(2,3)-порождение гиперболических симплектических групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Васильев, Вадим Львович

• Васильев, Вадим Львович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Васильев, Вадим Львович

Оглавление

Общая характеристика работы

1. Введение

1.1. Основные обозначения и определения

1.2. Вспомогательные факты

2. Группы Е8р2п(Я) большого ранга

2.1. Формулировка основных результатов

2.2. Построение образующих

2.3. Вспомогательные леммы

2.4. Доказательство теоремы 2.1

2.5. Доказательство теоремы 2.3

3. Группы 8р2п(2) малого ранга

3.1. Группа Зр8(й)

3.2. Группа 8р10(Ж)

Список литературы

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одна из важных областей исследований в теории групп посвящена вопросам нахождения минимального количества элементов, порождающих группу, а также определения порядков данных элементов. Особое место в этой области отводится работам по теории (2,3)-порожденных групп, то есть групп, порождаемых инволюцией и элементом порядка 3. Именно к подобным исследованиям относится данная диссертационная работа. Важность темы (2,3)-порождения групп связана с тем, что, согласно результату Ф.Клейна и Р.Фрике [18], эпиморфные образы модулярной группы Р8Ь2(2), за исключением трех циклических групп Ъ\, 2з, — это в точности (2,3)-порожденные группы.

С начала XX века совместными усилиями многих авторов удалось положительно решить вопрос о (2,3)-порождении для большого количества представителей таких важных классов групп, как конечные простые группы и классические матричные группы над конечнопорожденными коммутативными кольцами.

Наиболее «простым» для исследования оказался случай одного из классов конечных простых групп — знакопеременных групп Ап. Еще в 1901 г. Дж. Миллер в [29] доказал, что данные группы, за исключением А2, Аз, Аб, А7, Ав, могут быть порождены инволюцией и элементом порядка 3. Для прочих простых групп, чей порядок меньше миллиона, благодаря работе Г. Брахана [12], вышедшей в свет в 1930 г., удалось лишь показать возможность порождения двумя элементами.

В последующие 30 лет были опубликованы работы, описывающие структуру ряда представителей другого важного класса конечных простых групп — классических матричных групп над конечными полями, а также классических матричных групп над конечнопорожденными коммутативными кольцами. Так, в 1949 г. Хуа Ло-кен и И. Рейнер [21] доказали, что группы Р3р2п(^) могут быть порождены 4 элементами при п > 2 и 2 элементами при п = 1. Для случая проективных симплектических групп над конечным полем Р3р2п(р), где р — простое число, в 1958 г. в работе Т. Рума и Р. Смита [33] было показано, что они могут быть порождены 2 элементами. А в 1959-1963 гг. этот результат был улучшен в работах Т. Рума [32], П. Станека [35] и [36]: было доказано, что Р3р2п(д) могут быть порождены двумя элементами, один из которых — инволюция, в случае, когда п > 3 или когда п = 2, д = 2.

В это же время успешно изучалась структура специальных линейных групп: в 1959 г. А. Альберт и Дж. Томпсон [10] доказали, что группы Р8Ьп(д) могут быть порождены 2 элементами, один из которых является инволюцией. Отметим, что в статье случай групп малого ранга разбирается отдельно для каждого значения 2 < п < 4, а для случая п > 5 приводится общее доказательство. В дальнейшем, для некоторых групп РБЬп(д) малого ранга был положительно разрешен вопрос о (2,3)-порождении: см. работы А. Макбета [28] — для случая п = 2 и д ^ 9; Д. Гарбе [19] и Дж. Коэна [14] — для случая п ~ 3 и д ^ 4.

В работах, упомянутых выше, порождающие группу элементы были построены в явном виде. Дж. Диксон в 1969 г. в [17] предложил «вероятностный» подход к выбору образующих, выдвинув гипотезу:

Гипотеза 1. Вероятность того, что два произвольным образом выбранных элемента конечной простой группы С порождают ее, стремится к 1 при |<3| -> оо.

Более того, Дж. Диксон представил асимптотическую оценку для случая знакопеременных групп Ап, подтверждающую гипотезу.

В 1990-1995 гг. справедливость гипотезы была доказана в работах У. Кантора и А.Любоцкого [23], М.Либека и А. Шалева [24]. Впоследствии М.Либек и А. Шалев смогли усилить утверждение гипотезы 1, показав в [26], что она остается верной при предположении, что один из элементов будет инволюцией. Затем в работе [25] была доказана теорема:

Теорема 1. Пусть (7 пробегает бесконечное семейство групп, состоящее из конечных простых классических или знакопеременных групп, за исключением Р8р4((/). Тогда вероятность того, что С порождается выбранными произвольным образом инволюцией и элементом порядка 3, стремится к 1 при |С| ->оо.

Если = Р8р4(ра); где р > 3 — простое число, то вышеуказанная вероятность стремится к 1/2 при |С?| —»• оо.

Работа Дж. Диксона [17], а также последующие исследования, доказывающие справедливость гипотезы 1 и теоремы 1, упомянутые ранее, не дают представления о явном виде образующих групп. Однако за последние 30 лет были опубликовано большое количество работ, доказывающих (2,3)-порождение отдельных серий классических матричных групп над конечнопорожденными коммутативными кольцами (в частности, над конечными полями).

Наиболее хорошо изучены на данный момент полные линейные группы и специальные линейные группы. Еще в конце 1980-х годов М. К. Тамбурини в соавторстве с Дж. Уилсоном в [40] показала, что группа Р8Ьп(д) может быть порождена двумя элементами малого порядка при достаточно большом значении п, зависящего от произведения порядков этих элементов. Кроме того, М. К. Тамбурини в [37] представила конструктивное доказательство (2,3)-порож-денности групп 8Ья(д) при п > 25. Использовавшийся в работе метод выбора в качестве образующих единообразных, «почти перестановочных» матриц оказался крайне удачным, и активно использовался М. К. Тамбурини в последующих работах для доказательства (2,3)-порождения разнообразных предста-

вителей классических матричных групп (см., например, [41]). В 1994-1996 гг. Л.Ди Мартино и Н.А.Вавилов в работах [15, 16] улучшили результат М. К. Тамбурини, доказав (2,3)-порожденность групп SLn(g), где q — нечетное число и q ^ 9, при п > 5. Отметим, что улучшение оценки на п снизу привело к значительному усложнению доказательства, которое, в том числе, потребовало отдельного рассмотрения случаев малых рангов при каждом значении п < 12.

Положительное разрешение вопроса о (2,3)-порождении почти всех SLn(q) за исключением конечного числа серий групп дало достаточно оснований полагать, что группы SLn(Z) также должны быть (2,3)-порождены. Эта задача для случая больших размерностей была успешно разрешена М. К. Тамбурини и соавторами в [34], [38], [39]: SLn(Z) будет (2,3)-порождена при п > 13, а GLn(Z) — при п = 13 и п > 15. В случае малых размерностей хорошо известно, что эти группы не будут (2,3)-порождены при п = 2,4. В «Коуровской тетради» [7] М.Кондер поставил вопрос о (2,3)-порождении групп SL^Z) и GL3(Z). Отрицательный ответ независимо друг от друга был получен Я.Н.Нужиным в работе [8] и М. К. Тамбурини с Р. Цукка в [43]. В 2003 г. А. Ю. Лузгарев и И. М. Певзнер в [6] представили редукционную теорему для группы GLs(Z), сведя задачу поиска образующих к рассмотрению всего десяти вариантов возможных пар матриц, а в 2006 г. аналогичный результат для SLe(Z) был доказан М. А. Всемирновым в [4]. Позднее М. А. Всемирнов показал в [5], [48], [49] что группы GLn(Z) и SLn(Z), где п = 5,..., 12, а также GLi4(Z) являются (2,3)-порожденными группами.

Структура гиперболических симплектических групп Sp2n(Z) была менее изучена. Так, в 1980 г. П. Бендер в статье [11] показал, что Sp4(Z) является (2,12)-порожденной группой, а в 1996 г. X. Ишибаши в [22] доказал, что Sp2n(Z), где п > 3, является (2, га)-порожденной, где т = 12(п — 1) при четном п и т = 6(п — 1) при нечетном п.

При этом для многих симплектических групп над конечными полями известно, что они являются (2,3)-порожденными группами. М. Каццола и

Л.Ди Мартино в 1993 г. в [13] показали, что группы РБр4(рп), где р ^ 2,3, будут (2,3)-порождены. В 1994 г. М. К. Тамбурини, Дж. Уилсон и Н. Гавиоли доказали в [42] (2,3)-порожденность групп Р8р2п(д), где д — нечетное число, при п > 37. Данный результат был получен как следствие более общей теоремы для элементарных гиперболических симплектических групп достаточно большого ранга над конечнопорожденными коммутативными кольцами, содержащими обратимую двойку. В работе П. Санкини и М. К. Тамбурини [34] представлена улучшенная оценка на п снизу: группы 8р2п(д), где д — нечетно, будут (2,3)-порождены при п > 25.

Вместе с тем, про ряд гиперболических симплектических групп 8р2п(2) при малом значении п хорошо известно, что они не являются (2,3)-порожденными: при п = 1 — в силу того, что 8р2(й) = 8Ь2(й), при п = 2 — в силу того, что Р8р4(2) и Р8р4(3) не являются (2,3)-порожденными группами ([25]). Отметим, что Р8р4(3") может быть порождена двумя элементами, один из которых инволюция, что доказано М. Пеллегрини, М. К. Тамбурини и М. А. Всемирновым в 2012 г. в работе [31]. Также М. А. Всемирнов в совместной с соискателем статье [45] доказал, что группа 8рб(й) не является (2,3)-порожденной. Более того, в этой статье была выдвинута гипотеза:

Гипотеза 2. Гиперболические симплектические группы 8р2я(2) являются (2,3)-порожденными в точности при п > 4.

В диссертационной работе автор, в частности, доказывает справедливость гипотезы 2 для случаев п = 4, 5 и п > 25.

Цель работы. Основной целью кандидатской работы является исследование вопроса о (2,3)-порождении гиперболических симплектических групп над конечнопорожденными коммутативными кольцами, в том числе, над кольцом целых чисел и над кольцами с дополнительными условиями (аддитивное порождение определенным множеством).

Методы исследований. В работе используются методы линейной

алгебры, методы теории групп, в частности, методы, основанные на применении теоремы Жордана о транзитивных группах перестановок, а также вычислительные методы (применение систем компьютерной алгебры).

Теоретическая и практическая ценность. Кандидатская диссертация носит теоретический характер. Результаты работы могут найти дальнейшее применение в исследованиях структуры матричных групп над конечнопорож-денными коммутативными кольцами, в частности при изучении гиперболических симплектических групп.

Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты:

1. Доказано, что, если Я — коммутативное кольцо, аддитивно порождаемое множеством {з2к,2з2к~1 \ к € Щ для некоторого в £ Я*, то при п > 25 элементарные гиперболические симплектические группы Е8р2п(Л) являются (2,3)-порожденными. В частности, доказана (2,3)-порожденность гиперболических симплектических групп 8р2п(й) при п > 25.

2. Доказана (2,3)-порожденность групп ЕБр2п(Д), где Я — коммутативное кольцо, порождаемое элементами 1, при п > 13 + 12 • 21. В частности, доказана (2,3)-порожденность групп Е8р2п^[Х1,..., X/]), где I > 1, при п > 13 + 12 • 21.

3. Как следствие из результатов пунктов 1 и 2, доказана (2, 3)-порожденность групп Е8р27г^[а:]), где а — алгебраическое число, при п > 37. Более того, доказано, что группы 8р2п(2[а;]) будут (2,3)-порождены при п > 25.

4. Доказана (2,3)-порожденность групп Зр8(й) и 8р10(2).

Все полученные результаты являются конструктивными, то есть матрицы порядка 2 и 3 соответственно, порождающие рассматриваемые группы, представляются в явном виде.

Апробация работы. Результаты кандидатской работы докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях: на Санкт-Петербургском городском семинаре по дискретной математике, на Санкт-Петербургском городском семинаре по алгебраическим группам, на Санкт-Петербургском городском алгебраическом семинаре им. Д. К. Фаддеева, на международной конференции «Методы логики в математике V» (1 июня — 7 июня 2008 г., г. Санкт-Петербург), на молодежной школе-конференции «Современные проблемы алгебры и математической логики» (22 сентября — 3 октября 2011 г., г. Казань). Кроме того, работа над темой диссертации была поддержана грантом РФФИ 09-01-00784-а и грантом Правительства Санкт-Петербурга по итогам конкурса грантов для студентов, аспирантов, молодых ученых, молодых кандидатов наук 2011 г. (диплом победителя серия ПСП № 11077).

Публикации. По теме кандидатской диссертации автором опубликовано 7 работ: [3], [45], [46], [47], [1], [2], [44]. В том числе, 3 работы ([45], [46], [47]) опубликованы в международных журналах, индексируемых Web of Science, и одна работа ([3]) опубликована в отечественном журнале, включенном в список ВАК. Все результаты, включенные в диссертационную работу, принадлежат лично соискателю.

Работа [45] написана в соавторстве, соискателю принадлежит теорема 2 (о (2,3)-порожденности группы Sp8(Z)) и следствие 4 (о (2,3,30; 10)-порожденности группы Sp8(Z)). Соавтору принадлежит доказательство теоремы 1, а также идея поиска подходящих образующих, описанная в разделе 3.

В [44] представлены тезисы выступления на международной конференции, на котором был анонсирован результат для Sp8(Z). Подробное доказательство данного результата позднее было опубликовано в [45] (вклад соискателя и соавтора приведен выше).

Работа [46] написана в соавторстве, соискателю принадлежат теорема 2.1 (о (2,3)-порожденности группы Sp10(Z)) и леммы 3.1-3.6. Соавтору принадлежит общее руководство работой, идея поиска образующих, описанная в замечании 2.2,

идея поиска матриц д^, описанная в начале доказательства леммы 3.2, а также идея о переходе от верхних блочно-треугольных матриц к нижним блочно-треугольным матрицам, описанная в начале доказательства леммы 3.6.

Работа [47] написана в соавторстве, где соавтору принадлежит общая конструкция матриц х, у, представленная в разделе 2 статьи [47], а также общая схема доказательства. Соискателю принадлежат подробные детали доказательств.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 102 страницах и состоит из общей характеристики работы, 3 глав, разделенных на 9 параграфов, и списка литературы. Библиография состоит из 50 наименований.

Глава 1.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «(2,3)-порождение гиперболических симплектических групп»

Введение

1.1. Основные обозначения и определения.

В начале раздела введем основные обозначения, которые будут использоваться в диссертационной работе:

Д[Х1,..., X;] — кольцо многочленов от I переменных над коммутативным кольцом В, (при 1 = 0 — коммутативное кольцо Л); Я* — группа обратимых элементов кольца Я;

СЬп(Я) — группа обратимых матриц размера п х п над кольцом Я; 1п — единичная матрица размера п х п; п — кососимметрическая матрица размера 2п х 2п вида

е^ — квадратная матрица, у которой элемент на пересечении г-ой строки и ^'-ого столбца равен 1, а все остальные — 0. Размер матрицы определяется исходя из контекста рассуждений;

— элементарные трансвекции в СЬП(Д), то есть = /п + и • е^,

где

д — транспонирование матрицы д\

,т

[17, V] — коммутатор элементов £/, V, т.е. [£/, V] = и~хУ~х11У\ Ап, 8п — знакопеременная и симметрическая группы порядка п соответственно;

0 — пустое множество.

Теперь представим основные определения, которые будут использоваться в диссертационной работе.

Определение 1.1. Группа называется (п,т)-порожденной, если существуют элементы х,у £ (2 порядка пит соответственно, порождающие группу

Определение 1.2. Группа С называется (п,т,к]1)-порожденной, если существуют элементы х, у € С, такие, что {х, у) = С? и при этом

Определение 1.3. Пусть Я — коммутативное кольцо с 1. Определим гиперболическую симплектическую группу Зр2п(Д) следующим образом:

Замечание 1.1. Определение, представленное выше, в случае, когда Я — поле, дает определение классических симплектических групп (см., например, [9, параграф 1.1]).

Определение 1.4. Пусть Я — коммутативное кольцо с 1. Элементарной гиперболической симплектической группой Е3р2п(7?) будем называть подгруппу Зр2гг(Л), которая порождена следующими типами матриц:

• верхнетреугольными матрицами вида

в.

хп = ут = (ху)к = [х,у}1 = 1.

йр2„(Д) = {д € ОЬ2п(Я) I дТЗтд = •

если 1 < г 2 < п, если 1 < г = < п,

ал)

• нижнетреугольными матрицами вида

если 1 < г = ^ < п,

(1.2)

• блочно-диагональными матрицами вида

Е\](и) = 12п + и- еи - и ■ если 1 з <п, (1.3)

,з

где и пробегает всевозможные элементы из Я.

1.2. Вспомогательные факты

В данном параграфе мы представим ряд утверждений о гиперболических симплектических группах и фактов из теории групп перестановок, которые будут использоваться во второй и третьей главах диссертационной работы.

Гиперболические симплектические группы

Из определений в параграфе 1.1 следует, что Е8р2п(Д) С 8р2п(Д). Дополнительные условия на кольцо Я позволяют достичь равенства этих групп:

Теорема 1.1 ([20], теорема 5.3.4). Если Я — евклидово кольцо, то справедливо равенство Е8р2гг(Д) = 8р2п(Л).

Группы перестановок

Далее мы будем через С обозначать группу перестановок, действующую на множестве Г. Через а (а) будем обозначать результат действия перестановки (ТбСна элемент а € Г. Соответственно, для О, С Г и а € О введем следующее обозначение:

<т(П) = {о-(о) | а е •

Определение 1.5. Группа перестановок (9 называется транзитивной, если для любых двух элементов а\ и <22 из Г найдется перестановка и 6 С, такая, что а(ах) = <22-

Далее мы считаем, что С — транзитивная группа перестановок, действующая на Г.

Определение 1.6. Под степенью транзитивной группы С, действующей на множестве Г, мы будем понимать |Г|.

Определение 1.7. Подмножество Г2 С Г будем называть блоком, если для любой перестановки а € либо <т(Г2) = £7, либо а (О) П П = 0. При этом под длиной блока мы будем понимать количество элементов в £7.

Легко видеть, что блоками являются 0, Г, а также любое одноэлементное подмножество Г. Подобные блоки называют тривиальными блоками.

Замечание 1.2. Пусть — нетривиальный блок в Г. Предположим, что в С есть цикл а = (ах,..., ар) длины р > 3, где р — простое число, и найдутся такие индексы 1 < г т- у <р, что аа^ £ £1. Тогда найдется 1 < к < р — 1, такое, что ака{ = а значит, так как — блок, ака$ = а2ка{ £ Г2. Аналогично рассуждая и используя тот факт, что а — цикл длины р, где р — простое число, мы получаем, что попарно различные элементы а^, <гка1,..., а(р~1>)ка{ содержатся в А значит, верно, что блок П содержит все элементы а\,..., ар из Г, которые переставляет сг.

Определение 1.8. Если С не содержит других блоков, кроме тривиальных, то такую группу перестановок называют примитивной.

Лемма 1.1 ([50], предложение 6.3). Пусть С — транзитивная группа перестановок, действующая на Г, О, С Г — блок и£1 ^ 0. Тогда длина блока О должна быть делителем |Г|.

Используя лемму 1.1, можно сформулировать более удобный критерий для проверки — является ли транзитивная группа примитивной:

Лемма 1.2. Пусть С — транзитивная группа перестановок, действующая на Г, и |Г| = (1 > 4. Если С содержит цикл длины р, где р — простое число и р > (1/2, то С — примитивная группа перестановок.

Доказательство. Пусть Л — нетривиальный блок длины к, тогда к < й. В силу леммы 1.1, справедливо, что к — делитель А и к < А/2. Более того, множество Г разбивается на п = А/к > 1 попарно непересекающихся блоков длины к, один из которых — П.

Пусть <т — цикл длины р, где р — простое число ир > (1/2, содержащийся в С по предположению леммы. Тогда в (7 есть хотя бы один блок, который содержит 2 элемента из Г, не являющихся неподвижными точками а. Тогда, в силу замечания 1.2, мы получаем, что данный блок должен содержать не менее р элементов. Так как р > (1/2 и <¿/2 > к, то мы получили противоречие с предположением о том, что — блок длины к. Следовательно, в С не существует нетривиальных блоков, а значит С — примитивная группа перестановок. □

Лемма 1.3 ([50], теорема 13.9). Пусть р — простое число, а С — примитивная группа степени р + к, где к > 3. Если С содержит цикл длины р, то С совпадает с Ар+к или ¿Хр+ь

Глава 2

Группы Е8р2п(/?) большого ранга

2.1. Формулировка основных результатов

Один из главных результатов главы — доказательство того, что Эр2п(^) являются (2,3)-порожденными группами при п > 25. Это утверждение следует из более общего результата о том, что для любого конечнопорожденного коммутативного кольца В, и достаточно большого значения п группа Е8р2п(Д) будет (2,3)-порожденной. Кроме того, мы покажем, что можно улучшить оценку снизу на п при условии, что на кольцо В, будет наложено ограничение в виде аддитивной порожденности определенным множеством. Представленные в главе результаты были опубликованы в работах [3], [47].

Одним из основных результатов главы является следующая теорема:

Теорема 2.1. Пусть I > 0 и п > 13 + 12 • 21. Тогда Е8р2гг(й[Хь ..., X/]) является (2,3) -порожденной группой.

Доказательство теоремы 2.1 будет представлено в §2.4 диссертации, а пока отметим, что справедливо следствие из теоремы 2.1:

Следствие 2.1. Группа Эр2гг(2) является (2,3)-порожденной при п > 25.

Доказательство. Из утверждения теоремы 2.1 следует, что группа Е8р2п(^) является (2,3)-порожденной при п > 25. Для доказательства следствия остается заметить, что Е8р2гг(^) = Эр2п(^) в силу теоремы 1.1. □

Также верно то, что результаты теоремы 2.1 для кольца Z[Xl,..., X/] могут быть распространены на случай любого конечнопорожденного коммутативного кольца Я с 1:

Теорема 2.2. Пусть Я — коммутативное кольцо с 1, которое порождено элементами 1, щ,..., щ, где I > 0. Если п > 13 + 12-2г; то Е8р2п(Д) является (2,3)-порожденной группой.

Доказательство. В силу теоремы 2.1 мы знаем, что

Е8р2п(£[Хь ..., X/]) = (х, у), где я2 = у3 = 12п,

при п > 13 + 12 • 2*.

Далее рассмотрим кольцевой гомоморфизм ф : Z[Xl,... , X/] —> Я, определенный следующим образом:

1грсь...,х,] ^ и Х{ щ при 1 <г<1.

Для доказательства теоремы 2.2 нам осталось применить групповой эпиморфизм Е8р2п^[Х1,..., X/]) —> Е8р2п(Л), индуцированный гомоморфизмом ф, к матрицам х и у. □

Пусть а — алгебраическое число. Так как кольцо Ща] порождается семейством {1, а, а2,... }, то справедливо следствие из теоремы 2.2:

Следствие 2.2. Пусть а — алгебраическое число. Тогда Е8р2п^[а:]) является (2, 3)-порожденной группой при п > 37.

Наконец, отметим, что дополнительные условия на аддитивное порождение кольца Я в ряде случаев позволяют улучшить оценку снизу на п по сравнению с результатом теоремы 2.2. Точнее, справедлива теорема:

Теорема 2.3. Пусть Я — коммутативное кольцо с 1, 5 £ Я*. Дополнительно предположим, что Я аддитивно порождается множеством

{з2к \kGZju {2з2к~1 | к^Ъ].

Тогда Е8р2п(Д) является (2,3)-порожденной группой при п > 25.

Доказательство теоремы 2.3 будет представлено в параграфе 2.5 диссертационной работы, но сначала заметим, что справедливы следствия из теоремы 2.3:

Следствие 2.3. Пусть а — корень уравнения х2к+1 — 1 = 0. Тогда группа ЕЭр2п(Щсх\) является (2,3)-порожденной при п > 25.

Доказательство. Пусть Я = где а — корень уравнения х2к+1 — 1 = 0. Из определения а следует, что Я аддитивно порождается множеством {а2к | к € Ъ\ Для завершения доказательства осталось применить теорему 2.3, определив я = а. □

В частности, из следствия 2.3 и теоремы 1.1 следует, что группа Эр2п(^М) является (2,3)-порожденной при п > 25.

Следствие 2.4. Группа 8р2п(д) является (2,3)-порожденной при п > 25.

Доказательство. Пусть Я — конечное поле, состоящее из д = рь элементов. Обозначим через 5 элемент, порождающий Я*. Тогда справедливо, что 59-1 = 1 и любой элемент Я* представим как в1, где г € {1,..., д — 1}.

Если р = 2, то д — 1 — нечетное число, а значит, Я аддитивно порождается множеством | к 6 Ъ}. Теперь рассмотрим случай, когда р Ф 2, то есть р = 2р -Ь 1. Так как сЬагК = р, то —б1 = 2рё1. Таким образом, Я аддитивно

порождается множеством {s2k \ к G Z} U {2ps2k+l \ к G Z}. Для завершения доказательства следствия осталось применить теорему 2.3. □

Прежде чем перейти к следующему разделу, отметим, что в доказательствах теоремы 2.1 и теоремы 2.3, представленных в работах [3] и [47] соответственно, использовались сходные конструкции образующих матриц. С целью избежать повторного изложения материала в диссертационной работе, в параграфе 2.2, будет представлена обобщенная конструкция параметрических матриц х, у порядка 2 и 3 соответственно. Затем, в параграфе 2.3, мы докажем ряд вспомогательных фактов, в частности, о том, какие элементы содержатся в группе (х,у). Наконец, в параграфах 2.4 и 2.5 мы будем использовать матрицы х и у, построенные в параграфе 2.2, с определенными значениями параметров для доказательства теорем 2.1 и 2.3 соответственно.

2.2. Построение образующих

Пусть R — коммутативное кольцо с 1, s G й* и L € N. Определим параметр п Е N, такой, что п > 13 + 12L (в частности, п > 25), и рассмотрим модуль Rn со стандартным базисом В — {t>i,..., vn} и GLn(i?), действующую слева на него. Будем обозначать п = Зга + г, где 1 < г < 3, а значит т > 4 + 4L.

Далее, до конца второй главы диссертационной работы, через Sym(r) и Alt (Г), где Г С В, мы будем обозначать подгруппу в GLn(R), состоящую из перестановочных матриц (соответственно, четных перестановочных матриц), переставляющих элементы из Г и фиксирующих элементы из В \ Г. Кроме того, мы будем отождествлять перестановки и соответствующие им матрицы. Например, через (г^,..., Vik) мы будем обозначать матрицу, соответствующую циклической перестановке базисных элементов v^,..., V{k.

Рассмотрим оператор У\ € GLn(i?), действующий следующим образом на элементы из В:

• ^Зг+З 2 И- у31+1 1-> г?зг+з, где 0 < г < т - 1;

• ^Зш+З ^Зш+2 ^ ^Зш+1 ^ ^Зт+З, если г = 3;

• ух оставляет неподвижными Уът+ь где 1 < I < г, если г < 2.

Из приведенных выше соотношений следует, что у\ € АН;(.Е?) и = 1п.

Определим х\ е СЬП(Д) на базисных элементах ИР".

• х\ меняет местами г>зш и при 1 < г < т — 1;

• х\ оставляет неподвижными у^+2 при 0 < г < т — 2;

• г?1 |-> йг;2 — у\;

• если г = 1, то х\ меняет местами Узт-1 и г;зт+ъ а у^т оставляет неподвижным;

• если г = 2, то XI меняет местами г>зт-1 с г>зт+2 и г>зто с г>зто+1;

• если г = 3, то х\ меняет местами Узт-г с ^Зш+З и г>зт+1 с г>зт+2, а г>зт оставляет неподвижным.

Из соотношений выше легко видеть, что подмодули (у1,у2) и (г>з,..., г»зт+г) инвариантны относительно действия причем х\ индуцирует на {У\,У2) оператор с матрицей

а на ..., у^т+г) действует как перестановка порядка 2. Следовательно, х\ — инволюция.

Теперь рассмотрим копию базиса В, обозначив ее элементы как г>п+ъ • • •, Щп, и определим вложение тт : СЬп(К) Зр2п(Я),

тг(а) =

(2.1)

а О О (а7)"1

Далее определим оператор Е СЬ2П(Д), где \ <г ^ 3 <п и р Е Я*,

д Е Я, следующим образом: действует тождественно на всех г^,

к Е {1,...,2 п] \ {г,з,п + 1,п + а на подмодуле (г;,-, ?;„+./) в Л2гг

действует как оператор, заданный матрицей

¿1 =

<0 0 0 р-1

я 0 0

0 -р 0 я

0 0 0

(2.2)

то есть

• «п+г ^ -Р

Ч + дуп+1.

Легко проверяется, что А\ — /4, а значит, zi)j(Kp, д) является инволюцией.

Рассмотрим пары элементов (ро, до),..., (рь-ь Яь-г), где Рг Е Я* ,д1 Е Я при О < г < Ь — 1, и построим следующую матрицу:

ь-\

% = £12г+11Д2г+14(.Рг, <7г)>

(2.3)

г=0

то есть

• «12г+11 ^ 9г«12г+14 + Р&п+12г+14, ГДв 0 < 2 < I/ - 1;

• «12,4-14 И" -Рг«п+12г+11, ГДе 0 < % < Ь - 1;

21

• ^п+ш+п ^ -Р{ гЩ2г+ы, где 0 < г < £ - 1;

• Уп+ш+и и> р^Ут+п + №+12»+и, где 0 < г < Ь - 1.

Кроме того, 2 оставляет неподвижными базисные элементы у^ при

{12г + 11,12г+ 14,п+ 12г + 11,п+ 12г + 14 | 0 < г < Ь - 1}.

Замечание 2.1. Так как отдельные сомножители в определении г в (2.3) друг с другом попарно коммутируют, то результат их произведения не зависит от порядка сомножителей.

Наконец, определим

ж = 7г(а;1)г, у = 7г(у1). (2.4)

Замечание 2.2. Ранее мы уже отмечали, что у\ действует на (у\,..., уп) как перестановка на базисных элементах, а значит, в силу определения гомоморфизма 7Г в (2.1), у действует на г>п+1,..., г>2п таким же образом, как у\ — на г>1,..., уп. Аналогично, используя то, что х\ действует на (г?з,... уп) как перестановка порядка 2, мы получаем следующее: х действует на уп+з,..., у2п так же, как х\ — на ..., уп. Далее мы будем пользоваться этими фактами без дополнительного упоминания.

Замечание 2.3. Конструкция матриц х\, у\ € СЬп(Я), построенных выше, восходит к совместной работе П. Санкини и М. К. Тамбурини [34] за одним исключением: у нас х\ действует на (г>з,..., уп) как перестановка на базисных элементах, а в [34] — как перестановка со знаками.

Принципиальное отличие предложенной выше конструкции матриц х, у от конструкции П. Санкини и М. К. Тамбурини заключается в виде матрицы г, используемой при построении матрицы х.

Лемма 2.1. Матрицы х,у имеют порядок 2 и 3 соответственно.

Доказательство. Из определения тг в (2.1) и того, что х\ — у\ = /п, следует, что 7г(х1) — инволюция и у = 7г(ух) имеет порядок 3.

Рассмотрим в Я2п модули м[г\ где 0 < г < Ь — 1, и М2:

М\г) = (гли+п М2 = {ик\ке {1, . . . ,2п} \

{12г + 11,12г + 14, п + 12г + 11, п + 12г + 14 | 0 < г < £ - 1}).

Из построений выше мы знаем, что модули М^ при любом 0 < г < Ь - 1 и М2 инварианты относительно где 0 < у < Ь — 1, и тг(х\).

При этом для каждого из модулей М^, М2 существует ровно один оператор из перечисленных, сужение которого на модуль является нетождественным оператором: для модуля м[1\ где 0 < г < Ь - 1, — оператор 212»+11Д2*+14(р»> ф), для М2 — оператор "к{х{) соответственно. Следовательно, все операторы 77(0:1), гы+п,т+и(рь где 0 < г < Ь - 1, попарно коммутируют друг с другом. Используя то, что каждый из этих операторов — инволюция, мы получаем, что х также является инволюцией. □

Замечание 2.4. Несложно убедиться, что матрицы х, у содержатся в группе Бр2п(Д). Мы этого здесь делать не будем, однако отметим, что позднее (см. лемму 2.7 в параграфе 2.4 и лемму 2.8 в параграфе 2.5) будет показано, что при дополнительных предположениях о структуре кольца Я и определенных значениях параметров в, ро,..., рь-ъ Яо, ■ ■ • > Яь-1, матрицы хну содержатся в группе ЕБр2п{Я).

2.3. Вспомогательные леммы

Определим Ах = {^Зт_6, Щт-ъ] и {«3т_3,..., и3т} и {«Зт+ь • • •, «зт+г} — подмножество в В и покажем, что верно утверждение:

Лемма 2.2. Справедливо включение (у 1хух)12 € 7г(АИ;(Д1)). Доказательство. Разложим В?п в прямую сумму следующих модулей:

£1 = Ы,у2, У5) 0 (У3,У4, У8),

¿>2 = {Уп+1, Уп+2, уп+5) 0 (г;п+з, уп+4, уп+8),

= (^12г+6, ^12г+7, ^12г+и) 0 <^12г+9> ^12г+10, ^12г+14> 0 ф(^тг+12г+6, Уп+т+7, ^п+12г+и) 0 Ф(^п+12»+9> «„+12^10, «п+12»+14>, где 0 < г < ^ - 1, ^ = (^12г"+12, ^12г+13, УЩ+п) 0 (^12г+15, ^12г+16, ^12г+20> 0 Ф(^п+12г+12, ^п+12г+13) ^п+12г+17) 0

Ф<^п+12»+15,^п+12»+1б,^п+12г+2о)> ГДв 0 < г < £ — 1,

) = (изг, г>з»+ъ ^Зг+5>, где 41/ + 2 < г < т - 3,

= (^П+Зг, ^п+Зг+1, ^гг+Зг+5>, ГДе 4Ь + 2 < % < ГП - 3,

= (^Зш-6; ^Зш—5? ^Зш-З, УЗтп-2, • • • , ^Зш+г) ,

= (г^+Зт-б» г*п+зте_5, г^+зт-з, г^+зт-г^ • • • » ^п+Зт+г) >

и проверим, что каждый из них инвариантен относительно у~1хух, и, более того, матрица сужения оператора на каждый из этих подмодулей,

кроме 5*7 и ¿8, — единичная.

Замечание 2.5. Для удобства дальнейшего изложения мы будем проверять действие у~1хух = у~17г(х1)гу7г(х1)г, учитывая действие каждого из сомножителей.

Случай 1:^1 = (у1,у2, ^5)0(^3, Щ, щ)- Сначала рассмотрим действие у~1хух на образующие у2, у 5:

г к(х1) у г

у\ i-> у\ i-у ву2 — у\ i-у эу 1 — уз i-

^О „2 „ У \ 2Я

зу 1 — г>з I-31)2 — — 1-^ 5' уз — зу2 — у 5,

г тг(х1) у 2 тт{хх) у

V2 I-> 1>2 1-^ «2 1-^ VI I-^ У\ I-> вУ2 ~ VII—

г ^ тг(х1) у 2 тг(хг) у~\

УЪ 1-^ «5 1-«5 1-^ «4 1-> «4 1-> «3 1->

-1

- г>2)

Кроме того, легко видеть, что у 1хух циклично переставляет образующие г>з, г>8, «4, а именно:

Уз У г —► Уз г»4 1 У г ->• 7г(х1) 1—)> VI У 1— ■ 1 У%

2 ->• У8 7г(х1) 1- У8 1 У г>7 I г -> V 7 7г(х1) 1- У~ 1— • 1

г>4 1 у —->• У 4 ТгЫ) 1-)• Уз 1 У г -«2 тгы) 1-«2 у" 1— -1

Значит, модуль 51 инвариантен относительно у 1хух, и матрица сужения у 1хух

,-1,

на 51 в базисе У\, г?2, уб, уз, У4, равна

/

А?, =

V

0 0 1 0 0 0

-1 0 0 0 0

-1 0 0 0 0 0

52 Б 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0

\

/

Непосредственно проверяется, что А22 = /б, а значит (у 1хух)12 действует тождественно на 51.

Случай 2: 52 = (г;„+1, ип+2, ип+5> © (уп+з,уп+4,уп+8). Из построения од и определения 7Г в (2.1) видно, что матрица 77(0:1) действует на {уп+\, Уп+2) как

-1 5

О 1

то есть уп+1 I—> -уп+1, г;п+2 1—> вг;„+1 + г;п+2. Тогда у 1хух действует на (уп+1,уп+2,Уп+5) следующим образом:

2 , ^О У к 2

Уп+1 1-> Уп+1 I-> -Уп+1 I-> ~Уп+Ъ I—

У

Уп+2

Ах1) . у .

Уп+2 '—> 8Уп+1 + уп+2 I—> ЗУП+з + г;п+1

^п+3 1-> -^п+4 1--Уп+5,

г

У

5^+3 + |—яг;п+4 - уп+1

-1

г . 7т(хг) _ у 2 _ 2Г

8Уп+5 - г>п+2, У'1

Уп+5 1-> ^п+5 > ^п+5 ^^ ^п+4 > ^п+4 + ^п+3 1-► «п+1-

Рассмотрим далее действие у~1хух на образующие г;п+з, г>п+4, г>п+8:

■к{хх)

У

тг(х,)

У'

Уп+з I—> уп+з I—I—> уп+6 <—> уп+6 >—> уп+7 I—> уп+8,

7т(:

4

7Г(Х1)

г у г Уп+4 1-^ ^п+4 1-> Уп+з I->• Уп+2 I—

^п+2

I/

-1

+ Уп+2 I—5г;п+2 + ип+3,

Л, =

\

2 7г(х,) у г тг^) у 1

уп+8 1—)• уп+8 |—уп+8 1—> Уп+7 1—> уп+7 I—)• г;п+б I—> уп+А.

Таким образом, подмодуль 52 инвариантен относительно оператора у 1хух: и матрица сужения у~1хух в базисе уп+1, уп+2, г;п+5, г;п+3, г;п+4, уп+8 на этот подмодуль равна

О 0 10 0 0 0 -1 0 0 в 0 -1 5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

Непосредственно проверяется, что А\2 = /в, а значит (у~1хух)12 действует тождественно на 52.

Случай 3: при 0 < г < Ь — 1. Вначале докажем, что у~1хух циклично переставляет образующие модуля

V

/

Л*Г = (гл2

<7г^12г+9 + 12г+9, + Рг^п+12г+145 ^12г+7)-

Действительно, нетрудно проверить, что

2

тг(®1) у г 7Г(Х1) у

«12г+6 1->• «12г+6 1-«121+7 1-* «12г+9 1-> «12г+9 1-> «12¿+10 1-^ «12г+1Ь

2 7г(Хх) у

«12г+11 1->■ <7г«12г+14 + Рг«п+12г+14 1-> %«12г+14 + Рг«п+12г+14 1->

г ^ . Ф1)

^г«12г+13 + Рг«п+12г+13 1-> <7г«12г+13 + Рг«п+12г+13 1-»

у-1

9г«12г+12 + Рг«п+12г+12 1-> <?г«12г+10 + Рг«гг+12г+Ю,

<7г«12г+Ю + Рг«гг+12г+10 1-> 9г«12г+10 + Рг«п+12г+10 1-

&«12г+9 + Рг«гг+12г+9 ^ <?г«12г+8 + Рг^п+12г+8

<7г«12г+8 + Рг«п+12г+8 ^^ <?г«12г+8 + Рг«п+12г+8 <7г«12г+9 + Рг«гг+12г+9,

г Ф\) %«12г+9 + Рг«п+12г+9 1-> </г«12г+9 + Рг«тг+12г+9 1->

У -г <7г«12г+Ю + Рг«п+12г+10 1-> <?г«12г+12 + Рг«п+12г+12 1-►

■к{х\) у-1 (/г«12г+12 + Рг«гг+12г+12 1-> 9г«12г+13 + Рг«п+12г+13 1-

<7г«12г+14 + Рг«гг+12г+14,

. г тг(х1) у г

<?г«12г+14 + Рг«п+12г+14 1-> «12г+11 1-> «12г+11 1-> «12г+10 1-г

у-1

«12г+10 1-> «12г+9 1-> «12г+7,

г у 2 > тг(х1)

«12г+7 1->■ «12г+7 1->" «12г+6 1-► «12г+5 1->• «12г+5 1-► «12г+5 1-► «12г+6-

Следовательно, М^ — инвариантный модуль относительно у~ххух, и (у~1хух)6 действует на М^ тождественно. Теперь проверим, что у~1хух действует циклично на образующие модуля

= («12г+9, «12г+14, —Рг«п+12г+7, ~Рг«п+12г+6, —Рг«п+12г+11, «12г+1о) :

г 7г(х1) у г тг(хх) у-1 «12г+9 1-^ «12г+9 1-> «12г+10 1->• «12г+12 1-> «12г+12 1-> «12г+13 1-^ «12г+14,

г 7г(хг) у ^ «12г+14 1-> —Рг«п+ 12г+11 1-> ~Рг«п+12г+11 1-> ~Рг«тг+12г+10 1->

7Г(Х1) у~\

~Рг«п+12г+10 1-> —р&п+12г+9 1-> ~Рг«п+12г+7,

г тг(х1) у г —Рг«п+12г+7 1-^ ~Рг«п+12г+7 1-► ~Рг«п+12г+6 1-> — Рг«п+12г+5 1-^

7Г(Х1) у"1 ~Рг«п+12г+5 1-► ~Рг«тг+12г+5 1-^ ~Рг«тг+12г+6,

2 у z ~РгУп+12г+6 1-> —РгУп+12г+6 1-» ~2№+12г+7 1-> ~Рг^п+12г+9 1-

7г(хх) у-1

—Ргг>п+12г+9 1-_Рг^п+Ш+Ю 1->• ~Р^п+Ш+П,

г тг^г) у г 7г(хх) —Рг^гг+12г+И 1-^ ^12г+14 1-► ^12г+14 1-^12г+13 1-г ^12г+13 '

.у-1

г 7г(жх) у г ^(хх) у 1

^12г+12 1-► ^12г+10,

г 7г(ап) „ ч - , - „ у У12г+10 1-> ^12г+10 1-> ^12г+9 1-> ^12г+8 1-> ^12г+8 1-► ^12г+8 1-> ^12г+9-

Таким образом, М^ инвариантен относительно у~гхух, и (у_1хух)6 действует на М^ тождественно. Наконец, заметим, что

М^фМ^ = {и12ш,ут+7,ут+п)®

Ф (^12г+9> ^12г+10? ^Ш+ы) Ф (^п+12г+6) Щ+Ш+7, Щ+ 12г+и) Ф Ф {Уп+т+ъ^п+т+ттУп+т+и) —

и поэтому ¿з^ инвариантен относительно у_1хух, и (у~гхух)6 действует на тождественно.

Случай 4: при 0 < г < Ь — 1. Этот случай будем рассматривать по схеме, аналогичной случаю 3. Для этого рассмотрим модуль

= (^12г+12,^12г+17,^12г+13,<7г^12г+15 + Рг^п+12г+15,

<?г^12г+20 + Р^п+12г+20, <7г^12г+16 + 7№+12г+1б)

и проверим, что у 1хух циклично переставляет его образующие:

2 Я-(жх) у~\ —> Щ2г+15 1-> УЩ+16 1-> г*12г+17,

г тг(хх) у-1 —^12г+16 1-> У 12г+15 1->• ^12г+13,

^12г+12 ^ г -> щ21+12 ^12г+13 * у ■ ^12г+15

^12г+17 > 2 -> ^12г+17 ^12г+17 ► у - ут+16

^12г+13 > -> ^12г+13 ^12г+12 ► у

7г(агх) у 1 Ш^12г+14 + ]№+12й-14 1->" <7г^12г+14 + Рг^п+12г+14 1-► ^^121+15 + Рг^п+12г+15,

г 7г(я1) 9г«12г+15 + Рг«п+12г+15 1->• (7г«12г+15 + Р^п+12г+15 1-г

, У к I 2 V

#г«12г+16 + Рг«п+12г+16 1-^ <7г«12г+18 + Рг«п+12г+18 1->

к(х1) у~\ <7г«12г+18 + Рг«п+ 12г+18 1-> <7г«12г+19 + Рг«гг+12г+19 1-^г«12г+20 + Рг«п+12г+20,

•г 1 .

#г«12г+20 + .Рг«п+12г+20 1-► ^г«12г+20 + Рг«п+12г+20 1-►

. у . . г <?г«12г+20 + Рг«п+12г+20 1-<7г«12г+19 + Рг«п+12г+19 1-г

тт{х\) у-1 Зг«12г+19 + Рг«п+12г+19 1-► <7г«12г+18 + Рг«п+12г+18 1-> <?г«12г+16 + Рг«п+12г+16,

12г+16 + Рг«тг+12г+16 1-> </г«12г+16 + Рг«п+12г+16 1-

. у v i 2 ч

<7г«12г+15 + Рг«п+12г+15 1-> <?г«12г+14 + Рг«п+12г+14 1-^

7Г(Ж1) у"1 «124+11 1->• «12г+11 1-«12г+12-

В частности, мы пользуемся тем, что, так как по предположению т > 4 + 4Ь,

а: действует тождественно на ^ и г^и, если

г = 2 (mod 3), г < 12(L - 1) + 20 = 12L + 8 < 3(т - 2) + 2.

Следовательно, модуль М^ инвариантен относительно оператора у~гхух, и (у_1хух)6 действует на М^ тождественно. Кроме того, у~1хух циклично переставляет образующие модуля

М® = («12г+15,«12г+20, «12г+16, ~Рг«п+12г+12, -Рг«п+12г+17, ~Р^п+Ш+1з) •

Действительно,

z 7t(xi) у 2 7r(a;i) у-1 «12г+15 1-«12г+15 1-^ «12г+16 1-У «12г+18 1-> «12г+18 1-> «12г+19 1-г «12г+20>

г tt(xi) у z У-1 «12г+20 1-У «12г+20 1-^ «12г+20 1-> «12г+19 1-> «12г+19 1-> «12г+18 1-> «12г+16,

г 7r(a;i) у z tt(xi) «12г+16 1-> «12г+16 1->■ «12г+15 1-> «12г+14 1-> ~Рг«п+12г+11 1-^

у~\

—Рг«п+12г+11 1-> —Рг«п+12г+12)

г 7r(xi) у г

—Рг«п+12г+12 1-► ~Рг«п+12г+12 1-> ~Pi^n+Ui+U 1-> ~Рг«тг+12г+15 1-►

tt(xi) у"1 —Рг«тг+12г+15 1-^ ~Рг«п+12г+16 1->■ — Рг«п+12г+17>

2 7Г(Ж1) у г -р{Уп+12г+П I-> —Р&п+12г+17 1-► _2№+12г+17 1-г ~Рг^тг+12г'+16 1-

7Г(Ж1) у 1

~Р^п+12г+16 1-> ~Рг^тг+12г+15 1-^ — Рг^гг+12г+13?

г тг(ж1) у г ~Рг^п+12г+13 1-► ~Рг^п+12г+13 1-> —Рг^п+Ш+и 1-^ — Р^п+Ш+П 1-

фд у~\ ^12г+14 1->• ^12г+14 1-^ ^12г+15-

Таким образом, М^ инвариантен относительно оператора у~ххух, и (у~гхух)6 действует на М^ тождественно. Наконец, заметим, что

М5(0©М6(0 = <г;12Ш2^12г+13,^12г+17)е

Ф (^12г+15? ^12г+16, ^12г+2о) Ф (^тг+12г+12; ^п+12г+13, ^п+т+п) Ф

Ф (^71+121+15)^71+122+16,^+121+20) =

и поэтому (у_1хух)6 тождественен на

Случай 5: при 4Ь + 2 < г < т — 3. Отметим, что данный случай возникает только, если т > 5 + Рассмотрим действие у~1хух на

г тг(х1) у г гг(х!) у-1 Щг 1-► УЫ 1-> ^Зг+1 1-► ^Зг+З 1-> ^Зг+З 1-► ^Зг+4 1->

г ттОг) у г 7т(жх) у-1 ^Зг+5 1-► ^Зг+5 1-> ^Зг+5 1-^Зг+4 1-> ^Зг+4 1-► ^Зг+З 1-> ^Зг+Ь

г 7г(х1) у г тг(х1) у-1 ^Зг+1 1-> Шг+1 1-> У31 1-> *>3»-1 1-> ^Зг-1 1-> ^Зг-1 1-> ^Зг-

Здесь мы пользуемся тем, что, так как Зг — 1 > 12(Ь — 1) + 14, то 2; действует тождественно на векторы г^-х, ^зг+б- Таким образом, модули инвариантны относительно действия у~1хух, и матрица сужения у~1хух на каждый из модулей равна

Ал =

^ 0 1 (Л

0 О 1

V1 0

Следовательно, (у 2хух)3 действует тождественно на модуле где

4Ь + 2 < г < т - 3.

Случай 6: при 4Ь + 2<г<т — 3. Данный случай, как и предыдущий,

возникает только при m > 4L + 5. Из (2.1), (2.4) и проведенных вычислений в случае 5 следует, что Sg^ инвариантны относительно у~1хух и матрица сужения у~1хух на каждый из этих подмодулей также равна A4, а поэтому (у~1хух)3 тождественен на Sq^ при 4L + 2<i<m — 3.

Таким образом, в результате изучения случаев 1-6 мы знаем, что оператор (;у~1хух)12 действует тождественно на всех модулях, кроме S-j и S$. Для завершения доказательства нам осталось рассмотреть действие оператора на этих подмодулях.

Случай 7: S7 и S8. Так как m > 4L + 4, то Зт - 7 > 12(L - 1) + 14. В частности, 2 действует тождественно на

«Зт-7, • • • , «3т+r И «n+3m—7? • • • ? «n+3m+r- (2.5)

По отдельности рассмотрим каждое из возможных значений параметра г. Пусть г = 1. Опишем действие у~1хух на S7:

z 7r(xi) у z tt(xi) у'1 «3m—6 1-> «3m—6 1->• «3m—5 1->■ «3m-3 1->• «3m-3 1-> «3m-2 1-> «3m-b

2 T(XI) у z 7r(®l) y-1 «3m—5 1-«3m—5 1-«3m-6 1-^ «3m-7 1-^ «3m-7 1-^ «3m-7 1-«3m-6,

z tt(xi) y z tt(xi) y-1 «3m—3 1-«3m—3 1-^ «3m-2 1-> «3m 1-> «3m 1-► «3m 1-»• «3m-2,

г 7r(xi) y 2 7r(xi) y-1

«3m-2 1-» «3m—2 1-^ «3m-3 1->■ «3m-4 1-> «3m-4 1-> «3m-4 1-> «3m-3>

z 7r(xi) y z tt(xi) y"1 «3m—1 1-> «3m—1 1-^ «3m+l 1-^ «3m+l 1-> «3m+l 1-> «3m-l 1-> «3m;

2 7T(xi) y Z 7T(xi) y'1

«3m 1-«3m 1-^ «3m 1-> «3m-1 1-«3m-1 1-^ «3m+l 1-^ «3m+b

2 7r(xi) y z ît(xi) y-1 «3m+l 1-^ «3m+l 1-«3m—1 1-> «3m-2 1-> «3m-2 1-^ «3m-3 1-^ «3m-5-

Следовательно, модуль SV инвариантен относительно y~lxyx, и y_1xyx действует на 5V как перестановка

(«3m—3? «3m—2)(«3m—5; «3m-6> «3m-l, «3m? «3m+l)-

Отметим, что из приведенных выше вычислений, из (2.1) и того, что на

57 матрицы Х\ и у\ действуют перестановочно, а г — тождественно не только на ¿V) но и на векторы из (2.5), следует, что ¿8 также инвариантен относительно у~1хух и у~1хух действует на 5в как перестановка

(^п+Зш-З» Уп+Зт-2)(Уп+Зт-5, Уп+Зтв-6> Уп+Зт-1, Уп+Зт, Уп+Зт+\)-

Таким образом, так как (у~1хух)12 тождественен на всех подмодулях, кроме 57 и 58, то

(у-1^)12 = 7г((г;3ш-б, «зш, ^Зш-5, ^Зш-ь ^Зш+г))-Теперь рассмотрим случай г = 2 и опишем действие у~1хух на 57:

0 7Г(Ж1) у 2 7Г(Х1) у-1 УЗт-6 1-^Зш-6 1->• УЗт-5 1-УЗт—З 1-> УЗт-З 1-^ Щт-2 1-^Зт-Ъ

2 7Г(Ж1) у 2 7Г(Х1> у-1

УЗт—5 1-^ УЗт—Ъ 1-^ ^Зш-6 1-^Зш-7 1-> УЗт-1 1-^Зш-7 1-^Зт-6>

2 тг(ж1) у г "п(х\) у-1 УЗт—З 1-► '-Щт-2 1-^Зш 1-> УЗт 1->• УЗт+\ 1-> УЗт+1,

2 7г(хх) у 2 7Г(Х!) у-1 Щт-2 1-> УЗт—2 1->• ^Зш-З 1-^ ^Зш-4 1-> УЗт-4 1-^Зш-4 1-> УЗт-З,

г 7Г(Ж1) у 2 7Г(Х1) у-1 ^Зш-1 1-^ УЗт-1 1-^ УЗт+2 1-> ^Зш+2 1-^Зш+2 1-^ ^Зто-1 1-> ш,

г 7г(хх) у г у-1 ^Зш 1-> УЗт 1-► УЗт+1 1-> Щт+\ 1-> УЗт+1 1-► ^Зт 1-»• ^Зт-2,

0 7Г(Х1) У 2 7Г(Х1) У-1

УЗт+1 1-^Зш+1 1->■ УЗт 1->• УЗтп-1 1-> Щт-1 1-► УЗт+2 1-► ^Зт+2>

2 1г(х1) у г п(хг) у-1 ^Зш+2 1-> УЗт+2 1->• Щт-1 1-> УЗт-2 1-> УЗт-2 1-^Зт-З 1-г УЗт-5-

Таким образом, 57 инвариантен относительно у 1хух, и у 1хух действует на 57

как перестановка

(У3т-6, УЗт-1, Щт> ^Зт-2, ^Зт-З, ^Зт+1, ^Зш+2, УЗт-ъ)-

Аналогичным образом, у 1ху:г действует на 58 как

(Уп+Зт—б: Уп+Зт—1) Уп+Зпы Уп+Зт-2, ^п+3т-35 ^п+Зт+Ъ ^п+Зт+2? ^п+Зт-б)-

Следовательно,

(:У~1хух)12 = 7г((г;зт_6, «Зт-з)(«Зт-5, Щт-2) («Зш-Ь «Зт+О («Зто, «Зт+2))-

Наконец, рассмотрим случай г = 3. Опишем действие оператора у~1хух на 67:

г 7г(ж1) у 2 ч 7г(ж1) у"1

«Зш-6 1->■ «Зт-6 1-^ «Зт-5 1-^ «Зт-З 1-> «Зт-З 1-► «Зт-2 1-► «Зт-Ъ

«Зт-5 «Зш-5 «Зт-6 «Зт-7 «Зт-7 «Зт-7 ^ «Зт-6,

2 7Г(Ж1) у г 7г(Х1) у-1

7г(х1) у г 7г(х1) у 1

«Зт-З 1-«Зш-З 1-► «Зт-2 1-> «3ш 1-► «Зт 1-> «3т 1-► «Зт-2,

2 7г(хх) у г 7Г(Ж1) у-1 «Зт-2 1-> Щт-2 1-> «Зт-З 1-«Зто-4 1->• «Зш-4 1-> «Зт-4 1-> «Зт-З,

2 7г(Х1) у 2 7Г(Х1) у-1 «Зто-1 1-> «Зш-1 1-«Зш+З 1-«Зш+2 1-УЗт+2 1-«Зш+1 1-> «Зт+2,

2 7г(Ж1) у 2 7Г(Х1) у-1 «Зт 1-► «Зт 1-> Щт 1-> «Зт-1 1-^ «Зт-1 1-«Зт+З 1-^ «Зт+Ъ

2

к{х{) у 2 7Г(Ж1) у

,-1

«Зш+1 1-> «Зт+1 1-«Зт+2 1-«Зш+1 1-^ «Зто+1 1-> «Зш+2 1-> «3т+3>

2 7Г(Ж1) у 2 7Г(Х1) у-1 «Зт+2 1-> «Зт+2 1-^ «Зш+1 1->• «Зт+З 1-^ «Зш+З 1-^ «Зт-1 1-> «3т,

,-1

2 7Г(Х1) у 2 7г(хг) у «Зт+З 1-«Зт+З 1-«Зш-1 1-«Зт-2 1-> «Зт-2 1-«Зт-З 1-«Зш-5-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Васильев, Вадим Львович, 2014 год

Список литературы

1. Васильев В. Л. О (2,3)-порождении симплектических групп больших размерностей над кольцом целых чисел // Материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В.В.Морозова, (Казань, 25-30 сентября 2011 г.) и молодежной школы-конференции «Современные проблемы алгебры и математической логики» (Казань, 22 сентября - 3 октября 2011 г.).— Казанский (Приволжский) федеральный университет, 2011.— Стр. 50-51.

2. Васильев В. Л. (2,3)-порождение симплектических групп над кольцом целых чисел // Шестнадцатая Санкт-Петербургская ассамблея молодых ученых и специалистов, СПб.— 2011.— Стр. 34.

3. Васильев В. Л. О (2,3)-порождении гиперболических симплектических групп // Записки научных семинаров ПОМП.— 2014.— Т. 423 — Стр. 5-32.

4. Всемирнов М. А. Является ли группа 8Ь(б, Ж) (2,3)-порожденной? // Записки научных семинаров ПОМП.- 2006.— Т. 330.- Стр. 101-130.

5. Всемирнов М. А. О (2, 3)-порождении матричных групп над кольцом целых чисел // Алгебра и анализ — 2007 — Т. 19, № 6.— Стр. 22-58.

6. Лузгарев А. Ю., Певзнер И. М. Некоторые факты из жизни СЬ(5,2) // Записки научных семинаров ПОМИ.— 2003.— Т. 305.- Стр. 153-162.

7. Мазуров В. Л., Хухро Е. И. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. Изд. 14 // Новосибирск.— 1999.

8. Нужин Я. Н. Об одном вопросе М. Кондера // Математические заметки — 2001,- Т. 70 (1).- Стр. 79-87.

9. О'Мира О. Лекции о симплектических группах // М.: Издательство «Мир».— 1979.

10. Albert A. A., Thrompson J. Two-element generation of the projective unimodular group // Illinois J. Math.- 1959 - V. 3 — P. 421-439.

11. Bender P. Eine Präsentation der symplektischen Gruppe Sp(4, Z) mit 2 Erzeugenden und 8 definierenden Relationen // Journal of Algebra.— 1980.— V. 65,- P. 328-331.

12. Brahana H. R. Pairs of generators of the known simple groups whose orders are less than one million // Ann. of Math.- 1930.- V. 31.— P. 529-549.

13. Cazzola M., Di Martino L. (2, 3)-generation of PSp(4,g), q = pn, p ф 2,3 // Results in Mathematics.- 1993 - V. 23 (3-4).- P. 221-232.

14. Cohen J. On non-Hurwitz groups // Glasgow Math. J.— 1981.— V. 22.— P. 1-7.

15. Di Martino L., Vavilov N. (2,3)-generation of SLn(q). I: Cases n = 5,6, 7 // Communications in Algebra.- 1994 - V. 22 (4).- P. 1321-1347.

16. Di Martino L., Vavilov N., (2,3)-generation of SLn(q). II: Cases n > 8 // Communications in Algebra.- 1996.- V. 24 (2).— P. 487-515.

17. Dixon J. D. The probability of generating the symmetric group // Math. Z.— 1969.- V. 110.- P. 199-205.

18. Fricke R., Klein F. Vorlesungen über die Theorie der Elliptischen Modulunktionen // Leipzig: Teubner.— 1890.

19. Garbe D. Uber eine Classe von arithmetisch definierbaren Normalteilern der Modulgruppe // Math. Ann.- 1978,- V. 235.- P. 195-215.

20. Hahn A. J., O'Meara О. T. The classical groups and if-theory // Grundlehren Math. Wiss. Bd.- 1989 - V. 291.

21. Hua L. K., Reiner I. On the generators of the symplectic modular group // Trans. Amer. Math. Soc.- 1949.- V. 65,- P. 415-426.

22. Ishibashi H. Two-element generation of the integral symplectic group Spn(Z) // Journal of Algebra.- 1996.- V. 179 (1).- P. 137-144.

23. Kantor W. M., Lubotzky A. The probability of generating a finite classical group // Geom. Ded.- 1990.- V. 36.- P. 67-87.

24. Liebeck M. W., Shalev A. The probability of generating a finite simple group // Geom. Ded.- 1995.- V. 56.- P. 103-113.

25. Liebeck M. W., Shalev A. Classical groups, probabilistic methods and the (2,3)-generation problem // Annals of Math.- 1996.- V. 144 (1).- P. 77-125.

26. Liebeck M. W., Shalev A. Simple groups, probabilistic methods, and a conjecture of Kantor and Lubtotky // Journal of Algebra.- 1996.- V. 184 (1).- P. 31-57.

27. Lucchini A., Tamburini M. C. Classical groups of large rank as hurwitz groups // Journal of Algebra.- 1999.- V. 219 (2).- P. 531-546.

28. Macbeath A. M., Generators of the linear fractional groups // Symposium on Number Theory— Houston: Amer. Math. Soc., 1967 — P. 14-32.

29. Miller G. On the groups generated by two operations // Bulletin of the American Mathematical Society.- 1901.- V. 7 - P. 424-426.

30. Milnor J. Introduction to algebraic K-theory // Ann. of Math. Stud.— Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1971.- N. 72.

31. Pellegrini M. A., Tamburini Bellani M. C., Vsemirnov M. A. Uniform (2, fc)-generation of the 4-dimensional classical groups // Journal of Algebra.— 2012.- V. 369.- P. 322-350.

32. Room T. G. The generation by two operators of the symplectic group over GF(2) // J. Austral. Math. Soc.- 1959.- V. 1.- P. 38-46.

33. Room T. G., Smith R. J. A generation of the symplectic group // Quart. J. Math. Oxford Ser - 1958.- V. 9 (2).- P. 177-182.

34. Sanchini P., Tamburini M. C. Constructive (2, 3)-generation: a permutational approach // Rend. Sem. Math. Fis. Milano LXIV.— 1994.- P. 141-158.

35. Stanek P. Two-element generation of the symplectic group // Bull. Am. Math. Soc - 1961,- V. 67.- P. 225-227.

36. Stanek P. Two-element generation of the symplectic group // Trans. Amer. Math. Soc.- 1963.- V. 108.- P. 429-436.

37. Tamburini M. C. Generation of certain simple groups by elements of small order // Rendiconti. Scienze Matematiche e Applicazioni. A. Istituto Lombardo di Scienze e Lettere.— 1987.- V. 121- P. 21-27.

38. Tamburini M. C. The (2,3)-generation of matrix groups over the integers // Bianchi M., Longobardi P., Maj M. (Eds.) / Ischia Group Theory 2008: Proceedings of the Conference in Group Theory— World Scientific, 2009.— P. 280-287.

39. Tamburini M. C., Vassallo S. (2,3)-generazione di gruppi lineari // Manara C. F. et al. (Eds.) Scritti in onore di Giovanni Melzi Vitae / Sci. Mat.— Milano, Italy: Univ. Cattolica del Sacro Cuore, 1994.- P. 392-399.

40. Tamburini M. C., Wilson J. S. On the generation of finite simple groups by pairs of subgroups // Journal of Algebra.- 1988.- V. 116 (2).- P. 316-333.

41. Tamburini M. C., Wilson J. S. On the (2,3)-generation of some classical groups, II // Journal of Algebra.- 1995.- V. 176 (2).- P. 667-680.

42. Tamburini M. C., Wilson J. S., Gavioli N. On the (2, 3)-generation of some classical groups, I // Journal of Algebra.- 1994.- V. 168 (1).— P. 353-370.

43. Tamburini M. C., Zucca P. On a question of M. Conder // Rend. Mat. Acc. Lincei s. 9.- 2000,- V. 11 (1).- P. 5-7.

44. Vasilyev V. L., Vsemirnov M. A. On (2,3)-generation of group Sp(8,Z) // Methods of Logic in Mathematics V, Short abstracts of an international meeting held on June 1-7, 2008.- St. Petersburg, 2008.- P. 16.

45. Vasilyev V. L., Vsemirnov M. A. On (2,3)-generation of low-dimensional symplectic groups over the integers // Communications in Algebra.— 2010.— V. 38 (9).- P.3469-3483.

46. Vasilyev V. L., Vsemirnov M. A. The group Sp10(Z) is (2,3)-generated // Cent. Eur. J. Math.- 2011.- V. 9 (1).- P. 36-49.

47. Vasilyev V. L., Vsemirnov M. A. On the (2,3)-generation of hyperbolic symplectic groups of large rank // Journal of Pure and Applied Algebra.— 2013.— V. 217 (11).- P. 2036-2049.

48. Vsemirnov M. A. The group GL(6, Z) is (2, 3)-generated // Journal of Group Theory.- 2007,- V. 10 (4).- P. 425-430.

49. Vsemirnov M. On (2,3)-generation of small rank matrix groups over integers // Quaderni del Seminario Matemático di Brescia.— 2008.— No. 30.— P. 1-15.

50. Wielandt H. Finite Permutation Groups // Boston, MA: Academic Press.— 1964.