ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ И ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМ ЗВЕЗДООБРАЗНОЙ СТРУКТУРЫ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Аксенова Зульфия Фильгатовна

• Аксенова Зульфия Фильгатовна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Аксенова Зульфия Фильгатовна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Прямые задачи для математических моделей механической и 11 электрической систем звездообразной структуры

1.1. Обзор литературы

1.2. Постановка задачи и моделирование диагностирования меха- 13 нической системы из струн

1.3. Решение прямой задачи. Поиск собственных частот механи- 17 ческой системы из струн

1.4. О возможных дополнительных сериях собственных частот

1.5. Идентификация параметров механической системы по всем 24 собственным значениям

1.6. Постановка задачи и моделирование диагностирования элек- 35 трической сети

Глава 2. Диагностирование закреплений механических систем из струн 39 методами численного моделирования

2.1. Метод выделения линейной подсистемы

2.2. Метод двух нелинейных систем

2.3. Метод исключения лишних решений

2.4. Метод введения дополнительных неизвестных 51 Глава 3. Численные эксперименты по диагностированию параметров

механической системы, оценка погрешностей полученных результатов

3.1. Сравнение метода нахождения собственных значений с чис- 58 ленными экспериментами других авторов.

3.2. Сравнение собственных частот для однородной струны, 59 рассматриваемой как геометрический граф, и непрерывной однородной струны.

3.3. Оценка погрешности численных экспериментов

3.4. Программа поиска сосредоточенных масс на тупиковых вер-

шинах струнного графа Заключение

Список литературы

Приложения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ И ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМ ЗВЕЗДООБРАЗНОЙ СТРУКТУРЫ»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. На сегодняшний день учеными довольно хорошо разработаны акустические методы обнаружения трещин, определения формы, области либо размера предмета. Стремительными темпами развивается неразрушаю-щий контроль и диагностика механических систем и электрических сетей. Большой прогресс достигнут и в решении обратных задач Штурма-Лиувилля. Однако задачи идентификации краевых условий задачи Штурма-Лиувилля, заданной на геометрическом графе, по конечному набору собственных значений изучены еще слабо.

Обратные задачи Штурма-Лиувилля рассматривались в работах Марченко В.А., Левитана Б.М., Садовничего В.А. и др. [37, 41, 61, 65-66, 78, 91]. Однако, эти задачи были заданы не на графах, а на интервалах. Прямые задачи для дифференциальных уравнений на графах изучались в работе Покорного Ю.В. и др. [55, 69-77]. Обратные задачи для графов рассматривались в работах Юрко В.А. и др. специалистов по обратным спектральным задачам [97-103, 129-131], однако в этих работах восстанавливались преимущественно коэффициенты дифференциальных уравнений, и для восстановления использовалось несколько спектров.

В настоящей работе восстанавливаются краевые условия для заданных дифференциальных уравнений. Для восстановления используется только один спектр или его часть - собственные частоты самой механической системы (колебания переменного тока электрической сети).

Обратные задачи идентификации краевых условий рассматривались в работах Ахтямова А.М., Ямиловой Л. С., Муфтахова А. В., Сафиной Г.Ф. и др. [12-17, 22-24, 27-28, 30] однако для геометрических графов были решены лишь обратные статические задачи и обратная задача идентификации жесткостей пружинок по собственным частотам (наличие присоединенных масс не рассматривалось).

Валеевым Н.Ф., Мартыновой Ю.В., Рабцевич С.А., Нугумановым Э.Р.и другими авторами [35, 64] рассматривались задачи идентификации конечномерных операторов, в том числе и краевых условий, заданных на графах. Однако эти работы посвящены обратным задачам для конечномерных операторов, для восста-

новления параметров которых используется столько собственных частот сколько и неизвестных параметров. При этом решение оказывается неединственным, в том числе и для несимметрических систем. В данной работе для получения единственности несимметрических систем предложено использовать количество частот, большее, чем количество неизвестных.

Настоящая работа посвящена диагностике закреплений и нагруженности закреплений механических систем с заданным спектром колебаний, что позволяет проектировать виброзащитные системы, предохраняющие приборы от ударного воздействия, и кроме того осуществлять диагностику подобных конструкций. Рассматривается также диагностирование условий заземления электрических сетей, на участках труднодоступных для прямого зрительного осмотра, а также подбор условий заземления для обеспечения нужного спектра частот колебаний переменного тока.

Цель работы: Целью настоящей работы является исследование математических моделей механической и электрической систем звездообразной структуры, разработка методов диагностики закреплений и нагруженности тупиковых вершин геометрического графа из струн и условий заземления электрических сетей по собственным частотам колебаний.

В соответствии с поставленной целью были сформулированы и решены следующие задачи:

1. Исследовать математические модели механической и электрической систем звездообразной структуры.

2. Разработать метод решения обратной задачи для идентификации параметров механической и электрической систем звездообразной структуры. Провести численные эксперименты предложенных методов решения обратной задачи для идентификации параметров механической и электрической систем звездообразной структуры.

3. Исследовать вопрос об оптимальном количестве решений в обратных задачах по идентификации коэффициентов жесткости пружинок и сосредоточенных

масс на тупиковых вершинах струнного графа сообразно конечному набору собственных частот.

4. Создать комплекс программ, позволяющий провести расчет собственных частот колебаний струнного графа, а так же диагностировать параметры математические модели механической и электрической систем звездообразной структуры.

Методы исследования. В работе разработаны новые численные методы для решения задач идентификации коэффициентов жесткостей пружинок и сосредоточенных масс (параметров) на тупиковых концах струнного графа по конечному набору собственных частот колебаний. Использовалиь также методы решения систем нелинейных уравнений, теории дифференциальных уравнений, теории целых функций, теории обратных задач, вычислительной математики, математического анализа, линейной алгебры.

Достоверность научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации, обеспечивается математическими доказательствами теорем, сравнением полученных результатов разработанного численного алгоритма расчета собственных частот для идентификации параметров механической системы из струн с аналитическими решениями для модельных задач, а также результатами других авторов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Впервые проведено численное моделирование задачи диагностики закреплений, состоящих из пружинок и сосредоточенных масс на тупиковых вершинах струнного графа, по конечному набору собственных частот свободных колебаний этого графа. Для идентификации коэффициентов жесткостей пружинок и значений сосредоточенных масс автором используется лишь часть спектра самой спектральной задачи. Такая постановка отличается от работ по коэффициентным обратным задачам Штурма-Лиувилля, в которых коэффициенты краевых условий идентифицировались совместно с коэффициентами дифференциальных уравнений, и для восстановления использовалось некоторое количество спектров, либо же спектр и дополнительные спектральные данные (матрица Вейля, функция

Вейля, спектральная функция, весовые числа и т.п.) (п.1 паспорта специальности 05.13.18).

2. Впервые доказаны теоремы о количестве решений в обратных задачах для идентификации параметров струнного графа по конечному набору собственных частот, а также показана устойчивость этих решений (п.2 паспорта специальности 05.13.18).

3. На основе доказанных теорем разработаны новые численные алгоритмы вычисления коэффициентов жесткостей пружинок и сосредоточенных масс на тупиковых концах струнного графа. В отличие от известных методов идентификации (п параметров по п собственным частотам) предлагаемые подходы дают ответы на следующие вопросы: 1) какое минимальное число решений можно получить по всем собственным частотам; 2) какое минимальное количество собственных частот достаточно для получения этого числа решений. Найдены контрпримеры, показывающие, что трех собственных значений не достаточно для однозначной идентификации трех неотрицательных (физических) параметров mj (^) (/ = 1,2,3) струнного (геометрического) графа, а шести собственных значений не достаточно для однозначной идентификации шести неотрицательных параметров mj и hj (I = 1,2,3). Показано, что в этих случаях достаточно использование 4-х и 9-и собственных значений соответственно. Проведено сравнение результатов, результатов разработанного численного алгоритма расчета собственных частот для идентификации параметров механической системы из струн с аналитическими решениями для модельных задач, а также результатами других авторов. (п.4 паспорта специальности 05.13.18).

4. Разработан комплекс программ, позволяющий провести расчет собственных частот колебаний струнного графа и электрической сети, а так же позволяющий диагностировать параметры математических моделей механической и электрической систем звездообразной структуры. Проведена проверка адекватности результатов вычислительного эксперимента с помощью численной фильтрации. (п.8 паспорта специальности 05.13.18).

Теоретическая и практическая значимость результатов. Полученные результаты позволяют получать механические системы с заданным спектром колебаний, проектировать виброзащитные системы, предохраняющие приборы от механического повреждения при ударе, а также осуществлять диагностику подобных систем.

Полученные результаты позволяют диагностировать условия заземления электрических сетей, на участках труднодоступных для прямого зрительного осмотра, а так же подбирать условия заземления для обеспечения нужного спектра частот колебаний переменного тока.

Положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Математическая модель для диагностирования закреплений состоящих из пружинок и сосредоточенных масс на тупиковых вершинах струнного графа.

2. Численные методы решения задачи диагностирования закреплений, состоящих из пружинок и сосредоточенных масс на тупиковых вершинах струнного графа. Анализ численных экспериментов с помощью методов многокомпонентной фильтрации.

3. Алгоритм и комплекс программ в среде Maple для численного расчета собственных частот колебаний струнного графа, а так же для диагностирования закреплений состоящих из пружинок и сосредоточенных масс на тупиковых вершинах струнного графа.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на всероссийских и международных конференциях:

- VI Международная школа-конференция "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании", Уфа, 9-13 октября 2013 г.;

- Конференция, посвященная 100-летию Левитана "Спектральная теория и дифференциальные уравнения", Москва, 23-27 июня 2014 г.;

- VII Международная школа-конференция "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании", Уфа, 12-16 октября 2014 г.;

- Всероссийская научная конференция "Обратные краевые задачи и их приложения", посвященная 100-летию со дня рождения проф. М.Т. Нужина, Казань, 20-24 октября 2014 г.;

- XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Казань, 20-24 августа 2015 г.;

- научный семинар лаборатории «Механика твердого тела» Института механики Уфимского научного центра РАН

- научный семинар отдела "Математической физики" Института математики с вычислительным центром РАН

- научный семинар Башкирского государственного университета по обратным задачам теории колебаний;

- научный семинар Башкирского государственного университета по обратным задачам в науке и технике

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 рабо-тах[2-11, 20, 21], из которых 4 работы размещены в журналах, входящих в перечень Высшей аттестационной комиссии Министерства образования и науки Российской федерации. Имеется также свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Диссертационная работа выполнена при поддержке гранта №2561 «Развитие теории решения прямых и обратных задач математической физики и ее приложения» в рамках базовой части государственного задания в сфере научной деятельности за 2014 год. Номер госрегистрации: 01201456405 (рук. В.Н. Кризский, 2014 г.).

Личный вклад автора. В совместных работах А.М. Ахтямову принадлежит постановка обратных задач. Автору принадлежит анализ поставленных задач, разработка численного метода решения прямых и обратных задач, результаты вычислительных экспериментов, создание комплекса компьютерных программ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников и приложения. Полный объем диссертации 84 страницы, список литературы содержит 131 наименование.

Благодарности. Исследования, представленные в диссертационной работе, проведены под руководством доктора физико-математических наук, профессора Ахтямова Азамата Мухтаровича, которому автор выражает глубокую признательность и благодарность за научные консультации, внимание и помощь, оказанные при выполнении работы.

ГЛАВА 1. ПРЯМЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ И ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМ ЗВЕЗДООБРАЗНОЙ

СТРУКТУРЫ

В данной главе приводится обзор литературы близких по научному направлению работ, а так же постановки задач и моделирование для механической системы из струн, и для электрических сетей звездоподобной структуры.

1.1. Обзор литературы.

Техническая диагностика стала важной для людей, с того момента как появилась техника. Процессы, протекающие в механизмах и в двигателях, являются источником шума и вибрации [31, 62, 81, 84]. Вибрации же повышает усталость работников, делают рабочее место менее комфортным, а также отрицательным образом сказываются на здоровье человека. Колебания и вибрации в различных механизмах могут вызвать погрешности в работе машин или устройствах, увеличить износ и заметно понизить их надежность. Среди специальных методов борьбы с вибрациями: к объекту присоединяют ударные гасители колебаний, с целью изменения его вибрационного состояния. Поэтому, на сегодняшний день, интенсивно развивается акустическое диагностирование, решающее задачи оперативного контроля технических конструкций, по собственным частотам их колебаний [92].

Виброакустическая диагностика - наука, изучающая возможности распознавания характеристик машин, механизмов, узлов или агрегатов, иными словами, это вибромониторинг, включающий методы неразрушающего контроля (без механического вмешательства). Подобные задачи играют фундаментальную роль в различных разделах математики и имеют немало приложений в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. Интерес к данной тематике непрерывно возрастает благодаря появлению все новых приложений, и в настоящее время теория обратных задач интенсивно развивается во всем мире.

Дифференциальные операторы на графах часто возникают в естествознании и технике [38, 67-75]. Прямые спектральные задачи решались в работах [48-49, 51, 65-66, 119]. Решались также и обратные спектральные задачи (см., например, [3233, 36-37, 40-41, 61, 76, 105-106, 118]), в том числе на графах [64, 97-103]. Однако значимым отличием этих работ, от данной, является то, что коэффициенты дифференциальных уравнений и краевых условий восстанавливаются не по части спектра, а по нескольким спектрам и (или) по некоторым другим спектральным характеристикам (например, функция Вейля, спектральная функция, весовые числа). К тому же, основной целью этих работ является восстановление коэффициентов в уравнении, а не в краевых условиях.

Работы [45-47] направлены на изучение задач граничного управления колебательными процессами, т.е. в таких задачах изучается управление движением одного из концов струны при закрепленном втором конце. При исследовании в данной работе, считается, что закреплением на каждом из концов механической системы из струн управлять возможности не имеется. Идентификации краевых условий спектральных задач по собственным значениям в механических и электронных системах посвящены работы [11-19, 29-30]. В [35] восстанавливались коэффициенты граничных условий оператора Штурма - Лиувилля по всему спектру (а не по конечному набору собственных частот).

Обратные задачи идентификации краевых условий рассматривались в работах Ахтямова А.М., Ямиловой Л. С., Муфтахова А. В., Сафиной Г.Ф. и др. [11-13, 15-19, 24-30, 63, 96, 123], однако для геометрических графов были решены лишь обратные статические задачи и обратная задача идентификации жесткостей пружинок по собственным частотам (наличие присоединенных масс не рассматривалось).

Валеевым Н.Ф., Мартыновой Ю.В., Рабцевич С.А., Нугумановым Э.Р.и другими авторами [35, 64] рассматривались задачи идентификации конечномерных операторов, в том числе и краевых условий, заданных на графах. Однако эти работы посвящены обратным задачам для конечномерных операторов, для восстановления параметров которых используется столько собственных частот сколько

и неизвестных параметров. При этом решение оказывается неединственным, в том числе и для несимметрических систем. В данной работе для получения единственности несимметрических систем предложено использовать количество частот, большее, чем количество неизвестных.

Таким образом, представленное исследование данной работы отличается от перечисленных выше работ как по постановке, так по методам решения поставленных задач.

1.2. Постановка задачи и моделирование диагностирования механической системы из струн

Ставится задача диагностирования сосредоточенных масс и коэффициентов жесткостей на тупиковых вершинах струнного графа по собственным частотам его колебаний.

В работе используется понятие графа, поскольку рассматриваемые математические модели имеют сетеподобную структуру, такого рода объекты являются актуальными, например, в инженерно-механической проблематике.

Моделирование колебаний геометрического графа G в виде звезды из п ребер-струн с одним общим концом в нуле описывается уравнениями колебаний струны на каждом ребре. Длина i -й струны равна . Толщина струн одинаковая, струны не растяжимы. Тупиковые концы струн упруго закреплены, причем каждая из струн может быть закреплена пружинками неодинаковой жесткости, в местах закрепления подвешены - сосредоточены массы т^ (см. рис. 1.1).

Задача состоит в определении значений сосредоточенных масс (параметра) тI и (или) коэффициентов жесткости пружин ^, закрепляющих тупиковые вершины струнного графа на концах геометрического графа по собственным значе-

струнного графа

ниям краевой задачи о колебаниях графа. В работе Покорного Ю.В. и др. [75, с. 36 - 38] рассматривается математическая модель для пучка из струн и решается прямая задача.

Как известно, уравнение свободных колебаний струны имеет вид [56, с. 4]:

(х, t) = а2 (х, t) - а (х )щ (х, t) дt2 дх;2

где и; (х;, t) - прогибы I - ого ребра струнного графа, Q^ (х;) - переменный коэффициент упругости среды, а2 - положительная постоянная величина [31, 42- 43, 83, 85]:

Будем рассматривать следующие краевые условия [56, с. 6; 57]:

- М ; (I, , t )= Т ^ (I, , t )+ Н ; • и, (I, , t ). г дt2 7 дх; Л 7

Они выражают условия упругого закрепления струн с сосредоточенными массами, где Н; - коэффициент жесткости пружины упругого закрепления ; -ой

струны, М; - сосредоточенная масса, прикрепленная к ; -ой струне графа.

Рассмотрим также условия непрерывности и условия для баланса сил действующих на общую точку О (узел) со стороны каждой из примыкающих к узлу струн (эти условия сопряжения известны см. [75, с. 37]):

и1(0, t) = и2(0, t) =... = ип (0, г),

ди1( Х1,t)

дх-

+ ди2(Х2, t)

хх = 0

дх2

+ + дип(хп,t)

х2 = 0 дХп

= 0.

хп = 0

Решение дифференциального уравнения свободных колебаний струны будем искать в виде [78]:

и; (х; , t )= У; (х; )• COs(&>t), I = 1,2,...П

Подставим последнее представление в предыдущее уравнение, получим - ^2 • У;(х;) • ) = а2 • ) • У;"(х;) - ^(х;) • У;(х;)

или

' а 1

У1 (х,) + а У1 (х, ) = & (х, ) У1 (х,) •

2^ 2 а а

Подставив это же представление для щ (х,, г) в краевые условия упругого закрепления струн с сосредоточенными массами [42-43, 57]

- М, ■ дЩ-(I,,г)=т^(I,,г)+нг • щ (I,,г),

г дг2 7 дхгу' } 1 л' '

получим:

М ■а2 ■ ^(аг) ■ уг (1г ) = Т ■ у' (I, )• ^(аг) + Иг ■ ^(аг) ■ у, (I,).

Таким образом, колебания каждого , -ого ребра струнного графа моделируются следующим уравнением для собственных функций и собственных значений

- у I"(х1) + (х1) ■ у I (х1 ) = Л ■ у I (х1),

(1.1)

2 а

2

где Л = ^ = —2, 4 (х ,) = —2 Qi (х I), причем 4 (х,) вещественная функция.

2

а а"

Условия непрерывности, условия для баланса сил действующих на общую точку О (узел) со стороны каждой из примыкающих к узлу струн, а также краевые условия после замены щ (х,, г) = у, (х,) ■ соэ(аг) можно записать так:

л(0) = у 2(0)

уп (0),

у{(0) + у2(0) + ... + уП(0) = 0,

у,

,' (I, )+(кг - т ■ *2 )■ у, (I, )=0

(1.2)

(1.3)

(1.4)

Здесь х, - расстояние от общего узла по оси ОХ,, 0 < х, < I,, у(х,) (/ = 1, 2,..., п) - амплитуда смещения ребра по времени г , -ой струны (см. рис. 1.2), то есть вертикальные смещения с выходом из плоскости начального расположения струнного графа, а * -спектральный параметр.

Считаем, что общая точка О

(х; = 0, = 1, 2, ..., п) не закреплена каким-либо образом (в нашем случае п = 3), а является свободной (подвижной). Полагаем, что длины струн 1г, струны не растяжимы и одинаковой толщины.

Условию (1.2) соответствуют условия непрерывности, условию (1.3) - баланс сил действующих на общую точку О (узел) со стороны каждой из примыкающих к узлу струн, условия (1.4) - условия упругого закрепления струн с сосредоточенными массами, где И; - коэффициент жесткости пружины упругого закрепления

I -ой струны, т; - сосредоточенная масса, прикрепленная к ; -ой струне графа, причем значения И; и т; неотрицательны. В работах Юрко В.А. [96-102] рассматриваются обратные задачи, однако в этих работах коэффициенты краевых условий восстанавливаются вместе с коэффициентами дифференциальных уравнений.

В терминах введенных обозначений поставим следующие задачи:

а) пусть И; и т; - неизвестны, а I; известны и равны I. Показать, что по всем собственным значениям коэффициенты жесткостей пружинок И; и сосредоточенные массы т; восстанавливаются однозначно с точностью до перестановок закреплений (пар (И;, т;)) на тупиковых вершинах местами.

б) пусть И; и т; - неизвестны, а I; известны и равны I. Найти минимальное число собственных значений необходимых для идентификации шести параметров И; и т

в) пусть И; (т;) - неизвестны, а т; (И;) - известны, I; известны и равны I. Найти минимальное число собственных значений необходимых для идентификации трех параметров И; (т;).

г) пусть И; (т;) - неизвестны, а т; (И;) - известны, I; известны и попарно различны. Найти минимальное число собственных значений необходимых для идентификации трех параметров И; (т;).

1.3. Решение прямой задачи. Поиск собственных частот механической системы из струн.

Перед решением этих обратных задач приводится решение прямой задачи на нахождения собственных значений, способ нахождения которых известен [68].

Собственные значения задачи (1.1) - (1.4) - это такие значения параметра £ при которых задача имеет нетривиальное решение. Найдем те условия, при которых задача (1.1) - (1.4) имеет нетривиальное решение.

Общим решением уравнения (1.1), как известно, являются функции [70, с. 32-33]:

У;(х;, £) = с;12;1(х;, £) + с; 2 2; 2(х;, £), (; = п) (15)

где £ = , а Zjl(xj,£) и 2;2 (х;, £) - линейно независимые решения уравнения (1.1) удовлетворяющие условиям

2Я(0, £)= 1, 2^(0, £)= 0, 2; 2(0, £)= 0, 2/2 (0, £) = 1 (16

Для задачи (1.1) - (1.4) имеют место утверждение: собственные значения и собственные функции вещественные [68, с. 31].

Пусть У = (У1,У2,...,Уп)Т, причем И;, т; не отрицательны, qi(х;) -вещественная функция. Введем в пространстве

Н = L2 (0,11 )х L2 (0,12 )х... х L2 (0,1п) (декартовом произведении трех пространств суммируемых с квадратом функций) оператор Р, действующий по правилу:

Р( У)=(- у1+ql (х1 )У1,-у2 + q2 (х2 )у2,-~ уП + qn (хп )Уп)Т.

Область определения у оператора следующая:

Я(Р) =КУ1, У2,., Уп )Т / у!(1; ) + (И; - тг • £2 )• У; (^ )= 0, У1 (0) = У2 (0)= ... = Уп (0),

у1 (0) + у2(0) +...+уП (0) = 0}.

Из построения оператора Р следует, что собственные значения задачи (1.1) - (1.4) совпадают с собственными значениями оператора Р. Так же как в работе [68, с. 17 - 31], нетрудно показать, что оператор Р является самосопряженным в пространстве Н.

Отсюда следует [68, с. 31], что собственные значения оператора Р, а значит и собственные значения задачи (1.1) - (1.4) являются вещественными.

Подставив (1.5) в формулы в (1.2)-(1.4) и последовательно находя неизвестные константы Cj, получаем

C11 = C21 = ... = Cni = c = const, c12 + c22 + ••• + cn2 = 0 , c(z/i(/i,s) + (h -т^ ■ s2]zzl(/i,s))+ c,2 ■{z'i2(li,s) + (h -mfs2)z,2(/i,s))= 0, (17

что где & = 1,2,...; i = 1,2,3, s = 4л

Мы ищем те значения спектрального параметра s при которых задача (1.1) - (1.4) имеет нетривиальное (ненулевое) решение. Это возможно только тогда, когда не все из констант c или Ci2 равны нулю.

Рассмотрим сначала случай, когда c не равно нулю (случай, когда c равно нулю будет рассмотрен ниже для n = 3 и qt (xi) = 0).

Итак, пусть c не равно нулю. Тогда из (1.7) получаем равенство

ci 2

- c(z/i (ii, s)+[h,- mi •s.2 )■ zii (ii, s)) zi2 (li, s) + (hi - mi ■ s2 } zi2 (li, s)

(1.8)

где £ = 4л.

1) Рассмотрим случай qi (х1) = 0 тогда (1.8) примет вид:

с • • sin(£ • )- Щ - т^ • £2 )• cos(£ • ))

с2 _ / , \ (, 2\ sin(£ • и) ^(£ • Ц)+ щ - mi ■ £ •—4—^

4 ' £

Подставим (1.9) в (1.3) и сократим на с. Если qi (х{) = 0, то в результате получим:

(1.9)

n

I

sin(li ■ s)- (hi - s2 ■ mi) ■ cos(li ■ s)

i=1 cos(li ■s)+(hi - s2 ■ mi|

sin

(irsy

0, к = 1,2,., n.

(1.10)

При выполнении условия (1.10) существует нетривиальное решение задачи (1.1) - (1.4). Поэтому уравнение (1.10) и есть уравнение для нахождения собственных значений задачи (1.1) - (1.4).

s

s

Приведя к общему знаменателю дроби в последнем выражении, получим окончательное уравнение для определения собственных значений (в случае д{(х) = 0 и с ф 0):

) = Х1ЛСЮ + Х2 /2СЮ + Х3/3(я) + Х4/4(я) + х5./5(^ + Х6 /б(£) + х7 /7(б) (1-11) + х8М^ + Х9 /9(£) + /0(б)

где

2 3 2 2

/1(б) = £ cos (я) -2s соэ(£)эт (Б);

4 3 4 2

f 2(Б) = £ cos (Б) - £ соэ(фт (Б); fз (Б) = 2Б cos2 (Б) эт^) - £ sin3 (Б) ; f4(Б)= 2Б3 соэ2(Б)эт(£)- £3 sin3(Б);

f5 (Б) = 2Б5 соэ2 (Б)эт(£) - £5 эт3(£); С1-12)

f6 (Б ) = 3соэ(фт2(я);

f 7(Б) = 6 соэ(я) sin2(Б) ;

22 /8(£) = 3Б соэ(фт (£);

/9 (Б) = 3Б4 СОЭ(Б) sin2 (Б) ;

f 0 (Б) = -3Б3 соэ2(Б) sin(Б) .

Х1 = Ь + h2 + hз ; Х2 = т1 + т2 + т3; Х3 = h2 hз + hз hl + h2 hl;

Х4 = hl (т2 + т3) + h2 (т1 + т3) + hз (т1 + т2 ); Х5 = т3 т1 + т2 т1 + т3 т 2;

(1.13)

Хб = hlh2 hз; Х7 = т^2 тз;

Х8 = h2 hlmз + hз ^т2 + hз h2 т1; Х9 = тз т2 hl + тз mlh2 + т2 т^з

Пример 1.1. Решим прямую задачу. Пусть п = 3, /1 = /2 = 1з = 1, = 1, h2 = 2, hз = 3, т1 = 4, т2 = 5, тз = 6. Подставим эти известные параметры в (1.10) или в (1.11), эти уравнения равносильны и имеют одни и те же корни. Кор-

нями этих уравнений являются собственные значения задачи (1.1) - (1.4), которые можно найти численно на компьютере. Первыми корнями этих уравнений являются числа £1 = 0.535194, £2 = 0.720919, £3 = 1.707768, £4 = 3.200778, £5 = 4.756288, £б = 6.312233, £7 = 7.880214, £8 = 9.444074, £9 = 11.014291 - являются собственными значениями краевой задачи (1.1) - (1.4).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Аксенова Зульфия Фильгатовна, 2016 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абзалимов P.P. Отыскание собственных значений и собственных функций оператора Штурма-Лиувилля // Вестник Башкирского университета -1999, №3. С.7-12.

2. Аксенова З.Ф. Идентификация параметров заземления провода по собственным частотам колебаний переменного тока // Международная конференция «Спектральная теория и дифференциальные уравнения», посвящённая 100-летию Б.М. Левитана: Тезисы докладов. М.: Изд-во МГУ и ООО «ИН-ТУИТ.РУ», - 2014. - С. 42. — 158 с.

3. Аксенова З.Ф. Идентификация некоторых параметров струнного графа // Материалы Всероссийской научной конференции «Обратные краевые задачи и их приложения» посвященной 100-летию профессора М.Т. Нужина (г. Казань, 20-24 октября 2014 г.) [Электронный ресурс]: (тексто-графические материалы). Казань: Изд-во Казан. ун-та, - 2014. - С. 1-14.

4. Аксенова З.Ф. Сравнение собственных частот для однородной струны, рассматриваемой как граф, и непрерывной однородной струны. Математическое моделирование процессов и систем: Материалы IV Всерос. Науч.-практ. Конф. С междунар. Участ., 16-17 декабря 2015 г., г. Стерлитамак. -Стерлитамак: Стерлитамакский филиал БашГУ, - 2015. - С. 3 - 11.

5. Аксенова З.Ф., Ахтямов А.М. Акустическая диагностика сосредоточенных масс на концах струнного графа с упругим закреплением на концах // Вестник Башкирского университета, - 2014. - Том 19, - № 1. - С. 14 - 18.

6. Аксенова З.Ф., Ахтямов А.М. Восстановление сосредоточенных масс на тупиковых вершинах струнного графа // В мире научных открытий. Красноярск: Научно-инновационный центр, - 2013. - № 2.1(38). - С. 56 - 67.

7. Аксенова З.Ф., Ахтямов А.М. Диагностика параметров заземления провода по собственным частотам колебаний переменного тока // Математическое моделирование процессов и систем: Материалы III Всерос. Науч.-практ. Конф. С междунар. Участ., 4-6 декабря 2014 г., г. Стерлитамак /под общ.

Ред. С.А. Мустафиной. - Стерлитамак: Стерлитамакский филиал Башкирского университета, - 2014. - C. 3-9. - 156 с.

8. Аксенова З.Ф., Ахтямов А.М. Идентификация сосредоточенных масс и коэффициентов жесткости пружин механической системы состоящей из n-струн по собственным частотам ее колебаний //XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сборник трудов (Казань, 20 - 24 августа 2015 г.). - Казань: Издательство Казанского (Приволжского) федерального университета, - 2015. - С. 98-100. -4436 с.

9. Аксенова З.Ф., Ахтямов А.М. Идентификация сосредоточенных масс и коэффициентов жесткости пружин механической системы состоящей из n-струн по собственным частотам ее колебаний // XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Аннотации докладов. (Казань, 20 - 24 августа 2015 г.). - Казань: Издательство Академии наук РТ, - 2015. - С. 13 - 319 с.

10. Аксенова З.Ф., Ахтямов А.М. Определение некоторых параметров на тупиковых вершинах струнного графа // VI Международная школа-конференция "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании". (9-13 октября 2013 г. Уфа): РИЦ БашГУ, - 2013. - С. 291-292.

11. Аксенова З.Ф., Ахтямов А.М. Программа поиска сосредоточенных масс на тупиковых вершинах струнного графа (Свидетельство о регистрации электронного ресурса № 20230 ИНИПИ РАО ОФЭРНиО от 18 июня 2014. Государственная академия наук Российская академия образования Институт научной и педагогической информации, Объединенный фонд электронных ресурсов «Наука и образование», (дата обращения: 07.04.2014)) // Хроники объединенного фонда электронных ресурсов "Наука и образование", - 2014, - № 6 (61) - С. 27 - Режим доступа: http: //ofernio. ru/portal/newspaper/ofemio/2014/6.doc.

12. Аюпова А.Р. О решении обратной задачи по восстановлению сосредоточенных масс по собственным частотам изгибных колебаний // Сборник мате-

риалов Всероссийской научно-практической конференции. НФ БашГУ, Нефтекамск - 2009. - С. 21-24.

13.Ахтямов А. М. О вычислении коэффициентов разложений по производным цепочкам одной спектральной задачи // Математические заметки. — 1992. — Т. 51, Вып. 6. — C. 137-139.

14.Ахтямов А. М. О коэффициентах разложений по собственным функциям краевых задач с параметром в граничных условиях // Математические заметки. — 2004. — Т. 75, Вып. 4. — C. 493-506.

15.Ахтямов А.М. О восстановлении краевых условий задачи Штурма-Лиувилля по ее спектру // Вестник Башкирского университета. - 1999. -№1. - C. 13-17.

16.Ахтямов А.М. Об определении краевого условия по конечному набору собственных значений // Дифференциальные уравнения. - 1999. - Т. 35 - №8. -C. 1127-1128.

17.Ахтямов А.М. Теория идентификации краевых условий и ее приложения. М.: Физматлит. - 2009. - 272 с.

18.Ахтямов A.M. Можно ли по одному обертону определить характер закрепления струны? // Вестник Башкирского государственного университета. Уфа: Изд-е БашГУ. - 1996. - №3(1). - С.12-15

19.Ахтямов A.M. Об однозначности восстановления закрепления струны по ее собственным частотам // Нелинейное моделирование и управление. Материалы международного семинара. Самара: Офорт. - 2000. - С. 8-9

20.Ахтямов А.М., Аксенова З.Ф. Идентификация параметров упругого закрепления механической системы из струн [Электронный ресурс] // Современные проблемы науки и образования. - 2015. - № 1. - Режим доступа: http: //www. science-education.ru/121-18706

21.Ахтямов А.М., Аксенова З.Ф. О диагностике механической системы из струн по конечному набору собственных значений // Фундаментальные исследования. - 2015. - №5 (часть 1). - С. 27-32.

22. Ахтямов A.M., Аюпова А.Р. О решении обратной задачи по восстановлению сосредоточенных масс по собственным частотам изгибных колебаний [Электронный ресурс] // Электронный журнал «Техническая акустика», -2009. - С. 12. - Режим доступа: http://www.ejta.org

23. Ахтямов A.M., Аюпова А. Р. Определение полости в стержне методом отрицательной массы // Дефектоскопия. - 2010. - №5. - С. 2933

24. Ахтямов А.М, Аюпова А.Р. Диагностирование двух масс, сосредоточенных на балке// Приборы и системы. Управление,контроль, диагностика. - 2010. -№1. - С. 42-44.

25.Ахтямов А.М., Ахтямова А.А. Об однозначности идентификации сосредоточенного инерционного элемента на одном из концов стержня //Вестник Башкирского университета. - 2013. - Т. 18. №1. - С. 7-10.

26. Ахтямов А.М., Кумушбаев Р.Р. Идентификация полинома в нераспадающихся краевых условиях // Дифференциальные уравнения. - 2012. - Т.48. -№ 11. - С. 1549-1552.

27. Ахтямов А. М., Кумушбаев Р. Р. Идентификация полинома в нераспадающихся краевых условиях в случае кратного нулевого собственного значения // Уфимский математический журнал. -2015. -Т. 7. - № 1. - С. 13-18.

28. Ахтямов А.М., Нафикова Э.Р. Восстановление краевых условий и функций нагрузки // Контроль. Диагностика. - 2007. - № 9. - С. 50-52.

29. Ахтямов А. М., Сафина Г. Ф. Диагностирование относительной жесткости упругих краевых ребер цилиндрической оболочки [Электронный ресурс] // Электронный журнал «Техническая акустика», - 2004. - С. 1-8. - Режим доступа: http://www.ejta.org

30. Ахтямов А.М., Ямилова Л.С. Идентификация условий замыкания провода по собственным частотам колебаний напряжения переменного тока // Электромагнитные волны и электронные система. 2006. - Т. 11. - № 2-3. - С. 15-17.

31.Бабаков, И. М. Теория колебаний : учеб. пособие /И. М. Бабаков. — 4-е изд., испр. — М.: Дрофа. - 2004. — 591 с.

32.Бондаренко Н. П. Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи для матричного уравнения Штурма-Лиувилля // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. - 2009. - Вып. И. -С. 3-5.

33.Бондаренко Н. П. Единственность решения обратной спектральной задачи для пучка матричных дифференциальных операторов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та - 2012. - №14. - С. 3-7.

34. Будак В.М., Тихонов А.Н. , Самарский А.А. Сборник задач по математической физике: учеб. пособие. 3-е изд. М.: - Наука, - 1980. - 688 с.

35.Валеев Н.Ф., Рабцевич С.А., Нугуманов Э.Р. О задаче определения параметров граничных условий оператора Штурма-Лиувилля по спектру //Вестник СамГУ. Серия: Естественнонаучная. - 2009. - №6(72).

36.Ван Дер Мей К., Пивоварчик В.Н. Обратная задача Штурма-Лиувилля с зависящими от спектрального параметра краевыми условиями // Функц. анализ и его приложения. - 2002. - Т.36. - №4. - С. 74-77.

37.Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит. - 2007. - 224с

38.Вольперт А. И. Дифференциальные уравнения на графах // Матем.сборник. -1972. - Т. 88 - № 4. - С. 578-588.

39.ГОСТ Р 7.0.11. - 2011 Система стандартов по информации, библиотечному и издательскому делу. Издание полное. Диссертация и автореферат диссертации. Структура и правила оформления. - М.: Стандартинформ. - 2012. -16 с.

40.Гладвелл Г.М.Л. Обратные задачи теории колебаний. М. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований. - 2008.

41. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. — M.: Изд-во МГУ. -1994. — 206 с.

42.Жибер А.В., Байков В.А. Уравнения математической физики: учебное пособие. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. -2003. -256 с.

43.Жибер А.В., Соколов В. В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа. //Успехи мат. наук. - 2001. - Т. 56. - вып. 1. - С. 64-104.

44.Житников В.П., Шерыхалина Н.М. Моделирование течений весомой жидкости с применением методов многокомпонентного анализа. - Уфа: Гилем.: - 2009. - 336 с.

45.Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач гиперболического и параболического уравнений // УМН. - 1960. - Т.15 - №2. - С.97 - 154.

46.Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация управления на двух конца струны упругими граничными силами за любой достаточно большой промежуток времени // Дифференциальные уравнения. - 2008. - Т.44 - №1. С.89-110.

47.Ильин В.А. О продольных колебаниях стержня. Состоящего из двух участков разной плотности и упругости, в случае совпадения времени прохождения волны по каждому из этих участков // Доклады академии наук. - 2009. -Т.429 - №6. - С. 742-745.

48.Кадченко С. И. Численный метод решения обратных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами, методом регуляризован-ных следов // Вестн. СамГУ. Серия: Естественнонаучная. - 2013. - Вып. 6(107). С. 23-30

49. Кадченко С. И. Численный метод решения обратных спектральных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами. Вестник СамГУ. Серия: Естественнонаучная. - 2013. - № 9/1(110)

50.Какушкин С.Н. Математическое моделирование спектральной задачи об электрических колебаниях в протяженной линии методом регуляризованных следов // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2013. - Т. 6. - № 3.

51. Капустин Н.Ю. О классической задаче с комплекснозначным коэффициентом и спектральным параметром в граничном условии //Дифференциальные уравнения. - 2012 - Т. 48. - № 10. -С. 1361-1367.

52. Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. О спектральных задачах со спектральным параметром в граничном условии // Дифференциальные уравнения. — 1997. — Т. 33 -№ 1. - С. 115-119.

53.Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. // М.: Иностр. лит. - 1958.

54.Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). // М.: Наука, 1968. — 503 с.

55. Комаров А. В., Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О спектре равномерной сетки из струн // Известия вузов. - 2000. - Т.463, №4. - С. 23-27.

56.Комеч А.И. Практическое решение уравнений математической физики //МГУ. - 1993. - 155 с.

57.Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения математической физики // М.: Физматгиз. - 1962. - 768 с.

58.Крылов А. Н. Некоторые замечания о крешерах и индикаторах // Изв.Академии наук. СПб. - 1909. - Т. 3 - №15. — С. 623-654.

59.Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики: Учеб. пособие В 3 т.// Т. III. Колебания и волны. Оптика. Атомная и ядерная физика. М.: Наука. Физ-матлит. - 1965. - 656 с.

60.Левин Б. Я. Распределение корней целых функций // М.: Гостехиздат. -1956. — 632 с.

61. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма - Лиувилля // М.: Наука - 1984. -240 с.

62. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний // М.: Наука - 1972. - 470 с.

63.Мамедов Х. Р. Об одной краевой задаче со спектральным параметром в граничных условиях // Сиб. мат. журн. - 1999. - Т. 40. - Вып. 2. — С. 281-290.

64. Мартынова Ю. В. Модельная обратная спектральная задача для оператора Штурма-Лиувилля на геометрическом графе // Вестник Башкирского университета. - 2011. - Т. 16. - №1. - С. 4-10.

65. Марченко В.А. Операторы Штурма - Лиувилля и их приложения // Киев: Наукова думка. - 1977.

66.Марченко В.А. Спектральная теория операторов Штурма -Лиувилля и их приложения // Киев: Наукова думка. - 1972. - 220 с.

67.Махмутов М.М. Лекции по численным методам // М.-Ижевск: НИЦ«Регулярная и хаотическая динамика». - 2007.—240с.

68.Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. -526 с.

69.Покорный Ю. В., Пенкин О. М. О теоремах сравнения для уравнений на графах // Дифференциальные уравнения. — 1989. — Т. 25. - № 7. — С. 1141-1150.

70. Покорный Ю. В., Провоторова Е. Н., Пенкин О. М. О спектре некоторых краевых задач // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений: Сб. науч. тр. Новосибирск. - 1988. — С. 109-113.

71. Покорный Ю.В., Карелина И. Г. О функции Грина задачи Дирихле на графе // ДАН СССР. - 991. - Т. 318 - № 3. - С. 942-944.

72.Покорный Ю.В., Лазарев К. П. Некоторые осцилляционные теоремы для многоточечных задач // Дифференц. уравнения. — 1987. — Т. 23 - № 4. -С. 658-670.

73.Покорный Ю.В., Пенкин О.М. Теоремы Штурма для уравнений на графах // ДАН СССР. - 1989. - Т. 309 - № 6. - С. 1306-1308.

74.Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В. Л. Об уравнениях на пространственных сетях // Успехи матем. наук. — 1994. — Т. 49 - Вып. 4. — С. 140.

75.Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев К.П., Шабров С.А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.:Физматлит. - 2005. - 272 с.

76. Покорный Ю.В., Провоторова Е.Н., Черкашенко И. Л. О спектре одной «разорванной» краевой задачи // Нелинейные колебания и теория управления, Устинов. - 1985. - Вып. 5. — С. 49-57.

77.Покорный Ю.В., Прядиев В. Л. О распределении нулей собственных функций задачи Штурма-Лиувилля на пространственной сети // Доклады РАН. -1999. - Т. 364 - № 3. - С. 316-318.

78. Садовничий В.А., Султанаев Я.Т., Ахтямов А.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. М.: Изд-во Моск. унта. - 2009. - 184 с.

79. Садовничая И.В. О равносходимости разложений в ряды по собственным функциям операторов Штурма—Лиувилля с потенциалами-распределениями // Матем. сборник. - 2010 -Т. 201. - № 9. - С. 61-76.

80. Садовничая И.В. Равносходимость в пространствах Соболева и Гёльдера разложений по собственным функциям операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями // Доклады академии наук. - 2011. - Т. 437. -№ 2. - С. 162-163

81. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. М.: Наука. - 1964. - 440 с.

82. Сергиенко И.В. Системный анализ многокомпонентных распределенных систем // И.В.Сергиенко, В.С.Дейнека; НАН Украины, Институт кибернетики им. В.М.Глушкова. Киев: Наукова думка. - 2009. - 639 с.

83. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. М.: Наука. - 1983. - 432 с.

84. Стрэтт Дж. В. (Лорд Рэлей). Теория звука. // М.: Гостехиздат. - 1940. - Т. 1.

85.Тихонов А.Н. , Самарский А.А. Уравнение математической физики. М.: Наука. - 1977.

86. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // Доклады АН СССР. 1943. № 5. С. 195-198.

87. Тихонов А. Н., Васильева А. В., Свешников А. Г. Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения. М.: Наука. -1980. - 230 с.

88.Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. - 1974. - 224 с.

89.Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука. - 1990. - 232 с.

90.ТихоновА. Н., Леонов А. С., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука - 1995.

91. Тумашин Г.Г. Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. Казань: Изд-во Казан. Ун-та. - 1965. - 333 с.

92.Усманов С.М. Ритмы окружающего мира и человек. — Уфа: Китап. - 2007.

- 200 с.

93. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры.

— СПб.: Лань. - 2000. — 736 с.

94. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.:Наука, Физматлит.- 1967. -с.552

95.Халилов С.А., Минтюк В.Б. Исследование устойчивости отсека крыла методом идентификации краевых условий на основе упрощенной модели // Авiцiйно-космiчна техшка и технолопя. - 2003. - Вып. 2. - С. 6-10.

96.Шкаликов А.А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в гра- ничных условиях // Труды семинара им. И.Г.Петровского. — 1983. — № 9. — С. 190-229.

97.Юрко В.А. О восстановлении дифференциальных операторов высших порядков на компактных графах. // Математика. Доклады академии наук. -2008. - Т. 419. - № 5. - С. 604-608.

98.Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит. - 2007. - 384 с.

99.Юрко В.А. О восстановлении операторов Штурма-Лиувилля на графах. // Математ. заметки. - 2006. - Т.79 - Вып.4. - С. 619-630.

100. Юрко В.А. Об обратной спектральной задаче для дифференциальных операторов на графе-еже // Доклады академии наук. - 2009. - Т.425 - №4. -С. 466-470.

101. Юрко В.А., Бутерин С.А. Обратная спектральная задача для пучков дифференциальных операторов на конечном интервале // Вестник Башкирского университета. - 2006. - Т.11. - №4 - С.8-12.

102. Юрко В.А. Восстановление дифференциальных операторов на графе-кусте // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. - 2009. - Т.9. - №2. - С.59 - 65.

103. Юрко В.А. Обратные узловые задачи для дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля на звездообразном графе // Сибирский математический журнал. - 2009. - Т.50. -№2. - С.469-475.

104. Ali-Mehmeti F. Regular solutions of transmission and interaction problems for wave equation // Math. Methods Appl. Sci. — 1989. — V. 11. — Pp. 665685.

105. Benedek A.I., Panzone R. On inverse eigenvalue problems for a second order differencial equacions with parameter contained in the boundary conditions // Notas algebra y anal. - 1980. - -№9. - 13 р.

106. Benedek A.I., Panzone R. Problemas de contorno para equaciones differencials ordinarias de sequndo orden con condiciones de borde dependientes del parametro spectral //Trab. Mat. Inst/ argent. mat. - 1983. - №53. - Pp. 1 - 21.

107. Borg G. Eine Umkehrung der Sturm Liouvilleschen Eigenwertanfgabe. Bestimmung der Differentialgleichung durch die Eigenwarte // Acta Math. -1946. - V. 78 - №1. - Pp. 1-96.

108. C K Law, V Pivovarchik Characteristic functions of quantum graphs. J. Phys. A: Math. Theor. -2009. - 11pp

109. Carlson R., Hearing point masses in a string, SIAM J. Math. Anal. -1995. -Pp. 583-600.

110. Chu, M.T. (1998) Inverse eigenvalue problems // Siam journal on scientific and statistical computting. - 1998. - Pp. 1-39.

111. Chu, M.T., Golub, G.H. Structured inverse eigenvalue problems // Acta Numerica. - 2002 - №11. - Pp. 1-71.

112. Collatz L. Eigenwertaufgaben mit techneschen Anwendungen // Leipzig: Akad. Verlagsgesellschaft Geest and Porting K. - G. - 1963.

113. Il'in V.A., Moiseev E.I. Optimization of the control by elastic boundary forces at twoends of a string in an arbitrarily large time interval // Differential equations. - 2008. - T. 44. -№ 1. - Pp. 92-114.

114. Freiling G., Yurko V.A. Lectures on Differential Equations of Mathematical Physics. NOVA Science Publishers, New York. - 2008.

115. Friedland S., Nocedal J., Overton M. The formulation and analysis of numerical methods for inverse eigenvalue problems // Siam journal on numerical analysis. - 1987. -№ 24. - Pp. 634-667.

116. Freiling G., V A Yurko Inverse problems for Sturm-Liouville equations with boundary conditions polynomially dependent on the spectral parameter // Inverse Problems. - 2010. - 17 pp

117. Gaveau B., Okada M., Okada T. Explicit heat kernels on graphs and spectral analysis: Several complex variables // Princeton Univ. Press. Math. Notes. -1993. - V. 38. - Pp. 360-384.

118. Gladwell G.M.L. Inverse Problems in Vibration. 2nd ed. // Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers. - 2004.

119. Gottlieb, H.P.W. Isospectral strings // Inverse problems. -2002. -№ 18 -Pp. 971-978.

120. Ikramov, Kh.D. and Chugunov, V.N. (2000) Inverse matrix eigenvalue problems // Gournal of mathematical sciences. -2000. - Pp. 51-135.

121. Kapustin N.Yu., Moiseev E.I. Spectral problems with the spectral parameter in the boundary condition // Differential equations. - 1997. - T. 33 - № 1. - Pp. 116 -120.

122. Levinson N. The inverse Sturm-Liouville problem // Math. Tidsskr. Ser. B. — 1949. — V. 13. — Pp. 25-30.

123. Mamedov Kh.R., Cetinkaya F. Inverse problem for a class of Sturm-Liouville operator with spectral parameter in boundary condition [electronic re-

source] - 2013. - Article ID 183. - P. 16, electronic only: http://link.springer.eom/j ournal/volumesAndIssues/13661.

124. Nocedal, J. and Overton, M.L. () Numerical methods for solving inverse eigenvalue problems // Lecture notes in mathematics. - 1983(1005). - Pp. 212226

125. Panakhov E. S., Koyunbakan H., Unal Ic. Reconstruction formula for the potential function of Sturm-Liouville problem with eigenparameter boundary condition // Inverse Problems in Science and Engineering. — 2010. — Vol. 18, no. 1, — Pp. 173-180

126. Shifrin E.I. Inverse spectral problem for a rod with multiple cracks // Mechanical Systems and Signal Processing 56-57. - 2015. - Pp. 181-196.

127. von Below J. Sturm-Liouville eigenvalue problems on networks // Math. Meth. Appl. Sc. - 1988. - V. 10. - Pp. 383-395.

128. Xu, S.F. An Introduction to Inverse Algebraic Eigenvalue Problems. Braunschweig: Vieweg. - 1998.

129. Yurko V. Inverse problems for Sturm-Liouville operators on bush-type graphs. // Inverse Problems 25. . - 2009. . - 105008 (14pp)

130. Yurko V. Inverse problems for Sturm-Liouville operators on graphs. // Inverse Problems 21. - 2005. Pp. 1075-1086.

131. Yurko V.A. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators on graphs // Inverse Problems 21. - 2005. - Pp. 1075-1086.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1