Поведение тонкостенных стержней при ударных нагрузках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат наук Аунг Зо Лат

• Аунг Зо Лат
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Аунг Зо Лат

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ЦЕЛИ РАБОТЫ

1.1. Обзор развития теории тонкостенных стержней

1.2. Краткий обзор работ по расчету стержней на удар

1.3. Основные цели работы и постановка задач

ГЛАВА 2. КОНЦЕПЦИЯ РАСЧЕТА СТЕРЖНЕЙ НА УДАРНОЕ

ДЕЙСТВИЕ

2.1. Применение теории Г. Герца к определению параметров

контактной силы при ударе

2.2. Моделирование соударяющихся тел

2.3. Использование интегрального преобразования Лапласа

2.4. Определение корней характеристических уравнений

2.5. Способ решения нелинейного интегрального уравнения

2.6. Параметры процесса потери устойчивости при ударе

2.7. Программное обеспечение реализации расчетов на удар

ГЛАВА 3. ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР ПО ТОНКОСТЕННОМУ

СТЕРЖНЮ

3.1. Центральный продольный удар массивного тела

3.2. Продольный удар по стержню, снабженному наковальней

3.3. Эксцентричный продольный удар массивного тела

ГЛАВА 4. ПОПЕРЕЧНЫЙ УДАР ПО ТОНКОСТЕННОМУ

СТЕРЖНЮ

4.1. Центральный поперечный удар массивного тела по

двутавру

4.2. Поперечный удар по двутавру с учетом эксцентриситета

4.3. Влияние деформаций сдвига на специфику тонкостенных стержней открытого профиля при ударе

ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ПРИ

УДАРЕ

5.1. Историческая справка

5.2. Устойчивость при центральном продольном ударе

5.3. Устойчивость плоской формы изгиба при поперечном ударе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Поведение тонкостенных стержней при ударных нагрузках»

ВВЕДЕНИЕ

Тонкостенные стержни открытого профиля находят широкое применение во многих областях промышленности и строительства. Особое место среди нагрузок, которые испытывают конструкции, сооружения и аппараты, занимает ударная нагрузка. В научных публикациях отсутствует концепция расчета на удар, которую можно было бы использовать в практических расчетах. Ввиду этого тема нашего исследования актуальна.

Теория расчета тонкостенных стержней, начало создания которой относится к 1899 году, построена многими известными учеными (L. Prandtl, A. Michell, С.П. Тимошенко, R. Kappus. H.Wagner, C.Weber, В.З. Власов и др.). За более, чем столетний, период эта теория непрерывно развивалась. В работах В.Б. Мещерякова (1963-1977 гг.) построена теория тонкостенных стержней с учетом деформаций сдвига. Уравнения в этой теории принадлежат к гиперболическому типу, дают возможность рассматривать процесс распространения упругих волн.

Проблемой соударения твердых тел интересовались многие ученые. Элементарное решение задачи предложил в 1807 году Th. Young [177]. Второе приближение, в котором появилось понятие приведенной массы балки при поперечном ударе, получено в трудах Е. Hodkinson [145] и Н. Сох [133],

Учет местных упругих деформаций в малой области контакта соударяющихся тел возможен благодаря теории Y. Hertz [144]. Первая работа в этом направлении принадлежит С.П. Тимошенко [1 16]. Однако его решение не обладало достаточной точностью. Зависимость перемещения оси балки в точке удара от контактной силы представлена бесконечным рядом по формам собственных колебаний. Модель балки принята на основе гипотезы Эйлера-Бернулли. Нелинейное интегральное уравнение для определения контактной силы при ударе решалось пошаговым методом. Шаг вычислений по времени был выбран как малая доля первого периода колебаний.

Для повышения точности решения требуется использование дифференциальных уравнений гиперболического типа и согласование шага вычислений с ожидаемой длительностью удара.

Цели и задачи работы.

Работа посвящается цели - построение усовершенствованных методов расчёта тонкостенных стержней на продольные и поперечные удары массивного тела.

Для достижения этой цели необходимо построит концепцию, включающую такие задачи:

1) Для определения параметров контактной силы при ударе построит нелинейное интегральное уравнение с учётом местных упругих деформации.

2) Выбрать метод для численного расчёта нелинейного интегрального уравнения.

3) Для определения перемещения ударяемых тел использовать дифференциальные уравнения, принадлежащие к гиперболическому типу.

4) Построй приближённые выражения корни биквадратных частотных уравнений при изгибе и кручении тонкостенных стержней.

5) В случаях потери устойчивости при центральном продольном ударе или потери устойчивости плотской формы изгиба послекритический перемещений использовать нелинейные уравнения с учётом точного значения кривизны оси стержня.

6) Необходимо выяснить влияния деформаций сдвига при изгибе и кручений на силовые и кинематические параметры напряжённо-деформированного состояния.

Научная новизна работы.

1) Параметры контактны силы при ударе определяются на основе тео-

- г3

рии Герца местных упругих деформации при любом соотношении масс соударяющихся тел.

2) Нелинейное интегральное уравнение решается численно по методу Эйлера.

3) Уравнения изгиба и кручения тонкостенных стержней с учётом деформация сдвига решаются аналитически с использованием интегрального преобразования Лапласа.

4) Для достаточно точного определения корни биквадратных частотных уравнений получены просты выражения путём разложения степенны ряды.

5) Установлено существенной влияния деформаций сдвига на уменьшение силовых и увеличение кинематических параметров стержней при ударе.

Достоверность результатов.

При выполнении исследования использовались известные уравнения и проверенные способы их решения. Полученные теоретические результаты сопоставлены с опубликованными в 1961 году в статье М.Е. Каган и М.Д. Геня данными экспериментов. Расчетом подтверждены продолжительности периодов процесса (сжатие, потеря устойчивости, смена числа полуволн, затухающие колебания), отмеченные в экспериментах.

Практическая ценность работы.

1. На основе предложенной концепции рассмотрены практические задачи расчета тонкостенных стержней открытого профиля на действие ударной нагрузки: при продольном центральном ударе определено напряженно-деформированное состояние стержня с учетом волн, отраженных от опорных устройств. Рассмотрено влияние двухосного эксцентриситета.

2. При поперечном центральном ударе определяется напряженно-деформированное состояние стержня с учетом волн, отраженных от опорных устройств. Учет деформаций сдвига при изгибе и кручении дает существенные поправки к максимальным значениям: уменьшение силовых и увеличение кинематических параметров на 15-20%.

3. Рассмотрена потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия при центральном продольном ударе. При условии работы материала стерж-

ня в упругой стадии получены перемещения выпучивания и возврат в прямолинейную форму при уменьшении ударной силы. Полученные теоретические результаты хорошо согласуются с данными экспериментов, опубликованных в 1961 году в статье М.Е. Каган и М.Д. Геня [52].

4. Рассмотрена потеря устойчивости плоской формы динамического изгиба стержня при центральном поперечном ударе. При условии работы материала стержня в упругой стадии получены линейные и угловые перемещения выпучивания и возврат в плоскую форму изгиба при снижении ударной силы.

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ЦЕЛИ РАБОТЫ 1.1. Обзор развития теории тонкостенных стержней

В 1899 г. в работах L. Prandtl [163] и A. Michell [158] была рассмотрена задача устойчивости плоской формы изгиба полосы. Это частный случай тонкостенного стержня, не имеющего секториальной жесткости. С этих работ началось построение теории. Существенный вклад в теорию тонкостенного стержня сделал С.П. Тимошенко, рассмотрев явление стесненного кручения двутавровой балки [115]. Им было получено уравнение кручения, применимость которого к профилю произвольного очертания подтвердили последующие авторы, и указали общий способ вычисления соответствующей (секториальной) жесткости.

Результаты, полученные С.П. Тимошенко, были немедленно востребованы в различных областях машиностроения (особенно в самолетостроении), нуждавшихся в уточнении существующих методов расчета тонкостенных элементов конструкций. В работах С. Weber [176], H. Wagner [174] и R. Kappus [148, 149] делаются попытки построения общей теории тонкостенного стержня открытого профиля. Уравнение кручения распространяется на несимметричные сечения, устанавливается совпадение центра изгиба с центром кручения. В работе H. Wagner и W. Pretscher [173] опубликованы формулы для определения критических сил при крутильной форме потери устойчивости стержня при центральном сжатии. Однако, как показал позднее В.З. Власов [23]. эти формулы

оказались верны лишь для стержней с двумя плоскостями симметрии. П.М. Знаменский [50] предложил формулы критической силы при закручивании, но они имели ту же область применения, что у H. Wagner.

Общая теория прочности, устойчивости и колебаний тонкостенных стержней открытого профиля была создана В.З. Власовым [20 - 23]. Введение двух кинематических гипотез - об отсутствии деформаций контура поперечного сечения и об игнорировании деформаций сдвига в срединной поверхности -позволило существенно упростить уравнения теории оболочек и получить все необходимые соотношения, удобные для практических приложений. Были установлены ошибки предшествующих авторов, а также непригодность формулы Эйлера в общем случае потери устойчивости стержней при сжатии.

Экспериментальные исследования работы тонкостенных стержней выполнены А.Р. Ржанициным [102. 104].

После выхода в свет монографии В.З. Власова [23] теория расчета тонкостенных стержней стала бурно развиваться и популяризоваться. Существенное влияние на овладение инженерами теорией и на введение основ теории в учебники оказали помимо работ В.З. Власова и сотрудников руководимой им лаборатории также обзорные работы следующих авторов: Г.Ю. Джанелидзе и Я.Г. Пановко [44], Я.Г. Пановко [91], Я.Г. Пановко и Е.А. Бейлина [93].

Устойчивость стержня при действии следящей силы была рассмотрена в работах Г.А. Тумашик [120] и P.A. Djondjorov. V.M. Vassilev [134]. В критической статье Д.В. Деревянкина и В.И. Сливкера [42] отмечено, что в этих двух работах используются неравнозначные модели стержня. В работе [120] учет деформаций сдвига выполнен на основе модели С.П. Тимошенко. В работе [И4] использована физически некорректная модель стержня с учетом деформаций сдвига, предложенная в монографии В. Колоушека [54].

П.Ф. Папковичем [95] введенны понятия пограничной кривой и поверхности. При их построении используются парциальные критические значения различных нагрузок.

Первую задачу о совместном действии сжатия и чистого изгиба балки-полосы в указанном плане решил С.П. Тимошенко [117], получив для пограничной кривой уравнение параболы. В статье Р.Н. Гузеева и В.И. Сливкера [41] приведено обобщение задачи С.П. Тимошенко [117]. В диссертации Г.Г. Влайкова [19] рассмотрена устойчивость плоской формы изгиба при двухпараметрической нагрузке.

Различными авторами получены приближенные уравнения пограничных кривых в некоторых частных случаях. В работе М.М. Гохберг [37] были получены пограничные кривые для сочетания двух поперечных нагрузок. В статье Е.А. Бейлина и В.В. Егорова [10] рассмотрены колебания и устойчивость криволинейного стержня, нагруженного трехпараметрической нагрузкой.

В работе А.З Зарифьяна [47] были построены пограничные кривые для некоторых случаев сочетания нагрузок. В работе В.Ф. Луковникова [63] была сделана попытка вывода общего уравнения пограничной кривой при сочетании сжатия стержня с произвольной поперечной нагрузкой. В статье В.Б. Мещерякова [66] построена пограничная поверхность при действии трехпараметриче-ской нагрузки.

Анализу исходных гипотез теории В.З. Власова посвящено значительное число работ, среди которых диссертация Ю.Н. Работнова [101], статьи К.Д. Туркина [121] и Е.Д. Кондрашева [56].

Теория упругости дает возможность наиболее точного обследования справедливости приближенных теорий. Основываясь на этом, А.К. Мрощин-ский [86] впервые подтвердил достаточную точность четырехчленной формулы для напряжений. Метод перемещений, предложенный A.B. Александровым для плитно-балочных и складчатых систем, позволил ему исследовать работу тонкостенных стержней при действии продольных сил [1]. Результаты исследования показали, что теория тонкостенных стержней учитывает главную часть напряженного состояния стержня. Отклонения от закона секториальных площа-

дей при действии продольных сил наблюдаются лишь вблизи места приложения этих сил.

Эти же вопросы рассматриваются в статье Е.П. Любовского [64], где имеется качественное экспериментальное подтверждение теоретических выводов в работе [1]. Следует отметить также работы Б.М. Броуде и Е.В. Борисова [16] , Н.М. Закса [46].

В работах Л.Н. Воробьева [28], П.Д. Мищенко [85] с помощью последовательных приближений учитываются деформации сдвига в срединной поверхности стержня. Было установлено, что влияние деформаций сдвига наиболее заметно сказывается на величине перемещения оси стержня и углов закручивания, а при вычислении напряжений деформациями сдвига можно пренебречь.

Принципиально иной подход к построению теории тонкостенных стержней был предложен в статье А.Л. Гольденвейзера [34]. В ней проведен качественный анализ интегралов полной системы уравнений, описывающих работу тонкой цилиндрической оболочки [35]. Показана возможность построения теории расчета коротких стержней (для которых можно пренебречь сен-венановским кручением) с учетом деформаций сдвига. Тонкостенные стержни средней длины (для которых нельзя пренебречь сен-венановским кручением), как отмечает А.Л. Гольденвейзер, «... до конца исследовать не удалось». Влияние сдвигов на напряжения в поперечных сечениях стержня оказалось на порядок меньше, чем влияние на перемещения в тех же сечениях. (К таким же результатам пришли в своих работах Л.Н. Воробьев [27] и П.Д. Мищенко [85] с помощью метода последовательных приближений.)

В результате анализа А.Л. Гольденвейзером обнаружено, что гипотеза недеформируемости контура поперечного сечения не нужна для построения теории, однако принятие ее не приводит к ошибкам, так как на основное напряженное состояние, учитываемое в теории стержней, влияют только такие деформации оболочки, при которых контур сохраняется неизменным.

Результаты, полученные А.Л. Гольденвейзером, позволяли уточнить пределы применимости теории В.З Власова.

Начиная с 1964 года В.Б. Мещеряков в ряде статей [68-75] предложил развитие теории тонкостенных стержней открытого профиля с учетом деформаций сдвига. В основу исследования положена работа А.Л. Гольденвейзера [34] . В статье [69] содержание анализа, проведенного в работе [34], излагается языком гипотез. Эти гипотезы не совпадают с гипотезами В.З. Власова [23]. Первая гипотеза утверждает, что система уравнений неразрывности может быть упрощена и сведена к одному уравнению. Решение этого уравнения приводит к известной четырехчленной формуле для относительной продольной деформации. Во второй гипотезе считается возможным пренебречь взаимным надавливанием волокон (это, кс1аги говоря, совпадает с одной из основных гипотез сопротивления материалов при рассмотрении изгиба бруса).

В статье [70] подведен итог исследований по построению общих уравнений теории тонкостенных стержней открытого профиля с учетом сдвигов. Дальнейшие публикации В Б. Мещерякова [72-77] посвящены вопросам колебаний, статической и динамической устойчивости тонкостенных стержней с учетом сдвигов, а также внутреннего трения в материале. Динамические уравнения принадлежат к гиперболическому типу, поэтому они отражают волно-водные свойства тонкостенных стержней при изгибе и кручении. В обзорной статье Э.И. Григолюка и И.Т. Селезова [39] положительно оценены работы В.Б. Мещерякова [67 - 75].

Большое количество исследований посвящено расчету тонкостенных стержней на устойчивость. Многие из них выполнены с использованием уравнений устойчивости, предложенных В.З. Власовым [23]. Позднее было обнаружено. что эти уравнения следует уточни гь

В работах Б.М. Броуде [15]. Л.Н. Воробьева [28] было показано, что потеря устойчивости стержня при внецентренном сжатии или при действии поперечной нагрузки возможна только в том случае, когда эта нагрузка лежит в

плоскости наибольшей жесткости, являющейся одновременно плоскостью симметрии. Это удалось установить путем рассмотрения деформаций, имеющихся до потери устойчивости. Возникло понятие о деформационном расчете, когда за основу принимается расчетная схема стержня в деформированном состоянии. На эту тему появилось много исследований. Отметим работы С.П. Вязь-менского [30], Г.Ш. Подольского [98]. А.З. Зарифьяна [47, 48], Е.А. Бейлина [8, 9].

В.Д. Потапов в статье [99] показал, что в уравнениях устойчивости стержня под действием распределенных продольных сил в работе В.З. Власова [23] содержится ошибка. Устойчивость тонкостенных стержней с упругими связями рассматривалась в работах Б.М. Броуде [15], В.В. Болотина [13], Г.П. Бурчака[18], Е.А. Бейлина [9].

Практическое использование теории тонкостенных стержней связано с необходимостью определения геометрических характеристик, которые не встречаются в расчетах стержней сплошного сечения. Вопросы определения секториальных моментов инерции рассматриваются в работах А.Р. Ржаницына [103] и В.А. Бабичкова [6| . В связи с учетом деформаций сдвига появляются дополнительные геометрические характеристики, или коэффициенты формы сечения. Этот вопрос рассмотрен в работах А.Л. Гольденвейзера [34] и В.Б. Мещерякова [68, 80].

Исследования динамической работы тонкостенных стержней выполнены, как правило, на основе уравнений В.З. Власова [23], принадлежащих к параболическому типу. Свободные колебания рассматривались в работах Н.И. Карякина [53], Б.А. Корбута [57], Г.В. Воронцова [29], а также зарубежными исследователями: J.L. Farrell, J.K. Newton and other [139]. J.M. Gere [141]. T. Leko [152]. H.R. Lembcke [153], M. Linnert [155. 156], K..H. Schreder [168].

Вынужденные колебания изучались Н.И. Безуховым и О.В. Лужиным [7], К.Н. Schreder [168, 169]. Колебания нагруженных стержней рассматривались Е. Chwalla [131].

Динамическая устойчивость стержня, сжатого периодической силой, была рассмотрена Н.М. Беляевым [11]. Динамическая устойчивость тонкостенных стержней рассматривалась в работах И.И. Гольденблата [31-33]. в статье В.В. Болотина [12]. С появлением монографии В.В. Болотина [14] динамическая устойчивость упругих систем превратилась в новый раздел строительной механики. Отметим исследования зарубежных авторов: S. Ebner [135], К. Schmidt [167]. Экспериментальные исследования проводили В.В. Болотин [14]. В.А. Соболев [109], H.A. Бурнашев [17], A.M. Сизов [105J.

Для учета быстропротекающих процессов динамические уравнения должны принадлежать к гиперболическому типу. т.е. иметь волновой характер. Волновое уравнение для случая изгибных колебаний балки было получено С.П. Тимошенко [118]. На примере шарнирно опертой балки было показано, что деформации сдвига оказывают влияние на частоты свободных колебаний, растущее с номером частоты.

Начиная со статьи Я.С. Уфлянда [122]. вышедшей в 1948 г.. стали появляться работы, в которых уравнение С.Г1. Тимошенко применяется для конкретных задач. Отметим работы М.Ш. Флексера [124. 125], Е.П. Кудрявцева [61], М.В. Хвингия [126], а также работы зарубежных авторов: J. Miklowitz [15]. G.E.Lewis [154], T.G. Huang [146]. W.C. Hurty and M.F. Rubinstein [147]. D. Michael [157], A.V. Murty, Krishna [160].

В работах Г.Б. Муравского [87-89]. А.И. Цейтлина [128] решается уравнение С.П. Тимошенко для балки на упругом основании. В статье C.R. Steele [170] рассмотрена балка Тимошенко при действии подвижной нагрузки. В работе J.C. Samvels, A.C. Eringen [166] рассмотрена реакция балки Тимошенко на случайную нагрузку.

Э.А. Сехниашвили 1107] исследовал частоты свободных колебаний в балке Тимошенко с учетом упругости опорных закреплений относительно угловых деформаций. Импульсивное и ударное нагружение на основе уравнения С.П. Тимошенко рассматривалось в работах: A.C. Вольмира [24-26]. Н.Э. Гониа-

швили [38], Ф.А. Марьямовой [65], Yu.A. Rossikhin. M.V. Shitikova [164]. Действие эксцентричного продольного удара рассматривалось в работах В.Б. Мещерякова и Ю.Ю. Сорина [78]. S. Kuo Shan [151].

В работе W. Flügge [140] отмечена необходимость учета деформаций сдвига при рассмотрении поперечного удара по балке.

Колебания реальных стержней затухают с течением времени. Это происходит ввиду наличия диссигшшвных сил различной природы. Обсуждение различных теорий затухания содержится в монографиях Е.С. Сорокина [112]. Я.Г. Па-новко [92], Г.С. Писаренко [96]. А.П. Филиппова [123]. Теория внутреннего неупругого сопротивления материалов разработана Е.С. Сорокиным [112, 113]. В недавно вышедшем учебнике [3] теория Е.С. Сорокина [112] изложена A.B. Александровым в популярной форме и дано ее сопоставление с гипотезой условного вязкого трения.

Система динамических волновых уравнений для тонкостенного стержня произвольного несимметричного открытого профиля получена в работах В.Б. Мещерякова [71. 73, 74]. На основе этих уравнений в работах [77, 79, 81. 82] рассматриваются различные задачи динамики тонкостенных стержней: для учета затухания вводятся силы внутреннего неупругого сопротивления в соответствии с теорией Е.С. Сорокина [112, 113].

В работе H.H. Бабаева [5] рассмотрены колебания стержня переменного сечения с учетом деформаций сдвига и внутреннего неупругого сопротивления.

В работах H.R Aggarwal [129] и H.R. Aggarvval, Е.Т. Cranch [130] получены волновые уравнения для профилей частного вида- двутавр и швеллер. К сожалению. принятая в этих работах методика вывода уравнений не может быть распространена на общий случай поперечного сечения тонкостенного стержня.

В последние годы в связи с расчетами ответственных сооружений появились публикации, в которых анализируются различные модели тонкостенных стержней. Отметим статьи В.М Круглова с сотрудниками [59]. Ю.Г. Исполова и В.И. Сливкера [51]. Н.А Григорьева [40]. Y.M. Vetyukov [171. 172]: моногра-

фии С.M. Wang, C.Y. Wang. J.N. Reddy [175]: А .В. Перельмутера и В.И. Слив-кера [97], В.И. Сливкера [106, 1 10]. К. Saade. В. Espion, G. Warzzee [165].

1.2. Краткий обзор работ по расчету стержней на удар

С основами теории соударения упругих тел можно познакомиться по монографиям: В. Гольдсмита [36]. С.А. Зегжды [49]. Я.Г. Пановко [94].

Проблемой соударения твердых тел интересовались многие ученые. Элементарное решение задачи предложил в 1807 году Th. Young [177]. В этом «первом приближении» кинетическая энергия ударяющего тела приравнивалась потенциальной энергии ударяемого тела. При этом не учитывалось влияние инерции ударяемого тела. Позднее Е. Hodkinson [145], на основании проведенных им опытов, предложил при ударе в среднем сечении шарнирно опертой балки учитывать половину массы балки. Теоретическое обоснование такому подходу дал Н. Сох [133] и уточнил величину приведенной массы балки как 17/35 от истинной массы. Так появилось «второе приближение» в решении задачи.

Учет появляющихся колебаний при продольном ударе по стержню выполнил L.M. Navier [161]. При поперечном ударе этот вопрос исследовал Barre. Saint-Venaant [132]. Его решение получено в виде бесконечных рядов. При удержании нескольких первых членов ряда это решение совпадает со «вторым приближением» Н. Сох. В статье [116] С.П. Тимошенко применил теорию Н. Hertz [144] к задаче поперечного удара по шарнирно опертой балке. Содержание статьи [116] вошло в монографию [119]. изданную в 1975 году под редакцией Э.И. Григолюка.

Нелинейное интегральное уравнение для определения контактной силы при ударе решалось в работе [116] пошаговым методом. На каждом шаге искомая сила сохраняла постоянное значение. Шаг по времени был выбран равным 1/200 первого периода собственных колебаний балки. Зависимость перемещения оси балки в точке удара от контактной силы представлена бесконечным ря-

дом по формам собственных колебаний. Модель балки принята на основе гипотезы Эйлера-Бернулли.

1.3. Основные цели работы и постановка задач

Предлагаемая работа посвящена двум целям. Первая из них заключается в исследовании поведения тонкостенных стержней открытого профиля при продольном и поперечном ударе массивного тела. Вторая цель - рассмотрение проблемы устойчивости стержней при продольном и поперечном ударе.

Для достижения этих целей необходимо, прежде всего, построить концепцию расчета стержней на упругий удар, состоящую из последовательных этапов, включая выбор расчетных моделей стержней, составление интегрального уравнения (по Герцу) и способ его решения для определения параметров контактной силы, определение внутренних силовых и кинематических параметров в процессе удара и после его окончания.

Для построения адекватной теории упругого удара по тонкостенным ^ стержням и повышения точности решений требуется:

1. Для описания поведения стержней при продольном и поперечном ударе использовать волноводные свойства стержней с учетом отраженных волн.

2. Определение перемещения в точке контакта при поперечном ударе выполнять с учетом деформаций сдвига.

3. Учитывать внутреннее неупругое сопротивление в материале ударяемого стержня.

4. При численном решении нелинейного интегрального уравнения для параметров контактной силы шаг вычислений по времени назначать в зависимости от ожидаемой длительности удара.

5. При рассмотрении процесса потери устойчивости стержня при продольном и поперечном ударе следует использовать точное значение кривизны изогнутой оси стержня.

Необходимо рассмотреть конкретные примеры расчета тонкостенных стержней на продольный и поперечный удар с построением графиков зависимости от времени силовых и кинематических параметров при ударе и после его окончания. При этом выяснить степень влияния деформаций сдвига.

ГЛАВА 2. КОНЦЕПЦИЯ РАСЧЕТА СТЕРЖНЕЙ НА УДАРНОЕ ДЕЙСТВИЕ

Исследование работы стержня на ударное действие состоит из ряда математических операций, и для каждой из них желательно выбрать наиболее рациональный подход. Рассмотрим эти операции (этапы) исследования.

2Л. Применение теории Г. Герца к определению параметров контактной силы при ударе

Основной задачей в расчетах на удар является определение параметров контактной силы. При этом можно опираться на теорию Н. Hertz [144]. Эта теория была ориентирована на определение контактной силы при статическом взаимодействии двух упругих тел. К динамическому взаимодействию ее применение основано на том. что в зоне контакта наблюдается смятие малых объемов тел, и можно пренебрегать силами инерции этих малых объемов. Этой возможностью пользовался сам Н. Hertz, а также А.Н. Динник [45].

Ввиду возникающего контакта двух тел они вынуждены начать двигаться совместно. Перемещение ударяющего тела должно быть воспринято ударяемым телом. Тела имеют в малой окрестности точки контакта упругие местные деформации, между перемещениями точек контакта имеется небольшое различие - сближение тел 11 = 11,-11., зависящее от величины контактной силы P(t). В соответствии с теорией Н. Hertz [144] можно записать такое уравнение:

P(t) = K0u3/2 = K0(u,-u2)3/2. (2.1)

Здесь К0 - параметр контактной жесткости, зависящий от свойств соударяющихся тел [36]. Если в это уравнение подставить выражения и\ и и2, зависящие от силы Щ), то оно будет служить математической моделью рассматриваемого процесса соударения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Аунг Зо Лат, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров A.B. Исследования работы тонкостенных стержней при действии продольных сосредоточенных сил. В сб.: «Исследования по теории сооружений», том XV, Стройиздат, 1967.

2. Александров A.B., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов: Учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 2000. - 560 с.

3. Александров A.B., Потапов В.Д., Зылев В.Б. Строительная механика. Книга 2. Динамика и устойчивость упругих систем. Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 2008. - 384 с.

4. Алфутов H.A. Основы расчета на устойчивость упругих систем. - М., Машиностроение, 1978.-311 с.

5. Бабаев H.H. О поперечных колебаниях стержня переменного сечения с учетом деформаций сдвига и сил внутреннего неупругого сопротивления. Инж. сб. АН СССР, т.22, 1955.

6. Бабичков В.А. О секториальных характеристиках тонкостенных стержней. Стр. механика. Труды МИИТ, вып. 131, Трансжелдориздат, 1961.

7. Безухов Н.И., Лужин О.В. К расчету тонкостенных стержней на вынужденные колебания. Сб. Исследования по теории сооружений, вып. VII, - М., Гос-стройиздат, 1957.

8. Бейлин Е.А. Общие уравнения деформационного расчета и устойчивости тонкостенных стержней. Стр. мех. и расчет coop. 1969, №5.

9. Бейлин Е.А. К теории деформационного расчета и устойчивости криволинейных и прямолинейных тонкостенных стержней. Механика стержневых систем и сплошных сред. Сб. трудов ЛИСИ №63, - Л., 1970.

10. Бейлин Е.А., Егоров В.В. Изгибно-крутильные колебания и устойчивость тонкостенного криволинейного стержня, нагруженного трехпараметрической нагрузкой. // Исследования по механике строительных конструкций и материалов. Межвуз. темат. сборник трудов. СПбГАСУ, 2002., с. 38 - 44

11. Беляев Н.М. Устойчивость призматических стержней под действием переменных продольных сил. Сб. «Инженерные сооружения», Л., Путь, 1924.

12. Болотин В.В. Динамичекая устойчивость плоских форм изгиба. Инженерный сборник, т. 14, изд. АН СССР, - М., 1953.

13. Болотин В.В. Об устойчивости плоской формы изгиба балок, соединенных упругими связями. Сб. статей «Расчеты на прочность, жесткость, устойчивость и колебания». Машгиз, 1955.

14. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. - М., Гостехте-ориздат, 1956.

15. Броуде Б.М. К теории тонкостенных стержней открытого профиля. «Строительная механика и расчет сооружений», № 5. 1960.

16. Броуде Б.М. Борисов Е.В. Об устойчивости элементов сжатого швеллерного сечения. Тр. ЦНИИСК, вып. 13. 1962.

17. Бурнашев И.А. О динамической устойчивости плоской формы изгибы балки. Докл. АН Узб. ССР, №3, 1954.

18. Бурчак Г.П. Об устойчивости плоской формы изгиба двутавровых балок, связанных упругими поперечными и продольными связями. Сб. трудов МИИТ, № 92/11, 1967.

19. Влайков Г.Г. Устойчивость плоской формы изгиба двутавровой балки при сложных нагрузках. Диссертация. КИСИ, 1954.

20. Власов В.З. Новый метод расчета призматических балок из тонкостенных профилей на совместное действие изгиба и кручения. Вестник ВИА, №20. 1936.

21. Власов В.З. Кручение и устойчивость тонкостенных открытых профилей. Строительная промышленность. №6-7, 1938.

22. Власов В.З. Кручение, устойчивость и колебание тонкостенных стержней. Прикладная математика и механика, т.З, вып.1, 1939.

23. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. - М, Стройиздат, 1940; - М., Физматгиз, 1959. - 568 с.

24. Вольмир A.C. Устойчивость сжатых стержней при динамическом нагруже-нии. Стр. мех. и расчет сооружений. 1960, №1. С. 6 - 9.

25. Вольмир A.C. Устойчивость при ударе. Сб. Строительная механика, Стройиздат, 1966.

26. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. - М., Наука, 1967. -984 с.

27. Воробьев JI.H. Влияние сдвига срединной поверхности на величину деформаций и напряжений в тонкостенных стержнях открытого профиля с недефор-мируемым контуром. Научн. труды Новочеркасского политехи, ин-та, 26, 1955, С. 92-111.

28. Воробьев J1.H. Деформационный расчет и устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля. Тр. Новочерк. политехи, института, т. 69/83, 1957.

29. Воронцов Г.В. Малые пространственные колебания, устойчивость и устойчивая прочность тонкостенных стержней открытого профиля. Изв. вузов. Стр. и арх. №1, 1965.

30. Вязьменский С.П. О пространственной деформации гибких тонкостенных стержней. Тр. ЛИСИ, вып.26. Госстройиздат, 1957.

31. Гольденблат И.И. Современные проблемы колебаний и устойчивости инженерных сооружений. - М.. Стройиздат. 1947.

32. Гольденблат И.И. Динамическая устойчивость сооружений. - М.. Стройиздат, 1948.

33. Гольденблат И.И. Динамический продольный изгиб тонкостенных стержней. Инж. сб., т. Y, вып. 1. 1948.

34. Гольденвейзер А.Л. О теории тонкостенных стержней. ПММ, 1949. т. 13, вып. 6.

35. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. Гостехтеориздат, 1953.

36. Гольдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяющихся тел. -М., Стройиздат, 1965. - 447 с.

37. Гохберг М.М. К вопросу об устойчивости плоской формы изгиба балок, находящихся под действием системы сил. Тр. Ленингр. Политехи, ин-та. №5. 1948.

38. Гониашвили Н.Э. Поперечный удар по стержню//Сообщения Академии Наук Грузинской ССР, -1989, - Том 136. N3 - с. 557-560.

39. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. Механика твердых деформируемых тел. том 5. ВИНИТИ. -М., 1973.

40. Григорьев H.A. Расчет конструкции на летящие предметы при проходе торнадо. Строительная механика и расчет сооружений. №3. 2011. с. 51-54.

41. Гузеев Р.Н., Сливкер В.И. Обобщенная задача Тимошенко. Строительная механика и расчет сооружений. №5. 2009. с. 12 - 16.

42. Деревянкин Д.В.. Сливкер В.И. О двух моделях стержня с учетом деформаций сдвига в задачах устойчивости равновесия. // Строительная механика и расчет сооружений. 2009. N 5. с. 65-69.

43. Дейвис P.M. Волны напряжений в твердых телах. Пер. с англ. Под ред. Г.С. Шапиро. - М., Изд. иностр. лит., 1961. - 103 с.

44. Джанелидзе Г.Ю., Пановко Я.Г. Статика упругих тонкостенных стержней. -М., Гостехиздат, 1948.

45. Динник А . Н . Удар и сжатие упругих тел // Избранные труды. Том 1. - Киев: изд. АН УССР, 1952. С. 13-114.

46. Закс М.Н. Напряженное состояние тонкостенного стержня в зоне приложения бимоментной нагрузки. // Строительная механика и расчет сооружений . 1967, №2.

47. Зарифьян А.З. Некоторые задачи устойчивости плоской формы изгиба. Тр. Новочеркасск, политехи, ин-та, №69/93, 1957.

48. Зарифьян А.З. О расчете тонкостенных балок на изгиб с кручением по деформированной схеме. Тр. Новочерк. политехи, ин-та, т. 189, Новочеркасск, 1969.

49. Зегжда С.А. Соударение упругих тел. - Спб: Издательство С.-Петербургского университета, 1997. - 316 с.

50. Знаменский П.М. Общая устойчивость открытых профилей при продольном сжатии. Техника воздушного флота. 1934, №12.

51. Исполов Ю.Г., Сливкер В.И. О консервативной моментной нагрузке. Строительная механика и расчет сооружений. №1, 2007, с. 61 - 67.

52. Каган М.Е., Геня М.Д. Экспериментальные исследования работы деревянных стержней на продольный удар. Изв. вузов, Строительство и архит., №3, 1961, с. 33-38.

53. Карякин Н.И. Изгибно-крутильные колебания тонкостенных стержней. Сб. статей БелИИЖТа, вып.1. 'Грансжелдориздат, 1957.

54. Колоушек В. Динамика строительных конструкций. - М., Стройиздат. 1965.

55. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. Пер. с англ. - М., Изд. иностр. лит., 1955. - 192 с.

56. Кондрашев Е.Д. Анализ основных гипотез теории изгибного кручения. Тр. Таганрогского радиотехн. ин-та. 1955. №1.

57. Корбут Б.А. Определение частоты крутильных колебаний тонкостенных стержней симметричного и антисимметричного профиля энергетическим методом. Научно-иссл. Моск. текст, ин-т. Том 19, М. - Л. Гос. изд. легкой промышл.. 1958.

58. Корн Г.А. Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Издание 4-е. - М.. Наука. 1977. - 832 с.

59. Круглое В.М., Косицын С.Б., Потапов В.Д.. Долотказин Д.Б. Исследование различных моделей тонкостенных стержней применительно к задаче устойчивости равновесия. Строительная механика и расче1 сооружений. №5, 2008, с. 24 -28.

60. Крутий Ю.С. Задача Эйлера в случае непрерывной поперечной жесткости. Строительная механика и расчет сооружений. №6. 2010. с. 22 - 29.

61. Кудрявцев Е.П Об учете влияния сдвигов и инерции вращения на изгибные колебания упругих стержней. Изв. АН СССР, ОТН, Мех. и машиностр., №5. 1960.

62. Курнавин С.А. Продольный удар сосредоточенной массы по полубесконечному стержню, снабженному наковальней. Межвуз. сб. тр. МИИТ. вып. 643. -М., 1979. С. 128- 130.

63. Луковников В.Ф. Устойчивость прямоугольной полосы и двутавровой балки при сложной нагрузке Диссертация Рига.1955.

64. Любовской Е.П. Экспериментально-теоретическое исследование напряженного состояния тонкостенного стержня при действии продольных сосредоточенных сил Тр. МИИТ. вып. 364. - М.. 1971.

65. Марьямова Ф.А. О поперечном ударе тела о стержень // Сопротивл материалов и теория сооружений. Респ. межвед. научно-техн. сб. - Киев, 1975. Вып 27.

66. Мещеряков В.Б. Об устойчивости тонкостенных стержней при действии трехпараметрических нагрузок Тр. МИИТа, 164. 1963

67. Мещеряков В.Б. О напряженном состоянии тонкостенных стержней открытого профиля Тр. МИИТа, 193,1964

68. Мещеряков В.Б. К вопросу определения прогибов и углов закручивания тонкостенных стержней с учетом сдвигов в срединной поверхности. Тр. МИИТ, вып.193, 1964.

69. Мещеряков В.Б. О влиянии сдвигов на работу тонкостенных стержней. Инженерный журнал, т. 5, вып. 1. 1965.

70. Мещеряков В.Б. Общие уравнения теории тонкостенных стержней открытого профиля с учетом сдвигов // Вопросы прикладной механики: Тр. МИИТа, -М.: Стройиздат, 1968, вып. 260. С. 82D93.

71. Мещеряков В.Б. Свободные колебания тонкостенных стержней открытого профиля с учетом сдвигов. Вопросы прикладной механики. Тр. МИИТ, вып.260,

- М., Стройиздат, 1968.

72. Мещеряков В.Б. К теории устойчивости тонкостенных стержней открытого профиля с учетом сдвигов. Вопросы прикладной механики. Тр. МИИТ, вып.260,

- М., Стройиздат, 1968.

73. Мещеряков В.Б. Изгибно-крутильные колебания и динамическая устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля с учетом сдвигов. Тр. МИИТ, 1970, вып. 311. С. 75-81.

74. Мещеряков В.Б. Вынужденные колебания тонкостенных стержней открытого профиля с учетом сдвигов и внутреннего трения. Тр. МИИТ, вып. 343, Транспорт, 1971.

75. Мещеряков В.Б. О влиянии сдвигов на упругую устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля. Тр. МИИТ, Строительная механика. 1971, вып. 364. С. 150-156.

76. Мещеряков В.Б. Динамическая устойчивость центрально сжатого стержня с учетом частотно-независимого внутреннего трения Тр. МИИТа, 476. 1975

77 Мещеряков В Б О распространении изгибно-крутильных волн в тонкостенных стержнях открытого профиля Прикладная математика и механика, 1977, т 41. вып 2 -С 372-375

78 Мещеряков В Б , Сорин Ю Ю Напряженно-деформированное состояние тонкостенного стержня при эксцентричном продольном ударе // Вопросы механики строительных конструкций и материалов / Межвузовский темат сб трудов ЛИСИ Л , 1987 С 1 1-15

79 Мещеряков В Б . Чефанова Е В Динамика тонкостенных стержней открытого профиля Вестник МИИТа N3. 2000 - С 123-130

80 Мещеряков В Б Геометрические характеристики прокатных профилей, необходимые для учета деформаций сдвига Вестник МИИТа N15. 2006 - С 64-69

81 Мещеряков В Б Изгибно-крутильные воины в тонкостенных стержнях открытого профиля Вестник МИИТа N19. 2008 - С 82-88

82 Мещеряков В Б . Чефанова Е В Свободные колебания тонкостенных стержней с учетом деформаций сдвига Вестник МИИТа. №21. 2009 С 84-96

83 Мещеряков В Б . Аунг Зо Лат Устойчивость стержней при продольном и поперечном ударе Известия 1ранссиба №1(9) 2012 С 98-106

84 Мещеряков В Б , Аунг Зо Лат Поведение тонкостенных стержней при ударных нагрузках Известия Транссиба №3(11). 2012 С 113-123

85 Мищенко П Д Расче1 юнкостенных стержней открытого профитя с учетом сдвига срединной поверхности Тр Новочерк политехи ин-та. т 42 56. 1958

86 Мрощинский А К Исспедование работы складчатых профилей методами теории упругости Тр лаб стр мех ЦНИИПС -М Госстройиздат. 1941

87 Муравский Г Б Действие подвижной нагрузки на балку бесконечной длины, лежащую на упругом основании -М. Тр МИИ Га. 1961. вып 134. с 54-84

88. Муравский Г.Б. К расчету балки бесконечной длины, лежащей на упругом основании, на действие мгновенного сосредоточенного импульса. Известия АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение. 1962, №6.

89. Муравский Г.Б. Колебания бесконечной балки Тимошенко на упругом основании. - М., Строительная механика и расчет сооружений. МИИТ, 1979. № 6, с. 56-61.

90. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. - М., Гостехиздат. 1949.-218 с.

91. Пановко Я.Г. Тонкостенные стержни и системы, составленные из тонкостенных стержней. Сб. Стр. мех. в СССР (1917-1957). - М., Госстройиздат, 1957.

92. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. - М., Физматгиз, 1960.

93. Пановко Я.Г., Бейлин Е.А. Тонкостенные стержни и системы, составленные из тонкостенных стержней. Обзорная статья в сб. «Стр. мех. в СССР (19171967)». - М.. Стройиздат. 1969.

94. Пановко Я.Г. Введение в теорию механического удара. - М.: Наука. 1977. -224 с.

95. Папкович П.Ф. Некоторые общие теоремы, относящиеся к устойчивости упругих систем. Тр. Ленингр. кораблестр. ин-та. Вып. 1. 1937.

96. Писаренко Г.С. Рассеяние энергии при механических колебаниях. - Киев, изд. АН УССР, 1962.

97. Перельмутер A.B.. Сливкер В.И. Устойчивость равновесия конструкций и родственные проблемы. Т. 1. 2. Изд. СКАД СЛФТ. 2010.

98. Подольский Г.Ш. Деформационный расчет тонкостенных стержней открытого профиля. Сб. Стержни и пластинки, вып. 44. - М.. МИСИ. 1963.

99. Потапов В.Д. Об одной неточности в теории устойчивости тонкостенных стержней. Стр. мех. и расчет соор., 1968. № 2.

100. Потапов В.Д., Папаев М.А. Аэродинамическая устойчивость висячих и Байтовых мостов при стохастическом воздействии. Строительная механика и расчет сооружений. №3, 2009. с. 38 - 47.

101. Работнов Ю.Н. Теория тонких оболочек. Докт. дисс. 1946.

102. Ржаницын А.Р. Экспериментальное исследование внецентренно сжатых тонкостенных стержней. Стр. пром.. №9, 1939.

103. Ржаницын А.Р. Об определении секториальных геометрических характеристик сечения тонкостенного стержня (метод произвольных эпюр). Тр. лаб. стр. мех. ЦНИПС, 1941.

104. Ржаницын А.Р. Экспериментальное исследование тонкостенных стержней с недеформируемым контуром. ЦНИПС, - М., Стройиздат, 1942.

105. Сизов A.M. Экспериментальные исследования параметрических колебаний сжатых призматических стержней. Тр. ЦНИИСК, I, вып. 1, 1961.

106. Сливкер В.И. О касательных напряжениях при изгибе стержней. // Исследования по механике строительных конструкций и материалов. Межвуз. темат. сборник трудов. СПбГАСУ. 2002., с. 90 - 96.

107. Сехниашвили Э.А. Определение частот свободных изгибных колебаний призматических стержней с учетом деформаций сдвига и упругости опорных закреплений относительно угловых деформаций. В сб. Иссл. по теории сооруж., вып. 2. - М., Госстройиздат, 1962.

108. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы. Учебное пособие- М. Изд. Ассоциации строительных вузов, 2005, 710 с.

109. Соболев В.А. Динамическая устойчивость деформации полосы при внецен-тренном сжатии и чистом изгибе. Инж. сб., том 19. - М. Изд. АН СССР, 1954.

110. Сливкер В.И. Устойчивость стержня под действием сжимающей силы с фиксированной линией действия. Строительная механика и расчет сооружений. №2, 2011, с. 34 - 36.

111. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений. - М., Трансжел-дориздат, 1958.

112. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. - М., Госстройиздат, i960. 131 с.

113. Сорокин Е.С. Методы экспериментального определения внутреннего трения в твердых материалах. Вопросы прикладной механики. Труды МИИТ, вып.193. М., 1964.

114. Тарнопольский Ю.М., Розе A.B., Поляков В.А. Учет сдвигов при изгибе ориентированных стеклопластиков. Механика полимеров, 1965, 2.

115. Тимошенко С.П. Об устойчивости плоской формы изгиба двутавровой балки. Изв. СПб Политехи, ин-та, t.IV-V. 1905-1906.

116. Тимошенко С.Г1. К вопросу о действии удара на балку // Изв. СПб Политехи. ин-та, Т. 17. Вып. 2. 1912. С. 407-425.

117. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. - М., Гостехиздат, 1946. -532 с.

118. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. - М., Физматгиз, 1967. -444 с. - М., КомКнига, 2007. - 440 с.

119. Тимошенко С.П. Прочность и колебания элементов конструкций. - М.: Наука, 1975.- 576 с.

120. Тумашик Г.А. Неустойчивость балки Тимошенко при действии неконсервативной нагрузки. // Тр. XXI междунар. конф. "Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов". 2007.

121. Туркин К.Д. Расчет цилиндрической оболочки при стесненном кручении на основе новой гипотезы. Сб. Расчет простр. констр., вып. 3, - М., Госстройиздат, 1955.

122. Уфлянд.Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластинок. ПММ, том XII. вып. 3, 1948.

123. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. - М., Машиностроение, 1970.- 734 с.

124. Флексер М.Ш. Об учете влияния инерции вращения и перерезывающих сил на поперечные колебания стержней конечной длины. Инж. сборник, том XXIII, 1956.

125. Флексер М.Ш. О поперечных колебаниях стержней. ПММ, том 22, вып. 5, 1958.

126. Хвингия М.В. Влияние сдвигов и инерции вращения на частоту изгибных колебаний упругих стержней. Инж. журн., том Ш, вып. 4, 1963.

127. Хофф Н. Продольный изгиб и устойчивость. Пер. с англ. Изд. иностр. литры. - М., 1955. 154 с.

128. Цейтлин А.И. О влиянии сдвига и инерции вращения при изгибных колебаниях балки, лежащей на упругом основании. ПММ, том 25, вып. 2, 1961.

129. Aggarwal Н. R. A theory of torsional waves and vibrations in beams of thin-walled open section. Ph. D. thesis, Cornell University, Jthaka, N.Y., 1962.

130. Aggarwal H. R., Cranch E. T. A theory of torsional and coupled bending-torsional waves in thin-walled, open section beams. Trans. ASME, 1967, 2, serie E.

131. Chwalla E. Über die gekoppelte Biegungs-und Torsions-schwingungen belasteten Stabemit offenem, einfach symmet-rischem Querschnitt. Oesterreichische Bauzeitschrift, Bd. 5, 1950.

132. Clebsch A. Teorie de l'elasticite des corps solides. Traduite par Saint-Venant et Flamant, Paris, Dunod, 1883. 900 p.

133. Сох Homerscham. On impact on elastic beams. Transacyions of the Cambridge Philosophical Society. 1851. vol 9. Part 1, pp. 73 - 78.

134. Djondjorov P.A., Vassilev V.M. On the dynamic stability of a cantilever under tangential follower force according to Timoshenko beam theory // Journal of Sound and Vibration. 311. Issues 3-5. 2008. P. 1431-1437.

135. Ebner S. Elastic oscillation of imperfect column of thinvvalled open sections to axial periodic loads. Doct. Diss. Univ. Colo, 1968, Dissert. Abstrs 1968, В 29, № 4.

136. Engesser F. Die Knickfestigkeit gerader Stabe. Zentralblatt der Bauverwaltung 11, 1891.

137. Euler L. Methodus inveniendi lineas curves maximi minimive proprietale gandentes/. Additamentum 1. De curves elasticis. 1744.

138. Euler L. Sur la force des colonnes. Mem. Acad.. Berlin, 1757.

139. Farrell J.L., Newton J.K., Miller J.A., Solomon E.N. Optimal estimation of rotation-coupled flexural oscillations. J. Spasecraft and Rockets. 1969, 6, №11.

140. Flügge W. Zeit. Angev. Math. u. Mech., t. 22, CTp. 312, 1942.

141. Gere J. M. Coupled Vibrations of Thin-Walled Beams of Open Cross Section. Journal of Applied Mechanics, vol.25. Trans. ASME, vol.80, 1958.

142. Gere J. M. Torsional Vibrations of Beams of Thin-Walled Open Section. Journal of Applied Mechanics, vol.21. Trans. ASME, vol.76, 1954.

143. Hamdouni A., Millet O. An asimptotic linear thin-walled road model coupling twist and bending. Book: International Applied Mechanics. 2011, p. 1072 - 1092.

144. Hertz H. Über die Beruhrung fester elastisher Körper (On the contact of the elastic solids). -J. reine und angewandte Mathematik, 1882, B.92, S. 156-171.

145. Hodkinson E. Experimental researches on the strength of iron. Report of the commissioners appointed to inquire into the application of the iron to railway structures, Appendix A, London, 1849, pp. 1-114.

146. Huang T.G. Effect of rotary ineryia and shear of vibration of beams treated by the approximale methods of Rits and Galerkin. ASME, №4, 1961.

147. Hurty W.C., Rubinstein M. F. On the effect of rotary inertis and shear in beem vibration. J. Franklin Inst. 1964, №2.

148. Kappus R. Drill knicken zentrisch gedrückten Stäbe mit offenen Profil im elastischen Bereich. Luftahrtforschung, 1937, №9.

149. Kappus R. Biegedrielknicken zentrisch gedrückten Stäbe mitoffenen Profil im elastischen Bereich. Luftfahrtforschung, 1937, №14.

150. Kollbrunner C.F., Hajdin N. Betrachtungen zur Theorie der dünnwandingen Stabe und ihrer Anwendung im Bauwesen. Schweiz. Bauzeitung, 41, 1966.

151. Kuo Shan S. Beam subjected to eccentric longitudinal impact. Proc. Soc. Exptl. Stress Analisis. Vol. 18, №2. New York, 1963.

152. Leko T. Gekoppelte Biege-und Torsionsschwingungen. VDF Zeitschrift. 1963, Bd. 105, №5.

153. Lembcke H.R. Biegungs- und Torsionsschwingungen von Stäben mit beliebigem Querschnitt. Ingenieur-Archiv. Bd.20, 1952.

154. Lewis G.E. Frequencies of vibration for a wedge with rotary inertia and shear. Masters Thesis. Mechanical Eng. Department. Kensselaer. Polytechn. Ins. 1959.

155. Linnert M. Zur Theorie der gekoppelten Biege Torsions-Schwingungen. Maschinenbautechnik. 1970. 19. №4.

156. Linnert M. Die Berechnung der gekoppelten Biege-Torsions-Schwingungen eines einachsing symmetrischen Balken. Maschinenbautechnik, 1970. 19, №5.

157. Michael D. An analitical study, including the effects of rotary inertia and shear, of the response of elastic beams subjected to accelaration pulses. Doct. Diss. Univ. Texs. 1964.

158. Michell A.G. On the elastic stability of long beams under transverse forces. Philosophical Magazine and Journal of Sciences, London-Edinburg-Dublin, Series 5. 1899, Vol.48, № 292, pp. 298-309.

159. Miklowitz J. Flexural wave solutions of coupled equations representing the more exact theory of bending. J. Appl. Mech. Vol. 20, 1953. .№4.

160. Murty A.V.. Krishna. Vibrations of short beams. AIAA Journal. 1970, vol. 8. №1.

161. Navier L.M. Resume des leconsdonnees a l'ecole des ponts et chausses sur l'application de la mecanique a l'établissement des construvtions et des machines. Premiere partie. Troisième edition. Paris. Dunod. Tome 1, Fascicule II. 1864. 853 p.

162. Nemat-Nasser S. Instability of a cantilever under a follower forse according to Timoshenko beam theory //1 ransactions of theAmerican Society of Mechanical Engineers. Journal of Applied Mechanics 34. 1967. P. 484-485.

163. Prandtl L. Kipp-Erscheinungen. Ein Fall von instabilem elastischem Gleichgewicht. Dissertation der Universität München, 1899. Nürnberg, 1900, S. 1-75.

164. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. The impact of a Sphere on a Timoshenko Thin-Walled Beam of Open Section With due Account for Middle Surface Extension. Transaction of ASME. Journal of Pressure Vessel Technology, 1999, Vol. 121. P. 375-383.

165. Saade K., Espion B., Warzzee G. Non-uniform torsional behavior and stability of thin-walled elastic beams with arbitrary cross sections. Journal Thin-Walled Structures. - 2004, p. 857- 881.

166. Samvels J.C., Eringen A.C. Respons of a Simply Supported Timoshenko beam to a Purely Random Gaussian Process. J. Appl. Mech., 1958, vol. 25, №4.

167. Schmidt K. Untersuchung der dynamischen Stabilitäts-verhaltens von dünnwandigen Trägern mit beliebiger, offener Profilform unter der Wirkung von harmonisch pulsierenden Längskräften und Biegungsmomenten. Wiss. Zeitschrift Techn. Hochsch. O.V. Guericke Magdeburg, Bd. 7, 1963.

168. Schräder K.H. Erzwungene gekoppelte Biegungs- und Drillschwingungen prismatischer Stäbe mit dünnwandigen Querschnitt unter Berücksichtigung der Wö lbkrafttorsion. Dissertation TU Berlin, 1962.

169. Schräder K.H. U bertragungsmatrizen bei Schwingungen dünnwandiger Stäbe mit offenen Profilen bei Kopplung von Biegung und Drillung. Ingr. Archiv. 1965, 34, №5.

170. Steele C. R. The Timoschenko beam with a moving load. Paper Amer. Sos. Mech. Engrs. 1968, N WA/APM-2. Trans ASME, 1968, E38, №3.

171. Vetyukov Y.M. Direct approach to elastic deformations and stability of thin-walled rods of open profile. Journal Acta Mechanica. 2008, p. 167 - 176.

172. Vetyukov Y.M. The theory of thin-walled roads of open profile as a result of asymptotic splitting in the problem of deformation of a noncircular cylindrical shell. Journal of Elasticity. -2010. p. 141-158.

173. Wagner H., Pretscher W. Verdrehung und Knickung von offenen Profilen, Luftfahrforschung, 1934, t. 11, №6, c. 174 -180.

174. Wagner H. Verdrehung und Knickung von offenen Profilen, Festschrift 25-Jahre T.H., Danzig, 1929.

175. Wang C.M., Wang C.Y., Reddy J.N. Exact solutions for bucling of structural members. - Boca Raton, Florida, USA: CRC PressLLC (CRC series in computational mechanics and applied analysis), 2005. - 286 p.

176. Weber C. Übertragung des Drehmoments in Balken mit doppelflanschidem Querschnitt, Z. für angevv. Math, und Mech. 1926, t.6, 1924, t. 4.

177. Young Th. A course of lectures on natural philosophy and the mechanical arts. London, printed for J.Johnson, 1807, vol 1, XX1V+796 p.