Гомотопическая теория нормальных рядов в группах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Михайлов, Роман Валерьевич

• Михайлов, Роман Валерьевич
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Михайлов, Роман Валерьевич

0 Введение

1 Аппроксимационные свойства

1 Нилыютентная аппроксимируемость групп

1.1 Инварианты Бэра.

1.2 Нильпотентная аппроксимируемость к -центральных расширений

1.3 Группы с одним определяющим соотношением

1.4 Разрешимая аппроксимируемость.

2 Асферичность и аппроксимационные свойства скрещенных модулей

2.1 Скрещенные модули.

2.2 Точность действия и аппроксимационные свойства cat1 -групп

II Размерные подгруппы

3 Гомологии и обобщенные размерные подгруппы

3.1 Мультипликатор Шура и его фильтрации.

3.2 Когомологически согласованные идеалы.

4 Комбинаторика размерных подгрупп

4.1 Группы без размерного свойства.

4.2 Четвертая размерная подгруппа.

4.3 Пятая размерная подгруппа.

4.4 Квазимногообразия групп

4.5 Лиевы размерные подгруппы.

5 Симнлициальные аспекты теории размерных подгрупп

5.1 Полиномиальные функторы.

5.2 Две спектральные последовательности.

5.3 Четвертая размерная подгруппа.

5.4 Пятая размерная подгруппа.

III Гомотопические аспекты теории групп

6 Симплициальные методы в теории групп

6.1 Гомотопические модули.

6.2 F[K] -конструкция Милнора и теория групп.

6.3 7Гз некоторых двумерных комлексов.

6.4 Доказательство гипотезы для п = 2 и п =

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гомотопическая теория нормальных рядов в группах»

Основные объекты исследования данной работы - нижние центральные ряды, размерные ряды, производные ряды в группах, а также степени фундаментальных (ауг-ментационных) идеалов групповых колец. Пространство математических связей и приложений данных понятий оказывается едва обозримым. Это и теория гомото-пий, и алгебраическая К-теория, и геометрическая топология, и арифметика.

Данная работа следует двум направлениям и целям: 1) изучение аномальных объектов, построение различных контрпримеров, и 2) обнаружение гомологических и гомотопических связей, перемешивание теории групп с теорией гомотопий, получение как теоретико-групповых результатов методами гомологической и гомотопической алгебры, так и гомотопических результатов методами теории групп. Большую часть данной работы можно отнести к гомотопической теории групп - области алгебры, находящейся в процессе формирования и не имеющей на данный момент четких границ. Говоря неформально, гомотопическая теория групп - это область, объединяющая теорию симплициальных групп, теорию производных функторов от неабелевых функторов, теорию скрещенных комплексов и т д.

Введем основные определения. Пусть С группа. Обозначим через {7П(С)}П>1 нижний центральный ряд в С? , определяемый индуктивно как

71 (Я) = О, 7п+1(С0 = [7п(С),С] = ([х,у] := х^у'Чу | ж € 7п(С),у € С)°, п > 1. Производный ряд {<5„((7)}„>1 определяется индуктивно как й(<?) = (?, 5П+1(С) = &(<?),*»(<?)], п > 1.

В работе мы также используем стандартные обозначения для элементов трансфинитных рядов

7u(G) = rVy,(G), 7üj+1(G) = [7W(G),G], 4,(G) - ПMG), SW+1(G) = [<L(G),<UG)].

Рассмотрим целочисленное групповое кольцо Z[G] . Фундаментальным (или ауг-ментационным) идеалом A(G) называется идеал в Z[G] , являющийся ядром гомоморфизма аугментации Z[G] —> Z , отображающего линейную комбинацию элементов группы в сумму коэффициентов этой комбинации. Степени фундаментального идеала {An(G)}n>i образуют цепочку вложенных идеалов в Z[G] . Для п > 1, определим п -ю размерную подгруппу в G как

Dn{G) = G П (1 + A"(G)).

Несложно увидеть, что убывающая цепочка нормальных подгрупп

G = Di(G) Э D2{G) Э .Э Dn(G) Э . представляет собой центральный ряд, т.е. [G, Dn{G)] С Dn+1(G) для всех п > 1 . Следовательно, имеем естественное включение подгрупп 7„(G) С Dn(G) для всех п > 1 .

Размерные подгруппы были впервые рассмотрены Магнусом. Напомним центральную конструкцию работы Магнуса [62]. Пусть F свободная группа с базисом {xi\iei и А = Z[[Xi | г Е /]] кольцо формальных степенных рядов от некоммути-рующих переменных над кольцом Z целых чисел. Пусть U{.4.) группа обратимых элементов в А . Отображение Х{ ь-> 1 + Хг, г 6 I , продолжается до гомоморфизма групп в : F U{A), (0.0.1) так как 1 + Xi обратим в А (обратный элемент - это 1 — Хг + X? — • • • ). Гомоморфизм 9 является мономорфизмом (см. [64], теорема 5.6). Для а <Е А , пусть ап обозначает однородную компоненту степени п , так что а = а0 + ai Ч----+ ап -|----.

Определим

Vn(F) := {/ G F | 9(f)i = 0, 1 < г < п}, п> 1.

Легко видеть, что Т>п{Р) является нормальной подгруппой в Р и что ряд {7Эп(Р)}п>1 является центральным в Р , т.е. I?„(F)] С Р„+1(.Р) для всех п > 1 . Естественно, пересечение ряда 1 тривиально. Так как центральный ряд, то имеется включение 7п(Р) Я: Для п>1. Поэтому пересечение тривиально, т.е. группа Р нильпотентно аппроксимируема. Фундаментальным результатом теории групповых колец является теорема Магнуса, утверждающая, что для свободной группы Р имеет место равенство

7„(Г) - £>„(*■) = Vn{F) для всех п > 1 .

Для любой группы С, имеет место равенство (С) = 7„ ((3) для п = 1,2,3. При этом существуют группы С , для которых

Первый пример группы с ^((З) ^ 74 (С) принадлежит Рипсу [94]. Группа Рипса -конечная группа порядка 238 . Для любой группы б , факторгруппа £>4 (С)/74 (С) оказывается абелевой группой экспоненты 2, но по мере роста размерности, разница между размерным и нижним центральным рядом становится все сложнее.

После появления примера Рипса, возникло естественное желание построить структурную теорию размерных подгрупп и дать строгое описание размерных факторов, как функторов в категории групп. Однако, теория размерных подгрупп оказалась очень сложной, а для описания маломерных размерных подгрупп оказалось плодотворным введение гомологических и гомотопических методов.

Гомологические методы в теории размерных подгрупп восходят к работам Пасси [82]. Идеи, лежащие в основе метода Пасси можно представить следующим образом (приведем их подробно, так как обобщение результатов Пасси представляет собой одну из целей данной работы). Пусть а С д некоторый двусторонний идеал в целочисленном групповом кольце Ъ [0\ и М тривиальный С -модуль. Определим обобщенную размерную подгруппу, задаваемую идеалом а : = £>(£, а) := бП (1 + а), где пересечение рассматривается в групповом кольце. Рассмотрим следующие классы отображений на С? х О . Нормализованный 2-коцикл /:бх(?->М называется левым (соотв. правым) а -2-коциклом если линейное расширение на "ЩО] отображения : С —у М , у € О , (соотв. гх : б —> М , х 6 б ), определенного как 1у(х) = /(х,у), ж € С? (соотв. гх(у) = /(х, у), у 6 С ) оказывается нулевым при ограничении на а . Обозначим через Ра(С, М)1 (соотв. Ра(С!, М)г ) подгруппу в #2((3, М) , т.е. в группе вторых когомологий группы С с коэффициентами в М , состоящую из когомологических классов представляемых левыми (соотв. правыми) а -2-коциклами. Далее, обозначим через Ра>а(С, М) подгруппу, состоящую из когомологических классов, представляемых 2-коциклами, являющимися как левыми, так и правыми а -2-коциклами. Пусть М делимая абелева группа, рассматриваемая как тривиальный С? -модуль. Пусть

5 : Ех?с(ф, М) Ех11с{д, М) отображение, индуцируемое естественной проекцией д —► д/а . Тогда (см. теорему 3.1.1)

Ра{в, М), - Ра{в, М)г = 1ш(5).

Теперь пусть а идеал в ЩС\ содержащийся в д и а его образ относительно естественного отображения д —> А(С/1)а(С)) . Тогда (см. теорему 3.1.2) a) Ра(С/£>а(С), Т) - Я2(С/Да(С), Т) влечет

Вав(С).Вда(0) С [£>„((?), С]; b) Рй,а(С/1?а(С), Т) = Н\С/Оа(С), Т) влечет

Да0+0а(С) - [Д,(<7), С].

В случае степеней аугментационного идеала а = Дп (С), естественно получаем Р0(С, М) = Ра>а(С,М). Таким образом определяется так называемая фильтрация Пасси-Штаммбаха в группе когомологий Я2(С,М) . Вышеприведенные рассуждения показывают, что из когомологических свойств группы С/£)„(С) можно извлекать информацию о размерной подгруппе £>п+1((?) : если фильтация Пасси-Штаммбаха группы 0/Бп(С) в соответствующем члене представляет собой всю группу когомологий Я2 ((?/£>„ (С?), Т) , то Бп+1 (О) — [£)„(£?), С] . Пусть теперь нам дана некоторая группа С? , для которой мы знаем, что до некоторого фиксированного члена, скажем п , нижняя центральная и размерная фильтрации совпадают.

Представляем произвольный элемент #2((?/7„(С), Т) как центральное расширение нильпотентной группы

1 т N в/1п[(3) -> 1 и пытаемся доказать, что данное центральное расширение задает когомологический класс в соответствующем члене фильтрации Пасси-Штаммбаха. Для этого, в соответствии с теоретико-групповыми свойствами группы С , выбирается "хороший "набор представителей С/т„((?) в N , задается соответствующий 2-коцикл и т д. В случае удобных групп, скажем нильпотентных класса 2, 2-порожденных и др., выбор представителей делается естественным образом, откуда и следуют требуемые свойства размерных подгрупп. Так и работает метод Пасси. Используя именно этот метод, Пасси доказал, что Ол(С) — 74(С) для любой р -группы С при р ф 2 . Некоторые гомологические результаты данной работы, к примеру теорему 3.1.1, 3.1.2, можно рассматривать как естественные обобщения классических результатов Пасси.

Обратимся теперь к гомотопическим аспектам теории нижних центральных и размерных рядов в группах. Под гомотопической алгеброй часто понимают неабеле-во обобщение гомологической алгебры. Современная гомотопическая алгебра начинается с работ по симшшциальным категориям, производным функторам от неаддитивных функторов, модельным категориям и т д. При этом, аксиоматическим началом гомотопической алгебры, возможно, следует считать монографию Квилле-на [90]. Одни из первых идей применять гомотопические методы в работе с рядами в группах, принадлежат Столлингсу. Столлингс [101] пишет следующее: "Рипс показал, что существует разница между размерными подгруппами и членами нижнего центрального ряда. Возникает вопрос, как увидеть это с помощью спектральной последовательности Кертиса, проводя рассмотрение хотя бы на уровне примера Рип-са."Отчасти эта программа была реализована Шьегреном, учеником Столлингса. Именно используя спектральные последовательности типа Кертиса, Шьегрен показал, что для любого натурального п , существует конечнозначная функция с(п) , такая что С 7„((?) для любой группы С . Уже позже, Хартли и Гупта избавились от языка спектральных последовательностей и представили чисто теоретико-групповое доказательство результата Шьегрена.

Что такое теория гомотопий? Следуя идеологии [90], мы можем ответить на данный вопрос следующим образом. Для абстрактной модельной категории с выделенными классами морфизмов, называемых слабыми эквивалентностями, расслоениями и корасслоениями, посредством обращения слабых эквивалеитностей, определяется локализация, называемая гомотопической категорией. Под (абстрактной) теорией гомотопий можем понимать жизнь внутри гомотопической категории. Как показано в [90], для гомотопических категорий естественным образом определяются такие понятия как надстройки, конусы отображений, последовательности расслоений и корасслоений, спектральные последовательности, в общем то, с чем привыкли работать в обычной теории гомотопий топологических пространств. Отметим, что можно обобщить класс категорий и рассматривать не модельные категории по Квиллену, а кофибрантные категории в смысле Бауэса [4], при этом основные гомотопические понятия также естественно возникнут и позволят создать абстрактную теорию, обобщающую обычную теорию гомотопий топологических пространств.

Пусть С некоторая категория. Симплициальный объект X* в С - это семейство объектов {Хг-},->о, Хг е ОЪ(С) вместе с двумя семействами морфизмов й{ е Нотс(Хч, Хд-г), ^ е Нотс{Хд, Х9+1), 0 < г < q, называемых отображениями граней и вырождений, которые удовлетворяют следующим соотношениям: г < у, s■íSj Sj+^Si1 ъ ^ у, diSj = ъ < у, (0.0.2) djSj - - — ¿6?, г > j + 1.

Симплициальный морфизм / : X* —> К - это семейство морфизмов и е Нотс(хи у;-), г > 0, согласованных с отображениями граней и вырождений. Категорию симплициаль-ных объектов в С будем обозначать через БС . Под симплициальной группой (соотв. кольцом, абелевой группой, топологическим пространством и т д.) понимаем симплициальный объект в категории групп (соотв. в категории колец и т д.). Для симплициальной группы С, естественным образом определяются гомотопические группы г > 0 являющиеся абелевыми группами при г > 1 .

Как показано в [90], категория симплициальных групп (все необходимые определения см. в следующей главе) естественным образом наделяется структурой замкнутой модельной категории. При этом, слабыми эквивалентностями выбираются морфизмы симплициальных групп, индуцирующие изоморфизмы гомотопических групп, расслоениями - морфизмы, индуцирующие сюръекции комплексов Мура, а корасслоениями - ретракты свободных морфизмов. Инъективное отображение / : X —> Z в категории симплициальных групп называется свободным, если для каждого б/ существуют подмножества Сд С Zg , такие что (г) т}*Сд С Ср когда 1) : [<?] —» [р] сюрьективное монотонное отображений, (и) /д + дч : Хд V РСЧ —► изоморфизм для всех q (здесь V свободное произведение групп, ЕСд свободная группа, порожденная Сд и дд : РСд — расширение Сд С %д ). Формально корасслоения могут быть определены проще, исходя из свойств сопряженности, содержащихся в аксиомах модельных категорий [90]. Структура модельной категории может быть задана на симплициальных категориях над многими другими алгебраическими системами, например, над коммутативными алгебрами, ассоциативными алгебрами, алгебрами Ли, йордановыми алгебрами и т д. Определение слабых эк-вивалентностей, расслоений и корасслоений практически дословно переносится на эти категории. В этих случаях проверка аксиом модельных категорий, как правило, представляет собой простое упражнение. Отметим, при этом, что доказательство факта существования структуры замкнутой модельной категории для симплициальных множеств - задача далеко не простая, именно этому доказательству посвящена последняя глава в книге [39]. Таким образом, существование алгебраических операций в наших категориях существенно облегчает построение соответствующих теорий гомотопий.

Пусть С\/\/ - категория С\¥-комплексов X с тривиальным 0 -скелетом Х° = * . Морфизмы в данной категории - непрерывные пунктированные отображения. Го-мотония ~ на множестве морфизмов определяет фактор-категорию СУ\// которая представляет собой обычную гомотопическую категорию из алгебраической топологии. Для X, У € С\/\/ , пусть [X, У] обозначает множество гомотопических классов X —> У в СУУ/ ~ . Пусть С\/\/г полная подкатегория в С\/\/, состоящая из CW-комплексов X с тривиальным (г — 1) -скелетом. Кан (см, к примеру, [3]) построил функтор G : CWr+1 —> (SGr)r, индуцирующий эквивалентность гомотопических категорий

G : CWr+1/ ~ Ho(<SGr)r, г > 0.

Данный функтор отправляет CW-комплекс X в группу петель Кана G(X), которая является свободной симплициальной группой. Говоря неформально, эта эквивалентность позволяет перевести все явления классической теории гомотопий на язык теории групп. При этом, результат подобного перевода может оказаться слишком сложным. Однако в ряде случаев, теория гомотопий позволяет увидеть определенные свойства свободных групп, не видимые комбинаторно. Примеры таких свойств, следующих из теоремы Нишиды о нильпотентности и описания кручения в гомотопических группах букета сфер, даны в последней главе данной работы.

Какое же отношение теория гомотопий может иметь к теории (обобщенных) размерных подгрупп и нижних центральных рядов в группах? Приведем два примера применения гомотопических методов: сначала в теории размерных подгрупп, определяемых симметрическими произведениями, а затем и для классических размерных подгрупп. Для кольца S и двусторонних идеалов .,/„ (п > 2) в S , рассмотрим их симметрическое произведение: lai ■ ■ • Ian > ir€En где £n n -я группа перестановок. К примеру, для п = 2 , имеем (/1/2)5 = hh + /2 Д. Отметим, что всегда имеет место включение идеалов (Д . .In)s Я ДП- • -П/п . Пусть теперь F свободная группа, R\,., Rn нормальные подгруппы в F . Рассмотрим двусторонние идеалы в целочисленном групповом кольце определенные как ri = (В4 — 1)Z[F], г = 1,., n . Возникает естественный вопрос: описать нормальную подгруппу в F , определяемую идеалом (гх . гп)$, т.е. обобщенную размерную подгруппу

D(F; (п . тп)3) ■■= F Г) (1 + (п . г„)5).

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим симметрическое произведение нормальных подгрупп Ri,.,Rn, определенное как ill, - - - ,-Rnls = JJ [• • • [ilo-uilffa], ■ - ■ ,Ran].

Заметим, что

Г1.ГП)5).

Получаем естественное отображение

Г) ■ • ■ П Лп Г1 П • • • П гп fF-.Ru., я„ : 9-[Я ь • • •, ЯпЬ >-+д- 1 + (Г1. г„)5, д <Е П • • ■ П Я^.

Оказывается, для некоторого выбора .Р1,,.,В.п , существует пространство X , такое что отображение fF■,R1,.,Rn представляет собой п -й гомоморфизм Гуре-вича:

ЯтП-ПДп .д" пП-ПГп

Ях,.,лп]5 (Г1.г„)а

0.0.3)

7Г,

XX) -- нп(х) отметим, что, в ряде случаев, в качестве X можно выбрать пространство петель над гомотопическим копределом классифицирующих пространств фактор-групп для разных наборов {¿1,.,^} из {1,., п} ). В этом случае, фак-Т0Р представляет собой в точности ядро гомоморфизма Гуревича и мы можем использовать топологические методы для его описания. Детали данной конструкции приведены в 7.1. Там же показано, как для определенного выбора подгрупп, изучаемый фактор оказывается изоморфен гомотопическим группам двумерной сферы.

Перейдем теперь к классическим размерным подгруппам. Пусть б группа. Выберем свободную симплициальную резольвенту (7 : Е. —» (? . Фильтрация по нижнему центральному ряду Е. и по аугментационным степеням ЩЕ.\ задает спектральные последовательности Е(С) и Е(С) с начальными членами и естественным отображением к : Е(С) —> , индуцированным каноническим вложением Е. —> ЩЕ,], />—>/ — 1 . В данных обозначениях естественным образом получается следующее описание отображения из нижних центральных факторов в аугментационные факторы:

7п(С)/7п+1(С)

Дп((?)/Д П+1(С) и размерные подгруппы снова связываются с ядрами гомоморфизмов Гуревича определенных пространств. Анализ дифференциалов и начальных членов данных спектральных последовательностей приводит к следующей диаграмме, состоящей из естественных эпиморфизмов и мономорфизмов: ег(40) — £4(С)/74(С) (0.0.4)

У2{С) <-- Ь^Р^Оаь) здесь £15Р2(6,а{,) - первый производный функтор в смысле Дольда-Пуппе от симметрического квадрата, примененный к абеленизации группы С , - некоторый функтор, значения которого всегда являются 2-кручением (под ■ мы понимаем соответствующее отображение между членами спектральных последовательностей —► Е^(С) ). Ценность данной диаграммы не просто в том, что она абстрактно связывает размерный фактор с "производным миром", а в том, что она указывает конкретное место этого сложного теоретико-группового явления внутри теории производных функторов. Для высших размерных подгрупп, то есть для случая п > 4 , ситуация оказывается куда более сложной. Определим функтор Бп в категории абелевых групп как

5„(А) = сокег{Лп(А) - ®П(Л)), где А - абелева группа, £п п -й лиев функтор. В данных обозначениях, изучение дифференциалов спектральных последовательностей, с неоднократными применениями леммы о змее, приводит к следующей диаграмме, являющейся обобщением диаграммы (0.0.4): кег(Хк^о) еГ(Кп,о) кет(к^)

7„(С)П£>„+1(С)

-Уп+1(С) сокег(£п-1) - ¿1 (СаЬ)

7п+1(С).гт(кегС^0))

7п(С)ПРп+1(С) , (ПЛ сокег^к^о)

0.0.5)

Все обозначения отображений и функторов из этой диаграммы приведены в 5.2. Здесь означает первый производный функтор в смысле Дольда-Пуппе [29]. Ядра кег(кгп 0) , возникающие в данной диаграмме имеют естественную теоретико-групповую интерпретацию и играют центральную роль в методах Шьегрена и Гуп-ты.

Содержание работы

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Михайлов, Роман Валерьевич, 2010 год

1. J. F. Adams: A new proof of a theorem of Cockcroft, J. London Math. Soc. 30 (1955), 482-488.

2. H.-J. Baues and R. Mikhailov: Intersection of subgroups in free groups and homotopy groups, Intemat. J. Algebra Comput, 18 (2008), 803-823

3. H.-J. Baues: Homotopy type and homology, Oxford Science Publications, Oxford, (1996).

4. H.-J. Baues: Algebraic homotopy, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 15, Cambridge, (1989).

5. H.-J. Baues: Quadratic homology, Trans. Amer. Math. Soc. 351 (1999), 429-475.

6. H.-J. Baues and T. Pirashvili: A universal coefficient theorem for quadratic functors, J. Pure Appl. Alg. 148 (2000) 1-15.

7. G. Baumslag, R. Strebel, M. Thomson: On the multiplicator of F/^CR . Journal of Pure Appl. Alg. 16, 121-132 (1980)

8. J. Brandenburg and M. Dyer: On J. H. C. Whitehead's aspherical question. I. Comment. Math. Helv. 56 (1981), 431-446.

9. G. Baumslag and U. Stammbach: On the inverse limit of free nilpotent groups, Comment. Math. Helv., 52 (1977), 219-233.

10. A. Bousfield, E. Curtis, D. Kan, D. Quillen, D. Rector and J. Schlesinger: The mod-p lower central series and the Adams spectral sequence, Topology 5 (1966), 331-342.

11. M. Barr and J. Beck: Homology and standard constructions, Lecture Notes in Math. 80 (1969), 245-335.

12. W. Bogley: An embedding for ir2 of a subcomplex of a finite contractible two-complex, Glasgow Math. J., 33 (1991), 365-371.

13. W. Bogley: J. H. C. Whitehead's asphericity question, Two-dimensional homotopy and combinatorial group theory, London Math. Soc. Lecture Note Ser. 197, Cambridge Univ. Press, Cambridge, (1993), 309-334.

14. W. Bogley and M. Gutierrez: Mayer-Vietoris sequences homotopy of 2-complexes and in homology of groups, J. Pure Appl. Algebra 77 (1992) 39-65.

15. A. K. Bousfield: Homological localization towers for groups and it -modules, Mem. Amer. Math. Soc., 186, (1977).

16. R. Brown: Coproducts of crossed P -modules: applications to second homotopy groups and to the homology of groups, Topology, 23, (1984), 337-345.

17. R. Brown and G. Ellis: Hopf formulae for the higher homology of a group, Bull. London Math. Soc. 20 (1988), 124-128.

18. R. Brown and J.-L. Loday: Van Kampen theorems for diagrams of spaces, Topology 26 (1987), 311-335.

19. J. Burns and G. Ellis: On the nilpotent multipliers of a group, Math. Z., 226 (1997), 405-428.

20. P. Carrasco, A. Cegarra and A. R.-GrandjeAn: (Co)homology of crossed modules, J. Pure Appl. Algebra 168 (2002), 147-176.

21. J. Casas, G. Ellis, M. Ladra and T. Pirashvili: Derived functors and the homology of n-types, J. Algebra 256 (2002), 583-596.

22. H. Cartan and S. Eilenberg: Homological Algebra, Princeton University Press, 1956.

23. T. Cochran and K. Orr: Stability of lower central series of compact 3-manifold groups, Topology, 37 (1998), 497-526.

24. D. Conduche: Question de Whitehead et modules precroises, Bull. Soc. Math. France, 124 (1996), 401-423.

25. E. Curtis: Some nonzero homotopy groups of spheres, Bull. Amer. Math. Soc. 75 (1969), 541-544.

26. G. Donadze, N. Inassaridze, T. Porter: N -fold Cech derived functors and generalised Hopf type formulas. K-Theory 35, 341-373 (2006).

27. A. Duncan, G.J.Ellis, N.D.Gilbert: A Mayer-Yietoris sequence in group homology and the decomposition of relation modules, Glasgow Math. J. 37 (1995) 159-171.

28. T. Datuashvili T. and T. Pirashvili: On (co)homology of 2-types and crossed modules, J. Algebra 244 (2001), 352-365.

29. A. Dold and D. Puppe: Homologie nicht-additiver Puntoren; Anwendugen. Ann. Inst. Fourier 11 (1961) 201-312.

30. M. Dyer: Crossed modules and щ homotopy groups, Two-dimensional homotopy and combinatorial group theory, London Math. Soc. Lecture Note Ser. 197, Cambridge Univ. Press, Cambridge, (1993), 125-.

31. W. Dwyer: Homology, Massey products and maps between groups, J. Pure Appl. Algebra, 6 (1975), 177-190.

32. W. Dwyer: Homological localization of 7r -modules, J. Pure Appl. Algebra, 10, (1977) 135-151.

33. S. Eilenberg and S. Mac Lane: On the groups Н(ж,п), II: Methods of computation, Ann. Math. 60, (1954), 49-139.

34. G. Ellis: Homology of 2 -types, J. London Math. Soc. (2), 46 (1992), 1-27.

35. G. Ellis: A Magnus-Witt type isomorphism for non-free groups, Georgian Math. J. 9, Number 4 (2002) 703-708.

36. G. Ellis and R. Mikhailov: A colimit of classifying spaces, в печати Advances in Math.

37. Т. Everaert and Т. Van der Linden: Baer invariants in semi-abelian categories II: Homology Theory and Applications of Categories, 12, (2004), 195-224.

38. A. Frohlich: Baer invariants of algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 109 (1963), 221-244.

39. С. Гельфанд и Ю. Манин: Методы гомологической алгебры. Введение в ко-гомологии и производные категории. М. Наука (1988).

40. N. Gilbert: Cockroft complexes and the plus-construction, Groups-Korea'94 (Pusan), (1995), 119-125.

41. K. Gruenberg: Cohomological Topics in Group Theory, Lecture Notes in Math. 143, Springer-Verlag, (1970).

42. K. Gruenberg: Residual properties of infinite soluble groups, Proc. London Math. Soc. 7, 29-62 (1957).

43. A. Grandjean, M. Ladra and T. Pirashvili: CCG-homology of crossed modules via classifying spaces, J. Algebra 229 (2000), 660-665.

44. L. Gruenenfelder: Lower central series, augmentation quotients and homology of groups, Comment. Math. Helv., 55 (1980), 159-177.

45. C. Gupta, N. Gupta: Generalized Magnus embeddings and some applications. Math. Z. 160, 75-87 (1978)

46. N. Gupta: Integral dimension subgroups, Groups-St. Andrews 1989, London Math. Soc. Led. Notes 159, Cambridge Univ. Press, Cambridge, (1991), 214-249.

47. N. Gupta: The dimension subgroup conjecture holds for odd order groups, J. Group Theory, 5 (2002), 481-491.

48. N. Gupta: The dimension subgroup conjecture, Bull. London Math. Soc., 22 (1990), 453-456.

49. N. Gupta: Free group rings. Contemporary Mathematics, 66, American Mathematical Society, Providence, RI, (1987).

50. N. Gupta and F. Levin: On the Lie ideals of a ring, J. Algebra 81 (1983), 225-231.

51. C. K. Gupta and I. B. S. Passi: Magnus embeddings and residual nilpotence, J. Algebra, 105 (1987).

52. M. A. Gutierrez and J. Ratcliffe: On the second homotopy group, Quart. J. Math. Oxford, 32 (1981), 45-55.

53. M. Gutierrez and P. Hirschhorn: Free simplicial groups and the second relative homotopy group of an adjunction space, J. Pure. Appl. Alg. 39, (1986), 119-123.

54. B. Hartley: Powers of the augmentation ideal in group rings of infinite nilpotent groups, J. London Math. Soc, 25 (1982), 43-61.

55. B. Hartley and R. Stohr: Homology of higher relation modules and torsion in free central extensions of groups, Proc. London Math. Soc., 62, (1991), 325-352.

56. J.C. Hausmann: Acyclic maps and the Whitehead aspherical problem, preprint.

57. D. Kan: On homotopy theory and c.s.s. groups, Ann. of Math., 68 (1958), 38-53.

58. D. Kan: A relation between CW-complexes and free c.s.s. groups, Amer. J. Math. 81 (1959), 521-528.

59. J.-L. Loday: Spaces with finitely many nontrivial homotopy groups, J. Pure Appl. Algebra, 24 (1982), 179-202.

60. J. McCarron: Residually nilpotent one-relator groups with nontrivial center, Proc. Amer. Math. Soc., 124, (1996).

61. W. Magnus: On a theorem of Marshall Hall. Ann. Math. 40, 764-768 (1939)

62. W. Magnus: Beziehungen zwischen Gruppen und Idealen in einem speziellen Ring, Math. Ann. 111 (1935), 259-280.

63. W. Magnus: Uber Beziehungen zwischen höheren Kommutatoren, J. reine angew. Math. 177 (1937), 105-115.

64. W. Magnus, A. Karrass, D. Solitar: Combinatorial group theory, Interscience Publishers, 1966.

65. А. И. Мальцев: Обобщенно нильпотентные алгебры и их присоединенные группы // Мат. сб. 1949. Т. 25. С. 347-366.

66. Р. Михайлов: Трансфинитные нижние центральные ряды в группах: пара-свободные свойства и топологические приложения Труды Мат. Инст. им. В. А. Стеклова 239 (2002), 251-267.

67. Р. Михайлов: Нильпотентая и разрешимая аппроксимируемость групп, Мат. Сб. 196 (2005), 109-126.

68. Р. Михайлов: Точные действия групп и асферичные комплексы, Труды Мат. Инст. им. В.А. Стеклова 252 (2006), 184-193.

69. R. Mikhailov: On residual properties of projective crossed modules, Comm. Alg. 34 (2006), 1451-1458.

70. P. Михайлов: Асферичность и аппроксимационные свойства скрещенных модулей, Мат. Сб. 198 (2007), 79-94.

71. Р. Михайлов: Инварианты Бэра и нилыютентная аппроксимируемость групп, Изв. РАН 71 (2007), 151-172.

72. R. Mikhailov and I.B.S. Passi: Augmentation powers and group homology, J. Pure Appl. Algebra 192 (2004), 225-238.

73. R. Mikhailov and I.B.S. Passi: A transfinite filtration of Schur multiplicator, Internat. J. Algebra Comput. 15 (2005), 1061-1073.

74. R. Mikhailov and I.B.S. Passi: The quasi-variety of groups with trivial fourth dimension subgroup. J. Group Theory 9 (2006), 369-381.

75. R. Mikhailov and I.B.S. Passi: Faithfulness of certain modules and residual nilpotence of groups, Internat. J. Algebra Comput. 16 (2006), 525-539.

76. R. Mikhailov and I.B.S. Passi: Lower central and dimension series of groups, Lecture Notes in Math, Springer, 1952 (2009).

77. R. Mikhailov and J. Wu: On homotopy groups of the suspended classifying spaces, Alg. Geom. Top. 10 (2010), 565-625.

78. J. Milnor: On the construction F(K), Algebraic Topology A Student Guide, by J.F. Adams, 119-136 (Cambridge University Press) (1957)

79. A. Multu and T. Porter: Iterated Peiffer pairings in the Moore complex of a simlicial group, Appl. Cat. Str. 9 (2001), 111-130.

80. G. Nishida, "The nilpotency of elements of the stable homotopy groups of spheres", Journal of the Mathematical Society of Japan 25 (1973), 707-732.

81. I. B. S. Passi: Anniliilators of relation modules. II, J. Pure Appl. Algebra, 6 (1975), 235-237.

82. I. B. S. Passi: Dimension subgroups, J. Algebra, 9 (1968), 152-182.

83. I. B. S. Passi: Group rings and their augmentation ideals, Lecture Notes in Mathematics, 715, Springer, Berlin, (1979).

84. I. B. S. Passi and U. Stammbach: A filtration of Schur Multiplicator, Math. Z., 135 (1974), 143-148.

85. I. B. S. Passi and L. R. Vermani: Dimension subgroups and Schur multiplicator, J. Pure and Appl. Algebra, 30 (1983), 61-67.

86. A. Pietrowski: The isomorphism problem for one-relator groups with non-trivial centre, Math. Z, 136 (1974), 95-106

87. В. I. Plotkin: The varieties and quasi-varieties that are connected with group representations, (Russian), Dokl. Akad. Nauk SSSR 196 (1971), 527-530. Soviet Math. Dokl., 12 (1971), 192-196.]

88. Б.И. Плоткин и C.M. Вовси: Многообразия представлений групп; Общая теория, связи и приложения Зинатне, Рига (1983).

89. S. J. Pride: Identities among relations, Group theory from a geometrical point of view, 687-717 (1991).

90. H. Toda: Composition methods in homotopy groups of spheres, Annals of Mathematics Studies, No. 49 Princeton University Press, Princeton, N.J. (1962)

91. E. Witt: Treu Darstellung Liescher Ringe, J. reine angew. Math. 177, (1937), 152-160.

92. J. Wu: Combinatorial description of homotopy groups of certain spaces, Math. Proc. Camb. Phyl. Soc. 130, (2001), 489-513.

93. J. Wu: A braided simplicial group, Proc. London Math. Soc. 84 (2002), 645-662.

94. J. Wu: On Brunnian-type links and the link invariants given by homotopy groups of spheres, arxiv: 0909.4973.