Экспериментально-теоретическое обеспечение динамических задач линейной вязкоупругости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Желтков, Владимир Иванович

• Желтков, Владимир Иванович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Желтков, Владимир Иванович

ВВЕДЕНИЕ.

1. ИДЕНТИФИКАЦИЯ НАСЛЕДСТВЕННЫХ СООТНОШЕНИЙ.

1.1. Общие свойства линейно-наследственных соотношений.

1.2. Общие принципы постановки экспериментов.

1.3. Представление функций релаксации.

1.4. Способ идентификации значений функции релаксации.

1.4.1. Разрешающее уравнение для модели наследственных соотношений.

1.4.2. Разрешающее уравнение для модели движения точки (точек) те

1.5. Методика идентификаци и ее тестирование.

1.5.1. Характеристики прямого метода решения МНК-проблемы.

1.5.2. Влияние ошибки измерений на качество аппроксимации.

1.5.3. Опыты с нестационарными режимами нагружения / деформирования.

1.5.4. Опыт по изучению движения материальной точки.

1.5.5. Эксперимент на свободные колебания.

1.6. Рекомендации по организации экспериментальных работ.

Выводы.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИА

2.1. Система измерений.

2.2. Испытания стеклотекстолита.

2.2.1. Образцы.

2.2.2. Статические испытания.

2.2.3. Динамические испытания.

2.3. Испытания полиуретанового компаунда.

Выводы.

3. МЕТОД РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКО-УПРУГОСТИ.

3.1. Вариационная постановка задач динамики.

3.2. Способ исследования динамической редакции линейно - вязкоупругих тел.

3.3. Свойства матриц передаточных функций и импульсно-переходных характеристик.

3.4. Импульсно-переходные характеристики как функции времени.

3.5. Возможность диагонализации модального уравнения.

1.6. Алгоритм исследования реакции вязкоупругого тела на внешние воздействия.

Выводы.

4. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОУПРУГИХ ТЕЛ.

4.1. Постановка задач о поперечных колебаниях стержней и пластин.

4.2. Свободные колебания - вырожденный случай.

4.3. Вынужденные движения - вырожденный случай.

4.3.1. Установившаяся вибрация.

4.3.2. Прямоугольный ударный импульс.

4.4. Общий случай движений вязкоупругих тел.

Выводы.

5. ДИСКРЕТНЫЕ РЕАЛИЗАЦИИ МОДАЛЬНОГО РАЗЛОЖЕ

5.1. МКЭ-реализация модального разложения.

5.2. Организация МКЭ-комплексов решения динамических задач.

5.3. Суперэлементные модели вязкоупругих тел.

5.4. Влияние количества мод на точность расчетов.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экспериментально-теоретическое обеспечение динамических задач линейной вязкоупругости»

Развитие современной техники потребовало от конструкционных материалов новых качеств, не свойственных металлам и их сплавам. К числу таковых прежде всего следует отнести высокую удельную прочность, способность эффективно демпфировать динамические воздействия, электроизолирующие свойства. Это привело к широкому применению полимеров и композитов с полимерной матрицей. Они применяются как для замены металлов в изготовлении элементов конструкций, так и для специфических целей, там, где они практически незаменимы, например, в амортизаторах и ракетных двигателях на твердом топливе. В связи с тем, что доля полимерных изделий в машиностроении, авиа- и ракетостроении, кораблестроении, строительстве непрерывно растет, особую важность приобретает развитие методов расчета и проектирования конструкций, содержащих полимерные элементы. Реологические свойства -ползучесть и релаксация - проявляются не только у полимеров и композитов с полимерной матрицей, но и у такого широко распространенного материала, как бетон, а при повышенной температуре - и у металлов. О наличии таких свойств, приводящих к диссипации энергии, свидетельствует факт затухания свободных колебаний у всех тел, независимо от материала, из которого они изготовлены.

Рассматривая условия работы различных конструкций и сооружений следует отметить, что статические нагружения в настоящее время являются скорее исключением, чем правилом. Нормативные документы, такие, как строительные нормы и правила Госстроя РФ, отраслевые нормали машиностроения и радиоэлектроники, предусматриваю! выделение различных классов динамических нагрузок, определяющих расчетные слу чаи. К числу таких следует отнести моногармонические и случайные широкополосные вибрации, однократные и многократные удары. Поэтому в расчетной практике первоочередной задачей является анализ частот и форм свободных колебаний конструкций и их элсмснтов. а также коэффициентов затухания свободных колебаний. Не менее важен анализ реакции конструкции на нормативные воздействия, в число которых входят не только детерминированные, но и стохастические нагрузки.

Реальные конструкции представляют собой сложные технические системы с иерархической организацией. Однородные тела канонических форм -объекты применения классических аналитических методов механики - могут быть только составными частями конструкций, как правило, нижнего уровня иерархии. Поэтому для изучения динамического поведения реальных объектов широкое применение находят различные численные методы - МКР, МКЭ, МСЭ. Они обладают значительным преимуществом перед экспериментальной отработкой отдельных деталей, узлов, агрегатов и конструкций в целом - значительно меньшей стоимостью работ, сводящихся к вычислениям на ЭВМ. В то же время при автоматизированном проектировании создание оптимальной конструкции требует перебора (стохастического или детерминированного, с участием человека или без) огромного количества вариантов, что может оказаться не под силу и вычислительной технике, по крайней мере, за обозримое время. К таким результатам неизбежно приводит применение сложных математических моделей на ранней стадии проектирования. Два возможных пути преодоления этого недостатка - разделение областей применимости упрощенных и сложных моделей и повышение эффективности как математических моделей и вычислительных алгоритмов, так и технических средств вычислительной техники.

С решением проблемы тесно связано экспериментальное изучение свойств материалов. Даже для традиционных, хорошо изученных металлов и сплавов справочная литература приводит ограниченное число характеристик, определяемых из простых опытов на растяжение сжатие, изгиб, кручение. Реологические характеристики в справочниках отсутствуют, несмотря на то, что они во многом определяют реакцию конструкций на динамические воздействия. Поэтому одной из важнейших задач по повышению достоверности динамических расчетов является не только применение уточненных моделей поведения материалов, но и разработка методов идентификации последних, а также совершенствование испытательного оборудования и средств измерения.

Изложенное позволяет сформулировать актуальную научно-техническую проблему, решение которой является определяющим для повышения эффективности проектирования широкого класса объектов современной техносферы: • разработка эффективных методов и алгоритмов решения динамических задач для сложных механических систем, обладающих упругими и вязкоупругими свойствами и методов экспериментального изучения реологических свойств конструкционных материалов.

Рассматривая состояние теории вязкоупрутости, следует отметить, что в этом направлении работают многие зарубежные ученые, такие, как Р. Кристен-сен, Д. Бленд, Дж. Ферри, У. Нолл, В. Коулмен, К. Трусделл, Р. Ривлин, М. Гер-тин, Дж. Оден, Ф. Локетт и др. В России исследования в области вязкоупрутого поведения материалов и конструкций проводились А.П. Бронским, А.Ю. Иш-линским, Ю.Н. Работновым, А.Р. Ржаницыным, Л.Д. Быковым, М.И. Розовским. Ю.А. Россихиным. Огромный вклад в развитие теории вязкоупрутости внесла школа A.A. Ильюшина: М.А. Колтунов, Б.Е. Победря, И.А. Кийко, И.Г. Трояновский, П.М. Огибалов, Б.И. Моргунов, В.П. Матвеенко, Г.Б.Кузнецов, Л.Л. Кожевникова, И.Н. Шардаков, A.A. Роговой, A.A. Адамов, А.Н. Филатов, Г.С. Ларионов и многие другие.

В течение последних 50 лет математическая теория вязкоупрутости получила широкое освещение в научной литературе. Работы [80, 107, 157, 158, 185, 220, ,228. 229, 243] можно считать фундаментальными , охватывающими практически все аспекты теории вязкоупрутости, включая построение линейных и нелинейных коне гитуционных соотношений, доказательство теорем взаимности, обоснование существования и единственности решений, построение и обоснование методов решения линейных и нелинейных статических и динамических задач, описание поведение вязкоупрутих материалов в температурных полях. Особенное внимание в публикациях уделяется задачам о поведении вязкоулрутих материалов в условиях динамического нагружения как характерного для конструкций и наиболее опасного с точки зрения проявления вязкоупрутих свойств. Рассматривались свободные и вынужденные колебания тонкостенных конструкций [4, 13, 40, 84, 85, 86, 105, 116, 204, 207, 216, 232, 234, 262]; задачи о распространении волн в вязкоупругихх телах [39, 101, 236, 241, 244]. В связи с потребностями анализа состояний зарядов РДТТ большое внимание привлекает задача о динамическом поведении вязкоупругого кругового цилиндра; сложность этой задачи привела к ис1 юльзован июдля ее решения численных методов, в основном, метода конечных элементов [89-94, 99, 108, 121, 177, 178, 195, 230]. Необходимость разработки систем виброзащиты и динамического анализа структурно-неоднородных конструкций и материалов вызвала появление множества работ, в которых применялись как аналитические, так и численные методы [11, 35, 83, 113, 114, 115, 117, 151-154, 164, 205, 233, 242, 250]. Особенности применения численных методов к решению задач вязкоупругости рассматривались в [50, 56, 59, 75, 97, 98, 137, 140-142, 173, 206, 221, 223, 238, 249, 255, 257].

Анализируя общее направление работ в теории вязкоупругости, можно отметить, что наиболее развиты методы решения статических задач линейной вязкоупругости. Символически-операторный метод, основанный на введении алгебры операторов Вольтерра [157, 158, 167], позволяет находить соответствие между решениями задач линейной вязкоупругости и линейной теорией упругости путем замены упругих постоянных операторами Вольтерра и расшифровке полученных соотношений. Последнее и представляет основную математическую трудность, возникающую при реализации метода. Нужно отметить, что наиболее просто операторный метод реализуется в том случае, когда изотропный вязкоупругий материал имеет постоянный коэффициент Пуассона. Тогда единственным ядром, определяющим реологическое поведение материала, является ядро, определяемое из опыта на одноосное растяжение, и алгебра операторов чрезвычайно упрощается - остается всего один оператор Вольтерра с упомянутым ядром.

Другим широко применяемым методом является метод интегральных преобразований [80]. Применяя к физическим соотношениям интегральное преобразование Лапласа или Лапласа Карсона нетрудно установить, что общий вид постановок линейной упругости и линейной вязкоупругости в изображениях совпадает с точностью до обозначений. Поэтому утверждается, что решению каждой задачи линейной теории упругости соответствует решение семейства задач линейной вязкоупругости в изображениях, отличающихся только ядрами наследственных операторов. Основная трудность состоит в отыскании оригиналов решений. Здесь следует особенно выделить предложенный A.A. Ильюшиным метод аппооксимаиий F78. 801. который позволяет находить оои

А ' L. -I X г 1 " JL гиналы решения без вычисления обратного преобразования, на основании теоремы свертки. Основанием метода послужили общие свойства решений задач линейной упругости по отношению к коэффициенту Пуассона, допускающие либо точное представление, либо относительно простую аппроксимацию через введенные A.A. Ильюшиным функции связной ползучести. В дальнейшем метод аппроксимаций был обобщен на среды с нестабильными характеристиками, на случай численной реализации упругого решения. На настоящее время этот метод является наиболее эффективным из всех существующих методов решения статических задач линейной вязкоупругости.

Два рассмотренных метода применяются и для решения задач динамики вязкоупругих тел. Одним из наиболее распространенных методов решения динамических задач является метод усреднения, разработанный в трудах А.II. Филатова [79, 109, 186. 187]. Основой метода является выделение матричного интегро-дифференциального уравнения относительно функций времени, описывающих движение вязкоупругого тела (например, разделением переменных, аппроксимацией зависимости от координат и т.п.), приведение его к стандартному виду с последующей заменой на более простое осредпенное уравнение, для которого строится точное или приближенное решение. Ряд исследователей с успехом использовал этот метод для решения различных динамических задач как в аналитической, так и численной постановке (например, [89-94]); метод осреднения был обобщен на нелинейные задачи [188]. Этот метод является приближенным; основным требованием его применимости является наличие малого параметра, который отождествляется с отношением разности между мгновенным и долговременным модулем упругости к мгновенному модулю, что ограничивает применимость метода.

Для решения ишегро-дифференциального уравнения линейной и нелинейной вязкоупр\ гости использовались различные аналитические и численные методы. В работе М.А. Колтунова и И.Е Трояновского [100] и в [177] предлагается использование ступенчатых аппроксимирующих функций времени; похожий подход использовался автором при решении статических задач [56, 59, 173].

Метод интегральных преобразований использовался в работах [151-154, 227, 237, 259]. Он сводит решение задачи к определению функций параметра преобразования Фурье или Лапласа и последующему анализу частотных зависимостей. Здесь следует отметить работы С.Г. Пшеничнова [151-154], в которых построен эффективный метод построения оригиналов, дающий строгие решения для экспоненциальных ядер. Этим методом получены аналитические решения для некоторых задач динамики неоднородных вязкоупругих тел.

В применении этих методов фундаментальным является определение базисных функций координат, разложение по которым позволяет сформулировать систему интегральных уравнений относительно коэффициентов разложения. Распространенным приемом является использование собственных форм колебаний линейно-упругого тела, которые обладают свойствами ортогональности и полноты [156]. Такой подход, называемый модальным анализом, широко используется как в расчетах [42, 168, 213, 217, 240, 246, 254, 258, 259, 261, 263]. так и экспериментальных исследованиях [74, 208]. Нужно отметить, что проблема свободных колебаний упругих тел различной формы (то есть определение форм и частот свободных колебаний) решалась многими исследователями и число публикаций по этой проблеме поистине необозримо. В справочной литературе [29, 102, 150, 161] и фундаментальных трудах по теории упругости, теории пластин и оболочек [31, 32, 130, 132, 171, 172] приводятся многочисленные аналитические решения этой задачи. Пожалуй, основное внимание в настоящее время уделяется развитию численных методов решения задачи динамики. Используются метод конечных элементов [12, 14, 19, 54, 77, 103, 119, 120, 123, 127, 128, 131, 160, 165, 166, 170, 184, 193, 194, 198, 199, 209, 225, 245], метод суперэлементов [125, 134, 139, 145-148, 192]. Их особенность - сведение к обобщенной алгебраической проблеме собственных значений - вызвало и математические исследования [126, 143, 144, 215]. Такие дискретные методики динамического анализа легли в основу распространенных пакетов прикладных программ как отечественной [43, 138, 159, 191, ], так и зарубежной разработки [21, 212, 226, 231, 247, 251]. Постановки дискретных задач разнообразны: как использование метода перемещений (большинство работ), так и смешаных формулировок [37, 102, 120], метода сил [139]. Следует отметить метод геометрического погружения, который позволил получить решения ряда задач для тел сложной формы как в дискретной, так и аналитической постановке [179, 180, 196, 197]. Таким образом, привлекательной становится возможность использования готовых результатов, алгоритмов и программных комплексов решения упругой проблемы собственных значений для построения их вязкоупругих аналогов.

Суммируя обзор методов решения статических и динамических задач вязкоупругости следует отметить, что такой общности и обоснованности, как метод аппроксимаций А. А Ильюшина в статике не достигает ни один из известных методов решения динамических задач. Наиболее близки к этому метод усреднения и метод интегральных преобразований. Однако первый имеет ограниченное (хотя и достаточно широкое) применение - к слаборелаксирующим материалам, второй - пока не находит достаточно простого способа вычисления оригиналов решений при минимуме ограничений на характер зависимости внешних воздействий от времени.

Как уже упоминалось, одной из первоочередных проблем в расчете динамики и статики вязкоупругих тел является идентификация реологических характеристик материалов. Вопросы построения определяющих соотношений затрагивали многие исследователи; в настоящее время трудами ряда российских и зарубежных ученых описаны способы построения различных линейных и нелинейных соотношений наследственной вязкоупрут ости [52, 80, 157], доказаны теоремы взаимности соотношений ползучести и релаксации для частных нелинейных моделей, в том числе и для стареющих материалов [80]. При этих рассуждениях предполагалось, что ядро или функция релаксации либо заданы аналитическим выражением, либо определены экспериментально.

Публикации по испытаниям полимерных материалов занимают значительное место в научной литера туре. Это объясняется широким распространением в современной технике как самих полимеров, так и композитов на их основе. Важность проблемы экспериментального изучения таких материалов и сопоставимости результатов испытаний обусловила выпуск стандарта на испытания [1, 55]. Следует отметить большое разнообразие методов испытаний. Так, в [2. 80, 101, 185, 219, 224, 248, 252] описаны разнообразные способы определения мгновенных (или упругих, в терминологии публикаций) и демпфирующих характеристик разнообразных материалов, в том числе и композитов с различной структурой, по данным волновых экспериментов. Другим распространенным способом испытаний является режим установившейся вибрации и свободных колебаний [33, 34, 44, 46, 48, 62, 63, 65, 101, 106, 185, 190, 208, 214, 222, 235, 256, 260]. В то же время не теряют своего значения и квазистатические опыты по ползучести и релаксации [36, 73. 80, 96, 101, 129, 133, 136, 163, 185]. Экспериментальные установки и средства изменений, описанные в этих работах значительно отличаются друг от друта по технической реализации, но, пожалуй, общим для всех является измерение механических величин - сил и перемещений - путем их преобразования в электический сигнал. Типовыми датчиками служат тензорезисторы и резистивные датчики с упругими преобразователями [28, 87, 203], особенно в статических испытаниях, и пьезоэлектические датчики сил и ускорений [33, 34, 46, 48, 62, 63]. Исключительно редко используются бесконтактные интерференционные методы. Реализуемые в опытах напряженно-деформированные состояния относятся к простейшим - растяжение, сжатие, кручение, изгиб образцов - прямых стержней, изгиб колец, сдвиг тонких слоев. Из испытаний полимеров в условиях сложного напряженного состояния, реализованного на тонких трубках, автору известны только работы А.Я. Гольдмана.

При обработке результатов используются разнообразные модели вязкоупругих сред. В статических экспериментах это, как правило, различные модели наследственного поведения с ядрами заданного типа - экспоненциальными, слабосингулярными. В динамических экспериментах - частотные зависимости комплексных модулей, или же мгновенные (упругие) и демпфирующие (вязкие) характеристики, которые присущи феноменологическим моделям типа соотношений Максвелла или Фойгта. Следует отметить работу [51], в которой макроскопические реологические характеристики определяются по результатам исследований микроструктуры полимеров.

Именно вопрос идентификации представляет значительные трудности. Опыты на ползучесть и релаксацию со ступенчатым нагружением, которые используются для введения понятия функций ползучести и релаксации [80, 96], являются чисто гипотетическими, так как инерционность подвижных частей испытательного оборудования не позволяет реализовать упомянутые законы нагружения или деформирования. Введение в рассмотрение интервала нестационарного нагружения и использование двухзвенных законов [80] немногим облегчает дело; квазистатические опыты плохо описывают поведение матеоиала при малых, близких к нулю временах. Поэтому возрастает роль динамических экспериментов, например, по распространению волн растяжения или сдвига [80] или на установившуюся вибрацию [80, 185]. Дополнительную трудность представляет значительный разброс жесткосгей вязкоупругих материалов - от сопоставимых с металлами конструкционных стекло- и углепластиков до высокоэластичных синтетических каучуков и компаундов, что затрудняет стандартизацию испытательного оборудования и датчиков сил и деформаций.

Нужно отметить, что развитие экспериментальной вязкоупругости во многом определяется развитием методов решения задач для простых тел - образцов - в условиях, характерных для динамических экспериментов: при свободных или установившихся вынужденных колебаниях или нестационарных процессах с ярко выраженным активным участком нагружения и последующей разгрузкой или квазистационарным состоянием.

Рядом авторов предлагались аналитические представления для ядер ползучести и релаксации. Среди них можно отметить ядро типа Абеля [157], введенное Больцманом, ядро Вронского, ядро и резольвента Работнова [157], ядро и резольвента Колгунова Ржаницына [96], экспоненциальное ядро[ 157]. Эти ядра неоднократно использовались при решении как модельных, так и практических задач. Однако при практическом их использовании всегда вставал основной вопрос об определении параметров ядер по результатам квазистатических или динамических опытов (т.е. их идентификации). Одной из наиболее детально разработанных систем идентификации можно считать предложенный М.А. Колтуновым метод совмещений [96], который позволяет определить параметры слабосингулярного ядра путем совмещения теоретических и экспериментальных кривых. В дальнейшем этот метод был развит в сторону применения ЭВМ. Однако нужно отметить, что при практическом его использовании возникают значительные трудности, связанные с малым отличием теоретических кривых, соответствующих существенно разным сочетаниям параметров, в широком диапазоне времени (КГ'.К^с). Применение ЭВМ в сочетании с методом наименьших квадратов [3] показало, что функционал среднего квадратиче-ского отклонения - многоэкстремальный по параметрам слабосингулярного ядра, причем одинаковой точности аппроксимации одних и тех же данных соответствуют разные сочетания параметров. Учитывая вид аналитических выражений для различных ядер, можно утверждать, что упомянутое свойство присуще всем таким представлениям.

Поэтому автором [57,58] был предложен способ представления функции релаксации в виде интерполяционного полинома. Далее это представление использовалось для описания вязкоупрутих свойств некоторых полимеров и бетона [33, 34, 47, 49, 62, 63, 65]. Кроме того, такой подход к описанию реологии полимеров обладает еще одним преимуществом, касающимся влияния температуры на свойства материала. Гипотеза о термореологически простом поведении материала [80, 157], приводящая к понятию темпе ралу рно в рем е н ной аналогии, выполняется далеко не для всех материалов. В частности, опытами [46] на свободные колебания стеклотекстолитовых образцов было показано, что мгновенный модуль заметно меняется при изменении температуры от 20 до 80°С. Избежать трудности в теоретическом описании этого эффекта можно, принимая двумерную интерполяцию функции релаксации по времени и температуре, не принимая никаких ограничивающих поведение материала гипотез.

Обобщая обзор экспериментальных работ по идентификации характеристик вязкоупрутих материалов, можно сделать вывод, что эта проблема далека от завершенности; как техническая, так и математическая стороны проблемы показывают значительный разброс взглядов исследователей и оставляют достаточно места для их совершенствования.

Изложенное позволяет сформулировать цель работы: • разработка теоретического и экспериментального обеспечения для решения задач динамики вязкоупрутих тел, свободного от ограничений по отношению к свойствам мятепия той хяпяктет изменения нят пучок: ко впеметти и Люпмкг тел.

Работа состоит из введения, пяти разделов и заключения.

Первый раздел посвящен разработке методики идентификации реологических характеристик по данным статических и динамических экспериментов. Предложена форма представления функции релаксации в виде сплайн полинома на конечном интервале времени, характерном тем, что за пределами его изменения функции релаксации настолько малы, что ими можно пренебречь и считать ее постояной, отождествляемой с долговременноым модулем; ядро релаксации при этом принимается равным нулю. На каждом интервале для интерполяции использовались эрмитовы сплайны третьей степени, обеспечивающие непрерывность самой функции, ее первой производной (то есть ядра релаксации) и второй производной. Параметрами аппроксимации являлись значения функции и ядра релаксации в наперед заданных моментах времени - узлах интерполяции. Построен алгоритм, позволяющий выразить значения ядра через значения функции релаксации, основанный на выполнении условий непрерывности второй производной в узлах. Рассмотрены математические модели экспериментов двух типов: с измерением напряжений и деформаций в образце и с измерением закона движения выбранной точки образца. Показано, что в обеих случаях идентификация сводится к решению линейного матричного уравнения относительно значений ядра и функции релаксации в узлах интерполяции. Вид уравнения оказался универсальным как для экспериментов в реальном времени, так и в частотных экспериментах, например, в опытах на установившуюся вибрацию. Вследствие этого и алгоритм идентификации оказался универсальным по отношению к режиму испытаний.

Проведено тестирование алгоритма на результатах численных экспериментов с простыми состояниями образцов из материала с экспоненциальным ядром. Исследовалось влияние режима испытаний, количества узлов интерполяции и моментов наблюдений, их взаимного расположения на интервале наблюдения, ошибки измерений. Рассматривались следующие режимы испытаний: гипотетический режим со ступенчатым деформированием; двухзвенный режим с участком линейного изменения деформации и последующим постоянным значением; режим с колебательным выходом на ползучесть; режим свободных колебаний. Было установлено, что наилучшие результаты во всех опытах дает равномерное распределение узлов интерполяции и моментов наблюдения по интервалу, соответствующему десяти временам релаксации при соотношении количеств моментов наблюдения и .узлов интерполяции примерно 10:1 при количестве узлов ог 7 до 23. При исследовании влияния ошибки измерений наихудшие результаты получены для наблюдений с постоянной относительной погрешностью. При постоянной абсолютной ошибке в пределах 10% от наибольшего измеренного значения (то есть от предела шкалы измерительного прибора) наблюдалось подавление измерительной погрешности или, по крайней мере - значения, близкие к ней. Сопоставление результатов обработки квазистатических и динамических опытов показало, что первые пригодны для идентификации высокоэластичных материалов, с относительно большим падением напряжений в опыте на релаксацию при условии, что измерения на нестационарной и стационарной фазах опыта проводятся различными приборами, причем настройка прибора на стационарной фазе должна соответствовать падению напряжения в опыте на релаксацию или увеличению деформации в опыте на ползучесть. Для жестких полимеров с малым падением напряжения и малым временем релаксации удовлетворительные результаты получены по данным динамических опытов. В заключение раздела сформулированы рекомендации по организации испытаний.

Второй раздел посвящен идентификации характеристик двух материалов, применяющихся в радиоэлектронной промышленности: полиуретанового компаунда ПДИЗ АК2 и стеклотекстолита СТЭФ. Первый относился к высокоэластичным материалам, второй - к жестким стеклопластикам. Описываются конструкции разработанных под руководством автора оригинальных установок и приспособлений, приводятся данные по метрологии каналов измерений. Приводятся результаты обработки в виде зависимостей функций релаксации для обеих материалов от времени и температуры испытаний.

В третьем разделе рассматривается способ анализа реакции вязкоупругих тел на произвольные динамические воздействия. Его основой является приведение задачи к системе обыкновенных линейных интегро-дифференциальных уравнений второго порядка, матрица которой в общем случае заполненная. Решение этого уравнения отыскивается с помощью интегрального преобразования Фурье, путем решения системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения. Решение приводится к классической форме кибернетического «черного ящика», основной характеристикой которого является матрица передаточных функций (МПФ), имеющая физический смысл матрицы податливости вязкоупрутого тела и не зависящая от внешних воздействий. К числу последних относятся внешние силы и кинематические начальные условия по перемещениям и скоростям. За отклик системы принимается комплекс полей вектора перемещений и тензора напряжений. В силу линейности исходной постановки зависимость компонент отклика от параметра преобразования определяется произведением МПФ на вектор внешнего воздействия. С помощью теоремы о свертке строятся оригиналы решения в виде интегралов Дюамеля. Оригинал матрицы передаточных функций - матрица импульсно -переходных характеристик (МИГIX), необходимый для вычисления интеграла Дюамеля, определяется по формуле обратного преобразования Фурье. Применяя для его вычисления теорию вычетов, удается получить явное аналитическое выражение для компонент МИПХ, которые состоят из суммы гармонических затухающих осцилляторов, соответствующих комплексным корням характеристического уравнения и апериодических затухающих слагаемых, соответствующих мнимым корням. Обсуждается вырожденный случай, когда МПФ имеет диагональную форму. Показано, что общий случай может быть приведен к вырожденному с заранее известной погрешностью и дается ее оценка.

Четвертый раздел содержит иллюстрации основных теоретических положений раздела 3. Приводятся примеры постановок задач об изгибных колебаниях стержней и тонких пластин, соответствующие вырожденному слу чаю и задачи о изгибных колебаниях орто тройной пластинки, представляющей общий случай. Детально изучается вырожденный случай как для свободных, так и для вынужденных движений. В примерах используется материал с экспоненциальным ядром. Показано, что определяющую роль для параметров свободного движения играют относительное падение напряжения в опыте на релаксацию и отношение времени релаксации к периоду свободных колебаний. Получены и исследованы аналитические выражения для реакции вязкоупругого тела на моногармоническое воздействие: амплитуды и фазы установившейся вибрации и параметров переходного процесса при различных параметрах ядра. Установлено, что общие закономерности для установившейся вибрации такие же, как для свободных движений. Получены аналитические выражения и для реакции на ударные воздействия в виде прямоугольного и полусинусоидального импульса. Показано, что при достаточно большом времени наблюдения движение точек тела определяется осцилляторами, соответствующими корням характеристического уравнения с наименьшими коэффициентами затухания. Найдены области сочетаний параметров ядер, при которых завершающая стадия движения - апериодическая.

Для иллюстрации возможностей метода в общем случае рассмотрены поперечные колебания ортотропной прямоугольной шарнирно-опертой пластинки при различной ориентации главных осей анизотропии относительно ее сторон. Роль параметра, определяющего норму норму в недиагональных слагаемых, играет угол между осью анизотропии с наибольшим мгновенным модулем и длинной стороной. Показано, что ошибка в определении частот свободных колебаний за счет пренебрежения внедиагональными компонентами МПФ не превосходит 15%. Отклонения коэффициентов затухания более значительны, но убывают с «уменьшением» реологических свойств, так что диагонализация оказывается допустимой для жестких полимеров.

Пятый раздел посвящен применению разработанного метода к конечно-элементным и суперэлементным моделям тел сложной формы. Показано, что в рамках МКЭ модальное разложение реализуется так же, как и в аналитическом случае. Приводится оригинальная методика суперэлементного моделирования сложных конструкций с иерархической организацией. Введенное понятие МПФ ансамбля КЭ позволило существенно сократить объем вычислений по формированию матричных характеристик суперэлементов в изображениях. Полученный результат обобщен на системы суперэлементов любого уровня иерархии. Приводятся примеры расчета вязкоупрутих конструкций, реализованных с помощью КЗ - и СО моделей. На примере прямоугольной пластинки исследовалась точность и сходимость МКЭ алгоритма. Та же пластинка моделировалась системой одинаковых суперэлементов, что позволило установить и сопоставить затраты машинного времени на расчеты по обеим вариантам. Выяснено, что при одной и той же точности СЭ модель требует значительно меньших затрат времени на определение основных неизвестных, причем дополнительные затраты, связанные с вычислением перемещений внутренних узлов, оказываются существенно меньше, чем время на решение полной КЭ задачи.

В заключении обсуждаются результаты работы и приводятся основные выводы.

Свою работу- автор посвящает светлой памяти своего учителя. Заслуженного деятеля науки и техники РФ, доктора физико-математических наук, профессора U.A. Толоконникове^, без постоянной моральной и научной поддержки которого этой работы не было бы. Автор выражает глубокую благодарность начальнику отделения НИИ «Стрела» к.г. п. с.н.с. Е.А. Бу зов кину, совместная работа с которым определила направление исследований, докторантам к.т.н, доценту А.И. Андрееву и к.т.н. Н.Г. Хромовой, принимавшим активное участие в разработке и совершенствовании математической модели; начальнику отделения ГНПП «Сплав» к.т.н., с.н.с. A.A. Редько, к.т.н. Дехтяру Д.А., к.т.н. E.H. Су

21 периментальных работ; к.т.н. А.Н. Троицкому, на которого легла основная тяжесть работ по программированию комплекса КЭ и СЭ расчетов.

22

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ В тексте диссертации приняты следующие обозначения: в Прямой полужирный шрифт обозначает тензорные величины, например, С0 - тензор мгновенных постоянных упругости, Т(7) - тензор ядер релаксации и т.п.

• Курсивный полужирный шрифт обозначает векторы или матрицы -столбцы, например, к - вектор массовой силы, Р - столбец (вектор) модальных сил, а - столбец модальных коэффициентов и т.п. Прямой обычный шрифт обозначает прямоугольные матрицы, например, \У(/) - матрица импульсно-переходных характеристик. А, В подматрицы матрицы регрессии и т.п.

• Курсивный шрифт обозначает скалярные величины и компоненты матриц, векторов, тензоров, например, / - время, Жпк - компонент матрицы Ж с индексом строки п и столбца - к.

• Верхний индекс " обозначает Фурье-изображение соответствующей величины. Символ • обозначает тензорную свертку; (•) - произвольный допустимый аргумент функции.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Желтков, Владимир Иванович

Выводы

1. Благодаря вариационной постановке задачи динамики вязкоупругого тела модальное разложение оказалось хорошо приспособленным к обобщению на МКЭ - модели.

2. Алгоритм исследований в дискретном и непрерывном вариантах оказался общим; изменились только некоторые расчетные формулы, не затрагивающие принципиальных основ метода.

3. Принципиально важно введенное понятие динамического паспорта конструкции. Оно позволило сформулировать задачу анализа динамического анализа в виде последовательности самостоятельных этапов исследований, причем первый из них - определение мод колебаний и упругих собственных частот - может быть выполнен с помощью любого известного МКЭ - комплекса; следующий этап - построение динамического паспорта вязкоупругого тела - может быть выполнен с помощью автономной программы. Визуализация информации снова может быть реализована стандартными средствами.

4. Методика модального разложения легко реализуется в рамках концепций объектно-ориентированного программирования, что позволяет без значительных трудностей модифицировать существующие программные комплексы на этой платформе.

5. Обобщение модального разложения на суперэлементные модели оказывается возможным с использованием понятия МИФ, при этом порядок обращаемой матрицы равен количеству мод при составлении МКЭ - модели, что обеспечивает меньшее количество операций. Суперэлементы могут отождествляться с конструктивными элементами, что облегчает моделирование конструкций с иерархической структурой. Ограниченное (порядка 10) количество мод в разложении показывает, что такой подход вполне реален.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложена модель представления термореологического поведения вязко-упругого материала, основанная на представлении функции релаксации кубическим сплайном, отличающаяся удобством с точки зрения идентификации свойств материала в силу линейности ее относительно параметров -значений функции и ядра релаксации в наперед заданные моменты времени.

2. Сформулированное уравнение идентификации универсально по отношению к режиму эксперимента и может применяться как в реальном времени, так и в частотном диапазоне.

3. На основании численных экспериментов установлены рациональные параметры сетки идентификации - равномерное распределение узлов по интервал}'' наблюдения, который должен составлять около 10 времен релаксации. Предпочтительными режимами испытаний оказались ползучесть с динамическим выходом на установившийся режим для эластомеров и свободные изгибные колебания для слаборелаксирующих материалов. Модель обладает свойством подавления инструментальной ошибки, по крайней мере, в пределах уровня последней, равной 0.05 от предела измерения.

4. Даны рекомендации по организации экспериментальных работ по изучению реологических свойств полимерных эластомеров и реализованы в испытаниях стеклотекстолита и полиуретанового компаунда. Для обеих материалов построены поверхности функции релаксации в координатах время-температура для диапазона последней 20.110°С.

5. Сформулирован метод решения динамических задач линейной вязкоупрут ости ~ вариант метода интегральных преобразований, отличающийся возможностями построения решений во времени на основе аналитических и конечно-элементных решений по единому алгоритму. Техника метода не требует непосредственного применения аналитического или численного аппарата обратных преобразований; решения находятся в форме интегралов Дюамеля. Для зкспопспцпальных ядер оказыкас!^ ишмижным получение

236 строгих аналитических решений; для других представлений - решения будут приближенными.

6. Рассмотрена возможность приведения общего случая движения вязкоупру-гих тел к вырожденному, что позволяет весьма просто находить решения задач динамики вязкоупругих тел на базе аналитических и численных решений упругих задач о свободных колебаниях и показаны ограничения такой возможности.

7. На примерах движения стержней и пластин показаны основные закономерности реакции вязкоупругих тел. Выяснены возможности как колебательных, так и апериодических движений. Определяющим при этом становится соотношение между временем релаксации и периодом свободных колебаний сопряженного упругого тела.

8. Разработан вариант применения модального разложения к дискретным по пространству МКЭ и МСЭ - моделям. И в этом случае основным является решение характеристического уравнения, что позволяет в дальнейшем легко строить оригиналы решений, не прибегая к технике обратного преобразования Фурье. Набор мод колебаний и корней характеристического уравнения составляет динамический паспорт конструкции - хранимую характеристику, наличие которой позволяет легко исследовать реакцию на любое воздействие (как по координатам, так и по времени), не прибегая к трудоемким процедурам формирования матричных характеристик конструкции.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Желтков, Владимир Иванович, 2000 год

1. Абрамов С.К. Ефремушкин Ю.В. Стандарт на динамические испытания пластмасс/У Стандарты и качество, 1978. -№ 11. - с. 18-19.

2. Адамов A.A. О неединственности определения параметров в интегральном уравнении вязкоупругости по данным квазистатических опытов. // В сб. «Исследования по механике полимеров и систем», Свердловск, УНЦ АН СССР,, 1978. - с. 10-20.

3. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Численно аналитическое исследование флаттера пластины произвольной формы в плане// Прикл. мат. и мех. (Москва). -1997. - 61, №1, - С. 171-175.

4. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. М.:Стройизд., 1983, -488с.

5. Алфутов H.A., Зиновьев H.A. Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.:Машиностр., 1984. - 264с.

6. Амбаруцумян С,А. Теория анизотропных пластинок. М.:Наука, 1967. -268с.

7. Ю.Андреев А. 11, Желтков ВТ!., Хромова IT.Г. О корнях характеристического уравнения динамики вязкоупрутих тел. //Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998, т.4. вып. 2. - С.31-34.

8. П.Арутюнян Н.Х., Майборода В.П., Трояновский НЕ, Динамика и динамическая неустойчивость вязкоупрутих систем.//В сб. «Труды Всесоюзного симпозиума но устойчивости.» Калинин, изд.КПИ, 1982.

9. Барканов Е. Анализ частотного отклика в конструкциях с различными моделями демпфирования// Мех. композит, матер. 1.997, №2. - С. 226-233.

10. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.:Мир, 1982.-287с.

11. Березин И,С., Жидков П.П. Методы, вычислений. В 2-хтомах/./Т. 1 М.: Физ-матгиз, 1962. - 382с.

12. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М. /Наука, 1975. - 767с.

13. Богачев М.В. Вариационно-разностный метод расчета гибких оболочечных элементов приборных устройств. //В сб. "11 зимняя школа по механике сплошных сред (тезисы докладов)". Пермь, 1997. - с. 73.

14. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М,: Машиностр., 1980. - 280с.

15. Борискин О.Ф., Кулибаба В В., Репецкий О.В. Конечноэлементный анализ колебаний машин. Иркутск: Изд-во Ирку г. ун-та, 1989. - 144с.

16. А Т4,. Т1 ТА» ТТ Т) Tri\nTT.-r. Ik ^ ТЯ Г)лтгг>т/<аоттттл ттп ттгт 'T.^j^T т г утл* ■ лтллггл'птл'и i^r тт

17. Х- V. .LJ^SKJSs 1 ±-J L\.y If A A Jti,, jlv. > vyctJf tl л »J., x x , x 1'-*- xv v x^i uvui^^/Mwiiiuii. „wp^uv** * ,теория и компьютерное моделирование.// Механика композиционных материалов. Рига.: Зинатне. 1995, №5, с.850 861.

18. Бузлаев Д., Данилин А., Зуев Н., Корсаков С. UAI/NASTRAN анализ прочности и динамики конструкций /7 САПР и графика. - 1998. - №1, с.40-42.

19. Бузовкин Е.А., Желтков В.П., Лешков Д.О. Определение динамических характеристик несущих элементов РЭА с учетом влияния нестационарных неоднородных температурных по лей.//В сб. «Вопросы специальной радиоэлектроники. (еер.РЛТ). Вып.5. 1993. с.32-39

20. Бузовкин P.A., Желтков В.П., Лешков Д.О. Температурные эффекты в динамике монтажно-коммутационных плат.//Вопросы специальной радиоэлектроники (еер.РЛТ), вып.9, 1992. с.107-115.

21. Бузовкин Е.А., Желтков В П., Хромова Н.Г. Анализ надежности радиоэлектронной аппаратуры при действии случайной вибрации. 7 Вопросы специальной радиоэлектроники (еер.РЛТ), вып.9, 1992. с. 100-106.

22. Бузовкин Е.А., Желтков В.И., Хромова Н.Г. Ускоренный способ исследования реакции несущих конструкций на. динамические воздействия. /./ Вопросы специальной радиоэлектроники (еер.РЛТ), вып.28, 1993. с. 102-108.

23. Бузовкин Е.А., Желтков В Н., Хромова Н.Г. Ускоренный способ исследования реакции несущих конструкций РЭА на динамические воздействия // Вопросы специальной радиоэлектроники. Серия «Радиолокационная техника». Выпуск 5,. 1993. - с. 24 - 31.

24. Валишвили. Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М. Машиностроение, 1976. 278с.

25. Варга Дж. Оптимальное управление дифференвдальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. - 623с.1. 1 D П Л Т Т Т7Т /-kH-» TD D ^ (f ЛЛГЛТТГТТ^П Т«Л1ТЛТ»^Т Т,«Т ГТТТТ ТТ1Л rrTAfltTtlTTATTTtl ТЛТ 1 1-ЛТ>Л.»-»ТТП "Л Д •

26. Л. , JJ-U.VHJ JLJJ'VLI J—' . Л. i »AVxJkMillllVU .IVVÜV 1 j^' Jf 1Ч1Ц ¿LI 1 fU Л1ЦГША1 1 mu. i Vj-'XIUJ IVU> . ifl.1. Машиностр., 1984. -272с.

27. Васильев В.В., Разин А.Ф, Геометрически нелинейная прикладная теория композитных оболочек.//В кн. «Расчеты на прочность.» М.:Машиностр., вып.30, 1980. -с.97-112.

28. Васин O.A., Желтков В.И., Суманеева E.H. Экспериментальная методика определения реономных свойств композиционных материалов. /У В сб. «Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения», вып. 56 М.-.КМК, 1997. с. 113-119.

29. Виброзащита радиоэлектронной аппаратуры полимерными компаундами / Ю,В.Зеленев, A.A. Кирилин, Э.Б.Слободник, Е.Н.Талицкий. Под ред. Ю.В.Зеленева. М.: Радио и связь, 1984. - 120 с.

30. Виноградская Е.Л., Тарасов Б.Я. Изучение механических свойств полиэтилена в изделиях при растяжении в широком диапазоне температур. /У Механика полимеров. Рига: Зинатне, 1969. ~ с/737 - 741.

31. Ворошко ПЛ. Смешанные вариационные формулировки задач теории упругости и их реализация методом конечных элементов./'/Пробл. прочн., 1985, №1. с. 12-19.

32. Гудименко В. П. Журко В.А. Смирнова Ю.И., Айва зов А.Б., Зеленев ТО. В., Подлесный B.Ii. Свойства пористых резин в условиях динамического нагружен ия в широком интервале температур и частот. /7 Механика полимеров. Рига: Зинатне, 1971. - с. 1093 - 1096.

33. Двухкаиальный анализатор сигналов 2034: Инструкция по эксплуатации в 3-X т. Глоструп, Дания: "Ларсен и сын", 1984. - 201 с.

34. Дехтяр Д.А. Определение реологических характеристик стеклотекстолита из опытов на свободные колебания. /У В сб.» 10 зимняя школа по механике сплошных сред ( тезисы докладов)«. Пермь, 1995. - с.85-86.

35. Дех1яр Д.А., Моисеев А.Г., Филлипов A.B. Демпфирующие свойства стеклотекстолита СФ при повышенных температурах /У Вопросы специальной радиоэлектроники. Серия РЛТ, выпуск 5, 1993 г., стр 47.

36. ЗО.Дубенец В.Г. Суперэлементный анализ нестационарных колебаний демпфированных конструкций, // XVI Конф. По вопр. Рассеяния энергии при колебаниях мех. систем, Ивано-Франковск, 24-26 июня, 1992: Тез. докл. Киев, 1992, с. 14-15.

37. Дунаев И.М., Фролов II.П., Лозовой С.Б. Экспериментально-теоретическое определение структурно-механических параметров эластомеров. Рига: Риж. гехн. ун-т, 1986. - С. 67-68.

38. Дэй У,А. Термодинамика сред с памятью. М.:Мир, 1970 - 254с.

39. Евграфов М.А, Аналитические функции. М.: Наука, 1991.- 448с.

40. Емельянов Н.Ф, Механические испытания мягких материалов. Методические указания. Владивосток. ДВВИМУ ММФ, 1987. 134 с.

41. Желтков В.И. Дискретизация по времени задач линейной вязкоупруго-сти./Дисс. на соискание ученой степени канд.физ.-мат.наук./7На правах рукописи. М.: 1979. - 125с.

42. Желтков В.И. Математическая модель эксперимента по определению реологических характеристик вязкоупрутих материалов .//В сб. «Механика и прикл. математика». Тула, Приокек. кн. изд., 1988. - с. 12-15.

43. Желтков В.И, Методика обработки опытных данных для установления структуры упругого потенциала. /В сб. «V Всесоюзная НТК по методам расчета изделий из эластомеров. ЮрмалаД986». Рига, изд.РПИ, 1986. - с,41.

44. Желтков В.И. Применение метода конечных элементов к задачам линейной вязкоупругости.//В сб. «Работы по механике сплошных сред». Тула, изд. ТПИ. 1975. - с.79-89.

45. АЛ M/'nrr.TTi/XT! ТЗ ТД П, ---------------- , -г™,™™™ „

46. V-r «о- . ijiw- A a 1VUJU д г A nw xVJ.v./^^-fAiJ.j^/WlJCI.JLJ.JtXV V А V AV А у J^/A 1V/ " 1IV V'/J, А KJ^t. 1 OA/Vконструкций.//'В сб. «10 зимняя школа по механике сплошных сред (тезисы докладов)». Пермь, 1995. - с. 100.

47. Желтков В.И., Гуреев В.Н. Суперэлементная модель конструкции РЭА. /7 Вопросы специальной радиоэлектроники (сер.РЛТ), вьш.20, 1989. с. 191197.

48. Желтков В.И., Комолов Д.В., Хромова Н.Г. Некоторые возможности автоматизации расчетов динамики вязкоупрутих систем// Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ, 1995. Т.1. Вып.2. с,58-69.

49. Желтков В.И., Суманеева E.H. Методика определения вязкоупрутих характеристик композитных материалов.// В сб. «Надежность механических систем ( тезисы докладов конференции)». Самара, 1995. - с.79

50. Желтков В.И., Толохонников Л.А., Хромова Н.Г. Переходные функции в динамике вязкоупрутих тел. ДАН: сер. Механика, 1993, т,329, №6. - е.718 -719.

51. Желтков В.И., Троицкий А.Н. Суперэлементная модель пластинчато-оболочечных конструкций./УВ сб. "11 зимняя школа по механике сплошных сред (тезисы докладов)". Пермь, 1997. - с. 127.

52. Желтков В.И., Филиппов A.B. Вариант МКЭ для анализа установившейся вибрации конструкции РЭА./-Вопросы специальной радиоэлектроники (сер. РЛТ), вып.20, 1989. с.183-189.

53. Желтков В.И., Хромова II.Г. Способ исследования динамической реакции вязкоупругих тел.//В сб. "Механика деформируемого твердого тела." Тула, изд. ТулГТУ, 1994. - с.48-54.

54. Желтков В.И.ДПестаков И.В. Структурный анализ математической модели системы амортизации. //Вопросы специальной радиоэлектроники (сер.РЛТ), вып. 25, 1985.-c.93 -97.

55. Жигун И,Г., Поляков В.А, Особенности испытаний на сжатие композитов // Механика полимеров. 1979. - №6. - С. 1111-1118.74.3авери К. Анализ мод колебаний больших конструкций системы с несколькими вибростендами. В rue. & Kjer, 1985. - 45 с.

56. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М,:Мир, 1975. - 544с.

57. Зенкевич О.Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М,:Мир, 1986. -267с.

58. Зотов М.Б., Прилуцкая Е.М. Расчет собственных частот и форм колебаний плоского тела произвольной конфигурации. /У Исслед. по мех. строит, конструкций. и матер. Санкт-Петербург, инж. строит, ин-т. -СПб., 1993. - с. 121-124.

59. Ильюшин A.A. Метод аппроксимаций для расчета конструкций по линейной теории термовязкоупругости. «Механика полимеров», 1968, №2.

60. ТО И л л TT----.-------- V /-Tw, л Т Г V „ -------------------------^ ------ -----t . Jt i^AJLJAV^AJLAJT IAA ± X., J J. Iii АЬЛ A U1J i З.ЛЛ. ¿4. J JL? Vjrj.*/ X ^lYJLCWi.тегро-дифференциальных уравнений /7 Л АН СССР, 1969, т. 188, №1.

61. Ильюшин А.А.,Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоуп-ругости. М.Наука, 1970. - 270с.

62. Иориш 10.И. Виброметрия. М.: Гос.научно-гехн. изд. машиностр. лит., 1963.-771с.

63. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.:Наука, 1978. - 512с.

64. Каталымова И.В., Мяченков В.И. Динамика упругих систем с точечными и сосредоточенными массами.//В сб. «Тезисы II Всес. конф. по теории упругости.» Тбилиси, изд. ТГУ, 1984.

65. Каталымова И.В., Мяченков В.И. Собственные колебания вязкоупрутих оболочечных конструкций. /В кн. «Расчеты на прочность.» М.:Машиностр., вып.26, 1985. - с.232-237.

66. Кийко И.А., Гвоздев С.Ю. Исследование вынужденных колебаний вязкоун-ругой пластины с учетом тепловыделения/7 Прикл. мех. (Киев). -1992. 28, №6.-С. 61-66.

67. Кийко И.А., Хагиба Г.П., Чарухчев А.Д. Две задачи об оптимизации формы .неупругих стержней// Упругость и неупругость. 4.2/ МГУ. Мех. мат. фак. -М., 1993.-С. 97-107.

68. Клокова II. II. Тензорезисторы: Теория, методики расчета, разработки М. Машиностроение, 1990.-224 с.

69. Ковальчепко М.С. Динамика механических воздействий на материалы. III. Вибрационные механические и электромагнитные воздействия// Порошк. металлургия (Киев). Киев, 1996. - С. 15-19.

70. Ко лесников а Н.В. Собственные частоты колебаний цилиндров с неподвижной цилиндрическои поверхностью.//В сб. «Числ. методы в исследованияхнапряжений и деформаций в конструкциях.» Свердловск, 1987. - с. 7679.

71. Колесникова Н.В., Матвеенко В.II., Соколов Б.Н. и др. Об исследовании вынужденных установившихся колебаний системы вязкоупругий заполнитель -упругая оболочка./VIII Всес. конф. по прочности и пластичносш/УТез. докл. Пермь, 1983. - с.83.

72. Колесникова Н.В., Матвеенко В.П., Юрлова Н.А. Численный анализ дисси-пативных свойств кусочно-неоднородных вязкоупругих тел./В сб. «Методы расчета изделий из высокоэластичных материалов .»//Тез. докл. V Всес. НТК. -Рига, 1989.--c.95.

73. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа.- М.: Паука, 1972. 496с.

74. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. М.: Высшая школа, 1976. -277с,

75. Колтунов М.А., Майборода В.П., Зубчанинов В.Г. Прочностные расчеты изделий из полимерных материалов. М.:Машиностр., 1983. - 239с.

76. Колтунов М.А., Майборода В.П., Кравчук А.С. Прикладная механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая. школа, 1983. - 345с.

77. Колтунов М.А., Матвеенко В.П., Трояновский Й.Е. Оптимизационный, квазистатический и динамический расчет вязкоупругого осеси м м етрич ного тела. // Механика эластомеров, 1980, т.З. с.5-12.

78. АА Т/~--------- Ъ J А Т---------ТТ 17 Г--- —пг.л^.i. » L \ V' ~ i 1 Y IILWO iVZ. II.1 J. ' 4 '^i 1 ' ' '1.ÏV. (\ r ! M' li.Lj. A. 1 J.'<1 i,.; l ! * l » V. r I l -.i-¡".-v : \<. jt-^v./рии вязкоупругости.//Механика эластомеров, 1977, т.1. с.36-46.

79. Композиционные материалы. В 8 т. Пер. с англ. под ред. А.А. Ильюшина, Б.Е. Победри. // Т.2. Механика композиционных материалов. Под ред. Дж. Сендецки. М.: Мир, 1978. 564с.

80. Композиционные материалы: Справочник В.В. Васильев, В.Д. Протасов, В.В. Болотин и др.; Под общ. ред. В.В. Васильева, Ю.М. Тарнопольского. -М.: Машиностроение, 1990. 512 е.; ил.

81. Кончаков И.И., Куранов Б.А. Численное исследование статики и динамики тонких анизотропных оболочек. // Расчеты на прочность: Сборник научных статей. .М.: Машиностроение, 1998. с. 172-182.

82. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике./Пер. с англ. М.: Наука, 1977. - 836с.

83. Кравчук А.С., Майборода В.П., Трояновский И.Е. Вынужденные колебания вязкоупругого тела.//Мех.гголим,Д974, №4. с.689-694.

84. Крегерс А.Ф., Максомов Р.Д. Виброползучесть полимерных материалов. Полиуретан. Обратная ползучесть. /V Механика полимеров. Рига: Зинатне, 1970, №5 -C.818 - 825.

85. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974. -427с,

86. Кузнецов Г.Б., Матвеенко В.П., Трояновский И.Е. Вынужденные колебания короткого вязкоупругого цилиндра.//В сб. Вопросы теории упругости и вязкоупругости. Свердловск, 1978. - с.34-38.

87. Ларионов Г.С., Филатов А.Н. О методе усреднения в нелинейной механике. Изв. АН УзССР, сер. технических наук, 1969, №2.

88. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропных тел. М.: Наука, 1977. -455с.

89. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. М.: Наука, 1986. - 232 с.

90. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.:Наука. 1980 - 512с.

91. П ------ т> гт л д-------------- „ т Tí гл .---------.ч.,. —„„

92. JL i :. i,iari V V,'-!,« . i. ¡L . . i Til V.JJ yilWU , I .л. V,' puviviv lW~IIri I IS i Ul.i 1J/1J1\U 7 11 y I ПЛ ('лебаний виброзащитного слоя.//Мех. полим., 1972, №4. с.321-326.

93. Майборода В.П. Моргунов Б.И. Колтунов М.А. О вынужденных колебаниях виброзащитного слоя. /Мех. полим., №3, 1972. с,537-540.

94. Майборода В.П., Трояновский И.Е. Собственные колебания неоднородных вязкоупругих тел.Изв. Ан СССР, МТТ, №2, 1983.

95. Майборода В.П., Трояновский И.Е,, Сафаров И.И. Свободные и вынужденные колебания систем твердых тел на неоднородных вязкоупругих амортизаторах. /У Изв. АН СССР. Сер. «Машиностроение», 1983, №3. с.46-55.

96. Мальцев Л.Е., Крекнин А.И. Определение мгновенных модулей вязко-упругости по результатам длительных статических испытаний /7 Механика полимеров. 1978. - №4. - С. 610-614.

97. Матвеенко В.П. Об одном: алгоритме решения задачи, о собственных колебаниях тел методом конечных элементов.// В сб. «Краевые задачи теории упругости и вязкоупру гости. Свердловск, 1980. - с,20-24.

98. Матвеенко В.П. Численный анализ вынужденных установившихся колебаний несжимаемых и слабосжимаемых тел.//' В сб. Аналитические и численные методы решения краевых задач пластичности и вязкоупругости. -Свердловск, 1986, с.83 - 87.

99. Матвеенко В.П., Колесникова Н.В., Юрлова H.A. Численное моделирование собственных затухающих колебаний кусочно однородных вязкоупругих тел. // В кн. «Расчеты на прочность.» Вып.31. - М.;Машиностр., 1989. -с. 166-172.

100. Математические основы теории, автоматического регулирования. / В 2-х т.Под ред. Б.К.Чемоданова. /Т.2. М."Высшая школа, 1977. - 366с.

101. Машкин А.И., Шардаков И.Н., Шевелев H.A. Алгебраическая проблема

102. VV^Gv/ К О 4,-11 I A 1>1 .V .>HCtra.VJ.liriJirt V./W'to/V.t'ii'VIiVJLW 1. j^/Jf i -LIJLJLJIjV iVJl W у 1 ^lYJL XJ U-ilJ^Vния.//Деформирование и разрушение композитов. Свердловск, изд.УНЦ АН СССР, 1985. - с.91-93.

103. Мейснер К. Алгоритм многосвязного объединения для метода жесткостей структурного анализа. Ракетная техника и космонавтика, 1968, №11, стр176.

104. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений/ В.А. Пост-нов, С.А. Дмитриев, Б.К. Елтышев, А.А. Родионов. Под общей редакцией В.А. Постнова. Л.: Судостроение, 1979. - 288 е., ил.

105. Мяченков В.П., Григорьев И.В. Расчет составных цилиндрических оболочек на ЭЦВМ. М.:Машиностр. 1981. 1 (5о.

106. Мяченков В.П., Мальцев В.П. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ЕС. М. :Машиностр., 1984. - 280с.

107. Николаев В.П. К определению модулей сдвига стеклопластиков на кольцевых образцах. /У Механика полимеров. Рига: Зинатне, 1971. - с. 1101 -1103.

108. Новацкий В. Теория упругости. М.: Физматшз, 1957. - 647с.

109. Образцов И.Ф. и др. Метод конечных элементов в строительной механике летательных аппаратов. М.:Высшая школа, 1987. - 421с.

110. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластинки. М.:Наука, 1965. -711с.

111. Огибалов П.М., Тюнеева И.М. Влияние длительного хранения на механические свойства армированных пластиков, /У Механика полимеров. Рига: Зинатне, 1969, - с,556 - 559.

112. Огурцов Ю.Н. Реализация многоуровневого суперзлементного подхода к расчету конструкций. /7 Строит, мех. и расчет сооруж. 1989. - №5. -с. 50-54.

113. Ольшанская Г.Н., Пошй В.А. Матрица реакций полюсных конечных элементов для ортотропных оболочек вращения. /У Расчеты на прочность: Сборник научных статей. М.: Машиностроение, 1998.с.220-225.

114. Охельский С. 11олзучес I ь стеклотекстолита. /У Механика полимеров. Рига: Зинатне, 1971. - с.398 - 403.

115. Павлов С.М., Семашков А.А. Решение трехмерной задачи вязкоупругости методом физико-геометрического нагружения// Мех. деформ. тв. тела'' НИИ прикл. мат. и мех. при Том. гос. ун-те. Томск, 1992. - С. 113-118.

116. Плетнев В.И., Сергеев М.В. Суперэлементный расчет зданий и сооружений в форме метода сил // Изв. вузов. Строительство и архитектура, № 10. 1998. С. 116-119.

117. Победря Б.Е. Расчет вязкоупрушх систем по численной упругой реализации. // Пробл. прочн., 1973, №3. с.44-56.

118. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. -М.: изд.МГУ, 1981. -343с.

119. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности: Учеб. пособие. 2-е изд. - М.: Изд-во МГУ, 1995. 366с.

120. Постное В.А. Обратная проблема собственных чисел для одномерной разветвленной упругой системы. // Тез. докл. 3 Междунар. симп. «Динамика и техно л. проблем мех. конструкций и сплош. сред». М,, 1997. - с. 88-89.

121. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1977. 279 с.

122. Постнов В.А., Тарануха PIA. Матрицы жесткости и принципы дискретизации в методе модуль-элементов, и Труды Ленинградского Ордена Ленина Кораблестроительного института, 1989.-е. 81-89.

123. Постнов В.А., Тарануха И.А. Метод модульных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1990. 312с.

124. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л. :Судостр., 1974. - 476с.

125. Пржеминицкий Е.С. Матричный метод исследования конструкций на основе анализа подструктур. Ракетная техника и космонавтика, 1963, №1.

126. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник в 3-х томах//Под ред. Г.Я.Пановко, И.А.Битргера. М.:Машиностр., 1967.

127. Пшеничнов С.Г. Особенности использования преобразования Лапласа при решении линейных начально-краевых задач механики деформируемого твердого тела. /7 В сб. «Исследование процессов в распределенных системах и средах. М.: ИФТП, 1990. - с.95-102.

128. Пшеничнов С.Г. Аналитическое решение одномерных задач динамики кусочно-однородных вязкоупругих тел. 7/ Известия АН СССР. МТТ, 1991, №1. с.95-103

129. Пшеничнов С.Г. Некоторые особенности использования преобразования Лапласа при решении линейных задач нестационарной динамики деформируемых твердых тел /У Доклады РАН, т. 339, №1. с. 48-51.

130. Пшеничнов С.Г. Построение оригинала для трансформанты Лапласа при помощи теории вычетов в задачах динамики линейно вязкоупругих тел. /7 В сб. «Нелинейные явления в открытых системах. Вып. 8 // М.: Гос. ИФТП, 1997. с. 79-87.

131. Пьезоэлектрические акселерометры и предуеилители: Справочник по теории и эксплуатации / М.Серридж, Т.Р.Лихт. Глоструп, Дания: "Ларсен и сын", 1987,-187 с.

132. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. - 712с.

133. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966.-467с.

134. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. - 384с,

135. Расчеты конструкций на прочность и жесткость. Интегрированная система автоматизации конструирования и прочностных расчетов изделий машиностроения КИПР-ЕС: Межвуз. сб. научи.тр. Под ред. В.И.Мяченкова, -М.:Изд. Мосстанкин, 1987. 188с.

136. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов.: Справочник/В.И.Мяченков, В.П.Мальцев, В.П.Майборода и др. Под общ. ред. В.И.Мяченкова. М.:Машиностр., 1989. - 520с.

137. Расчеты на прочность в машиностроении. /Справочник в 3-х томах/УПод ред. С.П.Пономарева, В.Л.Бидермана. М.:Машиностр., 1958.

138. Садыков P.C., Колтунов A.A. Влияние режимов нагружения на деформации ползучести стеклопластиковой трубы при постоянных осевых нагрузках. /У Механика полимеров. Рига: Зинатне, 1978. - с. 734-737

139. Сафаров И.И. Колебания и волны в диссипативио неоднородных средах и конструкциях. Ташкент, Фан, 1992. - 260с.

140. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.:Мир, 1979. -392е.

141. Секулович М. Метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1993-464с.

142. Сердюков В.14. Использование ядер ползучести и релаксации в виде суммы экспонент при решении некоторых задач линейной вязкоупру!•ости операционным методом// Тр. Map. гос. техн. ун.-та. -1996. №2. 4.1. - С. 69-70.

143. Силаев A.A. Спектральная теория подрессоривания транспортных средств. М.: Машгиз, 1963. - 286с.

144. Стежко A.B. Продольные и поперечные колебания в неограниченной уп-руговязкой среде/7 Гос. акад. легк. пром-сти Украины. Киев, 1984. - 8 с.

145. Строительная механика: Программы и решения задач на ЭВМ: Учеб. пособие для вузов / Р.П. Каркаускас. A.A. Крутинис, Ю.Ю. Аткочюнас и др.; Под общ. ред. А. А. Чираса. М.: Стройиздат, 1990. 360с.

146. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. -М.:Наука, 1966. -635с.

147. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1979. -318с.

148. Толоконников Л.А., Желтков В.И. Вариант метода конечных элементов для решения задач линейной вязкоупругости./'Прикл.мех., №9, 1979. с. 7679,

149. Троицкий А.Н., Желтков В.И. Суперэлементное моделирование сложных составных конструкций /У Тезисы докладов международной конференции. Тула, ТулГУ, с, 106-107.

150. Трояновский PIE. Вынужденные колебания вязкоупругой системы с конечным числом степеней свободы.//Мех. полим., 1973, №5. с.927-929.

151. Трояновский И.Е. Квазистатические и динамические оеееимметрич-ные задачи вязкоупругости. Дисс. на соискание ученой степени д. ф. м. наук., Москва, 1977, 301 с.

152. Трояновский И.Е-, Матвеенко В.П. Вынужденные колебания вязкоупру-гого тела со смешанными граничными условиями.// В сб. «Прикладные проблемы прочности и пластичности.» Вып. 13 Горький, изд.I I У. 1979. - с.95-113.

153. Трояновский И.Е., Шардаков И.П. Труфапов H.A. Обоснование метода геометрического погружения для краевых задач теории упругости./В сб. «Анал. и числ. методы решения краевых задач пластичности и вязкоу пру гости.» Свердловск, 1986. - с, 107-111.

154. Труфанова М.А., Шардаков H.H. Расчет неоднородных конструкций сложной пространственной геометрии вариационно-разностным методом./'/В сб. «Тезисы докл. XV международного научно-техн. совещания по проблемам прочности двигателей.» М.: 1994. - с.55.

155. Турусов P.A., Стратонова М.М., Минькович В.И. Релаксация напряжений в полимерном диске. // Механика полимеров. Рига: Зинатне, 1971. - с. 1064 -1071.

156. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. - 563с,

157. Уилкинсон Дж.Х., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М. Машиностроение, 1976. - 390с.

158. Умушкин Б.П. Расчет колебаний составных систем. /7 XVI Международная конференция «Математическое моделирование в механике деформируемых тел. Методы граничных и конечных элементов» СПб.: СПбГТУ. 1998.с. 16.

159. Ферри Дж. Вязкоупругие свойства полимеров. М.:Иностр. лит., 1963. -522с.

160. Филатов А.Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных

161. V Т . Л , Л Т Г 1 (-V-7 Л 1 .ypaiSilCiinn. 1йШ№Ш, \i i, 1 ^ ; -Г . - I V V.

162. Филатов A.Ii. Усреднение в дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях,- Ташкент, ФАН, 1967.-231с.

163. Филатов А.Н., Шарова Л.В. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. -152с.

164. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина: Пер. с англ. -М.: Мир, 1988.-352 с.

165. Шардаков H.H. Построение приближенных решений линейно вязкоупру

166. ГЧ1ЛТ ТГПТТ И \ TJЛГТГТ^АТ/'ЛТТИ СО TTTiTI ТТЛ ТТЛППЛ.Т.ТП -е» «• ТТ<М1 птт»*»лгтттт t-ш г » и-тл» тт^тт-1 ••

167. J.J.J.-J. Wliiil-'Vl.Vvinn'M.i^Jiri 11V ti JJU>WVl.lli»i:Vl i X Vjf^iJT LVA\WtAA JL JL*JU1'JL > 1 l V i. IM ¿VIрешениям. //' В сб. «Методы решения задач теории упругости и пластичности. Вып.8». Горький, 1974. - с.88-95.

168. Шардаков И.Н. Теоретические положения метода геометрического погружения для краевых задач упругопластического тела/В сб. «Общие задачи и методы исслед. пластич. и вязкоупругости материалов и конструкций». Свердловск, 1986. - с. 123-127.

169. Шардаков И.Н. Теоретические положения метода геометрического погружения для решения краевых задач анизотропной теории упругости.// В сб. «Деформирование и разрушение конструкций из композиционных материалов.» Свердловск. 1987. - с.27-32.

170. Шардаков И.И, Шевелев H.A., Машкин А.Н. Влияние сил Кориолиса на пространственные формы и частоты колебаний осесимметричных тел. /В сб. «Тезисы докл. Всесоюзн. конф. по прочности и пластичности.» Пермь, 1983.-c.195.

171. Шардаков H.H. Шевелев H.A., Машкин А.Н. Пространственные формы и частоты колебаний осесимметричных тел.// В кн. Прочностные и динамические характеристики машин и конструкций. Пермь, 1985. - с.3-8.

172. Широков С.Н. Экспериментальное определение параметров термовязко-упругих материалов/ 11-я Зимняя школа механики. Пермь, 1997. - с. 128.

173. Шленский О.Ф., Захаров B.C. О влиянии структурных параметров на коэффициент термического расширения некоторых стеклопластиков. // Механика полимеров. Рига: Зинатне, 1969. - с.570 - 773.

174. Шостак Р.Я. Операционное исчисление. М.: Высшая школа, 1972. -279с.

175. Шушкевич В.А. Введение в тензометрию. Минск.: Вытаэйш. школа, 1975.-351 с.

176. Яганов В.М., Каталымова И.В. Установившиеся колебания вязкоупрутих конструкций из оболочечных элементов ./'/В сб. «Тезисы докл. II Всес, конф. Ползучесть в конструкциях.» Новосибирск, Изд. АН. СССР, 1984.

177. ОЛ Ч СТтл/лп тг/п-п А ! Г ТТт1г>/>т1ттл'г>7тттт тл гчттлтлп ттл^лтгтт(Л1л/лтгттг tv и спта^тт тт/чп тг лттл

178. A4 \J . V A 1WUJ ivu J. LfA J ^ Г J V'V i£ J JL i V*- il^ljl XJJi'w' VJ>V11V л 4JU tl WjU.HVJ^'V/^iAl/li V i'm 1 XX VI jVтем. Киев: Наук. Думка, 1985. 248 с.

179. Яку нов Н.М. Вариант МКЭ для исследования поведения конструкций со сложной структурой материала. /7 IX конференция по прочности и пластичности. Труды Конференции. Т.З., 1996 с. 135-139.

180. Achenbach J.D. Vibration of Viscoelastic Body. /У AIAA J., v.5, 1967. p 1213.

181. Allemang R.J. Investigation of some multiple input/output frequency response functions experimental modal analysis techniques //Ph. D. Thesis, University of1. Cincinnati. 1980.

182. Argyris J.H. Chan A.S.L. Applications of Finite Elements in Spase and Time./У Ingenieeur Archiv, v.42, 1972. pp.235-257.

183. Argyris „Т.Н., Kelsey S. The Analysis of Fuselages of Arbitrary Cross section and Taper. - Aircraft Engmering, 1959. Vol. 31; 1960, vol.33.

184. Babuska Ivo. Are high degree flements preferable? Some aspects of the h and h-p version of the finite element method // Proc. Int. Conf. Numer. Meth. Eng.: Theory and Appl., Swansed, 6-10 My, 1987: NUMETA'87. Vol.1 Dordrecht etc., 1987.-е. Slll-Sl 19.

185. Bernard Michael L., Bronowicki Allen J. Modal expansion method for eigen-sensitivity with repealed roots. // AIAA Journal. 1994. - 32., №7. - c. 15001506.

186. Braun K.A., Johnsen T.L. Hypermatrix generalization of the Jacobs- and Eberlein method for computing eigenvalues and eigenvectors of liermitian and noil- liermitian matrices.- Comp. Macli. Engng., 1974. Vol. 4. - N1. -p. 1-18.

187. Bushnetl D. Stress, Stability and Vibration of complex cranched Shell of Re volution.//Computer and structures, v.4, №4, 1974. pp.339-345.

188. Choti Wen, Pen Wenmin. Applications of mode synthesis metod in shell byckling calculations /7 Lixue yu shisian= Mech. And Pract. 1994. - 16, - c. 19-20.

189. Di Paola V., Falcone G., Pirotta A. Stochastic Response Analysis of Nonlinear Systems under Gaussian Inputs. /Comput.Mech., 1992, v.9, №2. pp. 15-21.

190. Gustafson A.J., Mazza L.T., Rodgers R.L., Mcllwean E.H. (1970). Development of Test Methods for Measuring Damping of Fiber-Reinforced Materials. U.S. Army Aviat. Mater. Lab., USAAV-LABS TR 70-42, AD-873990.

191. Edelstein W.S., Gurtin M.E. Uniquness Theorems in the Linear Dynamics Theory of Anisotropic Viscoelastic Solids./Arch. Ration. Mech. Anal., v. 17, 1964. p.47.

192. Enelund M., Josefson B. Time ~ domain finite element analysis of viscoelastic structures with fractional derivatives constructive relations// AIAA Journal. -1997. 35, № 10. - C. 1630-1637.

193. Gade S,, Zaveri K., Konstantin Hansen H., Herlufse H. Stress / strain measurements of viscoelastic materials// Sound and Vibr. - 1995. - 29, №3. - C. 16-19.

194. Gaul L., Schwanz M. Dymanics of viscoelastic solids treated by boundary element approaches in time domain// Eur. J. Mech. A. 1994. - 13, N«4. - C. 4359.

195. Gottcnberg W.G., Christensen R.M., An Experiment for Determination of the I Mechanical Property in Shear for a Linear Isotropic Viscoelastic Solid /7 Int. J. Eng. Sci. 3.964. - V.2 - P. 45.

196. Hartzman M., Hutchinson J R. Nonlinear Dynamics of Solids by Finite Element Method.//., of Sound and Vibr., 1975,№3. pp387-397.

197. Holsgrovc S., Irving D., Lyonn P. The LUSAS finite element system /7 FEMCAD'88 Proc.4th SAS-World Conf., Paris, 17 19 oct. 1988. Vol,/Ninner. Anal. And Coniput. Aided Des. Gournay-sur-Marae, 1988.-c.127 132.

198. Ilii Peimin. Analysis of high frequency vibration by transfer matrix method 7/ Zhendong vu chongji = Vibr. and Shoch. 1996. 15, № - c. 50-52.

199. Hunter S.C. The Solution of Boundary Value Problems in Linear Viscoelasticity. / Proc. 4th Symp. Nav. Structural Mech. Oxford, 1965.

200. Hunter S.C., The Solution of Boundary Value Problems in Linear Viscoelasticity// Proc. 4th Symp. Nav. Struct. Mech., 257. Oxford: Pergamon Press, 1967.

201. Hutchinson J R., El-Azhari S.A. Vibrations of Free Hollow Circular Cylinders. /7 Trans. ASME: J. Appl. Mech. (ser.E), 1986, v.53, №3. pp.640-646.

202. In man D.J. Vibration suppression via eigenstructure assignment and inverse methods // Active Contr. Vibr.: Symp. Int. Union Theor. and Appl. Mech., Bath, 5-8 Sept., 1994. London, 1994. - c. 25-32.

203. Jonson A.R., Tessler A., Dambacli M. Dynamic of thick viscoelastic beams// Trans. ASME. J. Eng. Mater, and. Techno!. 1997. - 119, № 3. - C. 273-278.

204. Keer L., Lazan BJ. (1961). Damping and Fatique Properties of Sandwich Configurations in Flexure // Aeronaut. Syst. Div.,ASD TR-61-646, AD-272016.

205. Kolsky H„ The Propagation of Stress Pulses in Viccoelastic Solids // Phil. Mag. 1956. - Ser. 8. - P. 693.

206. Kondou Takahiro, Ayablc Takashi, Sueoka Atsuo. Transfer stiffness coef-illienl method combined with concept of substructure synthesis method. /7 JSME Int. J.C. 1997. -40, №2 - c. 187-196.

207. Kulkarni Makarand, Noor Alimed K. Sensitivity analysys of the non-linear dynamic viscoelastic responseof 2D-striictures with respect to material parameters 7 Int. I. Numer. Meth. Eng. 1995. - 38, №2. - C 183-198.

208. Kulkarni S.M., Ng S.F. Errors involved in using approximate mode shapes for the analysis of secondary system. // J. Sound and Vibr. 1994. - 1.73, №3. -c.422-425.

209. Larsson P.O. Dynamic Analysis of Assembled Structures using Frequency-Responce Functions: improved Formulations of Constrains. Int. J. Anal, and Exp. Modal Anal., 1990.v.5,№l. pp. 1-12.

210. Lifshitz J.M., Kolsky II„ The Propagation of Spherically Divergent Stress Pulses in Linear Viscoelastic Solids // J.Mech. Plivs. Solids. 1965. -№ 13. -P. 261.

211. Liu W.H., Chang T.B. Vibration of Non-Uniform. Skewed Cantilewer Plates by the Method of Finite Element Transfer Matrix.//!. Sound and Vibr., 1990, v. 136. №1. pp. 157-163.

212. Lockett F.J. Interpretation of Matematical Solutions in Viscoelastic Theory Illustrated by the Dynamic Spherical Cavity Problem. / J. Mec-li. Phys. Solids, v.9, 1967.-p.215.

213. Lockett F.J. The Reflection and Refraction of Vaves at an Interface betveen Viscoelastic matherials.// J. Mech. Phys. Solids, v. 10, 1962. p.53.

214. Lu Xiaii, Qian Lingku, Lin Jiaiiad, Zhong Wanxu. Multi-level substructure system with dynamic super-element and scheme of partial tree traveling // J/ Dalian Univ. Technol.- 1990.-30. -c. 23-30.

215. Lutes Loren D., Singhal A. Existence of uncoupled Modes in Subsystem analysis. /7 J. Eng. Mech. 1990, v. 1.16, №4. pp:96.6-972.

216. Miiller G, Schuelle H. Berechnungen liach der Finit Element Metode mila\icvc // inofi „ io in

217. JLi 1 k/ A U i ) AJ.JLX*-' tt-XJ.AV« A > • ^.f %S , , \J A~r ,

218. Mazza L.T., Paxson E.B. Rodgers R.L. Measurement of Damping Coefficients and Dynamic Modulus of Fiber Composites // U.S. Army Aviat. Mater. Lab., USAAV LABS-TN-2, AD-869025. 1971.

219. Mead D.W. Numerical intercomversion of linear viscoelastic material functions// J. Rheol. 1994. - 38, №6. - C. 1769-1795.

220. Nagv L.I. Static Analysis Via Substructuring of an Experimental Vehicle Front End Body Structure: Intern. Conf. On Vehicle Structural Mechanics: Finite Element Application to Vehicle Design - Detroit, Michigan, 1974 (March).

221. NASTRAN computer program for structural analysis. SAE Preprints, 1962. № 12.

222. Pottinger M.G. Material Damping of Glass Fiber Epoxy and Boron Fider -Aluminum Composites H Aerosp. Res. Lab., Rep. ARL 70-0237, AD-721191. -1970.

223. Priiss J. Stability of linear hyperbolic viscoelasticity// Bonn. math. Schr. -1993.-№239.-C. 43-52.

224. Qiu Ji-Bao, Ying Zu-Giiang, Yam L.H. Newmodal synthesis technique using mixed modes /7 AIAA Journal. 1997. -35, №12,, -c, 1869-1875.

225. Read W.T. Stress Analysis for Compressible Viscoelastic Matherials. //J.Appl. Phys., v.21, 1950.-p.671.

226. Richrdson J.A. Douglas B. H. An improved frequency domain equation for identifying modal parameters /7 Modal Anal. - 1994. - *4- c, 227-238.

227. Shen Yapeng, Li Lu-xian, Wang Xiao-ming. Numerical method for viscoelas-ticquasistatic and dynamic problems/7 Lixue jinzhan. = Adv. Mach. 1994. - 24, №2. - C. 265-272.

228. Tavacoli M.S.,Singh R. Modal Analysis for a Germetic Casi/7J. Sound and Vibr., 1990, v.136,№1. -pp.151-145.

229. Okamoto Ryou. Dynamical characteristics of the sandwich panels consist of metal plates and viscoelastic material.// Cluibu daigaku kogakubu kivo = Mem. Coll. Eng. Chubu Univ. - 1996. - 32, - C. 95-101.

230. Wapner Ph.J., Forsman W.C. Fourier Transformation Method in Linear Viscoelastic Analysis The Vibrating Viscoelastic Reed. /7 Trans. Soc. Reel, v. 15, 1971.-p.4.

231. Yasui Yoshitsugu, Yasaka Tetsuo. Improvement component mode synthesis by using orthogonalized attached modes /7 Никон кикай гаккай ромдинсю. C=Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. С ,-1989.-55, №51 L-c.517-523.