Фильтрации групп, гомологий и пространств зацеплений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Михайлов, Роман Валерьевич

• Михайлов, Роман Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Михайлов, Роман Валерьевич

Введение.

Глава 1. Трансфинитные нижние центральные ряды групп.

1.1 Построение групп (?(г).

1.2 Проблема Дж. Левина о невидимых подгруппах.

1.3 1-линки и 2-порожденные группы зацеплений.

1.4 Группы 3-многообразий длины больше ш.

Глава 2. Фильтрации пространства локализованных зацеплений.

2.1 Проблема Изотопической Реализации в Е3 и накопление сложности.

2.2 Инварианты Кассона-Уокера-Лескоп и &-квазиизотопия.

2.3 Алгебраические инварианты й-квазиизотопии.

2.4 Группы, порожденные 3-энгелевыми элементами.

Глава 3. Фильтрации гомологии, локализации, условия парасвободности

3.1 Гомологическая локализация и фильтрация Дваера.

3.2 Некоторые трансфинитные условия.

3.3 Группы с длинными фильтрациями.

3.4 Группы с длинными башнями нуллификаций.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Фильтрации групп, гомологий и пространств зацеплений»

Предмет исследования данной работы относится к теории групп, гомологической алгебре и геометрической топологии. Рассматриваемые разделы теории групп - это нижние центральные ряды в группах, коммутаторное исчисление и трансфинитные свойства групп. Рассматриваемая гомологическая алгебра - это теория гомологий групп, а геометрическая топология - это теория классических зацеплений и 3-мерных многообразий.

Понятие нижнего центрального ряда в группах было введено Фай-том [F] в 1906 году и получило дальнейшее развитие в известной работе Ф.Холла [Hal] в 1933 году. Цитируемые работы использовали нижние центральные ряды в основном для изучения конечных р-групп. Общая теория нижних центральных рядов была в достаточной мере построена уже в первой половине ХХ-го века в работах В.Магнуса, Витта, Ф.Холла, М. Холла и других. Параллельно нижним центральным рядам в группах активному изучению подверглись близкие к ним вопросы: теория размерностных подгрупп, степеней аугментационных идеалов в групповых кольцах, теория колец Ли, ассоциированных с группами и т.д. В настоящее время, это глубоко изученная и популярная область теории групп, которая, вероятно, всегда останется актуальной. Одним из самых подробных и хорошо изложенных руководств по теории нижних центральных рядов и коммутаторному исчислению является известная монография В. Магнуса, А.Карраса и Д.Солитера [MKS].

Первые топологические приложения теории нижних центральных рядов и нильпотентных групп связаны с именами Дж. Милнора и Р.Фокса. Так в своей основополагающей работе [Mil], Дж. Милнор вводит понятие гомотопии для классических зацеплений и определяет алгебраические инварианты гомотопии, известные как /¡-инварианты. В [Mil] и дальнейшей работе [Mi2] /¡-инварианты определяются как коэффициенты разложения Магнуса параллели зацепления в группе дополнения к зацеплению. Альтернативным и несколько более удобным является определение /¡-инвариантов как коэффициентов разложения параллели по некоторому базису Холла. Таким образом, гомоморфизм из свободной группы ранга равного количеству компонент 2 зацепления L Fm в фундаментальную группу дополнения к зацеплению G(L) — 7Ti (53 \ L), отображающий порождающие в меридианы, индуцирует изоморфизм Fm/^kFm ~ G(L) ¡jkG(L) если и только если Д-инварианты для L длины < ш равны нулю (такие зацепления часто называют fc-срезанными или й-кобордантными нулю). Ввиду теоремы Столлингса, которая проходит через всю данную работу, Д-инварианты представляют собой инварианты конкордантности.

Особый интерес представляют зацепления с нулевыми Д-инвариан-тами. Такие зацепления будем называть алгебраически срезанными. Важный класс алгебраически срезанных зацеплений образуют ограничивающие зацепления - зацепления, компоненты которых ограничивают попарно непересекающиеся поверхности Зейферта и их частный случай гомологически ограничивающие зацепления. Естественный вопрос, который встает в этой теории: верно ли, что любое алгебраически срезанное зацепление конкордантно ограничивающему, гомологически ограничивающему зацеплению (или его собственному подза-цеплению). Этот вопрос исследовался многими топологами и в 1990 году Т. Кохраном и К. Орром [COI] был построен пример алгебраически срезанного зацепления, не конкордантного ограничивающему зацеплению. Проблема конкордантности подзацеплению гомологически ограничивающего зацепления остается открытой. Также отметим, что важнейшая в топологии 4-многообразий проблема о вложении 2-диска имеет два основных потенциальных пути решения (см, например [FQ]): первый связан с изучением связи теории погруженных 2-дисков в 4-многообразия с ростом фундаментальной группы 4-многообразия, второй же связан с проблемой нуль-конкордантности некоторых конкретных зацеплений. Тут-то и всплывает проблема, поставленная Дж.Милнором в [Mi2] о существовании трансфинитных Д-инвариантов, которые, вообще говоря, могут не оказаться инвариантами конкордантности.

Алгебраическая интерпретация проблемы существования трансфинитных инвариантов конкрдантности есть, по сути, проблема Кохрана-Милнора (см, например, [С1]): верно ли, что = 7w+i для группы зацепления с нулевыми Д инвариантами. Здесь мы приходим к трансфинитным нижним центральным рядам в группах. з

Для произвольной группы С рассмотрим ее трансфинитный нижний центральный ряд, определяемый индуктивно 7x6? = С,., =

7тС,(У] для любого ординала т и 7ГС = если г является предельным ординалом последовательности тг-, г = 1,2,., то есть, г -наименьший ординал со свойством г,- < г для всех г.

Длиной нижнего центрального ряда группы С (или просто длиной) называется наименьшее т такое что 7ГС? = 7г+1Сг. Если 7гО = 1 для некоторого г, то С называется трансфинитно нильпотентной или ZD-группой.

Одними из наиболее перспективных кандидатов в направлении проблемы Милнора являются инварианты Орра [Ог] ви(Ь) Е 1)/1-остов), и инварианты Левина Е где ^

- свободная группа, Ё ее алгебраическое замыкание, которые удовлетворяют всем требуемым условиям, однако, остается открытым вопрос их нетривиальности.

Таким образом, новыми гипотетическими инвариантами, которые могут оказаться полезными при решении вышеприведенных вопросов, могут быть инварианты, извлекаемые из факторов 7а/7а+1,а > и трансфинитного нижнего центрального ряда группы зацепления.

Итак, мы пришли к вопросу построения групп с очень длинными нижними центральными рядами. Группу длины строго больше ио (первого предельного ординала) построить несложно.

Пример 1. [М1] Пус тъ Н^ ~ 1^2/7?'-^2 — \ еР) 1т« — 1/ свободные нилъпотентные группы ступени г — 2,3,. Рассмотрим группу

Я = (П Я,)/{в'2» = [431, а = [е<4), в<4», «<4>] =. . = [М,. , а = к

Очевидно, что е^ Е уиН, причем е^ лежит в центре Н. Группа Н/ является прямым произведением иилъпотентных групп, поэтому нилъпотентно аппроксимируема. Получаем = 1шН, но 1 для любого д Е Н., поэтому 7^+1 Н — 1.

Проблема существования групп произвольной длины была поставлена Курошем и Черниковым в связи с изучением обобщенной нильпотентности и разрешимости. Такие группы были построены А. И.

Мальцевым [Ма], которые, однако, не являются конечно представленными. Также в [Ма] построены группы с длинными производными рядами. Вопрос о существовании групп произвольной длины в классе конечно представленных групп оказался значительно сложнее. В [Lei] были построены первые примеры конечно представленных групп с длиной больше ш, а в [СО] первые примеры групп длины не меньше 2и. Вопрос о существовании конечно представленных групп длины строго больше 2и> остается открыт.

Практически все возможные приложения трансфинитных нижних центральных рядов в маломерной топологии оказываются тесно связанными с Парасвободной Гипотезой Баумслага: пусть G конечно порожденная парасвободная группа, тогда H^G^I?) = О1. Напомним, что группа G называется почти парасвободной (или слабо парасвободной), если существует некоторая свободная группа F, и гомоморфизм F G: индуцирующий изоморфизмы G/^kG ~ F/^^F для всех конечных к, и, если, более того, 7^G = 1, то G называется парасвободной2. Так, если Парасвободная Гипотеза верна, то инварианты Орра и инварианты Левина, которые являются кандидатами в трансфинитные /¿-инварианты, тривиальны [СО], а проблема Кохрана-Милнора решается положительно.

Парасвободная Гипотеза эквивалентна также следующему утверждению: пусть G - конечно-порожденная почти парасвободная группа, тогда тUG — (эта эквивалентность непосредственно вытекает из теоремы Столлингса, см. ниже). В частности, этот вопрос в классе фундаментальных групп 3-многообразий составляет часть проблемы Кохрана-Фридмана из [Ki]. гВ работе [Си] приведено положительное решение Парасвободной Гипотезы, однако, там были допущены ошибки. И на данный момент Парасвободная Гипотеза остается открытой.

2В работе Г. Баумслага [Ва], где впервые были определены парасвободные группы, определяются в целом, группы, парасвободные в данном многообразии, приводимое же здесь определение соответствует понятию абсолютно парасвободных групп в [Ва].

Почти парасвободность группы С эквивалентна тому, что Н^О) свободная абелева и все произведения Масси элементов из Н\{0) содержат ноль, т.е. для любого набора ах,. ., а^ 6 Ну (С) существует определяющая матрица М, такая что (а\,. ., &к)ы = 0 рОм\г]. В главе 3 будут рассмотрены также когомологический условия Пасси-Штаммбаха, обеспечивающие почти парасвободность. 5

Понятие конкордантности проходит через всю данную работу в разных аспектах. Все вышесказанное можно считать небольшим введением в первую главу работы, где рассматриваются трансфинитные нижние центральные ряды и потенциальные подходы к решению проблемы существования трансфинитных Д-инвариантов. Вторая глава посвящена алгебраическим вопросам, связанным с Проблемой Изотопической Реализации, там конкордантность возникает как некоторое "препятствие", требуется строить инварианты зацеплений по модулю инвариантов конкордантности. В третьей главе мы изучаем алгебраический аналог конкордантности, так называемую ЯЛ-эквивалентность или гомологическую бордантность для групп.

Проблема продолжения Д-инвариантов на трансфинитные ординалы требует научиться вычислять первый предельный централ 7Ш группы зацепления и определять длину этих групп. Однако, это оказывается довольно сложной проблемой. Так, даже в простейших случаях группы зацепления Уайтхеда и группы колец Борромео не известно, являются ли эти группы нильпотентно аппроксимируемыми (т.е. 7Ш тривиальна)3 (проблема 12 [С1]). Более того, не говоря уж об алгебраически срезанных зацеплениях, не известно никаких примеров зацеплений с группами длины строго больше ю. Все известные примеры конечно-представленных групп длины больше и;, построенные Дж. Девином [Lei], Т. Кохраном и К. Орром [СО] содержат кручения в абелениза-циях, чего нет в группах зацеплений.

В п.1.1 на основе свободных нильпотентных и полинильпотентных расширений, мы строим пример 2-порожденной конечно определенной группы G(l) длины строго больше и, причем, в отличии от известных конечно-представленных групп длины больше ш из [Lei], [СО], абеле-низация G(l), т.е. #i(G(l)), не имеет кручения (см. [М1]).

Теорема 5. Группа

G(l) = ( а,6|[а,^"] = 1; [аДа]«,т = 1; [а, Ъ, а]4™ = р"-3 2

3В работе [Hai] приводится результат, утверждающий, что эти группы нильпотентно аппроксимируемыми, однако в приведенных рассуждениях имеются пробелы 6 где р простое число ф 2, q и р взаимно просты, имеет длину строго больше со, т.е. 7^(3(1) ф 7^+1^(1).

Отметим также, что это первый пример 2-порожденной конечно-представленной группы длины строго больше ш. В [Lei] поставлен вопрос о существовании конечно-представленных трансфинитно нильпо-тентных групп длины больше и>. Построенная группа, профакторизо-ванная по централу 7w+i представляет такую группу. Частный случай при р = 3,q — 2, т — п = 1 выглядит следующим образом.

Следствие 1. Группа

G(1)/7w+iG(1) = (а, &|[а, Ь3] = [а, Ь, а}2 = [а, &, а, а] = [а, Ь, а, Ь] = 1) является конечно-представленной трансфинитно нильпотентной группой длины строго больше из.

В направлении Парасвободной Гипотезы мы решаем ее "асимптотический" вариант в виде следующей теоремы (см. [М1]).

Теорема (см. теорема 7, утверждение 3). Существует обратный спектр 2-порожденных групп G(i + 1) —> G(i), г > 1, такой что

1) 7.0{г)ф^+10(г + 1)

2) F2/7?:F2 ~ G{i)hiG(i)

3) lim (G(i)/7ш+й0(г)) является нильпотентно аппроксимируемой для любого конечного к > 1.

В п. 1.2 мы приводим решение проблемы Дж. Левина о невидимых подгруппах [Lei]. Нормальная подгруппа К группы G называется невидимой в G, если К является нормальным замыканием конечного числа элементов в G и [К, G\ = К. Сформулируем проблему Левина из [Lei],

Проблема. Пусть G - конечно-порожденная группа длины а, верно ли, что 7aG является объединением невидимых в G подгрупп.

Контрпример представлен в следующей теореме (см. [М2]).

Теорема 8. 2-порожденная группа

G — ^а,6|[а, abi] = [а, а^], i = 1,2,. ^ имеет длину ш, но 7WG не представляется как объединение невидимых подгрупп.

В п. 1.3 изучается вопросы, связанные с зацеплениями, фундаментальные группы дополнений к которым могут быть порождены количеством порождающих равным количеству компонент. С их помощью несложно реализовать обобщенное кручение в фундаментальных группах дополнения к зацеплениям. Также несложно строятся 2-порожденные зацепления, группы которых не являются нильпотентно аппроксимируемыми и могут быть порождены с помощью 2 образующих, что дает ответ на один из вопросов из ([01 ], проблема 12).

Далее, в п.1.4 мы строим 3-многообразия с краем, группы которых не имеют кручения и нижний центральный ряд не стабилизируется на шаге с номером и. В [Кi] также приведен общий вопрос (Кохран-Фридман): существует ли достаточно широкий класс (в некотором смысле), групп замкнутых 3-многообразий, для которых ф 7ш+Ь или это редкое свойство? В направлении данной проблемы, мы получаем следующий результат (см. [М1]).

Утверждение 6. Для любой конечной абелевой группы А, без 2-кручения существует бесконечно много попарно негомотопных 3-многообразий (с краем), для групп которых тг имеет место изоморфизм т^тг/тш-н 71 — А

Глава 2 посвящена изучению алгебраических аспектов Проблемы Изотопической Реализации в размерности 3 для локально-плоских погружений и фильтрации пространства зацеплений по модулю PL-изотопии.

Рассмотрим два PL-зацепления /1? /2 : Sn U • • • U Sn —> Е№+2. Если существует такой (п + 2)-мерный шар Вп+2 £ М"+2 такой что пересечения Im/г-ПБп+2 есть тг-мерные шары в Вп+2, и образы fi¿ совпадают в Ми+2 \ Вп+2, тогда будем говорить, что Д и /2 локально изотопны. Неформально говоря, данное отношение эквивалентности позволяет завязывать и развязывать локальные узлы на компонентах зацеплений. Объемлемая и локальная изотопии порождают отношение эквивалентности, которое будем называть, следуя [Rol], PL-изотопией. PL-изотопия представляет собой кусочно-линейную изотопию, которая, однако, не обязана быть локально-плоской.

В работах [ММ2], [МИ] определено следующее отношение эквивалентности в пространстве классических зацеплений, называемое к-квазиизотопией. Назовем РЬ отображение / : Ы • • ■ и —>- М3 с одной двойной точкой /(р) = ^-квазивложением если р, д принадлежат одной компоненте Б} и, в случае к > О, найдутся подполи-эдры4 Ръ ., Рк С Е3 \ С /И) и ДУГИ 1ъ ■ ■ ■, Ь С такие что С //+1 и Р) и /(/у) несущественно содержится в (т.е. имеется включение Р] и f{Ij) С -Р/+1, причем оно нульгомотопно). Гомо-топия в классе &-квазивложений, называется &-квазиизотопией. Так, 1-квазиизотопия допускает самопересечения компоненты с собой, если в одна из петель, полученных в сингулярный момент самопересечения, нульгомотопна в дополнении к остальным компонентам. А 0-квазиизотопия совпадает с гомотопией в смысле Милнора.

Определение &-квазиизотопии схоже с некоторыми многомерными конструкциями, в частности, с трюком Пенроуза-Уайтхеда-Зимана-Ирвина и ручками Кассона.

Легко видеть, что если два зацепления РЬ-изотопны, то они &-квази -изотопны для любого к. Определение &-квазиизотопии естественно обобщается на трансфинитный случай, так, в [МИ] показано, что и>-квазиизотопия (где ш - первый предельный ординал) совпадает с РЬ-изотопией. Таким образом, Ажвазиизотопия может быть рассмотрена как отношение эквивалентности, фильтрующее пространство зацеплений по модулю РЬ-изотопии5. Очевидно, что &-квазиизотопия не влечет РЬ-изотопию для конечных к. Более того, несложно строится пример зацепления, конкордантного и 1-квазиизотопного, но не РЬ-изотопного тривиальному. Возьмем в качестве одной компоненты трилистник, а в качестве другой - некоторый его меридиан. Далее, возьмем связную сумму полученного зацепления с зеркальным. Получается зацепление, которое конкордантно и 1-квазиизотопно тривиальному, но не РЬ-изотопно (оно имеет ненулевой инвариант Кожима-Ямасаки [КУ].

4В работе [ММ2] вместо подполиэдров рассматривается последовательность РЬ 3-шаров, что, следуя [МГ1] соответствует понятию сильного А-квазивложения.

5В [ММ1], [МИ] классы эквивалентности зацеплений по отношению РЬ-изотопии названы "зацеплениями по модулю узлов", в названии второй главы мы использовали не менее неформальное "пространство локализованных зацеплений".

Одной из мотиваций введения отношения й-квазиизотопии является Проблема Изотопической Реализации, поставленная Е. В. Щепиным в 1993 г. Проблема состоит в следующем. Пусть / : X —>• М непрерывное отображение компакта в многообразие. Следует ли из дискретной реализуемости / (т.е. аппроксимируемости вложениями) изотопическая реализуемость, т.е. существование псевдоизотопии, переводящей / в некоторое вложение? Первые примеры дискретно, но не изотопически реализуемых отображений были построены в высоких коразмерностях в [Ме]. Проблема Изотопической Реализации для 1-мерных многообразий в К3, как оказалось, имеет принципиальные отличия от случая высоких коразмерностей. В [Ме] было также построено отображение I1 и I1 —» К3, которое дискретно, но не изотопически реализуемо. Однако, данный пример не является локально-плоским погружением. Понятие &-квазиизотопии позволяет свести локально-плоский вариант Проблемы к вопросу о накоплении сложности в зацеплениях (1-линках) по модулю &-квазиизотопии [ММ1], [МЛ]. Проблему накопления сложности мы рассматриваем в п.2.1 не только по модулю &-квазиизотопии, как в [ММ2], [МЯ] но и, в более общем случае, по модулю РЬ-изотопии. Мы показываем, что локализованные по Ролфсену инварианты Алек-сандера решают РЬ-аналог данного вопроса данный вопрос (данный результат содержится в статье [МБ,] с ссылкой на автора).

В п.2.3 исходя из инвариантов Кассона-Уолкера-Лескоп, мы получаем новые инварианты 1-квазиизотопии для многокомпонентных зацеплений, которые обобщают инвариант Сато-Левина для 2-компонетных зацеплений. Ввиду замечательных соотношений между инвариантами Кассона-Уолкера-Лескоп с петлевыми разложениями универсальных инвариантов 3-многообразий, мы получаем "квантовую" интерпретацию построенных инвариантов.

Одним из основных вопросов, исследуемых во второй главе, является отношение вышеупомянутых геометрических инвариантов с алгебраическими инвариантами 1-квазиизотопии, естественным образом извлекаемых из группы зацеплений [ММ2],[МИ]. В частности, показано, что обобщенный инвариант Сато-Левина не извлекается в некотором смысле из группы зацепления и, что алгебраические инварианты (^//¿¡С не являются полными инвариантами 1-квазиизотопии. Приведена бесконечная серия не 1-квазиизотопных зацеплений, обозначаемых Мп, алгебраические инварианты которых изоморфны [ММЩММ2].

Теорема 15. Зацепления Мп, а также зацепление Хопфа, попарно не 1-квазиизотопны, но имеют изоморфные факторы (?/¡1\С.

Эта теорема дает принципиальное отличие понятия &-квазиизотопии от гомотопии в смысле Милнора, так как известно, что алгебраические инварианты гомотопии, то есть группы Милнора 2-компонентных зацеплений являются полными инвариантами гомотопии.

Группы С/^1 порождаются 3-энгелевыми элементами и их нильпо-тентнтость, из которой и вытекает теорема 15, тесно связана с проблемой нильпотентности групп, порожденных энгелевыми элементами. В этом направлении мы получаем следующий результат, близкий к теореме 15, который представлен в [ММ1].

Теорема 16. Группа = (а, Ь\[д, а, а, а] = [д, 6, Ь, Ь] = 1, для всехд Е (2), порожденная двумя 3-энгелевыми элементами, имеет длину 5, т.е. ЪС = 7 =---

Глава 3 посвящена фильтрациям в гомологиях групп, гомологическим локализациям и имеет непосредственное отношение к главе 1.

Актуальность применения локализаций алгебраических структур в топологии стала видна сразу после появления работ Адамса. Д. Сул-ливан, развивая идеи Адамса, построил теорию гомотопической локализации и, вскоре стало общепринятым решать топологические проблемы по модулю некоторого 1>[р). В общих категориях понятие локализации было развито Д.Квилленом в его фундаментальных работах [С^], породивших предмет гомотопической алгебры. Что касается теории неабелевых групп, то, вероятно, первые нетривиальные результаты о локализациях групп как задачи гомотопической алгебры, принадлежат А.К. Боусфилду [Во1].

В [Bol] рассмотрена гомологическая локализация в гомотопической категории СW-комплексов. Пусть ) функтор обобщенных гомологии, например /г*(—) = Н*{—, Z(p)). В [Bol] определен функтор локализации Lh, '■ X —> LX, обладающий следующими свойствами:

1) Lh, индуцирует изоморфизм h*(X) ~ h*(LX),

2) для любого отображения X —> У, индуцирующего изоморфизм h*(X) c¿ /i* (У) существует естественное отображение F —> LX, замыкающее треугольник с X, Y и LX.

Возникает естественный вопрос: что происходит с фундаментальными группами CW-комплексов при гомологической локализации? Этот вопрос приводит нас к красивой и сложной теории HR-локализаций в группах, которой посвящена глава 3.

Идеи [Bol] были обобщены на гомологии, соответствующие спектрам, была построена теория нуллификаций в общих категориях, включая группы. Благодаря работам Э. Дрора-Фарджуна, Д. Кана, В. Дваера теория локализаций стала самостоятельной областью алгебраической топологии, не требующей обязательных наглядных приложений, как это было изначально. Хорошим обзором современных результатов в этой области является книга Э.Дрора-Фарджуна [DF].

Все локализации, нуллификации и им подобные естественно строятся как пределы трансфинитных башен. Тут-то и возникают вопросы типа: как определить трансфинитную длину данной башни локализации, какие башни имеют длину больше первого предельного ординала, можно ли описывать элементы трансфинитных башен как некоторые локализации и т.д. Для HR-локализаций, соответствующую башню мы называем башней Боусфилда и изучение ее свойств — основная задача главы 3.

Возникает все же вопрос о приложениях рассматриваемых локализаций. Зачем это все нужно? На этот вопрос бегло отвечают А.К. Бо-усфилд и Д.Кан во введении [ВК]. Дело в том, что объекты, получаемые как локализации, являются зачастую очень сложными и часто доставляют контрпримеры к классическим вопросам. Это видно даже в группах. Естественный вопрос об инвариантности длины группы относительно гомологической бордантности сразу же получает решение благодаря теории HR-локализаций: фундаментальная группа бутылки

12

Клейна и ее НИ-локализация гомологически бордантны, однако, имеют разные длины.

Итак, в п.3.1 мы рассматриваем теорию НИ-локализаций в терминах модельных категорий Квиллена. Одним из центральных понятий, проходящих через главу 3, является понятие фильтрации Дваера. Пусть С — некоторая группа и Я некоторый б-модуль, тогда рассмотрим следующую трансфинитную фильтрацию в Щ^^Я) :

Я2(С, Я) = ф1 (С, Я) 3 ф2{в, Я) Э • • О сМ<Я Я) Э где фт(С,Я) = Кег{Н2(С,Я) Н2(С/ут)} 6.

Мы строим категорию С г о, и понятие локализации, связанной с фильтрацией Дваера. Основным результатом п.3.1 является следующая теорема:

Теорема 19. а) Любой элемент башни Боусфилда Тг является фи-брантным объектом в Сг^, для а > т.

Ь) Локализация в СгГд. — гомоморфизм С —> ТГС.

Эта теорема представляет собой "запутанный" вариант трансфинитного обобщения теоремы Дваера из [Б^-], которая, в свою очередь, явилась обобщением теоремы Столлингса.

В п. 3.2 мы изучаем трансфинитные свойства, связанные с фильтрацией Дваера и соответствующими когомологическими фильтрациями, так называемыми фильтрациями Пасси-Штаммбаха.

Пусть у нас имеется некоторая убывающая фильтрация в группе, тогда естественно считать, что на местах с предельными номерами стоят пересечения предыдущих элементов. Аналогичная ситуация с возрастающими последовательностями: на предельных местах стоит объединение предыдущих. В случае фильтрации Дваера мы получаем неоднозначность продолжения на предельные ординалы.

Утверждение 5. фи{Ск1,1) ф Р|А<Ы фк{ркиЪ), где 6Ш — нильпо-тентное пополнение фундаментальной группы бутылки Клейна.

В приложении 1 мы представляем топологическую интерпретацию трансфинитных нижних центральных рядов с помощью гропов

6 В оригинальной работе В. Дваера [Е>тиг] данная фильтрация вводится для конечных номеров и используется обозначение ф„(С, Я) = Кег{Н2(0, К) Яг(С?/7„1)}, которое неудобно в трансфинитном случае, поэтому мы его "сдвигаем" на единицу

13 gropes). В приложении 2 мы рассматриваем отношение тонкой квазиизотопии и описываем развязывание зацеплений Милнора при помощи движений Хабиро.

Основными результатами данной работы можно считать следующие.

Описание обратного спектра 2-порожденных групп длины строго больше w, "приближающихся" к парасвободным. Построение 2-порожденной конечно-представленной трансфинитно нильпотентной, но не нильпотентно аппроксимируемой группы, абеленизация которой не имеет кручения.

Для любой конечной абелевой группы без 2-кручения А построение бесконечного числа попарно негомотопных 3-многообразий, для групп которых 7u,/7w+i ~ А.

Алгебраические инварианты 1-квазиизотопии не являются полными. Группа, порожденная двумя 3-энгелевыми элементами имеет длину не больше 5.

Диссертация состоит из введения, трех глав, двух приложений и библиографии (89 наименование), содержит 11 рисунков. Результаты диссертации представлены в работах [ММ1], [ММ2], [Ml], [М2].