Математическое моделирование и идентификация вида и параметров закрепления конца стержня по собственным частотам его колебаний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Аитбаева Айгуль Азаматовна

• Аитбаева Айгуль Азаматовна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Аитбаева Айгуль Азаматовна

Введение

Глава 1. Однозначность определения вида и параметров краевых условий на одном из концов стержня по

трем собственным частотам его колебаний

1.1 Общая постановка задач

1.2 Метод введения дополнительной неизвестной величины

1.2.1 Задача определения двух параметров упругого закрепления правого конца стержня

1.2.2 Задача определения двух параметров груза, сосредоточенного на правом конце стержня

1.3 Метод выбора одного из альтернативных решений с

помощью соотношений Плюккера

1.3.1 Постановка задачи

1.3.2 Единственность решения

1.3.3 Метод решения

1.3.4 Метод идентификации матрицы А

1.3.5 Оценка погрешности численного эксперимента

Глава 2. Однозначная идентификация общих краевых

условий одного из концов балки Эйлера—Бернулли

2.1 Задача определения четырех параметров упруго закрепленного сосредоточенного инерционного элемента балки Эйлера-Бернулли по пяти собственным частотам ее колебаний

2.1.1 Постановка задачи

2.1.2 Решение обратной задачи

2.2 Задача идентификации общих краевых условий на одном из концов балки Эйлера-Бернулли по пяти собственным частотам ее колебаний

2.3 Задача определения трех параметров закрепления балки Эйлера-Бернулли по четырем собственным частотам ее колебаний

2.3.1 Идентификация коэффициента жесткости пружины, которая препятствует вертикальному смещению балки Эйлера-Бернулли, а также массы и момента инерции груза, сосредоточенного на этом конце

2.3.2 Идентификация коэффициента жесткости пружины, препятствующая повороту балки Эйлера-Бернулли, а также массы и момента инерции груза, сосредоточенного на этом конце

2.4 Программа реализации задачи идентификации закрепленности и нагруженности одного из концов балки Эйлера-Бернулли

Глава 3. Определение коэффициента постели упругого основания балки с шарнирно закрепленными

концами по собственным частотам ее колебаний

3.1 Постановка задачи

3.2 Решение прямой и обратной задач

3.3 Численная фильтрация полученного результата

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и идентификация вида и параметров закрепления конца стержня по собственным частотам его колебаний»

Введение

Актуальность темы. На практике, при эксплуатации стержней, под действием внешних возбуждений могут нарушиться заложенные в проект граничные условия на концах стержня. Поэтому возникает необходимость решения математической задачи идентификации краевых условий по собственным частотам колебаний (создания неразрушающих методов определения степени нарушения первоначальных граничных условий).

Обратные задачи, решаемые в работе, важны также при создании безопасных для здоровья человека технических систем. Дело в том, что технические системы, созданные без учета влияния собственных частот, могут пагубно влиять на здоровье человека. Причиной этого могут оказаться инфразвуковые колебания. При создании приборов важно уходить от инфразвуковых частот, которые попадают в резонанс со следующими низкими резонансными частотами: сокращения сердца 1-2 Гц, дельта-ритм мозга (состояние сна) 0,5-3,5 Гц, альфа-ритм мозга(состояние покоя) 8-13 Гц, бета-ритм мозга (умственная работа) 14-35 гц, 0,5-13 Гц (резонанс вестибулярного аппарата), 4-6 Гц (резонанс сердца), 2-3 Гц (резонанс желудка), 2-4 Гц (резонанс кишечника), 6-8 Гц (резонанс почек), 2-5 Гц (резонанс рук). Изложенные факты требуют создания таких закреплений элементов технических систем, которые давали бы нужный безопасный диапазон частот колебаний основных деталей. В математической постановке задача создания таких закреплений сводится к той же математической задаче идентификации краевых условий по заданным собственным частотам.

Цель работы — найти минимальное число собственных частот, по которым можно однозначно идентифицировать вид и параметры закреплений одного из концов стержня, а также определить коэффициент податливости упругого основания балки, называемым коэффициентом постели по одной собственной частоте.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать математическую модель видов и параметров закрепления одного из концов стержня (п.1 паспорта специальности 05.13.18);

2. Разработать численно-аналитические методы решения и комплексы программ задач идентификации видов и параметров краевых условий стержня, а также поиска коэффициента постели в случае когда стержень лежит на упругом основании (п.4 паспорта специальности 05.13.18 и п.8 паспорта специальности 05.13.18);

3. На основе предложенной модели определить минимальное число собственных частот для решения задач идентификации.

Метод исследования. Предложены численные методы однозначной идентификации краевых условий по минимальному числу собственных значений (метод дополнительной неизвестной величины, метод выбора альтернативных решений на основе соотношений Плюккера, метод сведения к нелинейной системе, имеющей единственное решение). Использованы методы спектральной теории дифференциальных уравнений, методы теории обратных и некорректных задач. Разработана программа для численных расчетов. На основе предложенных моделей реализованы эффективные численные методы решения соответствующих задач идентификации, а также составлены соответствующие комплексы программ.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель для диагностирования граничных условий одного из концов стержня.

2. Численные методы однозначной идентификации краевых условий по минимальному числу собственных значений. Многокомпонентный анализ численных экспериментов. Алгоритм и комплекс программ в среде Maple для решения изучаемых задач идентификации.

3. Результаты решения задач однозначной идентификации вида и параметров закрепления одного из концов стержня, а также нахождения коэффициента постели по минимальному числу собственных частот.

Научная новизна.

1. Предложена математическая модель краевых условий в виде матрицы, определяемой с точностью до линейных преобразований ее строк. Эта модель отличается от канонических краевых условий тем, что неиз-

вестными коэффициентами могут быть все коэффициенты краевых условий. Предложенная модель позволяет диагностировать не только параметры краевых условий известного вида, но и сам вид краевого условия.

2. Разработанные методы (метод дополнительной неизвестной величины, метод выбора альтернативных решений на основе соотношений Плюккера, метод сведения к нелинейной системе, имеющей единственное решение) позволяют однозначно определить вид и параметры закрепления одного из концов стержня по минимальному числу собственных частот его колебаний. Эти методы отличаются от используемых ранее тем, что сводят задачу идентификации краевых условий к системе с меньшим числом уравнений. Проведена численная фильтрация результатов приведенных в работе примеров, которая позволила найти эмпирические числа обусловленности.

3. Впервые показано, что по трем собственным частотам можно однозначно идентифицировать один из десяти видов закреплений (заделка, свободное опирание, свободный конец, плавающая заделка, пять видов упругого закрепления, инерционный элемент на конце). Данный результат отличается от полученного ранее тем, что к идентифицируемым краевым условиям добавляется инерционный элемент на конце. Это позволяет идентифицировать не девять, а десять видов краевых условий по тому же числу собственных частот.

4. Впервые показано, что по пяти собственным значениям можно однозначно определить уже один из одиннадцати видов закреплений (добавлен случай, когда инерционный элемент упруго закреплен на двух пружинках). Этот результат отличается от полученного ранее тем, что в предыдущем результате для однозначной идентификации использовался бесконечный набор собственных частот. Полученный результат позволяет однозначно идентифицировать одиннадцать видов краевых условий по минимальному числу собственных частот.

5. Впервые показано, что для однозначной идентификации краевых условий одного из концов стержня с п неизвестными параметрами (п = 2,3,4) достаточно использовать п + 1 собственную частоту. Этот результат отличается от результатов, полученных ранее тем, что для одно-

значной идентификации используется меньшее число собственных частот, что позволяет однозначно идентифицировать краевые условия по минимальному числу собственных частот. Приведены контрпримеры, показывающие, что при меньшем числе собственных частот, идентификация становится неоднозначной. Впервые решена задача идентификации коэффициента постели упругого основания по одной собственной частоте колебаний балки.

Практическая и теоретическая значимость диссертационный работы. Элементами многих технических конструкций, механизмов и устройств являются стержни и балки. Поэтому, на сегодняшний день, стало важным изучение процессов протекающих в различных механических системах. Особую значимость имеют колебания и вибрации, которые в силу непредвиденности могут вызвать погрешности в работе машин или устройствах, увеличить износ и заметно понизить надежность, возможны также разрушения и аварии. В связи с этим интенсивно развивается акустическое диагностирование, решающее задачи оперативного контроля технических конструкций, по собственным частотам их колебаний. На сегодняшний день учеными достаточно хорошо разработаны акустические методы обнаружения трещин, определения формы области или размера предмета. Однако задачи по диагностике состояния закреплений стержней и балок акустическими методами стали решаться относительно недавно. Задача идентификации краевых условий стержней по собственным частотам свободных колебаний возникает как в связи с задачами неразрушаю-щей диагностики, так и при создании виброзащитных и безопасных для здоровья технических систем.

Достоверность изложенных в работе результатов обеспечивается строгостью их аналитических доказательств. Численные алгоритмы апробированы на известных решениях других авторов.

Апробация диссертационной работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на всероссийских, международных конференциях и семинарах: 1. Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (г. Уфа, 2009,

2011, 2012, 2014, 2015 гг.); 2. Международная конференция«Спектральная теория операторов и ее приложения» посвящается памяти профессора А.Г. Костюченко (1930-2010) (г. Уфа, 2011 г.); 3. Всероссийская научная конференция «Обратные задачи и их приложения», посвященная 100-летию со дня рождения проф. М.Т. Нужина (г. Казань, 2014 г.); 4. Всероссийская научно-практическая конференция «Математическое моделирование на основе статистических методов» (г.Бирск, 2015 г.); 5. XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (г. Казань, 2015 г.); 6. III Международная научная конференция «Спектральные задачи, нелинейный и комплексный анализ» (г. Уфа, 2015 г.); 7. Международный научный семинар по обратным и некорректно поставленным задачам (г. Москва, 2015 г.); 8. Научный семинар по обратным задачам в науке и технике (рук. Спивак С.И., Ахтямов А.М., Юмагулов М.Г.); 9. Научный семинар по обратным задачам теории колебаний (рук. Ахтямов А.М.); 10. Научный семинар лаборатории «Механика твердого тела» Института механики им. Р.Р. Мавлютова УНЦ РАН (рук. член-корр. РАН Ильгамов М.А.); 11. Научный семинар «Обратные задачи математической физики» в МГУ им. М.В. Ломоносова (рук. Бакушинский А.Б., Тихонравов А.В, Ягола А.Г.).

Исследования были выполнены при поддержке грантов РФФИ: №11-01-97002-р_а «Обратные спектральные задачи и акустическая диагностика» (2011-2013 гг.), №14-01-97010-р_а «Обратные спектральные задачи и акустическая диагностика механических систем и неоднородных сред» (2014-2016 гг.), №15-31-50973-мол_нр «Решение некорректных граничных задач теории колебаний» (2015 г.), №16-31-00113-мол_а «Идентификация полиномов и целых функций от спектрального параметра, входящих в краевые условия, по собственным значениям» (2016-2017 гг.), №16-31-00077-мол_а «Граничные обратные задачи теории колебаний распределенных механических систем» (2016-2017 гг.), 17-41-020230-р_а «Математические моделирование и диагностика технических систем, основанные на решении современных обратных задач теории колебаний» (2017-2019 гг.) и гранта Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ РФ (2014 г.).

Личный вклад. Ранее А.М. Ахтямовым и А.В. Муфтаховым был разработан метод идентификации краевых условий стержня по собственным частотам его колебаний. Однако число собственных частот, используемых для однозначной идентификации краевых условий на одном из концов стержня, было избыточным (оно было на единицу меньше числа неизвестных миноров матрицы коэффициентов краевых условий). А.А. Аитбаевой удалось уменьшить до минимума число собственных частот, используемых для однозначной идентификации. В совместных с А.М. Ахтямовым и А.В. Муфтаховым работах А.А. Аитбаевой принадлежит разработка метода однозначной идентификации краевых условий на одном из концов стержня по минимальному числу собственных частот, доказательство соответствующих теорем, отыскание примеров, показывающих, что использование меньшего числа собственных частот приводит к неоднозначной идентификации краевых условий, анализ численных экспериментов с помощью методов многокомпонентной фильтрации, а также разработка алгоритма и комплексов программ.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [2]-[7], [9]- [12], [15]- [18], [21], [22], [24], [25], [94], 6 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 10 - материалы конференций, имеется одна зарегистрированная программа.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 95 страниц. Список литературы содержит 121 наименование.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Первая и вторая главы посвящены идентификации краевых условий одного из концов балки, а третья глава посвящена идентификации коэффициента упругого закрепления балки по собственным частотам ее колебаний.

Обзор литературы по первым двум главам. Вопросы вычисления собственных частот распределенных механических систем (в частности, упруго закрепленных стержней и пластин) достаточно хорошо изучены [13], [45], [50], [63], [85]. Обратные задачи для таких систем стали решаться сравнительно недавно [20], [23], [27], [29], [30], [33], [36], [37], [44], [48], [53], [55],

[58], [57], [58], [59], [108], [109], [76], [90]. Так, во многих работах (см. [48]) обсуждались задачи идентификации пружинно-массовых систем с конечным числом степеней свободы по собственным частотам их колебаний. В обратных спектральных задачах [32], [47], [48], [51], [52]- [71], [76]- [81], [84], [90]-[93], [95], [97], [103]- [107], [110]- [112], [120], [121] требуется восстановить коэффициенты дифференциального уравнения и краевых условий. В качестве данных для восстановления краевых условий используется не один спектр или его часть, а несколько спектров или же другие дополнительные спектральные данные (например, спектральная функция, функция Вейля или так называемые весовые числа). К тому же, основной целью этих работ является восстановление коэффициентов в уравнении, а не в краевых условиях. В настоящей работе рассматриваются изгибные колебания распределенной механической системы. Цель работы состоит в восстановлении краевых условий спектральной задачи с известными коэффициентами в уравнении по конечному набору собственных значений.

Одна из близких задач - это задача идентификация условий сопряжения. Идентификация условий сопряжения часто означает диагностику локальных дефектов. Связано это с тем, что локальные дефекты часто моделируют условиями сопряжения. Причем, для трещин, как правило [48], используют известные условия сопряжения для безмассовых пружин, а для полостей - условия для сосредоточенных масс (с отрицательным значением). Первыми, кто показал, что трещины могут быть смоделированы безмассовыми пружинами, поступательной (при продольных колебаниях стержня) и вращательной (при изгибных колебаниях стержня), были Райс и Леви [113]. Связь между глубиной двухсторонней трещины и коэффициентом жесткости пружины установлена в работе [114]. В механике, начиная с работ Фрюнда и Херрмана (Freund, Herrmann) [96], [101], моделирование раскрытой трещины как продольную пружину жесткости k (см. [19]) становится повсеместным, причем не только в теоретических, но и в инженерных исследованиях [98], [102]. Моделировать полость условиями для сосредоточенных масс (или инерционных элементов) впервые было предложено для изгибных колебаний в работе [23], а для продольных - в работе [28]. В [33]- [44], [53], [58], [59] предлагаются различные методы диагностирова-

ния трещин и полостей по собственным частотам продольных и изгибных колебаний. В [30], [109] и других публикациях (см. [48] и библиографию к ней) решаются задачи идентификации сосредоточенных масс на стержне и балке по собственным частотам продольных и изгибных колебаний. Во всех описанных выше работах восстанавливаются параметры условий сопряжения известного вида. Однако, во всех этих работах, вид дефекта и вид условий сопряжения не определяются. Они считаются известными. В задачах идентификации краевых условий, рассматриваемых в настоящей работе, находится не только параметры известного вида краевых условий, но и сам вид краевого условия.

В статье [115] рассмотрена прямая задача определения собственных частот поперечных колебаний балки с любым числом трещин. Предполагается, что трещины открыты, и они моделируются пружинами, работающими на поворот. Предложен новый эффективный метод определения собственных частот. Метод основан на сведении уравнений, изначально заданных на интервалах между последовательно идущими трещинами, а также между концами балки и ближайшими к ним трещинами, к одному уравнению на всем интервале, занимаемом балкой. Поскольку функция, отвечающая амплитуде поперечных колебаний оси балки, не является гладкой, предложенный подход требует применения элементов теории обобщенных функций.

В [116; 118] рассмотрена задача о продольных колебаниях стержня постоянного и переменного сечения с конечным числом трещин. Трещины моделируются пружинами, работающими на растяжение-сжатие. Задача идентификации пружин (трещин) с помощью разработанного в [115] подхода сведена к классической обратной задаче Штурма-Лиувилля и решена методом М.Г. Крейна. В результате доказано, что любое число трещин может быть обнаружено и идентифицировано с помощью двух спектров, отвечающих двум типам условий на концах стержня, свободный - свободный и свободный - закрепленный. В статье [117] рассмотрены задачи идентификации конечного числа малых трещин в стержне и балке по собственным частотам.

Первые систематические исследования по идентификации краевых условий начались, по-видимому, в 90-х годах XX века в работах З.Б. Ога-нисяна (см., например, [49;72;73]. З.Б. Оганесяном исследовались несколько задач идентификации условий закрепления распределенных механических систем: задача идентификации краевых условий на обоих концах стержня [72], задача идентификации краевых условий круговой пластины [49], задача идентификации краевых условий прямоугольной пластины [73]. Однако им восстанавливались лишь коэффициенты канонических условий закрепления. Случай, когда неизвестен вид канонических условий (т.е. когда неизвестны все коэффициенты краевых условий) им рассмотрен не был. Наиболее близка к диссертационной работе его статья [72], где рассматривается задача идентификации краевых условий вида

(при х = 0),

д3 и д2 и ди д3 и д2 и

и = «11 дх3 + «12 ьч to дх = «21 дх3 + «22 дх2

и = @11 д3 и + А2 д2 и ди = д3 и + $22 д2 и

дх3 дх2 ' дх дх3 дх2

(при х = 1),

В [72] показано, что для определения восьми неизвестных о^-, Д^ (i,j=1,2), необходимо знать значения восьми собственных значений. В диссертационной работе восстанавливаются коэффициенты краевых условий только на одном конце стержня. Показано, что для однозначной идентификации краевых условий на одном из концов стержня необходимо знать пять собственных значений краевой задачи. Кроме того, показано, что по пяти собственным значениям можно определить не только четыре неизвестных коэффициента (канонических) краевых условий известного вида, но и также сам вид краевого условия. Задачи, аналогичные тем, которые рассматривал З.Б. Оганисян, позже рассматривались и в других работах [83], [88]. Однако и в них идентифицируются лишь отдельные неизвестные параметры краевых условий. Сам вид краевого условия считался известным.

Методы по идентификации краевых условий, у которых все коэффициенты являются неизвестными (но известен ранг матрицы А, составленной из неизвестных коэффициентов), были разработаны А.М. Ахтя-мовым. А.М. Ахтямовым идентифицировалась совокупность неизвестных

краевых условий спектральной задачи как линейная оболочка векторов-строк. При этом все коэффициенты соответствующего краевого условия являлись неизвестными. Такой подход оказался эффективным и привел фактически к созданию нового научного направления - теории идентификации краевых условий (см. [1], [19], [20], [82]). Однако, в работах А.М. Ахтямова и его учеников не было найдено минимального числа собственных частот, необходимых для однозначной идентификации. Используемый ими метод не позволял это сделать, так как сводился к решению линейной системы уравнений относительно неизвестных миноров. Затем по найденным с точностью до общего ненулевого множителя минорам находилась матрица коэффициентов краевых условий. Для реализации этого метода требовалось больше собственных частот, чем в разработанных методах настоящей работы.

Обзор литературы по третьей главе. В инженерной практике часто встречаются балки, лежащие на сплошном упругом основании. К таким балкам могут быть отнесены фундаменты зданий, шпалы железнодорожного пути, рельсы, трубопроводы и т.д. При этом величина реакции в каждой точке статически нагруженной балки зависит от ее прогиба, а прогиб, в свою очередь, зависит от реакции со стороны основания, таким образом, эта задача является статически неопределимой. В данной главе применяется модель Винклеровского основания, связывающая величины реакций с деформацией основания. Упругое основание рассматривается как система опирающихся на жесткое горизонтальное основание не связанных между собой пружин, сжатие которых возрастает прямо пропорционально приложенной нагрузке. Коэффициент пропорциональности между нагрузкой и деформацией называется коэффициентом постели. Сопротивление основания развивается только непосредственно под нагрузкой, поэтому модель Винклера хорошо отражает работу конструкции, если основание представлено жидкостью, и чаще всего этот метод используется при строительстве на слабых грунтах или в случае малой мощности слоя сжимаемого грунта. Также существуют более сложные модели расчета конструкций на упругом основании, например, модель Пастернака [74;75], модель упругого полупространства, имеется еще ряд так называемых условных моделей упругого

основания [14; 46; 87]. Много работ посвящено расчетам балки на упругом основании (см., например, [31, с. 141], [63, с. 172] [64], [86, с. 365] и др.). В более сложной и строгой постановке нахождение коэффициента постели приведены в [60; 61]. В отличие от уже решенных задач, в данной работе задача определения коэффициента постели рассматривается как динамическая и сводится к обратной. Требуется найти неизвестный параметр по одной из собственных частот изгибных колебаний балки. В такой формулировке задача является новой и решена впервые.

Глава 1. Однозначность определения вида и параметров краевых условий на одном из концов стержня по трем собственным частотам его колебаний

1.1 Общая постановка задач

Для удобства изложение метода решения задач проводится на основе задачи идентификации условий закрепления одного из концов однородного стержня «правый» конец X = Ь, а «левый» конец заделан:

X = 0, и (Х,) = ®)=0,

ОХ

где и = и(Х^) - прогиб оси балки.

Уравнение свободных изгибных колебаний однородного стержня с плотностью р, площадью поперечного сечения Г и постоянной жесткостью на изгиб Е1 имеет вид [45]:

~дХ~А + = 0,

Начальные условия [45]: и(Х,0) = ¡(X), ^^ = д(Х), ¡(X),д(X) -функции, определяющие начальное положение оси стержня.

Вводя обозначения х = Х/Ь, и = и/Ь, запишем выше приведенное уравнение и краевое условие на заделанном конце следующий образом

д4и(х$) рГЬ4 д2и(х,Ь) дх4 + ~Ё1 дЪ2 = ,

при х = 0: и = 0, = 0.

Основные типы граничных условий на правом конце (при х = 1) записываются в следующем виде [45]:

1) заделка и = 0, || = 0;

2) свободное опирание и = 0, = 0;

3) свободный конец = 0, = 0;

о 3 о

4) плавающая заделка дхми = 0, дХ = 0;

5)-9) различные виды упругого закрепления:

5) Е10 + с, и = 0, Ц = 0;

6) и = 0, В/0 + с2 Ц = 0;

7) Е1 0 + с и = 0, 0 = 0;

8) д3и _ 0 ^^ д2и + ^ 9м _ 0•

' дх3 ' дх2 2 дх '

9) Е1 дХи + С1« _0, в/дХи + С2 дх _ 0;

10) сосредоточенный инерционный элемент на конце

^ г д 3и д 2и ^ г д 2и т д 3и

Ы 7 _ -т^-тт, Ы = — Ь

дх3 dt2 ' дх2 dxdt2

В общем виде эти условия можно записать так:

Ьгг 0 + Ьхв и + Ь1в = 0 =

L д 2и I L дм I L 9 3м П ^ ' V • /

»22 дх2 + Ь23 дЦ + 024 дХХШ = 0

С помощью замены u(x,t) = у(х) cos(ut) сведем поставленную выше задачу к следующей спектральной задаче [45]:

у(4) = Л4 у, Л4 = pFu2/(EI) Y1(y) = У(0) = 0, Y2(y)= у'(0) = 0, (1.2)

ВД = 0, У4 (у) = 0,

Y3(y) = апу"\1) + (fl15 - а16Л4) у(1), (1 3)

ад = «22/(1) + («23 - «24 А4) у'(1) ( . )

[ац = b11, Й15 = &15^3, Й16 = &16^3, Й22 = &22, «23 = «24 =

- линейные формы, характеризующие закрепление в точке х = 1.

На правом конце стержня (при х = 1) может быть реализован один из десяти видов закрепления:

1) заделка у(1) = 0, у'(1) = 0;

2) свободное опирание у(1) = 0, у"(1) = 0;

3) свободный конец у"'(1) = 0, у"(1) = 0;

4) плавающая заделка ут(1) = 0, у'(1) = 0;

5)-9) различные виды упругого закрепления:

5) у'" (1) + а\ъ2/(1) = 0, у'(1) = 0;

6) 2/(1) = 0, 2/"(1) + a23У'(1) = 0;

7) у'''(1) + aïs2/(1) = 0, у"(1) = 0;

8) /'(1) = 0, /(1) + aTiy'(1) = 0;

9) /'(1) + aïs2/(1) = 0, у"(1) + a232/'(1) = 0;

10) сосредоточенный инерционный элемент на конце

у"'(1) - aïoA42/(1) = 0, у"(1) - a24A42/'(1) = 0.

В соответствие с физическим смыслом задачи имеем:

a11 > 0, a15 > 0, a16 > 0, a22 > 0, a23 > 0, a43 > 0. (1.4)

Сформулируем обратную задачу: найти неизвестные коэффициенты в выражениях (1.3) по собственным частотам изгибных колебаний стержня.

1.2 Метод введения дополнительной неизвестной величины

Если закрепления стержня известны и требуется найти только коэффициенты в краевом условии, то задачу можно решить методом введения дополнительной неизвестной величины. Рассмотрим этот метод на примере решения задач определения двух параметров закрепления стержня по трем собственным частотам его колебаний. В одной задаче требуется определить коэффициенты упругого закрепления а15 и а23, в другой - коэффициенты, определяющие параметры концевого груза а1б и а24.

1.2.1 Задача определения двух параметров упругого закрепления правого конца стержня

Рассматривается уравнение с краевыми условиями на левом конце типа «заделка», а на правом конце реализовано упругое закрепление (девятый вид закрепления, см. рисунок 1.1):

Рисунок 1.1 — Упругое закрепление балки Эйлера-Бернулли

У(4) = л4 у, Л4 = pFu2/(E I) Y1(y)=y(0) = 0, Y2(y) = y'(0) = 0, (1.5)

ВД = /'(1) + a1s 2/(1) = 0, Y4(y) = /(1) + a23î/,(1) = 0.

Характеристический определитель для задачи (1.5) имеет вид:

Д(Л) = - /о(Л) + a1sh (Л) + а23/2(Л) + а^ЛМ), (1.6)

где /о(Л) = (—1—еовЛеовЬЛ)/2; ^(Л) = (— еовЛвтЬЛ+втЛео8ЬЛ)/(2Л3); /2(Л) = - (бшЛеовЬЛ + еовЛ8тЬЛ)/(2Л); f3 = (1 — еовЛеовЬЛ)/Л4.

Собственные значения Лк краевой задачи (1.5) являются корнями уравнения характеристического определителя (1.6) [71]. Подставим эти собственные значения в (1.6), получим систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов 15 и 23 :

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Аитбаева Айгуль Азаматовна, 2018 год

Список литературы

1. Абзалимов, Р.Р. Диагностика и виброзащита трубопроводных систем и хранилищ /Р.Р Абзалимов, А.М. Ахтямов А.М. - Уфа: ФГБОУ ВО УГНТУ, 2016. - 118 с.

2. Аитбаева, А.А. Идентификация коэффициента жесткости пружины, закрепленной на конце балки Эйлера-Бернулли, а также массы и момента инерции груза сосредоточенного на этом конце [Электронный ресурс]. / А.А. Аитбаева // Обратные краевые задачи и их приложения: материалы конференции (г. Казань, 20-24 октября, 2014г.). -Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2014.

3. Аитбаева, А.А. Определение коэффициента постели по собственным частотам колебаний балки / А.А. Аитбаева; под ред. С.Ф. Урманче-ева // Труды Института механики им. Р.Р. Мавлютова Уфимского научного центра РАН. Уфа: Нефтегазовое дело, 2014 - Вып. 10. - С. 13-15.

4. Аитбаева, А.А. Метод дополнительных неизвестных для определения параметров концевого груза и параметров упругого закрепления балки / А.А. Аитбаева; под общей редакцией С.М. Усманова // Математическое моделирование на основе статистических методов: Материалы Всероссийской научно-практической конференции 26-27 июня 2015 г. Бирск: Бирск. Фил. Баш. гос. ун-та, 2015. - С. 84-90.

5. Аитбаева, А.А. Безразборное определение параметров упругого закрепления стержня / А.А. Аитбаева // Современные проблемы науки и образования в техническом вузе: материалы II Международной научно-практической конференции (25-27 июня 2015 года, г. Стерли-тамак). Часть 2. - Уфа: УГАТУ, 2015. - С. 3-6.

6. Аитбаева, А.А. Обратная задача для балки Эйлера-Бернулли / А.А. Аитбаева; отв. ред. С.А. Мустафина. // Математическое моделирование процессов и систем: Материалы IV Всерос. науч.-практ. конф.,

посвященной 75-летию физико-математического факультета, 16-19 декабря 2015 г., г. Стерлитамак. - Стерлитамак: Стерлитамакский филиал БашГУ, 2015. - С. 10-15.

7. Аитбаева, А.А. Неразрушающая диагностика закрепления одного из концов стержня / А.А. Аитбаева // Мавлютовские чтения: материалы Российской научно-технической конференции, посвященной 90-летию со дня рождения член-корр. РАН, д-ра техн. наук, профессора Р.Р. Мавлютова. В 7 т. Механика процессов деформирования и разрушения вязкоуп ругопластических тел. Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. -Уфа: Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т., 2016. - Т.3. - С. 10-13.

8. Аитбаева, А.А. Обратная спектральная задача для однородной балки Эйлера-Бернулли /А.А. Аитбаева; отв. ред. С.А. Мустафина// Математическое моделирование процессов и систем: Материалы V Всерос. науч.-практ. конф., приуроченной к 110-летию со дня рождения академика А.Н. Тихонова, 17-19 ноября 2016 г. г. Стерлитамак. - Стерлитамак: Стерлитамакский филиал БашГУ, 2016. Часть I. - С. 59-64.

9. Аитбаева, А.А. Идентификация закрепленности и нагруженности стержней и балок по собственным частотам их колебаний / А.А. Аит-баева // Хроники объединенного фонда электронных ресурсов Наука и образование. - 2015. №12 (79). - С. 51-52.

10. Аитбаева, А.А. Определение коэффициента постели упругого основания балки с шарнирно закрепленными концами по собственным частотам ее колебаний / А.А. Аитбаева // Известия Уфимского научного центра РАН. - 2016. №4. - С. 23-26.

11. Аитбаева, А.А. Об однозначности определения вида краевых условий на одном из концов стержня по трем собственным частотам его колебаний / А.А. Аитбаева, А.М. Ахтямов // Прикладная математика и механика. - 2016. - Т. 80. - Вып. 3. - С. 388-394.

12. Аитбаева, А. А., Ахтямов А. М. Идентификация закрепленности и нагруженности одного из концов балки Эйлера-Бернулли по собствен-

ным частотам ее колебаний / А.А. Аитбаева // Сибирский журнал индустриальной математики. 2017. - Т. 20, №1(69). - С 3-10.

13. Акуленко, Л.Д. Частотно-параметрический анализ собственных колебаний неоднородных стержней / Л.Д. Акуленко, С.В. Нестеров // Прикладная математика и механика. - 2003. - Т. 67, № 4. - C. 588-602.

14. Антоневич, П.Г. К расчету балок и плит, опирающихся на упругое основание / П.Г. Антоневич // Изв. АН СССР. - 1969. №3.

15. Ахтямова, А.А. Однозначность определения параметров закрепления струны по собственным частотам ее колебаний / А.А. Ахтямова // Сборник трудов Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознани», том 1. Математика. - Уфа РИЦ БашГУ.

- 2009. - С. 56-60.

16. Ахтямова, А.А. Определение краевого условия по двум собственным частотам / А.А. Ахтямова // Сборник трудов Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», том 1. Математика. Уфа. - 2010. - С. 18-21.

17. Ахтямова, А.А. Идентификация массы и момента инерции груза, сосредоточенного на конце балки. / А.А. Ахтямова // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании: Материалы Международной конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых, том 1. Математика. Уфа: РИЦ БашГУ. - 2011. - С.17-21.

18. Ахтямова, А.А. Об однозначности идентификации массы и момента инерции, сосредоточенного на конце балки / А.А. Ахтямова // Сборник трудов Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознани», том 1. Математика. Уфа: БашГУ. - 2012.

- С. 19-26.

19. Ахтямов, А.М. Теория идентификации краевых условий / А.М. Ахтя-мов. - Уфа: Гилем, 2008. - 300 с.

20. Ахтямов, А.М. Теория идентификации краевых условий и ее приложения / А.М. Ахтямов. -М.: Физматлит, 2009. - 272 с.

21. Ахтямов, А.М. Об однозначности идентификации параметров упругого закрепления и сосредоточенного инерционного элемента / А.М. Ахтямов, А.А. Ахтямова // Вычислительная механика сплошных сред. Пермь. - 2013. - Т.6, №1. - С.62-70

22. Ахтямов, А.М. Об однозначности идентификации сосредоточенного инерционного элемента на одном из концов стержня / А.М. Ахтямов, А.А. Ахтямова // Вестник Башкирского университета. - 2013. №1. -С. 7-11.

23. Ахтямов, А. М. Диагностирование полости в стержне методом отрицательной массы / А. М. Ахтямов, А. Р. Аюпова // Дефектоскопия. - 2010. - Т.46, №5. - С.29-35.

24. Ахтямов, А.М. Об однозначности определения краевого условия на одном из концов стержня по собственным частотам его колебаний [Электронный ресурс]. / А.М. Ахтямов, А.В. Муфтахов, А.А. Аитбаева // Обратные краевые задачи и их приложения: материалы конференции (г. Казань, 20-24 октября, 2014г.) . - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2014.

25. Ахтямов, А.М. Об определении закрепления нагруженности одного из концов стержня по собственным частотам его колебаний / А.М. Ахтямов, А.В. Муфтахов, А.А. Ахтямова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. - 2013. - Вып. 3. - С. 114-129

26. Ахтямов, А.М. Корректность по Тихонову задачи идентификации за-крепелений механических систем / А.М. Ахтямов, А.В. Муфтахов // Сиб. ж. индустр. матем. - 2012. - Т. 15, №4(52). - С. 24-37.

27. Ахтямов, А.М. Идентификация вида и параметров закрепления стержня по собственным частотам его колебаний / А.М. Ахтямов, А.В. Муфтахов, Л.С. Ямилова // Акустический журнал. - 2008.- Т. 54, №2. - С. 181-188.

28. Ахтямов, А. М. Определение местоположения и объема полости в упругом стержне по двум собственным частотам его колебаний / А. М. Ахтямов, Э.И. Сатыев // Дефектоскопия. - 2012.№5. - С. 78-83.

29. Ахтямов, А.М. Определение виброзащитного закрепления трубопровода / А.М. Ахтямов, Г.Ф. Сафина // ПМТФ. - 2008. - Т. 49, №1.

30. Ахтямов, А. М. Определение параметров твердого тела, прикрепленного к одному из концов балки, по собственным частотам колебаний / А. М. Ахтямов, С. Ф. Урманчеев // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2008. - Т. 11, №4. - С. 19-24.

31. Баженов, В.А. Строительная механика (специальный курс. Применение метода граничных элементов) / В.А. Баженов, В.Ф. Оробей, А.Ф. Дащенко, Л.В. Коломиец. -Одесса: Астропринт, 2001. - 288 с.

32. Бутерин, С. А. Обратная спектральная задача для пучков дифференциальных операторов на конечном интервале / С. А. Бутерин, В. А. Юрко // Вестник Башкирского университета. - 2006. № 4. - С. 8-12.

33. Ватульян, А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела / А.О. Ватульян - М.: Физматлит, 2007. - 224с.

34. Ватульян, А.О. О колебаниях упругих тел с малыми дефектами / А.О. Ватульян // Известия вузов, Сев. кавк. рег. Спецвыпуск «Математика и механика сплошной среды». - 2004. - С.19-22.

35. Ватульян, А.О. Обратные задачи теории трещин в твердых телах / А.О. Ватульян, А.Н. Соловьев // Известия вузов, Сев.-Кавк. рег. 2004. Спецвыпуск «Математика и механика сплошной среды».- С.74-80

36. Ватульян, А.О. Об определении местоположения и размера полости в упругом стержне / А.О. Ватульян, Н.О. Солуянов // Дефектоскопия. - 2005. № 9. - С. 44-56.

37. Ватульян, А.О. Идентификация полости в упругом стержне при анализе поперечных колебаний / А.О. Ватульян, Н.О. Солуянов // ПМТФ. - 2008. - Т. 49, № 6. - С. 152-158.

38. Ватульян, А.О. Асимптотический подход в задачах идентификации трещин / А.О. Ватульян, О.В. Явруян // ПММ. - 2006. № 4. - С. 714-724.

39. Ватульян, А.О. Реконструкция малых полостей в упругих стержнях / А.О. Ватульян, О.В. Бочарова, Р.С. Жарков // Изв вузов. СевероКавказский регион. Сер. естеств. науки, 2006. № 2. - С. 28-32.

40. Ватульян, А.О. О реконструкции плотности и модуля Юнга для неоднородного стержня / А.О. Ватульян, О.В. Бочарова // Акустический журнал. - 2009. -Т.55, № 3. - С. 275-282.

41. Ватульян А.О. Об определении характеристик тонкого надреза при анализе изгибных колебаний балки /А.О. Ватульян, А.В. Осипов // Экологический вестник ЧЭС. 2013. № 2. - С. 27-34.

42. Ватульян, А. О. Об одном подходе при определении параметров дефекта в балке / А.О. Ватульян, А.В. Осипов // Дефектоскопия. -2014. № 11. - С. 37-47.

43. Ватульян, А. О. Об определении зоны деструкции в упругой балке / А.О. Ватульян, Д. О. Каштальян. // Изв вузов. Северо-Кавказский регион. Сер. естеств. науки. - 2015. № 4. - С. 29-34

44. Вибродиагностика качества механизмов приборов: Сб. статей / Под ред. К.Н.Явленского. - Л.: ЛИАП, 1987. - 144с.

45. Вибрации в технике: Справочник. Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В. В. Болотина. М.: Машиностроение, 1978.

46. Власов, В.В. Техническая теория расчета фундаментов на упругом основании / В.В. Власов, Н.Н. Леонтьев // Труды МИСИ. -1956. № 14.

47. Гасымов, М. Г. Обратная задача для оператора Штурма-Лиувилля с неразделенными самосопряженными граничными условиями / М.Г. Гасымов, И. М. Гуссейнов, И. М. Набиев // Сибирский математический журнал, 1991. - Т. 31, № 6. - С. 46-54.

48. Гладвелл, Г.М.Л. Обратные задачи теории колебаний / Г.М.Л. Глад-велл - М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2008. - 608 с.

49. Гнуни, В. Ц. Определение граничных условий круглой кольцевой пластинки по заданным частотам собственных колебаний / В.Ц. Гнуни, З.Б. Оганисян // Известия НАН РА, серия «Механика». - 1991. - Т. 44, № 5. - С.9-16.

50. Гонткевич, В.С. Собственные колебания пластинок и оболочек / В.С. Готкевич - Киев: Наукова думка, 1964. - 288с.

51. Гусейнов, И. М. Решение одного класса обратных краевых задач Штурма-Лиувилля / И.М. Гусейнов, И.М. Набиев // Математический сборник. - 1995. - Т. 186, № 5. - С. 35-48.

52. Гусейнов, И. М. Обратная спектральная задача для пучков дифференциальных операторов / И.М. Гусейнов, И.М. Набиев // Математический сборник. - 2007. - Т. 198, № 11. - С. 47-66.

53. Ермолов, И.Н. Неразрушающий контроль: В 5 книгах. Кн. 2. Акустические методы контроля: Практ. пособие / И.Н. Ермолов, Н.П. Алешин, А.И. Потапов; под ред. В.В. Сухорукова. -М.: Высшая школа, 1991.- 283с.

54. Житников, В.П. Моделирование течений весомой жидкости с применением методов многокомпонентного анализа / В.П. Житников, Н.М. Шерыхалина - Уфа: Гилем.: - 2009. - 336 с

55. Иванов, В.Н. Численная идентификация параметров динамического поведения элементов машиностроительных конструкций / В.Н. Иванов, И.В. Домбровский, Н.А. Шевелев // Вычисл. мех. сплош. сред.

- 2011. - Т. 4, № 3. - С. 58-67.

56. Ильгамов, М. А. Диагностика повреждений консольной балки с надрезом / М.А. Ильгамов, А.Г. Хакимов // Дефектоскопия. -2009. № 6. -С. 83-89.

57. Ильгамов, М.А. Диагностика повреждений вертикальной штанги / М.А. Ильгамов // Тр. ин-та механики УНЦ РАН. -Уфа: Гилем, 2007.

- Вып. 5. - С. 201-211.

58. Ильгамов, М. А. Диагностика повреждений консольной балки с надрезом / М. А. Ильгамов, А. Г. Хакимов // Дефектоскопия. - 2009. № 6. С. 83-89.

59. Ильгамов, М.А. Диагностика закрепления и повреждений балки на упругих опорах / М.А. Ильгамов, А.Г. Хакимов // Контроль. Диагностика. - 2010. № 9. - С.57-63.

60. Ильгамов, М.А. Прочность, устойчивость и динамика оболочек с упругим заполнителем / М.А. Ильгамов, В.А. Иванов, Б.В. Гулин. - М.: Наука, 1977. - 332 с.

61. Ильгамов, М.А. Расчет оболочек с упругим заполнителем / М.А. Ильгамов, В.А. Иванов, Б.В. Гулин. - М.: Наука, 1987. - 264 с.

62. Каримов, И.Ш. Строительная механика: Теоретический курс с примерами типовых расчетов: учебное пособие / И.Ш. Каримов. -Уфа: Белая река, 2008. 280 с.

63. Коллатц, Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями) / Л. Колатц. -М.: Наука, 1968.

64. Крылов, А.Н. О расчете балок, лежащих на упругом основании / А.Н. Крылов. - Л.: Изд-во АН СССР, 1931. - 154 с.

65. Левитан, Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля и их приложения / Б.М. Левитан. - М.: Наука, 1984. - 240 с.

66. Левитан, Б. М. Определение дифференциального уравнения по двум спектрам / Б.М. Левитан, М.Г. Гасымов // УМН. - 1964. - Т. 19, № 2(116). - С. 3-63.

67. Левитан, Б.М. Об определении дифференциального уравнения Штурма-Лиувилля по двум спектрам / Б.М. Левитан // Изв. АН СССР, сер. матем. - 1964. - Т. 28, № 1. - С. 63-78.

68. Марченко, В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения / В.А. Марченко. - Киев: Наукова думка. 1977.

69. Марченко, В. А. Характеристика спектра оператора Хилла / В. А. Марченко, И. В. Островский // Матем. сб. 1975. 97. С. 540-606.

70. Набиев, И. М. Обратная квазипериодическая задача для оператора диффузии / И.М. Набиев // ДАН. - 2007. - Т. 415, №2. - С. 168-170.

71. Наймарк, М. А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк. -М.: Наука, 1969. - 526 с.

72. Оганисян, З. Б. Об одной задаче восстановления граничных условий на концах стержня при заданном спектре частот собственных поперечных колебаний / З.Б. Оганисян // Сб. «Вопросы оптимального управления, устойчивости и прочности механических систем» (научные труды конференции), Ереван, 1997. - С. 159-162.

73. Оганисян, З. Б. Об одной задаче восстановления граничных условий на краях пластинки при заданном спектре частот собственных поперечных колебаний /З.Б. Оганисян // Ученные записки ЕГУ. - 1991, № 1. - С. 45-50.

74. Пастернак, П.Л. Исследование пространственной работы монолитных железобетонных конструкций / П.Л. Пастернак // Труды МИСИ. -1940. № 4.

75. Пастернак, П.Л. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели /П.Л. Пастернак. - М.: Стройиздат, 1954.

76. Садовничий, В.А. Обратная задача Штурма-Луивилля с нераспадающимися краевыми условиями / В.А. Садовничий, Я.Т. Султанаев, А.М. Ахтямов. - М.: Изд-во МГУ, 2009. - 184с.

77. Садовничий, В. А. Единственность решения обратной задачи в случае уравнения второго порядка с нераспадающимися условиями, регуля-ризованные суммы части собственных чисел. Факторизация характеристического определителя / В.А. Садовничий // ДАН СССР. - 1972. -Т. 206, № 2. -С. 293-296.

78. Садовничий, В. А. Аналоги теоремы единственности Борга в случае нераспадающихся краевых условий / В.А. Садовничий, Я.Т. Султанаев, А.М. Ахтямов // Доклады Академии наук. 1999. Т. 367. № 6. -С. 739-741.

79. Садовничий, В.А. О корректности обратной задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями / В.А. Садовничий, Я.Т. Султанаев, А.М. Ахтямов // Доклады Академии наук. -2004. - Т. 395, № 5. - С. 592-595.

80. Садовничий, В. А. Обратная задача для пучка операторов с нераспадающимися краевыми условиями / В.А. Садовничий, Я.Т. Султанаев, А.М. Ахтямов // Доклады Академии наук. - 2009. - Т. 425, № 1. -С. 31-33

81. Садовничий, В. А. Обобщение теоремы единственности Борга на случай нераспадающихися краевых условий / В.А. Садовничий, Я.Т. Султанаев, А.М. Ахтямов // Доклады Академии наук. - 2011. - Т. 438, № 1. - С. 1-4.

82. Сафина, Г.Ф. Акустическое диагностирование механических систем: монография. В 2 ч. Ч.2 / Г.Ф. Сафина. - Уфа: РИЦ БашГУ, 2014. -110 с.

83. Сергиенко, И.В. Системный анализ многокомпонентных распределенных систем / И.В.Сергиенко, В.С.Дейнека. НАН Украины, Институт кибернетики им. В.М.Глушкова. - Киев: Наукова думка, 2009. -639 с.

84. Станкевич, И.В. Об одной обратной задаче спектрального анализа для уравнения Хилла / И.В. Станкевич //ДАН СССР. 1970. - Т. 192, № 1.

- С. 34-37.

85. Стрэтт, Дж.В.(лорд Рэлей) Теория звука / Дж.В. Стрэтт. - М.: Госте-хиздат, Т.1. - 1955. - 504 с.

86. Тимошенко, С.П. Колебания в инженерном деле / С.П. Тимошенко. -М.: Наука, 1957. - 444 с.

87. Филоненко-Бородич, М.М. Некоторые приближенные теории упругого основания / М.М. Филоненко-Бородич // Ученые зап. МГУ. - 1940.

- Вып. 46б.

88. Халилов, С.А. Исследование устойчивости отсека крыла методом идентификации краевых условий на основе упрощенной модели / С.А. Халилов, В.Б. Минтюк // Авщшно-косм1чна технжа и технолопя. -2003. - Вып. 2. - С. 6-10.

89. Шкаликов, А.А. Обратные задачи для оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами из пространств Соболева. Равномерная устойчивость / А.А.Шкаликов, А.М. Савчук // Функц. анализ и его прил.

- 2010. - Т. 44, № 4. - C. 34-53.

90. Юрко, В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач / В.А. Юрко. - М: Физматлит, 2007. - 384c.

91. Ambarzumian, V.A. Ueber eine frage der eigenwerttheorie / Ambarzumian V.A. // Z. Phys. - Vol. 53. 1929. - P. 690-695.

92. Akhtyamov, A. M. Inverse problem for an operator pencil with nonseparated boundary conditions / A. M. Akhtyamov, V. A. Sadovnichii,

Ya. T. Sultanaev // Eurasian mathematical journal. - 2010. - Vol. 1, №. 2. - P. 5-16.

93. Akhtyamov, A.M. Generalizations of Borg's uniqueness theorem to the case of nonseparated boundary conditions / A. M. Akhtyamov, V. A. Sadovnichii, Ya. T. Sultanaev // Eurasian mathematical journal. - 2012. -Vol. 3(4). P. 5-17.

94. Akhtyamov, A.M. Determination of the Type and Parameters of a Beam End Fastening / A.M. Akhtyamov, A.A. Aitbaeva // Azerbaijan Journal of Mathematics V. 1, № 2, - 2011.

95. Binding, P. A. Inverse Oscillation Theory for Sturm-Liouville Problems with Nonseparated Boundary Conditions / P.A. Binding, H. Volkmer // Inverse Problems. - 2007.- Vol. 23, №. 1. - P. 343-356.

96. Boltezar, M. Identification of transerve crack locations in flexural vibrations of free-free beams / M. Boltezar, B. Strancar, A. Kuhelj // Journal of sound and vibration. - 1998. - Vol. 211.- P. 729-734.

97. Borg, G. Eine umkehrung der Sturm-Liouvilleschen eigenwertaufgabe / G. Borg // Acta Math., Vol. 78. - 1946. - P. 1-96.

98. Cawley, P. The location of defects in structures from measurements of natural frequencies / P. Cawley, R.D. Adams // Journal of strain anaysis.

- 1979. - Vol. 14. P. 49-57.

99. Dimarogonas, A.D. Vibration of cracked structures: a state of the art review / A.D. Dimarogonas // Engineering Fracture Mechanics. - 1996.

- V. 55, № 5. - P. 831-857.

100. Freiling, G. Lectures on Differential Equations of Mathematical Physics / G. Freiling, V.A. Yurko. NOVA Science Publishers, New York, 2008.

101. Freund, L.B. Dynamic fracture of a beam or plate in plane bending / L.B. Freund, G. Herrmann // Journal of applied mechanics. - 1976, Vol. 76. -P. 112-116.

102. Hearn, G. Modal analysis for demage detection in structures / G. Hearn, R.B. Testa // Journal of structural engeneering asce. - 1991. - Vol. 117. P. 3042-3063.

103. Kostenko, A. Inverse Eigenvalue Problems for Perturbed Spherical Schrodinger Operators / A. Kostenko, A. Sakhnovich, G.Tesch // Inverse Problems. - 2010. - Vol. 26, № 10. 105013. P. 1-14.

104. Kerimov, N.B. On a boundary value problem with a spectral parameter in the boundary conditions / N.B .Kerimov, Kh.R. Mamedov // Siberian Mathematical Journal, 1999. - Vol. 44(2). - P. 281-290.

105. Levinson, N. The inverse Sturm-Liouville problem / N. Levinson // Math. Tidsskr. - 1949. - Vol. 13. - P. 25-30.

106. Mamedov, Kh.R., Cetinkaya F. Inverse problem for a class of Sturm-Liouville operator with spectral parameter in boundary condition / Kh.R. Mamedov, F. Cetinkaya // Bound. Value Probl. - 2013. - Vol. 183. -P. 16.

107. Mamedov, Kh.R. A Uniqueness Theorem for a Sturm-Liouville Equation with Spectral Parameter in Boundary Conditions / Kh.R. Mamedov, F.A. Cetinkaya // Appl. Math. Inf. Sci. - 2015. - Vol. 9, № 2. - P. 981-988.

108. Movahhedy, M. Reconstruction of mass-spring system from spectral data. II: Experiment / M. Movahhedy, F. Ismail, G.M.L. Gladwell // Inverse Probl. Eng. - 1995. - V. 1, N. 4.- P. 315-327.

109. Morassi, A. On point mass identification in rods and beams from minimal frequency measurements / A. Morassi, M. Dilena // Inverse Probl. Eng. - 2002. - V. 10, № 3. - P. 183-201.

110. Panakhov, E.S. Unal Ic. Reconstruction formula for the potential function of SturmLiouville problem with eigenparameter boundary condition / E.S. Panakhov, H. Koyunbakan // Inverse Problems in Science and Engineering. - 2010. - Vol. 18(1). - P. 173-180.

111. Panakhov, E.S. Half inverse problem for diffusion operators on the finite interval /E.S. Panakhov, H. Koyunbakan // Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2007. - Vol. 326. - P. 1024-1030.

112. Poschel, J. Inverse Spectral Theory / J. Poschel, E. Trubowitz. New York: Academic Press. - 1987.

113. Rice, J.R. The part through surface crack in an elastic plate / J.R. Rice, N. Levy // J.Appl.Mech. 1972 Vol. 39, pp. 185-194.

114. Ruotolo, R. Natural frequencies of a bar with multiple cracks / R. Ruotolo, C. Surace // Journal of sound and vibrations. - 2004. - V. 272. P. 301-316.

115. Shifrin, E.I. Natural frequencies of a beam with an arbitrary number of cracks / E.I. Shifrin, R. Ruotolo // Journal of Sound and Vibration. -1999. - V. 222, № 3. - P. 409-423.

116. Shifrin, E.I. Inverse spectral problem for a rod with multiple cracks / E.I. Shifrin // Mechanical Systems and Signal Processing. - 2015. - V.56-57.

- P.181-196.

117. Shifrin, E.I. Identification of a finite number of small cracks in a rod using natural frequencies / E.I.Shifrin // Mechanical Systems and Signal Processing. - 2016. - V. 70-71.- P. 613-624.

118. Shifrin, E.I. Inverse spectral problem for a non-uniform rod with multiple cracks / E.I. Shifrin // Mechanical Systems and Signal Processing.- 2017.

- V. 96. - P. 348-365.

119. Sinh, J. K. Simplified models for the location of cracks in beam structures using measured vibration data / J. K. Sinha, M. I. Friswell, S. Edwards // Journal of Sound and Vibration. - 2002. - V. 251(1). - P.13-38.

120. Yurko, V.A. Inverse spectral problems for linear differential operators and their appliCations. / V.A. Yurko. New York: Gordon and Breach, 2000.

121. Yurko, V.A. The Inverse Spectral Problem for Differential Operators with Nonseparated Boundary Conditions / V.A. Yurko // J. of Math. Analysis and Applications. - 2000. - Vol. 250, - P. 266-289.