Тождества и квазитождества в решетках многообразий полугрупп и связанные с ними конгруэнции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Верников, Борис Муневич

• Верников, Борис Муневич
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Верников, Борис Муневич

Введение.

В.1. Обсуждение проблематики теории многообразий (4). В.2. Обзор результатов, предшествовавших диссертации (7). В.З. Цели работы (16). В.4. Основные проблемы (17). В.5. Основные результаты (21). В.6. Основные методы (25). В.7. Структура диссертации (25). В.8. Апробация и публикации (26).

Глава 0. Базисные понятия и факты.

§0. Предварительные сведения.

0.0. Основные литературные источники (29). 0.1. Полугруппы (29). 0.2. Полугрупповые слова и тождества (30). 0.3. Многообразия полугрупп (32). 0.4. Решетки (36). 0.5. Решетки подгрупп симметрических групп (38). 0.6. Следствия некоторых тождеств (40). 0.7. Решетки многообразий полугрупп (43). 0.8. Многообразия и квазимногообразия решеток (52). 0.9. Решетки эквивалентностей (54). 0.10. Мультипликативные свойства бинарных отношений (55). 0.11. G-множества (59).

§1. Строение решеток нильмногообразий и надкоммутативных многообразий полугрупп.

1.1. Решетки нильмногообразий (62). 1.2. Мультипликативные аналоги результатов о решетках нильмногообразий (66). 1.3. Решетки надкоммутативных многообразий (75). 1.4. Мультипликативные аналоги результатов о решетках надкоммутативных многообразий (78).

§2. Конгруэнции на G-множествах.

2.1. Подрешетка жадных конгруэнций (81). 2.2. Решеточные ограничения (84). 2.3. Мультипликативные ограничения (88). 2.4. Обсуждение результатов данного параграфа (89).

Комментарии.

Глава 1. Тождества, квазитождества и полумодулярность в решетках многообразий полугрупп.

§3. Полумодулярность и дезарговость: запрещенные подмногообразия.

3.0. Формулировки основных результатов (93). 3.1. Общая схема доказательства для ненильпотентных многообразий (96). 3.2. Ненилыютентные многообразия индекса 2 (97). 3.3. Не-нильпотентные многообразия индекса 3 (100). 3.4. Ненилыютентные многообразия индекса > 3 (101). 3.5. Нильпотентные многообразия (103).

§4. Полумодулярность и дезарговость: завершение описания.

4.1. Редукция к нильмногообразиям (105). 4.2. Нильмного-образия: предварительные замечания (108). 4.3. Система тождеств (n5m) (112). 4.4. Система тождеств (п6т) (114). 4.5. Система тождеств (п7т) (115). 4.6. Системы тождеств (n8m) и (п9т) (115). 4.7. Системы тождеств (nl0m) и (nllm) (117). 4.8. Система тождеств (nl2m) (118). 4.9. Системы тождеств (nl3m)-(nl5m) (119). 4.10. Системы тождеств (п1г) и (п2г) (120). 4.11. Системы тождеств (nl6m)-(nl9m) (121). 4.12. Системы тождеств (n20m)-(n23m) (121). 4.13. Системы тождеств (пЗ')-(п11г) (122). 4.14. Системы тождеств (n24m)-(n41m) (124). 4.15. Системы тождеств (n42m)-(n47m) (125). 4.16. Системы тождеств (n5m)-(n47m): сводка свойств, используемых в дальнейшем (127). 4.17. Эквивалентность модулярности и принадлежности М4 3 для комбинаторных многообразий (128). 4.18. Следствия (131).

§5. Квазитождества, влекущие модулярность.

5.0. Предварительные замечания (135). 5.1. Квазитождества, выполненные в М4 и в Мз:з, но не выполненные в М^з (136).

5.2. Квазитождества, выполненные в М4, но не выполненные в Л^з.з (141). 5.3. Квазитождества, выполненные в Мз,з, но не выполненные в М4 (146). 5.4. Квазитождества, выполненные в Мз, но не выполненные ни в М4, ни в M3j3 (149).

§6. Квазитождества, не выполненные в Мз.

6.1. Нильмногообразия: эквивалентность дистрибутивности и принадлежности Мз (151). 6.2. Комбинаторные многообразия: дистрибутивность (157).

Комментарии.

Глава 2. Многообразия полугрупп с мультипликативными ограничениями на вполне инвариантные конгруэнции их свободных объектов.

§7. 1.5-перестановочность

7.1. /г-1.5-перестановочные многообразия (163). 7.2. Почти /г-1.5-перестановочные многообразия (168). 7.3. Наследственно почти /г-1.5-перестановочные многообразия (178). 7.4. Следствия (182).

§8. Перестановочность

8.1. /г-перестановочные многообразия (183). 8.2. Почти /г-перестановочные многообразия (184). 8.3. Наследственно почти /г-перестановочные многообразия (188). 8.4. Следствия (189).

§9. 2.5-перестановочность.

9.1. Основной результат (190). 9.2. Следствия (196).

§10. Слабая перестановочность.

10.1. Редукция к нильмногообразиям (197). 10.2. Нильмного-образия: доказательство необходимости (200). 10.3. Нильмно-гообразия: доказательство достаточности (213). 10.4. Следствия (217).

Комментарии.

Глава 3. Надкоммутативные многообразия.

§11. Квазитождества, не выполненные в Мз,

1.5-перестановочность и перестановочность.

§12. Квазитождества, влекущие модулярность, и 2.5-перестановочность.

12.0. Предварительные замечания (227). 12.1. Квазитождества, выполненные в Мз, но не выполненные в М4, и 2.5-перестановочность (228). 12.2. Квазитождества, выполненные в М4, но не выполненные в М4 3 (230).

§13. Модулярность, полумодулярность, дезарговость и слабая перестановочность.

13.1. Модулярность, полумодулярность вверх, дезарговость и слабая перестановочность (237). 13.2. Полумодулярность вниз (242). 13.3. Следствия (244).

Комментарии.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Тождества и квазитождества в решетках многообразий полугрупп и связанные с ними конгруэнции»

В.1. Обсуждение проблематики теории многообразий

Роль, которую играет в современной общей алгебре понятие многообразия, общеизвестна. Как емко сказано в монографии Р. Маккензи, Дж. Мак-налти и У. Тэйлора [192], "чтобы направить исследования и организовать знания, мы группируем алгебры в многообразия". Причем, как подчеркивается в монографии Д. Хобби и Р. Маккензи [155], этот способ объединения алгебр в классы "оказался настолько плодотворным, что не имеет серьезных конкурентов" (цитируется по русскому переводу указанной монографии [91], с. 24).

Многообразия, в свою очередь, могут быть сгруппированы в решетки, изучение которых, говоря опять-таки словами из [192], "обнаруживает необычайно богатую структуру в многообразиях и помогает организовать наши знания об индивидуальных алгебрах и важных семействах алгебр"2^. Последний тезис следует немного дополнить. Очевидны преимущества описания всех подмногообразий некоторого многообразия путем определения устройства соответствующей решетки над неупорядоченным перечнем этих подмногообразий (даже в случае, когда такой перечень можно получить!) — ведь, описав решетку, мы находим не только сами подмногообразия, но и существенные соотношения между ними. Однако обычно о лобовом перечислении всех подмногообразий не может быть и речи, и какая-то информация о них становится доступной только благодаря применению тех или иных решеточных соображений. Таким образом, решетки выступают здесь не только как способ организации знаний, но и как одно из основных средств для их получения. Неудивительно поэтому, что уже на заре развития теории многообразий важность и актуальность исследования решеток многообразий отмечали в своих выступлениях программного характера такие патриархи общей алгебры, как Г. Бирк-гоф (в докладе на Канадском математическом конгрессе в Монреале в 1945 г. [122]) и А. И. Мальцев (в докладе на международном математическом конгрессе в Москве в 1966 г. [58]).

При попытке как-то классифицировать тематику исследований, посвященных решеткам многообразий, естественно опереться на богатый опыт изучения других производных решеток и, в первую очередь, решеток под В оригинале: "In order to guide research and organize knowledge, we group algebras into varieties" (см. [192], p. 244).

2) В оригинале: "The study of such lattices reveals an extraordinary rich structure in varieties and help to organize our knowledge about individual algebras and important families of algebras" (см. [192], p. vii). алгебр. Таковой — применительно к полугруппам — отражен в монографии JI. Н. Шеврина и А. Я. Овсянникова [99] (см. также ее расширенную англоязычную версию [243]). В ней выделены следующие три основные направления исследований производных решеток (см. [99], с. 4; формулировки воспроизведены, разумеется, mutatis mutandi).

I. Ограничения на производные решетки. Основная задача данного направления — классификация объектов, производные решетки которых удовлетворяют тем или иным заданным решеточным условиям.

II. Решеточные характеристики. Здесь основной является задача ха-рактеризации тех или иных классов объектов — в частности, отдельных объектов — в терминах производных решеток.

III. Решеточные изоморфизмы. Цель данного направления — изучение "степени родства" между объектами с изоморфными производными решетками, в частности, обнаружение объектов, определяющихся своей производной решеткой.

Остановимся более подробно на первом из указанных направлений, поскольку именно ему (применительно к многообразиям полугрупп) посвящена наша диссертация. Отметим, что ситуация, когда каждому объекту А из некоторого класса алгебраических объектов однозначным образом ставится в соответствие производная решетка L(A) (решетка подалгебр, решетка конгруэнций, решетка подмногообразий и т. п.) и изучается влияние свойств L(A) на строение А, является одной из типичных в алгебраических исследованиях. Она активно разрабатывается для групп (см. монографии [237,249] и русский перевод второй из них [86]), полугрупп (см. уже упоминавшиеся монографии [99,243] и обзорную статью [242]), колец, алгебр Ли (см. учебное пособие [33]), многообразий колец и линейных алгебр (см. обзорную статью [6]) и т. д.3)

Среди различных встречавшихся в литературе свойств решеток многообразий особое место принадлежит решеточным тождествам и близким к ним условиям. Условия такого типа занимают главенствующее место в нашей диссертации. Остановимся поэтому подробнее на той роли, которую решеточные тождества играют при изучении многообразий.

Классическое построение, восходящее еще к пионерской работе Г. Бирк-гофа [121], связывает со всяким многообразием вполне инвариантную конгруэнцию на абсолютно свободной алгебре счетного ранга соответствующей сигнатуры, причем возникающее отображение является антиизоморфизмом решетки многообразий на решетку вполне инвариантных конгруэнций. Добавив эндоморфизмы в сигнатуру в качестве новых (унарных) операций, получим алгебру, конгруэнции которой суть в точности вполне инвариантные конгруэнции исходной свободной алгебры. Таким образом, решетки многообразий антиизоморфны решеткам конгруэнций некоторых алгебр. (В действительности, как показано в работе Н. Неврли [197], ка

3-* Отметим, что и в данной диссертации, наряду с многообразиями полугрупп с ограничениями на решетку подмногообразий, рассматриваются унарные алгебры некоторого специального вида с ограничениями на решетку конгруэнций (соответствующие результаты, впрочем, не являются самоцелью, а играют вспомогательную роль при получении основных результатов). ждая решетка многообразий антиизоморфна решетке конгруэнций некоторого моноида всего с одной дополнительной унарной операцией.) Роль же тождеств в решетке конгруэнций как одного из наиболее важных факторов определяющих поведение алгебры, общеизвестна. Изучение возникающих в этой связи классов многообразий (конгруэнц-дистрибутивных, кон-груэнц-модулярных ит. п.) является одним из центральных направлений универсальной алгебры (см., например, [72,73,91,140,170,218]). Отметим также, что методы, используемые для анализа строения решеток многообразий (такие, например, как нахождение "хороших" разложений рассматриваемых решеток в подпрямые и прямые произведения), естественно приводят к вопросу о модулярности или дистрибутивности если не всей решетки в целом, то некоторых ее "ключевых" элементов.

Из сказанного видно, что изучение тождеств в решетках многообразий является одним из естественных проявлений общих тенденций развития современной универсальной алгебры.

Все высказанные выше универсально-алгебраические соображения в полной мере применимы и к многообразиям полугрупп. Более того, полугруппы, занимающие промежуточное положение между "сколь угодно сложным" случаем группоидов и (конгруэнц-модулярным) классом групп, представляются, в некотором смысле, оптимальным полигоном для их применения.

Исследование многообразий полугрупп имеет давнюю и богатую историю. Начало систематической деятельности в этом направлении следует отнести, по-видимому, к середине 60-х годов, хотя отдельные результаты появлялись и до этого. Различным аспектам теории многообразий полугрупп полностью или в значительной степени посвящены обзорные статьи А. Я. Айзенштат и Б. К. Богуты [4], Ю. М. Важенина [18], Jl. Н. Шеврина и М. В. Волкова [98], JI. Н. Шеврина и Е. В. Суханова [100], Т. Эванса [134], О. Г. Харлампович и М. В. Сапира [176], JI. Н. Шеврина и JI. М. Мартынова [241], М. В. Волкова [266,267]. Изложение вопросов, связанных с многообразиями полугрупп, занимает заметное место в главе "Полугруппы" справочной книги по общей алгебре [95] и в недавних монографиях К. Денеке и Ш. Висмат [130] и М. Петрича и Н. Райли [217]. Многообразиям полугрупп посвящены отдельная статья в "Математической энциклопедии" [94] и один из параграфов в опубликованном недавно справочнике по алгебре (см. [244]).

Исследование решеток многообразий полугрупп начинается практически одновременно с началом изучения многообразий полугрупп per se4^ и с самого начала становится одним из центральных направлений в данной области. Отметим в этой связи, что в уже упоминавшемся обзоре JI. Н. Шеврина и М. В. Волкова [98] исследование решеток полугрупповых многообразий указано кейс одно из пяти основных направлений теории многообразий полугрупп — наряду с изучением тождеств, относительно свободных полугрупп, структурных и алгоритмических аспектов. В 70-е — 90-е

4) Отметим в этой связи, что одни из первых (если не самый первый) заслуживающий цитирования результат о многообразиях полугрупп в целом относится именно к решеточной тематике. Мы имеем в виду описание атомов решетки всех многообразий полугрупп, полученное Я. Калицки и Д. Скоттом еще в 1955 г. [171] (см. также русский перевод этой статьи [47]). годы заметный вклад в это направление внесли А. Я. Айзенштат, С. Бар-рис, А. П. Бирюков, М. В. Волков, Дж. Герхард, П. Джонс, Я. Ежек, Э. Нельсон, Ф. Пастейн, М. Петрич, JI. Полак, Н. Райли, В. В. Расин, М. В. Са-пир, Е. В. Суханов, А. Н. Трахтман, П. Троттер, Т. Холл и другие авторы. Обзор результатов, полученных на первом этапе исследований решеток полугрупповых многообразий, можно найти в уже упоминавшихся обзорных статьях А. Я. Айзенштат и Б. К. Богуты [4] и Т. Эванса [134]. В той или иной мере эта тематика нашла также отражение в обзорах [8,46,70,80,251]. Краткий, но весьма емкий обзор "глобального строения" решетки всех полугрупповых многообразий, включающий упоминания о некоторых недавних достижениях в этой области, содержится в [244].

При изучении многообразий полугрупп с ограничениями на решетку подмногообразий рассматривался широкий спектр решеточных условий: условия конечности [13, 57, 77, 78, 83, 111, 236], дополняемость и близкие условия [22,112,256] разложимость в прямое произведение [19], условия, связанные с понятием дуализма решеток [286], условие "быть цепью" и близкие к нему [20,87,88]. Но наибольшее внимание на протяжении всего периода исследований решеток многообразий полугрупп уделялось рассмотрению тождеств и близких к ним условий в этих решетках. На сегодняшний день имеется более 150 работ, так или иначе связанных с этой областью. Обзор результатов, полученных в этом направлении до написания настоящей диссертации, будет дан в следующем пункте.

В.2. Обзор результатов, предшествовавших диссертации

1°. Тождества в решетках многообразий. Хронологически исследования в этой области естественно делятся на три этапа.

Середина 60-х — начало 70-х гг. — первоначальное накопление информации. В 1966 г. в диссертации Р. Швабауэра [238] был приведен первый явный пример многообразия полугрупп с немодулярной решеткой подмногообразий. В печати этот пример появился в 1969 г. [239]. Отметим, что многообразие, найденное Р. Швабауэром, состоит из коммутативных полугрупп. Таким образом, была доказана немодулярность уже решетки Сошш всех многообразий коммутативных полугрупп. Интересно сопоставить этот факт с хрестоматийным результатом пионерской работы Б. Неймана [196] о дистрибутивности решетки всех многообразий абелевых групп. В том же 1969 г. в работе Я. Ежека [156] был приведен другой пример многообразия с немодулярной решеткой подмногообразий6). В 1971 г. результаты о немодулярности решетки полугрупповых многообразий были

5' Результаты работы [256] позднее были обобщены на произвольные многообразия универсальных алгебр в [131]. в' Отметим, что 1969 г. мог стать еще более урожайным на примеры немодулярных многообразий. Дело в том, что в этом году вышла замечательная статья П. Перкин-са [205], посвященная проблеме конечного базиса для полугрупп (см. также ее русский перевод [71]). Ее результаты с помощью очень простых и хорошо известных к описываемому периоду решеточных соображений позволяют указать пример немодулярного многообразия, отличный от двух, упомянутых выше. Как ни странно, это любопытное взаимодействие модулярности и проблемы конечного базиса оставалось незамеченным на протяжении четверти века и впервые было отмечено только в диссертации М. В. Волкова [31]. существенно усилены в двух работах С. Барриса и Э. Нельсон [123,124]. В первой из них было показано, что решетка всех многообразий полугрупп содержит интервал, антиизоморфный решетке разбиений счетного множества. Многообразия, обладающие последним свойством, принято называть решеточно универсальными (этот термин объясняется тем, что, как легко понять, решетка подмногообразий всякого решеточно универсального многообразия содержит изоморфную копию решетки подмногообразий произвольного многообразия универсальных алгебр не более чем счетной сигнатуры). С учетом классической теоремы Уитмена (см., например, [38], §IV.4), указанный результат работы [123] означает, что решетка всех многообразий полугрупп не удовлетворяет никакому нетривиальному тождеству. Во второй из указанных работ С. Барриса и Э. Нельсон, т. е. в [124], было доказано отсутствие нетривиальных тождеств уже в решетке Comm.

В тот же период появляются и первые "позитивные" результаты, т. е. результаты о модулярности или дистрибутивности примечательных в том или ином отношении фрагментов решетки многообразий полугрупп. Так, в работах А. П. Бирюкова [12], К. Фенмора [135-137] и Дж. Герхарда [141], посвященных описанию решетки всех многообразий связок, была установлена дистрибутивность этой решетки. В заметке Т. Хида [154] была доказана дистрибутивность решетки всех многообразий коммутативных моноидов. В работе Р. Швабауэра [240] была указана обширня дистрибутивная подре-шетка в решетке Сошш, являющаяся, как было установлено Э. Нельсон в [195], максимальной модулярной подрешеткой в Comm. В [195], а также в [125], был получен и ряд других результатов о тождествах в решетке Comm. В работе И. И. Мельника [64] была доказана дистрибутивность решетки всех многообразий полугрупп, квадрат которых является прямоугольной связкой. Дистрибутивность других фрагментов решетки многообразий полугрупп доказывается тем же автором в [67] и М. Петричем в [206]. В работе И. И. Мельника [65] была сделана уже первая попытка нащупать границу между многообразиями с модулярной [дистрибутивной] и немодулярной [недистрибутивной] решеткой подмногообразий: было показано, что решетка всех многообразий n-ступенно нильпотентных полугрупп модулярна [дистрибутивна] тогда и только тогда, когда п ^ 3, а решетка всех многообразий n-ступенно нильпотентных коммутативных полугрупп модулярна [дистрибутивна] тогда и только тогда, когда п ^ 5 [соответственно п ^ 4].

Завершая обсуждение "пионерского периода" в изучении тождеств в решетке многообразий полугрупп, отметим ряд полученных тогда результатов о специальных элементах этой решетки. В работах И. И. Мельника [62] и [63] показано, что многообразие всех полурешеток SC является, соответственно, модулярным и дистрибутивным элементом решетки всех многообразий полугрупп; первый из этих фактов независимо получен В. Н. Салием в [79]. В [66] И. И. Мельником проверено, что дистрибутивным элементом решетки всех многообразий полугрупп является и многообразие всех полугрупп с нулевым умножением ZM. Многообразия SC и ZM являются атомами решетки всех многообразий полугрупп. Из результатов работы А. Я. Айзенштат [2] непосредственно вытекает, что всякий атом решетки всех полугрупповых многообразий является кодистрибутив-ным элементом этой решетки (аналогичный факт о решетках многообразий вполне регулярных и инверсных полугрупп вытекает из результатов более поздней работы автора и М. В. Волкова [22]).

Многие из перечисленных выше результатов были воспроизведены в опубликованном в 1971 г. обзоре Т. Эванса [134], где в связи с ними была поставлена задача описания многообразий полугрупп с модулярной решеткой подмногообразий. Примерно в то же время JI. Н. Шеврин поставил задачу описания многообразий полугрупп (а также вполне регулярных и инверсных полугрупп) с дистрибутивной решеткой подмногообразий и сформулировал вопрос о наличии нетривиальных тождеств в решетках многообразий вполне регулярных и инверсных полугрупп, которые позднее были опубликованы в "Свердловской тетради" (см. [84], задачи 2.60 и 2.617>).

Середина 70-х — начало 80-х гг. — привлечение структурной теории полугрупп. В этот период продолжают появляться работы, подобные тем, о которых шла речь выше. В работах [3,15,34,35,53—56,60,61,68,89,90,101— 103,142,175,182,188] содержатся новые примеры [не]дистрибутивных или [не]модулярных решеток полугрупповых многообразий. В [157,193] получена новая информация о решеточно универсальных многообразиях полугрупп, а в [181] устанавливается отсутствие нетривиальных тождеств уже в решетке многообразий коммутативных нильпотентных полугрупп.

Однако основные усилия в этот период были сосредоточены на рассмотрении решетки CR всех вполне регулярных многообразий, т. е. многообразий, состоящих из вполне регулярных полугрупп (объединений групп). Отметим, что в большинстве упоминаемых ниже работ, посвященных решетке CR, вполне регулярные полугруппы рассматриваются как унарные полугруппы, т. е. как полугруппы с дополнительной сигнатурной унарной операцией (которая в данном случае трактуется как взятие обратного элемента в наибольшей подгруппе, содержащей данный элемент). Однако полученные при этом результаты применимы и к обычным полугрупповым многообразиям, поскольку, как легко понять, решетка вполне регулярных многообразий полугрупп в обычной сигнатуре является подре-шеткой решетки многообразий вполне регулярных полугрупп в указанной обогащенной сигнатуре. Первый значительный успех в рассмотрении тождеств в решетке CR был достигнут в работе М. Петрича [207] — в ней была доказана модулярность решеток многообразий ортодоксальных связок групп. С этой статьи начался длинный цикл работ различных авторов (П. Джонса, М. Петрича, Н. Райли, В. В. Расина и других), в которых шаг за шагом доказывалась модулярность все более и более обширных решеток вполне регулярных многообразий — см. рабо

Отметим, что интерес к этим задачам диктовался не только внутренней логикой исследования решетки полугрупповых многообразий, но и тем, что происходило в то время в смежных областях общей алгебры: проблемы такого рода тогда буквально носились в воздухе. Так, именно на рубеже 60-х и 70-х годов возник и подвергся интенсивной атаке (за короткий период появилось около 20 работ) вопрос об условии дистрибутивности в решетках многобразий групп, до сих пор, кстати, не проясненный до конца даже для "хороших" (скажем, метабелевых) многообразий. Примерно тогда же J1. А. Бокуть предложил задачу об описании многообразий колец [линейных алгебр] с дистрибутивной решеткой подмногообразий, опубликованную позднее в "Днестровской тетради" (см. [39], задача 19). Продвижениям в решении этой задачи, в том числе ее решению в ряде обширных и важных частных случаев, посвящено около 20 работ, опубликованных с середины 70-х годов и до самого недавнего времени. ты [74-77,153,162-164,208,209,212-214,225,226]. В качестве наиболее важных вех здесь можно отметить работы В. В. Расина [74,77] и Т. Холла и П. Джонса [153], в которых доказана модулярность решеток всех вполне простых многообразий, всех ортодоксальных многообразий и всех многообразий связок групп соответственно. Важной особенностью всех перечисленных выше работ, посвященных решетке CR, отличающей их от работ предыдущего периода, было то, что в них началось активное использование для нужд теории многообразий некоторых достижений структурной теории полугрупп, главным образом, связанных с устройством конгруэн-ций на регулярных полугруппах (см. монографию М. Петрича и Н. Рай-ли [217]). Именно это предопределило успехи в исследовании решетки CR, достигнутые на данном и следующем этапах.

В тот же период структурный подход был впервые применен и за пределами вполне регулярного случая, что также привело к ощутимому прогрессу. Мы имеем в виду работу М. В. Сапира и Е. В. Суханова [83], в которой для изучения многообразий периодических полугрупп были привлечены результаты JI. Н. Шеврина о разложимости эпигрупп в связку архимедовых компонент (анонсированные в [93] и позднее опубликованные с доказательствами в [96,97]) и о строении нильполугрупп [92]. Это позволило найти первое нетривиальное необходимое условие модулярности решетки подмногообразий произвольного многообразия полугрупп: в [83] было показано, что всякое многообразие с этим свойством состоит из полурешеток периодических архимедовых полугрупп. (В действительности из результатов указанной работы легко вывести следующий более сильный факт: всякое многообразие полугрупп с модулярной решеткой подмногообразий либо является периодическим перестановочным многообразием, либо имеет конечный индекс.)

Отметим еще, что в рассматриваемый период появился ряд работ, в которых, применительно к решеткам многообразий полугрупп, рассматривались различные усиления дистрибутивности. В [22] автором и М. В. Волковым были описаны многообразия полугрупп (а также вполне регулярных и инверсных полугрупп) с булевой решеткой подмногообразий (для обычных полугрупповых многообразий этот результат был позднее передоказан А. Я. Айзенштат в [112]). Другим естественным усилением дистрибутивности является условие быть цепью. Напомним, что многообразие, решетка подмногообразий которого является цепью, называется цепным. В работе Е. В. Суханова [87] были описаны негрупповые цепные многообразия полугрупп. Цепные многообразия групп (которые автоматически оказываются периодическими и потому могут рассматриваться как полугрупповые многообразия) изучались в работе В. А. Артамонова [7], из результатов которой, в частности, вытекает полное описание таких многообразий в локально конечном случае.

Середина 80-х — начало 90-х гг. — крупные успехи. Прежде всего, в этот период был продолжен и успешно завершен штурм задачи о модулярности решетки CR. Начатое ранее исследование различных составных частей этой решетки было продолжено в работах [143,166,203,204,230] (см. также обзорные статьи [232,233,235]). Во второй половине 80-х годов появился цикл работ J1. Полака [219-221], посвященный весьма глубокому анализу строения решетки CR в целом. Опираясь на развитый в этих работах подход, Ф. Пастейн в 1990 г. смог, наконец, доказать модулярность решетки CR [199]. В том же году М. Петрич и Н. Райли в [216] и год спустя независимо Ф. Пастейн в [200] нашли иное доказательство этого факта, в меньшей степени зависящее от техники J1. Полака. Модулярность решетки CR вытекает также в качестве следствия из результатов еще одной работы Ф. Пастейна [201], опубликованной также в 1991 г. В том же году результат о модулярности решетки CR был усилен в работе М. В. Волкова и Т. А. Ершовой [269]. Уточняя и модифицируя технику, развитую в [200, 216], авторы этой работы доказали в ней модулярность решетки всех многообразий полугрупп с вполне регулярным квадратом (результат о модулярности решетки CR при этом не использовался, так что в [269] было получено еще одно его доказательство). Отметим, что многие из перечисленных выше работ содержали также информацию о тождествах дистрибутивности и дезарговости. В ряде случаев наряду с модулярностью той или иной части решетки вполне регулярных многообразий была также доказана дистрибутивность соответствующих многообразий "по модулю групп" (см., например, [77]). В [199,200,216] была доказана не только модулярность, но и дезарговость решетки CR, а в [269] — дезарговость решетки многообразий полугрупп с вполне регулярным квадратом.

Работа [269] является частью появившегося на рубеже 80-х и 90-х годов цикла статей М. В. Волкова, в который, помимо нее, входят работы [27-30,257,260,261]. Результаты этих работ подытожены в уже упоминавшейся докторской диссертации М. В. Волкова [31]. В этих работах были аккумулированы и получили дальнейшее развитие все основные идеи, накопленные при изучении тождеств в решетках многообразий полугрупп ранее. В частности, в них получил свои первые применения принципиально новый подход к изучению решеток многообразий нильполугрупп, разработка которого была начата М. В. Волковым и автором в конце 80-х годов8). В результате М. В. Волкову удалось полностью описать многообразия полугрупп с модулярной решеткой подмногообразий, решив тем самым упоминавшуюся выше проблему Эванса, а также продвинуться в решении проблемы Шеврина, получив значительную информацию о многообразиях полугрупп с дистрибутивной решеткой подмногообразий (близкую к их полному описанию "по модулю групп"); кроме того, ему удалось доказать некоторые существенные результаты о многообразиях полугрупп с дезарговой решеткой подмногообразий.

В рассматриваемый период вышел и целый ряд других работ, связанных с обсуждаемой проблематикой. В работах [14, 69, 104, 132, 178, 236] указаны новые примеры многообразий с [не]дистрибутивной или [не]модулярной решеткой подмногообразий (работы такого рода появлялись и позднее — см., например, недавнюю диссертацию [186]). В статье [20] рассматривалось некоторое усиление дистрибутивности, близкое к условию быть цепью. В [145] указаны новые примеры решеточно универ

Этот подход, основной идеей которого является координатизация многообразий кон-груэнциями на G-множествах, играет основополагающую роль в данной диссертации, и потому в дальнейшем мы будем обсуждать его детально (см., в частности, подпункт 4° данного пункта, п. В.6 и §1). Пока же отметим только, что в обсуждаемый период времени разработка этого подхода находилась еще на начальной стадии (соответствующие результаты опубликованы в [23,258]), и потому возможности его применения были весьма ограниченны. сальных многообразий полугрупп, а в [82] анонсировано полное описание решеточно универсальных многообразий полугрупп, в которых все периодические группы локально конечны. Следует упомянуть также статью Я. Ежека и Р. Маккензи [159], в которой получена существенная информация о модулярных элементах решетки всех многообразий полугрупп.

Описанные выше успехи в изучении эквациональных свойств решеток многообразий полугрупп способствовали решению ряда смежных задач. Примерами здесь могут служить только что упомянутая работа [159], в которой на основе информации о модулярных элементах решетки многообразий полугрупп найдена решеточная характеризация целого ряда фундаментальных свойств многообразий, статья П. Троттера [252], в которой модулярность решетки CR была применена для получения результатов о подпрямых разложениях этой решетки, и работа автора [21], где упомянутые выше результаты М. В. Волкова были использованы для описания псевдомногообразий полугрупп с модулярной решеткой подпсевдомного-образий.

Для полноты картины отметим, что в период с середины 70-х до середины 90-х годов вышло немало работ, в которых исследовались эквацио-нальные свойства решеток многообразий полугрупп с различными дополнительными сигнатурными операциями или решеток классов полугрупп, близких к многообразиям. Здесь прежде всего следует отметить работы, в которых с указанной точки зрения рассматривались многообразия инверсных полугрупп (как унарных полугрупп, где унарная операция состоит во взятии инверсного элемента) [40,48-50,127,180,227-229,231,234]; см. также монографию М. Петрича [210]. Эквациональные свойства решеток многообразий полугрупп с регулярной инволюцией (как унарных полугрупп) рассматривались в [105,106,116,117,211,215]. Напомним, что эпигруппой называется полугруппа, некоторая степень всякого элемента которой лежит в некоторой подгруппе этой полугруппы. На всякой эпигруппе естественным образом можно ввести унарную операцию псевдообращения — см. [96]. В указанной только что работе содержится некоторая информация о многообразиях эпигрупп (как унарных полугрупп) с модулярной решеткой подмногообразий. В работал [255,270,271] с интересующей нас точки зрения рассматривались многообразия моноидов (в том числе вполне регулярных моноидов и моноидов с регулярной инволюцией). От Т. Холла (см., например, [151]) идет идея рассматривать е-многообразия регулярных полугрупп, т. е. классы регулярных полугрупп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов, прямых произведений и регулярных подполугрупп. Информация о тождествах в решетках е-многообразий регулярных полугрупп имеется в [118,151]. Упомянем, наконец, о псевдомногообразиях, т. е. о классах однотипных конечных алгебр, замкнутых относительно взятия подалгебр, гомоморфных образов и конечных прямых произведений. Как показано в работе [110], строение решеток псевдомногообразий тесно связано со строением решеток многообразий. Эквациональные свойства решеток псевдомногообразий полугрупп и моноидов (в том числе инверсных полугрупп и вполне регулярных полугрупп и моноидов) рассматривались в работах [21,119,152,177,201,202,270]; см. также монографию Дж. Алмей-ды [114] и ее английский перевод [115].

Подводя итог, можно сказать, что с конца 60-х годов и до первой половины 90-х годов исследование эквациональных условий в решетках полугрупповых многообразий велось интенсивно и широким фронтом и привело к достижению ряда значительных результатов. Тем не менее, многие естественные вопросы в обсуждаемой области оставались открытыми. В частности, практически ничего не было известно о других тождествах в решетках многообразий полугрупп, кроме модулярности, дистрибутивности и дезарговости. Вовсе не исследовались квазитождества в этих решетках. Почти ничего не было известно и о таком важнейшем обобщении модулярности, как полумодулярность.

2°. Мультипликативные свойства конгруэнций. Под мультипликативными свойствами конгруэнций мы понимаем свойства, формулируемые в терминах произведения конгруэнций как бинарных отношений. Существует тесная связь между тождествами в решетках многообразий и мультипликативными свойствами конгруэнций на алгебрах из многообразия. Напомним, что многообразие универсальных алгебр называется конгруэнц-п-перестпановочным (где п — натуральное число), если на всякой его алгебре любые две конгруэнции а и /3 удовлетворяют равенству а/За--- = /За/З---, где слева и справа стоят слова длины п. При п = 2 конгруэнц-п-перестановочные многообразия называются просто ко-нгруэнц-перестановочными, а при п = 3 — слабо конгруэнц-перестано-вочными. Из классических результатов Б. Йонссона [168] (см. также, например, [38], §IV.4), вытекает, что решетка подмногообразий произвольного [слабо] конгруэнц-перестановочного многообразия универсальных алгебр модулярна [дезаргова]. В работах [189,190] показано, что если многообразие конгруэнц-п-перестановочно для некоторого натурального п, то решетка его подмногообразий удовлетворяет некоторому нетривиальному тождеству.

В случае многообразий полугрупп, однако, условия типа конгруэнц-пе-рестановочности, т. е. ограничения, накладываемые на все конгруэнции всех алгебр из многообразия, как правило, оказываются слишком жесткими и не представляют интереса с точки зрения теории полугрупп. В частности, многообразие полугрупп конгруэнц-п-перестановочно (для некоторого п) тогда и только тогда, когда оно является многообразием периодических групп (при п = 2, т. е. для конгруэнц-перестановочных многообразий, этот результат впервые появился в самом начале 60-х годов в диссертации Е. Тулли [253] и несколько позднее был опубликован в его же работе [254]; при п — 3, т. е. для слабо конгруэнц-перестановочных многообразий, он непосредственно вытекает из теоремы 1.2(iii) работы П. Джонса [167]; наконец, для произвольного п он доказан в работе П. Липпарини [190]).

Ситуация становится существенно более интересной, если накладывать мультипликативные ограничения не на все конгруэнции всех полугрупп из многообразия, а только на вполне инвариантные конгруэнции полугрупп, свободных в многообразии. При этом, с одной стороны, в полной мере сохраняются связи с тождествами в решетках многообразий, а с другой — возникают классы многообразий, интересные с полугрупповой точки зрения. Так, например, в работах [200,216] было показано, что на произвольной (даже не обязательно относительно свободной) вполне простой полугруппе любые две вполне инвариантные конгруэнции перестановочны. В работах, посвященных тождествам в решетках полугрупповых многообразий, эпизодически появлялись рассмотрения, связанные с обсуждаемыми сейчас вопросами (см., например, [200,216,261,269]). Но они не создавали целостной картины и оставляли без ответа многие естественные вопросы. Кроме того, мультипликативные свойства вполне инвариантных конгруэн-ций на полугруппах, свободных в многообразиях, не были ранее самостоятельным объектом изучения.

3°. Подрешетки решетки многообразий полугрупп. Пробелы в исследованиях, о которых упоминалось в двух предыдущих подпунктах, стали очевидны уже к концу 80-х годов. Но попытки заполнить их наталкивались на серьезные трудности, связанные прежде всего с некоторыми особенностями имевшейся тогда информации о "глобальном строении" решетки всех полугрупповых многообразий. К концу 80-х годов в этом направлении было получено немало результатов. Однако различные составные части решетки всех многообразий полугрупп были изучены весьма неравномерно. Чтобы пояснить последний тезис, введем необходимые обозначения.

Общеизвестно, что всякое многообразие полугрупп является либо периодическим (т. е. состоящим из периодических полугрупп), либо надком-мутативным (т. е. содержащим многообразие всех коммутативных полугрупп) . И совокупность Per всех периодических многообразий, и совокупность ОС всех надкоммутативных многообразий являются подрешетками решетки всех многообразий полугрупп. В решетке Per можно выделить две большие подрешетки, пересекающиеся только по тривиальному многообразию, т. е. многообразию, состоящему только из одноэлементных полугрупп. Речь идет об уже упоминавшейся подрешетке CR всех вполне регулярных многообразий и о подрешетке Nil всех нильмногообразий. "Взаимное расположение" упомянутых подрешеток решетки всех многообразий полугрупп изображено на рис. В.1 (где через Т, СОМ и SEM. обозначены, соответственно, тривиальное многообразие, многообразие всех коммутативных полугрупп и многообразие всех полугрупп).

Не будет большим преувеличением сказать, что вплоть до середины 90-х годов практически во всех работах, в которых декларировалось изучение решетки всех многообразий полугрупп, в действительности изучалась ее подрешетка Per. О ней удалось узнать достаточно много, а некоторые ее важные фрагменты были даже полностью описаны (не претендуя на полноту, отметим здесь работы [19,57,83,111,144,178,195,199,200,216,219221,236,269]).

В то же время о решетке ОС к указанному времени было получено лишь несколько изолированных фактов, не создающих общего представления о строении этой решетки. По существу здесь можно упомянуть лишь работы А. Я. Айзенштат [1] и Дж. Макналти [193]. В первой из них доказано, что в решетке ОС каждый элемент имеет покрытие9), а во второй установлено, что ОС не содержит антиизоморфной копии решетки разбиений на счетном множестве.

Решетки CR и Nil также были изучены в совершенно различной степени. Первая из них исследовалась в 70-е и 80-е годы весьма активно. Усили

9' Сравнительно недавно этот факт передоказан более простым способом М. В. Волковым в [264].

S£M

СОМ Т

Рис. В.1. Основные подрешетки решетки многообразий полугрупп ями целого ряда авторов в этот период строение решетки CR было изучено довольно детально (более подробную информацию об этом см. в подпункте 1°). В то же время информация о решетке Nil, полученная к концу 80-х годов, может быть охарактеризована как весьма скудная и фрагментарная. Здесь можно отметить, пожалуй, лишь работы И. И. Мельника [65], Дж. Алмейды [113] и И. О. Корякова [181], в которых получена некоторая информация о "нижних этажах" решетки Nil, и работу Я. Ежека [157], в которой показано, что решетка Nil (в отличие от ОС) содержит антиизоморфную копию решетки разбиений на счетном множестве. Последний результат свидетельствует о большой (в определенном смысле максимальной) сложности устройства решетки нильмногообразий. Неудивительно поэтому, что вплоть до середины 90-х годов бытовало представление, что решетка Nil устроена крайне нерегулярно и получить о ней какие-либо результаты "позитивного" характера практически невозможно.

Столь явная неравномерность в исследовании различных частей решетки полугрупповых многообразий объясняется вполне конкретными объективными причинами. Как уже отмечалось в подпункте 1°, успехи в исследовании решетки CR были основаны на применении структурной теории полугрупп. Но эта теория практически не применима для изучения решеток Nil и ОС. Фактически вплоть до начала 90-х годов изучение этих решеток проводилось, как сказано в уже упоминавшемся обзоре Т. Эван-са [134], путем "прямой атаки на тождества как таковые (в сочетании с толикой элементарной теории чисел)"10). Между тем, как было ясно уже тогда, обе решетки, о которых идет речь, устроены весьма сложно, и вря-дли можно было надеяться глубоко проникнуть в их внутреннюю структуру с помощью столь "кустарных" методов. Подводя итог, можно сказать,

10) В оригинале: "a direct attack on the identities themselves (combined with a little elementary number theory)" (см. [134], p. 32). что изучение решеток Nil и ОС сдерживалось отсутствием адекватного языка, на котором можно было бы формулировать и доказывать соответствующие результаты.

4°. Конгруэнции на G-множествах. Адекватный язык для изучения решеток Nil и ОС был предложен в 90-х годах автором и М. В. Волковым. Оказалось, что их строение может быть охарактеризовано в терминах решеток конгруэнций некоторых специфических унарных алгебр, так называемых G-множеств. Соответствующие результаты о решетках над-коммутативных многообразий опубликованы в [263], а о решетках ниль-многообразий — в [23-25]11). Отметим, что разработанный в этих работах подход можно рассматривать как аналог хорошо известного метода изучения решеток многообразий линейных алгебр над полем характеристики 0 с помощью представлений симметрической группы (см., например, [10,11]), широко применяемого, в том числе, и для изучения тождеств в этих решетках.

Язык (^-множеств оказался очень удобным для изучения свойств решеток Nil и ОС. Но для его успешного применения нужна была существенная информация о решетках конгруэнций G-множеств. Отметим, что изучение этих решеток представляет, на наш взгляд, и несомненный самостоятельный интерес, поскольку изучение решеток конгруэнций алгебр различных типов является одной из стандартных постановок задач в общей алгебре. В этой связи уместно отметить, что решетки конгруэнций унаров, т. е. унарных алгебр с одной операцией, изучались весьма активно (см., например, работы [16,41-44,120,246], в которых рассматривались унары с ограничениями на решетку их конгруэнций), но о решетках конгруэнций унарных алгебр с произвольным числом операций до появления наших результатов было известно совсем немного (хотя нельзя сказать, что в этом направлении исследования совсем не велись — см., например, работу [245]). Что же касается мультипликативных свойств конгруэнций унарных алгебр, то они, по-видимому, ранее совсем не исследовались, даже в случае унаров.

В.З. Дели работы

Основная цель диссертации состоит в том, чтобы заполнить описанные выше пробелы в изучении решеток многообразий полугрупп. Проведенный в п. В.2 анализ приводит к формулированию четырех более конкретных целей:

1) изучить многообразия полугрупп, решетки подмногообразий которых удовлетворяют различным квазитождествам (в том числе тожде

См. также заметку [258], в которой была анонсирована первоначальная версия результатов, впоследствии в усовершенствованном виде опубликованных в [24]. Отметим, что в [258], а также в диссертации М. В. Волкова [31], решетки нильмногообразий описывались не на языке решеток конгруэнций G-множеств, а с помощью более сложных производных решеток, так называемых решеток согласованных пар G-множеств (мы не приводим соответствующего определения, поскольку в дальнейшем это понятие нам не понадобится). Переход от решеток согласованных пар к решеткам конгруэнций G-mho-жеств, позволивший существенно упростить получение дальнейших результатов и в значительной степени "запараллелить" рассмотрение ниль- и надкоммутативного случаев, был осуществлен автором данной диссертации. ствам, отличным от модулярности и дистрибутивности) и условию полумодулярности;

2) целенаправленно и последовательно изучить мультипликативные свойства вполне инвариантных конгруэнций на полугруппах, свободных в многообразиях, и, в частности, выяснить, какой конкретно вид принимают в полугрупповом случае априорно существующие связи между свойствами такого рода и тождествами в решетках многообразий;

3) опираясь на связь между решетками многообразий полугрупп и кон-груэнциями на G-множествах, получить разнообразную конкретную информацию о решетках нильмногообразий и надкоммутативных многообразий;

4) изучить решеточные и мультипликативные свойства конгруэнций на G-множествах, имея в виду дальнейшее использование этих результатов для решения тех задач о многообразиях полугрупп, о которых шла речь выше.

В.4. Основные проблемы

Определения всех встречающихся в данном пункте и не введенных выше понятий см. в §0.

Как уже упоминалось в п. В.2, в обзоре Т. Эванса [134] была поставлена

Проблема 1 (проблема Эванса). Описать многообразия полугрупп с модулярной решеткой подмногообразий.

Не менее естественной в рамках обсуждаемого направления является следующая проблема, поставленная JI. Н. Шевриным в [84], проблема 2.60а).

Проблема 2 (проблема Шеврина). Описать многообразия полугрупп с дистрибутивной решеткой подмногообразий.

К числу наиболее известных и важных решеточных тождеств, наряду с дистрибутивностью и модулярностью, относится тождество дезарговости. Оно играет важную роль в общей теории решеток (см., например, [38,161]) и неоднократно возникало при изучении решеток многообразий полугрупп (см., например, [200,216,269]). В связи с этим представляется естественной следующая

Проблема 3. Описать многообразия полугрупп с дезарговой решеткой подмногообразий.

Насколько нам известно, в литературе до сих пор не встречалось ни одного явного примера многообразия универсальных алгебр с модулярной, но не дезарговой решеткой подмногообразий. Существование таких многообразий легко вытекает из следующего результата, полученного в первой половине 80-х годов независимо С. Р. Когаловским и Д. Пигоцци: всякая коалгебраическая решетка с внешне присоединенным нулем изоморфна решетке подмногообразий некоторого многообразия универсальных алгебр12^. С другой стороны, в работе Р. Фриза и Б. Йонссона [139] показано, что решетка подмногообразий всякого конгруэнц-модулярного многообразия дезаргова. Все это делает весьма интересным следующий тесно связанный с проблемой 3 вопрос: эквивалентны ли модулярность и дезарговость в решетках подмногообразий многообразий полугрупп?

Отметим, что из результатов работ [27-29,269] и их доказательств вытекает положительный ответ на этот вопрос для многообразий индекса ^ 2 (т. е. многообразий, в которых всякая нильполугруппа есть полугруппа с нулевым умножением).

Проблемы 1-3 находились в центре внимания в докторской диссертации М. В. Волкова [31]. Проблема 1 была решена в [31] полностью, решение проблемы 2 было сведено к многообразиям полугрупп с вполне регулярным квадратом, т. е. многообразиям, в которых квадрат всякой полугруппы есть вполне регулярная полугруппа, а решение проблемы 3 — к нильмно-гообразиям. Отметим, что проблема 2 остается до сих пор не решенной даже для вполне регулярных многообразий. Можно сказать, что трудности, которые не позволяют пока полностью решить эту проблему, далеко выходят за рамки идей и методов наших исследований.

Одним из естественных направлений, продолжающих и развивающих исследования М. В. Волкова, является рассмотрение квазитождеств в решетках многообразий полугрупп. Отметим, что решетки многообразий обладают рядом свойств, близких по духу к квазитождествам (см. работы [22,133,183,185], а также леммы 0.17 и 4.11 ниже). Анализ доказательств упомянутых выше результатов М. В. Волкова показывает, что развитая в них техника в значительной степени может быть применена при рассмотрении произвольных решеточных квазитождеств, влекущих модулярность. Это делает естественной следующую проблему.

Проблема 4. Для произвольного квазимногообразия модулярных решеток L описать многообразия полугрупп, решетка подмногообразий которых принадлежит L.

Техника, развитая в [31], сводит решение этой проблемы к двум уже упоминавшимся случаям — многообразиям полугрупп с вполне регулярным квадратом и нильмногообразиям. Решение проблемы 4 в первом из этих случаев должно было бы включать в себя, в частности, ее решение для вполне регулярных многообразий. Но здесь, как уже отмечалось выше, остается неразобранным даже тот простейший случай, когда в качестве L выступает многообразие всех дистрибутивных решеток. Поэтому ставить вопрос о полном решении проблемы 4 пока преждевременно. Однако степень общности этой проблемы столь велика, что ее решение даже в том или ином классе многообразий полугрупп представляет значительный интерес. Из сказанного выше ясно, что класс, в котором следует прежде всего попытаться решить проблему 4, должен быть в каком-то смысле далек от

12' Как сообщил недавно автору Д. Пигоцци, этот результат остается пока неопубликованным. Упоминания о нем имеются в [52,133,183,184] и ряде других работ. В некоторых из них (например, в [160]) отмечается, что доказательство, найденное Д. Пигоцци, в дальнейшем было существенно упрощено Г. Тардошем. класса полне регулярных многообразий, а значит и от многообразий групп. Одним из наиболее важных и обширных классов полугрупповых многообразий такого рода является класс всех комбинаторных многообразий, т. е. многообразий, не содержащих нетривиальных групп. Он включает в себя, в частности, все нильмногообразия.

Продолжим список проблем. К числу наиболее известных и важных решеточных квазитождеств, не влекущих модулярность, относится полудистрибутивность. Наряду с модулярностью, полудистрибутивность является одним из важнейших обобщений дистрибутивности. Она естественно возникает как в различных областях теории решеток, так и в теории многообразий — см., например, монографии [37,91,161]. Имеется большое число работ, посвященных конгруэнц-полудистрибутивным многообразиям универсальных алгебр (см. монографию [91]; из более поздних работ отметим [129] и [174]). Все сказанное делает естественной следующую проблему.

Проблема 5. Описать многообразия полугрупп с полудистрибутивной (вверх или вниз) решеткой подмногообразий.

Из того, что 5-элементная модулярная недистрибутивная решетка не является полудистрибутивной ни вверх ни вниз, автоматически вытекает, что модулярная полудистрибутивная (вверх или вниз) решетка дистрибутивна. С учетом упоминашейся в п. В.2 модулярности решетки CR, это означает, что для вполне регулярных многообразий проблема 5 эквивалентна проблеме 2. Как уже отмечалось выше, последняя проблема в случае вполне регулярных многообразий пока весьма далека от своего решения. Поэтому на данном этапе естественно ограничиться рассмотрением проблемы 5 для многообразий, в каком-то смысле далеких от вполне регулярных, например, для нильмногообразий.

Важнейшим обобщением модулярности является полумодулярность. Полумодулярным решеткам целиком посвящена недавно вышедшая монография М. Штерна [247]; значительное внимание уделено им также в монографиях [38,128]. Полумодулярность возникает и при рассмотрении некоторых других ограничений на решетки полугрупповых многообразий (см., например, [286]). Имеется ряд работ, посвященных конгруэнц-полу-модулярным многообразиям как универсальных алгебр [107-109,172], так и полугрупп [167] (см. также гл. 9 в [247]). Все это делает естественной следующую проблему.

Проблема 6. Описать многообразия полугрупп с полумодулярной (вверх или вниз) решеткой подмногообразий.

Как уже отмечалось в п. В.1, мультипликативные свойства вполне инвариантных конгруэнций на алгебрах из многообразия (такие, как перестановочность и слабая перестановочность) зачастую являются подлинной причиной выполнения тех или иных тождеств в решетке его подмногообразий. Это побудило Ф. Пастейна во второй половине 80-х годов сформулировать следующую проблему.

Проблема 7 (проблема Пастейна). Описать многообразия полугрупп, на свободных объектах которых вполне инвариантные конгруэнции перестановочны.

В силу сказанного выше естественной является также следующая проблема, поставленная в [31].

Проблема 8 (проблема Волкова). Описать многообразия полугрупп, на свободных объектах которых вполне инвариантные конгруэнции слабо перестановочны.

Как обычно, мы будем обозначать решетку подмногообразий многообразия V через L(V). Из результатов работы [124] вытекает, что решетка всех коммутативных многообразий полугрупп (а значит, и решетка подмногообразий произвольного надкоммутативного многообразия) не удовлетворяет никакому нетривиальному решеточному квазитождеству. Хорошо известно также, что эта решетка не является ни полумодулярной вверх, ни полумодулярной вниз. Учитывая еще, что условия, о которых идет речь в проблемах 7 и 8, влекут модулярность решетки подмногообразий (это вытекает из результатов Б. Йонссона [168]), получаем, что ни одно из условий, о которых идет речь в проблемах 1-8, не выполняется ни в каком надком-мутативном многообразии. Но для того, чтобы получить информацию о строении решетки ОС, естественно рассматривать не всю решетку подмногообразий данного надкоммутативного многообразия V, а только решетку его надкоммутативных подмногообразий, т. е. интервал [COM, V] решетки L(V), где через СОМ обозначено многообразие всех коммутативных полугрупп. При рассмотрении же мультипликативных свойств вполне инвариантных конгруэнций на полугруппах, свободных в надкоммутативных многообразиях, естественно ограничиться только подкоммутативными вполне инвариантными конгруэнциями, т. е. такими, которые содержатся во вполне инвариантной конгруэнции на соответствующей полугруппе, отвечающей многообразию СОМ.

Естественно возникают следующие "надкоммутативные" варианты проблем 1-8.

Проблема 1'. Описать надкоммутативные многообразия полугрупп с модулярной решеткой надкоммутативных подмногообразий.

Проблема 2'. Описать надкоммутативные многообразия полугрупп с дистрибутивной решеткой надкоммутативных подмногообразий.

Проблема 3'. Описать надкоммутативные многообразия полугрупп с дезарговой решеткой надкоммутативных подмногообразий.

Проблема 4'. Для произвольного квазимногообразия модулярных решеток L описать надкоммутативные многообразия полугрупп, решетка надкоммутативных подмногообразий которых принадлежит L.

Проблема 5'. Описать надкоммутативные многообразия полугрупп с полудистрибутивной (вверх или вниз) решеткой надкоммутативных подмногообразий.

Проблема 6'. Описать надкоммутативные многообразия полугрупп с полумодулярной (вверх или вниз) решеткой надкоммутативных подмногообразий.

Проблема 7'. Описать надкоммутативные многообразия полугрупп, на свободных объектах которых подкоммутативные вполне инвариантные конгруэнции перестановочны.

Проблема 8'. Описать надкоммутативные многообразия полугрупп, на свободных объектах которых подкоммутативные вполне инвариантные конгруэнции слабо перестановочны.

В.5. Основные результаты

В диссертации решены проблемы 3, 6-8 и 1'-8' в полном объеме и проблемы 4 и 5 в обширных частных случаях (проблема 4 — для комбинаторных многообразий, а проблема 5 — для нильмногообразий). В табл. В.1 для каждой из этих проблем указаны теоремы, которые дают ее решение (для проблем 4 и 5 — в указанных классах многообразий).

Проблемы 3 4 5 6 7 8 1' 2' 3' 4' 5' 6' 7' 8'

Теоремы 1 3-7,9 8 1,2 13 17 21 18 21 18-21 18 21,22 18 21

Таблица В.1.

Кроме того, нами получен ряд смежных результатов. Так, решение проблемы 5 (для нильмногообразий) является частным случаем более общего результата, который даст описание нильмногообразий, решетка подмногообразий которых принадлежит произвольному квазимногообразию решеток, не содержащему 5-элементной модулярной недистрибутивной решетки Мз (см. теорему 8). Аналогично обстоит дело с решением проблемы 5' (см. теорему 18). В этой связи отметим, что класс решеточных квазимногообразий, не содержащих Мз, наряду с квазимногообразиями полудистрибутивных вверх и вниз решеток, включает и некоторые другие известные [квази]многообразия решеток. Среди них, например, многообразие так называемых почти дистрибутивных решеток, введенное в работе [187] (см. также [161], §4.3).

Наряду с перестановочностью и слабой перестановочностью вполне инвариантных конгруэнций, мы рассматриваем еще два их мультипликативных свойства. Первое из них задается равенством af3 = a U /3, а второе — равенством а(3а = а/3 U (За (где U — теоретико-множественное объединение). Ясно, что первое из этих свойств сильнее перестановочности, а второе — слабее перестановочности, но сильнее слабой перестановочности. По причинам, которые будут объяснены в п. 0.10, мы будем называть эти свойства 1.5-перестановочностью и 2.5-перестановочностью соответственно. Описание многообразий полугрупп, на свободных объектах которых любые две вполне инвариантные конгруэнции 1.5-перестановочны или 2.5-перестановочны, дают теоремы 10 и 16 соответственно, а описание над-коммутативных многообразий, на свободных объектах которых любые две подкоммутативные вполне инвариантные конгруэнции 1.5-перестановочны или 2.5-перестановочны — теоремы 18 и 19 соответственно.

По причинам, которые будут объяснены в п. 0.10, существенный интерес с точки зрения выполнения тождеств в решетках полугрупповых многообразий представляет ситуация, когда тем или иным мультипликативным свойством обладают не все вполне инвариантные конгруэнции на свободных объектах многообразия, а только те из них, которые содержатся в наименьшей полурешеточной конгруэнции. В диссертации получено описание многообразий полугрупп, на свободных объектах которых вполне инвариантные конгруэнции, содержащиеся в наименьшей полурешеточной конгруэнции, 1.5-перестановочны (теорема 11) или перестановочны (теорема 14). При этом выяснилось, что эти два свойства, вообще говоря, не наследуются подмногообразиями. Многообразия, все подмногообразия которых обладают этими двумя свойствами, также описаны в диссертации (теоремы 12 и 15 соответственно).

Из результатов диссертации вытекает, что если в — любое из свойств, о которых идет речь в проблемах 1-8, то всякое нильмногообразие, обладающее свойством в, содержится в некотором максимальном многообразии с этим свойством, причем число таких максимальных многообразий во всех случаях конечно. То же относится и к надкоммутативным многообразиям со свойствами, о которых идет речь в проблемах 1'-8'. Эти факты не вытекают ни из каких априорных соображений и представляют, на наш взгляд, определенный самостоятельный интерес. Отметим в этой связи, что не всякое многообразие полугрупп с модулярной решеткой подмногообразий содержится в максимальном многообразии с тем же свойством (это легко вытекает из результатов работы [ЗО])13).

Отметим, что развитая нами техника допускает применения и в других направлениях. Так, например, с ее помощью нами полностью описаны специальные элементы ряда типов (а именно — дистрибутивные, кодистри-бутивные, стандартные, костандартные и нейтральные элементы) решетки всех надкоммутативных многообразий полугрупп. Чтобы не перегружать диссертацию, мы не включили этот результат в ее основной текст, ограничившись воспроизведением его формулировки в п. 3.2 заключения (теорема 23).

Результаты, полученные в диссертации показывают, что существует целый ряд тесных и во многом совершенно неожиданных взаимосвязей между рассмотренными в ней условиями (это, кстати говоря, видно уже из табл. В.1, в которой в нескольких случаях одна и та же теорема соответствует двум или более проблемам). Укажем наиболее интересные из них:

1) для произвольного [надкоммутативного] многообразия полугрупп модулярность решетки его [надкоммутативных] подмногообразий эквивалентна с одной стороны дезарговости этой решетки, а с другой — ее полумодулярности вверх (но не эквивалентна полумодулярности вниз);

2) для комбинаторного [надкоммутативного] многообразия полугрупп модулярность решетки его [надкоммутативных] подмногообразий эквивалентна принадлежности этой решетки некоторому многообразию

13' Заметим, что при изучении тождеств в решетках многообразий возникали и ситуации, еще более контрастные к описанной выше. Так, например, в работе Д. С. Ана-ничева [5] показано, что никакое многообразие разрешимых колец Ли с дистрибутивной решеткой подмногообразий не содержится в максимальном многообразии с тем же свойством. решеток, имеющему всего семь подмногообразий (напомним в этой связи, что решетка многообразий модулярных решеток континуальна);

3) для нильмногообразия [надкоммутативного многообразия] полугрупп дистрибутивность решетки его [надкоммутативных] подмногообразий эквивалентна как ее полудистрибутивности вверх, так и ее полудистрибутивность вниз; более того, все эти свойства эквивалентны тому, что указанная решетка принадлежит произвольному квазимногообразию решеток, не содержащему решетки Мз;

4) для нильмногообразия [надкоммутативного многообразия] полугрупп V перестановочность любых двух [подкоммутативных] вполне инвариантных конгруэнций на V-свободных полугруппах эквивалентна 1.5-перестановочности любых двух таких конгруэнций;

5) для надкоммутативного многообразия полугрупп V перестановочность [слабая перестановочность; 2.5-перестановочность] подкоммутативных вполне инвариантных конгруэнций на V-свободных полугруппах эквивалентна тому, что решетка его надкоммутативных подмногообразий дистрибутивна [модулярна; принадлежит многообразию, порожденному решеткой Мз];

6) для нильмногообразия V перестановочность [2.5-перестановочность] вполне инвариантных конгруэнций на V-свободных полугруппах является более сильным ограничением, чем дистрибутивность решетки его подмногообразий [принадлежность этой решетки многообразию, порожденному решеткой Мз].

Более полно и подробно взаимосвязи между условиями на многообразия, рассмотренными в диссертации, указаны на схемах II-IV (см. с. 162, 163 и 221). Взаимосвязи между дистрибутивностью и перестановочностью, указанные в пп. 5) и 6), представляются неожиданными и трудно предсказуемыми. В самом деле, перестановочность конгруэнций привычно ассоциируется не с дистрибутивностью, а с намного более слабым тождеством дезарговости (здесь уместно напомнить, что многообразие всех дезарговых решеток содержит континуум подмногообразий, в то время как многообразие всех дистрибутивных решеток — всего два подмногообразия). Однако в диссертации показано, что эти взаимосвязи в действительности вполне закономерны — их подлинной причиной является близость соответствующих свойств конгруэнций на G-множествах (см. п. В.6 и §2).

Указанные выше взаимосвязи между решеточными и мультипликативными условиями проявляются не только на уровне формулировок результатов, но и на уровне их доказательств. Так, например, доказательство "мультипликативной" теоремы 11 содержит большой фрагмент, который почти дословно повторяет значительную часть доказательства "решеточной" теоремы 8. Еще более ярко этот феномен проявляется при изучении надкоммутативных многообразий. Здесь рассмотрение каждого из мультипликативных ограничений проводится параллельно с рассмотрением нескольких эквивалентных ему решеточных условий, и соответствующие рассуждения отличаются лишь незначительными деталями.

Переклички другого рода возникают при рассмотрении одних и тех же или близких ограничений для нильмногообразий и надкоммутативных многообразий. Приведем соответствующий пример. Практически во всех основных результатах диссертации фигурируют списки систем тождеств, в которых все системы содержат перестановочное тождество. Подлинной причиной этого является то, что как в ниль-случае, так и в надкоммутатив-ном случае, решетка подмногообразий содержит интервал, антиизоморфный некоторому интервалу решетки подгрупп симметрической группы любой степени. Соответствующие результаты (следствие 1.3 в ниль-случае и следствие 1.5 в надкоммутативном случае) имеют схожие формулировки и почти идентичные доказательства. В то же время, в некоторых случаях аналогичные постановки задач для нильмногообразий и надкоммутатив-ных многообразий приводят к различным, а иногда даже резко контрастным по духу результатам (ср., например, следствие 4.4 и пример 13.1).

Как уже отмечалось в п. В.1, решетка подмногообразий произвольного многообразия универсальных алгебр антиизоморфна решетке всех конгруэнций некоторой алгебры. Поэтому интересно сопоставить наши результаты с результатами о конгруэнц-0-многообразиях для различных решеточных свойств в. Наш результат об эквивалентности модулярности и дез-арговости в решетках многообразий полугрупп можно рассматривать как аналог известного результата Р. Фриза и В. Йонссона [139] об эквивалентности конгруэнц-модулярности многообразия универсальных алгебр его конгруэнц-дезарговости. Конгруэнц-полумодулярные многообразия универсальных алгебр изучались в [107-109,172], а конгруэнц-полумодулярные многообразия полугрупп — в [167] (см. также гл. 9 в монографии [247]). В [172] установлено, что в некотором достаточно широком классе многообразий универсальных алгебр конгруэнц-полумодулярность вниз эквивалентна конгруэнц-модулярности. Некоторое достаточное условие эквивалентности конгруэнц-полумодулярности вверх и конгруэнц-модулярности указано в [107]. Тем не менее, конгруэнц-полумодулярность вверх является значительно более слабым ограничением, чем конгруэнц-модулярность. Причем это верно не только для произвольных многообразий универсальных алгебр [108, 109], но и для многообразий полугрупп [167]. С учетом двойственности между решетками многообразий и решетками конгруэнций, такие взаимоотношения между конгруэнц-полумодулярностыо и конгруэнц-модулярностью вполне аналогичны нашим результатам о полумодулярности в решетках многообразий полугрупп (см. также комментарий к теореме 2 в п. 3.0). Из большого числа работ, посвященных конгру-энц-полудистрибутивным многообразиям, выделим недавнюю статью [174]. В ней показано, что конгруэнц-полудистрибутивность вверх произвольного локально конечного многообразия универсальных алгебр V эквивалентна выполнению некоторого тождества в решетках конгруэнций алгебр из V. Это перекликается с нашими результатами об эквивалентности полудистрибутивности и дистрибутивности в решетках нильмногообразий и над-коммутативных многообразий полугрупп. В работе [173] получена некоторая характеризация локально конечных конгруэнц-п-перестановочных многообразий универсальных алгебр при п = 2,3 в терминах так называемой теории ручных конгруэнций (см. [91]) и показано, что характеризация такого рода при п > 3 невозможна. В этом можно усмотреть аналогию с нашими результатами из п. 2.3, где охарактеризованы конгруэнц-п-перестановочные G-множества при п ^ 3 (предложение 2.3) и приведен пример, показывающий, что при п > 3 аналогичный результат места не имеет (пример 2.1).

В.б. Основные методы

В доказательствах полученных нами результатов используется широкий спектр методов. К их числу относятся и стандартные методы теории полугрупп, теории решеток, универсальной алгебры и теории многообразий (подчас модифицированные нами в зависимости от рассматриваемой ситуации). Но основным методом исследований является систематическое использование упоминавшейся в п. В.2 тесной взаимосвязи между строением решеток многообразий полугрупп и решеток конгруэнций G-множеств. Общую схему доказательств всех основных результатов можно в самом первом приближении обрисовать как состоящую из трех этапов:

1) перевод задачи с языка многообразий на язык G-множеств;

2) решение задачи о G-множествах;

3) обратный перевод полученных результатов на язык многообразий.

Этапы 1) и 3) основаны на результатах работ [24,25,263], описывающих строение решеток нильмногообразий и решеток надкоммутативных многообразий полугрупп в терминах конгруэнций на G-множествах (см. пп. 1.1 и 1.3), а также на полученных в диссертации мультипликативных аналогах этих результатов (см. пп. 1.2 и 1.4).

Охарактеризуем более подробно этап 2). За каждым из полученных нами результатов о многообразиях полугрупп стоит результат о G-множествах, конгруэнции которых обладают соответствующим свойством. Соответствующие результаты диссертации (см. §2) показывают, что между различными естественными ограничениями на G-множества существуют тесные и зачастую весьма неожиданные взаимосвязи. Многие из этих ограничений можно объединить в группы, состоящие из очень близких (в некотором смысле, "почти эквивалентных") условий. В одну из таких групп входят дистрибутивность, полудистрибутивность вверх, полудистрибутивность вниз решетки конгруэнций и перестановочность конгруэнций, в другую — модулярность, дезарговость, полумодулярность вниз решетки конгруэнций и слабая перестановочность конгруэнций (в обоих случаях список условий можно было бы продолжить). Эти и им подобные взаимосвязи имеют далеко идущие последствия для многообразий полугрупп, часть из которых упомянута в п. В.5. Более подробные комментарии на эту тему см. в п. 2.4.

В.7. Структура диссертации

Диссертация, кроме введения, содержит 4 главы (имеющие номера с О по 3), а также заключение и список литературы. Главы делятся на параграфы, имеющие сквозную нумерацию. Почти все параграфы делятся на пункты, нумеруемые двумя индексами, первый из которых означает номер параграфа. В пунктах, на которые делятся введение и заключение, роль первого индекса играют буквы "В" и "3" соответственно. Каждая глава

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Верников, Борис Муневич

Заключение

Потенциал подхода к исследованию решеток многообразий полугрупп, связанного с использованием конгруэнций на G-множествах, не исчерпывается теми направлениями исследований и конкретными результатами, изложению которых посвящены главы 1-3. Кроме того, и в тех направлениях исследований, которым посвящена данная диссертация, остаются интересные открытые вопросы. Представляется естественным завершить работу обсуждением перспектив дальнейших исследований. Этому и посвящено данное заключение. Оно состоит из 4 пунктов. В п. 3.1 перечисляются и кратко обсуждаются некоторые из не затронутых в данной диссертации направлений, в которых может быть применен развитый нами подход. В одном из этих направлений — изучении специальных элементов решетки многообразий — автором получены существенные результаты. Мы не включили их в основной текст диссертации, чтобы, с одной стороны, не перегружать ее, а с другой — обеспечить идейное единство излагаемого материала и его соответствие заявленной теме диссертации. Однако для создания более полной картины мы приводим эти результаты (без доказательства) в п. 3.2. Там же приводится краткий обзор результатов других авторов на эту тему. В п. 3.3 сформулированы (без доказательства) некоторые не вошедшие в основной текст диссертации результаты, относящиеся к тематике гл. 2. Наконец, в п. 3.4 формулируются и кратко обсуждаются некоторые конкретные открытые вопросы и задачи.

3.1. Возможные направления дальнейших исследований

К числу интересных понятий, сравнительно недавно возникших и активно разрабатываемых в теории многообразий, относятся понятие гипертождества и тесно связанное с ним понятие твердого многообразия. Говорят, что алгебра А сигнатуры fi удовлетворяет гипертождеству и = v, где и и v — термы в сигнатуре С1, если значения термов иии равны при любой подстановке не только элементов из А вместо переменных, входящих в запись и и v, но и термальных операций алгебры А вместо входящих в запись и к v сигнатурных операций подходящей арности. Многообразие V называется твердым, если всякое выполненное в V тождество выполнено в V и как гипертождество. Изложение вопросов, связанных с твердыми многообразиями полугрупп, занимает заметное место в недавней монографии К. Денеке и Ш. Висмат [130]. Совокупность всех твердых многообразий полугрупп образует полную подрешетку в решетке всех многообразий полугрупп. Эта подрешетка устроена весьма сложно. В частности, как показал М. В. Волков [265], она содержит изоморфную копию произвольной конечной решетки, и потому не удовлетворяет никакому нетривиальному квазитождеству. Отметим, что нильмногообразия твердыми не являются, поскольку всякое нетривиальное твердое многообразие полугрупп содержит многообразие всех прямоугольных связок 7ZB. Однако из результатов, полученных JI. Полаком в [222], видно, что строение решетки твердых многообразий в значительной степени определяется нильподмногообрази-ями твердых многообразий. Это делает естественной мысль о том, что при дальнейшем изучении твердых многообразий следует использовать технику, развитую в работах [23-25]. Пока никаких конкретных результатов в этом направлении не получено.

Результаты, изложенные в §§1 и 2 показывают, что изучение решеток нильмногообразий и решеток надкоммутативных многообразий в значительной степени сводится к рассмотрению решеток подгрупп и решеток эквивалентностей. Хорошо известные результаты о вложимости абстрактных решеток в решетки двух указанных типов подсказывают, что указанная техника может быть применена к рассмотрению вопросов о вложимости абстрактных решеток в решетки полугрупповых многообразий. Некоторые результаты в этом направлении уже получены. Так, в работе автора и М. В. Волкова [24] показано, как с помощью развитой в этой работе техники можно достаточно легко и быстро, "одним ударом", получать как хорошо известные, так и новые результаты о представимости абстрактных решеток интервалами и подрешетками решетки полугрупповых многообразий. Результаты такого рода имеются и в работе М. В. Волкова [263]. Однако нам представляется, что потенциал исследований в этом направлении еще далеко не исчерпан.

Третье направление, о котором мы хотим здесь упомянуть, связано с изучением специальных элементов решеток многообразий полугрупп. Обсуждению полученных в этом направлении результатов посвящен следующий пункт. Отметим, что ряд естественных вопросов в этом направлении остаются открытыми. Некоторые из них будут упомянуты в п. 3.4.

3.2. Специальные элементы решеток многообразий полугрупп

Типы элементов, о которых будет идти речь в данном пункте, естественно разбиваются на 2 группы.

1°. Дистрибутивные, нейтральные и близкие к ним элементы.

Напомним, что элемент а: решетки L называется дистрибутивным, если а: V (у A z) = (х V у) A (х V z) для всех y,z € L, и стандартным, если х V у) A z = (х A z) V (у A z) для всех y,z € L.

Кодистрибутивные и костандартные элементы определяются двойственно к дистрибутивным и стандартным соответственно. Определение нейтрального элемента решетки было дано в п. 0.4. Обширную информацию об элементах указанных типов, показывающую естественность и важность их изучения, можно найти, например, в §111.2 монографии [38]. Кратко говоря, дистрибутивные и кодистрибутивные элементы "отвечают" за гомоморфизмы решетки на свои интервалы, а нейтральные — за ее разложение в подпрямое произведение своих интервалов (см. лемму 0.9). Отметим, что всякий [ко]дистрибутивный элемент является [ко]стандартным, а всякий [ко]стандартный элемент — нейтральным (см., например, [38], теорема III.2.5).

Обозначим через Sem решетку всех многообразий полугрупп. В работах [63] и [66] доказано, что дистрибутивными элементами решетки Sem являются, соответственно, многообразия SC и ZM. Более того, многообразия SC и ZM являются нейтральными элементами решетки Sem. Этот факт, по-существу являющийся частью полугруппового фольклора, в явном виде доказан в диссертации М. В. Волкова [31] (отметим, что нейтральность многообразия SC уже упоминалась в п. 0.7 — см. лемму 0.19). Из результатов работы [2] (см. лемму 0.17) легко вывести, что каждый атом решетки Sem является ее кодистрибутивным элементом. В то же время, чрезвычайная (можно сказать, "трансцедентная") сложность строения решетки Sem позволяет предположить, что лишь немногие многообразия могут быть специальными элементами этой решетки. Подтверждением этого является следующий неопубликованный результат М. В. Волкова (приведенный без доказательства в его диссертации [31]): нейтральными элементами решетки Sem являются многообразия Т, S£M, SC, ZM, SC V ZM и только они.

В работах, посвященных исследованию решетки многообразий вполне регулярных полугрупп и решетки многообразий инверсных полугрупп (как унарных полугрупп) эпизодически появлялись результаты о специальных элементах этих решеток. Так, например, П. Троттером в [252] доказана нейтральность многообразия ВЛМТ> в первой из этих решеток, а Е. И. Клейманом в [48,49] — дистрибутивность и кодистрибутивность многообразия всех групп во второй из них. Отметим, что обе указанные решетки О-дистрибутивны (см. [22], лемма 1), и потому в каждой из них атомы являются кодистрибутивными элементами. Но систематически специальные элементы этих двух решеток не изучались.

Автором получено полное описание элементов пяти указанных выше типов в решетке всех надкоммутативных многообразий полугрупп. В основе доказательства этого результата лежит

Предложение 3.1. Пусть А — нетранзитивное G-множество такое, что Stab^a;) = Stab>i(y) для любых элементов х,у € А. Для произвольной конгруэнции а на А следующие условия эквивалентны: а) а — дистрибутивный элемент решетки Соп(А); б) а — кодистрибутивный элемент решетки Соп(Л); в) а — стандартный элемент решетки Соп(Л); г) а — костандартный элемент решетки Соп(Л); д) а — нейтральный элемент решетки Con (А); е) а — либо универсальное отношение, либо отношение равенства.

Основное ограничение, наложенное на G-множество в предложении 3.1 (равенство стабилизаторов любых двух элементов), является достаточно сильным27). Тем не менее, оно выполнено для всех G-множеств, возникающих при описании строения решетки ОС: из определения А-трансверсали Wa(V) видно, что если V — многообразие всех полугрупп, то стабилизатор любого элемента этого вд-множества равен Т. Это позволяет применить предложение 3.1 для изучения элементов перечисленных в нем типов в решетке ОС.

Чтобы сформулировать соответствующий результат, нам понадобятся некоторые обозначения. Пусть п — натуральное число и п ) 2. Обозначим через Sn многообразие полугрупп, заданное всеми уравновешенными тождествами длины ^ п. Ясно, что

СОМ = S2 С 53 С • • • С Sn С • ■ • С S£M.

Пусть, далее, тп — натуральное число такое, что 2 ^ тп ^ п. Обозначим через «Sn,m подмногообразие многообразия <Sn+i, заданное внутри последнего всеми уравновешенными тождествами длины п, зависящими от ^ тп букв. Для удобства обозначений положим также 5пд = Sn+i. Ясно, что Sntn С <5>n,n-l С ••■ С Sn,2 С Snд = <Sn+l

Пусть, наконец, А £ ЛП)т. Обозначим через S\ подмногообразие многообразия ь>П)ГП1, заданное внутри последнего всеми уравновешенными тождествами u — v такими, что part(u) = А. Ясно, что Sn<m С S\ С <S„ mi. Интервал [<5д, Sn mjJ решетки ОС обозначим через /д. Заметим, что многообразия Sn, <Sn,m> <5>а и интервал 1\ суть не что иное как введенные в п. 1.3 многообразия Vn, Vn<m, Va и интервал I\(V) соответственно при V = SCM. Предложение 1.6 (при V = S£M) показывает, что решетка ОС разлагается в подпрямое произведение своих интервалов вида 1\, где А пробегает Л. Отсюда немедленно вытекает, что многообразия вида Snm и S\ являются нейтральными элементами в ОС. Оказывается, что за тривиальным исключением многообразия всех полугрупп других нейтральных элементов в ОС нет. Точнее, справедлива

Теорема 23. Для надкоммутативного многообразия полугрупп V следующие условия эквивалентны: а) V — дистрибутивный элемент решетки ОС; б) V — кодистрибутивный элемент решетки ОС; в) V — стандартный элемент решетки ОС; г) V — костандартный элемент решетки ОС; д) V — нейтральный элемент решетки ОС; е) V совпадает либо с многообразием всех полугрупп, либо с многообразием вида Sn,m> где тип — натуральные числа такие, что тп < п и п Ф 1, либо с многообразием вида S\, где А 6 Л.

27' Отметим, что в [277] автором описаны [ко]дистрибутивные, [ко]стандартные и нейтральные элементы решеток конгруэнций произвольных G-множеств, но при условии, что группа G абелева.

Доказательство теоремы 23 опирается на результаты работы [263], изложенные в п. 1.3, предложение 3.1 и следующий факт, легко вытекающий, например, из результатов С. Г. Иванова о специальных элементах в решетках подгрупп (см. [237], теорема 3.4.2): [ко]дистрибутивными элементами решетки Sub(S„) являются группы Т, S„ и только они.

Как хорошо известно, решетка ОС континуальна (см., например, [134]). В этой связи отметим вытекающее из теоремы 23

Следствие 3.1. Множество всех [ко]дистрибутивных элементов решетки ОС счетно.

Предложение 3.1 и теорема 23 доказаны в [278]; теорема 23, кроме того, анонсирована в [293].

В русле идей и методов данной диссертации естественно поставить задачу описания элементов указанных выше типов в решетке всех нильмногообразий Nil. Эта задача намного более сложна, чем аналогичная задача о решетке ОС, поскольку строение решетки Nil не определяется однозначно решетками конгруэнций G-множеств. В качестве первого шага естественно рассмотреть специальные элементы в решетке всех нильпотентных многообразий полугрупп Nilp. В этом направлении автором доказано

Предложение 3.2. Если нильпотентное многообразие является дистрибутивным элементом решетки Nilp, то оно задается набором тождеств вида хгх2 ■ ■ ■ xs = О, Е0, Ei, • ■ • , Efc}, где Ео — либо пустое множество, либо множество всех перестановочных тождеств фиксированной длины п < з, a Ej (для всякого i = 1,2,., к) — либо пустое множество, либо множество тождеств вида и = 0, где и пробегает множество всех слов фиксированной длины rij, зависящих от фиксированного числа букв ш», где тп* <щ < s.

Этот результат анонсировал в [297] и доказан в [280]. В его доказательстве используется некоторое обобщение предложения 3.1 и следующий результат, в неявном виде доказанный автором и М. В. Волковым в [23] (см. там доказательство предложения 4): если нильпотентное многообразие является дистрибутивным элементом решетки Nilp, то оно однородно.

2°. Модулярные и близкие к ним элементы. Напомним, что элемент х решетки L называется модулярным, если х V у) A z = (х A z) V у для всех y,z € L таких, что у ^ z.

Отметим, что если элемент решетки дистрибутивен, кодистрибутивен и мо-дулярен, то он является нейтральным элементом28). Нетрудно проверить, что модулярность элемента х эквивалентна тому, что он не может быть "центральным" элементом 5-элементной немодулярной подрешетки решетки L, т. е. элементом этой подрешетки, который является одновременно ее атомом и коатомом (см. [158], предложение 2.1). Поэтому модулярные элементы естественно называть также центрально-модулярными. Исходя из

28' Этот факт, вероятно, известен в теории решеток, но мы не смогли отыскать его в литературе в явном виде. Во всяком случае он легко вытекает из леммы 1.3(iii) работы [165]. аналогичных соображений, назовем элемент х решетки L верхне-модулярным, если у V z) А х = (у А х) V z для всех у, z € L таких, что z ^ х, и нижне-модулярным, если у V х) Л z = (у Л z) V х для всех y,z € L таких, что х ^ z.

Отметим, впрочем, что аналогия с центрально-модулярными элементами неполна. Легко видеть, что верхне-модулярный [нижне-модулярный] элемент решетки не может быть коатомом [атомом], не являющимся атомом [коатомом], ее 5-элементной немодулярной подрешетки. Но обратное неверно. Так, в решетке, изображенной на рис. 3.1, элемент х не является верхне-модулярным, поскольку z ^ х, но (у V z) А х = t ф z = (у A х) V z.

Центрально-модулярные элементы решетки всех многообразий алгебр данного типа описаны Я. Ежеком в [158]. В работах И. И. Мельника [62] и В. Н. Салия [79] независимо установлено, что многообразие SC является центрально-модулярным элементом решетки Sem. Тот факт, что SC является центрально-модулярным элементом решетки многообразий вполне регулярных полугрупп (рассматриваемых как унарные полугруппы), отмечен Т. Холлом и П. Джонсом в [153]. Несложно проверить, что всякое О-приведенное многообразие полугрупп является центрально-модулярным и нижне-модулярным элементом решетки Sem (см. [23], следствие З)29^. В диссертации М. В. Волкова [31] приведен без доказательства следующий результат: многообразие полугрупп V является одновременно центрально-модулярным и нижне-модулярным элементом решетки Sem тогда и только тогда, когда либо V — многообразие всех полугрупп, либо V = Т V И, где Т — одно из многообразий SL тТ, а Я — О-приведенное многообразие. Значительная информация о центрально-модулярных элементах решетки Sem получена Я. Ежеком и Р. Маккензи в [159].

Естественно поставить вопрос об описании элементов трех обсуждаемых сейчас типов в решетке ОС. Первый шаг в решении этой задачи сделан в работе автора [296], в которой описаны центрально-модулярные элементы в решетках конгруэнций произвольных G-множеств. У х

Рис. 3.1. Элемент х — не верхне-модулярный

29' Для центрально-модулярных элементов этот факт легко вытекает уже из результатов работы [158].

3.3. Почти слабо /г-перестановочные многообразия полугрупп индекса ^ 2

В гл. 2 получена некоторая информация о почти /г-2.5-перестановоч-ных и почти слабо /г-перестановочных многообразиях полугрупп (см. леммы 7.11-7.13, 8.6 и 8.7). Помимо этого, нами описаны почти слабо fi-перестановочные, наследственно почти слабо /г-перестановочные и наследственно почти /г-2.5-перестановочные многообразия полугрупп индекса ^ 2. Соответствующие результаты не включены в основной текст диссертации по соображениям объема и с учетом того, что они не дают описания произвольных многообразий полугрупп с рассматриваемыми в них свойствами. Но для полноты картины мы приводим здесь формулировки этих результатов.

Предложение 3.3. Пусть V — многообразие полугрупп индекса ^ 2. Многообразие V почти слабо fi-перестановочно тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:

1) V — вполне простое многообразие-,

2) V — многообразие полугрупп с вполне регулярным квадратом и V Э SC-,

3) V = Л V X, где Л — многообразие периодических абелевых групп, а X — одно из многообразий V и \

4) V = ZM.

Предложение 3.4. Пусть V — многообразие полугрупп индекса ^ 2. Многообразие V наследственно почти слабо fi-перестановочно тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:

1) V — вполне регулярное многообразие;

2) V содержится в одном из многообразий V и .

Из предложения 3.4 и теоремы 15 вытекает

Следствие 3.2. Многообразие полугрупп индекса ^ 2 наследственно почти fi-перестановочно тогда и только тогда, когда оно наследственно почти слабо fi-перестановочно.

Из предложения 3.4 и следствия 3.2 вытекает, в частности, описание наследственно почти /г-2.5-перестановочных многообразий индекса ^ 2.

Результаты, сформулированные в данном пункте, ранее нигде публиковались. Статья, содержащая их изложение, сдана в печать в журнал "Алгебра и логика".

3.4. Открытые вопросы

Результаты диссертации отнюдь не исчерпывают затронутую в ней проблематику. Напротив, как это обычно и случается, решение одних задач актуализирует ряд уже известных примыкающих к ним вопросов и одновременно приводит к постановке новых задач, ранее не рассматривавшихся. Данный пункт посвящен краткому обсуждению открытых вопросов и задач, наиболее близко примыкающих к нашим исследованиям и/или представляющихся нам наиболее интересными. По тематике они естественно делятся на 6 групп.

1°. Тождества и квазитождества в решетках многообразий.

До сих пор остаются не решенными в полном объеме сформулированные в п. В.4 проблемы 2, 4 и 5. Для того, чтобы продвинуться дальше в решении проблем 2 и 4 необходимо прежде всего дать ответ на следующий старый и хорошо известный

Вопрос 1. Пусть V — вполне регулярное многообразие полугрупп, Q = Gr(V), ah — нетривиальное [квази]многообразие решеток. Верно ли, что а) если решетка L(Q) дистрибутивна, то и решетка L(V) дистрибутивна; б) если L(Q) G L, то и L{V) G L?

До сих пор наибольшим продвижением здесь остается положительный ответ на этот вопрос (в наиболее общем случае, т. е. в случае, когда L — произвольное квазимногообразие решеток) для ортодоксальных многообразий, непосредственно вытекающий из результатов В. В. Расина [77] и Л. Полака [221].

Пример 6.1 показывает, что в решетках комбинаторных (и тем более произвольных) многообразий полугрупп ни один из двух вариантов полудистрибутивности не эквивалентен дистрибутивности. Однако решетки подмногообразий многообразий, указанных в этом примере, полудистрибутивны как вверх, так и вниз. В связи с этим представляет интерес следующий

Вопрос 2. Существует ли [комбинаторное] многообразие полугрупп, решетка подмногообразий которого а) полудистрибутивна вверх, но не полудистрибутивна вниз; б) полудистрибутивна вниз, но не полудистрибутивна вверх?

Отметим, что многообразия универсальных алгебр, решетка подмногообразий которых полудистрибутивна вверх [вниз], но не полудистрибутивна вниз [вверх], существуют. Это вытекает из неопубликованного результата С. Р. Когаловского и Д. Пигоцци, упомянутого на с. 17. С другой стороны, известно, что всякое конгруэнц-полудистрибутивное вверх многообразие универсальных алгебр конгруэнц-полудистрибутивно вниз (см. [91], упражнение 7.14.10, или [129]).

Отметим также следующий вопрос, не связанный непосредственно с нашими исследованиями, но представляющийся нам весьма интересным.

Вопрос 3. Существует ли [надкоммутативное] многообразие полугрупп, решетка [надкоммутативных] подмногообразий которого удовлетворяет некоторому нетривиальному квазитождеству, но не удовлетворяет никакому нетривиальному тождеству?

В п. В.2 говорилось об исследовании эквациональных свойств многообразий полугрупп с различными дополнительными сигнатурными операциями (в частности, унарных полугрупп). В этой связи сформулируем следующую задачу.

Задача 1. Описать многообразия а) инверсных полугрупп; б) полугрупп с регулярной инволюцией; в) эпигрупп; г) моноидов с модулярной решеткой подмногообразий.

Задача 1 упоминалась в [31], а п. в) этой задачи — в [96].

2°. Мультипликативные свойства вполне инвариантных конгруэнций. В гл. 2 /г-г-перестановочные многообразия описаны для г € {1.5,2,2.5,3}, а почти /г-г-перестановочные и наследственно почти fi-r-перестановочные многообразия — только для г £ {1.5,2}. Это делает естественной следующую задачу.

Задача 2. Описать а) почти fi-2-Ъ-перестановочные; б) наследственно почти fi-2.Ъ-перестановочные-, в) почти слабо fi-перестановочные-, г) наследственно почти слабо fi-перестановочные многообразия полугрупп.

Результаты, сформулированные в п. 3.34 решают задачи 2б)-2г) для многообразий индекса ^ 2. В доказательстве одного из этих результатов (предложения 3.3) существенную роль играет результат работы М. В. Волкова и Т. А. Ершовой [269], согласно которому всякое многообразие полугрупп с вполне регулярным квадратом, содержащее SC, почти слабо /г-перестановочно. Нам не известно, можно ли усилить этот результат, заменив в нем слабую /г-перестановочность на /г-2.5-перестановочность. Естественно возникает следующий вопрос, отмечавшийся в [31].

Вопрос 4. Верно ли, что всякое многообразие полугрупп с вполне регулярным квадратом, содержащее SC, почти fi-2.5-перестановочно?

Положительный ответ на этот вопрос позволил бы нам сформулировать решение задачи 2а) для многообразий индекса ^ 2.

Отметим, что важную информацию, относящуюся к задаче 2 и выходящую за рамки результатов, сформулированных в п. 3.3, дают леммы 7.11-7.13 и 8.6.

Сопоставляя следствия 8.1-8.3 и 8.6 со следствиями 9.1, 10.1 и 3.2, можно заметить, что "в окрестностях ниль-случая" перестановочность вполне инвариантных конгруэнций близка к их 1.5-перестановочности, в то время как для вполне регулярных и близких к ним многообразий она "тяготеет" к 2.5-перестановочности или даже слабой перестановочности. Взаимосвязи первого типа объясняются близостью свойств конгруэнц-перестановочности и конгруэнц-1.5-перестановочности для G-множеств (см. предложение 2.3). Было бы интересно выяснить, какими "глубинными" причинами обусловлены взаимосвязи второго типа (разумеется, если такие причины существуют).

Условие /г-г-перестановочности можно естественным образом усилить, потребовав, чтобы r-перестановочными были вполне инвариантные конгруэнции на всех полугруппах многообразия, а не только на его свободных объектах. Как уже отмечалось в п. 0.10, в работах [200] и [216] показано, что при г — 2 указанным свойством обладает всякое вполне простое многообразие (см. лемму 0.45). По-видимому, другие результаты такого рода в литературе не встречались. Сказанное делает естественной следующую задачу, п. б) которой отмечался в [31].

Задача 3. Описать многообразия полугрупп, на всех полугруппах которых любые две вполне инвариантные конгруэнции [содержащиеся в наименьшей полурешеточной конгруэнции] а) 1.5-перестановочны; б) перестановочны; в) 2.5-перестановочны; г) слабо перестановочны.

3°. Специальные элементы решеток многообразий. Результаты, изложенные в п. 3.2, инспирируют следующие две задачи, первая из которых уже упоминалась в конце указанного пункта.

Задача 4. Описать а) центрально-модулярные-, б) верхне-модулярные-, в) нижне-модулярные элементы решетки ОС.

Принципиальную возможность решения задачи 4а) открывает уже упоминавшийся в конце п. 3.2 результат автора [296], который дает описание центрально-модулярных элементов решеток конгруэнций G-множеств.

Задача 5. Описать а) дистрибутивные-, б) кодистрибутивные; в) нейтральные элементы решетки Nilp.

Некоторые продвижения в решении задачи 5а) дает сформулированное в п. 3.2 предложение 3.2. Чтобы продвинуться в этом направлении дальше необходимо, на наш взгляд, прежде всего ответить на следующий

Вопрос 5. При каких натуральных п многообразие var{xix2 • • • ~ 0} является [ко]дистрибутивным элементом решетки Nilp?

4°. Вложение абстрактных решеток в решетки многообразий.

Эта проблематика была затронута в п. 3.1. Здесь нам представляется наиболее интересным следующий вопрос, отмечавшийся также в [31].

Вопрос 6. Всякая ли конечная решетка вложима в решетку подмногообразий некоторого нильпотентного многообразия полугрупп в качестве интервала?

Из результатов работ [24] и [198] вытекает, что этот вопрос равносилен известному в универсальной алгебре вопросу о возможности представления произвольной конечной решетки в качестве решетки всех конгруэнций некоторой конечной алгебры.

5°. Строение решеток нильмногообразий полугрупп. Следующая задача посвящена дальнейшему развитию техники, развитой в работах [23-25]. В [25] для всякого нильмногообразия полугрупп V и всякого натурального ш определена решетка Cm(V), являющаяся некоторой подре-шеткой решетки конгруэнций большой О-трансверсали W^(V) (см. п. 1.1). Для более полного понимания связи между решетками нильмногообразий и решетками конгруэнций G-множеств представляется желательным решить следующую задачу.

Задача 6. Найти абстрактную характеризацию решетки Ст(У) в терминах конгруэнций Sm -множества W^(V).

6°. Конгруэнции на G-множествах. В заключение данного пункта отметим один вопрос о G-множествах. Сопоставляя результаты п. 2.2 с теоремами 8 и 18, можно заметить, что для решеток конгруэнций G-множеств осталось не рассмотренным одно условие, рассмотренное для решеток многообразий, а именно — условие принадлежности квазимногообразию ДОз. Это вызвано тем, что нам неизвестен ответ на следующий вопрос: можно ли в посылке следствия 2.3 опустить требование о том, чтобы квазимногообразие L не содержало решетки К (иными словами, верен ли аналог указанного следствия в случае, когда L = Мз)? Из леммы 0.39в) и доказательства предложения 2.2(iii) вытекает, что этот вопрос эквивалентен следующему вопросу.

Вопрос 7. Верно ли, что если решетка конгруэнций G-множества А принадлежит квазимногообразию Мз, то А сегрегировано?

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Верников, Борис Муневич, 2004 год

1. А. Я. Айзенштат, Б. К. Богута. О решетке многообразий полугрупп // Полугрупповые многообразия и полугруппы эндоморфизмов. Л., 1979. С. 3-46.

2. Д. С. Ананичев. Почти дистрибутивные многообразия колец Ли // Мат. сб. 1995. Т. 186, № 4. С. 3-20.

3. В. А. Артамонов. Решетки многообразий линейных алгебр // Успехи мат. наук. 1978. Т. 33, № 2. С. 135-168.

4. В. А. Артамонов. Цепные многообразия групп // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 1978. Вып. 3. С. 3-8.

5. В. А. Артамонов. Решетки многообразий // Упорядоч. множества и решетки. Саратов, 1983. Вып. 7. С. 97-106.

6. В. А. Артамонов. Универсальные алгебры // "Общая алгебра". Т. 2. М.: Наука. 1991. Гл. VI. С. 295-367.

7. А. Ю. Бахтурин. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985.

8. А. Ю. Бахтурин, Ю. А. Ольшанский. Тождества // Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. Соврем, проблемы матем. Фундам. направления. 1988. Т. 18 (Алгебра^). С. 117-240.

9. А. П. Бирюков. Многообразия идемпотентных полугрупп // Алгебра и логика. 1970. Т. 9, № 3. С. 255-273.

10. А. П. Бирюков. О полугрупповых многообразиях конечной ширины // XVIII Всес. алгебраич. конф.: Тез. сообщ. Ч. 1. Кишинев, 1985. С. 54.

11. Б. К. Богута. О покрытиях многообразий и удвоении решеток // Гомоморфизмы. Л., 1988. С. 10-17.

12. Б. К. Богута, А. М. Николаев. Заметка о покрытиях полугрупповых многообразий // Соврем, алгебра. Группоиды и их гомоморфизмы. Л., 1980. С. 12-17.

13. А. П. Бощенко. Псевдодополнения в решетке конгруэнций унаров // Алгебраич. системы. Волгоград, 1989. С. 23-39.

14. А. И. Будкин, В. А. Горбунов. К теории квазимногообразий алгебраических систем // Алгебра и логика. 1975. Т. 14, № 2. С. 123-142.

15. Ю. М. Важенин. Разрешимость теорий первого порядка классов полугрупп II Алгебраич. системы и их многообразия. Свердловск, 1988. С. 23-40.

16. Б. М. Верников. О многообразиях полугрупп, решетка подмногообразий которых разложима в прямое произведение // Алгебраич. системы и их многообразия. Свердловск, 1988. С. 41-52.

17. Б. М. Верников. Квазицепные многообразия полугрупп // Исслед. алгебра-ич. систем. Свердловск, 1989. С. 31-36.

18. Б. М. ВЕРНИКОВ. Тождества и квазитождества в решетках псевдомногообразий // Изв. вузов. Матем. 1993. № 3. С. 40-50. (Исправл.: Изв. вузов. Матем. 1996. № 6. С. 84-85.)

19. Б. М. ВЕРНИКОВ, М. В. Волков. Дополнения в решетках многообразий и квазимногообразий // Изв. вузов. Матем. 1982. № 11. С. 17-20.

20. Б. М. Верников, М. В. Волков. Решетки нильпотентных многообразий полугрупп II Алгебраич. системы и их многообразия. Свердловск, 1988. С. 5365.

21. Б. М. Верников, М. В. Волков. Решетки нильпотентных многообразий полугрупп. II // Изв. Урал. гос. ун-та. 1998. № 10. (Матем., механ. Вып. 1.) С.13-33.

22. Б. М. Верников, М. В. Волков. Строение решеток многообразий нилъпо-лугрупп II Изв. Урал. гос. ун-та. 2000. № 18. (Матем., механ. Вып. 3.) С. 34-52.

23. М. В. Волков. Пронилъпотентные многообразия универсальных алгебр // Исслед. по алгебраич. системам. Свердловск, 1984. С. 39-41.

24. М. В. Волков. Многообразия полугрупп с модулярной решеткой подмногообразий 11 Изв. вузов. Матем. 1989. № 6. С. 48-58.28. м. в. волков. Многообразия полугрупп с модулярной решеткой подмногообразий. II // Изв. вузов. Матем. 1992. № 7. С. 3-8.

25. М. В. ВОЛКОВ. Многообразия полугрупп с модулярной решеткой подмногообразий. III // Изв. вузов. Матем. 1992. № 8. С. 21-29.30. м. в. волков. Многообразия полугрупп с модулярной решеткой подмногообразий // Докл. РАН. 1992. Т. 326, № 3. С. 409-413.

26. М. В. Волков. Тождества в решетках многообразий полугрупп. Дисс. д-ра физ.-мат. наук. Екатеринбург, 1994.

27. М. В. Волков. Полумодулярные и дезарговы многообразия полугрупп: тождества II Изв. Урал. гос. ун-та. 2002. № 22. (Матем., механ. Вып. 4.) С. 4361.

28. А. Г. Гейн. Алгебры Ли с ограничениями на подалгебры. Свердловск, 1989.

29. Э. А. Голувов, М. В. Сапир. Финитно аппроксимируемые многообразия полугрупп // Докл. АН СССР. 1979. Т. 247, № 5. С. 1037-1041.

30. Э. А. Голувов, М. В. Сапир. Финитно аппроксимируемые многообразия полугрупп II Урал. гос. ун-т. Свердловск, 1981. 20 с. Деп. в ВИНИТИ 09.10.81. № 4739-81Деп.

31. Э. А. Голувов, М. В. Сапир. Финитно аппроксимируемые многообразия полугрупп 11 Изв. вузов. Матем. 1982. № 11. С. 21-29.

32. В. А. Горбунов. Алгебраическая теория квазимногообразий. Новосибирск: Научн. кн., 1999.

33. Г. Гретцер. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982.

34. Днестровская тетрадь. Нерешенные проблемы теории колец и модулей. 2-е изд. Новосибирск. 1976.

35. Г. Г. ДядЧЕНКО. О тождествах на моногенных инверсных полугруппах / / Алгебра и теория чисел. Нальчик, 1977. Вып. 2. С. 57-77.

36. Д. П. Егорова. Унары со структурой конгруэнций специального вида // Исслед. по алгебре. Саратов, 1977. Вып. 5. С. 3-19.

37. Д. П. Егорова. Структура конгруэнций унаров // Волгогр. гос. пед. ин-т. Волгоград, 1977. 41 с. Деп. в ВИНИТИ 26.08.77. № 3465-77Деп.

38. Д. П. Егорова. Структура конгруэнций унарной алгебры // Упорядоч. множества и решетки. Саратов, 1978. Вып. 5. С. 11-44.

39. Д. П. Егорова, J1. А. Скорняков. О структуре конгруэнций унарной алгебры // Упорядоч. множества и решетки. Саратов, 1977. Вып. 4. С. 28-40.

40. С. В. ИВАНОВ. О нескольких вопросах теории многообразий групп // Ме-ждунар. конф. по алгебре, посвящ. памяти А. И. Мальцева: Тез. докл. по теории групп. Новосибирск, 1989. С. 49.

41. В. И. Игошин, А. В. Михалев, В. Н. Салий, J1. А. Скорняков. Конкретные решетки // Упорядоч. множества и решетки. II. Братислава, 1988. С. 241-321.

42. Я. калицки, Д. Скотт. Эквациональная полнота абстрактных алгебр // Киберн. сб. 1961. № 2. С. 41-52.

43. Е. И. Клейман. О структуре многообразий инверсных полугрупп // Изв. вузов. Матем. 1976. № 7. С. 106-109.

44. Е. И. Клейман. Некоторые свойства структуры многообразий инверсных полугрупп // Исслед. по соврем, алгебре. Свердловск, 1977. С. 56-72. (Исп-равл.: Исслед. по соврем, алгебре. Свердловск, 1979. С. 207.)

45. Е. И. Клейман. О композите групповых и комбинаторных многообразий инверсных полугрупп // Свердл. гос. пед. ин-т. Свердловск, 1980. 15 с. Деп. в ВИНИТИ 31.07.80. № 3381-80Деп.

46. А. Клиффорд, Г. Престон. Алгебраическая теория полугрупп. Т. 1. М.: Мир, 1972.

47. С. Р. КОГАЛОВСКИЙ. О решетках многообразий унарных алгебр // Иванов. инж.-строит, ин-т. Иваново, 1984. 20 с. Деп. в ВИНИТИ 23.07.84. № 5280-84Деп.

48. Н. А. Колганов. Аномальные и покрывающие их многообразия полугрупп с тождеством х = х3 // Чечено-Ингуш. ун-т. Грозный, 1981. 8 с. Деп. в ВИНИТИ 16.03.81. № 1185-8Щеп.

49. С. Г. Колесник. О многообразиях полугрупп // Херсон, гос. пед. ин-т. Херсон, 1979. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 31.08.79. № 3197-79Деп.

50. Ф. Ф. Лысенко. Многообразия t-архимедовых полугрупп // Соврем, алгебра. Л., 1978. С. 134-142.

51. С. А. Малышев. О решетке подмногообразий многообразия H(xix2 ■1 • хп — XiX2 • ■ ху = ух) j/ Полугрупповые многообразия и полугруппы эндоморфизмов. Л., 1979. С. 111-122.

52. С. А. Малышев. О перестановочных многообразиях полугрупп, решетка подмногообразий которых конечна // Соврем, алгебра. Полугрупповые конструкции. Л., 1981. С. 81-86.

53. А. И. Мальцев. О некоторых пограничных вопросах алгебры и логики // Тр. Междунар. конгресса математиков (Москва, 1966 г.). М., 1968. С. 217-231.

54. А. И. Мальцев. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

55. Т. А. Мартынова. Группоид ^-приведенных многообразий полугрупп // Исслед. по соврем, алгебре. Свердловск, 1979. С. 96-115.

56. Г. И. Машевицкий. О тождествах в многообразии вполне простых полугрупп над абелевыми группами // Соврем, алгебра. Л., 1978. С. 81-89.

57. И. И. МЕЛЬНИК. О многообразиях 0,-алгебр // Исслед. по алгебре. Саратов, 1969. С. 32-40.

58. И. И. Мельник. О многообразиях и решетках многообразий полугрупп // Исслед. по алгебре. Саратов, 1970. Вып. 2. С. 47-57.

59. И. И. Мельник. Об одном семействе многообразий полугрупп // Изв. вузов. Матем. 1971. № 12. С. 103-108.

60. И. И. Мельник. Описание некоторых решеток многообразий полугрупп // Изв. вузов. Матем. 1972. № 7. С. 65-74.

61. И. И. Мельник. Нильпотентные сдвиги многообразий // Мат. заметки.1973. Т. 14, № 5. С. 703-712.

62. И. И. Мельник. Мажорантные сдвиги многообразий // Исслед. по алгебре. Саратов, 1974. Вып. 4. С. 70-78.

63. И. И. Мельник, О. К. Шиловская. Точные пары на решетках многообразий // Херсон, гос. пед. ин-т. Херсон, 1979. 22 с. Деп. в ВИНИТИ 31.08.79. № 3196-79Деп.

64. И. И. Мельник, О. К. Шиловская. Многообразия полугрупп и решетки многообразий // Междунар. конф. по алгебре, посвящ. памяти А. И. Мальцева: Тез. докл. по теории моделей и алгебраич. систем. Новосибирск, 1989. С. 77.

65. А. В. Михалев, В. Н. Салий, J1. А. Скорняков. Конкретные решетки // Упорядоч. множества и решетки. Братислава, 1985. С. 181-244.

66. П. Перкинс. Базисы для эквационалъных теорий полугрупп // Киберн. сб.1974. № 11. С. 5-23.

67. А. Г. ПинУС. Конгруэнц-модулярные многообразия алгебр. Иркутск: Изд-во Иркутск, ун-та, 1986.

68. А. Г. ПиНУС. Конгруэнц-дистрибутивные многообразия алгебр // Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. Алгебра. Топология. Геометрия. 1988. Т. 26. С. 45-84.

69. В. В. Расин. Свободные вполне простые полугруппы // Исслед. по соврем, алгебре. Свердловск, 1979. С. 140-151.

70. В. В. Расин. Свободные вполне простые полугруппы // Изв. вузов. Матем. 1980. № 4. С. 98-100.

71. В. В. Расин. О многообразиях клиффордовых полугрупп // Ред. Сиб. мат. ж. Новосибирск, 1980. 31 с. Деп. в ВИНИТИ 19.06.80. № 2497-80Деп.

72. В. В. Расин. Многообразия ортодоксальных клиффордовых полугрупп // Изв. вузов. Матем. 1982. № 11. С. 82-85.

73. В. В. Расин. О многообразиях клиффордовых полугрупп конечной dt-шири-ны // XVII Всес. алгебраич. конф.: Тез. сообщ. Ч. 2. Минск, 1983. С. 193-194.

74. В. Н. Салий. Эквационалъно нормальные многообразия полугрупп // Изв. вузов. Матем. 1969. № 5. С. 32-40.

75. В. Н. Салий. Решетки многообразий. Решеточные отношения. Упорядоченные множества // Упорядоч. множества и решетки. Саратов, 1975. Вып. 3. С. 75-100.

76. В. Н. Салий, Л. А. Скорняков. Решетки 11 "Общая алгебра". Т. 2. М.: Наука, 1991. Гл. V. С. 192-294.

77. М. В. Сапир, M. В. Волков. Решетпочно универсальные многообразия полугрупп II Междунар. конф. по алгебре, посвящ. памяти А. И. Ширшова (Барнаул, 1991): Тез. докл. по логике и универсальным алгебрам, прикл. алгебре. Новосибирск, 1991. С. 125.

78. М. В. Сапир, Е. В. Суханов. О многообразиях периодических полугрупп и Изв. вузов. Матем. 1981. № 4. С. 48-55.

79. Свердловская тетрадь. Нерешенные задачи теории полугрупп. Свердловск, 1979. 2-е изд.

80. Свердловская тетрадь. Нерешенные задачи теории полугрупп. Свердловск, 1989. Вып. 3.

81. M. судзуки. Строение группы и строение структуры ее подгрупп. M.: ИЛ, 1960.

82. Е. В. Суханов. Почти линейные многообразия полугрупп // Мат. заметки. 1982. Т. 32, № 4. С. 469-476.

83. Е. В. Суханов. Многообразия полугрупп ширины 2 // Исслед. алгебраич. систем по свойствам их подсистем. Свердловск, 1985. С. 148-152.

84. А. В. Тищенко. Пример объединения многообразий полугрупп, одно из которых — атом // XVI Всес. алгебраич. конф.: Тез. Ч. 2. Л., 1981. С. 132.

85. В. А. Фортунатов. О решетке подмногообразий многообразия полугрупп, задаваемого тождеством (ху)пх = х // Всес. алгебраич. симпозиум: Тез. докл. Ч. 2. Гомель, 1975. С. 460.

86. Д. Хобби, Р. Маккензи. Строение конечных алгебр. М.: Мир, 1993.

87. Л. Н. Шеврин. О полугруппах, все собственные подполугруппы которых нильпотентны // Сиб. мат. ж. 1961. Т. 2, № 6. С. 936-942.

88. Л. Н. шеврин. О разложении квазипериодической полугруппы в связку архимедовых полугрупп // XIV Всес. алгебраич. конф.: Тез. докл. Ч. 1. Новосибирск, 1977. С. 104-105.

89. Л. Н. ШЕВРИН. Полугрупп многообразие // Матем. энциклопедия. Т. 4. М.: Советская энциклопедия, 1984. С. 440-441.

90. Л. Н. Шеврин. Полугруппы // "Общая алгебра". Т. 2. М.: Наука, 1991. Гл. IV. С. 11-191.

91. Л. Н. Шеврин. К теории эпигрупп. I // Матем. сб. 1994. Т. 185, № 8. С. 129160.

92. Л. Н. Шеврин. К теории эпигрупп. II // Матем. сб. 1994. Т. 185, № 9. С. 153-176.

93. Л. Н. Шеврин, М. В. Волков. Тождества полугрупп // Изв. вузов. Матем. 1985. № 11. С. 3-46.

94. Л. Н. Шеврин, А. Я. Овсянников. Полугруппы и их подполугрупповые решетки. Ч. 1. Свердловск: Изд-во Урал, ун-та, 1990.

95. Л. Н. Шеврин, Е. В. Суханов. Структурные аспекты теории многообразий полугрупп II Изв. вузов. Матем. 1989. № 6. С. 3-39.

96. О. К. шиловская. Структура L-многообразий // Ред. Сиб. мат. ж. Новосибирск, 1978. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 20.07.78. № 2488-78Деп.

97. О. К. шиловская. Решетка специальных многообразий полугрупп jI Херсон, гос. пед. ин-т. Херсон, 1981. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 02.07.81. № 3269-81Деп.

98. О. К. Шиловская. Описание многообразий 8-полугрупп // Херсон, гос. пед. ин-т. Херсон, 1983. 16 с. Деп. в "Укр. НИИНТИ 30.06.83. № 650Ук-Д83.

99. О. К. шиловская. Многообразия полугрупп и совершенные связки // Ред. Сиб. мат. ж. Новосибирск, 1987. 26 с. Деп. в ВИНИТИ 20.01.87. № 421-В87Деп.

100. С. L. Adair. Bands which admit an involution // Proc. Symp. on Regular Semigroups. De Kalb, 1979. P. 1-10.

101. C. L. Adair. Bands with involutions 11 J. Algebra. 1982. Vol. 75, № 2. P. 297314.

102. P. Agliano. Congruence semimodularity and identities // Algebra Universalis. 1990. Vol. 27, № 4. P. 600-601.

103. P. Agliano, K. A. Kearnes. Congruence semimodular varieties. I: Locally finite varieties // Algebra Universalis. 1994. Vol. 32, № 2. P. 224-269.

104. P. Agliano, K. A. Kearnes. Congruence semimodular varieties. II: Regular varieties // Algebra Universalis. 1994. Vol. 32, № 2. P. 270-296.

105. P. Agliano, J. В. Nation. Lattices of pseudovarieties // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1989. Vol. 46, № 2. P. 177-183.

106. A. Ja. Aizenstat. On varieties of semigroups having a finite number of sub-varieties // Algebraic Theory of Semigroups. (Colloq. Math. Soc. J. Bolyai. Vol. 20.) Amsterdam. 1979. P. 33-41.

107. A. Ja. Aizenstat. Some varieties with a distributive lattice of subvarieties II Semigroups. Structure and Universal Algebraic Problems. (Colloq. Math. Soc. J. Bolyai. Vol. 39.) Amsterdam, 1985. P. 15-20.

108. J. Almeida. Some order properties of the lattice of varieties of commutative semigroups // Canad. J. Math. 1986. Vol. 38, № 1. P. 19-47.

109. J. Almeida. Semigrupos Finitos e Algebra Universal. Sao Paulo: Universidade de Sao Paulo, 1992.

110. J. Almeida. Finite Semigroups and Universal Algebra. Singapore: World Scientific, 1994.

111. K. Auinger. Strict regular *-semigroups // Proc. Conf. on Semigroups with Applications (Oberwolfach, 1991). Singapore: World Scientific, 1992. P. 190-204.

112. K. Auinger. Bifree objects in e-varieties of strict orthodox semigroups and the lattice of strict orthodox *-semigroup varieties // Glasgow J. Math. 1993. Vol. 35, № 1. P. 25-37.

113. K. Auinger, J. Doyle, P. R. Jones. On existence varieties of locally inverse semigroups // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1994. Vol. 115, № 2. P. 197-217.

114. A. AzEVEDO. The join of pseudovariety J with permutative pseudovarieties // Lattices, Semigroups, and Universal Algebras. N. Y. & London: Plenum Press, 1990. P. 1-11.

115. J. Berman. On the congruence lattices of unary algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 36, JV* 1. P. 34-38.

116. G. Birkhoff. On the structure of abstract algebras // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1935. Vol. 31, № 4. P. 433-454.

117. G. birkhoff. Universal algebra // Proc. First Canad. Math. Congress (Montreal, 1945). Toronto: Univ. of Toronto Press, 1946. P. 310-326.

118. S. Burris, E. Nelson. Embedding the dual of П,» in the lattice of equational classes of semigroups // Algebra Universalis. 1971. Vol. 1, № 2. P. 248-254.

119. S. burris, e. Nelson. Embedding the dual of nm in the lattice of equational classes of commutative semigroups // Proc. Amer. Math. Soc. 1971. Vol. 30, № 1. P. 37-39.

120. W. H. Carlisle III. Some Problems in the Theory of Semigroup Varieties. PhD Thesis. Emory Univ. Atlanta, 1970.

121. A. H. Clifford, G. B. Preston. The Algebraic Theory of Semigroups. Vol. I. Amer. Math. Soc. Providence, 1961.

122. D. Cowan. Some infinite chains in the lattice of varieties of inverse semigroups 11 Pacif. J. Math. 1991. Vol. 151, № 1. P. 21-42.

123. P. Crawley, R. P. Dilworth. Algebraic Lattice Theory. N. Y.: Prentice-Hall, 1973.

124. G. Czedli. Weak congruence semidistributivity laws and their conjugates // Acta Math. Univ. Comen. 1999. Vol. 68, № 1. P. 153-170.

125. J. Dudek, A. kisielewicz. Totally commutative semigroup varieties // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1991. Vol. 51, № 3. P. 381-399.

126. M. Erne. Weak distributive laws and their role in lattices of congruences and equational theories // Algebra Universalis. 1988. Vol. 25, № 3. P. 290-321.

127. T. Evans. The lattice of semigroup varieties // Semigroup Forum. 1971. Vol. 2, № 1. P. 1-43.

128. C. F. Fennemore. All varieties of bands // Semigroup Forum. 1970. Vol. 1. p. 172-179.

129. C. F. Fennemore. All varieties of bands. I // Math. Nachr. 1971. Vol. 48, № 1-6. P. 237-252.

130. C. F. Fennemore. All varieties of bands. II 11 Math. Nachr. 1971. Vol. 48, № 1-6. P. 253-262.138. r. freese. Finitely based modular congruence varieties are distributive // Algebra Universalis. 1994. Vol. 32, № 1. P. 104-114.

131. R. freese, B. jonsson. Congruence modularity implies the Arguesian identity 11 Algebra Universalis. 1976. Vol. 6. P. 225-228.

132. R. Freese, R. N. McKenzie. Commutator Theory for Congruence Modular Varieties. London, 1987. (London Math. Soc. Lect. Notes Ser. Vol. 125.)

133. J. A. Gerhard. The lattice of equational classes of idempotent semigroups // J. Algebra. 1970. Vol. 15, № 2. P. 195-224.

134. J. A. Gerhard. Semigroups with an idempotent power. II. The lattice of equational subclasses of (a?j/)2 = xy] // Semigroup Forum. 1977. Vol. 14, № 4. P. 375-388.

135. J. A. Gerhard, M. Petrich. All varieties of regular orthogroups // Semigroup Forum. 1985. Vol. 31, JY« 3. P. 311-351.

136. J. A. Gerhard, M. Petrich. Varieties of bands revisited // Proc. London Math. Soc. (3). 1989. Vol. 58, № 2. P. 323-350.

137. P. GORALCIK. Avoidable words and lattice universal semigroup varieties // Publ. Inst. Rech. Math. Avan. (22 Semin. Lotharing Comb. Hesselberg, 28-30 Sept. 1989).1990. № 414. P. 81-87.

138. G. Gratzer. General Lattice Theory. 2nd. ed., Basel: Birkhauser Verlag, 1998.

139. G. Gratzer. Varieties of lattices // The Concise Handbook of Algebra. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publ., 2002. P. 442-446.

140. G. Gratzer, H. Lakser. The lattice of quasivarieties of lattices // Algebra Universalis. 1979. Vol. 9, № 1. P. 102-115.

141. M. D. Haiman. Arguesian lattices which are not linear // Bull. Amer. Math. Soc. 1987. Vol. 16. P. 121-124.

142. M. D. Haiman. Arguesian lattices which are not type-1 // Algebra Universalis.1991. Vol. 28, JV« 1. P. 128-137.

143. Т. E. Hall. Regular semigroups: amalgamation and the lattice of existence varieties // Algebra Universale. 1991. Vol. 28, № 1. P. 79-102.

144. Т. E. Hall, K. G. Johnston. On the lattice of pseudovarieties of inverse semigroups // Pacif. J. Math. 1989. Vol. 138, № 1. P. 73-88.

145. Т. E. Hall, P. R. Jones. On the lattice of varieties of bands of groups // Pacif. J. Math. 1980. Vol. 91, № 2. P. 327-337.

146. T. J. Head. The lattice of varieties of commutative monoids // Nieuw Arch. Wiskunde. Ill Ser. 1968. Vol. 16. P. 203-206.

147. D. Hobby, R. N. McKenzie. The Structure of Finite Algebras. Amer. Math. Soc., 1988.

148. J. Jezek. Primitive classes of algebras with unary and nullary operations // Colloq. Math. 1969. Vol. 20, № 2. P. 159-179.

149. J. jezek. Intervals in lattices of varieties // Algebra Universalis. 1976. Vol. 6, № 2. P. 147-158.

150. J. Jezek. The lattice of equational theories. Part I: modular elements // Czechosl. Math. J. 1981. Vol. 31, № 1. P. 127-152.

151. J. Jezek, R. N. McKenzie. Definability in the lattice of equational theories of semigroups // Semigroup Forum. 1993. Vol. 46, № 2. P. 199-245.

152. J. Jezek, p. pudlak, J. Tuma. On equational theories of semilattices with operators // Bull. Austral. Math. Soc. 1990. Vol. 42, № 1. P. 57-70.

153. P. Jipsen, H. Rose. Varieties of Lattices. Berlin: Springer-Verlag, 1992. (Lect. Notes Math. Vol. 1533.)

154. P. R. Jones. Universal aspects of completely simple semigroups // Semigroups. N. Y.: Academic Press, 1980. P. 27-46.

155. P. R. Jones. Completely simple semigroups: free products, free semigroups and varieties // Proc. Royal Soc. Edinburgh. 1981. Vol. 88A. P. 293-313.

156. P. R. Jones. On the lattice of varieties of completely regular semigroups // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1983. Vol. 35, № 2. P. 227-235.

157. P. R. Jones. Distributive, modular, and separating elements in lattices // Rocky Mountain Math. J. 1983. Vol. 13, № 3. P. 429-436.

158. P. R. Jones. Mal'cev product of varieties of completely regular semigroups // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1987. Vol. 42, № 2. P. 227-246.

159. P. R. Jones. Congruence semimodular varieties of semigroups // Lect. Notes Math. 1988. Vol. 1320. P. 162-171.

160. B. jonsson. On the representation of lattices I j Math. Scand. 1953. Vol. 1, № 1. P. 193-206.

161. B. jonsson. The class of Arguesian lattices is self-dual // Algebra Universalis. 1972. Vol. 2, № 3. P. 396.

162. B. Jonsson. Congruence varieties // Algebra Universalis. 1980. Vol. 10, № 3. P. 355-394.

163. J. Kalicki, D. Scott. Equationally completeness in abstract algebras // Proc. Konikl. Nederl. Akad. Wetensch. Ser. A. 1955. Vol. 58, № 17. P. 650-659.

164. K. A. KEARNES. Congruence lower semimodularity and 2-finitness imply congruence modularity I j Algebra Universalis. 1991. Vol. 28, № 1. P. 1-11.

165. K. A. kearnes. Congruence permutable and congruence 3-permutable locally finite varieties 11 J. Algebra. 1993. Vol. 156, № 1. P. 36-49.

166. K. A. Kearnes. Congruence join semidistributivity is equivalent to a congruence identity // Algebra Universalis. 2001. Vol. 46, № 3. P. 373-387.

167. T. Kepka. Varieties of left distributive semigroups // Acta Univ. Carol. Math, et Phis. 1984. Vol. 25, № 1. P. 3-18.

168. O. G. Kharlampovich, M. V. Sapir. Algorithmic problems in varieties // Int. J. Algebra Comput. 1995. Vol. 5, № 4-5. P. 379-602.

169. A. Kisielewicz. All pseudovarieties of commutative semigroups // Proc. Conf. on Semigroups with Applications (Oberwolfach, 1991). Singapore: World Scientific, 1992. P. 78-89.

170. A. Kisielewicz. Varieties of commutative semigroups // Trans. Amer. Math. Soc. 1994. Vol. 342, № 1. P. 275-306.

171. A. Kisielewicz. Permutability class of a semigroup // J. Algebra. 2000. Vol. 226, № 1. P. 295-310.

172. Е. I. Kleiman. On basis of identities of Brandt semigroups // Semigroup Forum. 1977. Vol. 13, № 3. P. 209-218.

173. I. O. Korjakov. A scetch of the lattice of commutative nilpotent semigroup varieties // Semigroup Forum. 1982. Vol. 24, № 4. P. 285-317.

174. Ju. G. Koselev. Varieties preserved under wreath product // Semigroup Forum. 1976. Vol. 12, № 2. P. 95-107.

175. W. A. Lampe. A property of the lattice of equational theories // Algebra Universalis. 1986. Vol. 23, № 1. P. 61-69.

176. W. A. Lampe. Further properties of lattices of equational theories // Algebra Universalis. 1991. Vol. 28, № 4. P. 459-486.

177. W. A. Lampe. A perspective on algebraic representations of lattices // Algebra Universalis. 1994. Vol. 31, № 3. P. 337-364.

178. E. W. Lee. On the Lattice of Rees-Sushkevich Varieies. PhD Thesis. Simon Eraser Univ. Burnaby, 2002.

179. J. G. Lee. Almost distributive lattice varieties // Algebra Universalis. 1985. Vol. 21, № 2-3. P. 280-304.

180. S.-M. Lee. Lattice of equational subclasses of distributive semigroups // Nanta Math. 1976. Vol. 9, № 1. P. 65-69.

181. P. Lipparini. Congruence identities satisfied in n-permutable varieties // Boll. Unione Math. Ital., VII Ser. 1994. Vol. B8, № 4. P. 851-868.

182. P. Lipparini. n-permutable varieties satisfy поп trivial congruence identities // Algebra Universalis. 1995. Vol. 33, № 2. P. 159-168.

183. R. N. MCKENZIE. Equational bases for lattice theories // Math. Scand. 1970. Vol. 27, № 1. P. 24-38.

184. R. N. McKenzie, G. F. McNulty, W. F. Taylor. Algebras. Lattices. Varieties. Vol. I. Monterey: Wadsworth & Brooks/Cole, 1987.

185. G. F. McNulty. Structural diversity in lattices of equational theories // Algebra Universalis. 1981. Vol. 13, № 3. P. 271-292.

186. E. NELSON. The lattice of equational classes of semigroups with zero // Canad. Math. Bull. 1971. Vol. 14, JV* 4. P. 531-534.

187. E. Nelson. The lattice of equational classes of commutative semigroups // Canad. J. Math. 1971. Vol. 23, № 5. P. 575-595.

188. В. H. Neumann. Identical relations in groups. I // Math. Ann. 1937. Vol. 114. P. 506-525.

189. N. Newrly. Lattices of equational theories are congruence lattices of monoids with one additional unary operation // Algebra Universalis. 1993. Vol. 30, № 2. P. 217-222.

190. P. P. PALFY, P. Pudlak. Congruence lattices of finite algebras and intervals in subgroup lattices of finite groups // Algebra Universalis. 1980. Vol. 11, № 1. P. 22-27.

191. F. J. Pastijn. The lattice of completely regular semigroup varieties // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1990. Vol. 49, № 1. P. 24-42.

192. F. J. pastijn. Commuting fully invariant congruences on free completely regular semigroups // Trans. Amer. Math. Soc. 1991. Vol. 323, № 1. P. 79-92.

193. F. J. Pastijn. Pseudovarieties of completely regular semigroups // Semigroup Forum. 1991. Vol. 42, № 1. P. 1-46.

194. F. J. Pastijn. Pseudovarieties of completely regular monoids // Monoids and Semigroups with Applications. Singapore: World Scientific, 1991. P. 171-183.

195. F. J. Pastijn, P. G. Trotter. Lattices of completely regular semigroup varieties // Pacif. J. Math. 1985. Vol. 119, № 1. P. 191-214.

196. F. J. Pastijn, P. G. Trotter. Free bands of abelian groups // Proc. London Math. Soc. (3). 1991. Vol. 63, № 2. P. 344-370.

197. P. Perkins. Bases for equational theories of semigroups // J. Algebra. 1969. Vol. 11, № 2. P. 298-314.

198. M. Petrich. All subvarieties of a certain variety of semigroups // Semigroup Forum. 1974. Vol. 7, № 1-4. P. 104-152.

199. M. Petrich. Varieties of orthodox bands of groups // Pacif. J. Math. 1975. Vol. 58, № 1. P. 209-217.

200. M. Petrich. Certain varieties and quasivarieties of completely regular semigroups 11 Canad. J. Math. 1977. Vol. 29, № 6. P. 1171-1197.

201. M. Petrich. On the varieties of completely regular semigroups // Semigroup Forum. 1982. Vol. 25, № 1-2. P. 153-169.

202. M. Petrich. Inverse Semigroups. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1984.

203. M. PETRICH. Certain varieties of completely regular *-semigroups // Boll. Unione Math. Ital., VI Ser. 1985. Vol. B4. P. 343-370.

204. M. Petrich, N. R. Reilly. Varieties of groups and of completely simple semigroups // Bull. Austral. Math. Soc. 1981. Vol. 23, № 3. P. 339-359.

205. M. Petrich, N. R. Reilly. All varieties of central completely simple semigroups // Trans. Amer. Math. Soc. 1983. Vol. 280, № 2. P. 623-636.

206. M. Petrich, N. R. Reilly. Certain homomorphisms of the lattice of varieties of completely simple semigroups // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1984. Vol. 37, № 3. P. 287-306.

207. M. Petrich, N. R. Reilly. The join of the varieties of strict inverse semigroups and rectangular bands // Glasgow Math. J. 1984. Vol. 25, № 1. P. 59-74.

208. M. Petrich, N. R. Reilly. The modularity of the lattice of varieties of completely regular semigroups and related representations // Glasgow Math. J. 1990. Vol. 32, № 2. P. 137-152.

209. M. Petrich, N. R. Reilly. Completely Regular Semigroups. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1999.

210. A. G. PlNUS, Y. Katsov. Congruence modular varieties // The Concise Handbook of Algebra. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publ., 2002. P. 469-474.

211. L. Polak. On varieties of completely regular semigroups. I // Semigroup Forum. 1985. Vol. 32, № 1. P. 97-123.

212. L. Polak. On varieties of completely regular semigroups. II // Semigroup Forum.1987. Vol. 36, № 3. P. 253-284.

213. L. Polak. On varieties of completely regular semigroups. Ill // Semigroup Forum.1988. Vol. 37, № 1. P. 1-30.

214. L. Polak. All solid varieties of semigroups // J. Algebra. 1999. Vol. 219, № 2. P. 421-436.

215. Gy. Pollak. On the consequences of permutation identities j j Acta Sci. Math. (Szeged). 1973. Vol. 34. P. 323-333.

216. P. Pudlak, J. Tuma. Every finite lattice can be embedded in a finite partition lattice /1 Algebra Universalis. 1980. Vol. 10, № 1. P. 74-95.

217. V. V. Rasin. On the lattice of varieties of completely simple semigroups // Semigroup Forum. 1979. Vol. 17, № 2. P. 113-122.

218. V. V. Rasin. On the varieties of Cliffordian semigroups // Semigroup Forum. 1981. Vol. 23, № 3. P. 201-220.

219. N. R. Reilly. Varieties of inverse semigroups // Proc. Conf. on Semigroups. The Tulane Univ. of Louisiana. New Orleans, 1979. P. 85-93.

220. N. R. Reilly. Varieties of completely semisimple inverse semigroups // J. Algebra. 1980. Vol. 65, № 2. P. 427-444.

221. N. R. Reilly. Modular sublattices of the lattice of varieties of inverse semigroups // Pacif. J. Math. 1980. Vol. 89, № 2. P. 405-417.

222. N. R. Reilly. Varieties of completely regular semigroups // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1985. Vol. 38. P. 372-393.

223. N. R. Reilly. Kernel and trace in inverse semigroups // Semigroups. Structure and Universal Algebraic Problems. (Colloq. Math. Soc. J. Bolyai. Vol. 39.) Amsterdam, 1985. P. 347-375.

224. N. R. Reilly. On the lattice of varieties of completely regular semigroups // Semigroups and their Applications. Dordrecht: D. Reidel Publ., 1987. P. 153-167.

225. N. R. Reilly. Completely regular semigroups // Lattices, Semigroups, and Universal Algebras. N. Y. & London: Plenum Press, 1990. P. 225-242.

226. N. R. Reilly. Varieties of inverse semigroups // Monash Conf. on Semigroup Theory in honour of G. B. Preston. Singapore: World Scientific, 1991. P. 246-257.

227. M. V. Sapir. On Cross semigroup varieties and related questions // Semigroup ' Forum. 1991. Vol. 42, № 3. P. 345-364.

228. R. Schmidt. Subgroup Lattices of Groups. Berlin: Walter de Gruyter, 1994.

229. R. Schwabauer. The Lattice of Closed Sets of Commutative Semigroup Equations. PhD Thesis. Univ. of Nebraska. Lincoln, 1966.

230. R. SCHWABAUER. A note on commutative semigroups // Proc. Amer. Math. Soc. 1969. Vol. 20, № 2. P. 503-504.

231. R. Schwabauer. Commutative semigroup laws // Proc. Amer. Math. Soc. 1969. Vol. 22, № 3. P. 591-595.

232. L. N. Sevrin, L. M. Martynov. Attainability and solvability for classes of algebras // Semigroups. Structure and Universal Algebraic Problems. (Colloq. Math. Soc. J. Bolyai. Vol. 39.) Amsterdam, 1985. P. 397-459.

233. L. N. shevrin, A. Ja. ovsyannikov. Semigroups and their subsemigroup lattices U Semigroup Forum. 1983. Vol. 27, № 1-4. P. 1-154.

234. L. N. Shevrin, A. Ja. Ovsyannikov. Semigroups and their Subsemigroup Lattices. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publ., 1996.

235. L. N. Shevrin, M. V. Volkov. Varieties of semigroups // The Concise Handbook of Algebra. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publ., 2002. P. 5862.

236. L. A. Skornjakov. Complements in the congruence lattice of a polygon over a commutative monoid // Lattice Theory Proc. Colloq. Szeged, 1974. Amsterdam, 1976. P. 395-412.

237. L. A. Skornjakov. Unars // Colloq. Math. Soc. J. Bolyai. 1982. Vol. 29. P. 735743.

238. M. Stern. Semimodular Lattices. Theory and Applications. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.

239. H. Subramanian, T. R. Sundararaman. Precomplete varieties of semigroups 11 Semigroup Forum. 1974. Vol. 8, № 1. P. 3-15.

240. M. Suzuki. Structure of Groups and Stucture of Lattices of their Subgroups. Berlin: Springer-Verlag, 1956.

241. A. Szendrei. Clones in Universal Algebras. Montreal: Les presses de l'Universit£ de Montreal, 1986.

242. W. F. Taylor. Equational logic // Houston J. Math. 1979. Surv. P. i-iii, 1-69.

243. P. G. Trotter. Subdirect decompositions of the lattice of varieties of completely regular semigroups // Bull. Austral. Math. Soc. 1989. Vol. 39, JY® 3. P. 343-351.

244. E. J. Tully. Representation of a Semigroup by Transformations of a Set. PhD Thesis. The Tulane Univ. of Louisiana. New Orleans, 1960.

245. E. J. Tully. The equivalence, for semigroup varieties, of two properties concerning congruence relations // Bull. Amer. Math. Soc. 1964. Vol. 70, № 3. P. 399-400.

246. C. vachuska. On the lattice of completely regular monoid varieties // Semigroup Forum. 1993. Vol. 46, № 2. P. 168-186.

247. В. M. Vernikov. Semicomplements in lattices of varieties // Algebra Universalis. 1992. Vol. 29, JY* 2. P. 227-231.

248. В. M. Vernikov, M. V. Volkov. Commutative semigroup varieties with modular subvariety lattices // Monoids and Semigroups with Applications. Singapore: World Scientific, 1991. P. 233-253.

249. В. M. Vernikov, M. V. Volkov. Structure of lattices of nilpotent semigroup varieties // Semigroups. Algebraic Theory and Applications to Formal Languages and Codes. Singapore: World Scientific, 1993. P. 297-299.

250. M. V. Volkov. On the join of varieties // Simon Stevin. 1984. Vol. 58, № 4. P. 311-317.260. m. v. volkov. Commutative semigroup varieties with distributive subvariety lattices // Contrib. General Algebra. 1991. Vol. 7. P. 351-359.

251. М. V. VOLKOV. Young diagrams and the structure of the lattice of overcommuta-tive semigroup varieties jj Transformation Semigroups. Proc. Int. Conf. held at the Univ. Essex. Colchester, 1994. P. 99-110.

252. M. V. Volkov. Covers in the lattices of semigroup varieties and pseudovarieties // Semigroups, Automata and Languages. Singapore: World Scientific, 1996. P. 263-280.

253. M. V. Volkov. The lattice of solid varieties of semigroups // Междунар. алге-браич. конф., посвящ. памяти Д. К. Фаддеева: Тез. докл. СПб., 1997. С. 138.

254. М. V. Volkov. The finite basis problem for finite semigroups: a survey // Semigroups. Singapore: World Scientific, 2000. P. 244-279.

255. M. V. Volkov. The finite basis problem for finite semigroups // Sci. Math. Japon. 2001. Vol. 53, № 1. P. 171-199.

256. M. V. Volkov. Gyorgy Polldk's work on the theory of semigroup varieties: its significance and its influence so far // Acta Sci. Math. (Szeged). 2002. Vol. 68. P. 875-894.

257. M. v. volkov, T. A. ershova. The lattice of varieties of semigroups with completely regular square // Monash Conf. on Semigroup Theory in honour of G. B. Preston. Singapore: World Scientific, 1991. P. 306-322.

258. S. L. WlSMATH. The lattices of varieties and pseudovarieties of band monoids U Semigroup Forum. 1986. Vol. 33, № 2. P. 187-198.

259. S. L. WlSMATH. The lattice of varieties of *-regular band monoids // Semigroup Forum. 1993. Vol. 46, № 1. P. 130-133.

260. Работы автора по теме дисертащш

261. Б. М. Берников. Дуализмы в решетках многообразий полугрупп // III Всес. симп. по теории полугрупп: Тез. сообщ. Свердловск, 1988. С. 12.

262. Б. М. Верников. Многообразия полугрупп с полумодулярной решеткой подмногообразий // Междунар. конф. по алгебре, посвящ. памяти А. И. Мальцева: Тез. докл. по теории моделей и алгебраич. систем. Новосибирск, 1989. С. 27.

263. Б. М. Верников. Ослабленные варианты модулярности в решетках многообразий полугрупп II II Матем. чтения памяти М. Я. Суслинэ: Тез. докл. Саратов, 1991. С. 28.

264. Б. М. Верников. Полудистрибутивность в решетках многообразий полугрупп II III Междунар. алгебраич. конф. Сумы, 2001. С. 141-142.

265. Б. М. Верников. 2.5-перестановочность вполне инвариантных конгруэнций на относительно свободных полугруппах // Междунар. семинар по теории групп, посвящ. 70-летию А. И. Старостина и 80-летию Н. Ф. Сесекина: Тез. докл. Екатеринбург, 2001. С. 51-54.

266. Б. М. Верников. О специальных элементах решеток конгруэнций G-множеств II Алгебра и теория моделей. 3. Новосибирск, 2001. С. 146-157.

267. Б. М. Верников. Специальные элементы решетки надкоммутативных многообразий полугрупп // Мат. заметки. 2001. Т. 70, № 5. С. 670-678.

268. Б. М. Верников. Многообразия полугрупп с мультипликативными ограничениями на вполне инвариантные конгруэнции их свободных объектов // Докл. РАН. 2002. Т. 384, № 4. С. 446-448.

269. Б. М. Верников. О дистрибутивных элементах решетки нильпотентных многообразий полугрупп // Алгебра и линейная оптимизация: Тр. Междунар. семинара, посвящ. 90-летию со дня рожд. С. Н. Черникова. Екатеринбург, 2002. С. 84-91.

270. Б. М. Верников. Слабая перестановочность вполне инвариантных конгруэнций на относительно свободных полугруппах // Междунар. конф. "Алгебра и ее прилож.": Тез. докл. Красноярск, 2002. С. 28-29.

271. Б. М. Верников. Полумодулярные и дезарговы многообразия полугрупп: запрещенные подмногообразия // Изв. Урал. гос. ун-та. 2002. № 22. (Матем., механ. Вып. 4.) С. 16-42.

272. Б. М. Верников. Квазитождества в модулярных решетках многообразий полугрупп 11 Изв. вузов. Матем. 2003. № 8. С. 72-76.

273. Б. М. Верников. Об одном ослабленном варианте конгруэнц-перестановоч-ности для многообразий полугрупп // Алгебра и логика. 2004. Т. 43, № 1. С. 3-31.

274. Б. М. Верников, М. В. Волков. Полумодулярные и дезарговы многообразия полугрупп: завершение описания // Изв. Урал. гос. ун-та. 2004. № 30. (Матем., механ. Вып. 6.) С. 5-36.

275. В. М. Vernikov. Dualities in lattices of semigroup varieties // Semigroup Forum. 1990. Vol. 40, № 1. P. 59-76.

276. В. M. Vernikov. Quasiidentities implying modularity and related conditions in lattices of overcommutative semigroup varieties // Conf. on Semigroups and their Applications: Abstracts. Prague, 1996. P. 37-38.

277. В. M. Vernikov. On congruences of G-sets // Conf. on Universal Algebra and Lattice Theory: Abstracts. Szeged, 1996. P. 60.

278. В. M. Vernikov. Identities implying the modular law in lattices of semigroup varieties // Междунар. алгебраич. конф., посвящ. памяти Д. К. Фаддеева: Тез. докл. СПб., 1997. С. 134-136.

279. В. М. Vernikov. On congruences of G-sets // Comment. Math. Univ. Carol. 1997. Vol. 38, № 3. P. 603-613.

280. В. M. VERNIKOV. Quasiidentities implying modularity and related conditions in lattices of overcommutative semigroup varieties // Semigroup Forum. 1998. Vol. 57, № 1. P. 142-150.

281. В. M. Vernikov. Distributivity, modularity, and related conditions in lattices of overcommutative semigroup varieties // Semigroups with Applications, including Semigroup Rings. St Petersburg, 1999. P. 411-439.

282. В. M. vernikov. Distributive elements in the lattice of overcommutative semigroup varieties //II Междунар. конф. "Полугруппы: теория и прилож." в честь проф. Е. С. Ляпина: Тез. докл. СПб., 1999. С. 56-57.

283. В. М. Vernikov. A classification of lattice quasiidentities implying the modular law in lattices of nilsemigroup varieties // II Междунар. конф. "Полугруппы: теория и прилож." в честь проф. Е. С. Ляпина: Тез. докл. СПб., 1999. С. 5859.

284. В. М. Vernikov. Special elements in congruence lattices of G-sets // Унив, алгебра и ее прилож.: Тез. докл. Междунар. семинара, посвящ. памяти проф. Л. А. Скорнякова. Волгоград, 1999. С. 11-12.

285. В. М. Vernikov. Modular elements in congruence lattices of G-sets // Beitrage zur Algebra und Geometrie. 2000. Vol. 41, № 1. P. 85-92.

286. В. M. VERNIKOV. Distributive elements in the lattice of nilpotent semigroup varieties // Colloq. on Semigroups: Abstracts. Szeged, 2000. P. 32-33.

287. В. M. Vernikov. Semidistributive law and other quasi-identities in lattices of semigroup varieties // Proc. of the Steklov Inst, of Math., Suppl. 2. 2001. P. S241-S256.

288. В. M. Vernikov. Semigroup varieties whose free objects have weakly permutable fully invariant congruences // Novi Sad Algebraic Conference: Abstracts. Novi Sad, 2003. P. 41.

289. В. M. Vernikov. Completely regular semigroup varieties whose free objects have weakly permutable fully invariant congruences // Semigroup Forum. 2004. Vol. 68, № 1. P. 154-158.

290. В. M. vernikov, M. V. Volkov. Semimodular semigroup varieties revisited // Int. Conf. "Semigroups and their Applications, including Semigroup Rings" in honour of E. S. Ljapin: Abstracts. St Petersburg, 1995. P. 78-79.

291. В. M. Vernikov, M. V. volkov. Permutability of fully invariant congruences on relatively free semigroups // Междунар. алгебраич. конф., посвящ. памяти Д. К. Фаддеева: Тез. докл. СПб., 1997. С. 136-137.

292. В. M. Vernikov, M. V. Volkov. Commuting fully invariant congruences on free semigroups // Contrib. General Algebra. 2000. Vol. 12. P. 391-417.