Определение механического состояния элементов конструкций, взаимодействующих с неоднородным упругим основанием, и родственные задачи идентификации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат технических наук Семенов, Алексей Сергеевич

• Семенов, Алексей Сергеевич
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Семенов, Алексей Сергеевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Обзор методов теории некорректных задач и применений к задачам механики твердого тела

1.1 Корректность математических постановок задач механики

1.2 Методы решения некорректных задач

1.3 Применение математических методов к обратным задачам механики твердого тела

Глава 2. Метод определения механического состояния конструкций, взаимодействующих с неоднородным упругим основанием

2.1 Континуальная формулировка

2.2 Метод численного решения на основе конечно - элементной аппроксимации

2.3 Процедура регуляризации

2.4 Результаты решения модельных задач при гладких распределениях коэффициента упругости основания

2.5 Экспериментальное исследование напряженно -деформированного состояния газопровода

Глава 3. Некоторые родственные задачи идентификации

3.1 Идентификация областей с нулевой реакцией основания

3.2 Задача о декомпозиции систем нагрузок

Глава 4. Определение механического состояния плиты

взаимодействующей с неоднородным упругим основанием

4.1 Континуальная формулировка задачи

4.2 Конечно-элементная модель системы

4.3 Метод численного решения задачи идентификации

4.4 Результаты решения модельной задачи при одномерном

изменении коэффициента упругости основания

4.5 Результаты решения модельной задачи при двумерном

изменении коэффициента упругости основания

Основные результаты и выводы

Приложение 1

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Определение механического состояния элементов конструкций, взаимодействующих с неоднородным упругим основанием, и родственные задачи идентификации»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. Напряженно-деформированное состояние конструкций, взаимодействующих с деформируемыми основаниями, находится в непосредственной зависимости от их характеристик сопротивления. Технические кондиции конструкций на грунтовых основаниях (фундаменты зданий и сооружений, наземные и подземные трубопроводы различного назначения, коммуникационные каналы и тоннели) существенным образом определяются механическими характеристиками грунта, которые могут приобретать значительные трансформации в процессе эксплуатации. Механические характеристики оснований могут изменяться при колебаниях температуры и содержания воды в почвах, при повышении сейсмической активности, в результате разнообразных техногенных воздействий. Проблемы оценки надежности и безопасности конструкций возникают весьма остро в случаях, когда процессы в грунтовом основании приводят к значительной неоднородности его механических свойств (вплоть до появления вымывов грунта, образования карстовых провалов и т.д.).

Исследование свойств оснований приборными методами непосредственно в зоне взаимодействия с конструкцией затруднено. Поэтому актуальной проблемой является разработка методов определения напряженно-деформированного состояния конструкций и идентификации

характеристик сопротивления оснований с использованием информации о геометрических изменениях (перемещениях и деформациях), получаемой при натурных обследованиях на отдельных этапах жизненного цикла конструкции или в процессах технического мониторинга.

Проблемы определения характеристик механических систем на основе данных о последствиях их изменений приводят к задачам, в которых могут нарушаться требования существования, единственности и устойчивости решения (некорректным задачам). При применении традиционных численных методов построения решений это находит выражение в плохой обусловленности дискретных моделей и неустойчивости вычислительных процедур по отношению к погрешностям входной информации.

В данной работе для получения устойчивых решений обозначенных выше проблем привлекается методология теории некорректных задач, что, в отличие от распространенных численных методов обработки данных, позволяет получать устойчивые и обладающие достаточной информативностью решения некорректных задач при неточной входной информации. При этом в работе делается акцент на разработке методов, не требующих больших объемов исходной информации и не накладывающих жестких ограничений на ее точность.

Разработка методов идентификации механического состояния и свойств

оснований конструкций с применением аппарата теории некорректных задач

является перспективным направлением для создания методик натурных

5

обследований и программного обеспечения систем технического мониторинга.

Работа выполнена в рамках госбюджетных научно-исследовательских работ, выполняемых по тематическому плану НИУ МЭИ.

Цели и задачи. Следуя изложенному выше, формулируются цели данной работы:

• Разработка численных методов определения механического состояния конструкций и идентификации характеристик неоднородных упругих оснований на основе ограниченных совокупностей данных о геометрических изменениях.

• Исследование области применимости разработанных методов в практических диапазонах варьирования качественных и количественных характеристик входной информации, а также параметров системы.

В работе решены следующие задачи:

• задача идентификации распределения коэффициента упругости основания и определения напряженно-деформированного состояния системы балка - неоднородное основание с использованием информации о прогибах;

• задача исследования эффективности применения разработанного метода идентификации в практическом диапазоне изменения объема и характеристик неопределенности совокупности входных данных о прогибах;

• задача исследования чувствительности разработанного метода в практическом диапазоне вариаций жесткостных параметров системы;

• задача идентификации областей с нулевой реакцией основания для системы балка - неоднородное упругое основание;

• задача идентификации свойств основания и реконструкции системы сосредоточенных внешних нагрузок;

• задача идентификации распределения коэффициента упругости основания и определения напряженно-деформированного состояния системы плита - неоднородное основание с использованием информации о прогибах;

• задача определения напряженно-деформированного состояния конструкции с использованием результатов измерений, полученных при натурных обследованиях.

Методами и средствами исследований являются методы теории некорректных задач и численные методы решения задач деформирования упругих конструкций.

Научная новизна.

• Сформулирована задача об определении напряженно-деформированного состояния конструкций и идентификации свойств упругого основания как линейная обратная задача относительно системы

дополнительных нагрузок, моделирующих влияние неоднородности основания.

• Разработан численный метод для решения задачи об определении дополнительных нагрузок, использующий процедуру итеративной регуляризации с выбором параметра регуляризации на шаге вычислительного процесса.

• Разработана модификация метода регуляризации, позволяющая учитывать априорную информацию об искомом решении в форме равенств, что позволяет расширить область применения метода на задачи с негладким распределением коэффициента упругости основания и задачи реконструкции систем внешних нагрузок.

Практическое значение:

Разработанный метод определения напряженно-деформированного состояния конструкций и идентификации свойств оснований позволяет получать достаточно точные и информативные результаты в широком диапазоне параметров системы, не накладывая при этом жестких ограничений на величину объема и точность входной информации. Это гарантирует его эффективное применение при решении практических задач оценки технического состояния конструкций, а также при разработке методик натурных обследований и программного обеспечения для систем технического мониторинга.

Достоверность полученных результатов обеспечивается:

• строгим применением методологии теории некорректных задач и верифицированных численных методов (метод конечных элементов в форме метода перемещений);

• сравнительным анализом решений серии тестовых задач с эталонными решениями;

• сопоставлением решения с использованием данных натурных обследований с результатами тензометрии.

Внедрение. Методика применяется в ГУП «МОСГАЗ» для оценки напряженно-деформированного состояния действующих газопроводов, результаты оценки используются при прогнозировании остаточного ресурса конструкций.

Личный вклад соискателя. Все разработки и исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности.

На защиту выносятся:

• Континуальная и дискретная постановки задачи об определении напряженно-деформированного состояния конструкций и идентификации свойств упругого основания как линейной обратной задачи относительно системы дополнительных усилий, моделирующих влияние неоднородности механических характеристик основания.

• Численный метод решения поставленной задачи, использующий процедуру итеративной регуляризации с выбором параметра регуляризации на шаге вычислительного процесса.

• Результаты верификации разработанного метода идентификации в практическом диапазоне изменений объема и погрешности входной информации для механической системы балка - неоднородное упругое основание.

• Результаты исследования чувствительности разработанного метода по отношению к вариациям параметров системы.

• Модификация метода регуляризации, позволяющая учитывать априорную информацию об искомом решении.

• Результаты решения задачи идентификации областей с нулевой реакцией для системы балка - неоднородное упругое основание.

• Результаты решения задачи идентификации свойств основания и реконструкции системы сосредоточенных внешних нагрузок.

• Результаты решения задачи идентификации свойств и механического состояния системы плита - неоднородное упругое основание.

Апробация научных положений и основных результатов произведена в виде докладов на научно-технических конференциях:

• XXIII международная конференция «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов», Санкт-Петербург, 2009 г.

• Шестнадцатая международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов. «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика», Москва, 2010 г.

• III Международный симпозиум «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений», Новочеркасск, 2010 г.

• Международная конференция «Металлические конструкции: прошлое, настоящее, будущее», посвященная 130-летию ЩШИПСК им.Мельникова, Москва, 2010 г.

• XVI Международный симпозиум им. А.Г.Горшкова «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред», Ярополец, 2010 г.

• XXIV международная конференция «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов», Санкт-Петербург, 2011 г.

Публикации. По тематике диссертации опубликовано семь работ, в том числе две работы в изданиях, включенных ВАК в перечень рекомендуемых.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, одного приложения и списка литературы.

Во введении приведены предметы, цели и задачи исследования, перечислены основные результаты, обоснована актуальность работы, освещен список трудов соискателя, приведено краткое содержание диссертации по главам.

В первой главе приводятся определения корректности задач, обзор современных методов решения некорректных задач, а также применение данных методов для решения физических задач. Рассмотрены метод квазирешений, метод Лаврентьева, метод Тихонова и его модификации, итеративные и статистические методы, приведены недостатки и достоинства данных методов. Приведен обзор работ по применению методов теории некорректных задач при решении практических задач механики твердого тела, математического программирования, обратных задач теплопроводности, задач акустики и физики полупроводников.

Во второй главе приведены континуальные и дискретные постановки

диссертационной задачи идентификации свойств основания системы «балка

- неоднородное упругое основание», как задачи об определении

дополнительных усилий. Описан разработанный итерационный алгоритм

решения поставленной математически некорректной задачи при любом

количестве неточных входных данных по прогибам. Исследована

устойчивость алгоритма решения при изменении погрешности входных

12

данных и их количества, при изменении соотношения жесткостей балки и основания. Проведен анализ результатов решения поставленной задачи с использованием предложенного алгоритма и методом сплайн-аппроксимации. Приведено сравнение результатов применения предложенного метода с результатами тензометрии участка трубопровода.

В третьей главе область применения алгоритма расширена на задачи идентификации свойств негладких упругих оснований с зоной нулевой реакции. Предложен метод определения размерности зоны нулевой реакции. Разработан метод решения задачи идентификации наряду с коэффициентом упругости основания сосредоточенных внешних нагрузок, действующих на балку на основе векторной регуляризации.

В четвертой главе приведены континуальные и дискретные постановки задачи идентификации свойств основания системы «пластина -неоднородное упругое основание», как задачи об определении дополнительных нагрузок. Для решения задачи идентификации применен описанный во второй главе алгоритм итеративной регуляризации. Предложены три модификации модели и алгоритма для решения задачи при малом количестве входных данных.

Основные выводы по отдельным главам обобщены в заключении.

1. Обзор методов теории некорректных задач и применений к задачам механики твердого тела

1.1. Корректность математических постановок задач механики

В данной работе рассматриваются задачи изгиба балок на упругом основании, удовлетворяющих гипотезе плоских сечений Бернулли [61], и тонких пластин на упругом основании, удовлетворяющих гипотезе Кирхгофа [7]. В прямой континуальной постановке решение задач данных типов сводится к дифференциальным уравнениям четвертого порядка относительно функции прогибов. Если рассматривать обратные задачи идентификации свойств систем по данным о распределениях прогибов, то в математической постановке они представляют собой интегральные уравнения с непрерывным ядром. При решении задач такого типа особое значение имеет ее корректность. Первое определение корректности принадлежит Адамару [72]: задача решения уравнения

А-и = /, (1.1)

где А: ИА с= V -»Р - оператор с непустой областью определения ИА, действующий из метрического пространства V в аналогичное пространство Р\ называется корректной, если выполнены условия:

1) 0,а - АРА - ^"(условие разрешимости);

2) Ащ = Аи2, щ, и2 е ИА влечет щ = и2 (условие единственности);

3) обратный оператор А'1 непрерывен на Р (условие устойчивости).

14

Обобщение понятия корректности по Адамару принадлежит А.Н.Тихонову [58]. Задача называется корректной по Тихонову, если

1) Априори известно, что решение и задачи (1) существует для некоторого класса данных из ^ и принадлежит заданному множеству М: й е М Ф 0;

2) Решение единственно в классе М;

3) Бесконечно малым вариациям правой части (1.1), не выводящим решение за пределы М, соответствует бесконечно малые вариации решения.

Вопросы некорректности задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений, общих краевых задач для дифференциально-операторных уравнений, а также способы ее преодоления рассматриваются в книге Иванова [33]. Вопросы преодоления некорректности интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра первого рода затрагиваются в работе Калиткина [34].

В работе Сизикова [55] приведена подборка большого количества физических задач компьютерной томографии, оптики, теории управления и динамики твердых тел, некорректных в математической постановке.

1.2. Методы решения некорректных задач

Классическим примером математической задачи является интегральное уравнение Фредгольма первого рода, к решению которого сводится большое количество обратных задач механики, оптики и спектроскопии. В статье [51]

приведен обзор всех возможных математических методов преодоления некорректности данной задачи с указание достоинств отдельных из них и недостатков.

В монографии [17] рассмотрены регуляризирующие методы и алгоритмы, позволяющие строить устойчивые решения систем линейных алгебраических уравнений, возникающие в задачах параметрической идентификации. При этом основное внимание уделяется выбору оптимальных значений параметров алгоритмов и способам учета априорной информации о решении.

С момента введения в математические методы понятия некорректности задачи, основные усилия математиков в этой области были направлены на развитие методов преодоления некорректности и решение задач такого типа.

Разработано большое количество методов регуляризации, для каждого доказана применимость к определенным классам математических задач. Ниже приведен обзор наиболее распространенных методов.

1.2.1 Метод Лаврентьева для задач, корректных по Тихонову

М.М.Лаврентьевым предложено два подхода. Первый подход [39]

применим для нахождения приближенного решения задачи Коши для

уравнения Лапласа. Идея метода состоит в замене оператора задачи на

близкий к нему такой, что преобразованная задача становится корректной по

Адамару. Второй подход [38] основан на методе последовательных

16

приближений, решение на каждом приближении строится на основе соотношения:

ип+1=ип-(А-ип-/д), п = 1,2..., (1.2)

где /§ - правая часть уравнения (1.1), заданная с погрешностью 8, начальное

приближение принимается м0 = .

Применение предложенного метода к решению некоторых обратных задач теплопроводности, геофизики и томографии приведено в книге [84]. Итерированный вариант метода Лаврентьева представлен в работе [9]. Критерий квазиоптимальности для выбора параметра в методе Лаврентьева, а также доказательство единственности его значения приведены в статье [42].

1.2.2 Метод квазирешений Иванова

В.К.Иванов изменил понятие решения некорректной задачи, предложив минимизировать среднеквадратичное отклонение между правой и левой частью уравнения (1.1), такое решение названо квазирешением [24]. Ивановым сформулирована общая идея метода квазирешений и изучены вопросы существования, единственности и устойчивости относительно возмущений правой части.

Вопрос сходимости метода, предложенного Ивановым, рассматривал Морозов в статье [48]. Приложение метода к решению физических задач рассмотрено в книге Ватульяна [15].

1.2.3 Метод регуляризации А.Н.Тихонова

А.Н.Тихоновым впервые предложен метод, основанный на стабилизации минимума среднеквадратического уклонения Аи от заданной /3 при помощи

вспомогательного функционала [59].

Алгоритм заключается в минимизации сглаживающего функционала:

Ма [и, /§] = \Аи-/§\2р+а-П(и), (1.3)

2

где а - параметр регуляризации, Г2(м) = и - стабилизатор. Найденные

при этом решения иа5 обладают следующим свойством: если параметр а согласован с точностью приближенной правой части, то последовательность иа5 сходится к точному решению при 8 —» 0.

Различные виды стабилизаторов для некорректных задач в дискретной постановке рассматриваются в работах [6], [87], приведены рекомендации по выбору в зависимости от информации о характере решения.

Тихонов также предложил метод выбора параметра регуляризации по принципу обобщенной невязки: параметр регуляризации можно выбирать по выполнению на регуляризированных решениях условия:

2

Аида-/§р=8\ (1.4)

Метод регуляризации Тихонова получил широкое распространение, доказана его применимость для решения систем линейных алгебраических уравнений, в том числе и с неполным рангом [22], линейных и нелинейных

интегральных уравнений, операторных уравнений. Модификация метода Тихонова для решения систем линейных алгебраических уравнений на основе перехода от исходной задачи к задаче математического программирования предложена Ерохиным и Волковым в статье [21].

Применение метода к решению операторных уравнений рассматривается в работах В.А.Морозова. В статье [48] автор вводит понятие «оптимальности» алгоритма, описывает структуру такого алгоритма. В работах [49], [50] Морозов исследует вопросы сходимости регуляризованного решения для задач решения операторных уравнений при наличии нелинейных ограничений.

Области использования метода регуляризации Тихонова обсуждались в работах А.С.Леонова, в частности, применение к некорректным задачам с истокообразно представимыми решениями [47], к решению экстремальных задач [44], к решению многомерных задач с разрывными решениями [43], к решению некорректных задач в пространстве Лебега [46].

Развитие метода регуляризации Тихонова связано с разработкой новых

критериев определения параметра регуляризации. В работе [18] приведены

следующие наиболее актуальные на сегодняшний день критерии: критерий

квазиоптимальности регуляризирующего алгоритма, обсуждаемый также в

работах [9] и [45], метод перекрестной значимости и его обобщенная

модификация [74], метод Ь-кривой. Исследована точность получаемых

решений, доказано существенное превосходство обобщенного принципа

19

невязки над широко применяемым методом Ь-кривой. Метод Ь-кривой и особенности его применения подробно освещен в статьях [52], [73], [93], аналогичный, но более универсальный по мнению автора, метод Ц-кривой изложен в работе [83]. Подробный обзор критериев также приведен в книге [74].

Метод перекрестной значимости (СУ) выбора параметра регуляризации представляет собой минимизацию ошибки предсказания проекций правой части по регуляризированному решению, построенному без учета этих проекций. Точность результатов, получаемых с использованием данного метода, исследована в работе [91], применение его обобщенной модификации (вСУ) для [92]. В работе [82] ОСУ-метод используется для задачи расчета потока углекислого газа в определенной области. Поскольку классический СУ метод требует многократных построений регуляризованных решений при каждом параметре регуляризации, в работах [94] и [77] предложены его ускоренные модификации.

1.2.4 Итеративные методы регуляризации

Идея итерационных методов, изложенных в работе [5], заключается в построении итерационной схемы, сходящейся к точному решению при отсутствии ошибок правой части 8 - 0 и оператора А, и прерывании расходящегося при 8 ^ 0 итерационного процесса при некотором числе итераций.

Первое преимущество итерационных методов заключается в универсальности: на основе любого метода решения некорректных задач может быть построен его итерированный вариант [74]. Второе преимущество состоит в возможности учета практически любой априорной информации об искомом решении, что в сочетании с другими методами позволяет повысить эффективность обработки данных. Учет априорной информации на примере некоторых итерационных алгоритмов приведен в работе [14].

Алгоритмы построения итерационных процедур на основе классических методов преодоления некорректности, в том числе и статистических, подробно рассмотрены в книге [9], здесь также рассмотрены критерии выбора параметров регуляризации для случаев приближенно заданных операторов и правых частей.

В статье [11] описано применение итерационных процессов с введением корректирующих множителей для решения уравнений первого рода с монотонных и немонотонным оператором. Численная реализация итерационного метода решения линейных операторных уравнений приведена в статье [29]. Для линейных и нелинейных задач в книге [67] предложен итерационный метод Ландвебера, основанный на рекурсивном алгоритме, а также его вариант с ускоренной сходимостью.

1.2.5 Статистические методы решения некорректных задач Основными статистическими методами решения некорректных задач [26] являются:

- метод Байеса [17], [57]. В данном методе рассматривается дискретный аналог интегрального уравнения (1.1) и конструируется функция неопределенности, в качестве нее выступает апостериорная плотность вероятности Р(х\у) вектора решения х при заданных экспериментальных значениях у

- обобщенный метод максимального правдоподобия (ОМПП) [30]. Метод основан на введении функции правдоподобия, содержащей всю статистическую информацию о выборке, решение задачи находится при максимизации функции правдоподобия. В работе [2] описываются методы учета априорной информации стохастического и детерминированного характера в ОМПП.

- робастные методы для линейных моделей при наличии больших выбросов [17], [29]. Метод основан на минимаксном критерии качества [31].

- модификации метода наименьших квадратов для линейных и нелинейных моделей [30].

- метод случайных проекций [54].

(1.5)

Преимуществами статистических подходов является возможность получать решение при любом уровне погрешности матрицы оператора и правой части. Явным недостатком является необходимость использования большого количества априорной информации о решении.

1.3. Применение математических методов к обратным задачам механики твердого тела

Большинство прямых задач механики твердого тела, как статики, так и динамики, в математической постановке корректны. Для обратных задач данное утверждение неверно: математическая континуальная постановка в большинстве случаев некорректна, а при использовании численных методов решения получаемая дискретная постановка сохраняет свойства ее континуального аналога. В качестве примера приведем работу по исследованию обратной динамической задачи для балки малой жесткости при неполном задании граничных условий на одном из концов [100], основным результатом проведенного исследования является необходимость применения методов преодоления некорректности для решения обратной задачи.

Существует достаточно большое количество отечественных и иностранных работ по обратным задачам механики твердого тела, в которых описана лишь постановка задачи и ее решение на полном наборе точных данных, вопросы корректности не затрагиваются вовсе. Приведем в качестве

примера несколько из них: обратная задача идеальной пластичности на определение напряженного состояния по кинематическим характеристикам течения [1], ряд задач теории упругости на определение модуля упругости, параметров модели и внутренних дефектов [65], задача идентификации динамического отклика конструкции и ее параметров по данным о перемещениях основания [79], задача проектирования деталей из эластомеров с использованием метода конечных элементов [71].

Понятие некорректности применительно к обратным задачам теории упругости рассматривается в книге Ватульяна [16], где отдельно приводятся методы решения некорректных задач, а также математические постановки следующих физических задач: идентификация линейных динамических систем, идентификация свойств полимеров, обратные коэффициентные задачи для упругого стержня, обратные коэффициентные задачи для волнового уравнения, обратные граничные задачи для полосы и пластины, определение формы полости в упругой полуплоскости, определение конфигурации трещины в анизотропной упругой среде, идентификация малых дефектов в упругой среде. Однако численные примеры решения и универсальные рекомендации по выбору алгоритма регуляризации и его параметров не приводятся.

В работах Каюмова Р. А. [27], [28] рассмотрены задачи параметрической

идентификации механических характеристик композиционных материалов. В

математической постановке они сведены к задачам математического

24

программирования. Минимизация полученной целевой функции производится с применением стабилизирующего функционала [56]. В работах приведены примеры практической реализации предложенного метода в задачах обработки экспериментальных данных.

В работе [3] предложен экспериментально-расчетный подход по определению механических свойств материалов. Метод основан на введении целевых функций параметров сравнения, описывающих отклонения механических характеристик, получаемых по результатам натурного эксперимента, от полученных по результатам вычислительного эксперимента. Уточнения результатов натурного эксперимента производится в процессе минимизации целевой функции последовательностью результатов вычислительных экспериментов.

В работе [63] рассматриваются методы решения обратных коэффициентных задач для дифференциальных уравнений упругости. Методы идентификации трехмерного напряженного состояния всей конструкции по измерениям на части поверхности описаны в статье [62].

Постановка обратной задачи параметрической идентификации механических свойств упругого тела по данным измерений полей смещений или ускорений на части границы приведена в статье Ватульяна [15], вопросы корректности задачи в данной работе не затрагиваются.

1.3.1 Метод регуляризации Тихонова в обратных задачах механики

На данный момент развития приложений теории некорректных задач к решению обратных задач механики наиболее распространенным методом решения является метод регуляризации Тихонова и его модификации. Это обусловлено доказанной применимостью метода к различным классам математических задач, а также существованием большого количества критериев для выбора параметра регуляризации, описанных в части 1.2 данной работы.

В работе [90] приведена задача идентификации жесткости неоднородной балки по измеренным прогибам. Используется метод регуляризации Тихонова со стабилизатором нулевого и первого порядков [6], приведено сравнение следующих критериев выбора параметра регуляризации: критерий оптимальности алгоритма, метод Ь-кривой, метод перекрестной проверки. Авторами сделан вывод о неприменимости метода Ь-кривой в данной задаче, несмотря на его широкое распространение. Для использования в данном случае рекомендован критерий оптимальности.

Итеративный вариант метода Тихонова в сочетании с методом Ь-кривой для выбора параметра регуляризации использован в работе [75] при решении задачи идентификации переменных по времени нагрузок, действующих на упругую балку.

Сравнительный анализ критериев выбора параметра регуляризации

также приведен в работе [69] для задачи параметризации и вычисления

26

неизвестных параметров конечно - элементной модели. Рассмотрен метод Ь-кривой, метод СУ. В сравнительный анализ добавлен метод Тихонова, построенный на основе сингулярного разложения матрицы правой части уравнения 1.1 (алгоритм 8УЭ) [17]. Данный метод также приведен в работе [96] для задачи идентификации приложенных к упругому телу нагрузок по данным о перемещениях на границе.

Важной модификацией метода Тихонова, существенно улучшающей точность получаемого решения, является метод локальной регуляризации с векторным параметром [17]. Данный метод применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений, где один параметр регуляризации а для всей системы заменяется диагональной матрицей параметров Жа. Подбор каждого элемента матрицы осуществляется отдельно на основании априорной информации. Применение данного метода в задачах обработки ступенчатых сигналов и функций с локальными выбросами позволяет добиться существенного повышения точности решения по сравнению с применением классического метода регуляризации Тихонова, поскольку векторный параметр регуляризации, позволяет «локально» управлять гладкостью регуляризированного решения.

В следующих задачах метод регуляризации Тихонова используется совместно с методом перекрестной значимости для выбора параметра регуляризации:

идентификация действующих на упругое тело нагрузок по

измеренным напряжениям и деформациям в граничных точках [103];

идентификация действующих на конструкцию нагрузок по

измеренным напряжениям и деформациям [104];

- задача параметрической идентификации жесткости системы по

измеренным формам и частотам собственных колебаний [105].

В статье [105] используется итеративная модификация метода

Тихонова, для которой строгий критерий остановки процесса приближений

не сформулирован.

В работе В.А.Постнова [53] рассмотрена задача идентификации свойств

упругих систем, используется метод Тихонова для преодоления

некорректности. Для выбора параметра регуляризации используется

постепенное его уменьшение до выполнения условия равенства между

невязкой решения от входных данных и нормы погрешности входных

данных. Приведен численный пример применения алгоритма для

идентификации повреждений конечной балки.

Методы регуляризации также применяются совместно с методом

граничных элементов для дискретизации модели. В статье [107] приведено

вычисление напряжений и деформаций упругого тела по набору измерений

перемещений. Применен метод регуляризации Тихонова со стабилизаторами

нулевого и первого порядков, однако, расчет проведен при нескольких

значения параметра регуляризации и строгий критерий выбора последнего не

28

приведен. Аналогично в статье [101] метод Тихонова со стабилизаторами нулевого, первого и второго порядка использован для идентификации перемещений точек поверхности тела конечному набору измерений перемещений, строгий критерий выбора параметра регуляризации также отсутствует.

Следующие статьи объединяет использование в качестве алгоритма регуляризации процесса минимизации функционала отклонений между измеренными и рассчитанными данными, построенного по методу наименьших квадратов (МНК) [25] с использованием различных стабилизаторов:

- в статье [86] решается задача параметрической идентификации геометрической формы включения в теле, в качестве стабилизатора выступает штрафная функция с параметром - характерным размером включения;

- в статье [87] приведено сравнение использования Ь{ - нормы и Ь2 -нормы отклонения значения искомого параметра от априорной информации о нем для задачи параметрической идентификации механической системы;

- в статье [80] рассмотрена задача идентификации изменения жесткости конструкции по данным об изменениях частот собственных колебаний, в качестве стабилизатора выступает норма Фробениуса отклонений матрицы жесткости системы от исходной;

- в статье [97] МНК применен для решения подзадачи идентификации разрушенных под действием неизвестной системы нагрузок участков железобетонной балки, стабилизирующим членом является полная вариация функции прогиба балки.

Описанный выше алгоритм регуляризации совместно с дискретизацией модели по времени использован в задаче определения истории нагружения конструкции по результатам измерения ее динамических откликов [64], а также в задаче идентификации упругой жесткости стержня по зависимостям перемещений его концов от времени [102].

Представленные в описанных выше статьях алгоритмы фактически являются модификациями метода регуляризации Тихонова с использованием различных стабилизаторов 0.(и) (1.3).

Метод регуляризации Тихонова нашел наиболее широкое применение при решении задач идентификации параметров механических систем. Однако другие методы преодоления некорректности также используются авторами применительно к задачам механики твердого тела. В качестве примера возможно привести статью [96], где в качестве одного из методов решения задачи по вычислению усилий, приложенных к границе тела, на основе измеренных перемещений границы используется псевдообращение матриц в сочетании с минимизацией возникающих при этом «паразитных» усилий.

Некорректность математической постановки может возникать также в

прямых задачах механики, при этом для ее преодоления не всегда

30

используются методы регуляризации. В работах [98], [99] рассматриваются задачи метода конечных элементов с плохой обусловленностью разрешающей системы. Для преодоления данного свойства используются обобщенные смешанные вариационные принципы, основанные на минимизации дополнительной энергии. В первой статье рассматривается задача расчета несжимаемых тел с использование метода конечных элементов, во второй рассматривается преодоление эффекта сдвигового запирания для балок и пластин.

Задача, аналогичная поставленной в данной диссертации, рассмотрена в работе [76]. Для идентификации нагрузок, действующих на балку на упругом основании, применен метод регуляризации Тихонова с выбором параметра регуляризации по методу Ь-кривой. Однако, как подтверждено выше в работах [17], [68], [89], метод Ь-кривой дает неоптимальное значение параметра, а зачастую может оказаться неприменимым к конкретной задаче.

1.3.2 Другие задачи, приводящие к некорректным математическим постановкам

Количество работ по обратным задачам механики твердого тела, учитывающих свойство некорректности последних, невелико. Основное распространение методы преодоления некорректности получили в обратных задачах теплопроводности. Далее приведено несколько примеров из большого количества работ по данной теме.

В книге [6] приведена постановка одномерной и многомерной обратной задачи теплопроводности, рассмотрен вопрос некорректности поставленной задачи, предложены методы решения одномерной обратной задачи: метод с одним последующим шагом по времени, метод аппроксимации, методы регуляризации, метод пробной функции, метод фильтрации для линейных задач, алгоритм обращения свертки, разностные методы решения.

В статье [78] решена задача идентификации начальной температуры изолированного стержня по измеренному температурному полю в определенный момент времени методом «пристрелки» [88].

Определение температуры внутри потока по измерениям на границе с использованием метода итеративной регуляризации приведено в статье [66]. Аналогичный алгоритм приведен в работе [106] для расчета коэффициента теплопередачи и температуры на поверхности трубопроводной системы по измерениям температуры в двух точках.

В работе [69] приведен метод решения обратной задачи теплопереноса для области с отверстиями: определение температуры и плотности теплового потока на границе отверстий по данным измерений на границе области. Для ее решения применен метод итеративного решения ряда прямых задач с определенными граничными условиями, доставляющими минимум функционалу невязки с измерениями температуры.

Баейсовский подход [57] также применяется для решения обратных

задач теплопроводности. В статье [81] с использованием данного метода

32

решена задача идентификации температурных объемных полей по измеренной температуре на границе.

Методы решения некорректных задач также применяются в математическом программировании, приведем несколько примеров:

- в статье [12] исследуются методы устойчивой аппроксимации бесконечномерных задач линейного и выпуклого программирования, рассмотрена пространственная и параметрическая аппроксимации;

- в статье [13] исследуются методы устойчивой дискретизации экстремальных задач.

В качестве примеров применения метода регуляризации Тихонова в других областях физики приведем следующие работы:

- в статье [41] решена задача определения параметров дефектов, приводящих к возникновению глубоких уровней в запрещенной зоне полупроводникового материала, выбор параметра регуляризации осуществляется по методу Ь-кривой;

- в статье [70] приведено решение задачи акустической голографии, для выбора параметра регуляризации сравниваются методы: Ь-кривой, перекрестной значимости, статистический вариант обобщенного принципа невязки.

Выводы по главе 1:

- Решение практических проблем оценки технического состояния и ресурса конструкций, взаимодействующих с деформируемыми основаниями, требует разработки методов определения напряженно-деформированного состояния и идентификации свойств оснований, использующих в качестве исходной информации данные о геометрических изменениях конструкции, получаемые в ходе натурных обследований.

- Задачи механики конструкций подобного рода относятся к классу некорректных задач. Разработка методов их решения требует привлечения методов регуляризации.

- Основываясь на проведенном анализе утверждается, что необходима разработка алгоритмов решения задач идентификации, явно использующих данные по уровню погрешности входных данных и весь доступный набор априорной информации об искомом решении.

- Вычислительные алгоритмы, построенные для решения задач идентификации, должны обладать свойством устойчивости по отношению к количеству и качеству исходной информации.

2. Метод определения механического состояния конструкций, взаимодействующих с неоднородным упругим основанием 2.1. Континуальная формулировка

Рассмотрим балочный элемент конструкции, находящийся на неоднородном основании под действием поперечной нагрузки р(г) (рисунок 2.1). Для данной системы ставится задача идентификации коэффициента упругости основания к при предположении о гладкости распределения к(г) при 7 = [ 0,1 ]. На основе полученных характеристик

основания определяются функции прогиба изгибающего момента

М{г). Исходными данными задачи являются величины прогибов некоторого ограниченного числа сечений, полученные в результате измерений. Исходную информацию о прогибах будем считать неточной, характеристику погрешности информации - заданной.

Рисунок 2.1. Схема нагружения балки на упругом основании Задача формулируется при учете следующих предположений:

- процесс нагружения квазистатический;

- деформации и перемещения малы;

- работа упругого основания описывается моделью Винклера [56];

- при деформировании балки под действием внешней нагрузки контакт с основанием сохраняется по всей длине;

- для материала балки справедлива линейная связь между деформациями и напряжениями.

Для модели Винклера погонная реакция основания зависит от прогиба балки по линейному закону [56]:

г{г) = к{г)у^г\ (2.1)

где к{г) = к*{г)-Ъ - погонный коэффициент упругости основания, к* (г) -коэффициент упругости основания, Ъ - ширина зоны контакта с основанием. В дальнейшем, в главе 2 и главе 3 под коэффициентом упругости основания понимается его погонное значение.

Согласно (2.1), дифференциальное уравнение, описывающее деформацию изгиба балки постоянной жесткости на упругом основании, имеет вид [61]:

Е1^Л+к(2М2)=р(г)! (2>2)

аг

где Е1 - изгибная жесткость балки.

Формулировку задачи об идентификации распределения коэффициента упругости основания к(г) по заданной функции прогиба можно

получить, используя представление функции к(г) в виде

к{2) = кс+ку{г), (2.3)

где кс - некоторое постоянное значение коэффициента упругости, которое может быть определено, например, величиной, принятой при проектном расчете конструкции, ку{г) - переменная составляющая, характеризующая актуальное состояние основания.

Пусть функция прогиба, найденная при задании постоянного

коэффициента упругости основания кс. Тогда составляющая прогиба

пу(г) = п(2)-пс(2), (2.4)

будет удовлетворять уравнению

А / ч

+ ^ {г) = ру (2 5)

правая часть которого

= (2.6) может рассматриваться как некоторая дополнительная распределенная нагрузка, моделирующая влияние неоднородности свойств основания.

Таким образом, задача идентификации свойств упругого основания сводится к обратной задаче об определении дополнительной нагрузки ру (г) при задании составляющей прогиба м>у(г). Нетрудно показать, что она

может быть сформулирована в виде интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода

/

= (2.7)

о

ядро z) которого, есть решение уравнения

+ = (2.8)

при заданных краевых условиях, £ (г) - функция Дирака.

Задача (2.7) является классической некорректно поставленной задачей, свойства которой хорошо изучены [59, 60]. Основной ее особенностью является отсутствие непрерывной зависимости решения от входной информации. Так как исходные данные о геометрических изменениях уиу (г) могут быть получены только путем измерений, они всегда содержат погрешности. Неустойчивость по отношению к возмущениям входной информации при применении методов, использующихся при решении прямых (корректных) задач, приводит в результате к погрешностям, на порядки превышающим погрешности данных.

В данной работе для решения сформулированной выше проблемы привлекается методология теории некорректных задач, получившая развитие в последние десятилетия во многом благодаря работам отечественной математической школы [14, 25, 48, 59].

Необходимо отметить отличия понятия решения некорректно поставленной задачи от его классической трактовки. При использовании

неточных исходных данных (м?у(г)) принципиально возможным для неустойчивых задач является построение лишь некоторых обобщенных решений, непрерывно зависящих от входной информации (квазирешений, по терминологии [24] ). Для задач, имеющих точное решение (соответствующее точным входным данным - м7у(г)), квазирешение можно рассматривать как приближение к точному решению. Очевидно, что качество приближения существенным образом определяется уровнем неопределенности входной информации, поэтому характеристика этой неопределенности А = \\ м>у(г) - м?у(г) || должна быть инкорпорирована в постановку задачи [59] (здесь и далее 11.11 - среднеквадратическая норма).

Как следствие свойства устойчивости, последовательности квазирешений, построенных на совокупностях входной информации с убывающей погрешностью (при А —» 0), равномерно сходятся к точному решению. В этом случае могут быть получены строгие оценки погрешности приближения. Вместе с тем, квазирешения, отвечающие некоторой частной совокупности входной информации, не единственны и определяются использованным методом регуляризации.

Следуя изложенному выше, проблему решения уравнения (2.7) при неточной правой части м?у (г) будем рассматривать как задачу отыскания распределения ру{г), устойчивого к малым возмущениям и

согласованного с данными о прогибах по условию

< А.

(2.9)

При проведении натурных обследований и технического мониторинга механического состояния конструкций обычно определяется ограниченный массив результатов фиксации геометрических изменений, характеризующийся невысокой точностью измерений. Поэтому практический интерес представляет разработка численных методов решения поставленной выше задачи.

2.2. Метод численного решения на основе конечно-элементной аппроксимации

Для решения задачи идентификации коэффициента упругости основания

к(г), ге[0,/] приведем дискретную постановку на основе конечно-

элементной аппроксимации. Область определения [0,/] представляется

(рисунок 2.2) в виде совокупности отрезков - конечных элементов (г = 1,2,

А

3+1

1 ~~ ^

заданные ¡начеши прогибов

Рисунок 2.2. Конечно-элементная модель

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Семенов, Алексей Сергеевич

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Решение практических проблем оценки технического состояния и ресурса конструкций, взаимодействующих с деформируемыми основаниями, требует разработки методов определения напряженно-деформированного состояния и идентификации свойств оснований, использующих в качестве исходной информации данные о геометрических изменениях конструкции, получаемые в ходе натурных обследований. Задачи механики конструкций подобного рода относятся к классу некорректных задач. Разработка методов их решения требует привлечения методологии теории некорректных задач (методов регуляризации).

2. Сформулирована задача об определении напряженно-деформированного состояния конструкций и идентификации характеристик упругого основания как линейная обратная задача относительно системы дополнительных усилий, моделирующих влияние неоднородности основания.

3. Получена дискретная постановка задачи с применением конечно-элементной аппроксимации и разработан метод численного решения на основе итерированного варианта метода регуляризации Тихонова.

4. Проведена верификация разработанного метода идентификации для системы балка - неоднородное упругое основание с использованием данных решения серии модельных задач и данных, полученных при натурных обследованиях конструкций. Показана эффективность метода в широком диапазоне изменений параметров системы, объема и погрешности входной информации: количество входных данных - от 20 до 100% размерности модели, практический диапазон погрешностей - от 0,01% до 1%.

5. Проведено исследование, по результатам которого показано превосходство разработанного метода идентификации над распространенным методом сплайн - аппроксимации данных по прогибам.

6. Разработана модификация метода регуляризации, позволяющая учитывать априорную информацию об искомом решении и расширить область применения метода на задачи идентификации областей с нулевой реакцией основания и задачи реконструкции систем внешних нагрузок.

7. Показана эффективность разработанного метода при применении к решению задач определения напряженно-деформированного состояния и идентификации свойств системы «плита - неоднородное упругое основание».

8. Разработанный метод определения механического состояния конструкций и идентификации свойств оснований позволяет получать достаточно точные и информативные результаты в широком диапазоне параметров систем, не накладывая при этом жестких ограничений на величину объема и точность входной информации. Это гарантирует возможность его эффективного применения в решении практических задач оценки технического состояния конструкций, а также при разработке математического обеспечения для систем технического мониторинга и методик натурных обследований.

О^^ЙГаЙЗ. Государственное упорнее «им«1>».»г.-в Moei на !■

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Семенов, Алексей Сергеевич, 2012 год

Литература

[1]. Аннин Б. Д. Об одной обратной задаче идеальной пластичности // Физ. мезомех. 2003. том 6. № 1. С. 69-73.

[2]. Арсенин В. Я., Крянев А. В. Обобщенный метод максимального правдоподобия решения конечномерных некорректных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. М.: Академия наук СССР, 1991. том 31. №5. с. 643-653.

[3]. Баженов В. Г. Математическое моделирование и методы идентификации деформационных и прочностных характеристик материалов // изд. Сибирского отделения РАН. 2007. №10. С. 91-105.

[4]. Бакушинский А. Б. Некоторые вопросы теории регуляризирующих алгоритмов / Сб. науч. тр. «Вычислительные методы и программирование». М.: Изд. Моск. ун-та. 1969. №12. С. 56-79.

[5]. Бакушинский А. Б., Гончарский А. В.. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. 199 с.

[6]. Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч. мл. Некорректные обратные задачи теплопроводности.Пер. с англ. М.: Мир, 1989. 312 с.

[7]. Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций. Статика. М.: Машиностроение, 1977. 488 с.

[8]. Бронштейн И.Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. 13-е изд., исправленное. М.: Наука, 1986. 544 с.

[9]. Вайникко Г. М., Веретенников А. Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986. 181 с.

[10]. Васин В. В. Аппроксимация негладких решений линейных некорректных задач // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2006. том 12. № 1.С. 64-77.

[11]. Васин В. В. Методы итеративной регуляризации для некорректных

задач // Изв. Вузов. Математика. 1995. №11. С. 64-77.

136

[12]. Васин В. В. Устойчивая аппроксимация бесконечномерных задач линейного и выпуклого программирования // Изв. Вузов. Математика. 1978. №11. С. 23-33.

[13]. Васин В. В. Устойчивая дискретизация экстремальных задач и ее приложения в математическом программировании // Мат. Заметки. 1982. №2. С. 269-280.

[14]. Васин В. В., Агеев А. Л. - Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: УИФ "Наука", 1993. 264 с.

[15]. Ватульян А. О. О вариационном подходе при исследовании обратных коэффициентных задач в теории упругости // Владикавк. мат. журн. 2009. том 11. вып. 1.С. 3-8.

[16]. Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: «Физматлит», 2007. 223 с.

[17]. Воскобойников Ю. Е. Устойчивые методы и алгоритмы параметрической идентификации. Новосибирск: НГАСУ, 2006. 180 с.

[18]. Галлагер Р. Метод конечных элемнетов. Основы. М.:Мир, 1984. 429 с.

[19]. Гасангаджиев Г.Г., Мурзаханов Г.Х., Семенов A.C., Морозов М.А. Исследование механических свойств стальных газопроводов среднего и высокого давления разрушающими методами // Управление качеством в нефтегазовом комплексе. М.: изд. Национальный институт нефти и газа. 2012. № 1. С. 31-35.

[20]. Гулин А. В., Самарский А. А. Численные методы. М.:Наука, 1989. 432 с.

[21]. Ерохин В. И., Волков В. В. О некоторых взаимосвязях методов регуляризации и матричной коррекции / Сборник трудов Международной конференции «Обратные и некорректные задачи математической физики». Новосибирск. 2007. С. 1-4.

[22]. Жданов А. И. Об одном численно устойчивом алгоритме решения

систем линейных алгебраических уравнений неполного ранга //

137

Вестник Самарского государственного технического университета. Сер.: Физико-математические науки. 2008. № 1. С. 149-153.

[23]. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. М.: Мир, 1986. 160 с.

[24]. Иванов В. К., О линейных некорректных задачах. / Докл. АН СССР. 1962. Том 145. № 2. С. 270-272

[25]. Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Наука, 1995. 182 с.

[26]. Калиткин Н. Н. Численные методы: Наука. 1978. 512 с.

[27]. Каюмов Р. А., Гусев С. В., Нежданов Р. О. Прямые и обратные задачи расчета слоистых оболочечных конструкций. Казань. Изд. КГЭУ, 2004. 180 с.

[28]. Каюмов Р. А. Расширенная задача идентификации механических характеристик материалов по результатам испытаний конструкций // Изв. АН. Механика твердого тела. 2004. №2. С. 94-103.

[29]. Крянев А. В. Итерационный метод решения некорректных задач. // ЖВММФ. 1974. Том. 14. № 1. С. 25-35.

[30]. Крянев А. В., Лукин Г. В. Математические методы обработки неопределенных данных. М.:ФИЗМАТЛИТ. 2003. 216 с.

[31]. Куке Я. П. Минимаксная линейная оценка коэффициентов регрессии // Изв. АН ЭССР. Физ. и Матем. 1972. Т.21. С. 66-72

[32]. Кузнецов С. Ф., Семенов А. С. Метод определения механического состояния конструкций, взаимодействующих с неоднородным грунтовым основанием. // Справочник. Инженерный журнал. М.: Спектр. 2012. № 3. С. 23-28

[33]. Кузнецов С. Ф., Семенов А. С. Островский К. И. Некоторые задачи

идентификации для системы балка - неоднородное упругое основание.

// Сборник трудов XXIV международной конференции

«Математическое моделирование в механике деформируемых тел и

138

конструкций. Методы граничных и конечных элементов». Санкт-Петербург. 2011. С. 66-68

[34]. Кузнецов С. Ф., Семенов А. С. Применение метода конечных элементов для решения обратной задачи упругопластического деформирования стержней. // Сборник трудов III международного симпозиума «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений». Новочеркасск. 2010. С. 32-34.

[35]. Кузнецов С. Ф., Семенов А. С. Применение метода конечных элементов для решения обратной задачи деформирования балки на упругом основании. // Сборник трудов XVI международной научно-технической конференции студентов и аспирантов. «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». М. 2010. С. 317-318.

[36]. Кузнецов С. Ф., Семенов А. С. Применение методов теории некорректных задач к решению обратной задачи упругопластического деформирования стержней. // Сборник трудов XVI международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». М. 2010. том 1. С. 112-113.

[37]. Кузнецов С. Ф., Семенов А. С. Решение обратной задачи упругопластического деформирования стержней методом конечных элементов. // Сборник трудов XXIII международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов». Санкт-Петербург. 2009. С. 125-127.

[38]. Лаврентьев М. М., О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Сиб. отд. АН СССР. 1962. 92 с.

[39]. Лаврентьев М. М. Об интегральных уравнениях первого рода. // Докл. АН СССР. 1969. Том 127. №1. С. 31-33

[40]. Лаврентьев М. М., Васильев В. Г., О постановке некоторых некорректных задач математической физики. Сиб. мат. ж. 1966. Том 7. №3. С. 559-576

[41]. Левин М. Н. Метод Ьар1асе-БЬТ8 с выбором параметра регуляризации по Ь-кривой // Физика и техника полупроводников. 2009. Том 43.Вып. 5. С. 613-616

[42]. Леонов А. С. О квазиоптимальном выборе параметра регуляризации в методе М.М. Лаврентьева // Сибирский матем. журнал. 1993. Том. 34. №4. С. 117-126.

[43]. Леонов А. С. О многомерных некорректных задачах с разрывными решениями. // Сиб. матем. журн. 1998. Том 39. № 1. С. 74-86.

[44]. Леонов А. С. О некоторых алгоритмах решения некорректных экстремальных задач // Матем. сб. 1986. Том 129 №2. С. 218-231.

[45]. Леонов А. С. О решении линейных некорректных задач на основе модифицированного критерия квазиоптимальности // Матем. сб. 1983. Том 122. №3. С. 405-415.

[46]. Леонов А. С. Регуляризующие функционалы общего вида для решения некорректных задач в пространствах Лебега // Сибирский математический журнал. 2003. Том 44. № 6. С. 1295-1309.

[47]. Леонов А. С., Ягола А. Г. Оптимальные методы решения некорректных задач с истокообразно представимыми решениями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Том 41. №6. С. 855-873.

[48]. Морозов В. А. Об оптимальных методах решения некорректных задач // Вычислительные методы и программирование. 2006. Том 7. С. 105107.

[49]. Морозов В. А. Обобщенная «истокообразность» и скорость сходимости регуляризованных решений // Фундамент, и прикл. Матем 1997. Том 3. № 1.С. 171-177.

[50]. Морозов В. А. Регулярные методы решения нелинейных операторных уравнений // Изв. вузов. Матем. 1978. № 11. С. 74-86.

[51]. Немцова О. М. Методы решения обратных задач, выраженных интегральными уравнениями Фредгольма первого рода // Вестник Удмуртского университета. 2005. №4. С. 23-34.

[52]. Первова Т. Г. - Метод регуляризации на основе расширенных систем с выбором параметра регуляризации по Ь-кривой / Сборник трудов XVI Международной конференции «Математика. Программирование. Образование». Дубна, Россия. 1999.

[53]. Постнов В.А. Использование метода регуляризации Тихонова для решения задач идентификации упругих систем // Известия РАН. Механика твердого тела. 2010. № 1: Январь-февраль. С. 64-71.

[54]. Ревунова Е., Рачковский Д. Повышение точности решения обратной задачи с использованием случайных проекций / Сборник трудов Международной конференции «Kлowledge-Dialogue-Solution». Киев, Украина. 2009.

[55]. Сизиков В. С. Математические методы обработки результатов измерений. СПб: Политехника. 2001. 240 с.

[56]. Справочник проектировщика (Расчетно-теоретический). М.: Стройиздат. Том 2. Под ред. Уманского. 1973. 600 с.

[57]. Теребиж В. Ю. Введение в статистическую теорию обратных задач. Физматлит. 2005. 377 с.

[58]. Тихонов А. Н., Об устойчивости обратных задач. // Докл. АН СССР. 1943. Том 39. № 5. С. 195-198.

[59]. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. Наука. 1979. 284 с.

[60]. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. Наука. 1990. 230 с.

[61]. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. МГТУ им. Н. Э. Баумана. 1999.

[62]. Фомин А. В., Прейсс А. К. Определение трехмерного напряженного состояния элемента конструкции по данным измерений на части его поверхности//Машиноведение. 1982. №1. С. 79-85.

[63]. Яхно В. Г. Обратные коэффициентные задачи для дифференциальных уравнений упругости // Автореферат диссертации ученой степени доктора физико-математических наук. Новосибирск. 1990. 304 с.

[64]. Adams R. A., Doyle J.F. Multiple Force identification for Complex Structures Experimental Mechanics. 2002. Том 42. С. 25-36.

[65]. Bonnet M., Constantinescu A. Inverse problems in elasticity // Inverse Probl. 2005. № 21. C. 1-50.

[66]. Cheng-Hung H., Hsin-Hsien W. An iterative regularization method in estimating the base temperature for non-Fourier fins. // Department of Systems and Naval Mechatronic Engineering, National Cheng Kung University. Tainan 701. Taiwan. 2006.

[67]. Engl H.W., Hanke M., Neubaer A. Regularization of inverse problems. // Kluwer Academic Publishers. Dordrecht. 2000. 321 c.

[68]. Frackowiak A., Botkin N. D., Cialkowski M., Hoffmann K.-H. A fitting algorithm for solving inverse problems of heat conduction // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2010. Том. 53. С. 2123-2127.

[69]. Friswell M. I., Mottershead J. E. and Ahmadian H. Finite-element model updating using experimental test data: parametrization and regularization // Kluwer Academic Publishers. 1995. 286 c.

[70]. Gomes J. and Hansen P.C. A study on regularization parameter choise in Near-field Acoustical Holography // In Acoustics'08. Paris. 2008. C. 28752880.

[71]. Govindjee S., Mihalic P.A. Computational methods for inverse finite elastoplastics // Computer methods in applied mechanics and engineering. Elsevier. 1996. №136. C. 47-57

[72]. Hadamard J., Sur les problemes aux derives partielies et leur signification physique. // Bull. Univ. Princeton. 1902. № 13. C. 49-52.

[73]. Hansen P. C. Analysis of discrete ill-posed problems by means of the L-curve // SIAM Rev.: 1992. № 34. C. 561-580.

[74]. Hansen P.C. Rank-deficient and discrete ill-posed problems. Numerical Aspects of Linear Inversion. // SIAM, Philadelphia: 1987. 247 c.

[75]. Jang T. S., Han S. L. Numerical experiments on determination of spatially concentrated time-varying loads on a beam: an iterative regularization method // The Journal of Mechanical Science and Technology. 2009. vol. 23, № 10. С .2722-2729.

[76]. Jang T. S., Sung H. G., Han S. L. and Kwon S. H. Inverse determination of the loading source of the infinite beam on elastic foundation. // Journal of Mechanical Science and Technology. 2008. vol. 22. №. 12. C. 2350-2356.

[77]. Jason D. M. Rennie Fast Leave-one-out Cross-validation for Regularized Least Squares Classification. [Электронный ресурс] // 2004. URL: http://people.csail.mit.edu/jrennie/writing/ (дата обращения: 12.06.2010).

[78]. Jiang-Ren С., Chein-Shan L., Chih-Wen C. A new shooting method for quasi-boundary regularization of backward heat conduction problems // Journal of the Chinese Institute of Engineers. 2009. Volume 32. Issue 3.

[79]. Jie L., Jun C. A statistical average algorithm for the dynamic compound inverse problem // COMPUTATIONAL MECHANICS. Springer-Verlag GmbH. 2003. Том 30. № 2.

[80]. Kang J. S., Yeo I. H., Lee H. S., Shin S. B. Structural Damage Detection Using Modal Data with Regularization Technique // Post-SMiRT15. 1999. Cheju KOREA.

[81]. Kolehmainen V., Kaipio J.P., Orlande H.R.B. Reconstruction of thermal conductivity and heat capacity using a tomographic approach // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2007. Vol. 50. C. 5150-5160.

[82]. Krakauer N. Y. and Schneider T. Linear inversion methods and generalized cross-validation [Электронный ресурс] // 2004. URL: http://www-ce.ccny.cuny.edu/nir/papers/GCV_appendix.pdf (дата обращения: 12.06.2010).

[83]. Krawczyk-Stando D., Rudnicki M. Regularization parameter selection in discrete ill-posed problems — the use of the U-curve // Int. J. Appl. Math. Comput. Sci.: 2007. Vol. 17. №. 2. C. 157-164.

[84]. Kunisch K. and Zou J. Iterative choices of regularization parameters in linear inverse problems // Inverse Problems. UK: №14. 1998. C. 1247-1264.

[85]. Lavrent'ev, M. M.; Savel'ev, L. Ya. Operator theory and ill-posed problems. // Leiden: VSP. 2006. 1st Edition.

[86]. Lee H. S., Kim Y. H., Park C. J. and Park H. W. A new spatial regularization scheme for the identification of the geometric shape of an inclusion in a finite body // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1999. Volume 46. Issue 7. С 973-992.

[87]. Lee H. S. Various regularization functions in system identification problems for solids // KSIAM Conference in Spring Seoul National University. 2005.

[88]. Liu C.-S., Efficient shooting methods for the second-order ordinary differential equations // CMES: Comput. Model. Eng. Sci. 2006. № 15. C. 69-86.

[89]. Lu S., Pereverzev S.V., Tautenhahn U. Dual Regularized total Least Squares and multi-parameter regularization // Comput. Meth. Appl. Math. 2008. Vol. 8. № 3. C. 253-262.

[90]. Lucchinetti E. and Stussi E., Measuring the flexural rigidity in non-uniform beams using an inverse problem approach // INVERSE PROBLEMS.

Institute of Physics and IOP Publishing Limited. 2002 Том 18. № 3.

144

[91]. Lukas M. A. Asymptotic optimality of generalized cross-validation for choosing the regularization parameter // NUMERISCHE MATHEMATIK. 1991. Vol. 66. № l.C. 41-66.

[92]. Modarresi K., Golub G. Using Multiple Generalized Cross-Validation as a Method for Varying Smoothing Effects // SIAM J. Sci. Comput. 2011. № 33, C. 3175-3200.

[93]. Oraintara S., Karl W. C., Castanon D. A., Nguyen T. Q. A method for choosing the regularization parameter in generalized Tikhonov regularized linear inverse problems // Proc. IEEE Int. Conf. on Image Processing. Vancouver. 2000.

[94]. Pahikkala Т., Boberg J., Salakoski T. Fast n-Fold Cross-Validation for Regularized Least-Squares // In: Honkela, Т., Raiko, Т., Kortela, J., Valpola, H. (eds.) Proceedings of the Ninth Scandinavian Conference 011 Artificial Intelligence (SCAI 2006). 2006. Espoo. Finland, Otamedia. C. 83-90.

[95]. Park H. W., Shin S. and Lee H. S. Determination of an optimal regularization factor in system identiacation with Tikhonov regularization for linear elastic continua // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2001. №51. C. 1211-1230.

[96]. Reddy A. N., Ananthasuresh G. K. On computing the forces from the noisy displacement data of an elastic body // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2008. Vol. 76. Issue 11. C. 1645-1677.

[97]. Ring W. Identification of the load of a partially breaking beam from inclination measurements//INVERSE PR. 1999. Том. 15. С. 1003-1020.

[98]. Rong T.-Y., Lu A.-Q. - Generalized mixed variational principles and solutions of ill-conditioned problems in computational mechanics, part I (Volumetric locking) // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2001. Vol. 191. № 3. C. 407-422.

[99]. Rong T.-Y., Lu A.-Q. - Generalized mixed variational principles and

solutions of ill-conditioned problems in computational mechanics, part II

145

(Shear locking) // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. Elsevier Science Publishing Company, Inc. 2003. Том. 192. С. 44-46.

[100]. Rubinstein D., Galili N., Libai A. Direct and inverse dynamics of a very flexible beam // COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING. Elsevier Science Publishing Company, Inc. 1996. Tom. 131. №3-4. C. 241-261.

[101].Schur D.S., Zabaras N. Finite element solution of two-dimensional inverse elastic problems using spatial smoothing // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1990. Vol. 30. Issue 1. C. 57-75.

[102]. Tadi M. Evaluation of the elastic property based on boundary measurement // ACTA MECHANICA. 1998. Vol. 129. № 3-4. C. 231-241.

[103].Turco E. A strategy to identify exciting forces acting on structures // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2005. Vol. 64. Issue 11. C. 1483-1508.

[104].Turco E. Is the statistical approach suitable for identifying actions on structures? // Computers & Structures. 2005. Vol. 83. Issue 25-26. C. 21122120

[105]. Weber В., Paultre P., Proulx J. Structural damage detection using nonlinear parameter identification with Tikhonov regularization // Structural Control and Health Monitoring. 2007. Vol. 14. Issue 3. C. 406-427.

[106].Yu-Ching Y., Wen-Lih C. An iterative regularization method in simultaneously estimating the inlet temperature and heat-transfer rate in a forced-convection pipe // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2009. №52. C. 1928-1937.

[107]. Zabaras N. Spatially regularized solution of inverse elasticity problems using the BEM // Communications in Applied Numerical Methods. 1989. Vol. 5. Issue 8. C. 547-553.