Гурвицевость и (2,3)-порожденность матричных групп малых рангов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Всемирнов, Максим Александрович

• Всемирнов, Максим Александрович
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Всемирнов, Максим Александрович

Общая характеристика работы.

1 Введение.

1.1 Основные определения и обозначения.

1.2 Исторический обзор.

1.3 Формула Скотта и линейная жесткость.

2 (2,3)-порождение групп и СЬб(й).

2.1 Формулировка результата и исключение лишних наборов.

2.2 Первый набор образующих.

2.3 Второй набор образующих.

2.4 Третий набор образующих.

3 (2,3)-порождение группы 8Ьб(2).

3.1 Допустимые образующие.

3.2 (2,3)-порождение группы 8Ь6(2<).

4 (2,3)-порождение групп БЬпС^) и ОЬп(^): общий случай.

4.1 Основной результат и схема доказательства.

4.2 Группа ОЬе{Ъ).

4.3 Группы СЬ7(Х), ЗЬ7(Й).

5 (2,3, /^-порожденные унитарные группы.

5.1 Группы Т(2, 3, к) и унитарные группы.

5.2 Случай к = 7, 9, 11.

5.3 Случай к > 7, к ф 9, 11.

6 (2,3,7)-порожденные подгруппы РСЬу(Е).

6.1 Инварианты подобия (2,3, 7)-троек в РСЬт(Ж).

6.2 Гурвицевы подгруппы в РСЬ^Е), удовлетворяющие условию жесткости.

6.3 Параметризация неприводимых (2,3, 7)-троек, не удовлетворяющих условию жесткости.

6.4 Группы С^Ср) как факторгруппы (2, 3,7; 2р).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гурвицевость и (2,3)-порожденность матричных групп малых рангов»

Актуальность темы. Диссертационная работа относится к исследованиям по теории (2,3)-порожденных и гурвицевых групп. Эта область теории групп зародилась еще в XIX веке в работах Ф. Клейна [56], Р. Фрике [41], [42], А. Гурвица [48] и сохранила свою актуальность до настоящего времени.

Интерес к (2,3)-порожденным группам объясняется их связью с факторгруппами модулярной группы РЗЬг^). А именно, согласно классическому результату Ф. Клейна и Р. Фрике [42], эпиморфные образы модулярной группы, за исключением трех циклических Ъ\, 1<2, ~ это в точности (2,3)-порожденные группы.

Гурвицевы (или конечные (2, 3, 7)-иорожденные) группы образуют весьма важный подкласс (2, 3)-порожденных групп. В 1893 г. А. Гурвиц доказал [48], что для группы автоморфизмов компактной римановой поверхности 71 рода д > 2 справедливо неравенство \АиЬ(Л)\ < 84(д — 1) и что гувицевы группы — это в точности те группы автоморфизмов, для которых достигается равенство.

Таким образом, исследования алгебраических свойств гурвицевых и (2, 3)-порожденных групп могут иметь интересные приложения не только в самой теории групп, но и в различных областях, так или иначе связанных с модулярной группой: в теории чисел, анализе, теории римановых поверхностей.

В ряду групп РБЬиС^) модулярная группа РЭЬгО^) занимает особое положение. Если структура нормальных подгрупп РЗЬ-п^) при п > 3 довольно хорошо изучена и для подгрупп конечного индекса описывается теоремой Басса-Милнора-Серра [16], то аналогичный вопрос для Р8Ьг(2) оказывается чрезвычайно сложным. Причина заключается в том, что в РЗЬ2(Ж) имеются подгруппы, не являющиеся копгруэнц-подгруппами. В некотором смысле нормальных подгрупп «слишком много», и поэтому надеяться на полную классификацию их и соответствующих факторгрупп практически безнадежно. В связи с этим обычно исследуют ограниченную задачу о том, какие группы из важных классов (например, классических матричных групп, конечных простых групп и т.п.) являются (2,3)-порожденпыми.

Задача о (2,3)-порождении знакопеременных групп изучалась еще Дж. Миллером [74] в 1901 году. Случай классических матричных групп над различными коммутативными кольцами (включая конечные поля, евклидовы и полулокальные кольца) рассматривался в работах М. К. Тамбурини [86], Л. Ди Мартино и М. К. Тамбурини [33], М. К. Тамбурини, Дж. Уилсона и Н. Гавиоли [92], [94], П. Санкини и М. К. Тамбурини[78], М. К. Тамбурини и С. Вассалло [88], Л. Ди Мартино и Н. А. Вавилова [36], [37].

Л. Ди Мартино и Н. А. Вавилов [36] выдвинули гипотезу о том, что для произвольного конечнопорожденного коммутативного кольца Я всякая элементарная группа Шевалле над Я достаточно большого ранга является (2,3)-порожденной. Можно уточнить эту гипотезу и ставить вопрос о нахождении наименьшего допустимого значения ранга.

Конструктивный подход, развитый в работах Л. Ди Мартино и Н. А. Вавилова [36], [37], М. К. Тамбурини, Дж. Уилсона и Н. Гавиоли [92], [94] подтвердил справедливость гипотезы Ди Мартино—Вавилова для конечных классических матричных групп. Частный случай матричных групп малых рангов также рассматривался в работах М. К. Тамбурини и С. Вассалло [89], К. Ча-керяна [98], П. Манолова, К. Чакеряна [73], М. Каццолы, Л. Ди Мартино [20].

М. Либек и А. Шалев [59], [60] предложили принципиально иной вероятностный подход, основанный на детальном изучении максимальных подгрупп конечных простых групп.

Аналогичные вероятностные методы применимы и к исключительным конечным простым группам типа Ли. Для исключительных серий (кроме групп Сузуки, которые даже не содержат элемента порядка 3) проблема была положительно решена (также неконструктивно) в работах Г. Малле [71], [72] и Ф. Любека и Г. Малле [66].

К сожалению, вероятностные методы приводят к чистым теоремам существования и не дают никакой информации о самих образующих. Кроме того, эти методы существенно использует информацию о структуре максимальных подгрупп конечных классических простых групп и не могут быть непосредственно перенесены на группы Шевалле над другими кольцами. Поэтому предпочтительнее конструктивные результаты, в которых удается явно построить образующие.

Следует отметить, что в проблемах такого рода (в частности, для задачи конструктивного (2,3)-порождения) случай групп малых рангов оказывается существенно более сложным по сравнению с группами больших рангов. Это объясняется тем, что во втором случае имеется большая свобода в выборе образующих. Для групп малых рангов сложность заключается не только в доказательстве того, что те или иные элементы порождают рассматриваемые группы, но и в поиске самих образующих. Эти случаи зачастую требуют привлечения индивидуальных методов. Поэтому уже даже для классических матричных групп над кольцом целых чисел вопрос об их (2,3)-порождении был решен не до конца. В случае линейных групп над Ъ наилучший из известных результатов содержался в серии работ М. К. Тамбурини и ее соавторов [78], [87], [88]. В частности, известно, что группы при п > 13 и СЬп(й) при п = 13 или 71 > 15 являются (2, 3)-порождеиными.

С другой стороны, хорошо известно, что при п — 2,4 группы 8Ь?г(2) и СЬп(^) не (2,3)-порождены. М. Кондер поставил в ^ Коуровской тетради» [10] вопрос о том, будут ли (2,3)-порожденными группы 8Ьз(й) и СЬз(2). Отрицательный ответ дали независимо Я. II. Нужин [11] и М. К. Тамбурини и Р. Цукка [96]. В случае п — 5 А. Ю. Лузгарев и И. М. Певзнер [9] свели проблему к анализу конечного числа случаев, однако окончательный ответ получить так и не удалось.

Таким образом, до настоящего времени оставался открытым вопрос о (2,3)-порождении групп ЭЬп(Щ при п = 5,., 12 и ОЬп(^) при п = 5,., 12, 14.

В задаче о гурвицевом (или (2,3,7)-) порождении групп открытых вопросов еще больше. Первый пример гурвицевой группы и соответствующая риманова поверхность были известны еще Ф. Клейну. Он показал [56], что группа Р8Ь2(7) порядка 168 является группой автоморфизмов так называемой квартики Клейна, заданной уравнением х3у + у3г + г^х = 0. Р. Фрике [41] исследовал группу Р8Ьг(8) порядка 504. Этот же пример и риманова поверхность рода 7 также рассматривались А. М. Макбетом [68].

Однако на протяжении длительного времени примеры гурвицевых групп носили единичный характер. Первую бесконечную серию РЭЬг^) для подходящих ц описал А. М. Макбет [67] в 1969 году.

Дж. Коэн [21] показал, что Р8Ьз(Ш,р) не содержит новых гурвицевых подгрупп. Эти результаты многими рассматривались как свидетельство в пользу предположения (как потом выяснилось, ошибочного) о том, что гурвицевы группы встречаются весьма редко.

Настоящий прорыв произошел после работ М. Кондера [22] и, в особенности, А. Луккини, М. К. Тамбурини и Дж. Уилсона [64], [65]. Используя диаграммный метод Хигмана, М. Кондер [22] доказал, что знакопеременные группы Ап при п > 167 являются гурвицевыми. Доказательство Кондера конструктивно, то есть гурвицевы образующие указываются явно. Лишь в конце 90-х годов XX века А. Луккини, М. К. Тамбурини и Дж. Уилсон [64], [65] сумели обобщить диаграммный метод Хигмана-Кондера на случай линейных групп. Разработанная ими техника позволила доказать гурвицевость многих серий конечных классических групп больших рангов.

В случае групп БЬтт^д) наилучший на данный момент результат принадлежит М.А.Всемирнову [101]: для всех п > 252 группы ЗЬп(<?) гурвицевы.

Отметим, что упомянутые результаты также конструктивны, то есть соответствующие гурвицевы образующие описываются явным образом. Как и в случае (2,3)-порождения, случай малых рангов требует изобретения новых методов. Альтернативный неконструктивный подход, основанный на подсчете числа решений некоторых уравнений в группах и в их максимальных подгруппах, предложил Г. Малле [71], [72]. Наиболее эффективным этот метод оказывается для исключительных серий групп типа Ли. Случай групп Ри 2С2(32т+1) также исследовался в работах Г. Джонса [51] и Ч.-Х. Са [77], К. Чакеряна [97]. Также известен полный список гурвицевых спорадических простых групп. Эти результаты содержатся в работах Ч.-Х. Са, Л. Финкель-штейна, А. Рудвалиса, М. Ворбойза, А. Волдара, С. Линтона, Р. Уилсона, М. Кондера, П. Клейдмана и Р. Паркера.

В ряде работ устанавливается, что группы из некоторых бесконечных семейств не являются гурвицевыми. Исследования в этом направлении вели Л. Ди Мартино, М. К. Тамбурини, А. Е. Залесский и Р. Винсент [35], [100].

Одним из интересных подклассов (2,3,7)-порожденных групп являются абстрактные группы (2,3,7; те) = (Х,У : X2 = У3 = (XV)7 = [Х,У]п) и их факторгруппы. Впервые они рассматривались в работах Г. С. М. Коксетера. В этом случае появляется дополнительное ограничение на порядок коммутатора двух образующих, и о таких группах известно крайне мало. Частные случаи п < 9 рассматривались еще в работах Дж. Лича [57], [58] и Ч. Сим-са [79]. Д. Нольт, В. Плескен и Б. Сувинье [45], [46], а также независимо Дж. Хови и Р. Томас [47] и М. Иджвет [38] установили, что группа (2,3,7;тг) бесконечна в том и только в том случае, когда п > 9. Особенно интересной является работа Д. Нольта, В. Плескена и Б. Сувинье [46], в которой строится семимерное комплексное представление группы (2,3,7; 11). М. Кондер показал [27], что для достаточно больших п знакопеременные группы Ап являются эпиморфными образами группы (2,3, 7; 84). Однако аналогичные вопросы о том, какие линейные группы являются факторгруппами (2,3,7;п), оказываются довольно сложными, и явные примеры носят единичный характер.

Другие аспекты гурвицевых групп рассматривались в работах М. Кондера [24], [25], [26], [28], Л. Ди Мартино и М.К. Тамбурини [34], Н. С. Семенова [12], [13].

В заключение разумно выделить наиболее актуальные и приоритетные направления в указанных задачах. К ним относятся проблемы явного построения (2,3)- и гурвицевых образующих различных групп, в частности, групп Шевалле над конечнопорожденными кольцами. Особый интерес представляет случай групп Шевалле малых рангов, для которых общие методы неприменимы.

Цель работы. Основной целью работы является конструктивное исследование вопроса о возможности порождения матричных групп наборами образующих, удовлетворяющих дополнительным соотношениям. К задачам такого типа, в частности, относятся: давно стоящая проблема о порождении линейных групп над кольцом целых чисел парой элементов порядков два и три и проблема о гурвицевом порождении групп типа Ли. В рамках общей задачи требуется разработать технику, применимую к наиболее сложному для анализа случаю групп малых рангов.

Методы исследований. В работе используются методы теории групп, включая метод исследования максимальных подгрупп конечных групп типа Ли. Также используются методы линейной алгебры и теории представлений, в частности, методы, основанные на применении формулы Л. Л. Скотта для описания инвариантов допустимых образующих.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Разработанные в ней методы и полученные результаты могут быть применены для дальнейшего изучения структурных свойств матричных групп над различными классами конечнопорожденных колец и для изучения образующих таких групп. Материалы диссертации могут составить содержание специальных курсов, для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности математика.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты:

• Классифицированы с точностью до сопряженности пары (2,3)-образую-щих групп БЬ^Й) и ОЬб^) (теорема 2.1 из параграфа 2.1).

• Доказана (2,3)-порождеиность группы ЗЬб(^) и показано, что имеется лишь конечное число несопряженных пар (2,3)-образующих (теорема 3.1 из параграфа 3.1 и теорема 3.2 из параграфа 3.2 ).

• Доказано, что группа ЯЬо(^) является (3,3,12)-порожденной (теорема 3.3 из параграфа 3.2).

• Доказана (2,3)-порожденпость групп БЬ^Й) и для малых значений п > 5. Тем самым получен полный ответ на вопрос, когда группы и ОЪп(%>) являются (2, 3)-порожденными (теорема 4.1 из параграфа 4.1).

• Доказана (2,3, к) -порожденность унитарных групп РЭ^(Я, В) для некоторых колец алгебраических чисел Я и для к = 7, 11, 13 и показано, что данный результат нельзя распространить на большие значения к (теоремы 5.1 и 5.2 из параграфа 5.1).

• Классифицированы все допустимые инварианты подобия неприводимых проективных (2, 3,7)-троек в РСЬ7(Р) над полем Е (теорема 6.1 из параграфа 6.1).

• Классифицированы с точностью до сопряженности все подгруппы в РСЬу(Е), порожденные неприводимыми (2,3, 7)-тройками, удовлетворяющими условию жесткости (теоремы 6.2 и 6.5 из параграфа 6.2). Как следствие, найдены новые серии гурвицевых групп РБЬ^д) и РБи7(д2) для подходящих с[ (теорема 6.5 из параграфа 6.2).

• Получено достаточное условие, гарантирующее, что тройка образующих, удовлетворяющая условию жесткости, содержится в унитарной группе (лемма 6.2 из параграфа 6.2).

• Найдена параметризация всех неприводимых (2,3, 7)-троек в РСЬт(Р), не удовлетворяющих условию жесткости (теорема 6.6 из параграфа 6.3).

• Впервые построены явные гурвицевы образующие для групп С?2(р) Для простых р > 5. Доказано, что для таких р группа £?2(р) является эпи-морфным образом группы (2,3,7; 2р) = (Х,У : X2 = У3 = (XV)7 = [X, У]2р — 1) (теорема 6.7 из параграфа 6.4).

Личный вклад соискателя. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно. Из совместных работ в диссертацию включены только результаты, полученные лично автором.

В совместной работе [106] автору принадлежит доказательство совпадения групп Р8и(2,ад,£) и Т(2,3, к) при к = 7, 9, 11 ([106, теорема 1.2]) и доказательство того, что при четных к > 8 и нечетных к > 13 группа Т(2,3, к) будет собственной подгруппой в РБи(2, Ще], В) ([106, теорема 1.5]).

В совместной работе [90] автору принадлежит результат о каноническом выборе линейных прообразов проективной (2,3,7)-тройки (лемма 2), а также анализ (2,3,7)-троек и подгрупп в РЭН^^) (раздел 3.3 и лемма 7 и теорема 8 в разделе 6).

В совместной работе [91] автору принадлежит результат о параметризации (2,3,7)-троек (теорема 1 и леммы 1-9).

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Д. К. Фаддеева (Санкт-Петербург, 24-29 сентября 2007 г.); на международной конференции «Группы и топологические группы» (Милан, Италия, 10-11 июня 2005 г.); на франко-китайском симпозиуме по теории представлений (Гуанчжоу, Китай, 3-10 ноября 2006 г.); на общеинститутском математическом семинаре ПОМИ РАН под руководством проф., д.ф.-м.н. А. М. Вершика; на Санкт-Петербургском алгебраическом семинаре им. Д. К. Фаддеева под руководством проф., д.ф.-м.н. А. В. Яковлева, на Московско-Петербургском семинаре по маломерной математике под руководством к.ф.-м.н. С.В.Дужина, на алгебраическом семинаре университета г. Милана (Италия) под руководством проф. Л. Ди Мартино; на математическом семинаре Католического университета г. Брешии (Италия) под руководством проф. М. К. Тамбурини; на алгебраическом семинаре университета г. Кембриджа (Великобритания) под руководством проф. Я. Саксла.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 11 работ: [2], [3], [4], [90], [91], [101], [102], [103], [104], [105], [106], в том числе 8 работ в изданиях, входящих в список ВАК (издания [2], [3] входили в список ВАК на момент публикации; издания [4], [90], [91], [102], [103], [106] входят в текущий список ВАК).

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 230 страницах и состоит из общей характеристики работы, 6 глав, разбитых на 19 параграфов, 1 приложения и списка использованной литературы. Библиография включает 111 наименований.