Когерентные гомотопии, гомологии, когомологии и сильная теория шейпов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, доктор физико-математических наук Лисица, Юрий Трофимович

• Лисица, Юрий Трофимович
• доктор физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Лисица, Юрий Трофимович

Введение.

1 Когерентные прогомотопии

1.1 Когерентные отображения и когерентные гомотопии.

1.2 Композиция специальных когерентных отображений.

1.3 Композиция специальных когерентных гомотопических классов.

1.4 Гомотопическая ассоциативность композиции специальных когерентных отображений.

1.5 Тождественные когерентные отображения.

1.6 Построение когерентной прогомотопической категории СРНТор.

1.7 Функтор С: pro-Top ->СНРТор.

1.8 Функтор забвения Е: СНРТор -> рго-НТор.

1.9 Когерентные отображения элементарных систем.

1.10 Когерентные отображения и котелескопы обратных систем.

1.11 Когерентные гомотопии прямых систем.

2 Сильная категория шейпов

2.1 Резолюции и О-разложения.

2.2 Сильные категории шейпов замкнутых и произвольных пар.

2.3 Свойство (Е1) для резолюций и О-разложений.

2.4 Свойство (Е2) для резолюций и О-разложений.

2.5 Категория кошейпов и сильная категория кошейпов ScoSh(Top).

2.6 Сильная категория шейпов с компактными носителями SShc(Top).

3 Когерентные гомологии и когомологии

3.1 Когерентные гомологии обратных систем.

3.2 Гомоморфизмы, индуцированные отображениями обратных систем.

3.3 Когерентные гомологии в категории pro-Top.

3.4 Когерентные гомологии элементарных систем.

3.5 Когерентные гомологии в категории СРНТор.

3.6 Когерентные гомологии обратных систем пар.

3.7 Гомоморфизмы, индуцированные когерентными отображениями пар.

3.8 Когерентные когомологии прямых систем.

4 Гомотопические обратные и гомотопические прямые пределы

4.1 Гомотопические обратные пределы.

4.2 Спектральная последовательность, связанная с гомотопическим обратным пределом.

4.3 Теорема о полном композиционном ряде.

4.4 Другие теоремы о гомотопических обратных пределах.

4.5 Гомотопические прямые пределы.

4.6 Цилиндры и коцилиндры цепных и коцепных комплексов.

4.7 Сопряженные обратные и прямые системы и скалярное произведение обратных и прямых пределов.

4.8 Спектральная последовательность, связанная с компактным гомотопическим прямым пределом.

4.9 Когерентные гомотопические группы обратных систем топологических пространств

4.10 Когерентные группы гомотопических классов прямых систем топологических пространств.

5 Сильные гомологии и сильные когомологии произвольных пространств

5.1 Сильные группы гомологий произвольных пар топологических пространств.

5.2 Точность сильных групп гомологий.

5.3 Теорема вырезания для сильных гомологий.

5.4 Свойство сильного вырезания для сильных гомологий.

5.5 Сильные группы когомологий.

5.6 Теорема о представимости сильных когомологий.

5.7 Об одной проблеме П. С. Александрова.

6 Сильные гомологии компактных хаусдорфовых пространств

6.1 Совпадение сильных гомологий компактных хаусдорфовых пространств с классическими гомологиями.

6.2 Вторая структурная теорема.

6.3 Доказательство второй структурной теоремы 6.2.

6.4 Теоремы Гуревича и Хопфа в сильной теории шейпов.

6.5 Теорема Уайтхеда в сильной теории шейпов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Когерентные гомотопии, гомологии, когомологии и сильная теория шейпов»

В настоящей диссертации производится построение и систематическое исследование содержательной проективной гомотопической теории топологических пространств, называемой сильной теорией шей-пов.

Хорошо известно ([77], [73], [59]), что обычная теория гомотопий содержательна в случае, когда пространства X локально хорошо устроены, например, являются А/УД-пространствами или СШ-комплексами. За пределами этого класса, несмотря на то, что все определения являются корректными, основные теоремы гомотопической теории, вообще говоря, перестают быть верными. Простой пример варшавской окружности Е = С и Ь. которая определяется как замыкание С в плоскости К2 графика функции 8т(7г/ж), х (Е (0,1], объединенного с простой дугой Ь с концами (0,1) и (1,0), пересекающейся с О в этих двух точках, показывает, что обычные гомотопические1 группы этого компактного пространства равны нулю во всех размерностях, но оно не имеет гомотопического типа точки, так как его чеховская когомологическая группа = Z отлична от нуля. Иными словами, теорема Уайтхеда в этом случае перестает быть верной с точки зрения обычной теории гомотопий, а обычная теория гомотопий не улавливает глобальных свойств этого пространства.

Под содержательной гомотопической теорией мы понимаем такую гомотопическую теорию, которая, во-первых, для компактных полиэдров совпадает с обычной гомотопической теорией, т.е. является продолжением классической гомотопической теории с категории компактных полиэдров на более общую категорию топологических пространств (например, на категорию метрических компактов или компактных хаусдорфовых, или метризуемых, или нормальных, или вполне регулярных, или хаусдорфовых пространств); во-вторых, тесно связана с определенными в ней гомологической и когомологической теориями, также являющимися продолжениями классических (ко)гомологических теорий компактных полиэдров; в-третьих, обобщает основные теоремы классической теории гомотопий: теоремы Гуревича [127], Хопфа [123], Уайтхеда [209], Смейла [200], Дольда-Тома [103], теоремы двойственности Пуанкаре [185], Александера

Понтрягина [81], [186], теорему Хубера-Брауна-Адамса [126], [94], [80] о представлении когомологического функтора и других.

Основной целью настоящей диссертационной работы является построение такой содержательной гомотопической теории произвольных топологических пространств, рассмотрение и изучение соответствующих гомотопических, гомологических и когомологических функторов этой теории, доказательство основных теорем в этой гомотопической теории.

Под проективной теорией мы подразумеваем теорию, которая специально приспособлена к исследованию свойств пространств по отношению к их отображениям в полиэдры (эквивалентно в комплексы или А/УД-пространства) - это обычная теория шейпов и сильная теория шейпов, - в отличие от инъективной теории, которая исследует свойства пространств по отношению к отображениям в них компактных пространств (случай компактных полиэдров уже хорошо исследован и представляет собой категорию слабого гомотопического типа): в настоящей работе это будут сильная теория кошейпов и сильная теория шейпов с компактными носителями.

Основными объектами исследования в настоящей диссертации являются обратные и прямые системы топологических пространств и непрерывных отображений, а также сами топологические пространства, аппроксимированные обратными системами из метризуемых А/УД-пространств и соответственно прямыми системами из компактов, лежащих в пространстве аппроксимации. В алгебраической части объекты - это обратные системы из (ко)цепных комплексов и (ко)цепных отображений, а также прямые системы из компактных (ко)цепных комплексов и непрерывных (ко)цепных отображений. По-другому, при обобщении теории гомотопий рассматриваются не сами пространства, а их полиэдральные разложения, (резолюции), а при обобщении (ко)гомологических функторов не сами (ко)цепные комплексы или их прямые или обратные системы, а пределы их резольвент (гомотопическое обратные и гомотопические прямые пределы).

Основными методами исследования в настоящей диссертации являются метод когерентных гомотопий, гомологий и когомологий, а также метод О-разложений произвольных пар топологических пространств в обратные системы из метризуемых открытых пар АТУД-пространств. являющийся существенным обобщением метода АЛг/?-резолюций Мар-дешича [163]. Для исследования прямых систем компактных (ко)цепньг: комплексов применяются известные методы теории двойственности Понтрягина [57], [4], [55] и прямые компактные пределы Чогошвили [79].

Обычно гомотопическая и гомологическая теории строились независимо друг от друга, хотя каждый раз между ними обнаруживалась глубокая связь (исключением, пожалуй, являются обобщенные гомологии и когомологии, где связь с гомотопиями заложена в самом определении [76], [59]).

При этом часто различные гомологии или когомологии являются инвариантами гомотопических эквивалентностей, например, сингулярные (ко)гомологии или (ко)гомологии Александрова-Чеха. Однако не ставился следующий вопрос: существуют ли другие (естественно, более слабые) эквивалентности, инвариантами которых являются построенные (ко)гомологии? Сейчас хорошо известно, что (ко)гомологии Александрова-Чеха являются инвариантами шейповых эквивалентностей, а сингурярные (ко)гомологии таковыми не являются (пример варшавской окружности).

Поэтому актуальным является построение гомотопической, гомологической и когомологической теорий одновременно и непосредственное изучение их тесной связи.

Примером проективной гомотопической теории, тесно связанной с гомологиями Виеториса, является теория шейпов, впервые построенная Борсуком [92] в 1968 году для метризуемых компактов, которая получила в семидесятые годы свое бурное развитие и была обобщена различными авторами на классы компактных хаусдорфовых пространств [171], метризуемых пространств [114] и произвольных топологических пространств [162], [179]. Эти новые гомотопические теории тесно связаны с чеховскими гомологиями и когомологиями. Основная идея построения шейповой теории состоит в аппроксимации топологических пространств обратными системами, состоящими из ААТЛ-пространств или С'И-^-комплексов и построение прогомото-пической теории таких систем. Более того, в этом случае нужную аппроксимацию топологического пространства X можно осуществлять менее жестко: рассматривать не обратные системы X, состоящие из АТУД-пространств, а гомотопические обратные системы (т.е. для любых А < А' < X" проекции р\\» и их композиции р\\>р\>\» не равны, а гомотопны) и вместо АЖД-резолюций Мардешича рассматривать их гомотопический аналог - А/УД-расширение в смысле Морита [179]. Гомологические и когомологические инварианты шейповой категории строятся просто: это соответственно обратные и прямые пределы ру'о-гомологий и иг/'-когомологий.

Следует заметить, что начальные понятия шейповой теории восходят к работе Кристи [99], опубликованной еще в 1944 году, но забытой в военное лихолетье.

Отметим здесь также еще два примера прогомотопических теорий, построенных в более конкретных ситуациях, но идея построения которых совпадает с идеей построения теории шейпов, а именно теория проконечных пополнений Артина-Мазура [83], где пространства, имеющие гомотопический тип СГГ-комплексов, аппроксимируются пространствами того же типа, но с конечными гомотопическими группами, и теория этального гомотопического типа [83], [75], где с помощью конструкции Лабкина [161] комплексные алгебраические многообразия аппроксимируются проективными системами "нервов" этальных покрытий многообразия.

Однако вскоре выяснилось, что построенные таким путем проективные гомотопические и гомологические теории содержательны только на уровне обратных систем из ААГВ-пространств, то есть в прогомотопической категории, а для самих пространств обобщенные в этом направлении, например, теоремы Гуревича и Уайтхеда не имеют места. Более того, для частного случая (подвижных ме-тризуемых компактов), для которых эти теоремы оказались верными для самих пространств [184], [137], [138], [9], [30], [33], [208], [23], [37], [130], [166], [205], [119], свидетельствовали о наличии более жесткой и более сильной проективной гомотопической теории, в которой эти теоремы были бы верны для самих пространств без сделанных ограничений подвижности, а для подвижных компактов совпадали бы с предыдущими.

Такой теорией оказалась сильная теория шейпов, начальные понятия которой также восходят к упомянутой работе Кристи. Более того, сильная теория шейпов метризуемых компактов оказалась тесно связанной с хорошо известными и намного раньше построенными го-мологиями Стинрода [202], что иллюстрирует сделанное выше замечание о независимости построений близких по природе гомотопических и гомологических теорий.

Первой работой, продвинувшей вперед эту теорию для метризуе-мых компактов, явилась работа Квигли [192] 1972 года, где впервые были определены сильные шейповые гомотопические группы и доказана их точность в отличие от обычных шейповых гомотопических групп Борсука, которые, вообще говоря, не точны, но точны в случае подвижных компактов.

Далее различные авторы построили проективную гомотопическую категорию метризуемых компактов - называя ее то сильной, то жесткой, то тонкой или, наконец, стинродовской - чаще всего используя идеи и технику соответствующих конструкций гомологий, изоморфных гомологиям Стинрода.

В 1976 году Бауэр [87] для построения этой категории усиливает подход Мардешича [162], являющийся гомотопическим вариантом конструкции Дольда [20] для кановского продолжения гомологического функтора.

В этом же году Эдварде и Хэстингс [110] построили стинродовскую гомотопическую категорию с помощью замкнутой модельной категории Квиллена [194] в категории симплициальных множеств, продолжив ее на прокатегорию из этих же объектов. Для аппроксимации метризуемых компактов такими системами использовался функтор Виеториса, предложенный для этих целей Портером [187].

В 1977 году автор настоящей диссертации в работе [32] построил сильную категорию метризуемых компактов с помощью когерентных гомотопий второго уровня - конструкции, тесно примыкающей к способу построения гомологий Ситникова [61] (построенной много ранее и без соответствующей гомотопической теории) и доказал, что гомологии Ситникова являются инвариантами сильных шейповых эквивалентно стей метризуемых компактов.

В 1979-1980 гг. Кодама и Оно [131], [132] предложили свою тонкую категорию шейпов метризуемых компактов, фактически полностью завершили подход Квигли, соответствующий конструкции регулярных циклов Стинрода [202].

В 1979-1981 гг. Кэти [96], [97] обобщает понятие сильного деформационного ретракта и с помощью рефлектирующего функтора строит сильную категорию шейпов метризуемых компактов (гомологические функторы в этой теории Кэти не рассматривает).

В 1981 году Дыдак и Сигал [108] строят эту же категорию с помощью конструкции телескопа, применявшуюся для изучения гомо-логий второго рода бесконечного полиэдра (бесконечные цепи), изоморфных стинродовским гомологиям соответствующего этому полиэдру (телескопу) компакта. В этой же работе авторы решают довольно сложную и деликатную задачу: когда шейповая эквивалентность является сильной шейповой эквивалентностью (заметим при этом, что шейповая и сильная шейповая классификация самих метризуемых компактов совпадают). Подчеркнем, что до сих пор не решен главный вопрос: является ли всякая шейповая эквивалентность метрических компактов сильной шейповой эквивалентностью?

В 1982 году в работе автора настоящей диссертации [37] показано, что сильная категория шейпов метризуемых компактов изоморфна обычной гомотопической категории некоторого класса метризуемых, но уже, вообще говоря, некомпактных пространств. Пространства этого класса являются фибрантами, то есть их отображения в одноточечное пространство являются расслоениями в замкнутой модельной категории Квиллена, построенной в этом случае, как было упомянуто выше, Эдвардсом и Хэстингсом (примером фибрантного пространства является соленоид, а примером нефибрантного компакта является варшавская окружность). Изоморфизм или представимость сильной категории шейпов осуществляется с помощью функтора ко-телескопа, введенного автором [37], являющимся более тонким функтором (точнее сказать, наименее громоздким), чем функтор обратного гомотопического предела [110].

В работе автора и Мардешича [160] 1986 года показано с учетом уже известных к тому времени эквивалентностей, что все выше упомянутые построения приводят к одной и той же проекционной гомотопической теории, называемой сейчас сильной теорией шейпов метризуемых компактов.

Были доказаны теоремы Гуревича и Уайтхеда в сильной теории шейпов [40], [133], [134]. Выяснилась связь сильных шейповых отображений метризуемых компактов с полунепрерывными сверху многозначными отображениями [141], [197], [116].

Замечательным оказался результат Кэлда и Хэстигса [95], заключающийся в том, что сильная категорий шейпов метризуемых компактов получается из обычной гомотопической категорией путем исчисления левых частных [17] - обращение в изоморфизмы отображений, являющихся сильными шейповыми эквивалентностями. Ими же было показано, что формальное обращение обычных тейповых экви-валентностей приводит к гомотопической категории, отличной от обычной тейповой категории. В этом смысле сильная категория шейпов может называться правильной гомотопической категорией (теорией). Важно отметить, что этот результат был позже распространен Гюнтером на класс компактных хаусдорфовых (неметризуемых) пространств [118], причем пока это самый широкий класс, для которого указанная теорема верна, однако, он вполне достаточен для мотивации определения в настоящей диссертационной работе сильной теории шейпов с компактными носителями.

Актуальной являлась задача построения сильной теории шейпов всех (по крайней мере нормальных) топологических пространств.

На уровне обратных систем (первый шаг для осуществления этого плана) из симплициальных множеств эта задача была решена в 1976 году Эдвардсом и Хэстингсом в уже упомянутой работе и в 1978 году Портером [187]. Однако вне класса метризуемых компактов аппроксимация (второй шаг для осуществления плана построения сильной гомотопической теории) самих топологических пространств подобными системами не рассматривался.

В 1977 году Хэстингс [120] дает определение сильной категории шейпов компактных хаусдорфовых пространств, делая более жесткой конструкцию Мардешича [162] для построения обычной категории шейпов.

В 1980-1982 гг. Миминошвили строит [49], [51] сильную теорию шейпов для любых топологических пространств с помощью когерентных гомотопий второго уровня, при этом показывает [53], что для компактных хаусдорфовых пространств соответствующие когерентные гомологический группы стабилизируются на этом втором уровне.

В 1983 году конструкция Кэти [97] была обобщена Кэти и Сигалом [98] и построенная ими сильная категория шейпов произвольных топологических пространств использует, во-первых, аппроксимацию топологических пространств АТУД-резолюциями Мардешича [163] и, во-вторых, существенно опирается на построенную Эдвард-сом и Хэстингсом [110] гомотопическую прокатегорию Но(рго — Тор).

В 1982-1983 гг. в работах автора настоящей диссертации [36], [38] рассматривалась сильная категория шейпов произвольных топологических пространств, построенная с помощью когерентных гомотопий второго уровня, причем существенным в аппроксимации топологических пространств обратными системами из АТУД-пространств являлась, впервые введенная автором, сильная ассоциативность, усиливающая ассоциативность по Морита [179].

В этих же работах предлагался план построения сильной категории шейпов произвольных топологических пространств с помощью когерентных гомотопий произвольно высокого уровня, включая бесконечность.

В 1981 году Мардешич предложил свою аппроксимацию топологических пространств АТУД-резолюциями [163], что позволило в совместной работе автора диссертации и Мардешича [150] в 1982 году полностью завершить построение сильной категории шейпов с помощью когерентных гомотопий бесконечного уровня.

В работах автора [32] 1977 года, [140] 1980 года. [36], [38] 19821983 гг. изложена программа построения сильной теории шейпов, когерентной гомотопической и гомологической теорий и, наконец, построение двойственной кошейповой и когерентной когомологической теорий и доказательства теорем двойственности Пуанкаре и Александера-Понтрягина. Эта программа была полностью выполнена в работах автора [32], [33], [38], [44], в совместных работах автора и Мардешича [153], [154], [155], [159], [160] и в работах автора [34], [35], [37], [39], [142], [42], [44], [143], [146].

Идея различения обычной и сильной шейповой категорий состоит в рассмотрении когерентных гомотопий. Когерентные гомотопии плодотворно использовались для решения другой важной в теории гомотопий задачи " распетливания" пространств [10], [201]. В нашем случае идеи когерентных гомотопий восходят к работам Кристи [99] и Квигли [194], а аналогичная конструкция когерентных гомологий была использована в определении гомологии Стинрода [202] и Сит-никова [60] метризуемых компактов. При этом для компактных пространств достаточно рассматривать эту когерентность 'двух" уровней (с точностью до когерентной гомотопии размерности 2).

Основным определением здесь является когерентное отображение / пространства X в обратную систему У = (Yfi,pf4,i, М) из топологических пространств и непрерывных отображений с индексами в направленном частично упорядоченном множестве М. Когерентное отображение - это набор обычных непрерывных отображений ffl : Ап xl' Ym, определенных для каждого // = (/¿о,. Цп) G Л/ . /¿о < /¿1 < . < /¿?l, п > 0, таких что они согласуются с операторами границ и вырождения (косимплициального множеств) стандартного геометрического n-мерного симплекса Л", так и (симплициальных множеств) стандартного упорядоченного симплекса fi = (¡iq. . fin). Без труда такое когерентное отображение распространяется на когерентное отображение / : Х —У обратных систем. Более того, определяются когерентные гомотопии двух таких когерентных отображений, как когерентное отображение Н : Х х I —> У обратной системы Хх/, образованной из Л\ умноженной покомпонентно на стандартный отрезок I = [0,1], в У, ограничение которого в нуле дает одно когерентное отображение, а в единице - другое. Отношение когерентной гомотопности является отношением эквивалентности и классы когерентно гомотопных когерентных отображений можно было бы принять за морфизмы новой когерентной категории. Однако приходится рассматривать не все обратные системы X, а только те, у которых множество индексов ко финитно, т.е. каждый индекс имеет конечное число предшественников, что не ограничивает общности, так как применяя известный "трюк" Мардешича [171], произвольную обратную систему можно заменить на изоморфную в прокатегории обратную систему с кофинитным множеством индексов. Аналогично приходится рассматривать не все когерентные отображения и гомотопии, а только так называемые специальные, что не ограничивает общность, так как в каждом классе таковое имеется. Определяются композиции специальных когерентных отображений и как это бывает в подобных ситуациях (см.: [10]), композиции Ji(gf) и (Jig)f не совпадают между собой, но являются когерентно гомотопными. Тем самым корректно определяется новая когерентная проективная гомотопическая категория СРНТор, объектами которой являются обратные системы топологических пространств, а морфизмами - когерентные гомотопические классы когерентных отображений. Правильность построенной гомотопической категории представляется нами тем, что ее можно трактовать как обычную гомотопическую категорию, объектами которой являются, впервые введенные автором в [37], котелескопы СoTel У обратных систем. Оказывается, что для любого пространства X множество всех морфизмов СРНТор(Л\ У) совпадает с множеством всех мор-физмов HTop(X,CoTelY) обычной гомотопической категории топологических пространств. Без труда эти построения повторяются для пар топологических пространств и, в частности, для пунктированных пространств. Тем самым определяется когерентная гомотопическая группа 7Г *) пунктированной обратной системы (X, *) как обычная гомотопическая группа np(CoTel X, *) соответствующего коте-лескопа, и таким образом, сильные гомотопические группы и индуцированные гомоморфизмы естественным образом являются ковари-антным функтором из категории СРНТор* в категорию групп, и значения этого функтора на объектах этой категории являются инвариантами когерентных гомотопических эквивалентностей.

Двойственным образом строится когерентная инъективная гомотопическая категория CIHTop прямых систем топологических пространств, которая моделируется обычной гомотопической категорией телескопа Tel Х прямых систем Х.

Итак, осуществлению первого шага на пути к построению новой гомотопической теории с помощью когерентных проективной и инъ-ективной гомотопических категорий и посвящена первая глава настоящей диссертации.

Отметим также, что в работах Батанина [7], [86] дается другой путь построения гомотопической категории обратных систем с помощью категории монад Кляйсли, что приводит к изоморфной категории СРНТор. Многочисленные проверки в ходе осуществления этого плана существенно опирались на построенную в работах [150], [152], [153], [154], [155], [159] категорию СРНТор.

Идеи автора [36] об аппроксимации топологических пространств обратными гомотопическими системами их АТУБ-пространств с фиксированными гомотопиями произвольного уровня были осуществлены в работе Шекутковского [198], а построенная им когерентная гомотопическая категория оказалась изоморфной категории СРНТор [199].

Вторая глава посвящена построению сильной шейповой категории (пар) топологических пространств. Для этого в категории СРНТор рассматривается полная подкатегория, состоящая из обратных систем А из ААБ-пространств, и с каждым топологическим пространством А ассоциируется ААБ-резолюция Мардешича р : А —А■ Аналогичным образом рассматриваются и АТУД-резолюции Марде-шича р : (А, А) —)• (X, А) топологических пар (А, А), состоящая их замкнутых ААБ-пар (Ад,Ад). Однако при таком подходе сильная категория шейпов топологичеких пар (А, А) как когерентная гомотопическая категория соответствующих резолюций Мардешича совпадает с сильной категорией шейпов пар (А, А), и тем самым содержательна только для замкнутых топологических пар (А, А). Автором введено новое, более общее, определение - О-разложения р : (А, А) —>• (А, А), состоящего из открытых АХВ-пщу (Ад, Ад) произвольной топологической пары (А, А), которое для замкнутых топологических пар (А, А) совпадает с тем, что достигает АТУД-резолюция Мардешича, а в произвольном случае дает различный ответ по сравнению с парой (А, А). Основным результатами этой главы являются теорема о существовании для любой топологической пары (А, А) О-разложения из открытых АХВ-ттр, а также теорема (являющаяся центральной в диссертации - свойства Е1 и Е2) об О-расширении такого разложения, а именно: для любого когерентного отображения пар / : (А, А) —>• (У, Б) в произвольную обратную систему (У, В), состоящую из открытых АХВ-пар, существует когерентное отображение д : (А, А) —>• (У, Б), которое мы называем расширением для /, такое что / и др когерентно гомотопны, где р - тривиальное когерентное отображение, ассоциированное с р. Более того, любые два когерентных отображения д, д' : (А, А) —> (У,Б), такие что др и д'р когерентно гомотопны, сами являются когерентно гомотопными. Эти теоремы позволяют корректно (инвариантно, т.е. независимо от выбора О-разложений) определить сильную категорию шейпов 55/г(Тор2) произвольных топологических пар.

Построение сильной категории шейпов произвольных топологических пространств с помощью когерентных гомотопий, но по отношению к отображениям пространства в произвольные АМИ-пространства что соответствует кановской конструкции [20] расширения гомологического функтора, было проделано в работах [87], [189], [101], [117].

Двойственным образом строится сильная кошейповая категория 5со5/г.(Тоу)) произвольных хаусдорфовых топологических пространств, т.е. с помощью компактной аппроксимации пространств и применения категории СШСптр. Если в этом построении забыть о когерентных гомотопиях (функтор забвения), то получается обычная категория кошейпов Со57г(Тор) [35], которая фактически использует категорию 1П]-Но(Стр). Но самой содержательной является сильная категория шейпов с компактными носителями 55/гс(Тор), которая является комбинацией морфизмов сильной теории шейпов компактных хаусдорфовых пространств и когерентных отображений их прямых систем. Определяется эта категория формально, как категория прямых систем компактных подмножеств хаусдорфовых топологических пространств (конфинальных в множестве всех компактных подмножеств этих пространств), локализованная в семействе всех уров-невых сильных и ieii.no вхлх эквивалентностей.

Третья глава посвящена построению когерентным, гомологилм и когерентным когомологиям, которые являются соответственно кова-риантными и контравариантными функторами в категориях СРНТор и С1НСтр. С каждой обратной системой X = {Х\,р\\>, А) (соответственно прямой системой Х = (Х\,{\\/, А)) АЛ^Л-пространств (соответственно компактных хаусдорфовых пространств) А"д ассоциируется естественным образом обратная система С* = (5*(Хд; С),р\\>А) (соответственно С* = (С*(Х\; (т), г'дА,, Л)) сингулярных цепных комплексов (соответственно коцепных комплексов Масси [46]) с коэффициентами в группе С. Тогда когерентный цепной (коцепной) р-комплекс (СР(Х'.С)) СР(Х;, (?), р Е Z, состоит из функций х, сопоставляющих каждому упорядоченному набору А = (Ао,Ап) индексов Ао < А! < . < Ап из А, п > 0, сингулярную цепь х\ Е Зр+п(Х\0: С) (соответственно коцепь Масси х- Е Ср~~п(Х\0: С)). Сложение в этих группах покомпонентное, а (ко)дифференциальный оператор с1р : Ср+1 -» Ср ((V : Ср~1 —Ср) задается следующей форп мулой (-1 )n{dpx)x = д(х\) - РХоХ^х^ - £(-1)^. (соответственно j=l

-1 = д(х~) - i*XoXx*° - ¿1-1)-'.А. где 0 < j < п и А,j=1

А0,., AjiAj+i,., An), п > 1 и Д,- = 0 для п = 0. Без особого труда выясняется, что dp-\dp — 0 (dpdp~l = 0), следовательно, мы можем определить когерентные гомологии (когомологии) обратной (прямой) системы Х как группы гомологий (когомологии) цепного комплекса C*(X;G) (коцепного комплекса С*(Х; G)).

В этой главе показано, что когерентные гомологии являются ко-вариантным функтором из категории СРНТор в категорию абеле-вых групп АЬ, причем каждое специальное когерентное отображение индуцирует естественное цепное отображение когерентных цепных комплексов, а когерентно гомотопные специальные когерентные отображения индуцируют цепные отображения, являющиеся цепно гомотопными. Ясно, что эквивалентности в СРНТор индуцируют изоморфизмы когерентных гомологических групп. Более того, первоначальное доказательство этой функториальности упрощается с помощью известной теоремы о представлении категории СРНТор в качестве категории Но (pro-Top) - как категории pro-Top, локализованной в множестве Е всех уровневых гомотопических эквивалент-ностей. Тем же приемом показывается, что когерентные когомологии являются контравариантным функтором из категории CIHCrnp в категорию абелевых групп АЬ, а эквивалентности этой категории индуцируют изоморфизмы в когерентных когомологиях.

Четвертая глава посвящена гомотопическим обратным, и гомотопическим прямым, пределам, так как когерентные (ко)гомологии можно трактовать как гомологии гомотопических обратных систем (ко)цепных комплексов. Когерентные коцепные и цепные комплексы являются соответственно ^-тотальными и ^-тотальными комплексами двойных дифференциальных градуированных модулей, что позволяет трактовать их когомологические и гомологические группы как гиперкогомологии и сильные гиперкогомологии для функтора обратного предела lirn соответственно. Стандартные первая и вторая А фильтрации таких комплексов порождают соответствующие спектральные последовательности, связанные с когерентными когомологиями и гомологиями. Для когерентных когомологических групп эти спектральные последовательности являются сильно сходящимися (они регулярны), а для когерентных гомологии спектральная последовательность, порожденная первой фильтрацией очень слабо привязана к ним, а спектральная последовательность, порожденная второй фильра-цией, является условно сходящейся в смысле Бордмана [90] спектральной последовательностью "правой" полуплоскости и поэтому свойство когерентной гомологической группы полностью зависят от ее предельных модулей НшЕ*:1 и их первых производных !лт /•.';;'' (гомоморфизм, индуцирующий изоморфизм этих модулей, индуцирует изоморфизм соответствующих когерентных гомологии). Более того, для слабо сходящейся спектральной последовательности для когерентных гомологий имеет место структурная теорема 4.1, позволяющая рассматривать предельную когерентную гомологическую группу как двойной композиционный ряд с факторами, изоморфными предельным группам спектральной последовательности и их первым производным пределам, или рассматривать предельную когерентную гомологическую группу как обратный предел двойной обратной системы эпиморфизмов с ядрами, совпадающими с этими же предельными группами и их первыми производными. Другими словами, слабо сходящаяся спектральная по следовательно сть для когерентных гомологических групп имеет двойную (ко)фильтрацию на предельной группе, являющуюся полной, хаусдорфовой, исчерпывающей и кополной с коядрами (ядрами) выражающимися через предельные группы и их первые производные. Тем самым, в рассматриваемом случае слабая сходимость позволяет также восстанавливать предельную группу, как и классическая сильная сходимость.

Доказывается также косимплициальный аналог теоремы Эйленберга Зильбера [112], строится спектральная последовательность типа Лау-дала [139], получены и другие результаты, касающиеся гомотопических обратных пределов.

В этой же главе строятся аналогичные спектральные последовательности для когерентных гомотопических групп, групп гомотопических классов отображений прямых систем, а таюке определяются компактные гомотопические прямые пределы, тесно связанные с функтором компактного прямого предела Чогошвили [79] и его левых производных функторов.

Пятая глава посвящена сильным гомологилм НР(Х, А; б5) топологических пар, которые определяются инвариантно в силу второй главы как когерентные гомологии О-разложения р : (X, А) —> (X, А)

- ¿е пары (X, А), состоящего из открытых АЛГЯ-пар, т.е. Нр(Х, А; С) = А, . Доказываются основные свойства этих гомологий: точность, свойство сильного вырезания, инвариантность при сильных шейповых эквивалентностях.

Другие, сильные сингулярные группы гомологий [87], [88], [89], [135], [136], здесь не рассматриваются.

Определяются также сильные когомологии ЙР(Х: С) хаусдорфова топологического пространства X с коэффициентами в группе С и доказывается инвариантность этих групп в сильной категории шей-пов с компактными носителями. Доказывается также важная теорема типа Хубера-Брауна-Адамса о представлении сильной когомологической группы вполне регулярного пространства X как множества всех сильных кошейповых классов из X в пространство Эйленбегра-Маклейна К{С1р).

В этой главе дается положительный ответ на вопрос П. С. Александрова (поставленный им еще в 1959 г., но не решенный до настоящего времени), о группах гомологий и когомологий, которые являются двойственными в смысле Понтрягина к известным классическим когомологическим и гомологическим группам. Для решения этого вопроса естественным образом определяются комгъактные сильные когомологические и гомологические группы, которые двойственны в смысле Понтрягина соответственно сильным гомологическим и сильным когомологическим группам, и поэтому являются сильными шей-повыми и сильными кошейповыми инвариантами соответственно.

Шестая глава посвящена сильным гомологиям компактных хаус-дорфовых пространств, которые оказываются изоморфными классическим. Доказана вторая структурная теорема, связывающая сильные гомологии обратного предела компактных хаусдорфовых пространств с чеховскими гомологиями и когомологиями самого предела и допредельных пространств. Аналогичная теорема сформулирована (доказательство ее идентично предыдущей) для сильных гомотопических и чеховских гомотопических групп. В этом классе компактных хаусдорфовых пространств доказываются основные теоремы сильной теории шейпов: теоремы Гуревича, Хопфа, Уайтхеда, теорема двойственности Александера-Понтрягина.

Строятся примеры пространств X (которые являются обобщениями двух примеров Е. Ф. Мищенко [54]), для которых естественный гомоморфизм 7 : Нср{X) —> Нр{Х) группы гомологии с компактными носителями в сильную группу гомологий не является ни эпиморфизмом, ни мономорфизмом.

Приводятся примеры пространств, показывающие с помощью теорем двойственности Александера-Понтрягина, теорем о представлении когомологических функторов и определений морфизмов в категориях СРНТор, СШСгпр, рго-НТор и ту-НСтр, что рассматриваемые в диссертации гомотопические категории - обычная гомотопическая, обычная категория шейпов, сильная категория шейпов, обычная кошейповая категория, сильная кошейповая категория и сильная категория шейпов с компактными носителями, равно как их (ко)гомологичсекие и гомотопические группы - вообще говоря, не совпадают друг с другом.

В заключение этого введения автор диссертации считает своим долгом выразить глубокую признательность топологической школе академика П. С. Александрова, в семинаре которого автор принимал участие и труды которого послужили источником многих идей, и в первую очередь профессору Юрию Михайловичу Смирнову, в научном семинаре которого разрабатывались идеи этой работы, а также профессору Евгению Григорьевичу Скляренко, конструкции которого, в частности, пучковые гомологии и когомологии, цепочки взаимно встречных (ко)цепных преобразований, являющихся слабыми эквивалентностями, оказались существенными в теореме двойственности Александера-Понтрягина для когерентных гомологий и кого-мологий. Выражаю особую благодарность профессору Сибе Марде-шичу (Загреб, Хорватия), обратившему свое внимание на перспективность направления автора диссертации в разработке сильной категории шейпов методом обратных систем АТУД-проетранств, взятым из конструкции гомологий Ситникова для метрических компактов. Это позволило в совместных работах автора и С. Мардешича выполнить обширную программу по построению сильной категории шейпов.