Явные конструкции в теории формальных групп и конечных групповых схем и их приложения к арифметической геометрии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Бондарко, Михаил Владимирович

• Бондарко, Михаил Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Бондарко, Михаил Владимирович

Введение. Формулировка основных результатов

Обозначения и соглашения

1 Основные определения: формальные группы и их модули Картье; модули Оорта групповых схем. Классификационные результаты Хонды и Хазевинкеля

1.1. Основные понятия теории формальных групп.

1.1.1. Формальные группы, их гомоморфизмы, (строгие) изоморфизмы

1.1.2. Формальные группы в характеристике ноль.

1.2. Модули Картье-Дьедонне.

1.2.1. Кольцо Картье; функтор Картье.

1.2.2. Модули Дьедонне в характеристике р; свойства редукции.

1.3. Модули Оорта.

1.4. Определение и свойства универсальных коммутативных формальных групповых законов.

1.4.1. Криволинейные и р-типические группы

1.4.2. Универсальные формальные групповые законы и их свойства

1.5. Классификация формальных групп над неразветвленными кольцами

2 Вспомогательные результаты

2.1. Определение и свойства сг-полей. Основная структурная теорема.

2.2. Ограничение скаляров для формальных групп.

2.2.1. Обозначения и терминология

2.2.2. Лемма Йонеды и групповые объекты в категориях; представимые функторы.

2.2.3. Понятия расширения и ограничения скаляров.

2.2.4. Основные результаты об ограничении скаляров.

2.2.5. Доказательства

2.2.6. Формулы.

2.3. Главная матричная лемма.

2.4. Формальный групповой закон Fa

2.5. Вложение схем в р-делимые группы.

3 Представители в классах строгой изоморфности формальных групп

3.1. Формулировка.

3.2. Определенность формальной группы над подкольцом.

3.3. Поведение классов строгой изоморфности формальных групп при гомоморфизмах колец

3.4. Канонические представители в классах изоморфности над неразветвлен-ными кольцами.

4 Классификация формальных групп

4.1. Логарифмическая матрица.

4.1.1. Примененение методов Хонды в сочетании с ограничением скаляров

4.1.2. Построение матрицы

4.1.3. Основные свойства логарифмической матрицы.

4.1.4. Инвариантные модули Картье-Дьедонне.

4.2. Дробные части; классификация с точностью до изогении.

4.2.1. Представление Л в виде дроби во вполне разветвленном случае

4.2.2. Определение дробных частей

4.2.3. Образ логарифмической матрицы на рациональном уровне

4.2.4. Главная теорема о'дробных частях'

4.2.5. Следствия из теоремы

4.2.6. Гомоморфизмы одномерных групп

4.2.7. Представление Л в виде дроби в общем случае.

4.2.8. Связь и с редукцией F.

4.3. Свойства инвариантных модулей Картье (-Дьедонне).

4.3.1. Категория D-модулей.

4.3.2. Эквивалентность двух определений DF.

4.3.3. Основные свойства Dp.

4.3.4. Замена основного поля.

4.3.5. Свойства образов инвариантных модулей Картье при L-линейных отображениях.

4.3.6. Свойства Dp для не-р-типических формальных групп.

4.4. Модульный инвариант

4.4.1. Вложение инвариантных модулей Картье в пополненные модули рядов.

4.4.2. Определение и основные свойства модульного инварианта.

4.4.3. Свойства Мр для групп конечной высоты. Алгоритм для классификации формальных групп.

4.4.4. Классификация для е < р

4.4.5. Классификация формальных групп для е < р2/2.

4.4.6. Применение к свойствам инвариантных модулей.

4.5. Свойства пополнения в терминах модулей Картье; связь с теорией Фонтена

4.5.1. Описание пополнения на "инвариантном" языке.

4.5.2. Сравнение с теорией Фонтена.

5 Конечные групповые схемы

5.1. Некоторые новые понятия и результаты в теории модулей Картье

5.1.1. Замкнутые подмодули; разделенные модули.

5.1.2. Связь разделенных модулей с групповыми схемами

5.1.3. Инъективные модули Картье формальных групп.

5.1.4. Свойства инъективных модулей Картье.

5.1.5. Поведение модулей Оорта при расширении колец.

5.1.6. Утверждения о модулях Картье, связанных с редукцией.

5.2. Основная классификационная теорема для групповых схем; расширения групповых схем

5.2.1. Формулировка теоремы.

5.2.2. Доказательство необходимости в теореме 5.2.

5.2.3. Доказательство достаточности в теореме 5.2.1: построение некоторой формальной группы.

5.2.4. Существование формальной группы конечной высоты.

5.2.5. Завершение доказательства частей I и II.

5.2.6. Доказательство достаточности в теореме 5.2.1, часть III.

5.2.7. Расширения групповых схем.

5.3. Касательное пространство групповой схемы.

5.3.1. Определение; выражение в терминах модуля Оорта.

5.3.2. Размерность групповой схемы.

5.4. Некоторые вспомогательные результаты.

5.4.1. Связь замкнутых подсхем с общим слоем

5.4.2. Сведение теоремы 0.0.3 к р-делимым группам.

5.4.3. Сведение к связной компоненте.

5.5. Доказательство основных утверждений про общий слой групповых схем

5.5.1. Ядро редукции.

5.5.2. Коядро редукции

5.5.3. Доказательство предложения 5.4.2.

5.5.4. Усиление теоремы 0.0.3 в случае, когда S связна.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Явные конструкции в теории формальных групп и конечных групповых схем и их приложения к арифметической геометрии»

Перечислим основные обозначения, которые нам понадобятся для формулировки центральных результатов работы. Эти обозначения будут также использоваться во всей работе.

L будет полным дискретно нормированных полем характеристики 0 (кроме глав 8, 9), с полем вычетов характеристики р, е — абсолютным индексом ветвления L, Dl — его кольцом целых, s = [logp(^-)], 7г — некоторой униформизующей L, v — нормализованным нормированием на L, 9Л — максимальным идеалом L, J =

L часто будет содержать полное дискретно нормированное подполе К, [L : К] = п < оо, ё — индекс ветвления L/K (часто п будет равно е'), О к — кольцо целых К, Тг — след в L/К, С\ — степень расширения L/Ki, где К\/К — максимальное неразветвленное подрасширение в L/K, I = 2s + vp(ei) + 1, V = s + vp(ei) + 1.

В случае, когда L/K — расширение Галуа, его группа Галуа будет обозначаться через

G.

Нам также понадобятся некоторые ассоциированные модули Галуа. Определим

21l/k(Dl) = {fe K[G} : f(0L) С Dl} €i = {/ e L[G]: v(f(x)/x) >iVxe L*}; % = €{П K[G\.

Обычно F будет коммутативной m-мерной формальной группой над Ol, S,T будут конечными плоскими коммутативными групповыми схемами над Dl

Для конечной групповой схемы S/£>l мы будем обозначать через TS модуль, Оь-двойственный к Js/Js2 (т.е. Нотol(Js/Js>L/&l)), где Js — идеал пополнения координатного кольца S. Для конечных плоских групповых схем S,T будем писать S С Т, если существует морфизм / : S -*Т, инъективный на общем слое.

Для m,l > 0 A/mxi(2l) будет обозначать модуль матриц размера m х I над кольцом

21.

Целью этой работы является изучение и классификация формальных групп и конечных групповых схем над кольцами целых полных дискретно нормированных полей. Среди основных результатов работы можно указать явную классификацию формальных групп в терминах их логарифмов (см. главу 4), построение явных представителей в классах строгой изоморфности коммутативных формальных групп над произвольным кольцом без кручения (см. главу 3), явную классификацию конечных локальных групповых схем в терминах их модулей Картье (см. параграф 5.2), вычисление "размерности" и "касательного пространства" групповой схемы, а также описание усеченных групп Барсотти-Тэйта на языке касательных пространств (см. параграф 5.5), доказательство «почти полноты» функтора общего слоя для конечных групповых схем (см. параграф 5.5).

Эти результаты применяются для изучения спуска для делимых групп и получения "конечных диких" критериев хорошей, полустабильной и невырожденной редукции абелевых многообразий (см. главу 6); а также для построения явных представителей в классах изогенности формальных групп (см. главу 7); вычисление структуры идеалов как аддитивных модулей Галуа и выявления связи между ассоциированными модулями Галуа и арифметикой расширения (главы 8 и 9).

Сформулируем некоторые центральные результаты работы.

Основным инструментом для изучения формальных групп над кольцами целых полных дискретно нормированных полей является данный автором инвариантный аналог классического (абстрактного) определения модуля Картье.

Для / = (/i) € Ь[[Д]]т, /* = £ rriij Aj, А — формальная переменная, X = (Х\,. Хт) определим

М = (fi(x)) = (]Tm^). j

Определим инвариантный модуль Картье формального группового закона F/Ol как DF = {fe Ь[Щт ■ expF(/(*)) € 0L[[x]]m}.

Обозначим Up~j0l[[A]] через R.

Теорема 0.0.1. I Для формальных групп Ft и F2 размерностей m,i и mi, чьи инвариантные модули Картъе-Дъедоние равны Di и соответственно, выполнены следующие утверждения.

1) Пусть А — матрица размера т2 х mj над Оl- Существует гомоморфизм / из Fi 6 Fi> f(X) = АХ mod deg2, тогда и только тогда, когда ADi С Дг

2) Для mi = 7П2 группы Fi и F2 строго изоморфны в том и только в том случае, когда Di = D2

II Пусть G — n-мерная формальная группа, U — подпространство Ln размерности т. Тогда существуют т-мерная формальная группа F и матрица А £ Мпхт(Ol) такие, что /7[[Д]] П Do = ADp

III Пусть F — т-мерная формальная группа конечной высоты, A G Мпхт(0ь),

1) Пусть выполнено ADF С Rn. Тогда ADF С р~*9Лр'[[Д]]п.

2) Пусть для у € DF, у = £i>0yiAl выполнено Ay G Rn. Тогда psA yi+s As € J[[A)}\

3) Dp П Rm = 7tDf„, где F„{X, Y) = тгY).

Кроме того, если поле L локально, то мы указываем явный базис Dp над Zp[[A]]; во всех случаях Dp является свободным модулем размерности те над некоторой (некоммутативной) областью целостности XV.

Классификационная теорема о конечных локальных групповых схемах формулируется в терминах их модулей Картье, определенных Ф. Оортом (см. пункты 1.2.1 и 1.3).

Теорема 0.0.2. I Cart -модуль М изоморфен C(S) для некоторой конечной связной плоской групповой схемы S над £>l если и только если М удовлетворяет следующим условиям.

1) M/VM — О^-модуль конечной длины.

2) Модуль М не имеет У-кручения.

3) ГЪоV'M = {0}.

4) Не существует собственного Cavt-подмодуля N С М такого, что (ж)М С N, и, при этом, M/N не имеет V-кручения.

II Пусть S — конечная локальная групповая схема.

1) TS = M(S)/V(M(S)).

2) Наименьшая размерность формальной группы F конечной высоты такой, что S вкладывается в F, равна dimoL (TS).

3) S = Ker[pr]f для т-мерной формальной группы F если и только если prS = 0 и (DL/prDL)m.

III М = C(Ker[pr]p) для т-мерной формальной группы F если и только если, кроме условий пункта I, также выполнено ргМ = 0 и M/VM « (Оь/ргОь)т■

IVЕсли конечные групповые схемы S, Т связны, mo Ext1^, Т) = Ext1cart(C(5'), С(Т)).

Это дает полную классификацию конечных плоских связных групповых схем над кольцами целых полных дискретно нормированных полей.

Мы также доказываем следующее обобщение классического результата М. Рено.

Теорема 0.0.3. ПустьT,S — конечные плоские коммутативные схемы надОь, Tl,Sl~ их общие слои, hb - Tl —> Sl ~ морфизм групповых схем над L.

Тогда существует Оь-морфизм g : Т —> S такой, что ql (т.е. общий слой д) совпадает с pshi.

Таким образом, групповые схемы "почти восстанавливаются" по общему слою. Легко видеть, что оценка на s является точной.

Частным случаем теоремы 0.0.3 при е < р является основной результат статьи [37] (о том, что в этом случае функтор общего слоя является полным). Из нее также немедленно следует известный результат Дж. Тэйта о том, что функтор общего слоя для р-делимых групп вполне унивалентен.

Мы также доказываем аналогичный факт о расширениях групповых схем.

Теорема 0.0.4. Если е < (р — 1 )ри, то показатель группы

Ker(Extl0L(S,T) - Ext\(SL,TL)) (1) отображение индуцировано функтором общего слоя) не превосходит ри.

Теорема 0.0.4 снова является обобщением соответствующего результата, доказанного в [37] для случая е < р — 1.

Мы доказываем, что р-делимая группа У имеет "хорошую редукцию" над подполем К С L тогда и только тогда, ее общий слой определен над К и некоторая р-подгруппа Y определена над Dl

Теорема 0.0.5. Пусть V — р-делимая группа над K,Y — р-делимая группа над Ql и У *Specк SpecL = Y xSpecoL SpecL. Определим г = I, в случае е = (р — 1 )ps1 возьмем v = I — 1.

Тогда если для некоторой плоской коммутативной групповой схемы Н над О к ядро изогении Ker\pr]v,K изоморфно IIк как К-схема, то существует р-делимая группа Z над О к такая, что V = Z Xspeco к Specif.

Эти результаты дают возможность доказать ряд "конечных диких" (т.е. р-адических) критериев хорошей и полустабильной редукции абелевых многообразий. Мы называем их конечными потому, что, в отличие от критериев А. Гротендика (см. [27]), достаточно проверить некоторое условие на некоторую конечную подсхему р-кручения многообразия V (вместо всего р-кручения); при этом рассматривается подсхема, соответствующая элементам кручения уровня, который зависит только от рассматриваемых полей. В случае хорошей редукции вопрос о существовании таких критериев был поставлен Н. Катцем. Заметим, что ранее были известны только Z-адические критерии (см. [39], [40]).

Теорема 0.0.6 (Проблема Катца). 1) Пусть абелево многообразие V определено над К и имеет хорошую редукцию над L, г = I. Если для некоторой плоской коммутативной групповой схемы Н над О к ядро изогении Ker \pr]v,K изоморфно Нк как К-схема, то V имеет хорошую редукцию над К.

2) Если при этом е = (р — 1 )р"~1, то можно взять г = 1 — 1.

Таким образом, можно сказать, что если абелево многообразие имеет потенциально хорошую редукцию, то достаточно проверять имеет ли "хорошую редукцию" групповая схема Ker \pT\v,K (т.е. определена ли она над О к), где г зависит только от рассматриваемых полей.

Заметим, что для е < р — 1 выполнено I = 1; таким образом, теорема 0.0.6 — обобщение теоремы 5.3 статьи [20].

Мы также доказываем некоторый результат о абелевых многообразиях с потенциально полустабильной редукцией.

Теорема 0.0.7. Пусть V — т-мерное абелево многообразие над К, имеющее полуста-билъную редукцию над L.

Тогда V имеет, полустабилъную редукцию над К если и только если для некоторой конечной групповой схемы Н надОк выполнено Т#оL D (т.е. существует вложение), при этом существует мономорфизм g : Нк —* Ker\pl}v,K

Наши методы также позволяют доказать следующий критерий невырожденной редукции (см. пункт 6.3.5).

Теорема 0.0.8. IПусть V — т-мерное абелево многообразие над К, имеющее хорошую редукцию над L.

Тогда следующие условия равносильны.

1) V имеет хорошую невырожденную редукцию над К.

2) Для некоторой групповой схемы Н/Ок мультипликативного типа (т.е. двойственной к этальной) выполнено THql и {Dl/p^Ol)™, при этом существует мономорфизм g : Нк —* Кег[рг']у,;с.

3) Для некоторой групповой подсхемы Нк С Ker[pl']vtK и поля М, неразветвлеино-го над К, выполнено Нм = (/х^ м)т. Здесь /у — групповая схема корней из единицы степени р1'.

II Пусть V — т-мерное абелево многообразие над К, имеющее полустабилъную редукцию над L.

Тогда следующие условия равносильны.

1) V имеет невырожденную редукцию над К.

2) Для некоторой групповой схемы Н над О к мультипликативного типа существуют вложения Нк в Кег[рг]у,Я" и (^l/t^^l)"1 ~ в THoL

3) Для некоторой групповой подсхемы Нк С Ker\pl\v,K и поля М, неразветвленного над К, выполнено Нм — (/у,л/)т

Отметим, что никаких других конечных критериев невырожденной редукции ранее известно не было.

Кроме того, доказывается ряд (новых) результатов о структуре идеалов как модулей Галуа во вполне разветвленных расширениях полных дискретно нормированных полей. В большом количестве случаев мы приводим необходимые и достаточные условия того, когда идеалы свободны над своими ассоциированными порядками (как модули Галуа). Также доказывается, что расширение куммеровово для данной формальной группы тогда и только тогда, когда некоторые элементы групповой алгебры достаточно сильно "повышают нормирования" (т.е. лежат в соответствующих 21^).

Теперь изложим содержание работы более подробно.

В первой главе приводятся определения и результаты, доказанные другими авторами.

Мы напоминаем основные определения теории формальных групп (формальные группы, их логарифмы, модули Картье). Приводится принадлежащее Оорту определение модуля Картье C(S) для конечной связной групповой схемы S (см. [35]). Далее мы напоминаем понятие р-типических и криволинейных формальных групп. Описывается построение и свойства некоторых универсальных формальных групповых законов, определенных в книге М. Хазевинкеля. Мы приводим классификацию Хонды формальных групп над кольцами целых неразветвленных полей и его обобщение на более широкий класс колец (полученное Хазевинкелем).

В главе 2 приведены вспомогательные утверждения, доказанные автором. В параграфе 2.1 мы доказываем важный результат о том, что на каждом абсолютно неразветв-ленном полном дискретно нормированном поле можно ввести (неоднозначно) оператор Фробениуса а. Также доказывается, что любое полное дискретно нормированное поле является вполне разветвленным расширением сг-поля.

В параграфе 2.2 описывается процедура расширения скаляров для формальных групп над полными дискретно нормированными полями.

Далее мы доказываем несложную лемму, которая позволяет переводить нужные нам классификационные утверждения с языка матриц на язык модулей; описывается формальный закон, получающийся из F линейной заменой переменной.

Наконец, доказывается, что любой гомоморфизм конечных плоских коммутативных групповых схем можно продолжить до гомоморфизма некоторых их разрешений с помощью р-делимых групп; этот результат имеет большое значение для исследования групповых схем.

Результаты главы 2 были изложены в статьях [11], [12], [11] и [3]; вклад автора в [11], [12] был основным.

Цель главы 3 — построение канонических представителей в классах строгой изоморфное™ формальных групповых законов. Для произвольного кольца R без кручения и каждого простого р 6 Z мы выбираем систему представителей 0Р : R/pR —> R. Доказывается, что любая формальная группа F над R строго изоморфна ровно одной формальной группе 6(F), чьи коэффициенты при выражении через универсальный криволинейный закон лежат в соответствующих dp(R/pR). Отдельно рассматривается случай, когда R является Z(p)-aлгeбpoй. В этом случае выполнен аналогичный результат для универсального р-типического закона.

Отметим, что единственный более ранний результат в этом направлении был получен в работе [29] только для одномерных формальных групп над неразветвленным локальным полем.

Мы также доказываем, что если S С R и представители в S согласованы с представителями в R, то формальная группа F над R строго изоморфна формальной группе, определенной над S, тогда и только тогда, когда канонический представитель F определен над S. Кроме того, приводятся необходимые и достаточные условия того, когда отображение, индуцированное гомоморфизмом колец без кручения на классах строгой изоморфности формальных групп, инъективно и сюрьективно.

Результаты главы 3 были изложены в тех частях статей [1] и [13], которые полностью принадлежат автору.

Целью главы 4 является явная классификация формальных групп над кольцами целых полных дискретно нормированных полей (с не обязательно совершенным полем вычетов) в терминах их логарифма, как с точностью до изогении, так и с точностью до изоморфизма.

Отметим, что для несовершенного поля вычетов никаких классификационных результатов ранее известно не было.

Мы вводим два инварианта формальных групповых законов. Первый классифицирует формальные группы с точностью изогений некоторого вида, этот вид явно описывается. Для вычисления второго инварианта достаточно знать несколько первых коэффициентов логарифма. Два инварианта вместе задают формальную группу с точностью до строгого изоморфизма. Оба инварианта хорошо ведут себя при расширении основного поля и при применении к нему автоморфизмов. Это свойство является важным преимуществом нашей классификации по сравнению с классификацией К. Броля формальных групп над кольцами целых обычных локальных полей. В частности, доказывается, что первый инвариант полностью определяет, изогенна ли данная формальная группа некоторой группе, определенной над меньшим полем.

Целью параграфа 4.1 является применение результатов Хонды (о классификации в неразветвленном случае) к классификации формальных групп над произвольными локальными полями. Основная идея состоит в замене с помощью ограничения скаляров m-мерной группы над Ок на те-мерную группу над неразветвленным кольцом D. С помощью матричной леммы параграфа 2.3 классификация переводится на язык модулей. Мы формулируем (первое) определение инвариантного модуля Картье-Дьедонне формальной группы.

В параграфе 4.2 доказывается, что оператор, соответствующий логарифму /атипической формальной группы над вполне разветвленным расширением сг-поля, представляется в виде дроби. Мы определяем инвариант дробной части логарифма. Мы выясняем, как связаны между собой дробные части логарифмов изогенных формальных групп. В конце параграфа доказывается, что оператор, соответствующий логарифму р-типической формальной группы над произвольным разветвленно-свирепым расширением а-поля, представляется в виде дроби.

Кроме того, мы доказываем, что две таких дроби имеют одинаковый знаменатель тогда и только тогда, когда редукции формальных групп равны (как ряды).

Параграф 4.3 посвящен изучению инвариантных модулей Картье-Дьедонне для формальных групп. Отличие от определения Картье состоит в том, что мы рассматриваем логарифмы р-типических кривых. Это дает каноническое вложение нашего модуля в

L[[A]]m. Чтобы продемонстрировать плодотворность такого определения, мы выясняем, когда формальная группа изогенна формальному групповому закону, определенному над подполем основного поля. В конце параграфа определения и результаты параграфа распространяются на не р-типические группы.

В параграфе 4.4 определяется модульный инвариант Мр. Это определение и свойства Mf являются совершенно новым и очень важным шагом в изучении формальных групп. Далее доказывается, что вместе с инвариантом дробной части (или инвариантом Фоитена) модульный инвариант классифицирует формальные группы с точностью до изоморфизма. Доказываются базовые свойства Mf. Мы используем наши методы для классификации формальных групп, сначала для е < р, потом для одномерных групп высоты > 1 при е < р2/2. Свойства Mf применяются к доказательству свойств инвариантных модулей Картье-Дьедонне, которые понадобятся далее при исследовании общего слоя конечных групповых схем.

В параграфе 4.5 описывается связь между нашими результатами и (обычными) модулями Картье. Далее, для удобства читателя, знакомого с теорией Ж.-М. Фонтена для формальных групп (см. [24]), явно описывается (без доказательства) функтор из категории модулей Картье (соответствующих формальным группам) в категорию Фонтена.

Наши результаты дают усиление классической и общепризнанной теории Фонтена и перевод ее на более явный язык, а также дополнение теории Фонтена до полной классификации формальных групп. Это имеет фундаментальное значение для построения теории формальных групп над полным дискретно нормированным полем. Ряд приложений полученных результатов может быть найден в последующих главах работы.

Результаты главы были изложены в работах [1] и [11]; все они, кроме части результатов параграфа 4.1, были получены автором самостоятельно.

Целью главы 5 является изучение конечных коммутативных плоских групповых схем (далее для краткости просто схем) над кольцом целых полного дискретно нормированного поля.

В параграфе 5.1 вводится важное определение замкнутого подмодуля модуля Картье. Выясняется, что замкнутые подмодули модуля Картье обладают всеми необходимыми нам свойствами замкнутых подмножеств топологического пространства. Далее доказывается, что замкнутые подмодули модуля Оорта групповой схемы взаимно однозначно соответствуют замкнутым подсхемам. Также вводится определение инъективных модулей Картье-Дьедонне для формальных групп.

В параграфе 5.2 мы получаем полную классификацию конечных связных групповых схем над разнохарактеристическими полными дискретно нормированными кольцами в терминах их модулей Картье. Таким образом, получено полное явное описание образа функтора Оорта, определенного в [35].

В параграфе 5.3 доказывается эквивалентность различных определений касательного пространства и размерности таких групповых схем. Это дает доказательство части

II теоремы 0.0.2.

Далее мы переходим к доказательству теоремы 0.0.3. Заметим, что, очевидно, теорема 0.0.3 равносильна следующему результату. Пусть S,T — конечные плоские коммутативные групповые схемы над Оь

Теорема 0.0.9. Показатель группы Hom^(Ti, Si)/ HomoL(Г, S) делит ps.

Также доказывается, что для связных схем оценку можно немного улучшить (см. теорему 5.5.6 ниже).

Так как конечная групповая схема раскладывается в сумму р-схемы (аннулируемой степенью р) и не-р-схемы (показателя, не кратного р) и все не-р-схемы этальны, мы будем рассматривать только р-схемы. Хорошо известно, что функтор общего слоя унивалентен на плоских схемах, т.е. ипъективен на морфизмах. Поэтому морфизм g единственен. Заметим также, что условия теорем зависят только от индекса ветвления L.

Действительно, если искомый g существует над кольцом целых некоторого расширения L, то он определен над Оь- Таким образом, нам достаточно доказывать теорему 0.0.3 для некоторого L' D L, индекс ветвления Z//L равен 1. Поэтому при доказательстве теоремы 0.0.3 мы будем считать, что поле L совершенно.

Легко видеть, что оценка на s является точной. Действительно, для L = Qp(jUp») мы имеем е = (р — l)pu1. При этом /лри и Z/puZ имеют одинаковые общие слои над L, однако, очевидно, не существует ненулевого морфизма из pLpu в Z/puZ . Также легко видеть, что Цри при е > (р — l)pu1 изоморфна групповой схеме S, соответствующей многочлену (7пс+ 1)р" = 1; при этом снова Hom(/xp«, S) = {0}. Пользуясь предложением 2.5.1 можно показать, что оценка точна также для схем сколь угодно больших показателей. Заметим также, что случай е > р в теореме 0.0.3 требует техники, существенно отличной от техники Рено, так как утверждение невозможно свести к неприводимым схемам иад £>ь

В параграфе 5.4 мы напоминаем соответствие между замкнутыми подсхемами и подсхемами общего слоя. С помощью несложных рассуждений теорема 0.0.3 сводится к некоторому утверждению о формальных группах.

В начале параграфа 5.5 доказывается важное утверждение о том, что если морфизм групповых схем — изоморфизм на общем слое, то ядро редукции имеет показатель, не превосходящий р" (как схема над L). Этот результат снова сводится к р-делимым, и далее, к формальным группам. Дуализируя его, мы получаем ту же оценку на показатель коядра. На самом деле, доказанные утверждения даже сильнее: в частности, ядро аннулируется s-ой степенью оператора Фробениуса. Те же примеры, что и для теоремы 0.0.3, показывают, что оценка точная. Из этих утверждений мы выводим теорему 0.0.3.

В параграфе 5.6 мы доказываем теорему 0.0.4.

Теорема 0.0.3 также применяется для доказательства утверждений про ядра умножения на р1 формальных групп.

Теорема 0.0.10. 1) Пусть F,G — формальные группы конечной высоты надОь, общие слои Ker[p1+u}f и Кефг+и]с изоморфны. Тогда если е < (р — 1 )ри, то Ker[p']F =$L Kev]pl]G.

2) То же выполнено для произвольных р-делимых групп при и = s.

При этом в обоих пунктах отображения, задающие изоморфизм, согласованы с изоморфизмами общих слоев.

Мы также доказываем важную теорему 5.G.2 о том, какие схемы могут иметь общий слой, изоморфный Кег[р']^.

Результаты главы 5 имеют большое значение для арифметики групповых схем, алгебраических групп и кристаллических представлений.

Результаты главы были изложены в работах [3] и [4].

В главе б мы переходим к изучению редукции абелевых многообразий; мы активно пользуемся результатами главы 5.

В параграфе 6.1 теорема 0.0.6 сводится к теореме 0.0.5. Далее доказывается следующее важное утверждение.

Теорема 0.0.11. Пусть U — р-делимая группа над К, S — р-делимая группа над 0l, UL = Sl, этот изоморфизм задает изоморфизм связной части S с некоторой формальной группой So/О к, при этом действие группы инерции К на U/Sok(F) (F — алгебраическое замыкание К), тривиально. Тогда U определена над 0%.

С помощью теоремы 0.0.11 теорема 0.0.5 сводится к некоторому утверждению о формальных группах.

В параграфе 6.2 мы сводим теорему 0.0.5 к утверждению о модулях Картье. Модули Картье очень хорошо подходят для плоского спуска, так что мы легко завершаем доказательство теоремы 0.0.5 (и, тем самым, 0.0.6).

В параграфе 6.3 мы формулируем некоторые утверждения о спуске для р-делимых групп в терминах касательных пространств. С помощью двойственности Вейля доказывается, что абелево многообразие имеет полустабильную редукцию если и только если его "потенциально формальная часть" имеет "хорошую редукцию". Это позволяет доказать критерий хорошей редукции, сформулированный на языке касательных пространств к групповым схемам. Далее доказываются теоремы 0.0.7 и 0.0.8. Для удобства читателя, мы напоминаем определение невырожденной редукции.

Отметим, что использование касательных пространств существенно отличает формулировки (и, конечно, доказательства) от соответствующих /-адических вариантов; в частности, мы применяем к конечным схемам соображения размерности.

Получение "диких" критериев хорошей, полустабильной и невырожденной редукции абелевых многообразий существенно улучшает наше понимание их арифметики.

Результаты были изложены в работах [3] и [4].

В главе 7 с помощью техники главы 4 описываются классы изогенности одномерных формальных групп. Г. Лаффолем было доказано, что каждый класс изогенности одномерных формальных групп над кольцами целых полных дискретно нормированных полей характеристики 0 с алгебраически замкнутым полем вычетов характеристики р содержит групповой закон, логарифм которого имеет некоторый явно описанный вид. Таким образом, был сделан шаг к явной классификации одномерных формальных групп с точностью до изогении. Целью главы 7 является распространение этого результата на произвольные полные дискретно нормированные поля характеристики О с полем вычетов характеристики р. В отличие от [30], мы явно указываем связь между логарифмами формальных групп в классе изогенности и логарифмом построенного нами представителя. Мы также указываем количество попарно неизоморфных представителей указанного вида в каждом классе изогенности.

Мы полностью описываем гомоморфизмы между построенными представителями. В качестве приложения полученного результата вычисляются нормирования и "вычеты" элементов кручения одномерных формальных модулей. Кроме того, для произвольной одномерной формальной группы вычисляется дробная часть ее логарифма.

Во параграфе 7.1 с помощью свойств инвариантного модуля Картье-Дьедонне формальной группы явно строятся "хорошие" формальные групповые законы. В терминах коэффициентов логарифма определяется некоторое неположительное нормирование формальных групповых законов. Полностью описываются гомоморфизмы между хорошими группами в терминах дробной части логарифма. В конце параграфа мы формулируем основную теорему и доказываем, что каждая группа изогенна хорошей.

В параграфе 7.2 изучается связь между многоугольниками Ныотона, нормированиями корней логарифма и другими инвариантами формальной группы. С помощью полученных результатов вычисляется дробную часть логарифма для произвольной формальной группы. Мы доказываем, что нормирование логарифма можно определить в терминах нормирования его корней, а поэтому оно зависит только от класса изоморф-ности формальных групп. Доказывается, что нормирование равно 0 для групп, изоморфных хорошим, и только для них. Также выясняется, что "хорошесть" формальной группы зависит только от "дробной части" ее логарифма. Далее мы завершаем доказательство основной теоремы 7.1.7.

В параграфе 7.3 мы сравниваем функтор дробной части логарифма формальной группы с функтором, построенным Фонтеном в работе [24]. Полученные результаты позволяют построить примеры групп, инварианты Фонтена которых совпадают, но инварианты дробной части неэквивалентны (т.е., рассмотрение дробных частей показывает, что группы неизоморфны).

Результаты главы 7 были изложены в работе [2].

Глава 8 посвящена арифметике формальных модулей, в частности, их когомологическим свойствам, и их связи со структурой ассоциированных модулей Галуа.

Доказывается, что первые когомологии формального модуля алгебраического замыкания нормированного поля К тривиальны тогда и только тогда, когда К глубоко разветвлено, т.е. оператор следа для любого конечного расширения L/K отображает Ш на Шк■ То, что из тривиальности Я1 следует глубокая разветвленность К, доказывается в параграфе 8.1.

Далее изучаются свойства ассоциированных модулей Галуа — сначала для идеалов дедекиндовых областей (параграф 8.2), затем для полных дискретно нормированных полей (параграф 8.3). Нашим главным инструментом является изоморфизм L-пространств ф : L ®к L —► L[G]. Он дает простое описание всех ассоциированных модулей Галуа; кроме того, с помощью него легко доказываются свойства покоэффи-циентного умножения * на ассоциированных модулях.

В параграфе 8.4 для m-мерной формальной группы F, мы определяем множество F(L) С Lm, на котором мы складываем с помощью F; мы также определяем некоторую фильтрацию на формальных модулях.

В параграфе 8.5 мы формулируем и доказываем центральный результат главы 8. Сформулируем несколько упрощенный вариант этого утверждения.

Обозначим через d глубину ветвления L/K, т.е. d = minxei,» v(Trx) — v(x).

Теорема 0.0.12. Пусть отображение

A: G F(9Jt), а аа = (altT,. ат<7) принадлеэюит Zl(F(9Й)), т.е. удовлетворяет условию коцикла. Тогда существует такой х G F(ffl), что х - а{х) = a„VaeG (2) f т.е. х расщепляет А), причем v(x) > с> 0, тогда и только тогда, когда для каждого L 1<г< т, элемент — YIozg (Г^+с

Заметим, что мы не требуем коммутативности F.

Это утверждение можно рассматривать как аналог теоремы Гильберта 90 для формальных групп. Никакое сходное утверждение про формальные группы ранее известно не было.

Доказательство основано на том, что факторы естественной фильтрации произвольного формального модуля изоморфны факторам фильтрации аддитивного модуля; таким образом, можно сформулировать утверждение о том, что точна некоторая длинная точная последовательность "высших ассоциированных модулей". Также доказывается, что расщепляющий элемент х удобно искать методом последовательных приближений.

В параграфе 8.6 доказывается, что над глубоко разветвленным полем когомологии формального модуля тривиальны.

В параграфе 8.7 мы изучаем аналог теории Куммера для формальных групп. Вводится (см. определение 8.7.1) естественное определение куммерова расширения в этой ситуации. В одномерном случае куммеровы расширения порождаются корнями явно выписываемых уравнений; это позволяет исследовать арифметику расширений. Из теоремы 0.0.12 немедленно получаем, что то, является ли расширение куммеровым для данной формальной группы, полностью определяется модулями 2lj (см. теорему 8.7.4).

В параграфе 8.8 мы изучаем, какой набор элементов с заданным групповым законом может быть конечной подгруппой одномерного формального модуля.

Теорема 0.0.12 выявляет ранее неизвестную и очень важную связь между структурой формальных модулей и ассоциированными модулями Галуа. Результаты о формальных модулях в бесконечных расширениях локальных полей являются важным дополнением к работе Дж. Коатса и Р. Гринберга.

Результаты главы 8 были изложены в работах [9], [8], [б] и [7].

В главе 9 мы переходим к изучению структуры идеалов, как аддитивных модулей Галуа. Отметим, что, как следует из результатов главы 8, этот вопрос непосредственно связан с арифметикой формальных групп и формальных модулей. Большое значение для доказательства результатов о леопольдовых расширениях имеют свойства одномерных групповых схем.

Первый результат о структуре аддитивных модулей Галуа о том, что кольцо целых абелева расширения поля Q, степень которого взаимно проста с дискриминантом, имеет целый нормальный базис, был доказан Д. Гильбертом в 1897 году. Чуть позже Шпайзер ослабил условие Гильберта и доказал тот же результат для абелевых всюду ручных расширений поля q. Для произвольного абелева расширения числовых полей требование, чтобы расширение было всюду ручным, для существования нормального базиса в кольце целых является необходимым, но не достаточным; эта проблема была полностью решена М. Тэйлором.

В случае наличия дикого ветвления у расширения структура кольца целых как модуля Галуа остается практически неисследованной до сих пор. Имеются лишь разрозненные результаты.

Одним из немногих случаев, когда структуру кольца целых (или идеала) можно описать — это случай, когда идеал свободен над своим ассоциированным порядком. X. Леопольд доказал, что для К = Q, G абелева, кольцо О^ свободно над своим ассоциированным порядком. Позднее этот результат был распространен на случай, когда поле L абелево над Q или Qp.

Мы будем изучать (дробные) идеалы, свободные над своими ассоциированными порядками (мы называем их идеалами Леопольда). Расширениями Леопольда мы называем расширения, которые содержат (по крайней мере, один) идеал Леопольда. Мы ограничимся рассмотрением локальной ситуации; при этом будем считать расширение вполне дико разветвленным, так как этот случай является наиболее сложным (и содержательным) .

Первый пример не абсолютно абелевого расширения Леопольда был приведен М.

Тэйлором; в его работе были рассмотрены промежуточные расширения в башне расширений Любина-Тэйта. Аналогичное утверждение для более широкого класса расширений было доказано JI. Чайлдсом и Д. Моссом; до появления работ [6], [7] этот результат был наиболее общим из известных.

В перечисленных примерах ассоциированный порядок также являлся порядком Хоп-фа. Н. Байоттом было доказано, что ассоциированный порядок может быть хопфовым только в случае, когда дифферента расширения порождена элементом нижнего поля.

В параграфах 9.2 и 9.3 мы изучаем этот случай. В параграфе 9.2 доказывается, что кольцо целых леопольдово, тогда и только тогда, когда ассоциированный порядок содержит элемент значение которого на элементе L с нормированием п — 1 является униформизующей поля L (теоремы 9.2.3 и 9.2.4). Мы также докажем, что если кольцо 0L свободно над 2Ll/k{&l), то 21 l/k(Ol) ~ порядок Хопфа, а некоторые "степени" £ дают базис 21 l/k{®l)

В параграфе 9.3 доказывается (теорема 9.3.1), что всякое такое абелево расширение является куммеровым для одномерной формальной группы, причем корень соответствующего уравнения — униформизующая L.

В последующих параграфах мы отказываемся от условия порожденное™ дифференты элементом нижнего поля. Оказывается, что можно предъявить широкий класс леопольдовых расширений, не удовлетворяющих этому условию, и во многих случаях доказать, то все леопольдовы расширения принадлежат этому классу.

В параграфе 9.4 определяется некоторый класс расширений (мы называем их полустабильными), для которых существует элемент групповой алгебры аналогичный элементу, рассматривавшемуся в предшествующих параграфах. Главный результат параграфа — что абелево расширение полустабильно тогда и только тогда, когда оно куммерово для одномерной формальной группы, причем нормирование корня соответствующего уравнения не делится на р.

В параграфе 9.5 мы вычисляем явно ассоциированные модули Галуа в полустабильных расширениях (теорема 9.5.4). Это позволяет доказать, что каждое полустабильное расширение леопольдово. Также явно вычисляется структура всех идеалов полустабильных расширений как модулей Галуа. Результаты о расщепимости коциклов сразу дают возможность выяснить, какие куммеровы уравнения разрешимы в полустабильных расширениях. Мы также доказываем, что подъем нестабильного расширения на ручное расширение большой степени не может быть леопольдов. Кроме того, полустабильность равносильна некоторым другим свойствам расширения.

В параграфе 9.6 сравниваются понятия стабильного и полустабильного расширения (см. определение 9.4.1). Мы строим пример полустабильного, но не стабильного расширения. Также доказывается, что если дифферента полустабилыюго расширения порождена элементом нижнего поля, то оно стабильно.

В параграфе 9.7 изучаются "категорные свойства" расширений Леопольда (т.е. леопольдовость промежуточных расширений); строятся базисы ассоциированных модулей промежуточных расширений. Параграф завершается доказательством того, что в большинстве случаев скачки ветвления Леопольдова расширения сравнимы между собой по модулю п = [L : К].

В параграфах 9.8 — 9.10 доказывается, что всякое абелево расширение Леопольда, удовлетворяющее некоторым (не очень сильным) условиям, полустабилыю. Таким образом, мы можем сказать, проблема Леопольда (т.е. проблема классификации Лео-польдовых расширений) решена для "большинства" абелевых расширений.

В параграфе 9.7 формулируется основная теорема для общего случая (теорема 9.8.1). Теорема доказывается по индукции. Для этого мы изучаем минимально нестабильные расширения, т.е. расширения Леопольда, содержащие полустабильные расширения индекса р.

В параграфе 9.9 производятся некоторые вычисления диаграмм для минимально нестабильного расширения; это дает доказательство теоремы 9.8.1.

В параграфе 9.10 мы обсуждаем некоторые альтернативные варианты теоремы 9.8.1 (т.е., в некоторых случаях условия теоремы 9.8.1 можно ослабить). Также строится пример нестабильного расширения, содержащего идеал, свободный над своим ассоциированным порядком. Пример показывает, что условия теоремы 9.8.1 "почти наилучшие из возможных".

Таким образом, в главе 9 описывается класс диких Леопольдовых расширений, который гораздо больше известных ранее классов. Кроме того, в большом количестве случаев доказывается, что Леопольдово расширение принадлежит описанному нами типу; никаких схожих результатов ранее известно не было. Таким образом, результаты главы дают большое продвижение в понимании структуры идеалов к модулей Галуа и связи этой структуры с арифметикой расширения.

Результаты главы 9 были изложены в работах [б], [7] и [5].

Автор выражает глубокую благодарность проф. С.В. Востокову за многочисленные полезные обсуждения результатов работы.

Обозначения и соглашения. Перечислим основные обозначения, которыми мы будем пользоваться в течении всей работы (некоторые из них уже были введены выше). К сожалению, в некоторых параграфах нам придется придать несколько иной смысл перечисленным ниже символам, однако это всегда будет явно оговорено.

Обычно L/N будет расширением степени d полных дискретно нормированных полей характеристики 0 с полем вычетов характеристики р (кроме глав 8, 9, где мы также рассматриваем равнохарактеристические полные дискретно нормированные поля характеристики р), е — абсолютным индексом ветвления L, Oi — его кольцом целых, Ш — его максимальным идеалом, тт — некоторой униформизующей L, L — полем вычетов L, v нормализованным нормированием на L, J = q = — s = [l°gp(^ri)]> ® кольцо целых N, N — поле вычетов N.

Кроме того, L часто будет содержать полное дискретно нормированное подполе К, [L : К] = п < оо, е' — индекс ветвления L/K (часто п будет равно е'), TV — след в L/K', ттк ~ некоторый униформизующий элемент Л", ~ кольцо целых К, Шк — максимальный идеал О к, к — его поле вычетов, ео — абсолютный индекс ветвления К, vo — нормализованное нормирование на К, продолженное также на K&Xg (алгебраическое замыкание К), ei — степень расширения LjKx, где K\j К — максимальное неразветвленное подрасширение в L/K, I = 2s + vp(e\) + 1,1' = s + vp(ei) + 1.

В случае, когда L/K — расширение Галуа, его группа Галуа будет обозначаться через

G.

Для m-вектора х = (xj) £ K&]gm обозначим через v(x) G Q минимум v{xi). e{Y/Z) будет обозначать индекс ветвления расширения полных дискретно нормированных полей Y/Z, £>z — кольцо целых Z.

Отметим, что в параграфах 8.1 и 8.6 поля L и К будут не дискретными; соответственно изменится определение v.

F будет обозначать формальный групповой закон над О к или Dl (далее — просто формальная группа). Везде, кроме параграфов 8.4 — 8.6, формальная группа F будет считаться коммутативной; она будет по умолчанию считаться m-мерной кроме тех параграфов, где рассматриваются только одномерные формальные группы

Для каждого а € Dl через Fa будет обозначаться формальный групповой закон a-1F(aX,aX), см. предложение 2.4.1 ниже.

X = (Xi) = Xi,., Xm, х — формальные переменные.

F — редукция F (по модулю п или 7г), \р = (АДА-)), 1 < г < ш — логарифм F.

Cart = Cartp(Di,) будет обозначать р-типическое кольцо Картье кольца Di (см. определение в пункте 1.2.1).

S будет обозначать редукцию схемы S, / — редукцию морфизма /.

Для m,l > 0 Mm(2l) будет обозначать кольцо матриц размера тпхтп над (возможно, некоммутативным) кольцом 21, Мтх;(21) — модуль матриц размера тп х I. Мы часто будем отождествлять элементы A/mx;(2l) с соответствующими им операторами из 21г в Шт. Im обозначает единичную матрицу размера m; ei — т-вектор (0,0,., 1,0,., 0) (1 находится на г'-ом месте).

Мы рассматриваем линейный оператор А, возводящий переменные в степень р, т.е. действующий на многочленах по правилу дсЕ0*-.'- П*?) = д(Еа^) =

Для Л 6 Л/т(21[[Д]]), коэффициенты матрицы А(Х) равны Кц = Су( Д', сщ 6 21, набор Л(Х) определяется как набор рядов А = (А;), 1 < г < тп, где A* = Yli<j<m ;>0 c^xf. Для элемента h(A) € L[[A]] определим его L-линейное действие на L[[x}], пользуясь формулой Д(/(х)) = f(x?) для / € L[[x}}.

Для h Е (Sl[[A]])m, коэффициенты h равны hi = J2i>o с*'Дг> си € 21, определим h(x) = (Ы(х)), 1 < i < m, где Л,-(ж) = ^2сцхр'. (3) о

Для г е Z величина г mod п будет обозначать остаток г по модулю п, т.е.

О < г mod п <п, г = (г mod n) mod п.

Во всей работе "схема" ("групповая схема") по умолчанию будет обозначать конечную плоскую коммутативную групповую р-схему (над Ох,)

Мы будем писать T<Y если групповая схема является замкнутой подгруппой схемы или р-делимой группы Y, при этом р-делимая группа рассматривается как инъективный предел групповых схем.

Для схем S, Т будем писать S С Т, если существует морфизм / : S —> Т, инъективный на общем слое. Обычно из контекста будет ясно, какой морфизм имеется в виду. Конечно же, отношение С транзитивно. Мы также будем говорить, что S — подсхема Т. Через CIt(S) будем обозначать либо замыкание подсхемы S в схеме Т (в категории плоских схем), либо замыкания подмодуля в модуле Картье (см. определение в пункте 5.1.1).

Напомним также определение двумерного поля и его кольца целых: для полного дискретно нормированного поля L' определим

•ВД{д}} = {Ea*Ai-G a« -0 при 1 - l'{{a}} = QpO^HiA}} ie z {^РагД1, ai e L', a,i —► 0 при i —* —oo, > с для некоторого с 6 Z}. ie z

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Бондарко, Михаил Владимирович, 2006 год

1. Бондарко М.В. Явная классификация формальных групп над полными дискретно нормированными полями с несовершенным полем вычетов. // Труды Санкт-Петербургского Математического общества. 2005. т. 11. С. 1-3G.

2. Бондарко М.В. Классы изогенности формальных групп над полными дискретно нормированными полями с произвольным полем вычетов// Алгебра и Анализ. 2005. т. 17. вып. 6. С. 105 124.

3. Бондарко М.В. Общий слой конечных групповых схем; "конечный дикий" критерий хорошей редукции абелевых многообразий /'/' Известия Российской академии наук, серия математическая. 200G. т. 70. выи. 1. С. 21 52.

4. Бондарко М.В. Классификация конечных групповых схем над кольцами целых полных дискретно нормированных полей; касательное пространство и полустабн.тьная редукция абелевых многообразий// Алгебра и Анализ. 200G. т. 18. вып. 5. С. 72 98.

5. Бондарко М.В. Проблема Леопольдта для вполне разветвленных абелевых расширений полных дискретных нормированных нолей// Алгебра и Апатнз. 200G. т. 18. вып. 5. С. 99-129.

6. Bondarko M.V. Local Leopoldt's problem for rings of integers in abelian p-extensions of complete discrete valuation fields/'/ Documenta Math. 2000. volume 5. P. G57 G93.

7. Bondarko M.V. Links between associated additive Galois modnles and computation of IP for local formal group modnles/,/' The Journal of Number Theory. 2003. v. 101. P. 74-104.

8. Bondarko M.V. Cohomology of formal group moduli and deeply ramified extensions the Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 2003. v. 135. P. 19-24.

9. Бондарко М.В. Наличие идемпотентов в кольце эндоморфизмов идсата р-расширения полного дискретно нормированного поля с полем вычетов характеристики р как модуля Галуа// Записки научных семинаров I10MII. 1999. т. 20"). С. 22-28.

10. Бондарко М.В., Востоков С.В. Явная классификация формальных групп над локальными нолями/ / Труды МИЛИ. 2003. т. 241. вып. 2. С. 43 67.

11. Бондарко М.В., Востоков С.В., Минчев X. Ограничение скаляров для формальных групп// Записки научных семинаров ПОМП. 319. 2004. С. 59 71.

12. Бондарко М.В. Востоков С.В. Лоренц Ф. Спаривание Гильберта для формальных групп над (Т-кольцами// Записки научных семинаров IIOMII. 313. 2001. С. 5-58.

13. Бондарко М.В., Востоков С.В., Жуков И.Б. Аддитивные модули Галуа ' Алгебра и Анализ. 1997. т. 9. вып. 4. С. 28-46.

14. S. Bosh, W. Lutkebohmert, М Raynoud. Xeron models. Springer-Yerlag. Berlin Heidelberg-Xew York, 1990. 315 pages.

15. Brenil C. Groupcs p-divisibles, groupes finis et modules filtrcs// Aim. of Math. 2002. vol. 152. no. 2. P. 489 549.

16. Coatcs J., Grecnberg R. Kummer theory for abelian varieties over local fields Inventories mathernaticae. 1996. v. 124. P. 129-17420| Conrad B. Finite group schemes over bases with low ramification,/ Compositio Mathematica. 1999. v. 119. P. 239-320.

17. Demazure M., Gabriel P. Groupes algebriques. Masson. Paris, 1970.22| Fesenko L On deeply ramified extensions : i J. London Math. Soc. 1998. vol. 57. iss. 2. P. 325 335

18. Fesenko I., Yostokov S. V. Local field and their extensions: A constructive approach, second edition. AMS, Providence, RI, 2001.

19. Fontaine J.M. Groupes p-divisibles sur les corps locaux// Asterisque. 1977. n. 17 48. Soc. Math. France, Paris.

20. Hazewinkel M. Formal groups and applications. Springer-Yerlag, Berlin- Heidelberg New York, 1978.

21. Honda T. On the theory of commutative formal groups// J. Math. Soc. .Japan. 1970. vol. 22. P. 213 246.

22. G. Laffaile, Construction de groupes /^divisible.?, Le cas de dimension ]. Asterisqiie 05. Soc. Math. France, Paris, 1979, 103-123.31| Lubin J., Tate J. T. Formal complex multiplication in local fields// Ann. of Math. 19G5. vol 81 (2), P. 380-387.

23. Mazur В., Tate J. Canonical height pairings via biextensions. In: Arithmetic and geometry, Vol. I, Progr. Math., 35, Birkhauser Boston, Boston, MA. 1983. P. 195 237.

24. Milne J. Arithmetic Duality Theorems. Boston, 1986.

25. Mumford D., Oort F. Deformations and liftings of finite, commutative group schemes Invent. Math. 1968. v. 5. P. 317-334.

26. Serre J.-P. Local fields, Graduate Texts in Mathematics, vol. 67, Springer-Yerlag. 1997 Berlin- -Heidelberg-New York.

27. Silverberg A., Zarhin, Yu. G. Reduction of abelian varieties//' The arithmetic and geometry of algebraic cycles (Banff, AB, 1998), NATO Sci. Ser. С Math. Phys. Sci. 548. 2000. P. 495-513.

28. Tate J. p-divisible groups//' Proc. Conf. Local Fields (Driebergen. 19CG) P. 158 183 Springer, Berlin, 1967.113| В. E. Воскресенский, Алгебраические торы. Наука. 1977. 224 стр.