Неспектральный асимптотический анализ однопараметрических операторных полугрупп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Емельянов, Эдуард Юрьевич

• Емельянов, Эдуард Юрьевич
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Емельянов, Эдуард Юрьевич

ВВЕДЕНИЕ 4.

Глава 1. ОПЕРАТОРНЫЕ ПОЛУГРУППЫ НА БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

1.1. Предварительные сведения об операторных полугруппах, эргодичности в среднем и почти периодичности 16.

1.2. Констриктивные и квази-констриктивные полугруппы 30.

Глава 2. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ПОЛУГРУППЫ НА ^-ПРОСТРАНСТВАХ

2.1. Марковские полугруппы на Х^-пространствах 55.

2.2. Эргодичность в среднем положительных полугрупп на L1-пространствах 65.

2.3. Асимптотическая устойчивость, нижние граничные функции и теорема о разложении 78.

Глава 3. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ПОЛУГРУППЫ НА УПОРЯДОЧЕННЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

3.1. Идеально упорядоченные и равномерно порядково-выпуклые банаховы пространства 93.

3.2. Полугруппы с порядково-ограниченными констрикторами 98.

3.3. Асимптотическое доминирование 105.

Глава 4. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ПОЛУГРУППЫ НА ПРЕДСО-ПРЯЖЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ АЛГЕБР ФОН НЕЙМАНА

4.1. Одно геометрическое свойство предсопряженного пространства алгебры фон Неймана 119.

4.2. Нижние граничные элементы марковских полугрупп на предсопряженном пространстве алгебры фон Неймана 125.

4.3. Констрикторы и асимптотическое доминирование 132.

Глава 5. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ПОЛУГРУППЫ НА БАНАХОВЫХ РЕШЕТКАХ

5.1. Предварительные сведения 144.

5.2. Асимптотическое доминирование 152.

5.3. Геометрия банаховых решеток и асимптотическое поведение операторных полугрупп действующих на них 162.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неспектральный асимптотический анализ однопараметрических операторных полугрупп»

Пусть Т — однопараметрическая операторная полугруппа действующая на банаховом пространстве X. Обычно мы предполагаем, что Т либо параметризована неотрицательным вещественным параметром Т = №)teIR+ и сильно непрерывна, либо, что Т = (ТГ1)пе2+ является полугруппой неотрицательных целых степеней некоторого оператора. Кроме того по умолчанию, будем считать, что рассматриваемые полугруппы состоят из ограниченных линейных операторов. Изучение однопараметрических полугрупп мотивированно главным образом тем, что они возникают при исследовании линейных уравнений в частных производных — так называемые Co-полугруппы, а также при исследовании дискретных процессов описываемых итерациями одного оператора.

Имеется большое количество монографий по операторным полугруппам, например [55], [ИЗ], [64], [94], [46], [75], [9], не говоря уже о бесчисленном море журнальных публикаций. В изучении операторных полугрупп важное место занимает асимптотический анализ их поведения. Это связано с тем, что с практической точки зрения часто бывает нужно знать является ли рассматриваемый процесс затухающим, цикличным, или асимптотически периодичным. Классический подход к исследованию данного вопроса основан на изучении спектра инфинитезимального генератора полугруппы. Этот поход дает исчерпывающий ответ в конечномерном случае dim X < оо благодаря теореме Ляпунова.

В бесконечномерном же случае наряду с, как правило нетривиальной, проблемой вычисления спектра генератора полугруппы, подобный подход наталкивается на отсутствие подходящего обобщения теоремы Ляпунова, хотя иногда теорема Ляпунова допускает разумное обобщение (см., например, [77], [9], [86], [5]). В ряде же случаев такой подход не дает удовлетворительных результатов, в частности, при исследовании асимптотического поведения марковских полугрупп на L1 -пространствах. Значительный прогресс в исследовании асимптотического поведения марковских полугрупп сравнительно недавно был достигнут в работах Ласоты, Коморника, Рудницкого, Бартошека, Маккея, и ряда других математиков, без использования спректральных методов. Наиболее существенные результаты, полученные в этих исследованиях, а так-же их приложения к теории вероятностей и динамических систем изложены в монографии Ласоты и Маккея [69]. В настоящей работе неспектральные методы анализа развиваются, и применяются не только к марковским полугруппам (чему посвящена, однако, целая глава), но и к операторным полугруппам значительно более общей природы. Так, мы будем рассматривать положительные полугруппы на предсопряженном простран-Ф стве к алгебре фон Неймана (L1-пространства как известно являются предсопряженными коммутативных алгебр фон Неймана) и положительные полугруппы на банаховых решетках. Первая глава, впрочем, имеет дело с операторными полугруппами на произвольных банаховых пространствах. На протяжении настоящей работы, грубо говоря, рассматриваются два вопроса. Первый из них связан с выяснением условий при которых полугруппа асимптотическое конечномерна, эргодична в среднем, почти периодична или асимптотически устойчива. Второй вопрос касается сохранения при доминировании различных асимптотических свойств положительных полугрупп.

Настоящая работа состоит из пяти глав. В параграфе 1.1 (первом параграфе первой главы) для удобства читателя мы приводим ряд результатов теории операторных полугрупп необходимых для понимания основного текста. Здесь упомянуты лишь основные факты и понятия, более полное изложение темы можно найти в стандартных монографиях, например в [113], [65] и [75]. Параграф 1.2 содержит весьма общие результаты о полугруппах обладающих (квази) компактными констрикторами, полученные в работах [34], [38] и [29]. Не вдаваясь в детали, кратко сформу-i лируем один из результатов этого параграфа. Пусть Т — нерастягивающий (ЦТ|| < 1) линейный оператор на X. К. Фонг в работе [84] и Р. Сайн в работе [106] показали, что Т обладает компактным констриктором (т.е. существует компактное множество К такое, что ^lirn dist(Tnx, К) = 0 для любого х € X, ||ж|| < 1) в том и только том случае когда X разлагается в прямую сумму Т-инвариантных подпространств Xq(Т) = {ж : ^lim ||T"cc|| = 0} и ХГ{Т), причем dim ХГ(Т) < оо. В работе [34] М. Вольф и автор показали (см. следствие 42 параграфа 1.2), что в том случае когда X рефлексивно для существования подобного разложения вполне достаточно чтобы нашлось вещественное г], 0 < г/ < 1 такое, что для некоторого компактного К\ будет lim sup dist(Tna;, К\) < г). п-юо

Последнее условие существенно легче для проверки, чем условие jlim)dist(Tna;, К) = 0, однако в рефлексивном случае они оказываются равносильными. В статье [38] изучаются различные обобщения на случай (не обязательно мульти-параметрических) абеле-вых операторных полугрупп. Мы не будем касаться в настоящей работе такого рода обобщений. Отметим, что начало исследований т в этом направлении было положено в работе [33], где был построен первый пример нерастягивающего оператора на cq имеющего квази-компактный констристор (т.е. множество типа К + г}В\, где К — компакт, 0 < rf < 1, а, В\ — единичный шар в со), но не имеющего компактного констриктора. В работе [29] специально рассмотрен случай Co-полугрупп, и ряд результатов доказан с применением нестандартного анализа. В настоящей работе автор избегает применения нестандартного анализа, поскольку это потребовало бы написания значительного объема вводного текста. Результаты параграфа 1.2 по-видимому интересны с точки зре-* ния теории операторов на банаховых пространствах и, вероятно, с точки зрения теории Co-полугрупп. За небольшим исключением, данные результаты в других главах не используются. Во второй главе исследуется асимптотическое поведение положительных (главным образом марковских) операторных полугрупп на /^-пространствах. Здесь развивается и используется ряд новых методов, введенных недавно различными авторами. Основные результаты параграфа 2.1 опубликованы в [27]. Упомянем один из них. Пусть Т — марковский оператор на /^-пространстве Е. Ясно, что если Т имеет инвариантную плотность, скажем и, то lim sup ||Tnu — и\\ < 2, хотя-бы потому, что \\Тпи — и|| = О п—>оо при всех п Е IN. В работе [27] автором показано (см. теорему 54), что при наличие плотности w для которой lim sup \\Tnw — < 2 n—»oo оператор T имеет инвариантную плотность. Одним из приложений этого результата является критерий эргодичности в среднем — теорема 62 установленная во втором параграфе. Результаты параграфов 2.2 и 2.3 опубликованы в работах [39] и [27] (см. также обзор в [30]). Отметим некоторые из них. Недавно И. Корнфельд и М. Лин [62] показали (см. также более раннюю работу Й. Коморника [60]), что всякий эргодичный в среднем марковский оператор слабо почти периодичен. Теорема 56 обобщает этот результат на случай ограниченных положительных полугрупп. Еще одним результатом является аналог критерия А. Ласоты асимптотической устойчивости марковского оператора в случае если вместо сходимости по норме используется сходимость по Чезаро - теорема 66. Отметим, что терема 66, равно как и ряд других результатов параграфов 2.2 и 2.3 являются следствиями теоремы 58. В главе 2 также даются новые доказательства ряда результатов Ласоты и Коморника, в частности критерия Ласоты 65 асимптотической устойчивости марковского оператора. Остальная часть работы посвящена положительным операторным полугруппам на упорядоченных банаховых пространствах. Центральную роль здесь играет третья глава. В ней изучаются положительные полугруппы действующие на ряде важных классов упорядоченных банаховых пространств, а именно — на сильно нормальных пространствах (в этот класс в частности попадают С*-алгебры, предсопряженные пространства к алгебрам фон Неймана, а так-же банаховы решетки), и на равномерно порядково-выпуклых пространствах (/^-пространства при 1 < р < оо, а также предсопряженные к алгебрам фон Неймана). Среди результатов этой главы следует отметить теорему 82 говорящую о том, что при достаточно общих предположениях (например всегда когда рассматриваемое банахово пространство рефлексивно) из существования у полугруппы квази-порядково ограниченного констриктора можно сделать заключение о существовании порядково-ограниченного констриктора весьма регулярной формы. Эта теорема из работы [36] является далеко идущим обобщением основной леммы 3.3 работы [90] в которой рассматривался случай нерас-тягивающего оператора на банаховой решетке, а так-же теоремы 1 из [47], где условие нерастягиваемости опущено, однако по прежнему рассматривался лишь случай дискретной однопараметриче-ской полугруппы на банаховой решетке. Так-же стоит отметить ряд результатов касающихся наследования при асимптотическом доминировании эргодичности в среднем, почти периодичности и устойчивости приведенных в параграфе 3.3, но для их обсуждения надо обратиться непосредственно к тексту параграфа. Эти результаты опубликованы в [31], [32] и в [36]. Главы 4 и 5 можно читать независимо, но обе они основаны на результатах третьей главы. В четвертой главе рассматриваются положительные полугруппы на некоммутативных /^-пространствах (т.е. на предсопряженных пространствах к некоммутативным алгебрам фон Неймана). Отметим что эта глава содержит ряд результатов о марковских операторах на некоммутативных /^-пространствах близких по формулировке к результатам главы 2. Однако техника доказательства в некоммутативном случае совершенно новая, поскольку базовые факты про L^пространства как правило не допускают обобщения на некоммутативный случай, в частности, некоммутативные /^-пространства не являются банаховыми решетками. Результаты четвертой главы содержатся в [31], [35], [36] и в [37].

Остановимся на некоторых из них. Прежде всего это теорема 97 говорящая о том, что если М. — алгебра Неймана, а Л4за — самосопряженная часть предсопряженного пространства М* алгебры Л4, то конус М+ положительных нормальных линейных функционалов на Л4 сильно нормален в Msa. Этот достаточно нетривиальный факт позволяет применять многие результаты главы 3 к положительным полугруппам на .М*. Отметим также, что попутно в параграфе 4.1 устанавливается, что самосопряженная часть С*-алгебры А также имеет сильно нормальный конус. Теорема 97 опубликована в [36] и в [37].

Центральным результатом параграфа 4.2 является теорема 101, дающая условия, которые обеспечивают эргодичность в среднем марковской полугруппы на At*. Для коммутативного случая этот результат рассмотрен в параграфе 2.2. В частном случае одного марковского оператора эта теорема выглядит так. Пусть Т — марковский оператор на Л4*, д G Л4+, и 77 € IR, 0 < 77 < 1 такие, что lim sup dist(An(T)f, [—д,д]) < rj для любого нормального состояп-»оо п—1 ния f е М*, где Ап(Т) — £ £ Тк — среднее по Чезаро. Тогда Т к=0 эргодичен в среднем. Эта теорема вместе с теоремой 97 и теоремой 82 позволяет получить основной результат главы — теорему 106. Кроме того, теорема 101 — ключевой момент в доказательстве теоремы Сарымсакова - Грабарника - Аюпова 102 [10, Thm.2.4], [97, Thm.l], Отметим, что эта теорема 102 была анонсирована в [10] а затем в [97]. Однако в этих работах не приведено ее доказательство, и было ли оно где-либо опубликовано, автору неизвестно. Отметим также, что теорема 101 применяется в доказательстве теоремы 103 обобщающей теорему Сарымсакова - Грабарника -Аюпова в случае сходимости по Чезаро. Частный случай (впрочем достаточный для доказательства теоремы 102) теоремы 101 опубликован в [35]. Затем в общей форме эта теорема опубликована в препринте [37].

В параграфе 4.3 мы попытались, насколько возможно, получить аналог декомпозиционной теоремы Коморника - Ласоты 73. Наиболее сильный результат который удалось здесь получить - теорема 106. В частом случае одного оператора эта теорема звучит так. Пусть М. — алгебра фон Неймана и Т — положительный оператор на М.*. Предположим, что Т обладает констриктором у, у]+г}Вм, Для некоторого 0 < rj < 1 и некоторого у € .М+. То, тп—1 , гда существует предел w := ^lim^ ^ £ Тку и множество [—w, ги] — 0-констриктор для Т. В частности, Т слабо почти периодичен. Эта теорема имеет ряд следствий, которые при дополнительных предположениях на алгебру Л4 и на оператор Т являются достаточно удовлетворительными некоммутативными версиями теоремы 73. Результаты параграфа в основном взяты из работ [36] и [37].

Пятая глава посвящена положительным полугруппам на банаховых решетках. Банаховы решетки это банаховы пространства, наделенные решеточными операциями, согласованными со сложением векторов и умножением на скаляры, /^-пространства, где 1 < р < оо, С (К) и некоторые другие пространства являются примерами банаховых решеток. Отметим, что многие результаты главы 3 справедливы для банаховых решеток, поскольку они всегда имеют сильно нормальный конус (предложение 76). Результаты главы 5 содержатся в работах [26], [33], [47], [32], [31] и [28]. В параграфе 5.1 даются основные определения, касающиеся банаховых решеток и положительных операторов действующих на них.

В параграфе 5.2 обсуждается сохранение эргодичности в среднем и (слабой) почти периодичности положительных операторных noлугрупп при доминировании. Пусть S и Т — положительные линейные операторы на банаховой решетке такие, что S < Т. Возникает вопрос, какие свойства оператора Т наследуются оператором S. Множество результатов в этом направлении относится к сохранению компактности, слабой компактности, свойства Данфорда - Петтиса, свойства быть ядерным оператором и др. (см. обзор этих результатов [4], [80], [114]). В последние 15-20 лет возник интерес к исследованию спектральных и асимптотических свойств доминированных операторов, таких, как эргодичность в среднем и равномерная эргодичность, почти периодичность, квазикомпактность или соотношения включения периферических спектров (см. [6], [8], [19], [79], [82], [88], [89], [90], [91] и т.д.). Большинство результатов можно сформулировать как для (степеней) операторов, так и для Со-полугрупп. Например, Ф. Рэбигер в работе [89, Thm.3.9] показал, что если Т — положительный оператор на банаховой решетке Е с порядково-непрерывной нормой такой, что степени Тп сильно сходятся к проектору Рт конечного ранга, то для каждого оператора S на Е такого, что 0 < S < Т, степени Sn тоже сильно сходятся к проектору конечного ранга. Это заключение останется верным, если вместо условия конечности ранга Рт потребовать, чтобы спектр <т (Т) оператора Т не содержал единичной окружности (см. [91, Сог.4.3]). Аналогичное утверждение, как оказалось, справедливо для наследования почти периодичности при доминировании (см. [89, Prop.3.10], [91, Thm.4.2]). Нужно ли вообще накладывать дополнительные условия на оператор Т чтобы сохранить при доминировании сходимость степеней оператора или почти периодичность? Как было показано в работе [31], сохранение (даже при асимптотическом доминировании) этих свойств имеет место без каких-либо дополнительных предположений. Из результатов главы 3 выводится наследование соответствующих свойств полугрупп на банаховых решетках с порядково-непрерывной нормой даже без предположения нерасширяемости асимптотически доминированной полугруппы (теоремы 120 и 121). Основные результаты параграфа опубликованы в [32} и [31].

Параграф 5.3 посвящен исследованию того, как геометрия банаховой решетки влияет на асимптотические свойства положительной полугруппы, действующей в ней. Поскольку, здесь результаты как правило одни и те-же, как для дискретных так и для непрерывных полугрупп, ограничимся рассмотрением лишь полугруппы степеней одного оператора. Коснемся подробнее одной из такого рода проблем. Как известно, в любом рефлексивном банаховом пространстве всякий ограниченный со степенями оператор эргоди-чен в среднем. Верно ли обратное? Точнее, можно ли доказать, что если всякий ограниченный со степенями оператор на банаховом пространстве эргодичен в среднем, то это пространство рефлексивно. Это старая проблема теории банаховых пространств, она была поставлена JI. Сачестоном [107]. В общем случае проблема не решена, однако для некоторых классов банаховых пространств удается получить положительный ответ. Так в 1986 г. Р. Захаропол [115] дал положительный ответ для ^-пространств, именно, он показал, что если Е — банахова решетка, являющаяся ^-пространством, то каждый ограниченный со степенями положительный оператор Т : Е Е эргодичен в среднем, тогда и только тогда когда Е рефлексивно. Этот результат развивался и обобщался в различных направлениях в работах Рэбигера [87], автора [26], автора совместно с Вольфом и Рэбигером [34], [33], В. Фонфа, М. Лина и Р. Войташика [45]. Так Рэбигером [87] было построено несколько примеров не эргодичных в среднем операторов Т, удовлетворяющих условию 0 < Т < I на банаховых решетках, не являющихся ^-пространствами или на банаховых решетках содержащих топологически ортогональную систему и не имеющих порядково-непрерывной нормы. Затем автором, в работе [26] был дан положительный ответ на вопрос Сачестона для произвольных банаховых решеток. Этот результат обобщался и модифицировался в работах [34], [33] и [45]. В частности в работе [34] был дан положительный ответ на вопрос Сачестона для банаховых пространств допускающих изоморфное вложение со, а в работе [45] вопрос Сачестона был закрыт для банаховых пространств имеющих базис. Помимо проблемы Сачестона, в этом параграфе рассматриваются многочисленные связи геометрии банаховых решеток и асимптотических свойств операторных полугрупп действующих на них. В параграфе представлены результаты работ [26], [34] и [33].

Основные результаты диссертации докладывались автором на конференции Positivity and its Applications в Анкаре (Турция, 1998 г.) и Наймегене (Голландия 2001 г.), на конференции Quantum Probability and Infinite Dimensional Analysis в Котбу-ce (Германия, 2001 г.), а так-же на научных семинарах ИМ СО РАН (1998, 2000, 2002 гг.), институтов мат. статистики университетов Гетингена (Германия, 2002 г.) и Бонна (Германия, 2002 г.), технических университетов Ульма (Германия, 2001 г.), Дрездена (Германия, 2002 г.) и Анкары (Турция, 2002, 2003 гг.), а так-же на семинарах институтов математики при университетах Тюбингена и Штуттгарта (Германия, 2000-2002 гг.)

Результаты диссертации изложены в работах [26], [27], [28], [29],

33], [32], [34], [35], [36], [37], [38], [39], [40] и [31]. Статьи [33], [32],

34], [35], [36], [37], [38], [39], [40] и [31] совместные, в диссертацию из них включены результаты принадлежащие автору.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Емельянов, Эдуард Юрьевич, 2003 год

1. Абрамович Ю.А. Изометрии нормированных решеток// Оптимизация 1988. Т.43(60). 74-80.

2. Акешапп А. The dual space of an operator algebra// Trans. Amer. Math. Soc. 1967. V.126 P.286-302.

3. Allan G.R., Ransford T.J. Power-dominated elements in a Banach algebra// Studia Math. 1989. V.94. No.l. P.63-79.

4. Aliprantis CD., Burkinshaw O. Positive compact operators on Banach lattices// Math. Z. 1980. V.174. P.289-298.

5. Ahprantis CD., Burkinshaw O. Positive Operators// Academic Press, Orlando, London. 1985.

6. Andreu F., Mazon J.M. On the boundary spectrum of dominated Co-semigroups// Semigroup Forum 1989. V.38. P.129-139.

7. Arendt W., Batty C.J.K. Tauberian theorems and stability of one-parameter semigroups// Trans. Amer. Math. Soc. 1988. V.306. No.2. P.837-852.

8. Arendt W., Batty C.J.K. Domination and ergodicity for positive semigroups// Proc. Amer. Math. Soc. 1992. V.114. No.3. P. 743-747.

9. Arendt W., Batty C.J.K., Hieber M., Neubrander F. Vector- valued Laplace transforms and Cauchy problems// Monographs in Mathematics. V.96. Basel: Birkhaeuser 2001.

10. Calderon A. Sur les measures invariantes// C.R. Acad. Sci. Paris 1955. V.240. P.1960-1962.

11. Caselles V. On the peripheral spectrum of positive opera tors// Israel J. Math. 1987. V.58. P. 144-160.

12. Choi M.D., Effros E.G. Injectivity and operator spaces// J. Funct. Anal. 1977. V.24. P.156-209.

13. Day M.M. On the basis problem im normed spaces// Proc. Amer. Math. Soc. 1962. V.13. P.655-658.

14. Diestel J. Sequences and series in Banach spaces// Gradu ate Texts in Mathematics, V.92. Springer-Verlag, New York - Berlin 1984.

15. Dodds P.G., Fremlin D.H. Compact operators in Banach lat tices// Israel J. Math. 1979. V.34. No.4. P.287-320.

16. Derriennic Y., Krengel U. Subadditive mean ergodic theo rems// Ergodic Theory Dynamical Systems 1981. V.l. No.l. P.33-48.

17. Dowker Y.N. On measurable transformations in finite mea sure spaces// Ann. of Math. (2) 1955. V.62. P.504-516.

18. Emel'yanov E.Yu. Banach lattices on which every power- bounded operator is mean ergodic// Positivity 1997. V.l. No.4. P.291-296.

19. Emel'yanov E.Yu. Invariant densities and mean ergodicity of Markov operators// Israel J. Math. 2003. V.136. P.373-379. •к^

20. Ayupov Sh.A., Sarymsakov Т.A. Markov operators on quantum probability spaces// Probability theory and applications, Proc. World Congr. BernouUi Soc, Tashkent/USSR 1986. V.l. P.445-454.

21. Bartoszek W. Asymptotic periodicity of the iterates of positive contractions on Banach lattices// Studia Math. 1988. V.91. P.179-188.

22. Bartoszek W. On asymptotic cychcity of doubly stochastic operators// Ann. Pol. Math. 1999. V.72. P.146-152.

23. Bartoszek W., Brown T. On Frobenius-Perron operators which overlap supports// Bull. Pohsh Acad. Sci. Math. 1997. V.45. P.17-24.

24. Boyarsky A. Randomness implies order// J. Math. Anal. Appl. 1980. V.76. P.483-497.

25. Batty C.J.K. On some ergodic properties for continuous and affine functions// Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 1978. V.28. P.209-215.

26. Batty C.J.K., Robinson D.W. Positive one-parameter semigroups on ordered Banach spaces// Acta Applicandae Math. 1984. V.2. P.221-296.

27. Векслер A.И., Гейлер В.A. Порядковая и дизъюнктная полнота линейных полуупорядоченных пространств// Сиб. Мат. Журн. 1972. Т.13. No.l. 30-35.

28. Emel'yanov E.Yu. A remark to a theorem of Yu. A. Abramovich// Proc. Amer. Math. Soc. 2003.

29. Емельянов Э.Ю. Условия асимптотической конечномерности Co-полугруппы// Сиб. Мат. Журнал 2003. Т.44. No.5. 1015-1021.

30. Емельянов Э.Ю. Условия регулярности марковских полугрупп на AL-пространствах// Мат. Труды (в печати)

31. Emel'yanov E.Yu., Gorokhova S.G. A sufficient condition for the order boundedness of the attractor of a positive mean -** ergodic operator acting on a Banach lattice// Siberian Adv. Math. 1999. V.9.No.3. P.78-85.

32. Emel'yanov E.Yu., Kohler U., Rabiger F., Wolff M.P.H. Stability and almost periodicity of asymptotically dominated semigroups of positive operators// Proc. Amer. Math. Soc. 2001. V.129. P.2633-2642.

33. Emel'yanov E.Yu., Rabiger F., Wolff M.P.H. Asymptotic •», behavior of positive operators on Banach lattices// Positivity 2000. V.4. No.3. P.245-251.

34. Emel'yanov E.Yu., Wolff M.P.H. Mean ergodicity on Banach lattices and Banach spaces// Arch. Math. (Basel) 1999. V.72. No.3. P.214-218.

35. Emel'yanov E.Yu., Wolff M.P.H. Quasi constricted linear operators on Banach spaces// Studia Math. 2001. V.144. No.2. P.169-179.

36. Emel'yanov E.Yu., Wolff M.P.H. Asymptotic properties of Markov semigroups on preduals of von Neumann algebras// Препринт N.98, август 2002, CO PAH, Институт Математики им. Л. Соболева, 16 стр.

37. Emel'yanov E.Yu., Wolff M.P.H. Quasi constricted linear representations of abelian semigroups on Banach spaces// Math. Nachr. 2002. V.233-234. P.103-110.

38. Emel'yanov E.Yu., Wolff M.P.H. Mean lower bounds for Markov operators// Ann. Pol. Math. 2003.

39. Emihon R. Mean-Bounded Operators and Mean Ergodic Theorems// J. Funct. Anal. 1985. V.61. P.1-14.

41. Foguel S.R. The Ergodic Theory of Markov Processes// Van Nostrand-Reinhold, New York 1969.

42. Foguel S.R., Weiss B. On convex power series of a conservative Markov operator// Proc. Amer. Math. Soc. 1973. V.38. P.325-330.

43. Fonf V.P., Lin M., Wojtaszczyk P. Ergodic Characterization of Reflexivity of Banach spaces// J. Funct. Anal. 2001. V.187. P.146-162.

44. Gelfand I. Zur Theorie der Charaktere der Abelschen topolo- gischen Gruppen// Мат. Сборник (N.S.) 1941. V.9(51). C.49-50.

45. Goldstein J.A. Semigroups of linear operators and applications// Oxfcird Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York. 1985. x+245 pp.

46. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов// Успехи мат. наук 1957. Т.З. No.l. 43-118.

47. GouUet de Rugy А. La structure ideale des M-spaces// J. Math. Pures Appl. IX., Se. 1972. V.51. P.331-373.

48. Groh U. The peripheral point spectrum of Schwarz operators on C*-algebras// Math. Z. 1981. V.176. P.311-318. '

49. Groh и. Spectrum and asymptotic behaviour of completely positive maps on B(H)// Math. Japon. 1984. V.29. No.3. P.395-402.

50. Groh U. Spectral theory of positive semigroups on W*- algebras and their preduals// (in R. Nagel (ed.) One-parameter semigroups of positive operators) Lecture Notes in Math. 1986. V.1184.

51. Groh U., Neubrander F. Stabilitat starkstetiger, positiver Operatorhalbgruppen auf C*-Algebren// Math. Ann. 1981. V.256. No.4. P.509-516.

52. Helmberg H. On the converse of the Hopf'f ergodic theorem// Zeitschr. Warscheinlichkeitsth. verw Gebiete 1972. V.21. P.165-179.

53. Hille E. Functional Analysis and Semi-Groups// Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. V.31. Amer. Math. Soc, New York. 1948.

54. Hirschfeld R.A. On Nulls of Linear Operators// Math. Z. 1967. V.96. P.216-222.

55. Jamison B. Irreducible Markov operators on C{S)// Proc. Amer. Math. Soc. 1970. V.24. P.366-370.

56. Katznelson Y., Tzafriri L. On power bounded operators// J. Funct. Anal. 1986. V.68. P.313-328. h 183

57. Komornik J. Asymptotic periodicity of the iterates of weakly constrictive Markov operators// Tohoku Math. J. (2) 1986. V.38. No.l. P.15-27.

58. Komornik J. Asymptotic periodicity of Markov and related operators// Dynamics reported, Dynam. Report. Expositions Dynam. Systems (N.S.) 1993. V.2. P.31-68.

59. Komornik J., Lasota A. Asymptotic decomposition of Markov operators// Bull. Polish Acad. Sci. Math. 1987. V.35. No.5-6. P.321-327.

60. Kornfeld I., Lin M. Weak almost periodicity of Li- contractions and coboundaries of non-singular transformations / / Studia Math. 2000. V.138. P.225-240.

61. Крейн М.Г., Красносельский M.A., Мильман Д.П. О дефектных числах линейных операторов в банаховом пространстве и о некоторых геометрических вопросах Сб. трудов ин-та матем. АН УССР. 1948. Т.Н. 97-112.

62. Krein S.G. Linear Differential Equations in Banach spaces// Translations of Math. Monographs, Amer. Math. Soc, Providence, R.I., 1971.

63. Krengel U. Ergodic Theorems// De Gruyter, Berlin - New York. 1985.

64. Lamperti J. On the isometries of certain function-spaces// Pacific J. Math. 1958. V.8. P.459-466.

65. Lasota A. Statistical stability of deterministic systems// Lecture Notes in Math. 1983. V.1017. P.386-419.

66. Lasota A., Li T.Y., Yorke J.A. Asymptotic periodicity of the iterates of Markov operators// Trans. Amer. Math. Soc. 1984. V.286. P.751-764.

67. Lin M. Support overlapping L^ contractions and exact non-singular transformations// Colloq. Math. 2000. V.84/85. Part.2. P.515-520.

68. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces. Vol. I / / Ergeb. Math. Grenzgeb. V.92. Springer, Berlin. 1977.

69. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces. Vol. I I / / Ergeb. Math. Grenzgeb. Springer, Berlin. 1979.

70. ЛюбичЮ.И. Введение в теорию банаховых представлений групп// Харьков.: Вища шк. Издательство при Харьк. унте. 1985.

71. Любич М.Ю., Любич Ю.И. Спектральная теория почти периодических представлений полугрупп// Укр. мат. журн. 1984. Т.36. 632-636.

72. Lyubich Yu.L, Vu Quoc Phong Asymptotic stability of linear differential equations on Banach spaces// Studia Math. 1988. V.88. No.l. P.37-42.

73. Martinez J. The essential spectral radius of dominated positive operators// Proc. Amer. Math. Soc. 1993. V.118. P.489-492.

74. Martinez J., Mazon J.M. Quasi-compactness of dominated positive operators and Co-semigroups// Math. Z. 1991. V.207. No.l. P.109-120.

75. Meyer-Nieberg P. Banach Lattices// Universitext. Springer- Verlag, Berlin. 1991.

76. R. Nagel (ed.) One-parameter semigroups of positive operators// Lecture Notes in Mathematics 1986. V.1184. 82. de Pagter В., Schep A. Measures of non-compactness of operators in Banach lattices// J. Funct. Anal. 1988. V.78. P.31-55.

77. Pedersen G.K. C*-algebras and their automorphism groups// Academic Press London New York San Francisco. 1979.

78. By KyoK Фонг (Vu Quoc Phong) Асимптотическая почти периодичность и компактифицирующие представления полугрупп// Укр. мат. журн. 1985. Т.38. 688-692. ЧГ) •**

79. Vu Quoc Phong A short proof of the Y. Katznelson's and 1.. Tzafriri's theorem// Proc. Amer. Math. Soc. 1992. V.115. No.4. P.1023-1024.

80. Vu Quoc Phong Almost periodic and strongly stable semigroups of operators// Banach Center Publ. Pohsh Acad. Sci. Warsaw 1997. V.38. P.401-426.

81. Rabiger F. Ergodic Banach lattices// Indag. Math. (N.S.) 1990. V.l. No.4. P.483-488.

82. Rabiger F. Stability and ergodicity of dominated semigroups: I. The uniform case// Math. Z. 1993. V.214. P.43-54.

83. Rabiger F. Stability and ergodicity of dominated semigroups: II. The strong case// Math. Ann. 1993. V.297. P.103-116.

84. Rabiger F. Attractors and asymptotic periodicity of positive operators on Banach lattices// Forum Math. 1995. V.7. P.665-683.

85. Rabiger F., Wolff M.P.H. Spectral and asymptotic properties of dominated operators// J. Austral. Math. Soc. (Series A) 1997. V.63. P.16-31.

86. Rabiger F., Wolff M.P.H. On the approximation of positive operators and the behaviour of the spectra of the approxi-mants// Integr. Equ. Oper. Theory 1997. V.28. P.72-86.

87. Rabiger F., Wolff M.P.H. Spectral and asymptotic properties of resolvent-dominated operators// J. Austral. Math. Soc. (Series A) 2000. V.68. P. 181-2001. >^

88. Robinson D.W. Basic theory of one-parameter semigroups// Proc. Centre Math. Anal., Austrahan National University. Canberra 1982. iv+138 pp.

89. Sakai S. C*-algebras and H^*-algebras// Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 60. Springer-Verlag, New York - Heidelberg. 1971.

90. Сарымсаков T.A. Введение в квантовую теорию вероятностей// Фан, Ташкент. 1985. 184 стр.

91. Сарымсаков Т.А., Грабарник Т.Я. Регулярность монотонных непрерывных сжимающих операторов на алгебрах фон Неймана// Доклады АН Уз.ССР 1987. Т.6. 9-11.

92. Saxon S., Levin М. Every countable-codimensional subspace of a barrelled space is barrelled// Proc. Amer. Math. Soc. 1971. V.29. P.91-96.

93. Schaefer H.H. Banach Lattices and Positive Operators// Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 215. Springer-Verlag, New York - Heidelberg. 1974.

94. Schaefer H.H. On positive contractions in Z^-spaces// Trans. Amer. Math. Soc. 1980. V.257. P.261-268.

95. Schaefer H.H. (with Wolff M.P.H.) Topological Vector Spaces// 2nd ed. Graduate Texts in Mathematics, 3. Springer-Verlag, New York. 1999.

96. Segal I.E. A non-commutative extension of abstract integration// Annals Math. 1953. V.57. P.401-457. -v?

97. Sine R. A mean ergodic theorem// Proc. Amer. Math. Soc. 1970. V.24. No.2. P.438-439.

98. Sine R. A note on the ergodic properties of homeomor- phisms// Proc. Amer. Math. Soc. 1976. V.57. No.l. P.169-172.

99. Sine R. Weakly constricted operators and Jamison's conver gence theorem// Proc. Amer. Math. Soc. 1989. V.106. No.3. P.751-755.

100. Sine R. Constricted systems// Rocky Mountain J. Math. 1991. V.21. P.1373-1383.

101. Sucheston L. Problems, Probability in Banach Spaces// Lec ture Notes in Math. 1976. V.526. P.285-289.

102. Takesaki M. Theory of Operator Algebras I / / Springer- Verlag, New York - Heidelberg. 1979.

103. Yau-Chuen Wong, Kung-Fu Ng Partially Ordered Toplogical Vector Spaces// Clarendon Press: Oxford. 1973. I l l . Yau-Chuen Wong, Kung-Fu Ng Partially Ordered Toplogical Vector Spaces// Clarendon Press: Oxford. 1973.

104. Wolff M.P.H. Functional analysis. Nonstandard analysis for the working mathematician// Math. Appl. Kluwer Acad. Publ. -^ Dordrecht. 2000. V.510. P.97-136.

105. Yosida K. Functional analysis// Second edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berhn. 1968. -^

106. Zaanen А.С. Riesz Spaces II / / North-Holland: Amsterdam. 1983.

107. Zaharopol R. Mean Ergodicity of Power-Bounded Operators in Countably Order Complete Banach Lattices// Math. Z. 1986. V.192. No.l. P.81-88.

108. Zaharopol R. Strongly asymptotically stable Frobenius- Perron operators// Proc. Amer. Math. Soc. 2000. V.128. No.l2. P.3547-3552.

109. Zemanek J. On the Gelfand - Hille theorems// Functional analysis and operator theory (Warsaw, 1992). Banach Center Publ. V.30. P.369-385. Polish Acad. Sci. - Warsaw 1994.