Геометрические и коэффициентные обратные задачи теории упругости для полуограниченных областей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор наук Явруян Оксана Вячеславовна

• Явруян Оксана Вячеславовна
• доктор наук
• 2022

Оглавление диссертации доктор наук Явруян Оксана Вячеславовна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКИ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ

ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЕЙ

ЧАСТЬ 1. Обратные геометрические задачи

1.1 Общая постановка задачи для слоя с трещиной произвольной конфигурации

1.2 Постановка задачи для ортотропной полосы с прямолинейной или криволинейной трещиной (Задача 1)

1.3 Постановка задачи о колебаниях составной изотропной упругой полосы с трещиной на границе раздела сред (Задача 2)

1.4 Постановка задачи для изотропной полосы с отслоением на нижней границе в рамках градиентной теории упругости (Задача 3)

ЧАСТЬ 2. Обратные коэффициентные задачи

1.5 Общая постановка обратной коэффициентной задачи для неоднородной полосы

1.6 Постановка задачи о восстановлении неоднородных характеристик изотропной упругой полосы (Задача 4)

1.7 Постановка обратной коэффициентной задачи для упругой ортотропной полосы (Задача 5)

1.8 Постановка задачи о реконструкции вязкоупругих свойств неоднородной ортотропной полосы (Задача 6)

1.9 Постановка обратной коэффициентной задачи для кольцевой области с неоднородными свойствами (Задача 7)

1.10 Постановка обратной коэффициентной задачи для неоднородного цилиндрического волновода (Задача 8, Задача 9)

ГЛАВА 2. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТРЕЩИН

2.1 Решение прямой задачи для полосы, ослабленной трещиной произвольной конфигурации на основе метода ГИУ и МГЭ

2.1.1 Построение функций Грина для ортотропной полосы

2.1.2 Формулировка и исследование граничных интегральных уравнений для антиплоской и плоской задач

2.1.3 Дискретизация ГИУ на основе МГЭ для антиплоской и плоской задач

2.1.4 Численные результаты решения прямых задач для полосы,

ослабленной прямолинейной или криволинейной трещиной

2.2 Асимптотический метод исследования прямых задач для полосы с трещиной малого относительного размера

2.2.1 Асимптотический анализ ГИУ, полей смещений и

амплитудных значений волновых полей для полосы с трещиной произвольной конфигурации

2.2.2 Полоса с прямолинейной или криволинейной трещиной

2.2.3 Асимптотический анализ прямой задачи для составной полосы в случае трещины, расположенной на границе раздела сред

2.2.4 Численная реализация и сравнительный анализ методов (МГЭ и асимптотического) для прямолинейных и криволинейных трещин

2.3 Особенности исследования задач теории трещин в рамках градиентной теории упругости. Асимптотический анализ ГИУ

и полей смещений в рамках ГТУ

2.3.1 Сведение задачи об антиплоских колебаниях полосы с отслоением к ГИУ

2.3.2 Асимптотический анализ ГИУ и полей смещений для

задачи об антиплоских колебаниях полосы с отслоением

2.3.3 Решение прямой задачи о плоских колебаниях полосы с

отслоением в рамках ГТУ по упрощенной схеме Ру-Айфантиса

2.3.4 Численный анализ, сравнение классической и градиентной теории

2.4 Решение обратной задачи идентификации трещины в полосе

2.4.1 Некоторые аспекты решения обратной задачи идентификации трещины полосе

2.4.2 Численные результаты решения обратной задачи для прямолинейной трещины в полосе

2.5 Идентификация трещины малого относительного размера

2.5.1 Решение задачи идентификации прямолинейной трещины малого относительного размера

2.5.2 Случай криволинейной трещины малого относительного размера

2.5.3 Решение обратной геометрической задачи для изотропной полосы, ослабленной малой трещиной на границе

раздела сред

2

Решение обратной геометрической задачи для изотропной полосы с отслоением малого относительного размера

ГЛАВА 3. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ

КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ

3.1 Основные методы решения конечномерных обратных задач

3.2 Основные методы решения обратных коэффициентных задач с переменными характеристиками

3.2.1 Обобщенная теорема взаимности

3.2.2 Метод линеаризации, построение операторных уравнений

3.2.3 Построение итерационных процессов

ГЛАВА 4. ОБРАТНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ

ПЛОСКОГО ВОЛНОВОДА В ТРАНСФОРМАНТАХ

4.1 Задача для неоднородной упругой изотропной полосы,

определение Л( х3), /и( х3)

4.1.1 Исследование прямой задачи

4.1.2 Линеаризация задачи. Формулировка интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода

4.1.3 Построение итерационного процесса

4.1.4 Численная реализация

4.2 Обратные коэффициентные задачи для упругой ортотропной

полосы

4.2.1 Решения прямых задач

4.2.2 Схема последовательного восстановления неизвестных функций, характеризующих неоднородные свойства ортотропной полосы

4.2.3 Численные результаты восстановления неизвестных

функций

4.3 Обратные коэффициентные задачи для вязкоупругой ортотропной

полосы

4.3.1 Последовательное восстановление характеристик

4.3.2 Численная реализация

ГЛАВА 5. ОБРАТНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СТРУКТУР

5.1 Задача для упругой кольцевой области с неоднородными свойствами

5.1.1 Решение задачи о крутильных колебаниях кольцевой

области

5.1.2 Построение итерационного процесса

5.1.3 Радиальные колебания кольцевой области

5.1.4 Численные результаты восстановления характеристик

5.2 Задача для неоднородного цилиндрического волновода в трансформантах

5.2.1 Разделение задач относительно восстанавливаемых

функций и соответствующих решений

5.2.2 Формулировка интегральных уравнений

Фредгольма I-го рода

5.2.3 Численные результаты

5.3 Крутильные колебания неоднородного вязкоупругого цилиндрического волновода в оригиналах

5.3.1 Построение волнового поля

5.3.2 Построение операторных соотношений

5.3.3 Построение итерационного процесса. Результаты

вычислительных экспериментов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрические и коэффициентные обратные задачи теории упругости для полуограниченных областей»

Введение

Математические модели слоистых сред широко используются во многих задачах механики деформируемого твердого тела, которые имеют приложения в различных областях науки и техники - биомеханика, горная механика, сейсморазведка, строительство, дефектоскопия, механика функционально-градиентных и новых композиционных материалов.

Слоистые структуры варьируются от однослойных однородных до многослойных композитов и функционально-градиентных структур (ФГС), активно используются при моделировании современных материалов с улучшенными свойствами (функционально-градиентных материалов (ФГМ), пьезокерамик, композитов и т.д.) На сегодняшний день конструктивные элементы, имеющие слоистую структуру, широко востребованы в современной авиационной и аэрокосмической промышленности, в сфере изготовления ядерных реакторов и котлов, при проектировании специальных высокопрочных строительных материалов и во многих других приоритетных областях науки. Однако стоит отметить, что существуют проблемы, влияющие на эффективность использования, на безопасность и прочность ответственных конструкций, элементы которых изготовлены из ФГМ или слоистых композитов. Во-первых, это связано с тем, что часто на выходе технологического процесса изготовления ФГМ реальные материальные механические свойства могут отличаться от ранее спроектированных, и знание уточненных характеристик материалов, из которых будут изготовлены элементы конструкции ответственного назначения, позволит не только увеличить срок эксплуатационной службы, но и даст возможность прогнозировать поведение объекта при экстремальных условиях работы. Во-вторых, возможно появление микродефектов в местах сварки или склейки слоев, способных значительно снизить эксплуатационную способность конструкции и привести к дальнейшему выходу ее из строя, и своевременное выявление «малых» дефектов позволит предотвратить дальнейший рост дефекта и исключить нежелательные для работы объекта последствия.

Для адекватного описания поведения элементов конструкции из слоистых материалов или ФГМ при динамическом воздействии необходимо отказаться от гипотезы однородности и рассматривать модели с переменными физическими характеристиками.

Именно поэтому на первый план при использовании математических моделей слоистых и цилиндрических структур, выходит задача определения параметров или функций, характеризующих неоднородность как распределенную (идентификация неоднородных материальных свойств), так и локализованную (идентификация дефектов). При этом разработка эффективных схем и методик реконструкции неоднородных свойств в слоистых и цилиндрических структурах представляет собой актуальную задачу математического моделирования.

Описанные задачи, согласно введенной классификации обратных задач [1-6], относятся к классам обратных геометрических и коэффициентных задач механики деформируемого твердого тела. Обратные геометрические задачи в рамках данного исследования представляют собой задачи идентификации геометрических параметров трещиновидных дефектов в слоистых и цилиндрических средах. Обратные коэффициентные задачи связаны с определением функций, характеризующих неоднородные свойства слоистых и цилиндрических структур.

Стоит отметить, что подобная классификация обратных задач носит условный характер, поскольку геометрические обратные задачи могут быть сформулированы как коэффициентные, суть которых сводится к определению материальных механических параметров среды, существенно неоднородной в области локализации дефекта.

Решению обратных задач теории упругости и методам исследования некорректных задач посвящены работы многих отечественных и зарубежных авторов [1-10].

Диссертационная работа посвящена двум важным классам обратных задач применительно к слоистым и цилиндрическим структурам.

Отметин наиболее важные и значимые монографии в области механики трещин, а также работы, посвященные вопросам распространения упругих волн в полуограниченных телах Воровича И.И., Бабешко В.А. [11], Глушкова Е.В., Зинченко Ж.Ф. [12], Александрова В.М., Сметанина В.М., Соболя Б.В. [13], Морозова Н.Ф. [14], Партона В.З., Борисковского В.Г. [15], Слепяна Л.И. [16], Черепанова Г.П. [17], Панасюка В.В., Саврука М.П., Дацышина А.П. [18], Шифрина Е.И. [19], а также известные работы Айзиковича С.М., Белоконя А.В., Ватульяна А.О., Вильде М.В., Гетмана И.П., Глушковой Н.В., Голуба М.В., Гольдштейна Р.В., Ерофеева В.И., Зозули В.В., Кабанихина С.И., Калинчука В.В., Лурье С.А., Ляпина А.А., Меньшикова В. А., Наседкина А.В., Перельмутера М.Н., Попова Г.Я., Пряхиной О.Д., Соловьева А.Н., Суворовой Т.В., Сумбатяна М.А., Устинова Ю.А., Abda A.B., Achenbach J.D., Alves C.J.S., Andrieux S., Boström A.E., Bui H.D., Kuo A.-Y., Loeber J.F., Mal A.K., Sih S.K., Shindo Y., Su Z., Lu Y., Wang Y. и многих других отечественных и зарубежных авторов.

Прямые динамические задачи теории трещин с позиции линейной теории упругости исследованы достаточно широко, как известно, полученные при этом решения, характеризующие поля напряжений имеют сингулярный характер (напряжения имеют бесконечный рост при приближении к вершине трещины). В рамках линейной теории упругости для оценки НДС, т.е. практической интерпретации полученных сингулярных решений, сформулированы критерии прочности, ГОСТЫ и справочные значения коэффициента интенсивности напряжений (КИН) в окрестности вершин дефектов. При этом в формулах расчета КИН учитывается явно корневая особенность. Вместе с тем, ввиду очевидного стремления уточнить поведение полей напряжений у вершин, а также полей перемещений и деформации на берегах трещины, предложены различные математические модели неклассической теории упругости, например, модели градиентной теории упругости (ГТУ).

В ГТУ определяющие соотношения включают в себя градиентные параметры, соотносимые с размерными параметрами исследуемой области, например, с длиной дефекта, толщиной покрытия или микрослоя и т.д., что

позволяет учитывать масштабные микроэффекты, уточнять поведение в окрестности интересующих подобластей. Градиентная теория упругости была впервые предложена в середине прошлого века в работах Тупина Р. [20], Миндлина Р.Д. [21] , Лурье М.В. и развитая далее в работах Айфантиса Е.С. [2224]. В отличие от классической теории упругости, в градиентной теории упругости плотность энергии деформации зависит не только от тензора деформаций, но и от первого градиента деформации. Таким образом, полученные определяющие соотношения и уравнения равновесия/движения имеют более высокий порядок. Однако, наряду с возможностью описать более точное поведение объекта исследования, особенно в окрестности концентраторов, возникает ряд сложностей, связанных с исследованием краевых задач дифференциальных операторов более высокого порядка и выбором параметров градиентной модели. Поэтому дальнейшие исследования были связаны с упрощением многопараметрической градиентной модели и сокращением числа характерных градиентных параметров.

Так, в работах Айфантиса и его соавторов [22-25] была предложена упрощенная модель градиентной теории упругости - одна/двух/трех параметрические модели для статических и динамических задач, адекватно описывающие реальное поведение объекта исследования в рамках этой модели. Упрощенная модель Айфантиса использована в работах [26-28]. Исследованы статические задачи о трещинах моды 1,П,Ш в однородных или неоднородных, функционально-градиентных средах. Получены граничные интегральные уравнения относительно функций раскрытия трещины, рассчитаны коэффициенты интенсивности напряжений у вершин трещины, осуществлено сравнение с классическим случаем [29].

В работах Ру и Айфантиса [30] предложена новая схема исследования задач механики в рамках градиентной теории упругости, так называемый метод Ру-Айфантиса, позволяющий перейти от сингулярных решений к регулярным в два этапа. На первом этапе строятся решения классической теории упругости, далее рассматриваются дифференциальные уравнения более высокого порядка

относительно градиентных решений, в правой части которых стоят соответствующие решения классической теории упругости. В результате данного подхода удается исключить сингулярность в полях напряжений и сформулировать новые критерии разрушения.

Также авторами Лурье С.А., Васильевым В.В. [31-32] предложена эффективная обобщенная модель для исследования задач теории упругости, в которых возникают сингулярные решения. Уравнения градиентной теории упругости имеют более высокий порядок по сравнению с уравнениями классической теории, однако в отличие от традиционных неклассических теорий с большим числом дополнительных параметров (например, градиентных параметров) включают независимо от порядка уравнений всего лишь одну дополнительную постоянную, выражающуюся через микроструктурный параметр среды и не требует введения дополнительных моментных напряжений. Обобщенная теория развита для одномерных, двумерных и трёхмерных задач, сформулированы основные уравнения, учитывающие градиенты напряжений и записывающиеся в терминах обобщенных напряжений, деформаций и перемещений. Также основным прорывным моментом предлагаемой теории является возможность экспериментального определения параметра обобщенной модели и верификация полученных теоретических результатов с результатами экспериментов.

Отметим, что статические задачи теории трещин в рамках ГТУ исследованы достаточно подробно, однако, динамические задачи решены в меньшем количестве, поскольку их решение становится на порядок сложнее. Как правило, основное внимание исследователей направлено на решение динамических задач для балок, труб, пластин. Возможности развития градиентной теории упругости для динамических задач, полный обзор градиентной теории упругости для статических и динамических задач, возможности определения градиентных параметров, обсуждение вопросов применения конечно-элементных методов решений в рамках ГТУ обсуждены в

работах [33,34]. В этих же работах приведены основные уравнения ГТУ для динамических задач.

Развитие эффективной упрощенной схемы Ру-Айфантиса для случая динамических задач ГТУ представлено в работе [35], выведены граничные условия и рассмотрена модельная задача для прямоугольника

В работе [36] рассмотрены различные модельные задачи статики в плоской постановке для составной балки, полосы с круговой полостью, полосы с вертикальной трещиной, задачи решены на базе подхода Ру-Айфантиса, решения классической ЛТУ получены конечно-элементными методами, которые в последующем учитываются для получения градиентных решений соответствующих задач.

Современные требования, предъявляемые к работе оборудования промышленного и ответственного назначения предполагают постоянное усовершенствование неразрушающих методов исследования и способствует развитию математических методов обработки экспериментальных данных.

Среди современных методов неразрушающего контроля (МНК) своей эффективностью выделяются радиоволновые, тепловые, радиационные, магнитные методы. Особое место среди МНК занимают акустические методы зондирования. Для акустического контроля применяют колебания ультразвукового и звукового диапазонов частотой от 50 Гц до 50 МГц. Бесспорным преимуществом акустических методов оценки состояния объекта исследования (ОИ) является то, что для обнаружения дефектов достаточно проводить измерения лишь на доступной части границы ОИ, в результате которого звуковая волна, отражаясь от границы раздела сред с различными акустическими характеристиками, содержит в себе информацию о состоянии внутри объекта исследования (о структуре и характере неоднородности). Ультразвуковые методики опираются на последующую математическую обработку полученного сигнала и установление математической связи между выходными измеренными и аналитическими данными [37]. В связи с постоянным увеличением производительности вычислительной техники стало возможным

проводить высокоскоростные вычисления больших объемов, которые были недоступны в недавнем прошлом и дальнейшая математическая обработка данных акустического зондирования позволяет идентифицировать существенно неоднородные поля материальных характеристик, определять наличие концентраторов напряжений и их геометрические параметры.

На входе математической постановки задачи идентификации задаются экспериментальные данные, полученные с помощью акустических методов, так называемая дополнительная информация.

В качестве дополнительной информации при решении обратной задачи, по которой осуществляется реконструкция дефекта, могут выступать компоненты поля перемещений, измеренные на части границы тела или всей поверхности исследуемого объекта; значения резонансных частот, измеренных в дискретном наборе точек доступной границы; амплитуды бегущих волн. Именно от выбора входной информации во многом зависит точность и единственность решения обратной задачи идентификации.

Следующим важным этапом при решении задач идентификации дефектов (полостей, трещин, включений) является составление адекватной математической модели для тела с дефектом. В данной работе основное внимание будет уделено самому распространенному типу дефектов - трещиновидному. Как правило, при моделировании трещины она представляется в виде математического разреза, берега которого свободны от напряжений, при этом поля смещений претерпевают скачки на берегах. Несколько иной подход к моделированию трещин предлагается в статье [38], где используется дислокационный подход к изучению поведения тела с трещиной, при этом трещина моделируется в виде разреза, по всей поверхности которого действуют ненулевые силы сцепления. Такое описание дефекта позволяет сразу удовлетворить ряду физических ограничений и рассмотреть общие закономерности роста дефекта под действием внешних нагрузок. Учет взаимодействия берегов осуществлен также в работах [39-41].

Прямые и обратные задачи для тел с дефектами исследованы в работах [42-47], в которых рассмотрены задачи идентификации дефектов в стержневых и балочных элементах для статических и динамических задач (продольные, крутильные или поперечные колебаниях). Как правило восстановление осуществляется по значениям собственных частот или АЧХ в выбранной точке наблюдения.

Среди всех методов исследования задач теории трещин можно выделить два основных - метод конечных элементов (МКЭ) [48-50] и метод граничных интегральных уравнений (ГИУ), каждый из которых имеют свои достоинства и недостатки.

МКЭ получил большую популярность ввиду своей универсальности, высокой точности и эффективности, а также благодаря достаточно мощным современным вычислительным КЭ пакетам ANSYS, FlexPDE, FreeFEM++, NASTRAN и т.д. На входе метода КЭ требуется задание геометрических, материальных, физических и механических параметров задачи, на выходе МКЭ получают, например, значения механических полей в конечном наборе элементов (точек). Для дальнейшей реконструкции параметров дефектов, составляется так называемый функционал невязки, который представляет собой норму разности измеренных входных данных и данных, полученных в процессе решения поставленной задачи, т.е. измеренных и аналитических данных. Функционал невязки зависит от параметров трещины, является неотрицательной функцией, имеющий минимум в точке, соответствующей истинным значениям параметров исходного дефекта. Поэтому обратная задача идентификации в результате сводится к задаче минимизации функционала невязки. Дальнейшее успешное решение обратной задачи напрямую связано с эффективностью оптимизационных алгоритмов, которые представлены широким спектром разнообразных алгоритмов, в основе которых лежат современные генетические алгоритмы и математический аппарат нейронных сетей [51-56].

Таким образом, в рамках исследования задач идентификации дефектов МКЭ позволяет эффективно решать прямые задачи, в частности, получить

численные результаты вычислительных экспериментов, которые задаются в качестве дополнительной информации при решении обратной задачи, а также производить вычисления, необходимые для получения значений функционала невязки при реализации оптимизационных алгоритмов.

Так в работе [49] представлена эффективная работа связки методов КЭ, ГЭ и регуляризационных алгоритмов для решения систем граничных интегральных уравнений. Методика применена для решения задачи реконструкции дефектов двух типов в слоистых композитах при установившихся колебаниях объекта исследования - отслоений и разрывов слоев.

В работе [54] исследована задача идентификации поперечной трещины в слое с покрытием на основе данных ультразвукового контроля. Задача решена с помощью МКЭ, в последующем, полученные решения обрабатываются с использование нейронных сетей для решения задачи идентификации. Для моделирования тонкой накладки использованы специальные граничные условия и определены границы эффективности задания таких граничных условий. В работе показано влияние покрытия (его наличие и тип материала накладки) на концентрацию напряжений у вершин трещины.

Обратная задача идентификации приповерхностных полостей и трещин в плоской постановке рассмотрена в работе [55] для прямоугольной области. Прямые задачи решены с использованием конечноэлементного аппарата, а минимизация функционала осуществляется с помощью генетических алгоритмов (ГА).

Связка методов КЭ и нейронных сетей для решения обратной геометрической задачи для тел, ослабленных дефектами, успешно развита и для случая цилиндрических областей. В работе [56] рассмотрена задача идентификации круговой трещины, выходящей на внешнюю или на внутреннюю поверхность упругого изотропного полого цилиндра (трубы) по результатам ультразвукового контроля - амплитудно-временным характеристикам радиальных и осевых смещений в дискретном наборе временных точек. Приемник расположен там же, где возбуждается импульсная нагрузка на внешней

поверхности трубы. Для задачи идентификации использована связка МКЭ и инструментария обучающихся нейронных сетей. Исследованы различные вариации обработки входных данных АВХ и приведены практические рекомендации по увеличению точности реконструкции.

Идентификации трещин в составной трубе также посвящена работа [52]. Предлагаемая методика апробирована для случая прямолинейной трещины в трубе с усиливающей внутренней кольцевой накладкой. В работе рассмотрены различные вариации ультразвукового контроля и их модификации, что позволяет увеличить точность идентификации как вертикальных, так и горизонтальных трещин.

Однако стоит отметить, что МКЭ применим лишь для тел конечной формы. Для областей, содержащих бесконечно удаленную точку, МКЭ требует модификации - формулировки неотражающих граничных условий на поперечных границах, так в работах [57,58] рассмотрены слоистые локально неоднородные волноводы. Расчет волновых полей, возникающих в волноводах, осуществлен с использованием МКЭ - выделена ограниченная область, на торцах которой заданы специальные поглощающие граничные условия (типа вязкоупругих связей или в форме идеально согласованных слоев). Подобное задание граничных условий позволяет учесть отток волновой энергии на бесконечность. Однако при таком подходе искусственной имитации границ области избавиться от возникающих «лишних» мод (мод с высокой амплитудой смещений внутри интересующего объекта) и выделить «нужные» представляет собой достаточно сложную вычислительную задачу. Авторами предлагается эффективная схема на основе комбинации численного и аналитического анализа при построении упругих волн в локально неоднородных волноводах.

Второй способ модификации МКЭ применительно к волноводам -моделировать геометрию объекта таким образом, чтобы его размеры соотносились определенным образом характерным волноводу, например, слоистый волновод моделировать в разрезе «растянутым прямоугольником»,

отношение высоты которого к длине во много раз меньше 1, а на боковых границах задавать условия равенства нулю механических полей смещений.

Метод ГИУ чаще применяется для полуограниченных областей. Это один из самых эффективных подходов к решению задач теории трещин, который позволяют упростить решение исходной краевой задачи и свести ее к решению интегрального уравнения по контуру дефекта. На базе метода ГИУ решены подавляющее количество работ, среди которых отметим [4, 11, 16, 49, 59-61], в которых сформулированы системы граничных интегральных уравнений для полуограниченных областей простой и сложной структуры с дефектами (полупространства, однородный упругий/вязкоупругие и неоднородный слои, слой с трещиной на границе разделения областей, многослойные композиты с межслойными отслоениями, слой с полостью).

Работы Голуба М.В. и его соавторов [50, 62, 63] посвящены исследованиям многослойных структур с идеальным и неидеальным контактом на границах раздела слоев. Изучены дифракционные явления упругих волн на одиночных, множественных отслоениях различных форм в слоистых волноводах. Предложены специальные граничные условия для математического моделирования неидеального контакта в зоне деструкции и проведен анализ влияния повреждения на распространение упругих волн в среде и эффекты локализации энергии в местах дефектов.

В работе [64] задача идентификации отслоения от основания полосы осуществляется по отклонениям резонансных частот, определена зависимость выходных данных от заглубления и длины дефекта.

Одним из основных моментов при исследовании задач идентификации дефектов, который во многом определяет эффективность выбранной схемы исследования, является анализ чувствительности выходных механических полей от параметров дефектов. Также упростить задачу обнаружения дефекта можно при условии задания некоторой входной информации и характере дефекта, например, при наличии информации о ее расположении в некоторой плоскости или идентификация отслоений, возникающих в составных конструкциях в местах

стыка или склейки слоев. Подобная информация зачастую позволяет значительно упростить решение обратной задачи идентификации и расщепить ее на несколько подзадач поэтапного определения параметров дефектов.

В работе [65] предложена эффективная методика («reciprocity gap method»), основанная на поэтапной реконструкции дефекта, лежащей в некоторой плоскости. На первом этапе восстанавливаются параметры плоскости, содержащей дефект, а затем характеристики самого дефекта. Предлагаемая методика не исключает возможности определения множественных дефектов. Данный подход развит в работах [66, 67].

Ряд работ, среди которых [68-70], посвящен обобщению подхода, предложенного в [71] при исследовании обратных геометрических задач статической теории упругости для тел, ослабленных дефектами канонической формы и трещин. Рассмотрены задачи идентификации шаровой полости, жесткого и упругого включений, плоской трещины в безграничной упругой среде и ограниченном упругом теле, эллипсоидального дефекта в изотропном и анизотропном теле. За счет рассмотрения функционала «невзаимности» при решении обратной задачи идентификации дефекта удается упростить процедуру минимизации и получить выражения для инвариантных интегралов, которые зависят от параметров дефекта. С учетом полученных выражений для инвариантных интегралов и дополнительной информации о полях смещений и полях усилий, измеренных на границе тела, получены явные выражения для нахождения соответствующих параметров дефекта.

Предложенные в этих работах схемы решений развиты также и на случай множественных дефектов в двумерных и трехмерных телах при условии, что дефекты хорошо разделены и не контактируют. Рассмотрены как упругие, так и термоупругие задачи. В случае статической задачи термоупругости [72] параметры множественных дефектов - количество дефектов и их расположение (предположение о точечных дефектах) - определяются только из данных о механических полях смещений и усилий, измеренных на внешней границе тела, при этом измерения тепловых характеристик не производится.

В работе [73] для решения обратной геометрической задачи статической теории упругости применяется метод факторизации. Для однозначного определения конечного числа дефектов (полостей, трещин, включений) в изотропном, линейноупругом теле, достаточно задание оператора, переводящего приложенные к внешней границе тела усилия в вызываемые ими перемещения внешней границы. При этом надо учесть, что это требуется проведение многочисленных экспериментов, в которых для разнообразного типа нагрузок, прикладываемых к внешней границе тела, следует измерять вызываемые ими перемещения этой границы, что на практике не представляется возможным.

Наличие априорной информации о малости относительного размера трещины позволяет исследовать обратные задачи идентификации трещин в совершенно ином направлении, делая акцент на асимптотический анализ задачи.

Следует также отметить, что методы ультразвуковой диагностики обнаружения дефектов малых размеров работают недостаточно эффективно.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Явруян Оксана Вячеславовна, 2022 год

- // л

/ -- \

■7 \

/

а 2 О 4 О Б ОН 1

х

— ■■ Начальное при&лижеше

- Гочног решение

ш-т-■Зосггановтенная функция

Рис. 4.1.8 Графики начального приближения, исходной и восстановленной

функций ¡л( х) = 1 + 3 51П( ж)

Рис. 4.1.9. Графики начального приближения, исходной и восстановленной

функций Л( х) = 2 - соб(ж -1)

с55( х)

—--

0.2 0.4 0.6 0.8 1

X

С33( х)

0. 2 0. 4 0. 3 0. 3 1

X

Рис. 4.2.1 Реконструкция монотонных функций с55 и с33, с55 (х) = 4 — ву С33(х) = 1 + ех , с55°(х) = —1.6х + 3, с330(х) = х +1.8

0 5 х

Рис. 4.2.2 Реконструкция монотонных функций с13 и с11, , сп( х) = 1.5 + е

, ч 0 0.5х

с13 (х) = 3 — е

С55(

с33( х)

■'1 и 1: X

0.2 0.4 0.6 0.8 1

X

Рис. 4.2.3 Реконструкция немонотонных функций с55 и с

33

с55 (х ) = 3 + 6х3 - 6х2, с33 (х) = 2 - 6х3 + 6хz, с55"(х) = 2.6, с33и(х) = 2.4

2 „ 0,

с13( х) "^ооооооо*

0 2 0 .4 .6 0.8

2.5

1.5-

1-

0.5

С11( х)

"ч. \

Л К

> л. к О

0.2 0.4 0.6

0.8 1

х

Рис. 4.2.4. Реконструкция немонотонных функций с13 и сп, сп (х) = 2 + 5х2 - 5х2 - х, с13 (х) = 4 - 5(х2 + 0.1)3 + 5х2 + х

0.5

0

0.5

! '' t ^ Рис. 4.3.1 Результат восстановления c55(x) и c55(x), c55(x) = 1 - 0.6x3

<4 (x) = 0.8 - 0.5x3, c05 ( x) = 1.1 - 0.55 x, c 05' (x) = 0.85 - 0.45x

с

33

0.5

/у

0.5 X

с

33

0.5

0

/ 0 Jy

У

У X/ ^y

0.5

Т ' '

Рис. 4.3.2 Результат восстановления c33(x) и c33(x) <33(x) = 1.2 - е"L5x, c33 (x) = 0.5ex - 0.4, c303 (x) = 0.8x + 0.27, 4' (x) = 0.75 x + 0.1

с

13

0.5

0

0 О ООООО ^

у/О / о / о / о о ❖ о о о Л \

'о

0.5 X 1

с

13

0.5

0

<

0.5 X 1

Рис. 4.3.3 Результат восстановления С1з(х) и с13(х). с13 (х) = 0.351П( лх) + 0.7, с 13 (х) = 0. 2б1п( лх) + 0.6

с

11

с

0.5

11

"о °

0 о о ° о

0.5 X 1

0.5

0

О

0.5 X 1

Т ' '

Рис. 4.3.4 Результат восстановления сц(х) и с11(х). с11( х) = 0.6 + 0.4 х, с х) = 0.4 + 0.5х

1

1

ш ($)

XI

$

Рис. 5.1.1 Восстановление монотонного закона

-2

Ш ($) = 1/ м($) = 0.5 + 0.5$'

Л($)

12-

1.0

0.3-

Об

0.4

-

-

у Т

--- --- ----

-

Рис. 5.1.2 Восстановление монотонного закона Л($) = 0.4 + 0.7$"

1.0 0.9 OS 0.7

g (Ç) -

0.: 0.4

0.3 0^

02 OJ OU 0J5 0!б OJ OIS 0!9 l!0

ç

Рис. 5.1.3 Восстановление монотонного закона g(Ç) = 1/ j(Ç) = e Ç 121.10.9-

os- ¿S

0.4-Oj-

T-'-1-'-1-'-1--'-1-'--1-'-1--'-1-'-1

0^ O.j 0,- 0.5 Oft 0.7 0.8 0.9 1.0

Ç

Рис. 5.1.4 Восстановление монотонного закона À(Ç) = eÇ / e

■

_ 4

-

- \

-

_

Ш

z S

t-1—i-'—i-1-1--1—i-1--1-1—i--1-1-1—i

8 ($)

1_2-|

1.1-

1.0

0_9-

0.3-

0.7

0.6-

0.5-

/ У ш N ч 1

7

У

$

Рис. 5.1.5 Восстановление немонотонного закона 8 ($) = 0.5 + 0.581п(л($-$е/2)) 121.11.0 0.90.3-

т

0.7

0.6

0.5

0.4

Ч

Л ь— /-

к 7

/

Рис. 5.1.6 Восстановление немонотонного закона Я($) = 0.8 + 0.25 Б1п(2л($ - $0 /2))

1.21.11.0 0.90.80.70.60.50.4-

Л

1 -У

<0 XV

р(£)

А

у в

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Рис. 5.2.1 Восстановление функций = 0.5 + 0.5$2, р($) = 0.4 + 0.35$2

т 2-

0-

8- У /

6- Л --

0.2 0.3 1 ■ 1 0.4 0.5 0.6 1 ' 1 0.7 .. 0.8 ■ I ■ 1 0.9 1.0

Рис. 5.2.2 Восстановление функций А(£) = 0.4 + 0.7$2

м($)

1«

N ч.

\

1 ' 1 1 1 ' 1 ■ 1 ' 1 ' 1 > 1 ■ 1

1.1

1.0-

0.9-

0.8-

0.7-

0.6-

0.5-

Р($)

^^ «а

0-2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8^0.9 1.0 0\2 0!з 0.4 0.5 0.6 0Л 0.8-0.9 1.0

£

$

Рис. 5.2.3 Восстановление ц($) = 1.2 - 0.25е08$ , р($) = 1.1 - 0.2е

0.7$2

1.0-

0.9-

0.8-

0.7-

0.6-

0.5-

0.4-

Л($)

• •

»

т \

Л

1 ' 1 1 ■ 1 1 1 < 1 • 1 ' 1 '

$

Рис. 5.2.4 Восстановление закона Л($) = 1.4 - 0.5е

0.5$2

1.0-

0.6-

0.4-

0.2-

/(4)

— V

» х и

N

1.0—1

0.9-

0.8-

0.7-

0.6-

0.5-

0.4-

о.з-

0.2-

Р(4)

_ 1 * —

С' ч.

/

/ • ь

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ^0.9 1.0

4

4

Рис. 5.2.5 Восстановление немонотонных законов изменения неоднородных характеристик цилиндра /(4) = 05 + 0.5б1п(л(4 + 0.15)), Р(4) = 0.4 + 0.35Бт(л(4-0.2))

1.2 1.11.0 0.9 0.80.70.60.50.4-

Л(4)

Л V • • ; V

--- ---

• • • л / >

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

4

Рис. 5.2.6 Восстановление немонотонного закона изменения

характеристики Л(4) = 0.8 + 0.25соб(2л(4 - 0.1))

1.0-

0.8-

0.6-

0.4-

0.2-

№

> N ч

1 V

N

0.8-

0.7-

0.6-

0.5-

0.4-

0.3-

0.2-

л

г*

0.80 0.85 0.90 0.95 ~ 1.00 0.80

0.85 0.90 0.95 „ 1.00

Рис. 5.2.7 Восстановление монотонных законов изменения неоднородных характеристик цилиндра = 1.2 - 0.05е3 , р(£) = 0.1 + 0.07е2

1.

\ ч

\\ ••

, . . I ).80 . , . . 0.85 0.90 0 1.(

Рис. 5.2.8 восстановление немонотонного закона изменения характеристики Л(£) = 0.8 + 0.25ео5(2^(£ - 0.1)).

/ К

1т а Re а

— 20 -10 0 10 20 Рис. 5.3.1 Дисперсионные кривые при £0 =0.5; р(£) = 1, g (£) = 0.5, к(£) = 1 - 0.5соб2я-$, у=0.0 (упругий случай)

10

о

Рис. 5.3.2 Дисперсионные кривые при £0 =0.5; р(£) = 1, g (£) = 0.5,

к(£) = 1 - 0.5Б1П у=0.01

Рис. 5.3.3 Поле перемещений на внешней поверхности цилиндра при к = 2, 40 =0.5; р(4) = 1, g(4) = 0.5, к(4) = 1 - 0.5б1п2л4, у=0

0 1 2 3 4 5

Рис. 5.3.4 Поле перемещений на внешней поверхности цилиндра при к=2, 40 =0.5; р(4) = 1, g(4) = 0.5, Н(4) = 1 - 0.5Б1П2л4, у=0.1

1.4 1.2 1 0.8 0.6

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1т /

%

\

-5 ■ НЧ -

4

-0.15 -

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

4

Рис. 5.3.5 восстановление вещественной и мнимой частей функции, характеризующей модуль сдвига при к(4) = 1 - 0.5соб(2л4) , g (4) = 0.5(4 -1),

«=0.1

Яе / 1т /

0.4 I_I_!_1_I_I_I___I_I_I_1_

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 I 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Рис. 5.3.6 Восстановление вещественной и мнимой частей функции. характеризующей модуль сдвига к(4) = 1 + 0.5 соб(2л4), g (4) = 0.5, п = 0.2, к = 1

Яе ¡и 1т и

Рис. 5.3.7 Восстановление вещественной и мнимой частей функции, характеризующей модуль сдвига при к(£) = 1 - 0.5 Бт 2л£, g (£) = 0.5 + (1 -£)(£- 0.5), «=0.1

Рис. 5.3.8 Восстановлении модуля сдвига для упругого случая для

возрастающего

законаи(£) = 0.5 + 0.5£2,и0 = 0.85, р£) = 0.4 + 0.35£2е [-0.1,-0.2] (левый рисунок), для убывающего закона и(£) = 11 - 0.6£ , и0 = 0.7, р(£) = 1, 2 е [-0.8,-1] (правый рисунок)

Рис. 5.3.9 Восстановлении модуля сдвига для упругого случая для немонотонного закона = 0.3£ + 0.42, и(£) = 0.75 + 0.25б1п(2^£ + 0.6), р(£) = \,ъ е [-0.4,-0.9]

Список литературы