Спектральные характеристики семейств и множеств элементов банаховой алгебры и инвариантные подпространства тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Туровский, Юрий Владимирович

• Туровский, Юрий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Туровский, Юрий Владимирович

Введение.

Принятые обозначения

Глава I. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И СВОЙСТВА

СЕМЕЙСТВ ЭЛЕМЕНТОВ БАНАХОВОЙ АЛГЕБРЫ.

1.1.Спектральные характеристики семейств элементов банаховой алгебры.

1.2.Совместный спектральный радиус.

Глава 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ЛИЕВЫХ

ПОДАЛГЕБР БАНАХОВОЙ АЛГЕБРЫ.

2.1 .Нильпотентные алгебры Ли.

2.2.Разрешимые алгебры Ли.

Глава 3. УСЛОВИЕ КЛЕЙНЕКЕ-ШИРОКОВА И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

3.1.Обобщения теоремы Клейнеке-Широкова

3.2.Условие Клейнеке-Широкова.

3.3.Дифференциальные операторы в банаховых алгебрах.III

Глава 4. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА И ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРНЫХ АЛГЕБР

4.1.Триангулируемые семейства компактных операторов.

4.2.Спектральные свойства и нетранзитивность

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральные характеристики семейств и множеств элементов банаховой алгебры и инвариантные подпространства»

Основной целью данной работы является исследование спектральных вопросов семейств и множеств элементов банаховой алгебры или линейных ограниченных операторов при выполнении алгебраических и других соотношений. Часто удается представить оператор в виде многочлена от нескольких более простых операторов. Такое представление приносит пользу в задаче описания спектра в тех случаях, когда операторы связаны между собой дополнительными условиями типа перестановочности. Разные условия перестановочности влекут те или иные варианты "теоремы об отображении спектра", примером которых может служить выполнение включения для семейства М— (fyоператоров и любых полиномов р от 71 некомму тирующих переменных ( (SCС1) * спектр оператора или элемента (X унитальной банаховой алгебры). Соотношение (0.1) является сравнительно грубой (хотя и полезной) формой теоремы: даже в случае коммутативного семейства /И правая часть включения (0.1) может строго включать левую. Более точные формулировки используют понятие совместного спектра. Соответствующий вариант теоремы об отображении спектра заключается в выполнении равенства ptfA)\ = р (0.2) где М ~ . - конечное семейство операторов (или элементов банаховой алгебры), р ~ (Р*} Р^ ~ конечное семейство полиномов от ft некоммутативных переменных, ( М ) - совместный спектр семейства Д1 (являющийся компактным подмножеством

Под совместным спектром семейства УИ - (Qj . J операторов, действующих в банаховом пространстве , понимается совокупность семейств комплексных чисел таких, что из двух односторонних (левого и правого) идеалов алгебры Л (%) , порожденных семейством /Ч "Л = ( Qj }. т) ) хотя бы один является собственным (см. определение II § 2 ). Аналогично определяется совместный спектр любого (произвольной мощности) семейства элементов произвольной унитальной банаховой алгебры. Существуют и другие определения совместного спектра (для коммутативных семейств) (см. J , £*3 J, £V] , ),

Определенный выше совместный спектр называют также спектром Харта (см. J ).

В работах Р.Е.Харта [7j , , р9 J , изучались также подмножества совместного спектра: левый и правый спектры, левый и правый предельные спектры. В контексте теории операторов вместо термина "левый предельный . спектр" принято говорить "предельный спектр" или "аппроксимативный спектр". Это подмножество можно охарактеризовать как совокупность точек А ^ Сэ (/И ) для которых имеет правый ненулевой обобщенный топологический совместный делитель нуля (представленный в общем случае сетью элементов). Следует отметить, что определение предельного спектра в случае коммутативного счетного семейства близко к определению Ю.И.Любича спектра представления топологической абе-левок группы [ioj . Предельный спектр конечных коммутативных семейств операторов, действующих в гильбертовом пространстве, рассматривался также в [llj . Эти две работы, по-видимому, были первыми, в которых рассматривался предельный спектр неодноэлементных (но конечных или счетных коммутативных ) семейств операторов. Общее определение предельного спектра (годное для произвольного семейства ) в случае коммутативных семейств дано в

§2J . Г"] .

Справедливо включение (односторонняя теорема об отображении совместного спектра и его подмножеств )

Р&*(М) с: РгМ)) , Со.3) где М - произвольное конечное семейство элементов, Р - конечное семейство полиномов, ~ одно из указанных выше подмножеств совместного спектра. Включение может быть строгим. Совместный спектр некоммутативного семейства может быть пустым J .

Для конечных коммутативных семейств теорема об отображении совместного ( а также левого и правого) спектра в форме (0.2) доказана Р,Е,Хартом [~73 , Случай предельных спектров разобран МД.Чоем и Ч.Дэвисом Qi4j . З.Слодковский и В,1елязко fl2J перенесли эти результаты на коммутативные семейства произвольной мощности в частности, доказав, что совместный спектр произвольного коммутативного семейства не пуст , Р.Е.Харт показал [~I5j, что равенство (0.2) имеет смысл и сохраняет силу в том случае, когда Р - произвольное конечное семейство функций, аналитических в достаточно широкой окрестности ) . В.Желязко [4 J установил справедливость для коммутативных семейств теоремы об отображении совместного спектра и его частей не только полиноминальными отображениями, но и отображениями, задаваемыми семействами рациональных функций ( с полюсами вне совместного спектра) ,

Существенно ослабить требование коммутативности удалось Р.Е.Харту в работе J1.6J , где, в частности, доказано, что теорема об отображении совместного (а также левого и правого) спектра в форме (0,2) сохраняет силу для конечных квазикоммутативных по Мак-Кою [jE7j семейств ( семейство называется квазикоммутативным, если каждый его элемент перестановочен с коммутатором любых его двух элементов) ,

Нетрудно заметить, что условие квазикоммутативности семейства означает нильпотентность (высоты £ 2 ) порожденной им алгебры Ли. С другой стороны, в работе С.фрунзы доказано существование обобщенного веса у разрешимой алгебры Ли ограниченных линейных операторов, что, по существу, означает непустоту предельного спектра семейства операторов, пробегающих разрешимую алгебру Ли. Эти результаты наводят на мысль, что в терминах свойств алгебры Ли, порожденной семейством операторов, удобно формулируются "условия перестановочности", при которых справедливы различные формы теоремы об отображении спектров.

Для двухэлементного множества М = {(хЛ} элементов банаховой алгебры условие квазикоммутативности равносильно выполнению соотношений - О . Здесь CgJIJ= оЛ - ia . Если на (X и ь наложено лишь условие

- О то оно не влечет выполнение теоремы об отображении спектра даже в форме (0.1) для /И- { Q и произвольного, полинома р от двух переменных (соответствующий пример легко найти в алгебре Однако для специальных полиномов включение (0,1) имеет место. Например, (это - утверждение теоремы Клейнеке-Широкова /Д9П , /^20 J). Если к этому условию добавить требование достаточно быстрого убывания степеней & к нулю ( например, требование нильпотентности ё) , то ( £а)-0 [2lJ. В работах С.Канторовича [22 J, £23J рассматривается соотношение 4>0t -OlA - (или более общее 4 й- 0J2-t (d*" , где элемент Z перестановочен с CL ж €). Это-так называемое соотношение Волътерры. Ему, в частности, удовлетворяет оператор умножения /И у ( М/ £(Х)~ X f ( Х)^ и вольтерров-ский оператор интегрирования у ( уJX f (-(■ ) в пространстве LP (Oj 1) , В отмеченных работах С.Канторовича, помимо алгебраических соотношений, подучены при дополнительных требованиях спектральные соотношения вида (0.1) для специальных полиномов ( например, соотношение <о7Я) = +A g ) А £ £ ) и др.

В работе £24 J определена другая важная спектральная характеристика подмножеств нормированных алгебр. Если /И - ограниченное подмножество, то М - совокупность всевозможных произведений П элементов М , ИМ //= Sup { KG!/ ■ а € М}т Тогда величину р ( М ) = -tOyr* Н /И h Н h естественно называть ( совместным ) спектральным радиусом множества М. Если при этом р (М , то/М называется (совместно) квазинильпотентным М

Иное понятие совместного спектрального радиуса введено в работах ^25J , СJ • Есж /И - ограниченное подмножество нормированной алгебры, то Xh(M) = Sup {HQ7А'веМI№ В работе ^25J , в частности, показано, что если ограниченное дифференцирование коммутативной радикальной банаховой алгебры сюръективно, то % ( М ) ~ О где М единичный шар алгебры. В работе Е.А.Горина [26 3 указан пример коммутативной радикальной банаховой алгебры, для которой О * где м - единичный шар этой алгебры. Поскольку пример

Горина показывает, что спектральный радиус ограниченного подмножества коммутативной радикальной банаховой алгебры может быть оа>-жчен от нуля. Отметим, что этот пример реажзуется как замкнутая подалгебра компактных операторов, порожденная вольтерровским оператором интегрирования, действующим в (Oj 1) .В связи с этим отметим следующий результат В.С.Щульмана £j24j; спектральный радиус любого конечного множества компактных операторов, взятых из радикала операторной алгебры, равен нулю. В качестве следствия

I.B работе показан более точный результат,оценивающий скорость убывания 'V ( } при /г -> ©о . этого результата и известного результата В.И.Ломоносова £27^} В. С. Пульманом получена следующая теорема [24 J : если операторная алгебра содержит в своем радикале ненулевой компактный оператор, то она имеет совместное со своим коммутантом нетривиальное инвариантное подпространство.

В данной работе основным объектом изучения являются спектральные характеристики семейств и множеств элементов банаховой алгебры: совместный^спектр, его части и совместный спектральный радиус. Отмечена связь различных свойств алгебры Ли с теш или иными вариантами теоремы об отображении совместного спектра и его частей. Изучен совместный спектральный радиус в связи с вопросами коммутативности подалгебр по модулю своего радикала, классификации множеств, состоящих из квазинильпотентных элементов алгебры, по степени совместной квазинильпотентности их подмножеств, и др. Полученные результаты имеют приложения в спектральной теории операторов и элементов банаховых алгебр,теории линейных операторных уравнений,теории дифференцирований банаховых алгебр и теории инвариантных подпространств.

Рассмотрим содержание работы по главам.

В первой главе рассмотрены характеристики семейств и множеств элементов банаховой алгебры. В первом параграфе рассмотрены совместный спектр и его части, во втором - совместный спектральный радиус.

В первом параграфе первой главы построены более общие "функции", чем полиномы, от, вообще говоря, некоммутативных семейств элементов банаховой алгебры. Мы пользуемся, помимо полиномов, такими классами функций, как пределы полиномов, рациональные функции, пределы рациональных функций ( определения-в первой главе ) . Установлено включение (0.3) для произвольного семейства элементов /Ц и произвольного семейства пределов рациональных функций, допустимых для М . Мы говорим, что подалгебра В банаховой алгебры А обладает свойством отображения совместного спектра (соотв. его части ) соответствующим классом отображений, если выполнено соотношение (0.2) для совместного спектра (соотв. его части ), для любого семейства М элементов D и для любого семейства "функций" соответствующего класса, допустимых для М. Скажем, что подалгебра В обладает проекционным свойством совместного спектра (или его части ), если соотношение (0.2) справедливо для совместного спектра (или его части ) для любого семейства М элементов $ и любой проекции на подсемейство М.

Основной результат первого параграфа заключается в том, что проекционное свойство части совместного спектра вместе с замкнутостью или наполненностью подалгебры В влечет свойство отображения этой части совместного спектра соответствующим классом отображений. Например, если В замкнута, наполнена и обладает проекционным свойством совместного спектра, то В обладает свойством отображения совместного спектра пределами рациональных отображений.

Во втором параграфе первой главы рассмотрена другая важная характеристика - совместный спектральный радиус. Эта характеристика во многом похожа на обычный спектральный радиус элемента нормированной алгебры. Так,совместный спектральный радиус как функция от ограниченного подмножества нормированной алгебры в топологии, задаваемой расстоянием Хаусдорфа, является полунепрерывной сверху функцией. Далее, при естественных условиях спектральный радиус множества, аналитически зависящего от комплексного параметра, является субгармоническом функцией (обобщение теоремы Везентини ). Следующее утверждение также аналогично утверждению об обычном спектральном радиусе (см. £329j , £^3cTJ ):

-Ю

J3 (/W ) - Oyt^ с/ ( Aj) f где нижняя грань берется по всем алгебраическим нормам о( , эквивалентным исходной(напомним,

• <XeM}). Интересен вопрос, когда выполнено равенство где /И - конечное подмножество нормированной алгебры. Равенство (0.4) имеет место, к примеру, для всех конечных коммутативных подмножеств. Оказывается, что если равенство (0.4) выполнено для любого конечного подмножества банаховой алгебры, то эта алгебра обязательно коммутативна по модулю своего радикала.

Далее, рассмотрена классификация множеств, состоящих из квазинильпотентных элементов нормированной алгебры. Пусть В -нормированная алгебра, А/ - выделенный по какому-то признаку класс ограниченных подмножеств В. Произвольное (возможно, неограниченное ) подмножество М. алгебры В называется А/- квазиниль-потентным, если любое подмножество множества Мкласса А/совместно квазинильпотентно. В качестве А/ естественно брать класс подмножеств, число элементов которых не превышает 7L ( натуральное число ) , класс всех конечных подмножеств, класс всех предкомпактных множеств, класс всех ограниченных подножеств. В соответствии с этим мы будем говорить о 71 - квазинильпотентных, конечно квазинильпотентных, компактно квазинильпотентных и ограниченно квазинильпотентных подмножествах нормированной алгебры.

Отметим следующие результаты. Если подмножество нормированной алгебры конечно квазинильпотентно, то подалгебра, порожденная подмножеством, является конечно квазинильпотентным подмножеством. Более точный результат заключается в том, что конечно квазинильпо-тентное подмножество нормированной алгебры порождает конечно ква-зинильпотентный двусторонний идеал в подалгебре, порожденной этим подмножеством и его коммутантом. Если нормированная алгебра компактно квазинильпотентна, то её пополнение - радикальная банахова алгебра. Как следует из примера Диксона £31^ , это, вообше говоря, неверно для нормированных конечно квазинильпотентных алгебр и, более того, пополнение такой алгебры может оказаться полупростой банаховой алгеброй. Всякая коммутативная радикальная банахова алгебра конечно квазинильпотентна, но не всегда ограниченно квази-нильпотентна (как следует из упомянутого выше примера Горина). Используя конструкцию E.G.Голода СJ > мы привода! пример нормированной 71 - квазинильпотентной алгебры, не являющейся (?ZH)~ квазинильпотентной. В заключении параграфа показано, что левый ( правый1) предельный спектр конечно квазинильпотентной подалгебры униталыюй банаховой алгебры не пуст. Как следствие, получаем, что всякая конечно квазинильпотентная подалгебра банаховой алгебры с единицей содержится в пересечении нетривиальных левого и правого идеалов алгебры.

Зо второй главе диссертационной работы рассмотрены спектраль-ныев вопросы лиевых подалгебр банаховой алгебры. Результаты этой главы продолжают исследования об условиях справедливости теоремы об отображении совместного спектра, начатые в первом параграфе первой главы.

Основной результат первого параграфа второй главы заключается в том, что замкнутая наполненная подалгебра, порожденная элементами нильпотентной лиевой подалгебры унитальной банаховой алгебры, обладает свойством отображения совместного спектра и его частей пределами рациональных отображений. Как следствие, получаем, что такая подалгебра коммутативна по модулю своего радикала Джекобсона .

Во втором параграфе второй главы рассмотрены спектральные вопросы разрешимых лиевых подалгебр банаховой алгебры. В полном " объеме ( равенство (0.2)) Теорема об отображении совместного спектра и его частей не справедлива для семейства элементов разрешимых лиевых подалгебр. Однако техника, развитая для решения упомянутых вопросов в теории совместного спектра, позволяет показать, например, что если производная алгебра лиевой подалгебры нормированной алгебры является нильпотентной алгеброй Ли, то она состоит из квазинильпотентных элементов. В случае о© - разрешимой (определение см. J33J ) или конечномерной разрешимой лиевой подалгебры банаховой алгебры порожденная ею замкнутая подалгебра коммутативна по модулю своего радикала. Последний результат, а также теорема об отображении спектра для конечномерной нильпотентной алгебры Ли, допускает обращение. Справедливо следующее предложение. Пусть оС - конечномерная алгебра Ли. Для того, чтобы образ в любом представлении ограниченными линейными операторами в банаховом пространстве порождал замкнутую подалгебру, коммутативную по модулю своего радикала (соотв. обладающую проекционным свойством предельного спектра), необходимо и достаточно, чтобы оС была разрешимой (соотв. нильпотентной) алгеброй Ли .

В заключении второго параграфа обсуждаются спектральные вопросы элементов d и ё банаховой алгебры, удовлетворяющих соотношению й & - S(X - С 1 где С - полином от ё . Такие элементы порождают разрешимую алгебру Ли высоты ^ 2.

В третьей главе рассмотрена связь теоремы Клейнеке-Широкова с совместным спектральным радиусом и различными вариантами теоремами об отображении спектра, а также рассмотрены и другие вопросы, связанные с дифференцированиями банаховых алгебр. Теорема Клейнеке-Широкова имеет многочисленные прршенения (в частности, во второй главе ), однако следствия, вытекающие из условия теоремы, имеют самостоятельный интерес.

В первом параграфе третьей главы мы обобщаем теорему Клейнеке-Широкова. В частности, показано, что пересечение ядра и образа ограниченного дифференцирования банаховой алгебры является конечно квазинильпотентной подалгеброй, а замыкание этой подалгебры является радикальной алгеброй. Если при этом образ дифференцирования замкнут, то пересечение ядра и образа ограничено квазинильпо-тентно. Далее, рассмотрен вопрос о возможности замены в теореме Клейнеке-Широкова внутреннего дифференцирования на более широкий класс операторов умножения. Полученные результаты уточнены при предположении конечномерности алгебры.

Условие теоремы Клейнеке-Широкова и чуть больше: сit ) C(4$J6H) ( а ) = о ^ где C(i^d) - оператор е ge-eJ. - мы называем условием Клейнеке-Широкова. Во втором параграфе обсуждены некоторые утверждения, получаемые при условии Ccfj) £) i) (О ) =0 J где комплексные числа.

В третьем параграфе главы 3 рассмотрена ситуация, когда образ дифференцирования ( и более обших операторов ) состоит из квазинильпотентных элементов. Такая ситуация рассматривалась многими авторами. Мы отметим работы £~34j , £~3bJ. J К.Ле-Паж показал, что если образ внутреннего дифференцирования банаховой алгебры состоит из квазинильпотентных элементов, то он лежит в радикале алгебры. В работе 35J В.Птак рассмотрел случай квадрата внутреннего дифференцирования. Мы обобшаем результаты Ле Пажа и Птака на случай произвольной степени Q. рассох. 6 неограниченных дифференцирований. Некоторые результаты сформулированы для дифференциальных операторов, т.е. для полиномов от дифференцирования. В частности, установлено, что если образ дифференциального оператора, действующего в банаховой алгебре, коммутативной по модулю своего радикала, состоит из квазинильпотентов, то само дифференцирование ( не предполагаемое ограниченным ) переводит алгебру в её радикал.

В четвертой главе обсуждаются спектральные вопросы и вопросы нетранзитивности операторных алгебр, содержащих компактные операторы (операторная алгебра - это подалгебра алгебры Л ( % ) всех ограниченных операторов в некотором банаховом пространстве

X).

В первом параграфе рассмотрены вопросы триангулируемости семейства операторов. Напомним, что семейство ( множество ) операторов называется триангулируемым, если его решетка инвариантных подпространств содержит максимальную цепь подпространств. Известно, что триангулируемость множества компактных операторов эквивалентна выполнению включения (0,1) для произвольного конечного семейства Д^) элементов порожденной множеством подалгебры [зб] , а также эквивалентна коммутативности по своему радикалу порожденной этим множеством замкнутой подалгебры . Отсюда и из главы 2 получается следующий результат: наполненная подалгебра алгебры JbС ^порожденная нильпотентной лиевой подалгебры компактных операторов, триангулируема. Это усиливает утверждение [38J о триангулируемости нильпотентной лиевой подалгебры компактных операторов.

В этом параграфе установлен новый критерий триангулируемости компактных операторов. Множество £ компактных операторов тогда и только тогда триангулируемо, когда справедливо равенство (0,4) для любого конечного подмножества /И подалгебры, порожденной S• Это утверждение усиливает теорему I [24J , С помощью этого критерия триангулируемости установлено следующее полезное утверждение. Если триангулируемое множество компактных операторов коммутирует или хотя бы 71 - коммутирует (определение см. в главе 2 ) с другим таким множеством, то объединение этих множеств также триангулируемо.

Во втором параграфе четвертой главы обсуждаются вопросы нетранзитивности операторных алгебр, содержащих компактные операторы. Отметим следующий результат. Пусть Т)( ( S) ) - множество всех операторов CL из таких, что Oii-ia -полином от ё . Если ё - компактный оператор, не сводящийся к скалярному кратному, то

7)(А( ё)) имеет нетривиальное замкнутое инвариантное подпространство. Ряд утверждений связан с леммой В.И.Ломоносова £*2?J . Получена эквивалентная переформулировка леммы, а также обобщение леммы на случай 7t- нетранзитивных операторных алгебр и подпространств .

Результаты работы докладывались на семинаре отдела функционального анализа ЙММ АН Азерб.ССР под руководством академика АН Азерб„ССР Ф.Г.Максудова, а также на четвертой (1982 года) и пятой (1984 года) республиканских конференциях молодых ученых по математике и механике.

Результаты диссертации освещены в статьях £76j , , /У&]> Й

Пользуясь возможностью, выражаю глубокую благодарность моим научным руководителям академику -АН Азерб.ССР Ф.Г.Максудову и доценту, кандидату физико-математических наук В.С.Щульману.

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ft/ - множество натуральных чисел. ff^ - множество действительных чисел. ([ - множество комплексных чисел.

- унитальная комплексная банахова алгебра.

3(30- алгебра всех ограниченных линейных операторов, действующих в комплексном банаховом пространстве % .

- подалгебра всех компактных операторов. fP(A) - алгебра полиномов от множества некоммутирующих переменных А . подалгебра, порожденная подмножеством А/ алгебры, унитальная подалгебра, порожденная подмножеством А/ал~* гебры с единицей. наполненная подалгебра, порожденная подмножеством М алгебры с единицей. ?~?lB)~ центр алгебры В .

- семейство ( & у порожденное множеством

М.

Ш)

- множество {q. : 1/е Л } , получаемое из семейства

La - оператор левого умножения ( La • 4 ) на элемент Q, алгебры. . Rfl - оператор правого умножения ( Ra на элемент# алгебры. tad В - радикал Джекобсона алгебры В. QcB)- множество квазинильпотентных элементов нормированной алгебры В •

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Туровский, Юрий Владимирович, 1984 год

1. Coiutt? LA,, Schechiet til. Joint spectra cltiJ Ciiteipotation of operators. J. Funct Anat.}</968,ZZ26-Z37.

2. Toujto'tJ.L. A joint spe&ttuTn for seuetal earn mute nf opezatois. 7 Fund, Amt.JM,

3. HatieR.E. Spectra?mappivq theorems. Ptoc, 'Itich Acad., 19?£, 7£A, » fj 99-/07.

4. Haute R.E. Tensoz pto ducts ,muttiptieatcon opeгагог; and 'ikespecftatmapping theozem. Pioc.Roy. Ъ. А£аА/973,ЩЩ*8Г-302.

5. Siodkoujski Zeiozb № On joint spectra of comnutevj system of tinea* opetafotb. StudMafh., /fi%

6. Ломоносов В И. Совместный аппроксимативный спектр коммутативного семейства операторов. Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков, 1979, № 32, 39-48.

7. Choi ttl.fl^at/is Ck The Spectra fmapping fieotem fa jointapproximate point specAum. В и ft. timet. Mi Soe. </Щ Зф

8. HaiteRl. A Spectva £ mapping t/?eoiem fahotowzphu fuvctioni. Math. Zeit., 19??;16. f(a%te tf.E. The Sp ectra / mapping theorems fa quasi cow-mutiny systems, Pwc. % AcJ./Щ Ща/£, ?-/?.

9. Vtc Coy On (fuQSiconjmutatcue lattices. Ttans. Атеъ.ШЬЛос.^ЗЗЧ, Ъб, З/г-JW

10. Fi u<hZ4 S. Generalizedcueiyhts fa operator %ie atyefaas. Spect-theory,BanacL cent Putt, Warsaur, S} /98Z, ZZJ-ZZ?.

11. Широков Ф.В. Доказательство гипотезы Капланского. УМН, 1956, II, № 4, 167-168.

12. Kieivecke Ъ.С. On operator commutators. Ръос. Amer. ' tn«U. 5cc.; /95Zj ij $16

13. Щульман B.C. О транзитивности некоторых пространств операторов. Зункц.анал. и его прил., 1982, 16, № I, 91-92.22.^toZauitz £ Commutators, classification а ??</simi-"iazity of opezatos.TransAmiMocihSoc.JS?^!$6^93-11%.

14. Kantorovitz S. Specfzat eouiua Pence and VoHezra elements. Indiana Unit/. Math.W2,Щ 9&-9S?.

15. Щульман B.C. Об инвариантных подпространствах вольтерровых операторов. функц. анал. и его прил., 1984, 18, Jfc 2, 85-86.

16. Горин Е.А.,Кочетков Ю.Ю., Митягин Б.С. Некоторые свойства дифференцирований в банаховых алгебрах. Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков, 1973, 18, 160-165.

17. Горин Е.А. О некоторых свойствах обратимых элементов банаховой алгебры. Исследования по теории функций многих вешественных переменных. Ярославль, 1978, 2, 88-110.

18. Ломоносов В#И. Об инвариантных подпространствах семейства операторов, коммутирующих с вполне непрерывным. %нкц. анал. и его прил., 1973, 7, В 3, 55-56.-13528. Vtsentini £ On the suihaxmonicito of ihe Specttafxactius. BoU. Un, fflai, 7Ug., 196S, 4Z7-W.

19. Rota (r. On mode is for tineaz operators. Согпм. Put? Appl MlatL, /НО, /3j W- Ш.

20. Кигера £ Some properties, oftte specttag zodiusova finiteietof opnatots. G-fat. Hidv , £83-Ш.зх Ъьжоп Mr. A facofaon-semi-simple ВапасАafytfotiигЖdene nUsui-zfyefaQ. СоЩ. Мг&>497*, 37;

21. Голод Е.С. О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых р-группах. Изв., АН СССР, сер.мат., 1964, 28, 273-276.33. $Q&cicttt. Une yevew&'sation duThebteme de^ie. &ufg. Scl. math., №fj Z~eser, 95,S3-S1.

22. Le Рад* С Sui cjuefyues conditions eTitzaimxt & сттиМмЪdans &<> de Вашк С. I dead Set. Pettis0 m?/^ £3f-£z

23. PUk V. Commutatozs in Ваъяс/г afytfaas, Ptoc. 'id'in(игдк Ш1 S*c., iS7gi ZZ} Ш-ЯН.36 fctuiie-C;NovJgrtn E0 Hadjairi faentta? P. 0t\ feavfugazizti'fio*о(а1\еЫ ofopertfhts. reive undAnjw fthftit t9 ft} Щ

24. ШлрЬу Tuctnjv&riztffe afyeiraS of согпрае/ope?ato<ts. Ptoc.Amei./thtt. Soc.f /Щ a/3} 354-ZZ6.

25. Ваксман Л.Л., 1^рарий Д.Л. Об алгебрах, содержащих компактный оператор, ^ункц. анал. и его прил., 1974, 8, № 4, 81-82.ЗЭ.Келли Дж.Л. Общая топология. М., "Наука", изд. 2-е, 1981.

26. Дурбаки Н. Спектральная теория. М., "Мир", 1972.

27. Ваг?a G-. Some a fye facts of operatorшс+/> c&ieetconvey numeztcal гаяуе. Ръос. foy. 7%teA AcqJ^ /9?% AWj

28. CLupetrtS. Cazactezisation spectiafe cfes ofye£*esc/eBa W 'comrMtatCveS. Pacef: 6S; 11 3S.

29. Гамелин Г. Равномерные алгебры. М., "Мир", 1973.

30. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М. "Наука", изд. 3-е, 1974.

31. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. М., Наука, 1964.51. dupetit В. Pvoptie'tes spzettatei desQfye&tei JeSanacA. fact. Л/otes ttcctk, ?3S. Sprite? Ve.* ^ Ber£tTiJ 49*9.

32. Андрунакиевич В.А., Рябухин Ю.М. Радикалы алгебр и структурная теория. М., Наука, 1979.

33. Постников М.М. Группы и алгебры Ли. М., Наука, 1982.

34. Гото М.,Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Ли. М.,. Мир, 1981.

35. Серр Е.П. Алгебры Ли и группы Ли. М., Мир,. 1969.

36. Желобенко Д.П., Штерн А.И. Представления групп Ли. М., Наука, 1983.

37. Etyp6aKH Н. Группы и алгебры Ли, гл.1-Ш. М., Мир, 1976.58. ^aiadfl^FoiasC. A generalization of Ute's theorem (Ш). Rev. Roum. Шк Рит et Appt.><97(/) i9,A/S, 60S-6O7.

38. Лынкин Е.Б. Нормированные алгебры Ли и аналитические группы. Успехи мат.наук. 1950, 5, № I, 135-186.

39. Наймарк М#А. Нормированные кольца. М., Наука, 1968.

40. Anderson X И. Derivation ranges and the identity. Butt.AmtMiSoc.,79,л/Ч, 7os-T-os.

41. Kim MM On compact operators in the weak closure of Me ran^e of derivation. hoc. Amr. ttath. foe., 1973, Щ 481 -486.

42. WeiezR.E. Denizations Qnd the truce- rfass operators. Proc. A me?, Math. Soc., 1979, 73, W, 82.

43. Капланский И. функциональный анализ.Сб.пер."Математика", 1959, 3 : 5, 91-115.

44. Singe? УЖ, Wezmer Derivations 07г commutative normeel afyefzas. Math.Ann.,i9r5,/29, z60~26</.

45. Pate? S.Ttt.j Gupta B.C. On generalized commutators. Rev. Roam. TTlath. Paxes et Appl., 1972,47, a/8,1237-i239.

46. А и pet it B. Remorse sot fes commutateuzs generalises. Re* Roum. Illath. Pures etAppt, 197</, /9,a/9, Ms-f—tosz.

47. Rosenoer S. Remarque sun les commutateurs generalises. 'Rev:Roum.Moth. Puzes etAppl, J9?8,Z3yA/3} 987.69. ^onsonB.E. The uniqueness of the (complete) norm 'topology. Butt Awz.MatL Socm?, 73; <so7~</09.

48. Kaplan sky 7. bifimte alelian groups. Uncv.frtich. Press , Ann Az&or, -/969.

49. Ring rose Super -diagonal forms for compact linear Operators. Ръос.London WMSoc.^, igtt, 3,72. ?!ettrl>u,rqh XThe variation of spectra. Пике math. 7v

50. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. М., "Мир", 1970.V^.A'tuesonW.B. A density fheotem operator a tge Bras. Duke ttlaih.J.tmr

51. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М., "Наука", Изд.2-е, 1965.

52. Туровский Ю.В. О квазинильпотентности обобщенных коммутаторов.Ж АН Азерб.ССР, Баку, 1982.Деп. в ВИНИТИ 22 марта 1982 г. ЖГ240-82, Деп. 15 стр.

53. Туровский Ю.В. Спектральные свойства элементов нормированных алгебр и инвариантные подпространства. Щункц.анал.и его прил. 1984, 18, № 2, 77-78.

54. Туровский Ю.В. Свойство отображения спектра Харта полиномами для 7г~коммутативных семейств элементов банаховой алгебры. Сб."Спектральная теория операторов и её прил.", Баку, "Элм", 1984, вып.5, 152-177.

55. Туровский Ю.В. Спектральные свойства разрешимых лиевых подалгебр банаховой алгебры. Материалы 5-й респ.конф.молод.учен.по мат. и мех., посвящен. 25-летию ИММ АН Азерб.ССР, Баку, 21-24 мая 1984г. "Элм", 1984, 237-240.