ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИКИ УПРУГИХ ОБЪЕКТОВ В ОДНОМЕРНОЙ ПОСТАНОВКЕ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Утяшев Ильнур Мирзович

• Утяшев Ильнур Мирзович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Утяшев Ильнур Мирзович

Введение

Глава 1. Обзор литературы

Глава 2. Задачи идентификации граничных условий

2.1 Идентификация граничных условий струны

2.1.1 Модель и постановка задачи для д(х) =

2.1.2 Разработка методов диагностирования основанного на численном моделирования

2.1.3 Постановка задачи для струны с потенциалом д(х)

2.1.4 Решение прямой задачи с учетом потенциала д(х) =

2.1.5 Оценка метода нахождения собственных значений

2.1.6 Идентификация граничных условий с учетом д(х)

2.2 Оценка погрешности метода идентификации

2.3 Применения метода диагностирования на примере кольцевой мембраны

2.4 Программная реализация метода идентификации граничных условий кольцевой мембраны

Глава 3. Обратная задача идентификации параметра силы натяжения

3.1 Модель и постановка задачи

3.2 Метод диагностирования параметра растягивающей силы . . 69 Глава 4. Задача о продольном ударе по стержню

4.1 Модель и постановка задачи для стержня

4.2 Решение задачи о продольном ударе по стержню

4.2.1 Ретроспективная задача о колебании струны

4.3 Программная реализация задачи идентификации параметров удара по стержню

Заключение

Литература

Список обозначений

В работе используются следующие обозначения: ОИ — Объект исследования ОЗ — Обратные задачи

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИКИ УПРУГИХ ОБЪЕКТОВ В ОДНОМЕРНОЙ ПОСТАНОВКЕ»

Введение

Современная научно-инженерная практика основана на моделировании явлений и процессов, встречающихся в различных сферах деятельности человека. Стремление познавать окружающий мир, осуществлять краткосрочное и долгосрочное прогнозирование и управление привело человека к некоторой идеализации окружающих предметов и явлений, которые в реальности характеризуются множеством разнообразных проявлений. Стремительное развитие вычислительной техники дало мощный толчок для развития математического моделирования процессов и явлений. Большие вычислительные мощности и богатый математический аппарат дает возможность создать математическую модель сложного процесса значительно быстрее и с высокой точностью.

Для описания некоторых процессов или явлений, которые в дальнейшем будем именовать объектами исследования (ОИ), для понимания основных закономерностей их функционирования, прогнозирования дальнейшего поведения необходимо абстрагироваться от реального процесса, заменяя его упрощенным — идеальным, где учитываются один или несколько факторов, характеризующих его свойства. Исследователь всегда стоит перед дилеммой: либо использовать простейшую модель, для которой возможно получить аналитическое решение, либо более сложную, для которой можно получить лишь численное решение. При этом во внимание принимаются различные соображения; главное же требование математического моделирования — адекватность модели изучаемому процессу.

Основными источниками информации, на основании которой формулируются содержательные гипотезы о влиянии того или иного фактора на поведение объекта исследования и предлагается некоторое упрощенное его описание, являются наблюдение и эксперимент. Если при наблюдении просто фиксируются некоторые характеристики процесса, то в экспери-

менте можно активно воздействовать на объект исследования при помощи некоторых полей (вход) и регистрировать его отклик на это воздействие (выход). Установление связи между входом и выходом, а также прогнозирование поведения объекта исследования при изменении внешних факторов составляют главную задачу математического моделирования.

В современной литературе и инженерной практике достаточно внимания уделяется методологии осуществления прогнозирования поведения ОИ на основе известных моделей механики деформируемого твердого тела, например расчетам на прочность, устойчивость и динамическое поведение конструкций на основе моделей упругого, упругопластического или вяз-коупругого тела, других моделей механики сплошной среды. Эти модели формировались на основе длительной практической проверки в течение многих десятилетий.

Как правило, расчеты для таких моделей осуществляются либо на основе формул сопротивления материалов, либо на основе одной из вычислительных технологий, например на основе методов конечных или граничных элементов. Вместе с тем следует отметить, что в настоящее время в практику внедряется огромное количество новых конструкционных материалов: композитов различной структуры с разными составляющими, керамик, полимеров, пьезоматериалов, материалов с памятью формы и т.д., обладающих низкой себестоимостью, технологичностью по сравнению с традиционными строительными и конструкционными материалами.

При этом особую значимость приобретают как процедура надежной идентификации новых материалов, т.е. определения физических характеристик, используемых для инженерных расчетов, так и совершенствование методик своевременного выявления дефектов в материалах и конструкциях, как на этапе создания, так и в процессе эксплуатации.

С точки зрения причинно-следственных связей задачи математического моделирования можно разбить на два класса: прямые задачи и об-

ратные задачи. Заметим, что для современного исследователя необходимо четкое понимание различий, как в постановке, так и в методах решения прямых и обратных задач.

Для прямых задач известны причины, требуется найти следствия. В качестве причин могут фигурировать следующие факторы.

1. Начальные условия для модели.

2. Коэффициенты дифференциальных операторов, описывающих модель.

3. Граничные условия.

4. Область, занятая изучаемым объектом (геометрия области).

В качестве следствий в механике и физике используются обычно компоненты физических полей (перемещения, напряжения, деформации, температура, электрический потенциал). Прямые задачи составляют суть современной классической механики и математической физики, которые формировались на протяжении более чем 200 последних лет и превратились в мощный инструмент моделирования и познания. Для таких задач детально разработаны аналитические и численные методы решения, доказаны теоремы существования и единственности. На сегодняшний день наиболее популярными численными методами при моделировании в математической физике являются: метод конечных разностей, методы конечных и граничных элементов, которым посвящена обширная литература. Для них созданы различные пакеты программ, реализующие соответствующие технологии; они интенсивно развиваются, опираясь на современные достижения в области вычислительной техники и вычислительной математики.

Для обратных задач (ОЗ) ситуация иная: известны следствия, требуется найти причины и определить факторы 1 - 4 (либо один из них) по некоторой дополнительной информации об объекте исследования и, по сути, осуществить обращение причинно-следственных связей.

Отметим ряд отечественных и зарубежных монографий [1,5,10,24, 29, 37, 50, 51, 59, 67, 68, 79, 80], в которых освещены различные постановки, методы решения, условия, обеспечивающие единственность, и другие аспекты исследования обратных задач.

Обратные задачи имеют постоянно расширяющиеся области приложения в инженерной практике, среди которых выделим следующие.

1. Определение свойств материалов (механических, теплофизических), идентификация полимерных и композитных материалов, биоматериалов, пьезокерамик.

2. Задачи сейсморазведки (определение расположения и мощности залежей полезных ископаемых по отраженным от месторождения звуковым сигналам).

3. Проблемы неразрушающего контроля (определение расположения и конфигурации дефекта по измеренному полю упругих смещений на поверхности тела или по резонансным частотам).

4. Моделирование явления акустической эмиссии и установления связи основных характеристик эмиссии с характеристиками напряженного состояния; это явление стало в последние годы одним из перспективных способов выявления предразрушающего состояния конструкций.

5. Задачи рентгеновской и акустической томографии. Отметим, что единые подходы к различным классам обратных задач, которые в условной форме сформулированы в [10] и требующие восстановления одной или нескольких причин, могут быть сформулированы лишь на общем фундаменте функционального анализа. Ключевым моментом в исследовании обратных задач является построение связей между входом и выходом ОИ, что приводит к операторным уравнениям с компактными операторами, при обращении которых необходимо использовать регуляризацию в той или иной форме.

Обзор некоторых постановок обратных задач. При изучении физических объектов или процессов с помощью экспериментов и наблюдения типична ситуация, когда интересующие исследователя параметры объекта недоступны для непосредственного измерения или наблюдения. Кроме того, бывают ситуации когда проведение самого эксперимента вообще невозможно, потому что он либо запрещен (например, может негативно сказаться на здоровье человека), либо слишком опасен (например, при изучении радиоактивных элементов), или же эксперимент может быть слишком дорогостоящим.

Тем не менее, практически всегда можно получить некоторую косвенную информацию об объекте исследования, по которой можно сделать заключение о свойствах изучаемого объекта или процесса. Как правило, однотипные обьекты имеют схожие характеристики. Например, зная параметры исправной детали, по изменению его параметров отклика можно диагностировать повреждения или дефекты. В таких ситуациях для диагностики объектов (например, геометрию тела) требуются математическая обработка и интерпретация результатов экспериментов.

Рассмотрим задачи определения причины повлекшие изменения начального состояния системы, если известны параметры системы после воздействия внешних факторов. Например, определить место и мощность землетрясения по измеренным на поверхности земли колебаниям. С помощью обработки данных натурных экспериментов по дополнительным косвенным измерениям делается вывод о внутренних связях явления или процесса. Когда структура математической модели исследуемого процесса известна, можно ставить проблему идентификации параметров математической модели, например, определение начальных условий, границы области, граничных условий, коэффициентов дифференциальных уравнений, правой части. Подобные задачи относятся к классу обратных и некорректных задач и в

настоящий момент играют большую роль в естественных науках и их приложениях.

В целом под обратными задачами понимаются задачи, решение которых состоит в обращении причинно-следственных связей, проводится в рамках некоторой математической модели исследуемого объекта или процесса и заключается в определении параметров данной модели по имеющимся результатам наблюдений и другой экспериментальной информации.

Целью данной работы является идентификация видов краевых условий и переменного натяжения струн методами численного моделирования, а также определение этими методами времени удара по стержню, длины стержня, массы ударяющего груза и его скорости.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Математическое моделирование идентификации видов краевых условий и переменного натяжения струн, а также определение времени удара по стержню, длины стержня, массы ударяющего груза и его скорости с помощью краевых задач с дифференциальными уравнениями второго порядка (п.1 паспорта специальности 05.13.18).

2. Разработка численных методов решения задач идентификации видов краевых условий и переменного натяжения струн, а также идентификации времени удара по стержню, длины стержня, массы ударяющего груза и его скорости (п.4 паспорта специальности 05.13.18).

3. Создание комплекса программ для решения этих задач идентификации (п.8 паспорта специальности 05.13.18).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Метод моделирования граничных условий для задачи идентификации вида и параметров закрепления механических систем, основанный на представлении коэффициентов граничных условий в виде матрицы, определяемой с точностью до линейных преобразований строк.

2. Аналитический метод, позволяющий идентифицировать вид и параметры закреплений струн и кольцевых мембран по собственным частотам колебаний с использованием условий Плюккера.

3. Для задачи о колебании струны с переменным натяжением предложен новый метод идентификации закона изменения растягивающей силы по изменению амплитуды или длины волн.

4. Предложена простейшая математическая модель разрушения трубопровода (под водой), и на основе этой модели решена задача приближенного определения места, времени прорыва, а также его масштабов по показаниям тензодатчика, изначально встроенного в трубопровод. (В этой модели трубопровод моделируется стержнем, по торцу которого совершен удар. Колебания трубопровода моделируются продольными колебаниями стержня, место прорыва моделируется длиной стержня. «Масштабы разрушения» определяются массой и скоростью «груза», которым нанесен удар).

5. Комплекс программ для решения изучаемых задач идентификации. Научная новизна:

1. Предложена математическая модель краевых условий в виде матрицы, определяемой с точностью до линейных преобразований строк. На основе предложенной модели решена задача идентификации закреплений струн (с точностью до перестановок местами ее концов) и кольцевых мембран по двум (трем) собственным частотам колебаний, которая отличается от ранее решенных задач тем, что идентифицируются не только параметры, но и вид краевый условий. Кроме того, впервые условие Плюккера используется непосредственно для нахождения самого решения, а не для доказательства корректности. Разработана программа для численных расчетов. Методами фильтрации численных результатов показана устойчивость и хорошая сходимость метода.

2. Решена задача идентификации краевых условий струны по двум собственным значениям. Найдено решение в случае, когда в задаче Штурма-Лиувилля потенциал q (х) = 0 ив случае, когда q(x) = 0 и симметричен. Показано, что если потенциал q(x) симметричен, то метод решения задачи идентификации совпадает с методом решения без потенциала.

3. Предложена математическая модель колебаний струны с переменным натяжением при больших временах. Получено решение задачи идентификации переменной силы натяжения по амплитудам колебаний струны, которая ранее не была решена.

4. Предложена простейшая математическая модель разрушения трубопровода (под водой), и на основе этой модели впервые решена задача приближенного определения места, времени прорыва, а также его масштабов по показаниям тензодатчика, изначально встроенного в трубопровод. (В этой модели трубопровод моделируется стержнем, по торцу которого совершен удар. Колебания трубопровода моделируются продольными колебаниями стержня, место прорыва моделируется длиной стержня. «Масштабы разрушения» определяются массой и скоростью «груза», которым нанесен удар).

5. На основе предложенных моделей разработаны численные методы решения соответствующих задач идентификации, а также составлены соответствующие комплексы программ. Доказана сходимость полученных решений методами многокомпонентного анализа. Фильтрация численных результатов экстраполяционный формулой Ричардсона показала хорошую сходимость решений.

Научная и практическая значимость диссертационный работы. Решение задачи идентификации закреплений механических систем по собственным частотам колебаний имеет приложения в вибродиагностике. Применение предложенного метода дает возможность диагностирования недо-

ступных для визуального осмотра закреплений струн, мембран, и т.д. Особенность решения заключается в том, что для идентификации используется не весь спектр собственных частот, а лишь его часть. Также полученные результаты имеют приложения в виброзащите для ухода от резонансных частот. Решение обратной задачи о колебании струны с переменным натяжением имеет многочисленные применения, например, в изучении динамики всевозможных растяжек, тросов, канатов, строп, шлангов и т. д. Предложенная простейшая модель разрушения трубопровода может быть применима для раннего диагностирования прорыва трубопровода, проложенного под водой. Данная задача становиться особенно актуальной, когда труба проложена на большой глубине, и кроме этого присутствуют подводные течения, затрудняющее поиск места прорыва и его масштабы.

Степень достоверности изложенных в работе результатов обеспечивается строгостью аналитических доказательств полученных результатов. Численные алгоритмы апробированы на известных решениях других авторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Third Congress of the World Mathematical Society of Turkic Countries (Almaty: al-Farabi Kazakh National University, 2009), международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и её приложения в естествознании"(г.Уфа, БашГУ,2009, 2010, 2012, 2014), всероссийская научно-практической конференция "Прикладная информатика и компьютерное моделирование"(г. Уфа, БГПУ им. М. Акмуллы, 2012), международная научно-практической конференция с элементами научной школы для молодых ученых "48-е Евсевьевские чтения посвященная 50-летию института «Математика. Физика. Информатика» (г. Саранск, Мордов. гос. пед. ин-т., 2012), V Российская конференция с международным участием «Многофазные системы: теория и приложение», посвященной 20-летию со

дня основания Института механики им. Р.Р. Мавлютова УНЦ РАН (г. Уфа, 2012), международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы"(г. Стерлитамак, 2013), всероссийская молодежная научно-практическая конференция "Актуальные вопросы науки и обра-зования"(г. Уфа, 2013), II всероссийская научно-практическая конференция с международным участием "Математическое моделирование процессов и систем"(г. Стерлитамак, 2013), всероссийская научная конференция "Инновационный потенциал молодежной науки"(г.Уфа, 2013), международная конференция «Спектральная теория и дифференциальные уравнения», по-свящённая 100-летию Б. М. Левитана (г.Москва, 2014), II международная научно-практическая конференция «Современные проблемы науки и образования в техническом вузе» (г. Стерлитамак,2015 г.), XI всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, 2015).

Диссертационная работа была выполнена при поддержке грантов № 14-01-00740-а (РФФИ) «Взаимодействие упругой и гидродинамической неустойчивостей», 2014г.; № 14-01-97013-р_поволжье_а (РФФИ) «Динамические модели стержней, балок, валов с локальными повреждениями: прямые и обратные задачи», 2014г.; № 14-01-97010-р_поволжье_а (РФФИ) «Обратные спектральные задачи и акустическая диагностика механических систем и неоднородных сред», 2014г.

Личный вклад. В совместных публикациях А.М. Ахтямову принадлежит постановка задач, а И.М. Утяшеву - построение математических моделей; разработка аналитических и численных методов решения поставленных задач, а также создание комплексов программ.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [7,1519,82-98], 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 2 — зарегистрированные программные продукты, 17 — материалы конференций.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объем диссертации 107 страниц текста с 31 рисунками и 6 таблицами. Список литературы содержит 104 наименований.

Глава 1. Обзор литературы

Первая глава посвящена обзору научной литературы по изучаемой проблеме. Здесь также затрагиваются некоторые вопросы математического моделирования, вводятся понятия о прямых и обратных задачах. Приведена классификация обратных задач.

Исторический обзор

Публикации по обратным и некорректным задачам появились в первой половине двадцатого века. Они были посвящены задачам физики (обратные задачи квантовой теории рассеяния), геофизике (обратные задачи электроразведки, сейсмики, теории потенциала), астрономии и другими областями естествознания. С развитием микроэлектроники и появлением мощных вычислительных компьютеров область приложений обратных и некорректных задач охватила практически все научные дисциплины, в которых используются математические методы. В прямых задачах математической физики исследователи стремятся найти (в явной форме или приближенно) функции, описывающие различные физические процессы, например, диффузия, колебания механических систем, распространения волн и возмущений, электромагнитных волн и так далее. Как правило, свойства исследуемой среды (коэффициенты уравнений), а также начальное состояние процесса (в нестационарном случае) или его свойства на границе (в случае ограниченной области и/или в стационарном случае) определены. Однако, именно параметры среды часто являются неизвестными и требуют определения. И тогда возникают обратные задачи, в которых по информации о решении прямой задачи требуется определить коэффициенты уравнений. Эти задачи в большинстве случаев некорректны (неустойчивы по отношению к погрешностям измерений). С другой стороны, искомыми

коэффициентами уравнений являются, как правило, такие важные характеристики исследуемых сред, как плотность, электропроводность, теплопроводность и так далее. Решение обратных задач может помочь также определить местоположение, форму и структуру включений, дефектов, источников (тепла, колебаний, напряжения, загрязнения) и так далее. Так как обратные и некорректные задачи получили такой широкий набор приложений, эта теория стала одной из наиболее стремительно развивающихся областей современной науки. Неудивительно, что при таком широком наборе приложений теория обратных и некорректных задач с момента своего появления стала одной из наиболее стремительно развивающихся областей современной науки. Во всем мире каждый год публикуется огромное число научных публикаций, в которых в той или иной мере исследуются обратные и некорректные задачи [44], [57].

Некоторые вопросы математического моделирования

Изучение окружающего мира привело человека к некоторой идеализации исследуемых предметов и явлений. При этом для понимания основных закономерностей моделируемого процесса необходимо было абстрагироваться от реального процесса, заменяя его идеальным, где учитывается одно или несколько главных его свойств. Предположим, что необходимо описать поведение некоторого физического процесса или явления, которое в дальнейшем будем именовать объектом исследования (ОИ). Основными источниками информации, на основании которых изучается ОИ, являются наблюдение и эксперимент. Если при наблюдении просто фиксируются некоторые черты поведения ОИ, то в эксперименте можно активно воздействовать на ОИ (вход) и регистрировать его отклик на это воздействие (выход). Установление связи между входом и выходом ОИ составляет главную задачу математического моделирования.

Определение Математической моделью [10] ОИ называется абстрактное средство его приближенного отображения при помощи математического описания существенных факторов ОИ с сохранением взаимосвязей между ними.

Для построения математической модели ОИ на основании установления связи между входом и выходом необходимо выбрать вид этой связи или определить структуру оператора, осуществляющего отображение входа и(Ь) на выход /(£). При этом одному ОИ может быть поставлено в соответствие несколько математических моделей, отличающихся числом и степенью учета различных факторов.

Пусть Аи = / - математическая модель ОИ, где А : и ^ Е некоторый оператор, и, Е - функциональные пространства. Задача определения оператора А (идентификация ОИ) может быть разделена на два этапа: 1 этап — структурная идентификация, 2 этап - параметрическая идентификация.

На первом этапе определяется (или выбирается) структура оператора А. Например, при описании движения твердого тела (стрелы, ракеты) можно использовать следующие уровни, определяющие структуру модели:

а) материальная точка, абсолютно твердое тело (модели теоретической механики);

б) стержень, балка, пластина (модели сопротивления материалов);

в) трехмерное упругое тело (модели теории упругости);

г) упругое тело с неупругими элементами (модели механики сплошной среды).

При этом в моделировании используются следующие основные виды операторов:

1. конечномерный оператор ( А - матрица, Аи = / - система линейных

алгебраических уравнений);

2. дифференциальный оператор (или матричный дифференциальный оператор);

3. дифференциальный оператор в частных производных;

4. более сложные операторы - интегральные, интегро-дифференциальные операторы, интегро-функциональные уравнения (здесь А - достаточно общий абстрактный оператор).

На втором этапе структурной идентификации определяются числовые параметры, входящие в описание оператора А.

С точки зрения соотношений причина-следствие все задачи математического моделирования можно разбить на два больших класса: прямые задачи и обратные задачи.

Прямые и обратные задачи

Прямые задачи. Для этого класса задач известны причины, требуется найти следствия. В качестве причин могут фигурировать начальные условия, коэффициенты дифференциальных операторов, граничные условия, геометрия области.

В качестве следствий в механике используются обычно компоненты физических полей (перемещения, напряжения, деформации, температура, электрический потенциал).

Прямые задачи составляют суть современной математической физики [58], [101], которая формировалась как область математики на протяжении более двух столетий. Для таких задач детально разработаны методы решения, доказаны теоремы существования и единственности.

Обратные задачи и их классификация. Для этого класса задач известны следствия, требуется найти причины и определить их по некоторой дополнительной информации об ОИ. Эти задачи стали предметом исследований в математике относительно недавно, первые работы в этом

направлении относятся к началу XX века, а более интенсивно разработки в этой области математического моделирования начали проводиться в 70-80-х годах прошлого века [29], [37], [51].

В книге Ватульяна А.О. [32] приведена следующая классификация обратных задач [10], [37], [42]:

1. Граничные обратные задачи (задачи об определении условий на границе).

2. Геометрические обратные задачи (задачи об определении области, занятой ОИ). Задачи данного типа получили широкое применение в компьютерной томографии [43,60,78].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Утяшев Ильнур Мирзович, 2016 год

Литература

1. Bui H.D. Inverse Problems in the Mechanic of Materials: An Introduction. — CRC Press, Boca Raton, FL, 1994.

2. Freiling, G., Yurko, V. A. Inverse problems for Sturm-Liouville equations with boundary conditions polynomially dependent on the spectral parameter // Inverse Problems, 2010. V. 26. No 5. 055003 (17pp).

3. Gladwell G.M.L. Inverse Problems in Vibration. 2nd ed. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2004. (Русский перевод: Гладвелл Г.М.Л. Обратные задачи теории колебаний. М. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2008.

4. Hodge W. V. D., Pedoe D. Methods of Algebraic Geometry. Cambridge: Cambridge Univ.Press, 1994.

5. Isakov V. Inverse problems for PDE. Springer-Verlag, 2005.

6. Thompson J. M. T., Bokaian A. R. and Ghaffari R. Subharmonic resonances and chaotic motions of a bilinear oscillator. // IMA J. Appl. Math, 1983. V. 31. № 3. P. 207-234.

7. Utyashev I.M. Retrospective problem of distribution of cross-section waves: Abstracts of the Third Congress of the World Mathematical Society of Turkic Countries, Volume 1 (June 30 July 4, 2009) / Edited by Academician Bakhytzhan T. Zhumagulov. - Almaty: al-Farabi Kazakh National University, 2009. p. 303

8. Virgin L.N. On the harmonic response of an oscillator with unsymmetric restoring force // J. of Sound and Vibration, 1998. V.126 (1). P. 157-165.

9. Аксенова З.Ф., Ахтямов А.М. Акустическая диагностика сосредоточенных масс на концах струнного графа с упругим закреплением

на концах // Вестник Башкирского университета, 2014. Т. 19. № 1. С. 158-163.

10. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач, 1988. М.: Наука.

11. Ахтямов А. М, Муфтахов А. В. Корректность по Тихонову задачи идентификации закреплений механических систем // Сибирский журнал индустриальной математики, 2012. Том XV, № 4(52). С. 2437.

12. Ахтямов А. М. К единственности решения одной обратной спектральной задачи // Дифференциальные уравнения, 2003. Т. 39. № 8. C. 1011-1015.

13. Ахтямов А. М. Можно ли определить вид закрепления колеблющейся пластины по ее звучанию? // Акустический журнал, 2003. Т. 49. № 3. C. 325-331.

14. Ахтямов А.М., Муфтахов А.В., Ахтямова А.А. Об определении закрепления и нагруженности одного из концов стержня по собственным частотам его колебаний // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2013. Вып. 3. С. 114129.

15. Ахтямов А.М., Утяшев И.М. Метод подбора для идентификации краевых условий по собственным частотам колебаний в случае упругого закрепления // Материалы международной научно-практической конференции с элементами научной школы для молодых ученых - 48-е Евсевьевские чтения , посвященная 50-летию института «Математика. Физика. Информатика», 23-25 мая 2012 г.: [материалы] / редкол.: С.М. Мумряева (отв. ред.) [и др.]; Мордов. гос. пед. ин-т. - Саранск, 2012. С. 42-47.

16. Ахтямов А.М., Утяшев И.М. Обратная задача распространения поперечных волн // Фундаментальная математика и её приложения в

естествознании, Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых, тезисы докладов, 2010. С. 15

17. Ахтямов А.М., Утяшев И.М. Ретроспективная задача распространения поперечных волн // Контроль. Диагностика, 2010. № 4. С. 36-38

18. Утяшев И.М. Ретроспективная задача распространения поперечных волн // Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и её приложения в естествознании». Математика. Том 1. Уфа: РИЦ БашГУ, 2009. 438-443 с.

19. Ахтямов А.М., Утяшев И.М. Ретроспективная задача распространения поперечных волн // Фундаментальная математика и её приложения в естествознании, Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых, тезисы докладов, 2009г. 35 с.

20. Ахтямов А.М. Определение массы, скорости движения груза и места его удара по стержню с помощью продольных смещений одного из сечений стержня // Контроль. Диагностика. 2007. № 11. с.59-60.

21. Ахтямов А.М. Распознавание закрепления кольцевой мембраны по собственным частотам ее колебаний // Известия РАЕН. МММИУ. 2001. Т. 5. № 3, с. 103-110.

22. Ахтямов А.М. Теория идентификации краевых условий и ее приложения. М.: Физматлит, 2009. 272 с.

23. Ахтямов А.М. Теория идентификации краевых условий. Уфа: Гилем, 2007. С.274

24. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. М.: МГУ, 1989.

25. Балакин А.Б. Три лекции по теории функций Бесселя: Учебно-методическое пособие / А.Б. Балакин. Казань: Казанский государственный университет, 2009. 39 с.

26. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. 10-е изд., испр.. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 304 с.

27. Болотин В.В. Колебания линейных систем. Том 1. М.: Машиностроение, 1978.

28. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике: учеб. Пособие. 3-е изд. М.: Наука, 1980. 688 с.

29. Бухгейм А. Л. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988.

30. Ватульян А. О., Беляк О. А., Сухов Д. Ю., Явруян О. В. Обратные и некорректные задачи: учебник. Ростов-на-Дону: Издательство Южного федерального университета, 2011. 232 с.

31. Ватульян А. О. Математические модели и обратные задачи // Соро-совский образовательный журнал, 1998. №11. С. 143 - 148.

32. Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит, 2007. 224с.

33. Вибрации в технике. Т.1. Колебания линейных систем / под ред. В.В. Болотина. М.: Машиностроение. 1978. 352 с.

34. Гонткевич В.С. Собственные колебания пластинок и оболочек. Киев: Наукова думка, 1964. 288с.

35. Губанов А.И., Николаев А.Б., Остроух А.В., Ефименко Д.Б. Концепция автоматизированной навигационной системы диспетчерского контроля и учета работы транспорта нефтедобывающих и нефтеперерабатывающих предприятий //Автоматизация, телемеханизация и связь в нефтяной промышленности, 2011. №. 11. С. 12 - 14.

36. Демьянов Ю.А., Кокорева Д.В., Малашин А.А. Взаимовлияние поперечных и продольных колебаний в музыкальных инструментах // ПММ, 2003. Том 67. №2. С. 273 -- 283.

37. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.: МГУ, 1994.

38. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Физматлит, 2004. 464 с.

39. Житников В.П., Шерыхалина Н.М. Моделирование течений весомой жидкости с применением методов многокомпонетного анализа / В.П. Житников, Н.М. Шерыхалина. Уфа:Гилем, 2009. 336 с.

40. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

41. Ильгамов М. А., Ридель В. В. Режимы разрывных колебаний в абсолютно гибкой нити // ДАН, 1995. Том 343. № 4. С. 478 - 481.

42. Ильинский Н.Б. Обратные краевые задачи и их приложения // Соро-совский Образовательный Журнал, 1997. № 4. С. 105 - 110.

43. Кабанихин С.И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. — Новосибирск: Наука, 1988.

44. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Учебник для студентов высших учебных заведений. Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. С. 10

45. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М.:Наука, 1968. С. 422 - 423.

46. Комеч А.И. Практическое решение уравнений математической физики. Учебно-методическое пособие. М.: МГУ, 1993. 155 с.

47. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Физматгиз, 1962. 768 с.

48. Кравчук А. С. Основы компьютерной томографии. М.: Дрофа, 2001.

49. Лаврентьев М. М. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999.

50. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский СП. Некорректные задачи математической физики и анализа. М: Наука, 1980.

51. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. - М.: Мир, 1970.

52. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма - Лиувилля. М.: Нау-ка,1984. 240 с.

53. Льюнг Л.Идентификация систем. М.: Мир,1991.

54. Лютикова М.Н. Модель влияния оценки трещиноподобных дефектов на прочностные и гидравлические свойства трубопроводов. //Автоматизация, телемеханизация и связь в нефтяной промышленности, 2012. №. 2. С. 38 - 40.

55. Мартынова Ю. В. Модельная обратная спектральная задача для оператора Штурма-Лиувилля на геометрическом графе // Вестник Башкирского университета, 2011. Т. 16. №1. С. 4-10.

56. Марченко В.А. Операторы Штурма - Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка, 1977.

57. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М.: Мир, 1974.

58. Мизохота С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977.

59. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1987.

60. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М.: Мир, 1990.

61. Неймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.:Наука, 1969. 526 с.

62. Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001.

63. Постников М. М. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1979.

64. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1992.

65. Ридель В.В., Гулин Б.В. Динамика мягких оболочек. М.:Наука, 1990.

66. Ридель В.В., Ильгамов М.А. Нелинейные волны в абсолютно гибкой нити // ПМТФ. 1997. Т.38, №6. С. 139-146.

67. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. — М.: Наука, 1984.

68. Самарский А. А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Едиториал УРСС, 2004.

69. Светлицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов. М.: Машиностроение, 1982. 279 с.

70. Сергиенко И.В. Системный анализ многокомпонентных распределенных систем / И.В.Сергиенко, В.С.Дейнека; НАН Украины, Институт кибернетики им. В.М.Глушкова. Киев: Наукова думка, 2009. 639 с.

71. Сидоров Б.В., Мартынов С.А. Рекомендуемая технология диагностики подземных трубопроводов // Контроль. Диагностика, 2005. № 12. С. 18 - 19.

72. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики. М.:Наука, 1975. С. 81-82.

73. Смринов И.П., Бурдуковская В.Г., Кошкин А.Г., Хилько А.И. Нелинейные колебания кольцевых мембран низкочастотного акустического излучателя. Известия высших учебных заведений. Радиофизика, 2008. Т. 51. № 3. С. 199-215.

74. Стрэтт Дж. В. (Лорд Рэлей). Теория звука. Т. 1. М.; Л.: Гостехиз-дат, 1940.

75. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974.

76. Тихонов А. Н., Леонов А. С., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995.

77. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР, 1943. Т.Ё39, № 5, С. 195 - 198.

78. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов А.А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987. 160 с.

79. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

80. Тихонов А.Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1990.

81. Тихонов А.Н., Самарский А.А., Уравнения математической физики, Москва, 1977. C. 55 - 58.

82. Утяшев И.М., Ахтямов А.М. Анализ поперечных колебаний струны в зависимости от изменяющегося натяжения // Актуальные вопросы науки и образования: тезисы Всероссийской молодежной научно-практической конференции (25-27 апреля 2013 г., г. Уфа) / отв. ред. В.Ю. Гуськов. - Уфа: РИЦ БашГУ, 2013. С. 162

83. Утяшев И.М., Ахтямов А.М. Идентификация краевых условий на обоих концах струны по собственным частотам колебаний // Акустический журнал, 2015. Т. 61. № 6. С. 647-655. (переводная версия A.M. Akhtyamov, I.M. Utyashev Identification of Boundary Conditions at Both Ends of a String from the Natural Vibration Frequencies // Acoustical Physics, 2015, Vol. 61, No. 6, pp. 615—622.)

84. Утяшев И.М., Ахтямов А.М. Идентификация краевых условий струны по двум собственным частотам колебаний //XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. (Казань. 20-24 августа 2015 г.). Казань.: Издательство Академии наук РТ, 2015. С. 3867 - 3869.

85. Утяшев И.М., Ахтямов А.М. Идентификация краевых условий струны по двум собственным частотам колебаний //XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Аннотации докладов. (Казань. 20 - 24 августа 2015 г.). Казань.: Издательство Академии наук РТ, 2015. С. 285.

86. Утяшев И.М., Ахтямов А.М. Идентификация повреждения трубопровода с использованием тензодатчиков // Труды Института механики им. Р.Р. Мавлютова Уфимского научного центра РАН. Вып. 9./ Материалы V Российской конференции с международным участием «Многофазные системы: теория и приложение», посвященной 20-летию со дня основания Института механики им. Р.Р. Мавлютова УНЦ РАН (Уфа, 2-5 июля 2012). Часть II. - Уфа: Нефтегазовое дело, 2012. С. 130-133.

87. Утяшев И.М., Ахтямов А.М. Определение места повреждения участка трубопровода с помощью его продольных колебаний // Автоматизация, телемеханизация и связь в нефтяной промышленности,

2012. № 6. С. 36-39

88. Утяшев И.М., Ахтямов А.М. Программа для решения прямой и обратной задачи о продольном ударе по стержню // Хроники объединенного фонда электронных ресурсов Наука и образование, 2014. № 11 (66). С. 15-16. URL: http://ofernio.ru/portal/newspaper/ofernio/2014/11.doc. (дата обращения: 05.11.2014).

89. Утяшев И.М., Ахтямов А.М. Программа поиска вида и параметров закрепления кольцевой мембраны // Хроники объединенного фонда

90. Утяшев И.М. Анализ поперечных колебаний струны в зависимости от изменяющегося натяжения // Вестник Башкирского университета,

2013. Т. 18. № 4. С. 973-977

91. Утяшев И.М. Идентификация краевых условий струны по двум собственным частотам колебаний // материалы II Международной научно-практической конференции «Современные проблемы науки и образования в техническом вузе» (25-27 июня 2015 года, г. Стерли-тамак). Ч. 1. Уфа: Уфимск. гос. Авиац. техн. ун-т, 2015. С. 63-67.

92. Утяшев И.М. Метод подбора для задачи определения параметров закрепления однородной струны // Международная конференция «Спектральная теория и дифференциальные уравнения», посвящён-ная 100-летию Б. М. Левитана: Тезисы докладов. — М.: Изд-во МГУ и ООО «ИНТУИТ.РУ», 2014. С. 133-134.

93. Утяшев И.М. Метод подбора для идентификации закрепления кольцевой мембраны// Фундаментальная математика и её приложения в естествознании, Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых, тезисы докладов, 2012. С. 242

94. Утяшев И.М. Обратная задача определения параметра растягивающей силы // Математическое моделирование процессов и систем: Сборник трудов II Всерос. науч.-практ. конф. с междунар. уч. (28-29 ноября 2013 г., г. Стерлитамак) / под общ. ред. С.А. Мустафиной. -Стерлитамак: Стерлитамакский филиал БашГУ, 2013. С. 101-102.

95. Утяшев И.М. Обратная задача по определению закона изменения растягивающей силы для поперечных колебаний струны // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: Труды международной научной конференции: В 2 т. (26-30 июня 2013 г., г. Стерлитамак) / Отв. ред. К.Б. Сабитов - Уфа: РИЦ БашГУ, 2013. Т.Н. С. 68-73.

96. Утяшев И.М. Обратные задачи определения параметров удара по стержню, в случае затухающих волн // Материалы Всероссийской научно-практической конференции "Прикладная информатика и компьютерное моделирование'^. Уфа, 25-28 мая 2012 г. Том 4. Уфа: БГПУ им. М. Акмуллы, 2012. С. 46-47.

97. Утяшев И.М. Определение параметра растягивающей силы по известным значениям периодов и амплитуд // Инновационный потенциал молодежной науки: материалы Всероссийской научной конференции 8 ноября 2013 г. / под ред. А.Ф. Мустаева. - Уфа: Изд-во БГПУ, 2013. С. 134 - 136.

98. Утяшев И.М. Прямая и обратная задача о продольном ударе по стержню // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании: тезисы докладов VII Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых /отв. ред. Б.Н. Хабибуллин, Е.Г. Екомасов. - Уфа: РИЦ БашГУ, 2014. С. 330.

99. Фиников С. П. Теория пар конгруэнций. М.: Гостехиздат, 1956.

100. Халилов С.А., Минтюк В.Б. Исследование устойчивости отсека крыла методом идентификации краевых условий на основе упрощенной модели // Авщшно-косм1чна техшка и технолопя, 2003. Вып. 2. С. 610.

101. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т.2. М.: Мир, 1986.

102. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит, 2007. 384 с.

103. Юрко В.А. Обратная задача для дифференциальных операторов второго порядка с регулярными краевыми условиями. // Математические заметки, 1975. Т.18. вып.4. стр. 569 - 576.

104. Яхно В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений упругости. Новосибирск: Наука, 1990.