрии с обобщенной жордановой структурой, дана общая теория нелинейных задач с нарушением симметрии. Рассмотрены многие приложения теории бифуркаций в условиях групповой симметрии: 1° дифференциальное уравнение А и + Ли = /(и) на сфере S2 в Л3 и на 5-мерном компактном многообразии с краем или без края,

2° задача о фигурах равновесия вращающегося цилиндрического столба вязкой капиллярной жидкости в условиях невесомости, 3° трехмерная задача о периодических капиллярно-гравитационных волнах в слое жидкости над ровным дном при четырехмерном вырождении линеаризованного оператора, 4° периодические решения задачи о фазовых переходах в статистической теории кристалла. Если групповая симметрии первых двух задач обусловлена симметрией области, то третья и в особенности четвертая задача явилась ярким примером бифуркационных задач о нарушении симметрии.

Теорема о наследовании групповой симметрии [52,53] обосновала возможности применения методов группового анализа дифференциальных уравнений по С. Ли - JI.B. Овсянникову [75,76] для построения общего вида УР по допускаемой группе симметрии. Теория непрерывных групп преобразований в аспекте ее применения в дифференциальных уравнениях, обыкновенных и с частными производными, а также систем ДУ была разработана в основополагающих трудах С. Ли [116,117], опубликованных в конце XIX столетия (1888, 1890 и 1893). К этому времени относятся также многочисленные применения теоретико-групповых методов в математической физике (см., например, [10]). В знаменитых работах Д. Гильберта [16] дано решение основной задачи теории инвариантов непрерывных групп преобразований. Обзор дальнейшего развития теории инвариантов содержится в [17]. Однако фундаментальные связи математического моделирования и современного группового анализа дифференциальных уравнений, получившие название теоретико-группового моделирования, исследованные в работах новосибирской школы академика Л.В. Овсянникова [19, 75, 76], остаются и по сей день основой многих глубоких результатов в механике сплошных сред, теоретической физике и математической биологии.

Симметрия системы разветвления ., £■) = 0, j = 1,., m, выражающаяся равенством Bgf(£) = f(Ag£) {AtJ и Bg - конечномерные представления группы G соответственно в пространстве векторов / и £), означает, что УР /(£,£) = 0 является инвариантным многообразием в (п+ш)-мерном пространстве векторов (£i. /1. fm). Тем самым для решения задачи определения общего вида УР по допускаемой им группе симметрии может быть применена теория инвариантных многообразий Л.В. Овсянникова. Таким образом, допускаемая УР группа обуславливает вполне определенный его вид, от задачи к задаче меняются только числовые значения его коэффициентов.

Из зарубежных работ по симметрийной теории ветвления назовем монографии Вандербауведе [147], М. Голубицкого, И. Стюарта и Д. Шеффера [110], [111], аппаратом исследований в которых служит теория особенностей гладких отображений [1].

Эквивариантная теория ветвления независимо развивается с середины 70-х гг. западными и советскими математиками, при этом, как правило, ссылки на российские работы отсутствуют (отмстим полное отсутствие ссылок на основополагающие работы В.И. Юдовича в указанных выше монографиях).

Теорема о наследовании была применена в [140-142] для определения главной части системы разветвления задачи Бенара о тепловой конвекции в пространственном слое жидкости без ссылок на более ранние близкие работы [90-92]. Практически одновременно результаты об образовании структур в бифуркационных задачах были получены в [29,31,32] и применены в [31,32] к задаче о кристаллизации жидкого фазового состояния в статистической теории кристалла в физике фазовых переходов [13,98].

Первые результаты А. Андронова и H.H. Баутина [2,3] о возникновении периодического автоколебательного режима при потере устойчивости стационарного движения также восходят к работам A.M. Ляпунова [56] и А. Пуанкаре [81]. В русской литературе это явление носит название бифуркации рождения предельного цикла или бифуркации Андронова-Хопфа, в западной

- бифуркации Хопфа. Последнее название объясняется тем, что условия рождения периодических решений в n-мерной системе нелинейных автономных дифференциальных уравнений были получены Э. Хопфом и опубликованы в 1942 г. [112]. Отметим также более позднюю работу [5,71].

Метод Ляпунова-Шмидта был модифицирован для исследования бифуркации Андронова-Хопфа в работах В.И. Юдовича [68,103,104], М. Крендалла и П. Рабиновича [108], Ж. Иоосса [113], В.А. Треногина [95]. Методы центрального многообразия к исследованию бифуркации Андронова-Хопфа были развиты Дж. Марсденом и М. Мак-Кракеном [67] и Д. Рюэлле [139]. Бифуркация рождения предельного цикла в нелинейных задачах с симметрией исследовалась в работах Д. Рюэлле [139], В.И. Юдовича [68,105,106], А. Ван-дербауведе [147], Голубицкого и Шеффера [110,111], Б.В. Логинова и В.А. Треногина [34,35,119,120,130,131]. Однако использование методов группового анализа для построения общего вида УР Ляпунова-Шмидта бифуркации Андронова-Хопфа на основе теоремы о наследовании групповой симметрии соответствующим УР было выполнено в работах Б.В. Логинова и В.А. Треногина [35,119,121,131].

В бифуркационных задачах о нарушении симметрии нелинейное уравнение инвариантно относительно группы движений евклидова пространства R3 и его решением, инвариантным относительно этой группы является состояние покоя или равномерного движения. При потере устойчивости рождаются решения с ячеистой структурой, инвариантные относительно подгруппы Т

- сдвигов определенного периода по определенным направлениям и переходящие одно в другое при преобразованиях группы вращений-отражений К, определяющей симметрию ячеек. Поэтому теория ветвления в условиях групповой симметрии и, в частности, стационарные и нестационарные бифурка-циоиные задачи о нарушении симметрии, является одним из математических средств популярной в настоящее время науки синергетики - теории самоорганизации в естественно-научных дисциплинах [27,73,87]. Синергетика изучает модели нелинейных явлений, в которых решения имеют определенную стационарную или пространственно-временную структуру, допускающую определенную групповую симметрию. В настоящее время синергетика превратилась в междисциплинарную науку, находящую применение при моделировании нелинейных явлений гидродинамики, тепломассопереноса [101], математической биологии и биофизики [84]. Ее популярное изложение содержится в брошюрах [27,93].

В симметрийпой теории ветвления возникает задача о построении решений, инвариантных относительно подгрупп группы симметрии допускаемой уравнением разветвления. Для ОДУ с дискретиой группой симметрии общая схема построения решений с симметрией подгрупп была впервые предложена в работе С.А. Владимирова [12]. Ее развитие применительно к задачам теории ветвления и, в частности, к задачам о нарушении симметрии было дано Б.В. Логиновым [30] (см. также [31,33]) и применено к поиску решений, инвариантных относительно нормальных делителей дискретной группы симметрии в приложениях к задачам о кристаллизации [32,33], капиллярно-гравитационных поверхностных волнах [38] и нелинейно возмущенному уравнению Гельмголь-ца [41] . В указанных прикладных задачах решения с симметрией нормальных делителей дискретной группы определялись с помощью техники неприводимых инвариантных подпространств [55,70]. Для дискретной группы симметрии допускаемой уравнением разветвления должна быть построена структура подгрупп с перечислением классов подобных подгрупп и найдены соответствующие инвариантные решения. В задачах о нарушении симметрии структуру подгрупп следует построить для всей допускаемой УР кристаллографической группы. При этом для непрерывных групп (7 и их непрерывных подгрупп Я задача построения всех Я-систем разветвления сводится к перечислению классов подобных подгрупп,определяемых классами подобных подалгебр соответствующих алгебр Ли.

В 80-х гг. Л.В. Овсянниковым была предложена "Программа подмодели" [77-79], согласно которой если "большая" модель допускает некоторую группу (7, то она допускает и любую подгруппу Я с (7, а неподвижные элементы действия группы Я называются инвариантными Я-решениями, образующими класс решений. Для системы ДУ Е, допускающей группу (7 существование Я-решений определяется вспомогательной фактор-системой Е/Н. Идея программы "подмодели" возникла у академика JI.B. Овсянникова при исследовании моделей механики сплошных сред и была реализована для уравнений газовой динамики [79]. Для конечномерных алгебр Ли группы допускаемой системой уравнений газовой динамики в ней была построена оптимальная система подалгебр. Теоремы существования решений, инвариантных относительно подгрупп в симметрийной теории бифуркаций доказываются при использовании наиболее общей теоремы существования точки бифуркации - собственного значения нечетной кратности аналитической оператор-функции спектрального параметра [88,97].

Общая схема построения достаточно гладкого (аналитического) уравнения разветвления по наследуемой им группе симметрии на основе методов группового анализа была развита в работах Б.В. Логинова [35-39,48,54,118,119,121, 131,145] как для стационарного так и для динамического ветвления (бифуркация Аидронова-Хопфа). Однако при реализации этой схемы в конкретных приложениях возникли серьезные трудности, в особенности при высоких порядках вырождения линеаризованного оператора. Оказалось, что в аналитическом случае для построения общего вида УР недостаточно иметь полную систему функционально независимых инвариантов. Приходится привлекать дополнительные инварианты, определять связи между использованными инвариантами и на основе этих связей проводить факторизацию разложения УР по этим связям. При высоких размерностях УР исследователь не в состоянии учесть все возникающие здесь возможности. Например, для системы разветвления 48-го порядка, возникающей в задаче о фазовых переходах в статистической теории кристалла, определяется 16 инвариантных мономов третьей степени и 180 инвариантных мономов четвертой, среди которых следует выделить 21 функционально независимый инвариант. Выполнить схему построения общего вида УР без использования ЭВМ практически невозможно.

Нами предложен комплекс программ [63], позволяющих выполнить все эти четыре операции:

1. Поиск полной системы функционально независимых инвариантов;

2. Определение необходимых дополнительных инвариантов;

3. Установление связей между использованными инвариантами;

4. Факторизация разложения УР в степенной ряд по использованным инвариантам по связям между ними.

Описание алгоритмов решения указанных четырех задач содержится в первой главе, в третьей главе дано их применение для построения общего вида систем разветвления задачи о фазовых переходах в статистической теории кристалла в случаях 12, 24-х и 48-ми кратного вырождения линеаризованного оператора. Полученные здесь результаты справедливы для всего класса бифуркационных задач, допускающих группу симметрии простой кубической решетки при указанных высоких размерностях системы разветвления, независимо от конкретного физического содержания бифуркационной задачи.

Еще большие трудности возникают при исследовании бифуркации Андронова-Хопфа, т.е. в динамической ситуации. Здесь число независимых переменных в системе разветвления удваивается, т.к. в ней участвуют как сами переменные, так и комплексно-сопряженные к ним. При этом замечание о пригодности полученных результатов к целому классу задач, определенному допускаемой симметрией, независимо от их физического содержания, естественно, сохраняется. Это - характерная черта теоретико-группового моделирования в естественнонаучных дисциплинах.

Однако в динамическом ветвлении возникают новые трудности, связанные с тем фактом, что система разветвления содержит кроме п комплексных переменных еще и неизвестную малую добавку к частоте колебания, определяющую рождение предельного цикла. Все эти величины подлежат определению из системы разветвления. Поэтому исследование бифуркации предельного цикла выполняется на основе решения системы разветвления в подпространствах, иивариантных относительно нелинейного оператора, определяемого левой частью системы разветвления. Во второй главе диссертации предложена компьютерная программа поиска указанной системы инвариантных подпространств, и приведены результаты ее применения к построенным предварительно системам разветвления, допускающим плоские (квадратная, шестиугольная) и пространственные (простая кубическая решетка с кубооктаэдральной ячейкой) кристаллографические группы.

Найдена асимптотика решений УР в инвариантных подпространствах полной системы, определенной выше на основе компьютерной программы. Тем самым построена асимптотика разветвляющихся решений для всего класса задач бифуркации рождения цикла (Андронова-Хопфа), характеризующегося типом допускаемой групповой симметрии.

В конкретных физических задачах нередко требуется построить решения, инвариантные относительно подгрупп допускаемой групповой симметрии. Для непрерывной групповой симметрии эта задача составляет содержание предложенной академиком Л.В. Овсянниковым "программы подмодели" в теоретико-групповом моделировании. Для задач теории ветвления применение "программы подмодели" [77-79] представляет собой еще не решенную задачу. Для дискретной симметрии и нелинейных систем ОДУ схема построения решений, инвариатных относительно подгрупп изложена в работе [12], а ее развитие в применении к бифуркационным задачам в работах [30,31,33], с последующим применением к построению решений, инвариантных относительно нормальных делителей дискретной групповой симметрии. Основой применения этих абстрактных теоретических результатов служит предложенная в главе 2 программа построения структуры подгрупп конечной дискретной группы [63,135]. С помощью построенной структуры подгрупп для каждой цепи подгрупп из полной системы разветвления выделяется подсистема, определяющая решения нелинейного уравнения, инвариантные относительно каждого представителя конкретной цепи подгрупп, а не только нормальных делителей. Разработанная программа применена к уравнениям разветвления с симметриями диэдральных групп, даны приложения к нелинейно возмущенному уравнению Гельмгольца. Вновь отметим характерную черту теоретико-группового моделирования: полученные результаты справедливы для всего класса задач с определенной дискретной симметрией независимо от их физического содержания.

Введение содержит основные определения и факты, связанные с задачами стационарного ветвления, бифуркации Андронова-Хопфа (динамическое ветвление), элементы, группового анализа дифференциальных уравнений с применениями к задачам теории ветвления и необходимые сведения о кристаллографических группах.

Первая глава посвящена построению общего вида УР стационарной и динамической бифуркации в дифференциальных уравнениях в банаховых пространствах с симметриями старших классов пространственных симморфных кристаллографических групп. Для каждого из 14 типов кристаллических решеток определяется обратная решетка и соответствующее представление точечной группы К в прямой и обратной решетках. Описывается подпространство нулей линеаризованного в точке ветвления оператора, моделирующего класс задач с указанной симметрией, затем строится общий вид системы разветвления для стационарной и динамической бифуркации. Симметрия точечной группы К определяет симметрию коэффициентов построенных систем.

Во второй главе для каждого из 14 типов пространственных решеток строится структура подгрупп с частичным порядком по включению и дуальная к ней структура систем разветвления для определения решений, инвариантных относительно подгрупп. В качестве приложений рассмотрено нелинейно возмущенное уравнение Гельмгольца с симметрией плоских решеток. Для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с вырожденным оператором при производной с симметрией плоских и пространственных кристаллографических групп выписаны системы инвариантных подпространств с соответствующими подгруппами изотропии и для некоторых низких размерностей инвариантных подпространств вычислена асимптотика разветвляющихся решений.

В главе 3 с изложенных в главе 1 позиций в обобщение результатов [33,48] исследована задача о фазовых переходах в статистической теории кристалла описываемая нелинейным интегральным уравнением по типу уравнения Гаммерштейна с интегралами по всему пространству. Здесь все решетки имеют простой тип и, соответственно, допускают симметрию только симморф-ных кристаллографических групп. В этой главе рассматривается также кристаллизация со сложными решетками. Возникает векторное подпространство нулей и соответственно векторный случай ветвления с высокими порядками вырождения, тем самым указан подход к задачам, допускающим симметрию несимморфных кристаллографических групп. В качестве конкретного примера рассмотрено построение системы разветвления для задачи о кристаллизации жидкого фазового состояния в статистической теории кристалла с симметрией группы C|/t моноклинной сингонии, описываемой системой нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна, здесь симметрия решетки накладывает ограничения симметрии на ядра интегральных операторов. Выписанная система разветвления наследует указанную групповую симметрию. Определена асимптотика разветвляющихся решений.

В приложение выделена компьютерная реализация поиска точек бифуркации нелинейных операторов и общей схемы вычисления коэффициентов УР с применением к задачам аэроупругости с двумя бифуркационными параметрами.

Основные результаты опубликованы в 24 работах (17 статьях и 7 тезисах; четыре из них [42,45-47] по списку ВАК) и докладывались на международных и всероссийских конференциях: Всероссийская конференция, приуроченная к 85-летию академика JI.B. Овсянникова "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и исследование". СО РАН, Новосибирск, 10-14.05.2004; Международная конференция "Симметрия и самоорганизация в природе, науке и технике "Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика" - КЛИН-2004, Ульяновск, 12-20.05.2004; STAMM-2004, International Symposium on Trends in Applications of Mathematics to Mechanics, Darmstadt, Germany, 22-28.08.2004; CAIM-13, Conference on Applied and Industrial Mathematics, Pitesti, Romania 14-16.10.2005; Пятая молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения - 2006", Казань 28.11-02.12.2006; Международная "Конференция по логике, информатике, науковедению - КЛИН-2007", Ульяновск 17-18.05.2007; International Conference MOGRAN-11 Lie group analysis in education and research, Karlskrona, Sweeden,

27.05-02.06.2007; Восьмая международная Казанская летняя научная школа-конференция 'Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", Казань,

27.06-04.07.2007.

Всюду ниже формулы, теоремы, леммы и замечания имеют самостоятельную нумерацию внутри каждого параграфа. При ссылках внутри главы указывается номер параграфа и номер формулы, в остальных случаях нумеруется и глава; введению отвечает нулевой номер.

Соискатель выражает благодарность и искреннюю признательность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Логинову Борису Владимировичу за постановку задач, постоянное внимание к работе, полезные советы и замечания.

2. Основные определения и факты 2.1. Задачи стационарного ветвления

Решение прикладных задач математической физики часто сводится к исследованию нелинейных уравнений или систем уравнений вида где Р(х, •) : Е\ —> Е2 - нелинейный оператор, определенный и непрерывный в окрестности и = а;(:го, Ао) С Е\+Е (в приложениях часто Е\ С Е2) известного решения х — хо при А = А0; Е2, Е - банаховы пространства. Если производная Фреше Ех(хо,Ло) существует и является обратимым оператором, то в окрестности ш по теореме о неявной функции существует единственное непрерывное решение (1) х — х0 + х(Х — А0).

Теория ветвления рассматривает вопросы о существовании и количестве малых решений х{\ — А0) и построении их асимптотики по малому параметру А — А0 в случае, когда оператор В = — Ех(хо,Хо) имеет нетривиальное подпространство нулей N(3), т.е. не выполнены предпосылки теоремы о неявной функции. Согласно результатам [8], п. 25.5, если хо - изолированное решение (1) при А = Ао эти решения представляются сходящимися рядами по степеням малого параметра в окрестности точки ветвления. В дальнейшем без ограничения общности будем считать, что хо = 0, Ао = 0 и записывать (1) в виде

А. Задача отыскания малых решений уравнения (2) сводится к задаче разыскания малых решений некоторой трансцендентной алгебраической системы т уравнений с п неизвестными.

Пусть Е\ и Е2 - банаховы пространства. Обозначим через Ь{Е\,Е2) банахово пространство линейных ограниченных операторов, действующих из Е\ в Е2. Элемент у? 6 Е\ называется нулем оператора В € Ь(Е1,Е2), если он является решением уравнения Вх = 0. 0,

1)

Вх = Я{х, А), Д(0,0) = 0, Лж(0,0) = 0

2)

Рассмотрим неоднородное уравнение

Вх = h.

Оператор В Е Ь(Е\,Е2) называется нормально разрешимым, если выполняется одно из следующих двух условий: 1) уравнение (3) разрешимо при любой правой части к Е Е2, 2) в пространстве Е2, сопряженном к Е2 существует множество АТ*(В) {0} дефектных функционалов ф такое, что для разрешимости (3) необходимо и достаточно, чтобы для любого ф Е АТ*(В)

Далее линейный оператор В предполагается нётеровым, т.е. он нормально разрешим и размерности его подпространств нулей и дефектных функционалов конечны, т.е.

Аг (В) = зрап{(р 1,. .,(рп}, Лг* (В) = зрап{фи. .,фгп}.

Согласно следствию из теоремы Хана-Банаха в Е{ существуют функционалы 71,. ,7п, такие что

Согласно тому же следствию в Е2 существуют элементы . ,гт, такие что

Определим проекторы Р = Х)Г=1 (*'и Я = (,->'Фз)гз- О™ порождают разложение пространств Е\ и в прямые суммы где Е™~п состоит из тех элементов х Е Е\, для которых (х,^) = 0, i = 1,., п, тогда E\l = N(B). Е2,т - подпространство, натянутое на элементы zlt., zm, а .£/2,00-m состоит из элементов h Е для которых выполнено условие (4), откуда следует, что -Ё^оо-т совпадает с областью значений 7Z(B) оператора В.

Сведение (2) к эквивалентным системам разветвления может быть выполнено различными способами. Для вывода УР в форме A.M. Ляпунова положим х = и + v, где и = (/ - Р)х Е Е™~п, v = Рх = £?=1 е Имеем Вх = В(и + v) = Ви + Bv — Ви, следовательно, Q(Bu) = 0, т.к. QTZ(B) = 0. Проектируя уравнение (2) на i?2,m и i?2,oo-m получаем эквивалентную систему h, Ф) — 0.

4) zkM = 8ks, k,s = l,.,m тр трп ; троо-п гр 771 \тр

00—тп

Ви = R(u + v, А) QR(u + v, A) = 0

5)

6) где В : Е™~п —> Z?2,oo-m ~ сужение В\Е^-п. По теореме о неявных операторах [8] существует единственное малое решение и = u(v,X) уравнения (5). Подставляя его в (6), приходим к УР A.M. Ляпунова

QR{u(v, А) + v, А) = О или п j = 1,. ,т (7) i=1

Во фредгольмовом случае (тг = т) более удобным является другой вывод УР, основанный на обобщенной лемме Э. Шмидта, согласно которой существует ограниченный оператор Г = В'1, обратный к оператору В = В + ]СГ=1(''7i)zi (В ~ оператор Шмидта). Запишем (2) в виде эквивалентной системы п

Вх = R{x,\) + Y^&i (В) г=1 = 3 = 1,.," (9) п ~ п п п

Пусть x = u+Y, &<Ри ТОГДа Вх = Ви + Е( Е Zj<Pj>7(i )zi = Bu+J2 = i=1 i=l J=1 ¿=1

71 n

R(u + E £) + E Zibили ¿=1 i=1 n

Bu = R(u + Y^Z№,e) (10) i=1

По теореме о неявном операторе существует единственное малое решение и = А) (10), тогда уравнение (8) имеет единственное решение х — А) + п

E^Vi- Учитывая (9), приходим к УР Э. Шмидта ¿=1 tk = (u(£,\), %) = 0 к=1,.,п (11)

В. Всякой задаче теории ветвления отвечает достаточно гладкая (аналитическая) линеаризованиая оператор-функция В — Л(г), А(е) = RX(Q,6) = Eii сопоставляющая ей обобщенную жорданову структуру [8]. Обобщенные жордановы цепочки (ОЖЦ) определяются равенствами

В^ = £ AM-», = о е ЕГп), s = 2,.,Pi. (12) з=\

Обобщенный жорданов набор (ОЖН) г — 1,., n, А; = 1,. называется полным, если "определитель полноты" отличен от нуля

Рк

В = (13) з=i

В случае полного ОЖН в качестве базиса в i?2,n можно взять Zi = ф^ = Неполный жорданов набор при D = 0 можно продолжить, произведя предложенную в [8] перестройку ОЖЦ и на основе ее процесс продолжения неполного ОЖН. В [8] доказана теорема 30.1: Для существования полного ОЖН необходимо и достаточно существование ограниченного оператора (В - А(е))-1 при достаточно малых е. Следуя [86] полный ОЖН, удовлетворяющий соотношениям (12), (13) будем называть каноническим, а биортогональную систему {<ft>7¿}i канонической парой. В [86] доказано, что если оператор-функции В — А(е) отвечает полный ОЖН из линейно независимых элементов, то существует каноническая пара. Аналогично вводятся жордановы цепочки для сопряженной оператор-функции. При этом каноническая пара называется биканонической, если , V'Ji является канонической для В* — А*(е), т.е. ОЖН сопряженной оператор-функции - канонический. В том случае, когда базисные элементы N(B) и N*(B) можно выбрать так, чтобы выполнялись следующие соотношения биортогональности

Pk+i-i Pi+i-j tí" = Е ^Г2-'-", = Е л*^'-' (и)

8=1 3=1 будем называть ОЖН триканоническим.

В [8,86] показано, что для линейной оператор-функции В — еА элементы ОЖЦ линейно независимы и соответствующий ОЖН может быть выбран триканоническим, т.е. справедлива лемма о биортогональности

Лемма 1 Элементы А— и А*—жордановых наборов оператора В—еА могут, быть выбраны так, чтобы выполнялись следующие условия биортогональности

АМ,7Í") = fofy, (4я.4") = = !,••• (15)

7? = = А#*'->\ i,k = l,.lB

Отметим, что в случае полного

ОЖН {v?ífc)} i = 1,. ,72, k = 1, . . . система разветвления для задачи о точке бифуркации имеет вид

Ы\ = II Ей II = °(\Ш при ||£|| - о, МО. О, е) ЕЕ О.

Замечание. На основе изложенной теории ОЖЦ в [97,132] была доказана общая теорема существования точек бифуркации.

2.2. Бифуркация Андронова-Хопфа

В вещественных банаховых пространствах -Бь^г рассматривается дифференциальное уравнение с вещественным малым параметром £

1х

А— = Вх- Я(х,е). (16)

ЛЬ

Здесь А : Ба Еъ, В : Б в —> Е2 плотно определенные замкнутые фред-гольмовы операторы, Бв С А4 С и А подчинен В (т.е. ||Аг|| < \\Вх\\ на Ив) или БА С Ив С £1 и В подчинен А (т.е. \\Вх\\ < ||Ас|| на БА). Оператор Я(х,е) определен и непрерывен в окрестности точки (0,0) 6 Е^Я1 вместе со своей производной Фреше Ях(х,е) (т.е. Я(0,0) = 0, ^(0,0) = 0). Ставится [96] наиболее общая задача построения уравнения разветвления периодических по времени решений, когда Л-спектр ча{В) оператора В состоит из трех частей: ад (В), лежащий строго в левой полуплоскости, а°А(В) - на мнимой оси и сг^(Б), лежащий строго в правой полуплоскости. Тогда банахово пространство Е\ разлагается в прямую сумму трех подпространств и Е+. Пусть оператор А^ — В порождает для I > 0 (I < 0) на аналитическую полугруппу с экспоненциальным убыванием при £ —+ +оо(£ —+ —оо) и (В) состоит из конечного числа точек ±1/г - ненулевых собственных значений конечной кратности без присоединенных элементов (т.е. жордановы цепочки имеют единичную длину). Множество чисто мнимых собственных значений в верхней полуплоскости распадается на непересекающиеся подклассы. К определенному подклассу принадлежат все собственные значения 5 = 1,. ,т, при а3 = к3а, /¡^-натуральные числа без общих делителей. Количество таких подклассов равно числу различных а. Для каждого а строится [37] свое УР ^^-периодических решений, где // = ц{е) —+ 0 при е —+ 0.

Выполняя в (16) предложенную А.Пуанкаре [81] замену переменных £ = х{Ь) — у{т), приходим к задаче построения 27г-периодических решений

ДУ

Ву - аА^ = цА^ + Я{у, е). (17)

Пусть собственным значениям £ сгА(В) кратности п3 отвечают собственные элементы usj,j = I,-- - ,п8, а собственным значениям — т5 £ &а{В) -собственные элементы = 1,• • • ,п3 сопряженной задачи на собственные значения с жордановыми цепочками единичной длины, т.е. Ви^ = т3Аи^,

Busj = —iotsAvLaj, B*vsj = -iasA*vsj, B*vSj — iasA*vsj, j = 1,. ,ns, причем (Ausj,vak) = Sjk5SCT. Далее оператор (03у){т) = — аА^ + Ву(т) предполагается фредгольмовым. Операторы (93?/) (т) и (/Су)(г) = А^ отображают пространство Y 27Г-периодических непрерывно дифференцируемых функций т со значениями в 8\ = Ei+iEi в пространство Z 27г-периодических непрерывных функций г со значениями в £2 = Е2+1Е2. Здесь применяются функционалы специального вида

2тг у J» = <у(т),/(т))<*т,у eY,feY* (yezje z>) (18) о

Непосредственно проверяется, что подпространства нулей А^(ОЗ) и N(93*) операторов 03 и 03* = + В* 27г-мерны, п = щ-\-----Ь пгп,

7V(93) = spcm{</?sj, ^sjh=i, .,„„, = (psj{r) = usjelk>T,

8=1,"' ,m

N(93*) = span{ijsj,^sj}j=1,.,ns,, ipsj = ipsj (r) = vsjeik'T, где ((A(fSj,ipko)) — т.е. Л-жордановы цепочки имеют единичную длину.

Для получения эквивалентного (17) УР снова используем подходы A.M. Ляпунова и Э.Шмидта [94] построения систем разветвления. Первый использует сужение 23 оператора 03 к дополнительному к N(93) в Y подпространству, а второй - обобщенную лемму Шмидта. Введем проекторы тп ns

Р = + ((;A%))ipaj] : Y -> = У2",

8=1 j=l m na s=1 j=1

Z -» span{zsj = Vsj};'=i.= ¿?2nj порождающие разложения банаховых пространств У и Z в прямые суммы Г = Z = Zb+Zn-ъ.

Согласно варианту A.M. Ляпунова, разыскивая вещественные решения уравнения (17) в виде y = Py+(I-'P)y = Z-<p + Z-<P + U,Z = (£ll, •• • >£lrcn • • • |(тц • • • >£mnm), (19) приходим к эквивалентной системе

Ни и = {I- Q)lfiA— + R{Z-ip + Z-lp + u,e)], (20)

О = + ■ <р + £ ■ <р + и,£),ф31))Л = }п8,з = 1, • • • ,т, (21) где ® = (7 - Р)<В : Г00"271 Д»^ сужение 05 на У00"271. Уравнение (20) является задачей о 27г-периодических решениях ДУ в паре банаховых пространств у°°~2п, с обратимым оператором *В. Оно имеет единственное малое решение и = «(£,£, е), зависящее от параметров ¡1 и е. Подставляя и в (21), получаем УР А.М. Ляпунова + = 0, (22) = 3 = 1,"' = 1,• • • ,т.

Подход Э. Шмидта использует обобщенную лемму Шмидта, согласно которой существует ограниченный оператор Г, обратный к оператору тп п,

Ъ = Ъ + К, = Ъ + ^ £[«•, + ((•, А%))АЪД.

8=1 3 = 1

Тогда возникает эквивалентная (17) система т па у = + Д(у, е) + £ + (23)

5=1 = 1, = ((у,А%)), (24) в которой интегро-дифференциальное уравнение (23) в паре банаховых пространств У, Z имеет единственное 27г-периодическое решение вида у = 2/(£>£) = ю + • <р + £ ■ 1р. Уравнение (24) при подстановке ?/(£,£) дает УР Э. Шмидта

МЦМ = {{и>{£чр + £-<р,ц,е),А*ф3,)) = 0, (25) 0, з = I,-- - ,п„5 = 1,-• • ,ш.

Замечание. Случай наличия ОЖЦ с полным ОЖН для бифуркации Андронова-Хопфа рассмотрен в работе [23] в связи с задачей об устойчивости периодических решений.

2.3. Элементы группового анализа

Определение 1 Уравнение (2) инвариантно относительно группы £ (экви-вариантно или допускает группу С) если существуют ее представления Ьд и Ку соответственно в Е\ и Е2 такие, что для любого д £ £

ВЬдх = КдВх, В,{Ьдх, А) = КдЯ{х, Л). (26)

Из равенств (26) следует, что подпространство N(B) = Е" инвариантно относительно операторов Lg, а образ 7Z(B) = £2,00-т оператора В - относительно Кд. Если уравнение (2) допускает группу G, то вместе с его решением х при любом д б G его решением также является Lgx.

Условие 1 Подпространство Е™~п = (I — P)Ei инвариантно относительно операторов Lg.

Пусть преобразования Lg в N(B) действуют согласно формулам п hVi = Л^г = Y1 Ад = || ац{д) | j=1 п

Тогда для произвольного элемента ip = ^tpi G E[l имеем i n n Tl Tl Tl Tl i=l ¿=1 j=1 i=l j=1 i=l т.е. действие Lg на произвольный элемент из Е" равносильно преобразованию его координат £ = (£1,. в разложении по базису {yJi с помощью матрицы Лд\ п 3=1

Аналогично преобразования К* в инвариантном подпространстве N*(B) определяют представление Вд: т з=1

При бифуркации Андронова-Хопфа следствием автономности (16) является групповая симметрия 50(2) в каждой паре переменных fSj,fSji £ =

6»nm,?ronJ» / = (/11 Jiu- ■■,fmnm, 7mnm). выражающаяся равенствами егМоЛЖ,I, e) - • •, eik>a%u e'^U • ■ ■ > или

Л = diag{^a\e~ik'а°,.,e'fcf"a°,e~'fema°).

1 "m

Симметрия по пространственным переменным, означает, что (16) допускает группу (7 в смысле определения 1, т.е.

Продолжая эти представления на соответствующие подпространства находим, что уравнение (17) допускает ту же самую групповую симметрию. Тем самым (аналогично стационарным задачам) операторы Ьд и Кд индуцируют в инвариантных подпространствах N(93) и N(<3*) конечномерные представления k=1

В [33,37] доказаны следующие основополагающие теоремы о наследовании групповой симметрии (впервые в [52,53]).

Теорема 1 Пусть уравнение (2) инвариантно относительно группы G и выполнено условие 1. Тогда УР A.M. Ляпунова (7) наследует групповую симметрию (2), т.е. допускает группу G

Ml А) = ЬШ, А) = (Bgf)k(t, А) = т, А), к = 1,., п. (28)

Если подпространство инвариантно относительно операторов Кд, т.е. оператор В обладает групповой инвариантностью, то УР Э. Шмидта (11) также допускает группу (7

Теорема 2 Пусть уравнению (16) отвечает фредгольмов оператор 03 и оно инвариантно относительно группы G, причем подпространство У00-2" = (I — Р)У инвариантно относительно операторов Lg (условие 1). Для уравнения разветвления Э. Шмидта предполагаем, что оператор Шмидта 03 = 03 +/С допускает группу G. Тогда УР A.M. Ляпунова (22) и Э. Шмидта (25) также допускают группу G, т.е. f = Вя№,£,ц,е) = /(Л6 = f{U,H,e), (30)

ALgX = KgAx, BLgx = KgBx, R(Lgx, e) = Кg R(x, e) .

27) tk(l A) = tk(Agt, A) = (Agt)k(£, A) = Л), k = 1,., n. (29)

Приведем некоторые сведения из теории непрерывных групп [19,75]. Пусть открытый интервал содержащий точку 0 и С - однопараметрическая группа преобразований Тах = /(х,а), а Е I в Яп. Орбита (траектория) точки х € Яп представляет собой кривую а —» /(х,а) в Я", проходящую через х. Касательный вектор к этой кривой в точке х имеет вид д/{х ,а)

7]{х) = да а=О он определяет касательное векторное поле г] : Яп —> Я" группы О, которое записывается также в виде дифференциального оператора первого порядка называемого инфинитезимальным оператором однопараметрической группы преобразований (7.

Согласно теореме Ли орбита точки х является интегральной кривой уравнения Ли 7?(/)) 1\а=0 = Х и для любого гладкого векторного поля г]: Яп Я" и любой точки а; € Яп существует единственное решение уравнения Ли, определяющее однопараметри-ческую группу преобразований, касательное векторное поле которой совпадает с заданным полем 77.

В общем случае /-параметрической группы преобразований в Яп, для каждой однопараметрической подгруппы группы 67 строится соответствующее касательное векторное поле, их линейная оболочка образует /-мерное векторное пространство. В качестве базиса соответствующей алгебры Ли можно взять инфинитезимальные операторы д а — I,. ,1.

Функция ^(ж), х £ В!1 называется инвариантом /-параметрической группы преобразований 67, если она постоянна на орбите каждой точки х 6 Яп, т.е.

Для /-параметрической группы преобразований в Я" критерий инвариантности принимает вид следующей системы дифференциальных уравнений

ХаР = ^(х)^ = 0, а = 1,. ,1. (32)

Число решений системы (32) определяется общим рангом г* = гапк[^(гс)]. Если х - точка общего положения (т.е. г* = const в некоторой окрестности точки х) и г* < п, то система (32) имеет (п — г*) функционально независимых решений, которые образуют базис инвариантов группы Gi. Если г* = п, то группа не имеет инвариантов.

УР стационарной бифуркации 0 = /(£,£) = {/j(£,£)}" (УР бифуркации Андронова-Хопфа 0 = /(£,fi,e) = {/j(£,£, АЬ^)}") допускает группу G, если для некоторых ее представлений Лд и Вд выполнено равенство f(Ag(, е) = е) (f(Agt, ле, Ц, е) = Bgf{£, £ ц, е))

Это равенство означает, что для наследуемой УР группы преобразований f = / = Bgf (33) многообразие Т : / - /(£) = О {Т : / — /(£,£) = 0 для бифуркации Андронова-Хопфа) в пространстве Н2п векторов (£i,. ,£n, /i,. ,/„) (!Е4п векторов (£,£,/, /)) является инвариантным многообразием (параметры [i и е являются несущественными для группового анализа). Рассматривая параметрическую группу преобразований (33), будем предполагать, что Т является неособым инвариантным многообразием, т.е. если {{Xv,Fv)}lu=l - базис алгебры Ли группы (33), то ранг rank(M[(Xl,Fi)]) матрицы M[(Xl,Fi)], v — 1,., i,j = 1,., п {v - номер строки, i,j - номера столбцов) на многообразии Т совпадает с ее общим рангом г*. Если теперь /),., hn-rXi, /)) ( Ш I /,/),•••, hn-r.&6 /, /) )

- базисная система функционально независимых инвариантов группы (33), то, согласно [75], многообразие Т можно представить в виде

Ф5(/ь., /2nJ = 0 (Ф»(/ь., 1^-тJ = 0), з = 1,., п, (34) и для построения общего вида уравнения разветвления должно быть выполнено условие rank = п (гапк[-щ^\ = 2п для бифуркации Андронова-Хопфа) независимости системы (34) по отношению к переменным /. Это условие можно заменить требованием r*(X,F) = г*(Х) [75,76]. Указанная схема построения инвариантных многообразий приводит к понижению порядка (редукции) УР с помощью полной системы функционально независимых инвариантов [33].

2.4. Сведения из теории кристаллографических групп

Симметрия в наиболее общей формулировке - это инвариантность объектов при некоторых преобразованиях описывающих их переменных. Кристаллы объекты в трехмерном пространстве, поэтому классическая теория симметрии кристаллов - теория симметрических преобразований в себя трехмерного пространства с учетом того, что внутренняя атомная структура кристаллов -трехмерно-периодическая, т.е. описывается как кристаллическая решетка. При преобразованиях симметрии пространство не деформируется, а преобразуется как жесткое целое (ортогональное, или изометрическое, преобразование). После преобразования симметрии части объекта, находившиеся в одном месте, совпадают с частями, находящимися в другом месте. Это означает, что в симметричном объекте есть равные части (совместимые или зеркальные).

Симметрия кристаллов проявляется не только в их структуре и свойствах в реальном трехмерном пространстве, но также и при описании энергетического спектра электронов кристалла в импульсном пространстве, при анализе процессов дифракции рентгеновских лучей в кристаллах с помощью пространства обратных длин и т.п. [9]

Преобразование пространства, которое не меняет расстояний между всеми его точками, называется преобразованием симметрии. Две точки О я О' кристаллического пространства называются гомологичными, если существует преобразование симметрии, переводящее О в О', такое, что кристаллическое пространство в новом положении не может быть отличено от самого себя в исходном положении. В определение кристаллического пространства кладутся следующие постулаты [18]:

1. Не все точки кристаллического пространства одинаковы (все равно в каком смысле).

2. Кристаллическое пространство однородно, т.е. существует шар достаточно большого радиуса Я, что, где бы его ни поместить, внутри него всегда найдется хоть одна точка, гомологичная любой наперед заданной точке ("шар однородности").

3. Кристаллическое пространство дискретно, т.е. существует по крайней мере одна такая его точка, что вокруг нее можно описать шар определенного радиуса г, внутри которого не будет точек, ей гомологичных кроме нее самой ("шар дискрентности").

Под кристаллографическими группами понимают совокупность преобразований симметрии, преобразующих кристаллическое пространство в себя.

Элементарными преобразованиями симметрии являются следующие три вида преобразований: параллельный перенос, поворот вокруг оси и отражение в плоскости.

Преобразования пространства приводят к преобразованию физических систем. Точечным преобразованием симметрии называют те, при которых хотя бы одна точка преобразуется сама в себя. Она обычно принимается за начало координат. Существует 14 типов точечных групп [24,55] : Сп, S"^, Спн, Cnv, Dn, Dnh, Dnd, T, Th, О, Oh, Y, Yft. Точечные группы, не содержащие отражений и зеркальных поворотов (комбинация поворота с отражением), называются группами первого рода. Все остальные точечные группы - группами второго рода.

В каждой пространственной кристаллографической группе существует дискретная подгруппа Т трех некомпланарных параллельных переносов. В группе Т содержатся три вектора ai, а2, аз, называемые элементарными трансляциями, такие, что всякий вектор a G Т может быть представлен в виде а = miai + Ш2а2 + тзаз, mi G Z. Группа трансляций Т есть прямое произведение одномерных групп трансляций вдоль базисных векторов Т = Т\ хТ2 хТз, Т{ = {а = mai}, m G Z, г = 1,2,3.

Таким образом, все группы симметрии трехмерного однородного дискретного пространства - пространственные кристаллографические группы - трижды периодические. Группа трансляций Т = {а = miai + Ш2а2 + тзаз, mi G Z} размножает любую точку в трехмерно-периодическую систему точек - пространственную решетку. Кристаллические решетки распределяются по семи системам, или сингониям, делящимся на три категории: низшую, среднюю и высшую. Враве математически показал, что для кристаллов семи сингоний может быть 14 типов решеток [9,24,55].

Всякий поворот (или зеркальный поворот), который переводит любой вектор группы Т в какой-либо вектор этой же группы называется элементом симметрии группы Т. Совокупность всех элементов симметрии группы Т образует некоторую точечную группу К. Группа К может иметь только поворотные оси 2-го, 3-го, 4-го и б-го порядков, имеется 32 точечные группы, называемые кристаллическими классами, совместные с подгруппой трансляций Т.

Однако в пространственных группах существуют новые элементы симметрии, отсутствующие в точечных и трансляционных группах: винтовые оси и скользящие отражения. Винтовая ось - это поворот с последующей трансляцией вдоль оси поворота; скользящее отражение - отражение в плоскости с последующей трансляцией вдоль этой плоскости, оба указанных преобразования симметрии образованы из коммутирующих элементов, сами элементы по отдельности в кристаллографической группе могут отсутствовать.

Итак, каждая пространственная кристаллографическая группа G принадлежит одному из 14 типов и одному из 32 классов.

Каждый элемент кристаллографической группы может быть единственным образом записан в виде (a+aM), где a G T, a' = ai ai+0^2+0^3, 0 < ai < 1; M G К. Умножение элементов (£, M) G G кристаллографической группы определяется формулой [82] (£ь М\) о (£2, М2) = + М\М2), где определяет гомоморфизм точечной группы К в группу автоморфизмов группы Т.

Если для всех элементов группы G а' = 0, то G является полупрямым произведением [9,82], G = Тх К группы дискретных сдвигов Т и точечной группы К, такие группы в кристаллографии называются симморфными. Имеется 73 класса изоморфизма симморфных пространственных кристаллографических групп.

Несимморфные кристаллографические группы характеризуются наличием таких элементов, что а' ф 0. В частности, точечная группа К уже не является подгруппой G. Несимморфные кристаллографические группы содержат нетривиальные винтовые оси и скользящие отражения. Имеется 146 классов изоморфизма несимморфных групп. Однако, существует И пар энантиоморфных кристаллографических групп (различаются направлением вращения при винтовом повороте) [9]. Эти пары различаются кристаллографами в следствии того, что энантиоморфные кристаллы обладают физически разными свойствами. Таким образом, кристаллографы различают 230 пространственных групп, хотя существует только 219 классов изоморфности. Классификация всех плоских (двумерных) и пространственных (трехмерных) кристаллографических групп была получена в конце XIX в. Е.С. Федоровым [99] и А. Шенфлисом [144].

В основе определения симметрии лежит понятие равенства при преобразовании симметрии. Однако физически (и математически) объект может быть равен себе по одним признакам и не равен по другим. Например, распределение ядер и электронов в кристалле антиферромагнетика можно описать с помощью обычной пространственной симметрии, но если учесть распределение в нем магнитных моментов, то "обычной", классической симметрии уже недостаточно. К подобного рода обобщениям симметрии относится антисимметрия и цветная симметрия [9]. В антисимметрии в дополнение к трем пространственным переменным Х\, х^, вводится добавочная, 4-я переменная ж4 = ±1. Это можно истолковать таким образом, что при преобразовании симметрии функция F может быть не только равна себе, но и изменить знак. Условно такую операцию можно изобразить изменением цвета. Существует 58 групп точечной антисимметрии и 1651 пространственная группа антисимметрии (шубниковские группы). Если добавочная переменная приобретает не два значения, а несколько (возможны числа 3, 4, 6, 8,., 48), то возникает "цветная" симметрия. Основные приложения обобщенной симметрии в кристаллографии - описание магнитных структур.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Макеев, Олег Владимирович

Заключение

1. Для симметрий относительно старших кристаллических классов сим-морфных пространственных кристаллографических групп в нелинейных уравнениях задач теории ветвления описано подпространство нулей линеаризованного в точке ветвления оператора. Для каждого из 14 типов кристаллических решеток построена обратная решетка и определены представления точечных групп (старших кристаллических классов) в прямой и обратной решетках. С помощью предложенной компьютерной программы построен общий вид уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта стационарной и динамической бифуркации для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

2. Предложен алгоритм построения структуры подгрупп конечных дискретных групп, с помощью которого для каждого из 14 типов решеток и 7 старших кристаллических классов построена структура подгрупп и дуальная к ней (по включению) структура систем разветвления решений, инвариантных относительно подгрупп.

3. Исследована симметрия плоских кристаллографических групп в нелинейных задачах теории ветвления. В качестве приложений рассмотрено нелинейно возмущенное уравнение Гельмгольца с симметрией квадратной и гексагональной решеток, построена асимптотика малых решений.

4. Предложен алгоритм поиска системы подпространств, инвариантных относительно нелинейного оператора, определяемого левой частью системы разветвления бифуркации Андронова-Хопфа. Выполнено исследование бифуркации рождения предельного цикла в указанных подпространствах для УР допускающих плоские (квадратная и гексагональная решетка) кристаллографические группы.

5. Исследованы стационарная и динамическая бифуркации в нелинейных уравнениях с интегральными операторами типа Гаммерштейна задач о фазовых переходах в статистической теории кристалла с простыми решетками, допускающих симметрию симморфных кристаллографических групп.

6. Рассмотрены системы нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна задач кристаллизации со сложными решетками, разработана методика решения стационарных задач теории ветвления, допускающх несимморфные группы. В качестве примера рассмотрено построение уравнения разветвления и асимптотики разветвляющихся решений задачи о кристаллизации жидкого фазового состояния в статистической теории кристалла, допускающей симметрию несимморфной группы моноклинной сингонии.

7. На примерах задач аэроупругости о дивергенции и флаттере удлиненной пластины при двух бифуркационных параметрах, описываемых ОДУ, осуществлен поиск точек бифуркации. Коэффициенты уравнения разветвления определены на основе компьютерной программы их вычисления. В задаче о дивергенции вычислены изгибные формы пластины при различных случаях закрепления краев. Определены необходимые условия возникновения флаттера.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Макеев, Олег Владимирович, 2007 год

1. Арнольд, В.И. Динамические системы: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Том 6 / В.И. Арнольд. - М.: ВИНИТИ, 1986. - 302 с.

2. Баутин, H.H. Критерии опасных и безопасных границ области устойчивости / H.H. Баутин // ПММ. 1948. - Т. 12, №6. - С. 691-728.

3. Баутин, H.H. Поведение динамических систем вблизи области устойчивости / H.H. Баутин. M.-JL: ОГИЗ Гостехиздат, 1949. - 164 с.

4. Болотин, В.В. Теория аэроупругости / В.В. Болотин, Ю.Н. Новичков, Ю.Ю. Швейко // Прочность, устойчивость, колебания III / ред. И.А. Биргер, Я.Г. Пановко. М.: Машиностроене, 1968. - С. 468-512.

5. Брушлинская, H.H. Качественное интегрирование одной системы дифференциальных уравнений в области, содержащей особую точку и предельный цикл / H.H. Брушлинская // Докл. АН СССР. 1961. - Т. 139, М. - С. 9-12.

6. Боголюбов, H.H. Проблемы динамической теории в статистической физике/ H.H. Боголюбов. M.-JL: Гостехиздат, 1946. - 120 с.

7. Вайнберг, М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов/ М.М. Вайнберг. М.: ГИТТЛ, 1956. - 344 с.

8. Вайнберг, М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений/ М.М. Вайнберг, В.А. Треногин. М.: Наука, 1969. - 524 с.

9. Вайнштейн, Б.К. Современная кристаллография (в четырех томах). Том 1. Симметрия кристаллов. Методы структурной кристаллографии/ Б.К. Вайнштейн. М.: Наука, 1979. - 384 с.

10. Ван дер Варден, Б.Л. Метод теории групп в квантовой механике/ Б.Л. Ван дер Варден. М.: РХД, 2000. - 232 с.

11. Виленкин, Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп/ Н.Я. Виленкин. М.: Наука, 1965. - 588 с.

12. Владимиров, С.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения с дискретной группой симметрии / С.А. Владимиров // Дифференциальные уравнения. 1975. - №12(7). - С. 1180-1189.

13. Власов, A.A. Теория многих частиц/ A.A. Власов. M.-JL: Гостехиздат, 1950. - 348 с.

14. Вольмир, A.C. Устойчивость деформируемых систем/ A.C. Вольмир. -М.: Наука, 1964. 820 с.

15. Вольмир, A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости/ A.C. Вольмир. М.: Наука, 1976. - 520 с.

16. Гильберт, Д. (Hilbert D.) Uber die Theorie der algebraichen Formen / Д. Гильберт // Math. Ann. 1890. - №36. - P. 473-534.

17. Гильберт, Д. (Hilbert D.) Uber die vollen Invariantensysteme / Д. Гильберт // Math. Ann. 1893. - №42. - P. 313-373.

18. Делоне, Б.Н. Математические основы структурного анализа кристаллов/ Б.Н. Делоне, А.Д. Александров, H.H. Падуров. М.: ОНТИ, 1934. -320 с.

19. Ибрагимов, Н.Х. Группы преобразований в математической физике/ Н.Х. Ибрагимов. М.: Наука, 1983. - 280 с.

20. Изаксон, В.Х. Ветвление в задаче о возникновении конвекции в слое жидкости со свободной границей / В.Х. Изаксон // Изв. Сев.-Кавказ. научного центра высшей школы. 1973. - вып. 4. - С. 30-34. - (Естественные науки).

21. Ильин, В.А. Основы математического анализа: Часть 2/ В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. М.: Наука, 1980. - 448 с.

22. Иохвидов, И.С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы/ И.С. Иохви-дов. М.: Наука, 1974. - 264 с.

23. Киреев, П.С. Введение в теорию групп и ее применение в физике твердого тела: Учеб. пособие для студентов втузов/ П.С. Киреев. М.: Высш. школа, 1979. - 207 с.

24. Коноплева, И.В. Конечномерные разрешающие системы в задачах теории ветвления: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02: защищена 26.06.2002 / И.В. Коноплева; Ульяновский государственный технический Университет. Ульяновск, 2002. - 130 с.

25. Красносельский, М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений/ М.А. Красносельский. М.: Гостехиздат, 1956. -392 с.

26. Курдюмов, С.П. Синергетика теория самоорганизации. Идеи, методы, перспективы/ С.П. Курдюмов, Г.Г. Малинецкий. - М.: Знание, 1983. -64 с. - (Математика, кибернетика).

27. Логинов, Б.В. Ветвление решений дифференциального уравнения А и + Хи = f(u) на сфере / Б.В. Логинов // Дифференциальные уравнения. -1972. Т. 8, №10. - С. 1816-1824.

28. Логинов, Б.В. Задачи теории ветвления, инвариантные относительно группы движений И3 / Б.В. Логинов // Известия АН УзССР. 1978. - №3. - С. 20-23. - (физико-математические науки).

29. Логинов, Б.В. Об инвариантных решениях в теории ветвления / Б.В. Логинов // ДАН СССР. 1979. - 246(5). - С. 1048-1051.

30. Логинов Б.В. Применение теории ветвления в условиях групповой инвариантности при построении периодических решений задачи о фазовых переходах в статистической теории кристалла / Б.В. Логинов // УМН. -1981. 36(4). - С. 209-210.

31. Логинов, Б.В. Теория ветвления нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности/ Б.В. Логинов. Ташкент: Фан, 1985. - 184 с.

32. Логинов, Б.В. Общий подход к исследованию бифуркации рождения цикла в условиях групповой симметрии / Б.В. Логинов // Известия АН УзССР. 1990 - №6. - С. 16-18. - (физико-математические науки).

33. Логинов, Б.В. Об определении уравнения разветвления его группой симметрии / Б.В. Логинов // Доклады РАН. 1993. - 331(6). - С. 677-680.

34. Логинов, Б.В. Групповой анализ в задачах теории ветвления с нарушением симметрии/ Б.В. Логинов // Материалы Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" 20-22.12.94 Саранск, Изд-во Мордовского Университета. 1995. С. 103-119.

35. Логинов, Б.В. Ветвление решений нелинейных уравнений и групповая симметрия / Б.В. Логинов // Вестник Самарского Гос. Университета. -1998. 2(8). - С. 15-70.

36. Логинов, Б.В. Бифуркация и симметрия в задачах о капиллярно-гравитауионных волнах / Б.В. Логинов // Сибирский математический журнал. 2001. - 42(4). - С. 868-887.

37. Логинов, Б.В. Вычисление собственных изгибных форм и асимптотики разветвляющихся решений бифуркационной задачи о дивергенции прямоугольной пластины / Б.В. Логинов, О.В. Кожевникова // Известия РАЕН. 1998. - 2(3). - С. 112-120.

38. Логинов, Б.В. Симметрия области и задачи о периодических решениях нелинейно возмущенного уравнения Гельмгольца / Б.В. Логинов, И.В. Коноплева // Труды Средневолжского математического общества. 2003. - Т. 5, №1. - С. 38-53.

39. Логинов, Б.В. Уравнения разветвления с симметрией кристаллографических групп / Б.В. Логинов, О.В. Макеев // Доклады Академии Наук.- 2007. Т. 412, т. - С. 62-66. - (Математика).

40. Логинов, Б.В. О ветвлении решений уравнения До; + \и) = f(to) на гиперповерхности / Б.В. Логинов, Ю.Б. Русак // Краевые задачи для дифференциальных уравнений. Ташкент: Фан, 1974. - вып. 4. - С. 129-136.

41. Логинов, Б.В. О применении непрерывных групп в теории ветвления / Б.В. Логинов, В.А. Треногин // ДАН СССР. 1971. - 197(1). - С. 36-39.

42. Логинов, Б.В. Об использовании групповых свойств для определения многопараметрических семейств решений нелинейных уравнений / Б.В. Логинов, В.А. Треногин // Математический Сборник. 1971. - 85. - С. 440-454.

43. Логинов, Б.В. Идеи групповой инвариантности в теории ветвления / Б.В. Логинов, В.А. Треногин // V Казахстанская межвузовская конференцияпо математике и механике. Алма-Ата, 1974. - С. 206-208. - (Математика).

44. Логинов, Б.В. Об использовании групповой инвариантности в теории ветвления / Б.В. Логинов, В.А. Треногин // Дифференциальные уравнения. 1975. - 11(8). - С. 1518-1521.

45. Логинов, Б.В. Групповая инвариантность в теории ветвления / Б.В. Логинов, В.А. Треногин // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения: коллективная монография: ред. В.А. Треногин, А.Ф. Филиппов. М.: Физматлит, 2003. - С. 89-119.

46. Любарский, Г.Я. Теория групп и ее применения в физике/ Г.Я. Любарский. М.: ГИТТЛ, 1958. - 356 с.

47. Ляпунов, A.M. Собрание сочинений: Т. 4/ A.M. Ляпунов. М.: Изд-во АН СССР, 1959. - 645 с.

48. Макаров, М.Ю. Модели нестационарной бифуркации в условиях групповой симметрии: дис. . канд. физ.-мат. наук: 05.13.18, 01.01.02: защищена 30.06.2004./ М.Ю. Макаров; Ульяновский государственный технический Университет. Ульяновск, 2004. - 148 с.

49. Макеев, О.В. Бифуркация Андронова-Хопфа с симметрией квадратной и гексагональной решеток / О.В. Макеев // Труды Средневолжского математического общества. 2005. - 7(1). - С. 215-223.

50. Макеев, О.В. Уравнения разветвления с симметрией симморфных кристаллографических групп / О.В, Макеев // Труды Средневолжского математического общества. 2006. - 8(2). - С. 138-151.

51. Макеев, О.В. Структура подгрупп групповой симметрии класса ромбоэдрической сингонии / О.В. Макеев // Вестник УлГТУ. 2006. - 3(24). - С. 20-23.

52. Макеев, О.В. Комплекс программ построения и исследования общего вида уравнения разветвления по допускаемой группе симметрии / О.В. Макеев // Труды Средневолжского математического общества. 2007. -9(1). - С. 194-200.

53. Малкин, И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний/ И.Г. Малкин. М.: Гостехиздат, 1956. - 496 с.

54. Малкин, И.Г. Теория устойчивости движения/ И.Г. Малкин. М.: Наука, 1966. - 530 с.

55. Марсден, Дж. Бифуркация рождения цикла и ее приложения/ Дж. Мар-сден, М. Мак-Кракен. М.: Мир, 1980. - 368 с.

56. Моршнева, И.В. О ветвлении циклов из положений равновесия систем с инверсионной и вращательной симметрией / И.В. Моршнева, В.И. Юдо-вич // СМЖ. 1985. - 26(1). - С. 124-133.

57. Назаров, H.H. Нелинейные интегральные уравнения типа Гаммерштейна / H.H. Назаров // Труды Сред.-Аз. ун-та. 1941. - вып. 33. - С. 1-79. -(серия V-a, мат.).

58. Наймарк, М.А. Теория представлений групп/ М.А. Наймарк. М.: Наука, 1976. - 559 с.

59. Наймарк, Ю.И. О некоторых случаях зависимости периодических движений от параметров / Ю.И. Наймарк // Докл. АН СССР. 1959. - Т. 129, №4. - С. 736-739.

60. Некрасов, А.И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости/ А.И. Некрасов. М.: Изд-во АН СССР, 1951. - 96 с.

61. Николис, Г. Самоорганизация в неравновесных системах/ Г. Николис, И. Пригожин. М.: Мир, 1997. - 512 с.

62. Никольский, С.М. Курс математического анализа: Том 2/ С.М. Никольский. М.: Наука, 1975. - 408 с.

63. Овсянников, JI.B. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений/ Л.В. Овсянников. Новосибирск.: НГУ, 1966. - 131 с.

64. Овсянников, Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений/ Л.В. Овсянников. М.: Наука, 1978. - 400 с.

65. Овсянников, Л.В. Программа подмодели/ Л.В. Овсянников. Новосибирск.: Институт гидродинамики РАН, 1992. - 12 с.

66. Овсянников, Л.В. Об оптимальных системах подалгебр / Л.В. Овсянников // Доклады РАН. 1993. - Т. 333, №3. С. 702-704.

67. Овсянников, Л.В. Программа подмодели. Газовая динамика / Л.В. Овсянников // ПММ. 1994. - 58(3). - С. 30-55.

68. Овчинникова, С.Н. Расчет вторичного стационарного течения между вращающимися цилиндрами / С.Н. Овчинникова, В.И. Юдович // ПММ. -1968.- 32(5).-С. 858-868.

69. Пуанкаре, А. Избранные труды: Том 1. Новые методы небесной механики/ А. Пуанкаре. М.: Изд-во АН СССР, 1971. - 771 с.

70. Рихтмайер, Р. Принципы современной математической физики: Том 2/ Р. Рихтмайер. М.: Мир, 1984. - 380 с.

71. Ролов, Б.Н. Статистика и кинетика фазовых переходов в твердом теле/ В.Н. Ролов, В.А. Ивин, В.Н. Кузовков. Рига, 1979. - 179 с.

72. Романовский, Ю.М. Математическое моделирование в биофизике/ Ю.М. Романовский, Н.В. Степанова, Д.С. Чернавский. М.: Наука, 1984. -304 с.

73. Рыжик, И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений/ И.М. Рыжик, И.С. Градштейн. М.: Наука, 1971. - 1108 с.

74. Русак, Ю.Б. Некоторые соотношения между жордановыми наборами аналитической оператор-функции и сопряженной к ней / Ю.В. Русак // Известия АН УзССР. 1978. - №2, С. 15-19. - (сер. матем. наук).

75. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений/ A.A. Самарский, В.А. Галактионов, С.П. Курдюмов, А.П. Михайлов. М.: Наука, 1987. - 480 с.

76. Сидоров, H.A. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления/ H.A. Сидоров. Иркутск.: Иркутский Университет, 1982. - 314 с.

77. Сретенский, JI.H. Теория фигур равновесия жидкой вращающейся массы / Л.Н. Сретенский // УМН. 1938. - вып. 5. -, С. 187-230.

78. Тер-Григорьянц, Г.К. О возниконовении двоякопериодической конвекции в горизонтальном слое / Г.К. Тер-Григорьянц // ПММ. 1973. - вып. 1. - С. 177-184.

79. Тер-Григорьянц, Г.К. Об устойчивости стационарных двоякопериодиче-ских конвекционных потоков в слое / Г.К. Тер-Григорьянц // Изв. Сев.-Кавказ. научного центра высшей школы. 1973. - вып. 4. - С. 79-83. -(естественные науки).

80. Тер-Григорьянц, Г.К. Об одном случае ветвления стационарных режимов конвекции в слое / Г.К. Тер-Григорьянц // Изв. Сев.-Кавказ. научного центра высшей школы. 1975. - вып. 4. - С. 39-43. - (естественные науки).

81. Тер-Крикоров, A.M. Нелинейные задачи и малый параметр/ A.M. Тер-Крикоров. М.: Знание, 1984. - 64 с. - (Математика, кибернетика).

82. Треногин, В.А. Функциональный анализ/ В.А. Треногин. М.: Наука, 1980. - 495 с.

83. Треногин, В.А. Периодические решения и решения типа перехода в абстрактных уравнениях реакции-диффузии / В.А. Треногин // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Новосибирск.: Наука, СО АН СССР, 1988. - С. 134-140.

84. Треногин, В.А. Периодические решения и решения типа перехода абстрактных уравнений реакции-диффузии / В.А. Треногин // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Новосибирск, Наука, СОАН, 1988. - С. 134-140.

85. Треногин, В.А. Исследование точек бифуркации и нетривиальных ветвей решений нелинейных уравнений / В.А. Треногин, H.A. Сидоров // Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск.: Иркутский Университет. - 1972. - №1. - С. 216-247.

86. Тябликов, C.B. К вопросу о кристаллизации / C.B. Тябликов // ЖЭТФ.- 1947. Т. 17, т. - С. 386-389.

87. Федоров, Е.С. Симметрия и структура кристаллов. Основные работы / Е.С. Федоров. -М. Наука, 1949.

88. Чезари, J1. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / J1. Чезари. М.: Мир, 1964. -480 с.

89. Эбелинг, В. Образование структур при необратимых процессах/ В. Эбе-линг. М.: Мир, 1979. - 279 с.

90. Юдович, В.И. Свободная конвекция и ветвление / В.И. Юдович // ПММ.- 1967. 31(1). - С. 101-111.

91. Юдович, В.И. Возникновение автоколебаний в жидкости / В.И. Юдович // ПММ. 1971. - 35(4). - С. 638-655.

92. Юдович, В.И. Исследование колебаний сплошной среды, возникающих при потере устойчивости стационарного режима / В.И. Юдович // ПММ.- 1972. 36(3). - С. 450-459.

93. Юдович, В.И. Косимметрия вырождения решения операторных уравнений, возникновения фильтрационных конвекций / В.И. Юдович // Математические заметки. 1991. - Т. 49, №5. - С. 142-148.

94. Юдович, В.И. О бифуркации рождения цикла из семейства равновесия динамической системы т ее затягиваний / В.И. Юдович // ПММ. 1998. -62(1).-С. 22-34.

95. Crandall, M.G. The Hopf bifurcation theorem in infinite dimensions / M.G. Crandall, P.H. Rabinowitz // Arch. Rational Mech. Analysis. 1977. - 67(1).- P. 53-72.

96. Cronin, J. Fixed points and Topological Degree in Nonlinear Analysis/ J. Cronin. Amer. Math. Soc., 1964. - 198 p. - (Math, surveys, №11).

97. Golubitsky, M. Singularities and groups in bifurcation theory/ M. Golubitsky, D. Schaeffer. Springer Verlag, 1984. - 463 p. - (Appl. Math. Sei., V. 51, 1).

98. Golubitsky, M. Singularities and groups in bifurcation theory/ M. Golubitsky, I. Stewart, D. Schaeffer. Springer Verlag, 1985. - 534 p. - (Appl. Math. Sei. V. 69, 2).

99. Levi-Civita, Т. Determination rigoureuse des ondes permanentes d'ampleur finie / T. Levi-Civita // Math. Ann. 1925. - v. 93. - P. 264-324.

100. Lichtenstein, L. Vorlesungen über einige Klassen nichtlinearer Integralgleichungen und Integrodifferentialgleichungen nebst Anwendungen/ L. Lichtenstein. Berlin, 1931. - 252 p.

101. Lie, S. Theorie der Transformationsgruppen/ S. Lie. Teubner, 1893. -632 p.

102. Lie, S. Theorie der transformationsgruppen/ S. Lie. New York.: Copyright 1970 by Chelsea publishing company, V.I - 645 p., V. II - 569 p., V. Ill -830 p.

103. Loginov, B.V. On the construction of the general form of branching equation by itssymmetry group / B.V. Loginov // Equadiff 7. Enlarged Abstracts. -Praga, 1989. P. 48-50.

104. Loginov, B.V. Bifurcation equation of nonstationary branching with symmetry induced by spatial variables / B.V. Loginov // Uzbek Math. J. 1995. -1. - P. 58-67.

105. Loginov, B.V. Determination of the branching equation by its group symmetry Andronov-Hopf bifurcation / B.V. Loginov // Nonlinear Analysis. TMA. - 1997. - 28(12). - P. 2033-2047.

106. Loginov, B.V. Solutions with subgroup symmetry for singular equations in bifurcation theory / B.V. Loginov, O.V. Makeev // Lobachevsky J. Math. -2005. 20. - P. 91-101. - (http://ljm.ksu.ru/vol20/28.html).

107. Loginov, B.V. Subgroup structure of bifurcating solutions under crystallography symmetries / B.V. Loginov, O.V. Makeev // AMADE-2006: "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений". 1220.09.2006. - С. 11.

108. Loginov, B.V. Lyapounov-Schmidt method in the problem about strip-plate flutter in supersonic gas flow / B.V. Loginov, O.V. Makeev // Труды Сред-неволжского математического общества. 2007. - Т. 9, №1. - С. 177-182.

109. Loginov, B.V. On conditions of flutter onset for elongated plate in supersonic gas flow / B.V. Loginov, O.V. Makeev // Международный конгресс "Нелинейный динамический анализ 2007": Тезисы докладов. - Сп.-б, 4-8 июня 2007. - С. 120.

110. Loginov, B.V. Group Symmetry of Bifurcation Equation in Dynamic Branching / B.V. Loginov, V.A. Trenogin // ZAMM. 1996. - 76, suppl. 2. - P. 237-240.

111. Loginov, B.V. Branching equation of Andronov-Hopf bifurcation under group symmetry conditions / B.V. Loginov, V.A. Trenogin // CHAOS, Amer. Inst. Phys. 1997. - 7(2). - P. 229-238.

112. Loginov, B.V. Existence of bifurcation at the presence of Jordan chain of an odd length / B.V. Loginov, V.A. Trenogin, N.A. Sidorov // Uzbek Math. J.- 1993. №3. - P. 64-68.

113. Makeev, O.V. An Review of Computer Realization of the Branching Equation Construction on Allowed Group Symmetry and Subgroup Invariant Solutions / O.V. Makeev // Proc. CAIM-13, 14-16.10.2005. Romania, Pitesti University, 2005. - P. 17-29.

114. McDonald, B.E. Numerical Calculation of Nonunique Solutions of a Two Dimensional Sinh-Poisson Equation /B.E. McDonald // J. Comput. Ph. -1974/ 16(4). - P. 360-374.

115. Montgomery, D. Statistical mechanics of "negative temperature" states in plasma / D. Montgomery, G. Joyce // Physics of Fluids. 1974. - 17(6). -P. 1139-1145.

116. Ruelle, D. Bifurcations in the presence of a symmetry group / D. Ruelle // Arch. Rat. Mech. Anal. 1973. - V. 51, 2. - P. 136-152.

117. Sattinger, D.H. Group representation theory and branch points of nonlinear equations / D.H. Sattinger// SIAM J. Math. Anal. -1977,8(2). P. 179-201.

118. Sattinger, D.H. Group representation theory, bifurcation theory and pattern formation / D.H. Sattinger // J. Funct. Anal. 1978. - 28(1). - P. 58-101.

119. Sattinger, D.H. Group theoretic methods in bifurcation theory/ D.H. Sattinger. Lecture Notes in Math., 1979. - 762. - 240 p.

120. Schmidt, E. Zur Theorie und nichtlinearen Integralgleichungen. Teil 3. Uber die Auflösungen der nichtlinear Integralgleichungen und die Verzweigung iher Lösungen/ E. Schmidt. // Math. Ann. 1908. - v. 65. - P. 370-399.

121. Scheonflies, A. Kristallsysteme und Kristallstruktur/ A. Scheonflies. -Leipzig, 1891.

122. Lyapounov-Schmidt Methods in Nonlinar Analysis and Applications/ N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn, M. Falaleev. Kluwer Acad. Publ., MIA, v. 550, 2002. - 548 p.

123. Struik, D.J. Determination rigoureuse des ondes irrotationelles periodiques / D.J. Struik // Math. Ann. 1926. - v. 95. - P. 595-634.

124. Vanderbauwhede, A. Local bifurcation and symmetry/ A. Vanderbauwhede. Pitman, Boston.: Res. Notes Math., 75, 1982. - 350 p.

125. Wente, H.C. Counter example to a conjecture of H. Hopf / H.C. Wente // Pacific. J. Math. 1986. - 121(1). - P. 183-244.