Теоремы о гомотопической инвариантности и этальном вырезании для предпучков с Witt-трансферами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Дружинин, Андрей Эдуардович

• Дружинин, Андрей Эдуардович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Дружинин, Андрей Эдуардович

Оглавление

Введение

Глава 1 Предварительная

1.1 Предварительные сведения

1.2 Предпучки с И'Ш-трансферами

Глава 2 Ассоциированный пучок в топологии Зарисского

2.1 Инъективность на аффинной прямой

2.2 Вырезание на А^

2.3 Гомотопическая инвариантность ассоциированного пучка

Глава 3 Ассоциированный пучок в топологии Нисневича

3.1 Этальное вырезание в размерности 1

3.2 Гомотопическая инвариантность ассоциированного пучка

Глава 4 Дополнительные результаты

4.1 Вырезание на А

4.2 Ассоциированный пучок как предпучок с ^¿¿¿-трансферами

4.3 Этальное вырезание в размерности п

4.4 План построения категории И^Ш-мотивов

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоремы о гомотопической инвариантности и этальном вырезании для предпучков с Witt-трансферами»

Введение

Различные теории когомологий играют важную роль в алгебраической геометрии. Для их исследования используются категории мотивов, которые помогают вычислять и доказывать свойства известных теорий когомологий, а также конструировать новые.

Данная диссертация является частью решения задачи по построению триангулированной категории В\¥М(к), называемой категорией И'Ш-мотивов, и доказательству ее основных свойств. Теории когомологий, строящиеся по ней, будут наделены действием кольца Витта основного поля. Роль и место этой категории видны из следующей гипотетической картинки. Стабильная мотивная гомотопическая категория Воеводского БН{к) снабжена естественной инволюцией. Поэтому рационально она разбивается в прямую сумму двух категорий 8Н(к)+ и ЗН(к)~. Согласно теореме Мореля категория ЗН(к)+ эквивалентна рациональной категории мотивов Воеводского ОМ{к)<^. Ожидается, что категория ЗН(к)~ эквивалентна рациональной категории И^Ш-мотивов СИ7М(к)^.

Это одна из причин, почему И.А. Паниным была поставлена задача построить категорию И'Ш-мотивов по образцу конструкции Воеводского для категории мотивов ИМ (к). Построить и доказать ее основные свойства. Другая причина в том, что должен быть естественный функтор

: БН(к) Б\¥М{к),

который является алгебраическим аналогом функтора вещественной реализации. (Функтор БН{к) —» ИМ (к) следует рассматривать как алгебраический аналог функтора комплексной реализации). Наконец, третья причина в том, что построение И^Ш-мотивов и решение связанных с этим задач - это отличный полигон для изучения оснащенных соответствий Воеводского (здесь многое упрощается, но не все, и возникает возможность нахождения правильных формулировок и методов работы с оснащенными соответствиями).

В июне 2014 года выяснилось, что в построении категории ^¿¿¿-мотивов заинтересован М. Левин (один из главных экспертов по т4х-гомотопиям и их приложениям). Кроме того, родственной темой занялись П. Остваер (Норвегия), Ж. Фазель (Швейцария), М. Шлихтинг (Англия). Наконец, выяснилось, что имеется тесная гипотетическая связь И'Ш-мотивов с линейными оснащенными мотивами из работы Г. Гаркуши и И. Панина.

Забегая вперед, укажем на некоторые свойства предполагаемой категории ШШ-мо-

тивов Б\¥М(к). Это полезно сделать, чтобы пояснить, почему важны теоремы, доказываемые в диссертации. Прежде всего, в диссертации вводится категория \¥ог(к). Ее объекты - это гладкие (аффинные) многообразия над полем к, а морфизмы \¥ог(Х, У) - это группа Витта некоторой категории с двойственностью, строящейся по X и У. Категория \Уог(к) снабжена функтором Зт(к) -Ч- \¥ог{к), который тождественен на объектах. Предпучки абелевых групп на категории Игог(к) называются предпучками с ШШ-трансферами. Пучок Нисневича с \¥Ш-трансферами — это такой предпучок Р с \УШ-трансферами, что ограничение Т на категорию Зт(к) является пучком Нисневича.

Как легко вывести из теоремы А, сформулированной ниже во введении, категория ЗМшМТг(к) пучков Нисневича с И^Ш-трансферами является абелевой. Эта категория лежит в основе определения категории И^Ш-мотивов £>ИгМ(к), которое мы сейчас дадим. Сначала рассматривается производная категория ОЗМтШТг(к) абелевой категории З^щТг^к), а затем в производной категории ПЗМ11,шТг(к) рассматривается полная подкатегория 0\¥М(к), состоящая из таких комплексов А*, все пучковые когомо-логии которых И,1 (А') являются гомотопически инвариантными пучками Нисневича (с И'Ш-трансферами). Категория 0\¥М(к) и называется категорией \¥Ш-мотивов поля к. Объекты категории ОШМ(к) называются мотивными комплексами.

Гладкому ^-многообразию У можно сопоставить его И^Ш-мотив МЖ(У), ковари-антно зависящий от У. Одно из ключевых гипотетических свойств И^Ш-мотива следующее: для любого мотивного комплекса А* должны иметь место естественные изоморфизмы

Д^р^') = НотОЦгМ(к](М(У),А-\р\).

В частности, это свойство гипотетически должно быть выполнено для любого гомотопически инвариантного пучка Нисневича Т с ^¿¿¿-трансферами, рассмотренного как чистый комплекс с пучком Т7 в позиции номер ноль. Т.е. должны быть справедливы равенства

нтз(у^) = Нотв„щк)(М(У),Т\р]).

Мотив МЖ(У) гипотетически должен быть гомотопически инвариантен, т.е. М1¥(У) — М1¥(У х А1). Поэтому естественно ожидать, что для каждого р функтор когомологий У Т) гомотопически инвариантен для таких пучков Т. Т.е. для таких пучков

Т естественно ожидать равенство

Нртз(У,Г) = Нртз(УхА\Т).

Оказывается верно и обратное: если доказать, что для гомотопически инвариантного предпучка с И^г^-трансферами ассоциированный пучок Нисневича сам снабжён И^гй-трансферами и, что предпучки когомологий У н-> Яд^ДУ, С") гомотопически инвариантны, то можно доказать, что указанная выше категория ОШМ(к) и ее объекты М1У(У) обладают всеми ожидаемыми общими свойствами. В частности, \¥Ш-мотмъ МЦ/(У) действительно лежит в категории Б\¥М(к), является гомотопически инвариантным и удовлетворяет этальному вырезанию.

ЦЕЛЬ НАСТОЯЩЕЙ РАБОТЫ — пройти "половину расстояния" на пути к доказательству теоремы о том, что для гомотопически инвариантного предпучка С с ШШ-трансферами ассоциированный пучок Нисневича сам снабжён \¥Ш-трансфера-ми и, что предпучки когомологий У (->■ гомотопически инвариантны.

Перечислим основные результаты диссертации.

Теорема А. Для произвольного предпучка ¿Р с \¥Ш-трансферами существует единственная структура предпучка с \УШ-трапсферами на ассоциированном пучке в топологии Нисневича такая, что канонический гомоморфизм е : & —> является гомоморфизмом предпучков с ШШ-трансферами.

Эта теорема говорит, что категория пучков Нисневича с трансферами абелева. Согласно нумерации диссертации — это теорема 8.

Теорема Б. Для гомотопически инвариантного предпучка & с \¥Ш-трансферами, ассоциированный пучок в топологии Нисневича ^тз гомотопически инвариантен.

Эта теорема говорит, в частности, что ЖШ-мотив М1У (У ) любого гладкого многообразия У действительно лежит в категории гМ{к), т.е. является мотивным комплексом. Согласно нумерации диссертации — это теорема 6.

Доказательство теоремы Б основано, в свою очередь, на серии из нескольких теорем,

каждая из которых интересна и важна сама по себе.

Теорема В. Пусть & — гомотопически инвариантный предпучок с ШШ-трансфе-рами, тогда для пары вложенных открытых по Зарисскому подмножеств и С V аффинной прямой А^- над полем К, являющимся полем частных некоторого гладкого многообразия над к, гомоморфизм ограничения

инъективен.

Согласно нумерации диссертации — это теорема 2. Эта теорема даёт возможность, в частности, удобно сформулировать следующий результат.

Теорема Г. (вырезание на аффинной прямой). Пусть ¿Р — гомотопически инвариантный предпучок с ШШ-трансферами, тогда для двух вложенных окрестностей по Зарисскому II С V точки г в А^ над полем К, являющимся полем частных некоторого

гладкого многообразия над к, ограничение

1 '

является изоморфизмом (I обозначает вложение II в V).

Согласно нумерации диссертации — это теорема 3. Следствием теорем В и Г является то, что гомотопически инвариантный предпучок & с ^¿¿¿-трансферами при ограничении на аффинную прямую становится пучком Зарисского на ней.

Согласно теореме об инъективносити на локальных схемах доказанной в [10] для гомотопически инвариантного предпучка & с ^¿¿¿-трансферами и точки х (не обязательно замкнутой) гладкого аффинного многообразия X гомоморфизм &(Ох,х) инъективен. Это позволяет в удобной форме сформулировать следующий результат.

Теорема Д. (этальное вырезание в размерности 1). Пусть ¿Р — гомотопически инвариантный предпучок с ШШ-трансферами и 7г: X' —> X — эталъный морфизм гладких

кривых над полем К, являющимся полем частных некоторого гладкого многообразия. Пусть z G X — замкнутая точка, такая, что iсостоит из одной точки, скажем z', и индуцированный на полях вычетов этих точек гомоморфизм является изоморфизмом. Тогда тг индуцирует изоморфизм

* ^и ~ ~ ~

где U = Spec(öx,z), U' = Spec{öX',z>)

Согласно нумерации диссертации — это теорема 5. Следствием теорем В, Г и Д является то, что для гомотопически инвариантного предпучка & с И^Ш-трансферами ассоциированный пучок Нисневича is обладает следующим свойством: его значение на любом открытом по Зарисскому подмножестве U аффинной прямой равно значению на U исходного предпучка, т.е. = свойство вместе с упомянутой выше

теоремой об инъективносити на локальных схемах и приводит быстро к доказательству теоремы Б.

Имеется еще ряд результатов, которые понадобятся для доказательства в будущем теоремы о гомотопической инвариантности когомологий гомотопически инвариантного пучка с ТУШ-трансферами. Это теоремы Е и Ж. Теорема Е - это специальный случай вырезания по Зарисскому на аффинной прямой над локальной базой. Согласно нумерации диссертации — это теорема 7. Теорема Ж — это этальное вырезание в размерности п для любого п. Согласно нумерации диссертации — это теорема 9.

Теперь уместно сказать несколько слов о категории Wor(k), с помощью которой было определено, что такое предпучок с ТУШ-трансферами и, что такое пучок Нисневича с И^Ш-трансферами. Напомним, что у Воеводского объекты категории Cor — это гладкие многообразия, а морфизмы Cor(X, Y) — это свободная абелева группа, порожденная замкнутыми неприводимыми подмногообразиями Z С X х Y, которые конечны и сюръективны над какой-либо неприводимой компонентой X. Объекты нашей категории Wor(k) — это гладкие многообразия над к. Группа морфизмов Wor(X, Y) определяется следующим образом (детали даны в пункте 1.2 текста диссертации). Рассматривается категория Р(Х, Y) конечнопорожденных к[Х х У]-модулей, которые конечнопорождены и проективны как А;[Х]-модули. На этой категории имеется инволюция *. А именно, если Р е Р(Х, Y), то по определению Р* = Нот,к[х](Р, Действие k[Y] на Р* индуцирова-

но действием к\У] на Р.Квадратичное пространство в категории Р(Х, У) с инволюцией * — это пара (Р,ф : Р = Р*), в которой ф — симметрический изоморфизм к[Х х У]-модулей. Группа 1¥ог(Х, У) — это по определению группа Витта классов изоморфизма квадратичных пространств в категории Р(Х,У) с инволюцией *.

Композиция морфизмов (Р,ф) € \¥ог(Х,У) и (С^тф) € \Уог(У^) определяется как (Р®к[у]Я, Ф®Ф) £ \Уог(Х, Z). Тождественный морфизм X в себя — это пара (к[Х},1 еЦл"])» где к[Х] рассматривается как к[Х х X] естественным образом. Упомянутый выше функтор г : втА///к —> \¥ог(к) определяется просто (с использованием графика; см. Замечание 3).

Таким образом, у нас в руках есть все исходные определения и можно начинать доказывать сформулированные выше теоремы А-Д, Е и Ж. Это и делается в основном тексте диссертации.

Опишем содержание глав диссертации. Глава 1 содержит описание используемых в дальнейшем понятий и утверждений, являющихся базовыми для дальнейшего текста диссертации. Параграф 1.1 содержит обзор используемых определений и утверждений о группах Витта и топологии Нисневича. В параграфе 1.2 даётся определение используемых IV¿¿¿-соответствий, доказываются их базовые основные свойства и вводится основной объект исследования — предпучки с ^¿¿¿-трансферами.

Глава 2 посвящена свойствам предпучков с ^¿¿¿-трансферами по отношению к топологии Зарисского. В параграфе 2.1 доказана теорема В, в параграфе 2.2 — теорема Г, и в параграфе 2.3 — теорема о гомотопической инвариантности ассоциированного пучка в топологии Зарисского.

Глава 3 содержит теоремы связанные с топологией Нисневича, а именно: в параграфе 3.1 доказана теорема Д, и в параграфе 3.2 — теорема Б.

Наконец, глава 4 содержит доказательства теорем Е, А и Ж, в параграфах 4.1, 4.2 и 4.3 соответственно, а в параграфе 4.4 приведено описание плана построения категории ^¿¿¿-мотивов, аналогично тому, как построена категория ИМ~(к).

Глава 1. Предварительная 1.1 Предварительные сведения

Исследуемые трансферы определяются как группы Внтта некоторых категорий с двойственностью. Напомним определение категории с двойственностью.

Определение 1 Двойственность на точной категории С — это контравариантный 'точный эндофунктор D : С —> С вместе с естественным изоморфизмом zu: Idc —>■ D2.

Определение 2 (Квадратичное пространство) Симметрическое квадратичное пространство в точной категории с двойственностью С — это пара (P,qp), состоящая из объекта Р категории С и изоморфизма qp~. Р —> D(P), такого, что коммутативна диаграмма

zu

А-^D(P)

(это условие симметричности).

Определение 3 Симметрическое квадратичное пространство (Р, qp) называется метаболическим, если существует подобъект подпространство L в Р, такой, что последовательность

L^P D(L) является короткой точной последовательностью.

Определение 4 Группа Витта W(C, D) категории с двойственностью — это факторгруппа группы Гротендика группоида симметрических квадратичных пространств по подгруппе, порождённой метаболическими пространствами.

Лемма 1.1.1 Пусть (P,qp) — квадратичное пространство и L — его подлагранжево подпространство, тогда квадратичное пространство (Q,qg), определяемое как когомо-логии последовательности L —Ь Р qp> D{L), задаёт тот же элемент в группе Витта, что и (P,qp).

Приведём также определение топологии Нисневича и некоторые используемые свойства.

Определение 5 Топология Ниспевича па категории гладких схем Sm — это топология Гротендика, в которой покрытиями являются этальные морфизмы t: il —»■ X, такие, что для любой точки х G X существует точка и G il, для которой t задаёт изоморфизм и —Ух.

Определение 6 (Локальная гензелева схема) Локальная схема U называется ген-зелевой в точке х, если для любого морфизма и: U' —»■ U, эталъного в точке х', такого, что и(х') = х и и* : к(х) —> к(х') — изоморфизм, существует сечение s: U —ïU' такое, что s(x) = х'.

Далее будет использоваться следующее утверждение, доказанное Гротендиком. Теорема 1 Пусть Y — локальная гензелева схема, и пусть X — конечная схема над

п

Y, тогда X = Xi распадается в дизъюнктное объединение локальных гензелевых схем

г—1

Xi.

1.2 Предпучки с Witt-трансферами

В этом параграфе вводится понятие предпучков с И'Ш-трансферами через определение категории Wor, а также сопутствующих понятий. Приведено детальное обсуждение используемых в дальнейшем базовых свойств. Пусть Srnk — категория аффинных гладких многообразий над произвольным полем к.

Определение 7 (Proj(p)) Для морфизма аффинных схем р: S —>• U определим категорию Proj(p) как полную подкатегорию в категории к[3]-модулей, состоящую из модулей, являющихся конечнопорождёнными проективными над k[U], и снабдим Proj(p) функтором двойственности Dp : Proj(p) —> Proj(p)

Dp(M) = Homk[u](M,k[U]).

Здесь Dp(M) рассматривается как к[3]-модуль по следующему правилу: для р G DP(M) и f G k[S] положим (/ • p)(m) = p(f ■ m).

f p

Замечание 1 Для двух морфизмов S' —» S —» U определён согласованный с двойственностью функтор ограничения скаляров (или прямого образа) /* : Proj(p о /) —> Proj(p).

Для двух морфизмов р: S —>• U, и: U' —ï U определён согласованный с двойственностью функтор замены базы (или обратного образа) и*: Proj(p) Proj(p'), где р' : S У. и U' —U' — канонический морфизм.

Приведём определения аддитивной категории Work и предпучков с ТУШ-трансферами.

Определение 8 (Work)

• Ob Work = ObSnik (аффинные многообразия над полем к);

• Work(X, Y) = W(Proj(pr), Dpr), где pr — проекция Y x X на X, a W(Proj(pr), Dpr)

— группа Bumma точной категории с двойственностью (Определения 4 и Типичный пример морфизма из X в Y — это квадратичное пространство (k[Y]Pk[x], Ф)> где k[Y]Pk[x] — k[Y х X]-модуль, конечнопорождённый как к[Х]-модуль, и где

Ф ■ k[Y]Pk[x\ Нотк[х\{Р,к[Х])

— симметрический изоморфизм k\Y х Х]-модулей;

• композиция морфизмов Ф G Work(X,Y) и Ф G Work(Y, Z) определяется как тензорное произведение над k\Y] соответствующих квадратичных пространств;

• тождественный морфизм определяется диагональю, т.е. модулем к{х}к[Х\кщ и каноническим изоморфизмом k[X] — Horrik[x]{k[X],k[X]).

В следующем замечании подробно описано как устроена композиция в Work■

Замечание 2 (о композиции) Для определения композиции нужно рассмотреть тензорное произведение как функтор точных категорий с двойственностью, между произведением категорий Proj(prz,y) х Proj(pry,x) и категорией Proj{prz,x), где произведение категорий рассматривается как категория с двойственностью с помощью композиции двух коммутирующих функторов, определяющих двойственности на сомножителях. Т.е. рассмотрим пару {®z,y,x>£z,y,x) из функтора ®у Proj{prZy) х Proj(pry,x) ~~^ Proj(prz,x) и естественного изоморфизма контравариантных функторов между этими категориями ®y(Dz,y х Dy,x) — Dz,x{®y)> являющегося композицией естественных изоморфизмов

DY(k[z]Qk{Y])®k[Y}Dx(k[Y}Pk[x}) = Homk[Y}{k[z}Qk[Y},k[y])®k[Y]Homk[x}(k[Y]Pk[x],k[X]) cz ~ Homk[Y](k[z}Qk[Y], Homk[x}(k[Y}Pk[x], k[X])) -

~ Homk[X](k[z}Qk[y1 k[y\Pk[x], k[X}) d= Dx{k[z]Qk[y\ ® k[y]Pk[x])

Тогда пары {k[z)Qk[Y}-, k[Y]Pk[x])> содержащие метаболические пространства, переходят в силу точности функтора и сохранения двойственности в метаболические. Поэтому определён гомоморфизм о: W(Proj(przy)) х W(Proj(prY,x)) —> W(Proj(prz,x))-

Ассоциативность следует из того, что для четырёх схем Z, Y, X и W определённые двумя способами функторы между произведением естественно изоморфны

Proj(prz,Y) х Proj{prY,x) х Proj(prx,w) Proj(prZtW),

а именно, функторы, полученные композициями

®z,x,w ° (®z,Y,x х Proj(prx,w)) and ®z,Y,w °(Proj(prz,Y,w) X

Т.е., поскольку сами функторы, тензорного произведения связаны естественным изоморфизмом, нужно проверить совпадение естественных изоморфизмов, обеспечивающих согласованность двойственностей

£(z,y,x),w = £z,{y,x,w)- ®z,y,x,w o{Dy x dx x Dw) —> Dw о ®z,y,x,w,

где

£{z,y,x),w = (£z,y,x X DW) • Ez,x,w

и

£z,(Y,x,W) = (dx x £y,X,W) • £z,Y,W

(т.е., на самом деле, совпадение композиций Ц ° £{Z,y,x),w = £z,{y,x,w) °

Для этого достаточно проверить совпадение действия на разложимых тензорах. Описанный выше изоморфизм

£к[г]Як[г],к[у)Рк[х] = £z,y,x(k[z}Qk[y]Xk[y}Pk[x]) ■■ Hom(k[z]Qk[Y],k[Y})®k[Y]Hom(k[Y}Pk{x},k[X}) ->

Hom{k[Z]Qk[Y] ® k[Y]Pk[x],hX) переводит разложимый тензор u®t в гомоморфизм

(и ® t): q®p^t{u{q) -р).

Поэтому для трёх элементов г G k[z]Rk[Y], q £ k[Y]Qk[x}> Р £ и линейных гомоморфизмов

V G #orafc[r](fc[Z]i4[r],и G Homk[X](k[Y}Qk[x}, k[X]),t G fc[W]) имеем цепочку равенств

£r®q,p(£r,q(v <8> и) <g> i)((r ® 9) ® p) = t{eR^Q(v ®u)(r®q)-p) =

= t(u(v(r) • q) • p) — = £q®p(u ® • (q®p)) = <S> &Q®p(tt ® £))(r <g> (g ® p)).

Ассоциативность композиции проверена.

Замечание 3 Определён функтор г : Smk —>■ Work, переводящий регулярное отображение f:X—)Y в морфизм, определяемый модулем к[х]к[Х}к^ и каноническим изоморфизмом ~ Homk[x]{k[X]k^,(k[X}). При этом композиция морфизмов в Work справа или слева с образом отображения f при этом вложении задаётся квадратичным пространством, получающимся с помощью прямого или обратного образа вдоль / соответственно, т.е.

f о w = redfxW(w),w G Work{W, X), w о f = indf(w),w G Work{Y, Z).

Действительно, если w = [(P,qp)] G Wor(W,X), то композиция

f О U) = [(k{Y]k[X}k{x] k[X]Pk[W], £fc[X],p(l ® qp)} = {{k[Y]Pk[W], 9p)], где k[Y]Pk[w] обозначает ограничение скаляров k[x)Pk[w\ c помощью f, поскольку £k[x},p

отождествляет Hornk[w](k[x]Pk[w],&[W]) как бимодулъ над к[Х] и k[W] с

Homk[w] (fc[y] Pk[w] ,k[W]). Если w = [(P, qp)\ G Wor(Y, Z), то композиция

wof= [{k[z\Pk[Y\ ®k[Y] k[Y]k[X}k[x],epMx}(qp <g> 1)] = \{k[Z]Pk[Y] ®fc[r] k[X], qP ®fc[y] k[X})},

поскольку Sp,k[x] отождествляет

Hom(k[Z]Pk[y},k[Y]) <g>fc[y] с Hom(k[z]Pk[Y}®k[Y}, k[Y]).

Определение 9 (Предпучок и пучок с ^¿¿¿-трансферами) Предпучком абелевых групп с Witt-трансферами называется контравариантный функтор F: Work —У АЬ, удовлетворяющий условию аддитивности па дизъюнктных объединениях, т.е. такой, что WX2) = &(Xi) ©«^"(Хг). Пучком Нисневича с Witt-трансферами называется такой предпучок F с Witt-трансферами, что его ограничение на Smk является пучком Нисневича. Т.е. Foi : Smk —> АЪ — пучок Нисневича.

Аналогично определяется пучок Зарисского с Witt-трансферами.

Рассмотрим некоторые используемые в дальнейшем расширения категории Work (в леммах 2.2.1, 4.1.1, 3.1.1 и 4.3.1 используются одновременно оба приведённых ниже расширения).

Замечание 4 (расширения категории)

(существенно гладкие схемы) Рассмотрим расширение категории Work на существенно гладкие схемы над к как полную подкатегорию в категории прообъектов категории Work, т.е. для двух существенно гладких схем X = ^m Xi и Y = ^т Fj

г—>00 i—у оо

Work(X,Y) = Work(Xi,Yj).

j—vоо г—уоо

Отметим также, что произвольный предпучок с Witt-трансферами канонически продолжается на это расширение Work так, что для X = proj lim Xi

г—Уоо

г-»оо .

В частности, если UXtx и — локальная и гензелева окрестности гладкой точки х схемы X соответственно, то и ^{U^x) ~~ это ростки пучка & в точке х в

топологиях Зарисского и Нисневича.

После такого расширения категории Work категория Wotk для К = К(Х), являющемся полем рациональных функций произвольной гладкой схемы над к, вкладывается в категорию Work, поскольку любая гладкая схема над К является существенно гладкой над к, поэтому предпучок, определённый на Srnk, можно считать определённым на гладких схемах над общей точкой некоторой гладкой схемы, что используется в доказательствах теорем 4 и 6.

(пары схем) Для переформулировок и доказательства изоморфизмов вырезания используется расширение категории Work на пары (Xi,X2), где Xi — гладкая схема (или существенно гладкая) над к и Х2 С Xj — открытая подсхема как локализация подкатегории категории стрелок по тождественным стрелкам, т.е для двух пар (Х^Хг) и (Yi,Y2) открытых вложений гладких схем (или существенно гладких схем)

Work((X1,X2),(Yl,Y2)) =

= coker{Work(Xu Y2) {-olx>lY°-\ Wor^\X2 Хь У2 У^),

где Wor'fT*' — категория стрелок. Или, другими словами, подкатегория гомотопической категории комплексов длины 2, т.е. морфизм Work((X\, Х2), (У1, Y2)) определяется парой Фг G Work(XuYt), г = 1,2, согласованной с вложениями (т.е. Фх о ix = iy ° Ф2Л и пары вида (iY о 5, Е о гх) для ¡Е G Work(Xi, Y2) считаются равными 0.

Ф2 Ф1 Но гх

гУ 1/ trr lY

ly о-

У2С-^Уг Уг^-П,

Категория Work вкладывается в описанную расширенную категорию так, что схема X переходит в пару (X, 0).

Достаточным условием для задания морфизма пар (Х1,Х2) —> (У^Уг) является существование квадратичного пространства (Р,др) Е Рго](ргуихг), такого, что

k[Y2} ®k[Yl] Р ®k[Xl] k[X2] = Р ®k[Xl] k[X2],

(1.2.1)

поскольку тогда композиция (P,qp)oix, задаваемая пространством (P(&k[Xx]k{X-2\, qp®k[xi] G Proj(pry1,X2)> будет получаться композицией с %х из морфизма, задаваемого пространством (к[У2] ^к^РЩхх] к[Х2], к[У2] О*^] qP <8>вд к[Х2]) G Proj(pry2,x2), которое действительно является пространством, поскольку модуль &[У2] ®fc[yi] Р®к[хг] к\Хо\ проективен над к[Х<^, благодаря равенству 1.2.1. Отметим, что произвольный мор-физм пар не обязательно должен представляться в таком виде, но во всех конструкциях будет использоваться такое представление. Для произвольного предпучка с Witt-трансферами определён предпучок с Witt-трансферами : на расширенной в указагтом смысле категории Work, такой, что

Отметим, что не является продолжением предпучка & и более похож на первые когомологии ¿Р с носителем в Х\ \ Х2 {Х\,Хъ) — Н^ хдх2> в частносг^и, когда Х\ — локальная).

Наконец, обсудим гомотопически инвариантные предпучки с И^Ш-трансферами и

соответствующую категорию Worк. Сначала дадим её определение.

Определение 10 (Work)

• ObWork = ObWork;

• Work(X,Y) = сокег(Жо^(А1 х Х,У) ( °'о) ( "Ч ЦГогк(Х,У)), где ¿о, н: X ^ А1 х X — нулевое и единичное сечения А1 х X.

Замечание 5 (Гомотопическая инвариантность)

1) Гомотопически инвариантным предпучком с Witt-mpaнcфepaмu называется предпучок, который гомотопически инвариантен и имеет Wгtt-mpaнcфepы.

Гомотопически инвариантные предпучки — это в точности те предпучки, кото-

рые пропускаются через канонический функтор в факторкатегорию h: Work —У Work. Т.е., если ¿P\ Work АЪ — гомотопически инвариантный предпучок с Witt-трансфе-

рами, то существует единственный функтор & \ Work —у АЬ, для которого коммута-

тивна диаграмма

Work АЬ ,

Work

и обратно: для любого функтора Work —У АЬ его композиция с каноническим функтором Work —У Work является гомотопически инвариантной (это утверждение, очевидно, верно для функторов в любую аддитивную категорию и является универсальным свойством категории Work).

2) Категорию Work можно аналогично определить для расширенной категории Work в смысле пунктов замечания 4, и в этом случае она будет обладать таким же свойством.

3) Опишем используемые в дальнейшем явные описания пар гомотопных морфизмов: два морфизма Фо, Ф1: X —> Y, задаваемые квадратичными пространствами (Ро, go) и (Pi, gi), совпадают в Work, если существует пространство (H,q) 6 Proj(prY,t^xx), такое, что

[indJO(H, qH)\ = [(Р0, g0)], [indn (Я, qH)} = [(Рь gi)]

в W(Proj(prytx)) ■ И для совпадения после перехода к Work двух морфизмов в категории пар, заданных пространствами (Po,qo),(Pi,qi) G Pr°j(p^Yi,X\)> как описано в пункте 2 замечания 4> достаточно существования пространства (H,q) £ Pfoj(prY^ixx), задающего морфизм пар, т.е. такой, что (Е»*^] Н ®fc[Xi] k[X<^ = Н СЕ^р^] и в

W(Proj(prY,x))

[ind3Q(H,q)\ = [(Р0,«о) ® (GWo)]> \indJ1(H,q)] = [(Puq1)®(G1,^1)],

для некоторых (Go, g'0), (Gi, q\) G Proj(prYl,xx)), таких, что

k[Y2] ®fc[n] G2 = г = 0,1.

Глава 2. Ассоциированный пучок в топологии Зарисского

В этой главе рассматриваются свойства гомотопически инвариантных предпучков с ^¿¿¿-трансферами по отношению к топологии Зарисского, и доказаны теоремы об инъ-ективности и об изоморфизме вырезания по Зарисскому на аффинной прямой, а также, что пучок Зарисского, ассоциированный с гомотопически инвариантным предпучком с ^¿¿¿-трансферами, гомотопически инвариантен.

2.1 Инъективность на аффинной прямой

Теорема 2 Пусть & — гомотопически инвариантный предпучок с \¥Ш-трансферами, и пусть и С V — пара вложенных открытых подмножеств А^, для К = к(Х) - поля частных некоторого гладкого многообразия X. Тогда гомоморфизм ограничения

г*: &(у)

инъективен.

Доказательство. Выведем её из леммы.

Лемма 2.1.1 Пусть и С V — пара вложенных открытых подмножеств А^-, а г — вложение II в V, тогда существует морфизм Ф 6 \¥ог(У, и), такой, что

[г о Ф] = [1йу]

Пусть а € такое, что ¿*(о) = 0. В соответствии с пунктом 2 замечания 4 предпучок

как функтор из IVог в АЬ, пропускается через IV ог и, поскольку [г о Ф] = [го?у], то а — Ф*^*(а) = 0. Таким образом, инъективность г* доказана, осталось доказать лемму.

Утверждение леммы означает, что существует морфизм О £ IVог(У хк А^,У), задающий гомотопию между гофи гйу, т.е. такой, что

Э о = г о Ф, во =

V--V .

V

е

и

ф

Далее все произведения схем и тензорные произведения модулей будем подразумевать производимыми над К. Для построения Фи© нужно найти

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дружинин, Андрей Эдуардович, 2014 год

Список литературы

1. Voevodsky V. Triangulated Category of Motives over a Field. Cycles, Transfers and Motivic Homology Theories (V. Voevodsky, A. Suslin and E. Friedlander, eds.), Annals of Math. Studies, 1999.

2. В aimer P. Witt Groups. Handbook of K-theory, vol. 2, Springer, Berlin (2005), 539-576.

3. Hartshorne R. Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer (1977).

4. Ojanguren M., Panin I. A Purity Theorem for the Witt Group. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 32 (1999), no. 1, 71-86.

5. Altman A., Kleiman S. Introduction to Grothendieck Duality Theory, Lecture Notes in Mathematics 146, Springer (1970).

6. Дружинин А.Э. Сохранение гомотопической инвариантности предпучков с И^Ш-тран-сферами при пучковании// Записки научных семинаров ПОМИ. 2014. Т.423. С. 113125.

7. Дружинин А.Э. О гомотопически инвариантных предпучках с ТУШ-трансферами// Успехи математических наук. 2014. Т.69, № 3, С. 181-182.

8. Дружинин А.Э. Сохранение гомотопической инвариантности предпучков с Witt-трансферами при пучковании в топологии Зарисского, ПОМИ ПРЕПРИНТ 7-2014.

9. Дружинин А.Э. Сохранение гомотопической инвариантности предпучков с И^Ш-тран-сферами при пучковании в топологии Нисневича, ПОМИ ПРЕПРИНТ 8-2014.

10. Чепуркин К. Некоторые свойства гомотопически инвариантных предпучков с Витт-трансферами, дипломная работа, июнь 2013.

11. Suslin A., Voevodsky V. Bloch-Kato Conjecture and Motivic Cohomology with Finite Coefficients, The Arithmetic and Geometry of Algebraic Cycles (Banff, AB, 1998), NATO Sci. Ser. C Math. Phys. Sci., Vol. 548, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht (2000), pp. 117-189.

12. Voevodsky V. Al-Homotopy Theory, Doc. Math., Extra Vol. ICM 1998(1), 417-442.

13. Cisinski D.-C., Deglise F. Triangulated Categories of Mixed Motives, preprint at http://arxiv.org/pdf/0912.2110v3.pdf